MÉTODOS ESTATÍSTICOS    E NUMÉRICOS          UNIDADE 11  CONTRASTE DE HIPÓTESES                     ÍNDICE   IES Isidro Pa...
Conceptos1.   Introdución2.   Hipóteses estatísticas.3.   Hipótese nula. Hipótese alternativa.4.   Tipos de erros5.   Crit...
Conceptos1. Contraste de hipóteses para a media2. Contraste de hipóteses para a proporción .3. Contraste de hipóteses para...
1. Introdución•Os obxectivos principais dosprocedementos de inferencia tratadosata agora son dous:•Determinar o valor conc...
1. Introdución•Neste tema veremos unha terceiraforma     de     inferencia    estatísticadenominada Contraste de hipóteses...
1. Introdución •A teoría do contraste dehipóteses foi proposta porEgon Pearson e JerzyNeymann        en     1928,analizaro...
1. Introdución• Probar estatísticamente unha hipótese  é comprobar se a información que  proporciona unha mostra observada...
1. Introdución• É dicir, Contrastar unha hipótese é  comparar as prediccións coa realidade  que observamos. Se dentro da m...
1. Introdución• Polo tanto, un contraste de hipóteses é  un procedemento que nos permite  decidir se unha hipótese realiza...
1. Introdución• Vexamos exemplos de situacións nas  que podemos utilizar o contraste de  hipóteses            IES Isidro P...
1. Introdución• Exemplo      1: Unha máquina prográmase para que produza parafusos de 15,50 mm e, en efecto,     prodúceos...
1. Introdución• Exemplo 1: Temos que decidir se a lonxitude media  segue sendo μ =15,50 ou, se pola contra, µ ≠ 15,50; en ...
1. Introdución• Exemplo 2: Segundo a información dada pola Universidade de Santiago, sabemos que a proporción de aprobados...
1. Introdución• Exemplo 3: Dúas empresas producen o mesmo tipo de  motor para lavadoras. Ao cabo dos anos, estes motores  ...
2. Hipóteses estatísticas  Unha hipótese estatística é unha afirmaciónrespecto a algunha característica dunhapoboación.   ...
2. Hipóteses estatísticasUnha hipótese estatística pode ser:• Paramétrica: é unha afirmación sobre os  valores    dos    p...
2. Hipóteses estatísticas • Non Paramétrica:   É unha afirmación sobre algunha   característica estatística da poboación  ...
3. Hipótese nula. Hipótese alternativa.O primeiro paso no contraste consiste enformular as seguintes hipóteses:A hipótese ...
3. Hipótese nula. Hipótese alternativa.Observacións:1º.- A aceptación de H0 non implica que estasexa correcta, se non que ...
3. Hipótese nula. Hipótese alternativa.2º.- Se o experimentador quere apoiar concontundencia un determinado argumento édeb...
3. Hipótese nula. Hipótese alternativa• Exemplo      1: Unha máquina prográmase para que produza parafusos de 15,50 mm. e,...
3. Hipótese nula. Hipótese alternativa Para    poder    decidir,definimos como hipótesenula: • H0:“a máquina funcionaben”:...
3. Hipótese nula. Hipótese alternativa•Exemplo2: Segundo a información dada pola Universidade de Santiago, sabemos que a p...
3. Hipótese nula. Hipótese alternativa• Exemplo 3: Dúas empresas producen o mesmo  tipo de motor para lavadoras. Ao cabo d...
4. Tipos de erros  O contraste de hipóteses non establece a verdade da hipótese, senón un criterio que nos permite decidir...
4. Tipos de erros• Erro de tipo I: Rexeitamos a hipótesenula cando esta é certa.• Error de tipo II: Non rexeitamos ahipóte...
4. Tipos de erros                                     H0 certa                              H0 falsa    H0 rexeitada      ...
5. Criterios de decisiónToda decisión esta suxeita a erro e, polo tanto,calquera criterio utilizado para optar por unhaou ...
5. Criterios de decisión  Acoutar a probabilidade de erro de tipo I  Esta proposta responde a aquelas  situacións nas que ...
5. Criterios de decisión Exemplo: Nun proceso xudicial noque se decide entre ainocencia ou aculpabilidade do reo só serexe...
5. Criterios de decisiónDefinición:Chámase nivel de significación duncontraste, α, á probabilidade decometer un erro tipo ...
5. Criterios de decisión  Fixar o nivel de significación é decidir de antemán a probabilidade máxima que se está disposto ...
5. Criterios de decisión•A selección dun nivel de significaciónleva a dividir en dúas rexións o conxuntode posibles valore...
5. Criterios de decisión•Se o estatístico de contraste toma unvalor pertencente á rexión de aceptación,non existen razóns ...
5. Criterios de decisión•Se o valor do estatístico cae na rexiónde rexeitamento, entón asumimos un nivelde significación α...
5. Criterios de decisión  A     ubicación    das     rexións de rexeitamento e de aceptación dependerá do tipo de hipótese...
5. Criterios de decisión  Para unha hipótese nula simple do tipo      H0 : θ =θ0as hipóteses alternativas máis importantes...
5. Criterios de decisión • Se H0 : θ≤θ0     Hα : θ > θ0 Entón a rexión de rexeitamento vén dadapor:    –        RRα = (dα ...
5. Criterios de decisión• Prefixar a probabilidade de  ambos os dous erros  Existen situacións nos que incorrer  nun erro ...
5. Criterios de decisión• Exemplo: Na execución dunha proba para detectar a presenza dun virus, cuxo desenvolvemento pode ...
5. Criterios de decisión   Un erro de tipo Iimplicaría admitir aexistencia do viruserroneamente.   A gravidade deincorrer ...
5. Criterios de decisiónEn situacións deste tipo, ademais deprefixar o nivel de significación, éconveniente     precisar  ...
5. Criterios de decisiónA ter en conta:• Fixado o nivel de significación, a probabilidade de erro de tipo II diminúe coa d...
6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses1ºpaso.- Especificar sen ambigüidade,as hipóteses nula e alternativa....
6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses 2º paso.- Fixar o nivel de significación O nivel de significación, α...
6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses                                                   2º paso.- Fixar o ...
6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses3º paso.- Determinación do estatísticode contrasteTodos os estatístic...
6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses Se a hipótese é sobre a media poboacional                           ...
6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses4ºpaso.- Determinar as                                               ...
