MATEMATICA APLICADAI
Clase n°2: ÁLGEBRA

Índice
•Definiciones
•Término Algebraico
•Tipos de Expresiones Algebraicas
•Clasificación de Expresiones
•Términos Semejantes
•Operaciones
•Productos Notables
•Factorización
•Simplificación
•Mínimo Común Múltiplo
•Máximo Común Divisor
•División

Veamos la siguiente situación:
“La edad de mi padre equivale a tres veces,
mi edad aumentada en 5 años”
¿Cómo se puede escribir matemáticamente
esta situación?

Definiciones
• Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores
indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito
de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz.
• Ejemplos
1
2
.
)
2
)
2
)
2
3
2
2




x
x
y
x
c
x
y
x
b
xy
x
a

Un Término Algebraico es la relación entre números y letras donde intervienen
operaciones como la multiplicación, división, potencias y/o raíces.
Consta de un “Coeficiente numérico”, un “factor literal” y el “grado”.
Coeficiente Grado
Numérico
23x5y8
Factor Literal
5 + 8 = 13
Ejemplos:
mn3p, 3a4b,
2q
5p,
7 Obs: 1x=x
Término algebraico

Tipos de Expresiones Algebraicas
6
Expresiones
algebraicas
Racionales
Enteras
Fraccionarias
Irracionales
3
1
2
.
2
2
2



y
y
x
x
y
x
x 2

5
4
2
3 y
y
x
x 

3
1 2

 y
x
x

Monomio
Expresión algebraica
que consta de UN
término algebraico
Ejemplo:
36x5
8ab3
73p4q2
Binomio
Expresión algebraica
que consta de DOS
términos
Ejemplo:
2m3n4 + 7ab
Trinomio
Expresión algebraica
que consta de TRES
términos
Ejemplo:
3a6b2 + 8ab – 5a7
Polinomio
Expresión algebraica
que consta de cuatro
o más términos
Ejemplo:
3x – 2y + 3yx – 4z + 6
Clasificación de expresiones algebraicas

Son aquellos términos algebraicos, o monomios que tienen los mismos
factores literales.
Ejemplo:
Los términos
y
Son semejantes
Ejemplo:
Los términos
y
NO son semejantes
7m3n 2m3n 3p2
9p5
Términos semejantes

Sólo pueden ser sumados
o restados los
coeficientes numéricos de
los términos semejantes,
es decir, se reducen sólo
los coeficientes
numéricos, el factor
literal permanece
inalterable.
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
Operaciones algebraicas
EJEMPLO EJERCICIOS
mn5p + 4mn5p – 8mn5p =
= (1 + 4 – 8) mn5p
= – 3mn5p
Reducir los términos
semejantes:
1) 4x + 3x2 + 2x2 + 7x =
2) 3(x + 7) + 2(x + 3) =

El producto se hace
término a término,
coeficiente con coeficiente
y factor literal con factor
literal,
sumando exponente de
las variables iguales
(signo, número, letra)
MULTIPLICACIÓN
Operaciones algebraicas
EJEMPLO
Se multiplica cada término del
primer polinomio por
cada término del segundo
polinomio.
EJEMPLO
6a ∙ 3ab =
Se multiplican los coeficientes
numéricos y los factores literales
entre sí.
• Monomio por monomio:
Se multiplica el monomio por
cada término del polinomio.
• Monomio por polinomio:
18a2b
5pq3 (2p3q + 4pq5 – 6pq) =
10p4q4 + 20p2q8 – 30p2q4
(2x + y)(3x + 2y) =
= 6x2 + 7xy + 2y2
6x2 + 4xy + 3xy + 2y2
(x + 7)(x + 3) =x² + 3x + 7x +21
=x² + 10x + 21

Sólo pueden ser sumados
o restados los
coeficientes numéricos de
los términos semejantes,
es decir, se reducen sólo
los coeficientes
numéricos, el factor
literal permanece
inalterable.
DIVISIÓN
Operaciones algebraicas
El producto se hace término a
término y (coeficiente con
coeficiente y factor literal con
factor literal y sumando
exponente de las variables
iguales)
EJEMPLO
Factorizando
Divisón normal
Regla de Ruffini
EJERCICIOS

• (a +b)2 = a2 + 2*a*b + b2
• (a - b)2 = a2 – 2*a*b + b2
Cuadrado de binomio:
• (a + b)∙(a – b) = a2 – b2
Suma por su diferencia
• (a + b)3 = a3 + 3*a2* b+ 3*a*b2 + b3
• (a - b)3 = a3 - 3*a*b2+ 3*a2 *b - b3
Cubo de binomio
• (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Cuadrado de trinomio
Productos Notables

