1. Analisis Statistika Multivariate 1
ANALISIS STATISTIKA MULTIVARIATE
Analisis statistika multivariate adalah analisis statistika yang dikenakan pada data
yang terdiri dari banyak variabel dan antar variabel saling berkorelasi. Beberapa metode
yang termasuk ke dalam golongan analisis ini adalah :
# Metode Tujuan Model
1 Principal
Component
Analysis
Mereduksi dimensi data dengan cara
membangkitkan variabel baru (komponen
utama) yang merupakan kombinasi linear
dari variabel asal sedemikan hingga varians
komponen utama menjadi maksimum dan
antar komponen utama bersifat saling bebas
XaY 'i
maks var(Yi) dan
corr(Yi, Yj)=0
2 Factor
Analysis
Mereduksi dimensi data dengan cara
menyatakan variabel asal sebagai kombinasi
linear sejumlah faktor, sedemikian hingga
sejumlah faktor tersebut mampu menjelas-
kan sebesar mungkin keragaman data yang
dijelaskan oleh variabel asal.
 CFX
maks var(CF)
3 Cannonical
Correlation
Menganalisis hubungan antar dua kelompok
variabel dengan cara membangkitkan vari-
abel baru pada setiap kelompok. Variabel
baru tersebut merupakan kombinasi linear
dari variabel asal. Kombinasi linearnya
ditentukan sedemikian hingga korelasi antar
variabel baru yang berasal dari dua ke-
lompok menjadi maksimum
Ada dua kelompok
variabel :X dan Y
dibangkitkan variabel
baru :
XaU 'i dan
YbV 'i sehingga
corr( ii VU , ) maks
dan corr( ji VU , )=0
4 Multivariate
Regression
Memodelkan hubungan antara kelompok
variabel respon (Y) dengan kelompok
variabel (X) yang diduga mempengaruhi
variabel respon
  XY
5 MANOVA Menganalisis hubungan antara vektor va-
riabel respon (Y) yang diduga dipengaruhi
oleh beberapa perlakuan (treatment).
ijkikkijkY  
i=1,...,t j=1,...,ni
k=1,...,p
6 Discriminant
Analysis
Membentuk fungsi yang memisahkan antar
kelompok berdasarkan variabel pembeda,
fungsi tsb disusun sedemikian nisbah kera-
gaman data antar dan kelompok maksimum.
7 Cluster
Analysis
Mengelompokkan data ke dalam beberapa
kelompok sedemikian hingga data yang
berada di dalam kelompok yang sama
cenderung mempunyai sifat yang lebih
homogen daripada data yang berada di
kelompok yang berbeda

2. Analisis Statistika Multivariate 2
Distribusi Multinormal
Beberapa metode statistika multivariate seperti : MANOVA, dan discriminant
analysis seringkali mensyaratkan terpenuhinya asumsi distribusi multinormal. Asumsi
ini diperlukan karena di dalam MANOVA dan discriminant analysis dilakukan pengujian
dengan menggunakan statistik uji Wilk. Kesimpulan yang diambil berdasarkan statistik
ini dikatakan sahih (valid), jika syarat distribusi multinormal dipenuhi.
Variabel pi XXX ,...,, 2 dikatakan berditribusi normal multivariate dengan
parameter  dan jika mempunyai probability density function :
)()'(
2
1
2/2/2
1
)2(
1
),...,,(


 


XX
XXX ef pppi
Jika pi XXX ,...,, 2 berdistribusi normal multivariate maka )()'( 1
  
XX
berditribusi 2
p . Berdasarkan sifat ini maka pemeriksaan distribusi multinormal dapat
dilakukan dengan cara membuat q-q plot dari nilai   niSd iii ,...,1,()' 12
 
XXXX .
Tahapan dari pembuatan q-q plot ini adalah sebagai berikut (Johnson, 1990)
1. Mulai
2. Tentukan nilai vektor rata-rata : X
3. Tentukan nilai matriks varians-kovarians : S
4. Tentukan nilai jarak Mahalanobis setiap titik pengamatan dengan vektor rata-
ratanya   niSd iii ,...,1,()' 12
 
XXXX
5. Urutkan nilai 2
id dari kecil ke besar : 2
)(
2
)3(
2
)2(
2
)1( ... ndddd 
6. Tentukan nilai ni
n
i
pi ,...,1,
2/1



7. Tentukan nilai iq sedemikian hingga i
q
pdf
i

22
)( 
8. Buat scatter-plot 2
)(id dengan iq
9. Jika scatter-plot ini cenderung membentuk garis lurus dan lebih dari 50 %
nilai 2
50.0,
2
pid 
10. Selesai
Implementasi pembuatan q-q plot dari nilai   niSd iii ,...,1,()' 12
 
XXXX
dalam macro MINITAB disajikan pada Lampiran 1.

