Introducción general al álgebra

1. Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico Expresiones algébricas Valor numérico de una expresión algebraica Suma y resta de expresiones algebraicas. Simplificación Igualdades y ecuaciones Resolución de ecuaciones. Regla de la suma Resolución de ecuaciones. Regla del producto Problemas: técnicas y estrategias con ecuaciones Contenidos de desarrollo

2. El largo de un campo de fútbol es el doble del ancho más 10 metros Esta información podría expresarse de otra forma: Llamamos x al ancho del campo. El doble será 2 · x Y el doble más 10 m: 2 · x + 10 Por tanto, 2 · x + 10 expresa el largo del campo de fútbol. Las dimensiones de nuestro campo, expresadas en forma algebraica, son: El lenguaje algebraico utiliza letras, números y signos de operaciones para expresar información. 1. Del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico Largo Ancho 2x + 10 x

3. Lenguaje ordinario Un número aumentado en 2 a + 2 (Hemos llamado a al número) Un número disminuido en 5 El número natural siguiente al número n El cuadrado de un número menos el mismo número Lenguaje algebraico c – 5 (Llamamos c al número) El cuadrado de un número x 2 Perímetro del cuadrado de lado x 4x x 2 – x n + 1 Hoy Antonio tiene 12 años; cuando pasen x años tendrá x + 12 Hoy Laura tiene 13 años; hace x años tenía: 13 – x Al-Khuwrizmi 2. El lenguaje algebraico: algunos ejemplos x x x x

4. Las fórmulas que se utilizan en geometría, en ciencias y en otras materia son expresiones que contienen letras, o números y letras: Una expresión algebraica es una combinación de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación, división y potenciación. Observaciones: 1. El factor 1 no se escribe. a b b 1 · x 2 · y 1 2. El exponente 1 tampoco se escribe. 3. El signo de multiplicación no suele ponerse. x 2 · y 1 x 2 · y x 2 y 5abc 3 5 · a · b · c 3 (t = tiempo en horas) 3. Expresiones algebraicas Área del triángulo: h Área de un rectángulo: a · b La distancia recorrida por un coche que circula a 100 km/h: 100 · t

5. Observa el cuadrado de lado x . Su área es x 2 . Valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las letras de la misma por números determinados y hacer las operaciones indicadas en la expresión. Ejemplos: 1. El valor numérico de la expresión algebraica 5x – 6 Si queremos hallar el área de un cuadrado concreto, por ejemplo de uno que tenga 4 cm de lado, se sustituye x por 4: 16 es el valor numérico de la expresión x 2 cuando se sustituye x por 4. para x = 2 , es: 5 · 2 – 6 = 10 – 6 = 4 2 . El valor numérico de la expresión algebraica 5a 2 + b 2 para a = 4 y b = 10 es: x 2 A = x 2 = 4 2 = 16 para x = 10 , es: 5 · 10 – 6 = 50 – 6 = 4 4 5 · 4 2 + 10 2 = 5 · 16 + 100 = 180 4. Valor numérico de una expresión algebraica x x

6. Dos segmentos miden 5x y 3x , respectivamente. Para que las expresiones algebraicas unidas por las operaciones suma y resta se puedan reducir a una expresión más sencilla, sus partes literales deben ser iguales. Se dice entonces, que son expresiones semejantes. ¿Cómo podríamos expresar su longitud total? x x x x x 5x 3x Si ponemos un segmento a continuación del otro, se tiene: 5x + 3x = 8x Suma: ¿Cómo podríamos expresar la diferencias de sus longitudes? 2x 5x – 3x = 2x Resta: Observación: Para que dos expresiones puedan sumarse o restarse es necesario que sean semejantes. 5. Suma y resta de expresiones algebraicas No se pueden sumar 2x + x 2 Se deja indicado x x x 5x x x x x x x x x 3x x x x x x 5x 3x

7. La balanza está equilibrada. Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas. 10 + 2 = 4 + 8 Tenemos una igualdad numérica Toda igualdad tiene dos miembros . El primero a la izquierda del signo igual, y el segundo a la derecha. Una igualdad numérica se compone de dos expresiones numéricas iguales unidas por el signo igual (=). 10 + 2 = 4 + 8 Se tendrá la igualdad: x + 4 = 8 + 4 Esta segunda balanza también está en equilibrio; aunque un peso es desconocido: le llamamos x Esta igualdad se llama ecuación . La letra x es la incógnita. La incógnita es la letra cuyo valor se desconoce. La ecuación es de primer grado si la incógnita lleva de exponente 1. 6. Igualdades y ecuaciones 1 er miembro 2º miembro

