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Resolución de ecuación diferencial por la Transformada de Laplace

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Esta presentación te muestra un ejemplo de como resolver una ecuación diferencial a través de la transformada de Laplace con ayuda de fracciones parciales y antitransformada.

Publicado en: Educación
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Resolución de ecuación diferencial por la Transformada de Laplace

  1. 1. TECNOLOGÍAS DE LA PRODUCCIÓN MATEMÁTICAS AVANZADAS II LIC. GERARDO EDGAR MATA ORTIZ Ecuaciones diferenciales por la transformada de Laplace Itzel Joselinn Flores Luna Anahi Geraldine Daza Zamora. 𝐿 𝑒 𝑎𝑡 𝑓 𝑡 = 𝐿{𝑓(𝑡)} 𝑠→𝑠−𝑎
  2. 2. La Transformada de Laplace es un método operacional que puede utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Transforma ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas de una variable compleja s. Si la ecuación algebraica se resuelve en s, se puede encontrar la solución de la ecuación diferencial (Transformada inversa de Laplace) utilizando una tabla de transformadas, o bien mediante la técnica de expansión en fracciones parciales. 𝑦" − 2𝑦´ − 3𝑦 = 1
  3. 3. EJERCICIO Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de transformada de Laplace Con las siguientes condiciones y 𝑦" − 2𝑦´ − 3𝑦 = 1 𝑦 0 = 1 𝑦´ 0 = −1
  4. 4. Aplicamos la transformada de Laplace en ambos miembros de nuestra ecuación: Multiplicamos la L por los términos que están dentro del paréntesis y lo mismo después del igual: Después aplicaremos el teorema de la transformada de la derivada, existen unas formulas ya establecida que en este caso usaremos: 𝐿 𝑦" − 2𝑦´ − 3𝑦 = 𝐿{1} 𝐿 𝑦"} − 2𝐿{𝑦´} − 3𝐿{𝑦 = 𝐿{1} 𝐿 𝑦´ = 𝑠𝑦 𝑠 − 𝑦(0) 𝐿 𝑦" = 𝑠2 𝑦 𝑠 − 𝑠𝑦 0 − 𝑦´(0) 𝐿 𝑦´´´ = 𝑠3 𝑦 𝑠 − 𝑠2 𝑦 𝑠 − 𝑠𝑦´ 0 − 𝑦(0)"
  5. 5. Entonces nos quedara de la siguiente manera: Sustituimos nuestra ecuación con las formulas y reemplazamos los términos por las condiciones que teníamos al principio: Nota: También resolvemos de una vez la transformada de 1, para comenzar a simplificar nuestros términos. La puedes resolver con ayuda de tablas o en la siguiente diapositiva se explica como hacerla. 𝐿 𝑦´} = 𝑠𝐿{𝑦} − 𝑦{0 = 𝑠𝐿 𝑦 − 1 𝐿 𝑦"} = 𝑠2 𝐿{𝑦} − 𝑠𝑦{0 − 𝑦´ 0 = 𝑠2 𝐿 𝑦 − 𝑠 1 − (−1) 𝑠2 𝐿 𝑦 𝑡 − 𝑠 + 1 − 2 𝑠𝐿 𝑦 − 1 − 3𝐿{𝑦} = 1 𝑠
  6. 6. 𝐿 𝑓 𝑡 = 0 ∞ 𝑒 − 𝑠𝑡 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 𝐿 𝑓 1 = 0 ∞ 𝑒 − 𝑠𝑡 𝑓(1) 𝑑𝑡 Fórmula de integración 𝑒 𝑣 𝑑𝑣= 𝑒 𝑣 + C V= -st dv= -s dt 𝐿 𝑓 1 = lim 𝑏→∞ − 1 𝑠 𝑒 − 𝑠𝑡 𝑏 0 𝐿 𝑓 1 = lim 𝑏→∞ − 1 𝑠 𝑒 − 𝑠(∞) − − 1 𝑠 𝑒 − 𝑠(0) 𝐿 𝑓 1 = − 1 𝑠 𝑒 − 𝑠(∞) + 1 𝑠 𝑒 − 𝑠(0) 𝐿 𝑓 1 = 𝟏 𝒔 Como realizar la transformada de Laplace sin ayuda de tablas
