Ejercicios de Integrales: Solidos de revolucion, areas y arcos por Francisco Nieves 25.143.502

1. MATEMÁTICA II
Actividad Virtual V 15%
Nombres y Apellidos: Juan Francisco Nieves Sivira CI: 25143502
Sección: INTENSIVO MATEMATICA II 2014-2 Fecha: 4/09/2014
Solución de Integrales:
Área entre curvas
Solidos de Revolución
Longitud de Curvas

2. Área entre Curvas
A) 푓(푥)=푥2 ; 푔(푥)=푥−4
A = ∫[푓(푥)−푔(푥)]푏 푎푑푥
Para determinar a y b igualamos
푓(푥)=푥2 푔(푥)=푥−4 → 푥2−4=푥−4→푥2−4푥−푥+4=0 →푥2−푥=0→푥(푥−1)=0 →푥=0 | 푦=1
a=0 y b=0, así graficamos y procedemos a calcular:
→퐴=∫푥−4−(푥2−4)푑푥 10
∫(푥−4−푥2+4)푑푥 →퐴=∫(푥−푥2)푑푥 → ∫푥푑푥− ∫푥2푑푥 1010
푥22− 푥33+푐 de tal forma que procedemos a evaluar de 0 a 1 → 퐴= 푥22− 푥33 | 10
퐴=( 12− 13)−( 02− 03)
푨= ퟏ ퟔ

3. B) 푦=푥3 ; 푦=4푥
퐴=∫[푓(푥)−푠(푥)]푑푥 푏 푎
Para determinar a y b igualamos 푦=푥3 ; 푦=4푥
→푥3=4푥→푥3−4푥=0→푥(푥2−4)=0→푥=0 → 푥2−4=0 →푥=±2
Así 푎=0 ; 푏=2 ; 푎=0 ; 푏=−2
Al tener 퐴=∫(푌푠푢푝−푌푖푛푓)푑푥 푏 푎 y como la posición de la recta y la curva cambia, se tomaran 2 regiones de la siguiente forma:
퐴=∫(푥3−4푥)푑푥+ ∫(4푥−푥3)푑푥 200−2
Tenemos:
∫(푥3−4푥)푑푥 → ∫푥3푑푥−∫4푥푑푥= 푥44−2푥2+푐 ∫(4푥−푥3)푑푥 → ∫4푥푑푥−∫푥3푑푥=2푥2− 푥44+푐
De tal forma evaluamos 퐴= 푥44−2푥2 | 0−2+ 2푥2− 푥44 | 20 →퐴= 04−2(0)−( (−2)42−2.(−2)2)+2(2)2− (2)44−(2(0)− 40)
Directamente da: 퐴=4+4 →푨=ퟖ

4. C) 푥= 12 푦 ; 푥=0 ;푦=1 ;푦=푒2
퐴=∫[푓(푦)−푔(푦)]푑푦 ;퐴=∫(푥푑푒푟−푥푖푧푞)푑푦 푑 푐 푑 푐
Entonces:
푓(푦)=푥푑푒푟= 12 푦 ; 푔(푦)=푥푖푧푞=0
Y siendo c=1 y d=e2 tenemos 퐴=∫( 12 푦 −0) 푒21 푑푦 →퐴=∫ 12 푦 푑푦 푒21
Dando así ∫ 12 푦 푑푦 →12∫ 푑푦 푦 =12ln(푦)
Para desarrollar el límite y tener: 퐴=12ln(푦)| 푒21 →퐴=12[ln(푒2)−ln(1)] →퐴=12(2−0)→푨=ퟐퟒ
0
2
4
6
8
10
0
2
4
6
8
10
12
14
Valores Y

5. D) 푓(푥)=푡푎푛( 12) 푒푙 푒푗푒 푥 푦 푙푎푠 푟푒푐푡푎푠 푥=0, 푥= 12 휋
Siendo a=0 y b= 휋 2 tenemos que
퐴=∫[푓(푥)−푔(푥)]푑푥 푏 푎
Donde
푓(푥)=푡푎푛 푥 2 푦 푔(푥)=0
Así 퐴= ∫(푡푎푛( 푥 2)−0)푑푥 휋 20 →퐴=∫푡푎푥 푥 2 푑푥 휋 20
Para luego realiza un cambio de variable en 푥 2 푥 2=푢 ;푑푢= 푑푥 2 → 2푑푢=푑푥
∫푡푎푛푢.2푑푢 →2∫푡푎푛푢푑푢=2푙푛|푠푒푐푢|+푐 →(푑푒푣표푙푣푒푚표푠 푐푎푚푏푖표 푢)2푙푛|푠푒푐 푥 2|+푐
-0,5
0
0,5
1
1,5
-0,5
0
0,5
1
1,5
Valores Y