6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses  Contraste unilateral                                               ...
6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses5º paso.- Tomar unha mostra dapoboación e calcular o valor deestatíst...
6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses6º paso.- Tomar a decisión de rexeitar ounon a hipótese nula, en func...
6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses  EXEMPLO 1: O concello de Carballo afirma queo 65% dos accidentes de...
6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses EXEMPLO 1:1º.- Definir as hipóteses nula e alternativa    H0 : p = 0...
6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses EXEMPLO 1:3º.- Determinación do estatístico decontrasteA hipótese re...
6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses EXEMPLO 1:4º.- Determinación das rexións deaceptación e de rexeitame...
6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses5º.- Tomar unha mostra da poboación ecalcular o valor de estatístico ...
6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses6º.- Tomar a decisión de rexeitar ou non a hipótese nula, en función ...
6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses                                                                 y   ...
7. Contraste de hipóteses para a mediaTemos unha poboación onde estudamosunha variable que segue N(μ,σ) con σcoñecida.Quer...
7. Contraste de hipóteses para a mediaPara isto seguiremos os seguintes pasos:1) Fixar o nivel de significación: α        ...
7. Contraste de hipóteses para a media2) Establecer a hipótese alternativa                                     Hipótese   ...
7. Contraste de hipóteses para a media3) Elixir o estatístico de contraste        x − μ0     z=        segue unha N(0,1)  ...
7. Contraste de hipóteses para a media4) Construír a rexión de aceptación                             R. aceptaciónH0     ...
7. Contraste de hipóteses para a media5) Verificación   Se x ∈ R.A ⇒ Ho acéptase   Se x ∉ R.A ⇒ Ho rexéitase           IES...
7. Contraste de hipóteses para a media  Se σ é descoñecida e o tamaño da mostran é grande (n≥30) Farase como no caso anter...
7. Contraste de hipóteses para a media •EXEMPLO1: Crese que otempo medio de ocio queadican     ao     día    osestudantes ...
7. Contraste de hipóteses para a media EXEMPLO 1:1º.- Formulamos as hipóteses:      H0 : μ = 350 Hα : μ ‡ 3502º.- O nivel ...
7. Contraste de hipóteses para a media5º. - Tipificamo sx = 320; n = 100; σ = 60   320 − 350z=           = −5      60     ...
7. Contraste de hipóteses para a media                                                y                                   ...
7. Contraste de hipóteses para a media  EXEMPLO2: Quérese contrastar o contidode     azucre    de      distintoscargamento...
7. Contraste de hipóteses para a media EXEMPLO 2:1º.- Formulamos as hipóteses:      H0 : μ ≤ 18 Hα : μ > 182º.- O nivel de...
7. Contraste de hipóteses para a media                                                y                                   ...
7. Contraste de hipóteses para a media5º. - Tipificamosx = ?; n = 20; σ = 6     x − 18z=       6       20     x − 186º. - ...
8. Contraste de hipóteses para a proporción Temos   unha     distribución   binomial    deparámetros B(n,p) e queremos con...
8. Contraste de hipóteses para a proporciónPara iso seguiremos os seguintes pasos:1)    Fixar o nivel de significación: α ...
8. Contraste de hipóteses para a proporción2) Establecer a hipótese alternativa                                    Hipótes...
8. Contraste de hipóteses para a proporción3) Elixir o estatístico de contraste           p − p0           ˆ    z=        ...
8. Contraste de hipóteses para a proporción4) Construír a rexión de aceptación                             R. aceptaciónH0...
8. Contraste de hipóteses para a proporción5) Verificación  Se p ∈ R.A ⇒ Ho acéptase     ˆ  Se p ∉ R.A ⇒ Ho rexéitase     ...
8. Contraste de hipóteses para a proporción       EXEMPLO1:       Ronald A. Fisher comenza a súa obra “Deseño de       exp...
8. Contraste de hipóteses para a proporción                                      A continuación, a dama proba             ...
8. Contraste de hipóteses para a proporción1º.- Definir as hipóteses nula e alternativaTomaremos como hipótese nula a máis...
8. Contraste de hipóteses para a proporción Estas hipóteses verifícanse se ao elixirunha mostra, a proporción de acertos é...
8. Contraste de hipóteses para a proporción2º.- Fixar o nivel de significación Tomaremos como un                          ...
8. Contraste de hipóteses para a proporción3º.-Determinación do estatístico de contraste A hipótese realízase sobre a prop...
8. Contraste de hipóteses para a proporción 4º.- Determinación das rexións deaceptación e de rexeitamento Trátase dun cont...
8. Contraste de hipóteses para a proporción                                                y                              ...
8. Contraste de hipóteses para a proporción5º.- Tomar unha mostra da poboación e calcular ovalor de estatístico de contras...
8. Contraste de hipóteses para a proporción 6º.- Tomar a decisión de rexeitar ou non a hipótesenula, en función de que o v...
8. Contraste de hipóteses para a proporción                                                y                              ...
8. Contraste de hipóteses para a proporción •EXEMPLO 2: Un adestrador asegura que osseus xogadores encestan máisdo 92% dos...
8. Contraste de hipóteses para a proporción EXEMPLO 2:1º.- Formulamos as hipóteses:        H0 : p ≥ 0.92 Hα : p < 0.922º.-...
8. Contraste de hipóteses para a proporción                           425º. - Tipificamos : p = ˆ      = 0´7; n = 60      ...
8. Contraste de hipóteses para a proporción                                                                               ...
9. Contraste de hipóteses para a diferenza de mediasTemos dúas poboacións normais, N(μ1,σ1) y N(μ2,σ2)con desviacións típi...
9. Contraste de hipóteses para a diferenza demediasPara iso seguiremos os seguintes pasos:1) Fixar o nivel de significació...
9. Contraste de hipóteses para a diferenza demedias.2) Establecer a hipótese alternativa                                  ...
9. Contraste de hipóteses para a diferenza demedias3) Elixir o estatístico de contraste z=    (x − x ) − ( μ − μ ) segue u...
9. Contraste de hipóteses para a diferenza demedias4) Construir a rexión de aceptaciónH0             Hα                   ...
9. Contraste de hipóteses para a diferenza demedias5) Verificación Se x1 − x2 ∈ R.A ⇒ Ho acéptase Se x1 − x2 ∉ R.A ⇒ Ho re...