3. Analisis Statistika Multivariate 3
Selain dengan memeriksa nilai jarak Mahalanobis setiap pengamatan dengan
vektor rata-ratanya. Menurut Mardia (1974) di dalam Rencher (1995) pemeriksaan
kemultinormalan data dapat juga dikaji melalui nilai multivariate skewnewss ( pb ,1 ) dan
kurtosisnya ( pb ,2 )
 

n
i
n
j
ijp g
n
b
1 1
3
2,1
1
dan 

n
i
iip g
n
b
1
2
,2
1
sedangkan )()'( 1
XXSXX  
jiijg
Jika pi XXX ,...,, 2 dikatakan berditribusi normal multivariate maka :
  pb
pn
nnp
z ,11
6)1)(1(6
)3)(1)(1(


 berditribusi 2
6/)2)(1(  ppp dan
npp
ppb
z
p
/)2(8
)2(,2
2


 berdistribusi normal baku.
Penentuan nilai z1, z2 dengan bantuan macro MINITAB disajikan pada Lampiran
2.
Kebebasan antar variabel
Variabel pi XXX ,...,, 2 dikatakan bersifat saling bebas (independent) jika matriks
korelasi antar variabel membentuk matriks identitas. Untuk menguji kebebasan antar
variabel ini dapar dilakukan uji Bartlett sphericity berikut (Morrison, 2005) :
Hipotesis :
Ho : R = I
H1 : R  I
Statiistik uji : R
p
nhitung ln
6
52
12





 

Terima hipotesis Ho yang berarti antar variabel bersifat saling bebas jika nilai
2
)1(
2
1
2


pp
hitung  . Jika hipotesis ini yang diterima maka penggunanan metode multivariate
tidak layak terutama metode analisis komponen utama dan analisis faktor. Penentuan
nilai statistik uji Bartlett sphericity dengan bantuan macro MINITAB disajikan pada
Lampiran 3.

4. Analisis Statistika Multivariate 4
Kehomogenan Matriks Varians-Kovarians
Beberapa analisis statistika multivariate seperti discriminant analysis dan
MANOVA membutuhkan syarat matriks varians-kovarians yang homogen. Untuk menguji
syarat ini dapat dipergunakan statistik uji Box-M. Hipoteris dan statistik uji Box-M
adalah (Rencher, 1995) :
Hipotesis
Ho : k ...21
H1 : ji  untuk ji 
Statistik uji






   
k
i
k
ii
ipooliihitung vvc
1 1
1
2
ln
2
1
ln
2
1
)1(2 SS
dan




 k
i
i
k
i
ii
pool
v
v
1
1
S
S 



















 


)1)(1(6
13211 2
1
1
1
kp
pp
v
v
c
k
i
k
i
i
i
1 ii nv
Terima hipotesis nol yang berarti matriks varians-kovarians bersifat homogen jika
2
1()1(
2
1
2


ppk
hitung 

5. Analisis Statistika Multivariate 5
Outlier
Data tidak bersitribusi multinormal atau matriks varians-variansnya tidak homogen
bisa saja disebabkan oleh sedikit pengamatan yang mempunyai pola berbeda dengan
sebagian besar pengamatan. Pengamatan yang mempunyai perilaku seperti ini disebut
outlier. Contoh pengamatan yang merupakan outlier adalah negara Jepang (Gambar 1.)
Statistik uji yang dapat dipakai untuk mendeteksi adanya outlier adalah (Morrison, 2005)
 
  22
2
1
1
i
i
i
npdnp
ndpn
F



Pengamatan ke-i adalah outlier jika 1,;  pnpi FF  Penentuan adanya outlier dengan
menggunakan macro MINITAB disajikan di Lampiran 4.
Jam kerja setahun
22002100200019001800170016001500
Produktivitas
10
9
8
7
6
5
4
3
US
UK
Sweden
Netherland
Japan
Italy
Germany
FranceDenmark
Belgium
Gambar 1. Scater-plot produktivitas dan jam-kerja bebarapa negara-negara maju