6. Procedemos a Evaluar desde 0 hasta 휋 2 → 퐴=푙푛|푠푒푐 푥 2|| 휋 20 →퐴=2푙푛|sec( 휋 22)|−2푙푛|sec(0)| →퐴=2ln (√2)−2(0) →푨=ퟐ퐥퐧 (√ퟐ)

7. Solidos de Revolución
A) 푦=cos (2푥)
Teniendo 푦=cos (2푥) entonces
푐표푠(2 휋 4)=0 푐표푠(2(− 휋 4))=0
Aplicamos métodos de discos
푉=∫휋.(푐표푠2푥)2푑푥 휋 4− 휋 4→ 휋∫푐표푠2(2푥)푑푥 휋 4− 휋 4
Aplicamos cambio de variable en 2푥
푢=2푥 ;푑푢=2푑푥 → 푑푢 2=푑푥

8. Entonces:
→ 휋 ∫푐표푠2푢 푑푢 2 → 휋 2∫푐표푠2푢.푑푢 → 휋 2∫ 12(1+푐표푠2푢)푑푢 → 휋 4 [∫(1+푐표푠2푢)푑푢]
→ 휋 4[∫푑푢+∫cos(2푢)푑푢] ❶
Para ❶ aplicamos cambio de variable de tal forma que:
푧=2푢 ;푑푧=2푑푢 → 푑푧 2=푑푢
→ 휋 4[∫푑푢+∫푐표푠푧 푑푧 2] → 휋 4⌈∫푑푢+ 12∫푐표푠푧푑푧⌉ → 휋 4[푢+ 12 푠푒푛푧] → 휋 4[푢+ 12 푠푒푛(2푢)] → 휋 4[2푥+ 12 푠푒푛(2.(2푥))] → 휋 4[2푥+ 푠푒푥(4푥) 2]
Se produce a evaluar el resultado final que es:
→ 휋 2 푥+→ 휋 8 푠푒푛(4푥)| 휋 4− 휋 4

9. →푉= 휋 2( 휋 4)+ 휋 8 푠푒푛(4. 휋 4)−[ 휋 2(− 휋 4)+ 휋 8 푠푒푛(4.(− 휋 4))] →푉= 휋 82+ 휋 82 →푉=2 휋 82 →푽= 흅ퟐ ퟒ

10. B) 푥=4푦 ;푥= √푦3 ;alrededor de x=8
Para solido de revolución que gira en torno al eje y, y por el método de anillos tenemos que:
푉=∫휋[(푥푑푒푟푒)2−(푥푖푧푞)2]푑푦=∫휋[(푓(푦))2−(푔(푥))2]푑푦 푑 푒 푑 푐 ❶
Encontramos c y d igualando x=4y ; x=푦 13
→4푦=푦 13 →64푦3=푦 →64푦3−푦=0 →푦(64푦2−1)=0→푌=0
→(64푦2−1)=0 →64푦2=1 →푦2= 164 →푦=± 18
Donde tenemos que:
푐=0 푑= 18

11. Como el sólido se obtiene al girar alrededor de x=8 tenemos un sólido con:
푉푒푥푡=8푥+푥푑푒푟=8+4푦 푉푖푛푡=8+푥푖푧푞=8+푦 13
Sustituyendo en la ecuación ❶
→ 푉=∫휋[(8+4푦)2−(8+푦 13) 2] 180 →푉=휋∫[64+64푦+16푦2−64−16푦 13−푦 23]푑푦 →푉=휋∫[64푦+16푦2−16푦 13−푦 23]푑푦
Evaluamos directamente
→푉=휋(32푦2+ 163 푦3−12푦 43− 35 푦 53)| 180 →푉=휋(32( 18) 2+ 163( 18) 3−12( 18) 43− 35( 18) 53)−휋(0)
Directamente →푽= ퟑퟏ ퟏퟐퟎ 흅