9. Contraste de hipóteses para a diferenza demedias •EXEMPLO: Co fin de determinar se existendiferenzas significativas ent...
9. Contraste de hipóteses para a diferenza demedias •EXEMPLO:Dexesamos contrastar a hipótesesobre a non existencia de dife...
9. Contraste de hipóteses para a diferenza demedias EXEMPLO :1º.- Formulamos as hipóteses:      H0 : μ1-μ2 = 0            ...
9. Contraste de hipóteses para a diferenza demedias5º. − Tipificamos :x1 − x2 = 5´5 − 5´2; n1 = 30; n2 = 35; σ1 = 0´5; σ2 ...
9. Contraste de hipóteses para a diferenza demedias                                                                       ...
10. Relación entre contraste de hipóteses eintervalos de confianza Existe unha gran relación entre o intervalo deconfianza...
10. Relación entre contraste de hipóteses eintervalos de confianza•EXEMPLO: O gremio de restaurantes de Carballo afirma qu...
10. Relación entre contraste de hipóteses eintervalos de confianza EXEMPLO:                                           x − ...
10. Relación entre contraste de hipóteses eintervalos de confianza  EXEMPLO: Paso 5º.-Eliximos unha mostra aleatoria de 40...
10. Relación entre contraste de hipóteses eintervalos de confianza   EXEMPLO: Paso 6º.-Rexeitamos a hipótese nula xa que e...
10. Relación entre contraste de hipóteses eintervalos de confianza                                                        ...
10. Relación entre contraste de hipóteses eintervalos de confianza  EXEMPLO: Achemos agora un intervalo de confianza para ...
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

11.contrastedehipóteses

232 visualizaciones

Publicado el

  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

11.contrastedehipóteses

  1. 1. MÉTODOS ESTATÍSTICOS E NUMÉRICOS UNIDADE 11 CONTRASTE DE HIPÓTESES ÍNDICE IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas
  2. 2. Conceptos1. Introdución2. Hipóteses estatísticas.3. Hipótese nula. Hipótese alternativa.4. Tipos de erros5. Criterios de decisión.6. Pasos para a construción dun contraste de hipóteses. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  3. 3. Conceptos1. Contraste de hipóteses para a media2. Contraste de hipóteses para a proporción .3. Contraste de hipóteses para a diferenza de medias.• Relación entre contraste de hipóteses e intervalos de confianza. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  4. 4. 1. Introdución•Os obxectivos principais dosprocedementos de inferencia tratadosata agora son dous:•Determinar o valor concreto dun parámetro poboacional ( Estimación puntual )•Construír unha rexión aleatoria que conteña un parámetro poboacional cunha probabilidade prefixada de antemán (Intervalos de confianza) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  5. 5. 1. Introdución•Neste tema veremos unha terceiraforma de inferencia estatísticadenominada Contraste de hipóteses•O contraste de hipóteses serve paracorroborar ou rexeitar unha afirmación( hipótese ) sobre a poboación en estudo. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  6. 6. 1. Introdución •A teoría do contraste dehipóteses foi proposta porEgon Pearson e JerzyNeymann en 1928,analizaron a técnica docontraste, a eficienciarelativa e a optimidade doscontrastes. A pesardalgunha controversia, nosanos 50 chegou a ser depráctica xeral. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  7. 7. 1. Introdución• Probar estatísticamente unha hipótese é comprobar se a información que proporciona unha mostra observada concorda (ou non) coa hipótese estatística formulada sobre o modelo de probabilidade en estudo e, polo tanto, decidir se aceptar (ou non) a hipótese formulada cunhas marxes de erro previamente prefixadas. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  8. 8. 1. Introdución• É dicir, Contrastar unha hipótese é comparar as prediccións coa realidade que observamos. Se dentro da marxe de erro que nos permitimos admitir, temos coincidencia, aceptaremos a hipótese e, en caso contrario a rexeitaremos. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  9. 9. 1. Introdución• Polo tanto, un contraste de hipóteses é un procedemento que nos permite decidir se unha hipótese realizada sobre un parámetro descoñecido se acepta ou se rexeita cunha probabilidade prefixada α, chamada nivel de significación IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  10. 10. 1. Introdución• Vexamos exemplos de situacións nas que podemos utilizar o contraste de hipóteses IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  11. 11. 1. Introdución• Exemplo 1: Unha máquina prográmase para que produza parafusos de 15,50 mm e, en efecto, prodúceos cunha lonxitude media de 15,50 mm e unha desviación típica de 0,12 mm. Pasado un tempo, quérese comprobar se a máquina segue funcionando correctamente, pois se teñen sospeitas de que se desaxustou. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  12. 12. 1. Introdución• Exemplo 1: Temos que decidir se a lonxitude media segue sendo μ =15,50 ou, se pola contra, µ ≠ 15,50; en cuxo caso, ,54 mm x = 15 deberemos reaxustar xa µ = máquina. Para − 0,04 mm verificalo extraemos unha mostra de 90 parafusos e resulta que a media é x = 15,54 A diferenza x − μ = 0,04 pode deberse a que: A máquina se desaxustou e μ ≠ 15,50 A máquina funciona ben e a diferenza débese ao azar, consecuencia de elixir unha mostra x − µ = 0,04 mm Para decidir entre as dúas posibilidades faremos un contraste de hipóteses (Contraste de hipóteses para a media) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  13. 13. 1. Introdución• Exemplo 2: Segundo a información dada pola Universidade de Santiago, sabemos que a proporción de aprobados nas probas de acceso á Universidade é do 95%. Se queremos coñecer a veracidade desa información, consideraremos a hipótese: a proporción de aprobados nas probas de acceso á Universidade é igual a 95% e a contrastaremos coa información obtida a partir dunha mostra. (Contraste de hipóteses para a proporción) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  14. 14. 1. Introdución• Exemplo 3: Dúas empresas producen o mesmo tipo de motor para lavadoras. Ao cabo dos anos, estes motores tiveron unha duración similar, pero na actualidade, a segunda empresa afirma que os seus motores duran máis que os da primeira. Para determinar se aceptamos ou rexeitamos esta afirmación da empresa, podemos utilizar o contraste de hipóteses para a diferenza de medias.456456 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  15. 