8. La balanza está equilibrada: el peso de los dos platillos es el mismo. A lo que pesa el trozo de queso le podemos llamar x. Tendremos la igualdad: x + 100 = 350 Esta igualdad es una ecuación. La letra x se llama incógnita , porque su valor es desconocido. Calcula por tanteo el valor de la incógnita en las igualdades: Una ecuación es una igualdad en cuyos miembros hay letras y números relacionados por operaciones aritméticas. Las letras se llaman incógnitas. a) x + 3 = 7 b) y – 2 = 4 c) 3 · x = 21 x = 4 , pues: 4 + 3 = 7 y = 6 , pues: 6 – 2 = 4 x = 7 , pues: 7 · 3 = 21 El signo “por”, ×, se sustituye por un punto: “ · ” P a r a p r a c t i c a r x 7. Ecuaciones

9. Observa las ecuaciones: x + 5 = 9; 2 · y = 12; 3 · t – 2 = 14 Todas tienen una sola incógnita que está elevada a exponente 1. (Lo de menos es que la llamemos x , y o t ). Son ecuaciones de primer grado con una incógnita. Las siguientes balanzas en equilibrio expresan ecuaciones de primer grado con una incógnita: Una ecuación de primer grado con una incógnita es una ecuación que tiene una sola incógnita con exponente 1. x x x x x x x x x 2 5 x 8 4 1 x + 2 = 5 x + x + x = x + 8 x + 4 = x + x + x + x + 1 3 · x = x + 8 x + 4 = 4 · x + 1 No son de primer grado las ecuaciones: x 2 = 9 6 · t 2 + 2 · t + 2 = 0 2 · x 3 = 250 8. Ecuaciones de primer grado con una incógnita

10. ¿Cuánto pesará el trozo de queso si la balanza está equilibrada.? La solución de una ecuación de primer grado es el valor de la incógnita para el que se verifica la igualdad. Platillo izquierdo: La incógnita x tiene que valer 600, pues: 600 + 100 = 500 + 200 = 700 El valor x = 600 es la solución de la ecuación. Resolver una ecuación de primer grado es encontrar su solución. Para comprobar que una solución es correcta hay que sustituir en la ecuación y ver que se cumple la igualdad. x + 100 Platillo derecho: 500 + 200 Como pesan igual, escribimos la ecuación: x + 100 = 500 + 200 Ejemplo La solución de la ecuación 2x – 2 = x + 12 es x = 14 pues 2 · 14 – 2 = 14 + 12 = 26 9. Solución de una ecuación

11. La solución de las dos ecuaciones siguientes es x = 3 : Dos o más ecuaciones son equivalentes si tiene la misma solución. Observa como pueden hacerse ecuaciones equivalentes a otra dada: a) 4 + 4x = 25 – 3x Sustituyendo: b) 7x + 4 = 25 4 + 4 · 3 = 16 y 25 – 3 · 3 = 16 7 · 3 + 4 = 25, que es el 2º miembro Ecuación dada: 8x = 16 Su solución es x = 2 . (¿Es cierto?) 2ª ecuación: 2 + 8x = 2 + 16 2 + 8x = 18 Le sumamos 2 a cada miembro 3ª ecuación: 2 + 8x – 6x = 2 + 16 – 6x 2 + 2x = 18 – 6x Restamos 6x a cada miembro Comprueba que x = 2 es la solución de las tres ecuaciones . 10. Ecuaciones equivalentes

12. Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta un número o una expresión semejante a las utilizadas en la ecuación, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. x = 10 Luego: Para resolver ecuaciones es útil buscar otra semejante a la dada pero que sea más fácil. Para ello es necesario conocer algunas reglas. Observa : si de la balanza de la izquierda se quita de los dos platillos la pesa 5, el equilibrio se mantiene. x + 5 = 10 + 5 Ejemplo: Para resolver la ecuación 2x + 8 = x + 25 + 8 Regla de la suma Primero. Restamos 8: 2x = x + 25 Segundo. Restamos x: x = 25 La solución es x = 25 11. Resolución de ecuaciones. Regla de la suma

13. x = 5 Si a los dos miembros de una ecuación se los multiplica o divide por un número distinto de cero, se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. Luego: Observa las dos balanzas y las ecuaciones que representan: Ejemplo: Para resolver la ecuación 4 x + 3 = 2x + 9 Regla del producto Primero. Restamos 3: 4x = 2x + 6 Segundo. Restamos 2x: 2x = 6 La solución es x = 3 4x = 20 Hemos dividido por 4 Tercero. Dividimos por 2 x = 3 – 3 – 2x :2 12. Resolución de ecuaciones. Regla del producto