12. C) 푥2 푎2+ 푦2 푏2=1 alrededor del eje x
Se aplica método del disco
푉=∫휋푦2푑푥=∫휋[푓(푥)]2푑푥 푏′ 푎′ 푏′ 푎′
Para ubicar a’ y b’ hacemos y=0
Para x=0 ; y=±b
Entonces:
→ 푥2 푎2+ 02 푏2=1 → 푥2 푎2=1 → 푥2=푎 →푥=±푎
Así
푎′=−푎 ;푏′=푎
Luego →푉=∫휋.(푏√ 푎2−푥2 푎2) 2 푑푥 →푉=휋∫푏2( 푎2−푥2 푎2) 푎 −푎 푎 −푎 푑푥 →푉= 휋푏2 푎2∫(푎2−푥2)푑푥 푎 −푎
Integramos
→ ∫(푎2−푥2)푑푥 →∫푎2푑푥−∫푥2푑푥 →푎2푥− 푥33+푐

13. Evaluamos
푉= 휋.푏2 푎2(푎2푥− 푥33)| 푎 −푎 →푉= 휋.푏2 푎2(푎2(0)− 푎33)− 휋.푏2 푎2(푎2(−푎)− (−푎)33) →푉= 휋.푏2 푎2(푎3. 푎33)− 휋.푏2 푎2(−푎2+ 푎33) → 푉= 휋.푏2 푎2( 23.푎3)− 휋.푏2 푎2(− 23.푎3)
→푉= 2휋.푏23 + 2휋.푏23 →푽= ퟒ ퟑ 흅풃ퟐ풂

14. D) 푦=4−푥2,푒푗푒 푥,푎푙 푔푖푟푎푟 푎푙푟푒푑푒푑표푟 푑푒 푙푎 푟푒푐푡푎 푥=3
Método Cortezas cilíndricas 푉=∫2휋푥.푓(푥)푑푥 푏 푎
Como gira alrededor de x=3 y con a=-2 ; b=2
→푉=∫2휋(푥−3).(4−푥2)푑푥 2−2 →2휋∫(푥−3).(4−푥2)푑푥 2−2 →∫(푥−3).(4−푥2)푑푥 → ∫(4푥−푥3−12+3푥2)푑푥 →2푥2− 푥44−12푥+푥3+푐
Asi procedemos a evaluar
푉=2휋(2푥2− 푥44−12푥+푥3)| 2−2
Y finalizar directamente
푽=ퟑퟒ흅

15. Longitud del Arco
a) 푦= 푥36+ 12푥 ,푑푒푠푑푒 푥=1 ℎ푎푠푡푎 푥=3
Longitud de arco viene dada por:
푆=∫√1+[푓′(푥)]2 푏 푎 푑푥= ∫√1+( 푑푦 푑푥 ) 2 푑푥 푏 푎
→ 푑푦 푑푥 =( 푥36) ′ +( 12푥 ) ′ → 푑푦 푑푥 = 푥22− 12푥2 → 12(푥2− 1 푥2)
Luego →푆=∫√1+( 푑푦 푑푥 ) 2 푑푥=∫( 12 푥2+ 12푥2)푑푥 3131 →∫ 12 푥2+ 12푥2푑푥 → 12∫푥2푑푥+ 12∫푥−2푑푥 → 16 푥3− 12푥 +푐→EVALUAMOS DIRECTAMENTE= 16 푥3− 12푥 | 31
Quedando 푆= 16(푥)3− 12(3) −( 16(1)3− 12(1) ) → 푺= ퟏퟒ ퟑ

16. b) 푦=푙푛푠푒푐푥,푑푒푠푑푒 푥=0,ℎ푎푠푡푎 푥= 휋 3
푆=∫√1+[푓′(푥)]2 푏 푎 푑푥= ∫√1+( 푑푦 푑푥 ) 2 푑푥 푏 푎
푑푦 푑푥 = 1 푠푒푐푥 .(푠푒푐푥.푡푎푛푥)→ 푑푦 푑푥 =푡푎푛푥
Luego
→√1+( 푑푦 푑푥 ) 2=√1+푡푎푛2푥=√푠푒푐2푥=푠푒푐푥
Después integramos →푆=∫푠푒푐푥푑푥 휋 30 →∫푠푒푐푥푑푥=푙푛|푠푒푐푥+푡푎푛푥|+푐
Evaluamos →푆=푙푛|푠푒푐푥+푡푎푛푥|| 휋 30 →푆=ln(2+√3) →푺=ퟏ,ퟑퟐ