15. 2. Hipóteses estatísticas Unha hipótese estatística é unha afirmaciónrespecto a algunha característica dunhapoboación.  IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  16. 16. 2. Hipóteses estatísticasUnha hipótese estatística pode ser:• Paramétrica: é unha afirmación sobre os valores dos parámetros poboacionais descoñecidos.Clasifícanse en:• Simple: se a hipótese asigna valores únicos aos parámetros ( μ = 15, σ = 10, ...).• Composta: se a hipótese asigna un rango de valores aos parámetros poboacionais descoñecidos ( μ > 15, 5 < σ < 10, ...). IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  17. 17. 2. Hipóteses estatísticas • Non Paramétrica: É unha afirmación sobre algunha característica estatística da poboación en estudo. Por exemplo: • as observacións son independentes • a distribución da variable é normal • a distribución é simétrica, ... IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  18. 18. 3. Hipótese nula. Hipótese alternativa.O primeiro paso no contraste consiste enformular as seguintes hipóteses:A hipótese nula: denótase por H0 e é aafirmación que se considera verdadeira e quese quere contrastar.A hipótese alternativa: denotada por H1, é aafirmación contraria á formulada na hipótesenula. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  19. 19. 3. Hipótese nula. Hipótese alternativa.Observacións:1º.- A aceptación de H0 non implica que estasexa correcta, se non que os datos da mostranon proporcionaron evidencia suficiente comopara refutala. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  20. 20. 3. Hipótese nula. Hipótese alternativa.2º.- Se o experimentador quere apoiar concontundencia un determinado argumento édebido a que este non pode ser asumidogratuitamente e, polo tanto, só poderá serdefendido a través do rexeitamento doargumento contrario. Por exemplo, se un médico quere avalarempiricamente que unha nova vacina é efectiva,entón a hipótese nula será: H0: “A vacina non é efectiva” IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  21. 21. 3. Hipótese nula. Hipótese alternativa• Exemplo 1: Unha máquina prográmase para que produza parafusos de 15,50 mm. e, en efecto, prodúceos cunha lonxitude media de 15,50 mm. e unha desviación típica de 0,12 mm. Pasado un tempo, quérese comprobar se a máquina segue funcionando correctamente, pois se teñen sospeitas de que se desaxustou. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  22. 22. 3. Hipótese nula. Hipótese alternativa Para poder decidir,definimos como hipótesenula: • H0:“a máquina funcionaben”: μ=15,50 mm.E, polo tanto:• H1 : μ≠15,50 mm. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  23. 23. 3. Hipótese nula. Hipótese alternativa•Exemplo2: Segundo a información dada pola Universidade de Santiago, sabemos que a proporción de aprobados nas probas de acceso á Universidade é do 95%.• H0:“a proporción de aprobados é do 95% ”: p=0,95E, polo tanto:• H1: p≠0,95 mm IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  24. 24. 3. Hipótese nula. Hipótese alternativa• Exemplo 3: Dúas empresas producen o mesmo tipo de motor para lavadoras. Ao cabo dos anos, estes motores tiveron unha duración similar, pero na actualidade, a segunda empresa afirma que os seus motores duran máis que os da primeira. H0 : μ1-μ2 = 0E, polo tanto:• H1 : μ1-μ2 ‡ 0 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  25. 25. 4. Tipos de erros O contraste de hipóteses non establece a verdade da hipótese, senón un criterio que nos permite decidir se unha hipótese se acepta ou se rexeita segundo as mostras observadas difiren significativamente dos resultados esperados.•Neste proceso podemos incorrer en dous tipos de erros segundo sexa a situación real e a decisión que tomemos.  IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  26. 26. 4. Tipos de erros• Erro de tipo I: Rexeitamos a hipótesenula cando esta é certa.• Error de tipo II: Non rexeitamos ahipótese nula cando esta é falsa. As catro posibles situacións que podendar lugar a un contraste de hipótesesesquematízanse no seguinte cadro: IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  27. 27. 4. Tipos de erros H0 certa H0 falsa H0 rexeitada Erro tipo I Decisión correcta H0 non rexeitada Decisión Erro tipo II correcta A ter en conta: Os dous tipos de erros son incompatibles: só é posiblecometer un erro de tipo I se se rexeita a hipótese nula;mentres que o erro de tipo II está ligado ao nonrexeitamento da hipótese nula. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  28. 28. 5. Criterios de decisiónToda decisión esta suxeita a erro e, polo tanto,calquera criterio utilizado para optar por unhaou pola outra hipótese atenderá a controlar orisco de equivocarse.Temos dous posibles enfoques iniciais: Unicamente pretendemos controlar o risco decometer un erro de tipo I A decisión tomada garante probabilidadesprefixadas de antemán para ambos os douserros. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  29. 29. 5. Criterios de decisión Acoutar a probabilidade de erro de tipo I Esta proposta responde a aquelas situacións nas que o experimentador aposta inicialmente pola hipótese nula e só está disposto a rexeitala se a evidencia na súa contra é moi importante, preocupándose en menor medida de aceptala erroneamente. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  30. 30. 5. Criterios de decisión Exemplo: Nun proceso xudicial noque se decide entre ainocencia ou aculpabilidade do reo só serexeitará a hipótese nula(o acusado é inocente) sea evidencia das probasacerca da súa culpabilidadevai máis alá de calqueradúbida razoable. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  31. 31. 5. Criterios de decisiónDefinición:Chámase nivel de significación duncontraste, α, á probabilidade decometer un erro tipo I α = P ( “rexeitar H0” / ”H0 é certa” ) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  32. 32. 5. Criterios de decisión Fixar o nivel de significación é decidir de antemán a probabilidade máxima que se está disposto a asumir, de rexeitar a hipótese nula cando é certa. O nivel de significación o elixe o experimentador, aínda que os valores usados habitualmente son 0,1; 0,05 ou 0,01 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  33. 33. 5. Criterios de decisión•A selección dun nivel de significaciónleva a dividir en dúas rexións o conxuntode posibles valores do estatístico decontraste: – Unha de probabilidade α, coñecida como rexión de rexeitamento ou crítica. – Unha de probabilidade 1- α, coñecida como rexión de aceptación. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  34. 34. 5. Criterios de decisión•Se o estatístico de contraste toma unvalor pertencente á rexión de aceptación,non existen razóns suficientes pararexeitar a hipótese nula cun nivel designificación α e o contraste diseestatisticamente non significativo IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  35. 35. 5. Criterios de decisión•Se o valor do estatístico cae na rexiónde rexeitamento, entón asumimos un nivelde significación α, que os datos non soncompatibles coa hipótese nula e arexeitamos. Dise que o contraste éestatisticamente significativo IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  36. 36. 5. Criterios de decisión A ubicación das rexións de rexeitamento e de aceptación dependerá do tipo de hipótese alternativa. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  37. 37. 5. Criterios de decisión Para unha hipótese nula simple do tipo H0 : θ =θ0as hipóteses alternativas máis importantes son: – H0 : θ ‡ θ0 – Se α = P ( “rexeitar H0” / ”H0 é certa” ) – Entón a rexión de rexeitamento vén dada por: RRα = (-∞,d(1-α)/2)U(dα/2,+∞) Contraste bilateral IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  38. 38. 5. Criterios de decisión • Se H0 : θ≤θ0 Hα : θ > θ0 Entón a rexión de rexeitamento vén dadapor: – RRα = (dα ,+∞) Contraste unilateral dereito • Se H0 : θ≥θ0 Hα : θ < θ0 Entón a rexión de rexeitamento vén dadapor: RRα = (-∞,d(1-α)) Contraste unilateralesquerdo IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  39. 39. 5. Criterios de decisión• Prefixar a probabilidade de ambos os dous erros Existen situacións nos que incorrer nun erro de tipo II é tanto máis grave que cometer un erro de tipo I. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  40. 40. 5. Criterios de decisión• Exemplo: Na execución dunha proba para detectar a presenza dun virus, cuxo desenvolvemento pode ser mortal se non é medicado a tempo, realizouse o seguinte contraste:H0 : “ o virus non está presente”Hα : “ o virus si está presente” IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  41. 41. 5. Criterios de decisión Un erro de tipo Iimplicaría admitir aexistencia do viruserroneamente. A gravidade deincorrer nun erro de tipoII é evidente, xa queequivale a descartar ovirus cando o paciente sique o adquiriu. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  42. 42. 5. Criterios de decisiónEn situacións deste tipo, ademais deprefixar o nivel de significación, éconveniente precisar tamén aprobabilidade que se está disposto aasumir de non rexeitar a hipótese nulaerroneamente; incorrer nun erro de tipoII.Defínese : β = P ( “non rexeitar H0” / ”Hα é certa” ) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  43. 43. 5. Criterios de decisiónA ter en conta:• Fixado o nivel de significación, a probabilidade de erro de tipo II diminúe coa distancia entre H0 e Hα•A probabilidade de incorrer nun erro de tipo II diminúe (aumenta) se aumenta (diminúe) a probabilidade de cometer un erro de tipo I.•Só é posible diminuir simultaneamente as probabilidades de ambos os dous erros aumentando o tamaño mostral. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  44. 44. 6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses1ºpaso.- Especificar sen ambigüidade,as hipóteses nula e alternativa.Dependendo do sentido da hipótesealternativa, poderemos falar decontraste bilateral ou unilateral•Contraste bilateral: H1: p ‡ p0•Contraste unilateral: H1: p < p0 ou H1: p > p0 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  45. 45. 6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses 2º paso.- Fixar o nivel de significación O nivel de significación, α, é a probabilidade de rexeitar a hipótese nula cando esta é certa (Erro tipo I) Este nivel deberemos prefixalo de antemán e tomaremos valores pequenos (0,05; 0,01; 0,1) xa que determinaremos as rexións de aceptación e rexeitamento a partir deste nivel α. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  46. 46. 6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses 2º paso.- Fixar o nivel de significación Contrate bilateral Contrastes unilaterais IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  47. 47. 6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses3º paso.- Determinación do estatísticode contrasteTodos os estatísticos que imos utilizarnesta unidade, dependerán do parámetrosobre o cal se elaborou a hipótese nula. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  48. 48. 6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses Se a hipótese é sobre a media poboacional X −µ Z = σ n Se a hipótese é sobre a proporción poboacional ˆ p −p Z = p ⋅ (1 − p ) n Se a hipótese é sobre a diferenza de medias Z= (X 1 − X 2 ) − ( µ1 − µ 2 ) σ 12 σ 2 2 + n1 n2 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  49. 49. 6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses4ºpaso.- Determinar as rexións deaceptación e rexeitamento. Contraste bilateral N(0,1) RA en azul RR en rojo 1-α α/2 α/2 -zα/2 zα/2 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  50. 50. 6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses Contraste unilateral N(0,1) RA en azul RR en rojoesquerdo 1-α α -zα N(0,1) Contraste unilateral RA en azul RR en rojodereito 1-α α zα IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  51. 51. 6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses5º paso.- Tomar unha mostra dapoboación e calcular o valor deestatístico de contraste, elixido nopaso 3, para esta mostra concreta.A partir da mostra observadapodemos obter un valor concreto doestatístico de contraste. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  52. 52. 6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses6º paso.- Tomar a decisión de rexeitar ounon a hipótese nula, en función de que ovalor do estatístico valorado na mostraobservada se atope na rexión derexeitamento ou de aceptación.Unha vez obtido o valor concreto do estatísticona mostra e a rexión de aceptación poderemosdeterminar se este valor é consideradoaceptable ou non e, polo tanto, se aceptamosou rexeitamos a hipótese nula IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  53. 53. 