Factorización
• factorizar una expresión en la cual todos los
términos tienen algo en común (puede ser un
número, una letra, o la combinación de los dos).
Factor Común
• no todos los términos tienen un factor común, se
agrupan convenientemente obteniendo factores
comunes en cada grupo.
Factor común
compuesto
• a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Diferencia de
cubos
• a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
Suma de
cubos
Ejemplo:
2∙x∙y + 2∙2∙x∙y∙y – 2∙3∙x∙x∙y
Al descomponer...
(El factor común es : 2xy)
2xy + 4xy2 – 6x2y =
= 2xy(1 + 2y – 3x)
Agrupando
Factorizando por partes
Factorizando por (z+w)
xz + xw + yz + yw =
= (xz + xw) + (yz + yw)
= x(z + w) + y(z + w)
= (z + w)(x + y)
Aplicando la fórmula
Desarrollando
8x3 – 64y3 = (2x)3 – (4y)3
= (2x – 4y)((2x)2 + 2x ∙ 4y + (4y)2 )
= (2x – 4y)(4x2 + 8xy + 16y2 )
Aplicando la fórmula...
Desarrollando...
27x3 + 8y3 = (3x)3 + (2y)3
= (3x + 2y)((3x)2 – 3x ∙ 2y + (2y)2)
= (3x + 2y)( 9x2 – 6xy + 4y2)

Para simplificar expresiones algebraicas es necesario expresarlas mediante productos, es decir, factorizar.
Simplificación
Ejemplos
x2 + x – 20
x2 - 25
(x + 5)(x – 4)
(x + 5)(x – 4)
(x – 4)
(x – 5)
𝑎 + 𝑏 2
𝑎2 − 𝑏2
÷
1
𝑎 − 𝑏
𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏
𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏
×
𝑎 − 𝑏
1
𝑎 + 𝑏
Recuerda que NO se puede realizar lo siguiente:
(x – 4)
(x – 5)

MCM
Entre monomios
El MCM entre
3x5y2, 18x2yz6 y 9y3
Es 18x5y3z6
El MCM entre
x4y2z3 , x2y , xy6z
Es: x4y6z3
Entre
polinomios
Mínimo Común Múltiplo MCM

MCD
Entre
monomios
Entre:
3x5y2
18x2yz6
9y3
Es:
3y
Entre polinomios
Entre:
x2 + x y x2 + 2x +1
x(x +1) (x +1)2
Es:
(x +1)
Máximo Común Divisor MCD

División de polinomios
• Existe una estrecha analogía entre el cociente de polinomios y la
división de números enteros.
• Recordemos algunas definiciones de la división entre números
enteros.
17

División entre números enteros
En el conjunto de números enteros, si D es el dividendo y d0 es el divisor
Existen y son únicos dos enteros, c (cociente) y r (resto) tales que
𝐷 = 𝑑 × 𝐶 + 𝑟
0 ≤ r < |d|
• Si r=0 se dice que D es divisible por d.
18

División entre números enteros
Ejemplo
29 ÷ 4 = 6 × 4 + 5
19
Dividendo Divisor Resto
Cuociente

División de polinomios
• Dados los polinomios
D(x) = 6x3 – 17x2+15x-8
d(x) = 3x – 4
determinar, si es posible, dos polinomios c(x) y r(x) tales que
D(x) = d(x). C(x) + r(x)
de modo que el grado de r(x) sea menor que el grado de d(x) o bien
r(x)=Op(x)
20

Ejemplo
6x3 – 17x2 + 15x – 8 ÷ 3x – 4 =
21
-6x3 + 8x2
2x2
0x3 - 9x2+ 15x
- 3x
9x2- 12x
0x2+ 3x - 8
+ 1
-3x + 4
0x - 4
6x3-17x2+15x-8 = (3x-4)(2x2-3x+1)-4

Ejercicios
a) D(x) = 4x5 + 2x3 – 24x2 + 18x
d(x) = x2 – 3x
b) D(x) = 16x8 + 24x6 + 9x4
d(x) = 4x5 + 4x4 + 3x3 + 3x2
c) D(x) = 2x4 – 6x3 + 7x2 – 3x +2
d(x) = x-2
22

División de un polinomio por otro de la forma (x-a)
3x3 – 2x2 – 5x – 9 x – 2 = 3x2 + 4x + 3
- 3x3 + 6x2
- 4x2 – 5x
- 4x2 + 8x
3x – 9
-3x + 6
-3
23
Regla de Ruffini
3 -2 -5 -9
2
-3
3
6
4
8
3
6
3x3 – 2x2 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x2 + 4x + 3) + (-3)

• División de P(x) = 3x3 – 2x2 – 5x – 9 por (x-2)
realizada por la Regla de Ruffini
3 -2 -5 -9
2 6 8 6
3 4 3 -3
1º operación : 3.2 -2 = 4
2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3
3º operación : [3(2) 2 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3
Por lo tanto 3.(2)2 -2.(2)2 -5.2 -9 = -3
24
División de un polinomio por otro de la forma (x-a)

Raíces de un polinomio
• Un número real a es raíz de un polinomio P(x) si y solo si P(a) = 0
• Ejercicio:
Verifique que x=1 es raíz del polinomio P(x) = 3x2 + 2x – 5
25

Raíces de un Polinomio
• Si un polinomio tiene coeficientes enteros y a es una raíz entera del
polinomio entonces a divide al término independiente.
• Ejercicio: Calcular las raíces de
P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24
26

Ejercicio: Calcular las raíces de
P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24
• Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe ser divisor de 24.
• Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)
27
2x3 – 2x2 – 16x + 24 = ( x – 2)(2x2 + 2x -12)
Ver x=2 también
es raíz de
2x2 + 2x -12
2x2 + 2x -12 = (x-2)(2x+6)

Ejercicio
• Calcular las raíces de
P(x) = x4 - x3 - 6x2 + 4x + 8
28
P(x) = (x-2)2 (x+1) (x+2)