6. Analisis Statistika Multivariate 6
Kegiatan Praktikum
COUNTRY DENSITY URBAN LIFEEXPF LIFEEXPM LITERACY BABYMORT GDP_CAP
Afghanistan 25 18 44 45 29 168 205
Bangladesh 800 16 53 53 35 106 202
Cambodia 55 12 52 50 35 112 260
China 124 26 69 67 78 52 377
Hong Kong 5494 94 80 75 77 5.8 14641
India 283 26 59 58 52 79 275
Indonesia 102 29 65 61 77 68 681
Japan 330 77 82 76 99 4.4 19860
Malaysia 58 43 72 66 78 25.6 2995
N. Korea 189 60 73 67 99 27.7 1000
Pakistan 143 32 58 57 35 101 406
Philippines 221 43 68 63 90 51 867
S. Korea 447 72 74 68 96 21.7 6627
Singapore 4456 100 79 73 88 5.7 14990
Taiwan 582 71 78 72 91 5.1 7055
Thailand 115 22 72 65 93 37 1800
Vietnam 218 20 68 63 88 46 230
Sumber data : Contoh data SPSS world95.sav
Ketrangan variabel :
Variabel Penjelasan
Density Banyaknya penduduk per km persegi
Urban Persentase penduduk yang tinggal di perkotaan
Lifeexpf Harapan hidup penduduk perempuan (tahun)
Ligeexpm Harapan hidup penduduk laki-laki (tahun)
Literacy Persentase penduduk yang bisa baca-tulis
Babymort Banyaknya kematian bayi per 1000 kelahiran
Gdp_cap Penghasilan penduduk per kapita pertahun (US$)
1. Periksa kemultinormalan data kependudukan negara-negara di Asia dengan
a. Menggunakan q-q plot dari nilai   niSd iii ,...,1,()' 12
 
XXXX
b. Menggunakan multivariate skewness dan multivariate kurtosis
2. Apakah data di atas layak dianalisis dengan menggunakan analisis statistika
multivariate
3. Tentukan negara-negara yang dianggap outlier, jika ada outlier maka hapus
negara yang paling outlier (Nilai sig_f paling kecil) kemudian lakukan pengujian
kemultinormalan melalui multivariate skewness dan kurtosis.
4. Dengan menggunakan variabel yang sama, ujilah apakah matriks varians-
kovarians Afrika sama dengan Amerika Latin atau tidak , jika tidak sama, coba
lakukan penghapusan beberapa negara yang dianggap outlier

7. Analisis Statistika Multivariate 7
Penyelesaian
1a. q-q plot dari nilai   niSd iii ,...,1,()' 12
 
XXXX untuk data kependudukan
negara-negara di Asia adalah :
MTB > %qq.txt c2-c8
t 0.529412
distribusi data multinormal
q-q plot dari nilai   niSd iii ,...,1,()' 12
 
XXXX cenderung
membentuk garis kurus dan ada lebih dari 50 % (52.9412 %) nilai 2
50.0,
2
pid 
sehingga data diatas cenderung berdistribusi multinormal.
1b. Pemeriksaan kemultinormalan data melalui multivariate skewness dan kurtosis
adalah :
MTB > %mardia.txt c2-c8
Multivariate skewness
b1 33.2386
z1 115.612
pvalue 0.0126605
Multivariate kurtosis
b2 60.5424
z2 -0.451353
pvalue 0.651735
Pvalue untuk statistik uji multivariate skewness lebih kecil dari
sehingga data kependudukan negara-negara di Asia cenderung tidak
berdistribusi multinormal

8. Analisis Statistika Multivariate 8
2. Kelayakan penggunaan analisis statistika multivariate dapat dikaji melalui dua
sisi yaitu sisi terapan dan sisi statistika. Dari sisi terapan dapat ditunjukkan bahwa
berdasarkan referensi disiplin ilmu kependudukan, variabel-variabel di atas
memang saling terkait satu dengan yang lainnya. Dari disiplin ilmu statistika,
keeratan hubungan antar variabel dapat dilakukan melalui pengujian terhadap
matriks korelasi. Apakah matriks korelasinya membentuk matriks identitas atau
tidak, jika matriks korelasinya setelah diuji berbeda secara significant dengan
matriks identitas maka dapat disimpulkan bahwa ada hubungan antar variabel.
Sehingga data ini layak di analisis dengan menggunakan analisis statistika
multivariate. Jika matriks korelasinya setelah diuji tidak berbeda dengan matriks
identitas, maka diduga sampel yang diperoleh tidak cukup, sehingga disarankan
untuk menambah sampel. Diharapkan setelah dilakukan penambahan sampel
maka hasil pengujian matriks korelasi berbeda dengan matriks identitas. Karena
dari hasil pengujian Bartlett sphericity dapat disimpulkan perlunya penambahan
sampel maka uji ini disebut juga uji kecukupan sampel. Dengan bantuan
MINITAB pengujian ini dapat diilakukan dengan cara :
MTB > %bart.txt c2-c8
chis 178.398
pvalue 0
pvalue dari statistik uji Bartlett sphericity lebih kecil dari 5 %) sehingga dapat
disimpulkan matriks korelasi antar variabel berbeda dengan matriks identitas.
Karena matriks korelasi bukan merupakan matriks identitas maka analisis
statistika multivariate layak untuk digunakan.