6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses EXEMPLO 1: O concello de Carballo afirma queo 65% dos accidentes de tráficono que están implicados mozos sondebidos ao alcohol. Un investigadordecide contrastar dita hipótesepara o que toma unha mostraformada por 35 accidentes eobserva que 24 deles forondebidos ao alcohol Que podemos dicir sobre ainformación do concello? IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  54. 54. 6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses EXEMPLO 1:1º.- Definir as hipóteses nula e alternativa H0 : p = 0.65 Hα : p ‡ 0.652º.- Elixir o nivel de significaciónTomaremos como un bo nivel de significaciónα=0´01 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  55. 55. 6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses EXEMPLO 1:3º.- Determinación do estatístico decontrasteA hipótese realízase sobre a proporciónpoboacional; polo tanto, o estatístico decontraste é: ˆ p − p0 z =Estatístico de contraste p0 (1 − p0 ) n IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  56. 56. 6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses EXEMPLO 1:4º.- Determinación das rexións deaceptación e de rexeitamentoTrátase dun contraste bilateral, polotanto o valor crítico é zα/2 = 2.58 ;que é o valor que separa a rexión deaceptación da de rexeitamento. Rexión de aceptación (-2´58, 2´58) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  57. 57. 6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses5º.- Tomar unha mostra da poboación ecalcular o valor de estatístico de contrastepara esta mostra concreta. 24 p= ˆ = 0´686; n = 35 35 Tipificamo s : 0´686 − 0´65 z= = 0´444 0´65(1 − 0´65) 35 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  58. 58. 6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses6º.- Tomar a decisión de rexeitar ou non a hipótese nula, en función de que o valor do estatístico valorado na mostra observada se atope na rexión de rexeitamento ou de aceptación. Como 0´444 está no intervalo (-2´58, 2´58) acéptase a hipótese nula e dicimos, a un nivel do 1%, que a proporción de accidentes debidos ao alcohol é do 65% IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  59. 59. 6. Pasos para a construción dun contraste dehipóteses y 0.03 0.028 N(0,1) 0.026 RA en azul 0.024 RR en rojo 0.022 0.02 0.018 0.016 0.014 1-α=0.99 0.012 0.01 0.008 0.006 α/2=0.005 0.004 0.002 α/2=0.005 x -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -zα/2 =-2.58 -0.002 0.444 zα/2=2.58 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  60. 60. 7. Contraste de hipóteses para a mediaTemos unha poboación onde estudamosunha variable que segue N(μ,σ) con σcoñecida.Queremos contrastar a hipótese H0 : μ =μ0a partir dos resultados dunha mostra xde tamaño n para a cal a media mostral é IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  61. 61. 7. Contraste de hipóteses para a mediaPara isto seguiremos os seguintes pasos:1) Fixar o nivel de significación: α IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  62. 62. 7. Contraste de hipóteses para a media2) Establecer a hipótese alternativa Hipótese Tipo de Hipótese nula alternativa contraste μ = μ0 μ ‡ μ0 Bilateral Unilateral μ ≤ μ0 μ > μ0 dereita Unilateral μ ≥ μ0 μ < μ0 esquerda IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  63. 63. 7. Contraste de hipóteses para a media3) Elixir o estatístico de contraste x − μ0 z= segue unha N(0,1) σ n IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  64. 64. 7. Contraste de hipóteses para a media4) Construír a rexión de aceptación R. aceptaciónH0 Hα (-zα/2, zα/2) N(0,1) RA en azul RR en rojoμ = μ0 μ ‡ μ0 1-α α/2 α/2 - zα/2 N(0,1) zα/2 RA en azul (-∞, zα ) RR en rojo μ ≤ μ0 μ > μ0 1-α α N(0,1) zα RA en azul μ ≥ μ0 μ < μ0 (-zα, ∞) RR en rojo 1-α α - zα IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  65. 65. 7. Contraste de hipóteses para a media5) Verificación Se x ∈ R.A ⇒ Ho acéptase Se x ∉ R.A ⇒ Ho rexéitase IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  66. 66. 7. Contraste de hipóteses para a media Se σ é descoñecida e o tamaño da mostran é grande (n≥30) Farase como no caso anterior substituíndo avarianza poboacional σ2 pola cuasevarianzamostral ŝ2 Polo que o estatístico de contraste é x − μ0 z= sˆ n IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  67. 67. 7. Contraste de hipóteses para a media •EXEMPLO1: Crese que otempo medio de ocio queadican ao día osestudantes de Bacharelatosegue unha distribuciónN(350,60) (minutos). Paracontrastar esta hipótese,tómase unha mostraaleatoria de 100 alumnos eobsérvase que o tempomedio é 320 minutos. Quese pode dicir destaafirmación ao nivel do10%? IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  68. 68. 7. Contraste de hipóteses para a media EXEMPLO 1:1º.- Formulamos as hipóteses: H0 : μ = 350 Hα : μ ‡ 3502º.- O nivel de significación é α = 0´1 x − μ03º.- Estatístico de contraste z= σ n4º.- Rexión de aceptación (-1´645, 1´645) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  69. 69. 7. Contraste de hipóteses para a media5º. - Tipificamo sx = 320; n = 100; σ = 60 320 − 350z= = −5 60 100 6º.- Como -5 non está no intervalo (-1.645, 1.645) rexéitase a hipótese nula e, polo tanto, ao nivel do 10%ponse en dúbida que o tempo medio adicado ao ocio polosalumnos sexa 350 minutos. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  70. 70. 7. Contraste de hipóteses para a media y N(0,1) RA en azul RR en rojo 1-α α/2 α/2 x -5 -zα/2=-1.645 zα/2=1.645 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  71. 71. 7. Contraste de hipóteses para a media EXEMPLO2: Quérese contrastar o contidode azucre de distintoscargamentos de remolacha.Sábese que o contido medio deazucre para remolacha deregadío é do 18% e con mediasuperior para o de secano, sendoa desviación típica 6% paraambos os dous casos. Tómaseunha mostra de 20 cargamentos.Que valor da media permitirátomar a decisión se é de secanoou de regadío ao nivel do 5%? IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  72. 72. 7. Contraste de hipóteses para a media EXEMPLO 2:1º.- Formulamos as hipóteses: H0 : μ ≤ 18 Hα : μ > 182º.- O nivel de significación é α = 0´05 x − μ03º.- Estatístico de contraste z= σ n4º.- Rexión de aceptación (-∞, 1´645) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  73. 73. 7. Contraste de hipóteses para a media y N(0,1) RA en azul RR en rojo 1-α=0.95 α=0.5 x zα=1.645 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  74. 74. 