14. La utilización de la reglas de la suma y del producto permite simplificar todas las ecuaciones de primer grado, esto es, hacerlas más sencillas. Practiquemos con dos ejemplos: Restamos 2x: Ejemplo 1. Resuelve: 5x – 3 = 2x Dividimos entre 3: Sumamos 3: 5x = 2x + 3 3x = 3 x = 1 Ejemplo 2. Resuelve la ecuación: Dividimos entre 2: Multiplicamos por 9: x = 18 Comprobamos: 2x = 36 13. Aplicación de las reglas. Ejemplos Nota: El signo de la multiplicación no suele ponerse ni entre las letras ni entre números y letras. 5 · x 5x

15. Ecuaciones con paréntesis Para resolver ecuaciones: Sumamos 25: 1.º Suprime los paréntesis. Nos planteamos la ecuación: 5 · (2 x – 5) = 15 Dividimos entre 10: Para resolverla se siguen los siguientes pasos: Suprimir el paréntesis: 10x – 25 = 15 10x = 40 x = 4 2.º Aplica la regla de la suma. 3.º Aplica la regla del producto. Otro ejemplo: Resuelve: 7(2x – 1) = 3(4x + 1) Sumamos 7: Restamos 12x: Suprimir el paréntesis: 14x – 7 = 12x + 3 14x = 12x + 10 2x = 10 Dividimos entre 2: x = 5 14. Resolución de ecuaciones (I)

16. Ejercicio 1 Ecuación con paréntesis: 3(x – 7) = 5(x – 1) – 4x 1º. Quitar paréntesis: 2º. Operar 5x – 4x: 3º. Restar x 3x – 21 = 5x – 5 – 4x 3x – 21 = x – 5 2x – 21 = – 5 5º. Dividir por 2 4º. Sumar 21 2x = 16 x = 8 Ejercicio 2 Ecuación con denominadores: 1º. Quitar denominadores. Para ello se multiplica por 12, que es m.c.m.(4, 2, 6): 2º. Restar 30: 3º. Operar 3x – 2x 3x + 30 – 2x = 60 3x – 2x = 30 x = 30 15. Resolución de ecuaciones (II)

17. Número de años que tiene que pasar para que la edad de Iván sea doble que la de hermana: x PROBLEMA Iván tiene 12 años y su hermana Rocío tiene 2 años. ¿Cuántos años deberán pasar para que la edad de Iván sea el doble que la de su hermana? INCÓGNITA DATOS Edad de Iván Lenguaje algebraico Edad de Rocío 12 2 Dentro de x años 12 + x 12 + x = 2(2 + x) Actualidad Edad de Iván Edad de Rocío 2 + x ECUACIÓN La edad de Iván es doble que la de Rocío: RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN Paréntesis: 12 + x = 4 + 2x Restar x: 12 = 4 + x Restar 4: 8 = x Dentro de 8 años Iván tendrá doble edad que su hermana. COMPROBACIÓN Dentro de 8 años Iván tendrá 12 + 8 = 20 años, y su hermana Rocío, 2 + 8 = 10 años. 16. Técnicas y estrategias

18. Interpretación del enunciado Primero: Problema : La madre de Jorge tiene 39 años y dice que tiene 6 años menos que el triple de la edad de su hijo. ¿Qué edad tiene Jorge? Edad de Jorge Plantear la ecuación Segundo: Resolución de la ecuación Tercero: Comprobación. Cuarto: Lenguaje algebraico La madre de Jorge tiene 39 x 39 y dice que tiene 6 años menos que el triple de la edad de Jorge 3x – 6 3x – 6 = 39 Sumar 6 3x = 45 x = 15 Dividir por 3 3 · 15 – 6 = 45 – 6 = 39 Correcto Jorge tiene 15 años 17. Resolución de problemas (I) Son iguales

19. LEE Y COMPRENDE EL ENUNCIADO Hacemos un dibujo para representar la situación. RESUELVE EL PROBLEMA PROBLEMA El largo de un campo de fútbol es el doble que su ancho. Para cercarlo se han necesitado 270 m de valla. ¿Cuáles son las dimensiones del campo? ELIGE UNA ESTRATEGIA El largo del campo es doble que el ancho El perímetro del campo es 270 m. Hay que calcular el largo y el ancho. Indicamos el ancho así: x El largo será: 2x La suma de los cuatro lados, el perímetro, será: x + 2x + x + 2x = 270 m Hay que resolver la ecuación: x + 2x + x + 2x = 270 m Sumamos las x: 6x = 270 Dividimos por 6: x = 45 2x = 90 Las dimensiones del campo de fútbol son: 90 m de largo y 45 m de ancho. Comprueba que el resultado es correcto. 18. Resolución de problemas (II) x x x x 2x