9. Analisis Statistika Multivariate 9
3. Suatu pengamatan diakatakan outlier jika nilai
 
  22
2
1
1
i
i
i
npdnp
ndpn
F


 melampaui
1,;  pnpi FF  , dengan menggunakan macro MINITAB hal ini dapat diselesaikan
dengan cara :
MTB > %outlier.txt c1-c8
Row COUNTRY d f_value sig_f
1 Afghanistan 10.9875 3.4699 0.043306
2 Bangladesh 4.8952 0.6192 0.729851
3 Cambodia 4.7223 0.5874 0.752289
4 China 5.4980 0.7394 0.646985
5 Hong Kong 11.0696 3.5676 0.040074
6 India 4.6708 0.5781 0.758837
7 Indonesia 1.6888 0.1624 0.987188
8 Japan 13.6454 12.4126 0.000564
9 Malaysia 6.0117 0.8543 0.572647
10 N. Korea 5.2646 0.6911 0.679801
11 Pakistan 10.5513 3.0096 0.063477
12 Philippines 2.8156 0.2957 0.938851
13 S. Korea 5.9621 0.8427 0.579908
14 Singapore 9.4582 2.1713 0.138178
15 Taiwan 4.6465 0.5738 0.761898
16 Thailand 5.4036 0.7196 0.660353
17 Vietnam 4.7088 0.5849 0.754010
Ada 3 negara yang dianggap outlier yaitu Jepang, Hongkong dan Afganistan.
Hasil pengujian kemultinormalan setelah Jepang dikeluarkan adalah :
MTB > delete 8 c1-c8
MTB > %mardia.txt c2-c8
Multivariate skewness
b1 30.1551
z1 99.8985
pvalue 0.113626
Multivariate kurtosis
b2 56.8194
z2 -1.10122
pvalue 0.270800
Setelah Jepang dikeluarkan, ternyata data kependudukan Negara-negara di Asia
berdistribusi multinormal. Dari contoh ini dapat ditunjukkan bahwa adanya
outlier dapat menyebabkan data tidak berdistribusi multinormal.

10. Analisis Statistika Multivariate 10
4. Pengujian kesamaan matriks varians-kovarian untuk region Afrika dan Amerika
Latin dapat dilakukan dengan cara :
- Memilih negara-negara di region Afrika dan Amerika Latin
klik Data, Select Cases
kemudian klik if dan ketik region=4 or region=6
klik Continue kemudian OK

11. Analisis Statistika Multivariate 11
- Melakuan pengujian kehomogenan matriks varians-kovarians
klik Analyze, Clasify, Discriminant
klik Statistics
klik Continue kemudian OK
Test Results
70.555
2.015
28
4918.900
.001
Box's M
Approx.
df 1
df 2
Sig.
F
Tests null hypothesis of equal population cov ariance matrices.
Nilai significance statistik uji Box-M lebih kecil dari 5%, sehingga disimpulkan
matriks varians-kovarians region Afrika dan Amerika Latin tidak homogen, di
duga ketidakhomogenan ini disebabkan adanya outlier.

12. Analisis Statistika Multivariate 12
Deteksi outlier Negara-negara di Afrika dan Amerika Latin adalah :
MTB > %outlier.txt c1-c8
Row COUNTRY d f_value sig_f
2 Barbados 30.0922 17.3411 0.000000
5 Brazil 13.2080 2.4330 0.040604
34 Somalia 15.7276 3.2245 0.010578
40 Zambia 16.9353 3.6709 0.005090
Hasil pengujian kehomogenan matriks varians-kovarians setelah Barbados
dikeluarkan adalah :
Test Results
55.121
1.564
28
4741.799
.030
Box's M
Approx.
df 1
df 2
Sig.
F
Tests null hypothesis of equal population cov ariance matrices.
Hasil pengujian kehomogenan matriks varians-kovarians setelah Barbados dan
Zambia dikeluarkan adalah :
Test Results
51.217
1.441
28
4403.414
.062
Box's M
Approx.
df 1
df 2
Sig.
F
Tests null hypothesis of equal population cov ariance matrices.
Setelah Barbados dan Zambia dikeluarkan maka matriks varians-kovarians sudah
bersifat homogen pada . Seandainya setelah dilakukan pembuangan data
outlier matriks varians-kovarians belum bersifat homogen maka dapat dicoba
dilakukan transfor-masi Box-Cox dengan mencobakan berbagai nilai  Hasil
transformasi ini tidak selalu berhasil menghomogenkan matriks varians-
kovarians. Jika matriks varians-kovarians tidak bisa dihomogenkan maka dapat
dilakukan metode statistika yang lain yang tidak membutukan asumsi ini.