7. Contraste de hipóteses para a media5º. - Tipificamosx = ?; n = 20; σ = 6 x − 18z= 6 20 x − 186º. - < 1.645 ⇒ x < 20,2% 6 20 Polo tanto, 20´2% é o punto crítico que nos permitirá tomar adecisión se é de secano ou de regadío ao nivel do 5%. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  75. 75. 8. Contraste de hipóteses para a proporción Temos unha distribución binomial deparámetros B(n,p) e queremos contrastar o valorde p H0 : p = p0 Para iso eliximos unha mostra de tamaño n naque obtivemos que ˆ p=p IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  76. 76. 8. Contraste de hipóteses para a proporciónPara iso seguiremos os seguintes pasos:1) Fixar o nivel de significación: α IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  77. 77. 8. Contraste de hipóteses para a proporción2) Establecer a hipótese alternativa Hipótese Tipo de Hipótese nula alternativa contraste p = p0 P ‡ p0 Bilateral Unilateral p ≤ p0 p > p0 dereita Unilateral p ≥ p0 p < p0 esquerda IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  78. 78. 8. Contraste de hipóteses para a proporción3) Elixir o estatístico de contraste p − p0 ˆ z= segue unha N(0,1) p0 (1 − p0 ) n IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  79. 79. 8. Contraste de hipóteses para a proporción4) Construír a rexión de aceptación R. aceptaciónH0 Hα (-zα/2, zα/2) N(0,1) RA en azul RR en rojop = p0 p ‡ p0 1-α α/2 α/2 - zα/2 N(0,1) zα/2 RA en azul (-∞, zα ) RR en rojo p ≤ p0 p > p0 1-α α N(0,1) zα RA en azul p ≥ p0 p < p0 (-zα, ∞) RR en rojo 1-α α - zα IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  80. 80. 8. Contraste de hipóteses para a proporción5) Verificación Se p ∈ R.A ⇒ Ho acéptase ˆ Se p ∉ R.A ⇒ Ho rexéitase ˆ IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  81. 81. 8. Contraste de hipóteses para a proporción EXEMPLO1: Ronald A. Fisher comenza a súa obra “Deseño de experimentos” co seguinte exemplo: Unha dama afirma que o sabor dunha taza de té con leite é distinto cando se verte antes o leite que o té. Para contrastar esta afirmación prepáranse 10 tazas de té; en 5 de elas vértese antes o leite e nas 5 restantes, antes o té. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  82. 82. 8. Contraste de hipóteses para a proporción A continuación, a dama proba en orde aleatoria as 10 cuncas e acerta en 8 das 10. Este feito é unha evidencia significativa a favor da hipótese? Para contestar a esta pregunta estudaremos cada un dos pasos que deberemos seguir na resolución de calquera problema de contraste de hipóteses. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  83. 83. 8. Contraste de hipóteses para a proporción1º.- Definir as hipóteses nula e alternativaTomaremos como hipótese nula a máis conservadoraH0 : “O sabor dunha cunca de té é indiferente daorde no que se verten o leite e o té”e como hipótese alternativa, a nova información quetemosH1 : “O sabor dunha cunca de té é distinto se severte primeiro o leite e logo o té ou se se fai aocontrario” IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  84. 84. 8. Contraste de hipóteses para a proporción Estas hipóteses verifícanse se ao elixirunha mostra, a proporción de acertos éigual a 0,5 ou maior ca 0,5 .Polo tanto: p=0,5 p>0,5 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  85. 85. 8. Contraste de hipóteses para a proporción2º.- Fixar o nivel de significación Tomaremos como un bo nivel designificación α=0,05 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  86. 86. 8. Contraste de hipóteses para a proporción3º.-Determinación do estatístico de contraste A hipótese realízase sobre a proporciónpoboacional; polo tanto, o estatístico decontraste é: p−p ˆ p − 0,5 ˆ p − 0,5 ˆ Z= = = p( 1 − p) 0,5( 1 − 0,5 ) 0,16 n 10 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  87. 87. 8. Contraste de hipóteses para a proporción 4º.- Determinación das rexións deaceptación e de rexeitamento Trátase dun contraste unilateral, polotanto, o valor crítico é zα = 1.645 ; que é ovalor que separa a rexión de aceptación dade rexeitamento. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  88. 88. 8. Contraste de hipóteses para a proporción y N(0,1) RA en azul RR en rojo 1-α=0.95 α=0.5 x zα=1.645 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  89. 89. 8. Contraste de hipóteses para a proporción5º.- Tomar unha mostra da poboación e calcular ovalor de estatístico de contraste para esta mostraconcreta. p − 0,5 ˆO estatístico elixido é : Z = 0,16Na mostra coa que traballamo s ( as 10 cuncas de té ) 0,8 - 0,5o valor do estatístico é = 1,875 0,16 ˆ = 8 = 0,8xa que p 10 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  90. 90. 8. Contraste de hipóteses para a proporción 6º.- Tomar a decisión de rexeitar ou non a hipótesenula, en función de que o valor do estatísticovalorado na mostra observada se atope na rexión derexeitamento ou de aceptación. Como 1,875 > 1,65, este valor está dentro da rexiónde rexeitamento e polo tanto, rexeitamos a hipótese deque o sabor dunha taza de té é independente da orde naque se mesturen o té e o leite cun nivel de significacióndo 5% IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  91. 91. 8. Contraste de hipóteses para a proporción y N(0,1) RA en azul RR en rojo 1-α=0.95 α=0.5 x zα=1.645 1.875 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  92. 92. 8. Contraste de hipóteses para a proporción •EXEMPLO 2: Un adestrador asegura que osseus xogadores encestan máisdo 92% dos tiros libres nosadestramentos. Co fin decontrastar esta afirmaciónescolleuse aleatoriamente unhamostra de 60 lanzamentos, dosque 42 entraron na canastra.Estes resultados, poñen endúbida a afirmación doadestrador ou non? IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  93. 93. 8. Contraste de hipóteses para a proporción EXEMPLO 2:1º.- Formulamos as hipóteses: H0 : p ≥ 0.92 Hα : p < 0.922º.- Eliximos como nivel de significación α = 0´1 p − p0 ˆ z=3º.- Estatístico de contraste p0 ( 1 − p0 ) n4º.- Rexión de aceptación (-1,28, ∞) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  94. 94. 8. Contraste de hipóteses para a proporción 425º. - Tipificamos : p = ˆ = 0´7; n = 60 60 0´7 − 0´92 z= = −6´28 0´92(1 − 0´92) 606º. - Como - 6,28 ∉ ( - 1´28, ∞ ) rexéitase a hipótese nula e ponse en dúbida, aun nivel do 10%, a afirmación do adestrador. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  95. 95. 