  7. 7. Seguimos simplificando y el termino que esta multiplicando lo pasamos de otro lado del igual dividiendo: Obtenemos una ecuación algebraica, hacemos la suma de fracciones y factorizamos el denominador y nos queda así: Aplicamos el método de fracciones parciales 𝐿 𝑦 𝑠2 − 2𝑠 − 3 = 1 𝑠 + 𝑠 − 3 𝐿 𝑦 𝑡 = 1 𝑠 + 𝑠 − 3 𝑠2 − 2𝑠 − 3 = 1 + 𝑠2 − 3𝑠 𝑠(𝑠 − 3)(𝑠 + 1) 𝑠2 − 3𝑠 + 1 𝑠(𝑠 − 3)(𝑠 + 1) = 𝐴 𝑠 + 𝐵 𝑠 − 3 + 𝐶 𝑠 + 1 Agrupamos nuestros términos similares, factorizamos los iguales y los demás los simplificamos lo más que se pueda: 𝑠2 − 2𝑠 − 3 𝐿 𝑦 𝑡 = 1 𝑡 + 𝑠 − 1 − 2 = 1 𝑠 + 𝑠 − 3
  8. 8. Para resolver fracciones parciales, lo primero que debemos hacer es tratar de suponer cuantos términos tenemos y lo podemos saber con los miembros factorizados que tiene el denominador: Hacemos la suma de fracciones: 𝐴 𝑠2 − 2𝑠 − 3 + 𝐵 𝑠2 + 𝑠 + 𝑐(𝑠2 − 3𝑠) 𝑠(𝑠 − 3)(𝑠 + 1) Asignamos valores y reemplazamos donde haya “s”, es recomendable empezar con 0. Esto es para averiguar el valor de A. (0)2 − 3(0) + 1 = 𝐴 02 − 2 0 − 3 + 𝐵 02 + 0 + 𝐶(02 − 3(0)) A=-1/3 𝑠2 − 3𝑠 + 1 𝑠(𝑠 − 3)(𝑠 + 1) = 𝐴 𝑠 + 𝐵 𝑠 − 3 + 𝐶 𝑠 + 1 𝑠2 − 3𝑠 + 1 𝑠(𝑠 − 3)(𝑠 + 1) =
  9. 9. Asignamos otro valor, por ejemplo el 1. En este caso podremos eliminar A porque ya sabemos que su valor es -1/3, y quedas así: (1)2 − 3(1) + 1 = 𝐴 12 − 2 1 − 3 + 𝐵 12 + 1 + 𝐶(02 − 3(0)) 2B-2C= -7/3 Volvemos asignar valores para poder resolver el sistema de 2x2 ecuaciones para obtener los valores de “B” y “C”. (2)2 − 3(2) + 1 = 𝐴 22 − 2 2 − 3 + 𝐵 22 + 2 + 𝐶(22 − 3(2)) 6B-2C= -2 Ahora si podemos resolverlo estas dos ecuaciones por diferentes métodos, a nuestro parecer es más fácil por reducción. 2B-2C= -7/3 2B-2C= -7/3 (-)6B-2C= -2 -6B+2C= 2 B = 1/12
  10. 10. Finalmente obtenemos C sustituyendo en cualquiera de nuestras 2 ecuaciones bases (2x2) 2B-2C= -7/3 -2 C= (-7/3) - 2(1/12 C= 5/4 Acomodamos nuestra ecuación con los valores que ya obtuvimos anteriormente: 𝑠2 − 3𝑠 + 1 𝑠(𝑠 − 3)(𝑠 + 1) = 𝐴 𝑠 + 𝐵 𝑠 − 3 + 𝐶 (𝑠 + 1) 𝑠2 − 3𝑠 + 1 𝑠(𝑠 − 3)(𝑠 + 1) = − 1 3 ● 1 𝑠 + 1 12 ● 1 𝑠 − 3 + 5 4 ● 1 (𝑠 + 1)
  11. 11. Para finalizar la resolución de nuestra ecuación diferencial, solo falta aplicar la transformada inversa. En este caso podemos ayudarnos de unas tabla que existe con las transformadas más comunes.
  12. 12. Aplicamos la transformada inversa: Y por lo tanto la solución es: 𝑦 𝑡 = 𝐿−1 𝐿 𝑦 𝑡 = − 1 3 𝐿−1 1 𝑠 + 1 12 𝐿−1 1 𝑠 − 3 + 5 4 𝐿−1 1 𝑠 + 1 𝑦 𝑡 = − 1 3 + 1 12 𝑒3𝑡 + 5 4 𝑒−𝑡

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