13. Analisis Statistika Multivariate 13
Lampiran 1. Macro MINITAB untuk memeriksa kemultinormalan DATA dari q-
q plot nilai   niSd iii ,...,1,()' 12
 
XXXX
macro
qq x.1-x.p
mconstant i n p t chis
mcolumn d x.1-x.p dd pi q ss tt
mmatrix s sinv ma mb mc md
let n=count(x.1)
cova x.1-x.p s
invert s sinv
do i=1:p
let x.i=x.i-mean(x.i)
enddo
do i=1:n
copy x.1-x.p ma;
use i.
transpose ma mb
multiply ma sinv mc
multiply mc mb md
copy md tt
let t=tt(1)
let d(i)=t
enddo
set pi
1:n
end
let pi=(pi-0.5)/n
sort d dd
invcdf pi q;
chis p.
plot q*dd
invcdf 0.5 chis;
chis p.
let ss=dd<chis
let t=sum(ss)/n
print t
if t>0.5
note distribusi data multinormal
endif
if t<=0.5
note distribusi data bukan multinormal
endif
endmacro

14. Analisis Statistika Multivariate 14
Lampiran 2. Macro MINITAB untuk menguji kemultinormalan data melalui
multivariate skewness dan multivariate kurtosis
macro
mardia y.1-y.p
mconstant i j n p g b1 b2 z1 z2 zz v pp pvalue
mcolumn x.1-x.p y.1-y.p z.1-z.p t
mmatrix s sinv mi mj mjt ma mat mb mc md
let n=count(y.1)
do i=1:p
let x.i=y.i-mean(y.i)
let z.i=x.i/sqrt(n)
enddo
copy z.1-z.p ma
transpose ma mat
multiply mat ma s
invert s sinv
let b1=0
let b2=0
do i=1:n
copy x.1-x.p mi;
use i.
do j=1:n
copy x.1-x.p mj;
use j.
transpose mj mjt
multiply mi sinv mc
multiply mc mjt md
copy md t
let g=t(1)
let b1=b1+g*g*g
if i=j
let b2=b2+g*g
endif
enddo
enddo
let b1=b1/(n*n)
let b2=b2/n
let z1=(p+1)*(n+1)*(n+3)*b1/(6*((n+1)*(p+1)-6))
let z2=(b2-p*(p+2))/sqrt(8*p*(p+2)/n)
let v=p*(p+1)*(p+2)/6
note Multivariate skewness
cdf z1 pp;
chis v.
let pvalue=1-pp
print b1 z1 pvalue
note Multivariate kurtosis
let zz=abs(z2)
cdf zz pp;
normal 0 1.
let pvalue=2*(1-pp)
print b2 z2 pvalue
endmacro

15. Analisis Statistika Multivariate 15
Lampiran 3. Macro MINITAB untuk menguji kebebasan antar variabel dengan Bartlett
sphericity test
macro
bart x.1-x.p
mconstant i n p d chis pp pvalue v
mcolumn x.1-x.p eigen
mmatrix r
let n=count(x.1)
corr x.1-x.p r
eigenvalues r eigen
let d=0
do i=1:p
let d=d+loge(eigen(i))
enddo
let chis=-(n-1-(2*p+5)/6)*d
let v=p*(p-1)/2
cdf chis pp;
chis v.
let pvalue=1-pp
print chis pvalue
endmacro

16. Analisis Statistika Multivariate 16
Lampiran 4. Macro MINITAB untuk mendeteksi adanya multivariete outlier
macro
outlier obs y.1-y.p
mconstant i n p df
mcolumn d x.1-x.p y.1-y.p dd pi f_value tt obs p1 sig_f
mmatrix s sinv ma mb mc md
let n=count(y.1)
cova y.1-y.p s
invert s sinv
do i=1:p
let x.i=y.i-mean(y.i)
enddo
do i=1:n
copy x.1-x.p ma;
use i.
transpose ma mb
multiply ma sinv mc
multiply mc mb md
copy md tt
let d(i)=tt(1)
enddo
let f_value=((n-p-1)*n*d)/(p*(n-1)**2-n*p*d)
let df=n-p-1
cdf f_value p1;
f p df.
let sig_f=1-p1
print obs d f_value sig_f
endmacro