8. Contraste de hipóteses para a proporción y N(0,1) 0.024 0.022 RA en azul 0.02 RR en rojo 0.018 0.016 0.014 1-α=0.9 0.012 0.01 0.008 0.006 α=0.1 0.004 0.002 x -6 -5.5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 -zα=-1.28 -6.28 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  96. 96. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza de mediasTemos dúas poboacións normais, N(μ1,σ1) y N(μ2,σ2)con desviacións típicas coñecidas.Queremos contrastar a hipótese H0 : μ1- μ2=v Para iso collemos unha mostra de cada unha daspoboacións de tamaños n1 e n2Nesas mostras obtivemos as medias mostrais: x1 e x2 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  97. 97. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza demediasPara iso seguiremos os seguintes pasos:1) Fixar o nivel de significación: α IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  98. 98. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza demedias.2) Establecer a hipótese alternativa Hipótese Tipo de Hipótese nula alternativa contraste μ1-μ2 = v μ1-μ2 ‡ v Bilateral Unilateral μ1-μ2 ≤ v μ1-μ2 > v dereita Unilateral μ1-μ2 ≥ v μ1-μ2 < v esquerda IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  99. 99. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza demedias3) Elixir o estatístico de contraste z= (x − x ) − ( μ − μ ) segue unha N(0,1) 1 2 1 2 σ2 σ 2 1 + 2 n1 n2 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  100. 100. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza demedias4) Construir a rexión de aceptaciónH0 Hα R. aceptación N(0,1) μ1-μ2 = v RA en azul RR en rojo μ1-μ2 ‡ v (-zα/2, zα/2) 1-α α/2 α/2 - zα/2 N(0,1) zα/2 RA en azul RR en rojo 1-α μ1-μ2 ≤ v μ1-μ2 > v (-∞, zα ) N(0,1) RA en azul RR en rojo zα α μ1-μ2 ≥ v μ1-μ2 < v (-zα, ∞) 1-α α - zα IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  101. 101. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza demedias5) Verificación Se x1 − x2 ∈ R.A ⇒ Ho acéptase Se x1 − x2 ∉ R.A ⇒ Ho rexéitase IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  102. 102. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza demedias •EXEMPLO: Co fin de determinar se existendiferenzas significativas entre dous grupos deestudantes, realizamos o mesmo exame a 30alumnos do primeiro grupo e a 35 do segundo;obténdose a seguinte información: Nota media Desviación típica 1º grupo 5,5 0,5 2º grupo 5,2 1 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  103. 103. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza demedias •EXEMPLO:Dexesamos contrastar a hipótesesobre a non existencia de diferenzassignificativas entre ambos os dous grupos cunnivel de significación do 1%. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  104. 104. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza demedias EXEMPLO :1º.- Formulamos as hipóteses: H0 : μ1-μ2 = 0 Hα : μ1-μ2 ‡ 02º.- Eliximos como nivel de significación α = 0´01 z= (x − x ) − ( μ − μ ) 1 2 1 23º.- Estatístico de contraste σ12 σ2 2 + n1 n24º.- Rexión de aceptación (-2.575, 2.575) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  105. 105. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza demedias5º. − Tipificamos :x1 − x2 = 5´5 − 5´2; n1 = 30; n2 = 35; σ1 = 0´5; σ2 = 1z= ( 5´5 − 5´2) − 0 = 1´56 0´52 12 + 30 356º. - Como 1´56 ∈ ( - 2´575, 2.575 )acéptase a hipótese sobre a non existencia dediferenzas significativas entre os grupos. IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  106. 106. 9. Contraste de hipóteses para a diferenza demedias y 0.028 0.026 N(0,1) 0.024 0.022 RA en azul RR en rojo 0.02 0.018 0.016 0.014 1-α=0.99 0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 α/2=0.005 α/2=0.005 0.002 x -3.4 -3.2 -3 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 -zα/2=-2.575 1.56 zα/2=2.575 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  107. 107. 10. Relación entre contraste de hipóteses eintervalos de confianza Existe unha gran relación entre o intervalo deconfianza para un parámetro dunha distribucióne un contraste de hipóteses relativo ao mesmo. Exemplo: Formulamos a hipótese de que a mediaμ dunha distribución toma un determinado valor. Construímos o intervalo de confianza para unhamostra particular. Cando este intervalo nonconteña o valor μ0 equivalerá a rexeitar ahipótese nula H0 : μ = μ0 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  108. 108. 10. Relación entre contraste de hipóteses eintervalos de confianza•EXEMPLO: O gremio de restaurantes de Carballo afirma que o prezo medio do menú do día é de 8 euros e queremos contrastar esta hipótese. Para iso faremos:Paso 1º.- Hipótese nula: H0 : μ = 8 € Hipótese alternativa: Hα : μ ‡ 8 €Paso 2º.- Fixamos o nivel de significación α=0,05 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  109. 109. 10. Relación entre contraste de hipóteses eintervalos de confianza EXEMPLO: x − μ0Paso 3º.- O estatístico de contraste é z = sˆ nPaso 4º.- Determinar a rexión de aceptación (-zα/2, zα/2) = (-1.96, 1.96) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  110. 110. 10. Relación entre contraste de hipóteses eintervalos de confianza EXEMPLO: Paso 5º.-Eliximos unha mostra aleatoria de 40restaurantes e obtemos que o prezo medio damostra e a desviación típica mostral son:x = 8,25 euros e s = 0,80 euros ˆ 8,25 − 8Tipifiquemos ese valor z = = 1´976 0,80 40 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  111. 111. 10. Relación entre contraste de hipóteses eintervalos de confianza EXEMPLO: Paso 6º.-Rexeitamos a hipótese nula xa que existe evidencia suficiente de que o prezo do menú sexa distinto de 8 euros 1,976 non está na rexión de aceptación (-1.96, 1.96) IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  112. 112. 10. Relación entre contraste de hipóteses eintervalos de confianza y 0.028 0.026 N(0,1) 0.024 0.022 RA en azul RR en rojo 0.02 0.018 0.016 0.014 1-α=0.95 0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 α/2=0.025 α/2=0.025 0.002 x -3.4 -3.2 -3 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 -zα/2=-1.96 zα/2=1.96 1.976 IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
  113. 113. 10. Relación entre contraste de hipóteses eintervalos de confianza EXEMPLO: Achemos agora un intervalo de confianza para a mediapoboacional ao nivel do 5%  s   ˆ 0,80  IC =  x ± z α   =  8,25 ± 1,96   = ( 8´002, 8´498 )  2 n  40 Polo tanto μ0 = 8 ∉ ( 8´002, 8´498 ) O intervalo de confianza non cobre o valor da mediapoboacional ao nivel de significación do 5% IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.

×