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MEDICIONES Y ERRORES
I. OBJETIVOS:
1. Describir, identificar y reconocer los diversos instrumentos de medida, e interpretar
sus lecturas mínimas.
2. Describir, entender y aplicar las características de las mediciones directas e indirectas.
3. Explicar el grado de precisión o/y propagación de incertidumbres en los procesos de
medición.
II. MARCO TEORICO:
La importancia de las mediciones crece permanentemente en todos los campos de la ciencia y la
técnica. ¿Qué es Medir? Medir es comparar dos cantidades de la misma magnitud, tomando
arbitrariamente una de ellas como unidad de medida.
La magnitud a medir se representa según la ecuación básica de mediciones:
Magnitud a medir Valor numérico de la magnitud unidad de la magnitud (S.I)
M = nU
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2
Ejemplo: 110 KPa, 20Kg, 25m, 30s, 28° C.
En el proceso de medir, conocemos qué tan confiable es la medición realizada para su interpretación
y evaluación.
La medición es Directa e Indirecta.
Cuando se tienen, por ejemplo, unas diez medidas directas, expresadas con el mismo valor, entonces la
variable que se mide es estable. La medida directa que no tiene un valor único exacto se expresa de la
siguiente manera:
𝑋 = 𝑥 ± ∆𝑥
Valor real Medida i-ésima Error o incertidumbre
Medida del largo del libro de Física I. Alonso Finn, con una regla métrica.
l  225,0  0,5mm
Si se toman más de 5 medidas directas en las mismas condiciones anteriores y éstas presentan
variación en sus valores, decimos que esto corresponde a fluctuaciones que están en un entorno o
intervalo de valores. Estas diferencias indican la imposibilidad de encontrar el valor real.
Las n-mediciones directas realizadas, con n grande, se pueden tratar estadísticamente mediante la
Teoría de la Medición. El valor real de la medida queda expresado por:
𝑋 = 𝑥 ± ∆𝑥
Valor real Medida promedio Error o incertidumbre
MEDICIONES
Mediciones Directas
El valor de la magnitud
desconocida se obtiene
por comparación con una
unidad conocida (patrón).
Mediciones Indirectas
El valor se obtiene
calculándolo a partir de
fórmulas que vinculan una o
mas medidas directas
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3
ERRORESSISTEMÁTICOS
•Son los errores
relacionados con la
destreza del
operador.
•- Error de paralaje
(EP), este error tiene
que ver con la
postura que toma el
operador para la
lectura de la
medición.
•-Errores Ambientales
y Físicos (Ef), al
cambiar las
condiciones
climáticas, éstas
afectan las
propiedades físicas de
los instrumentos:
dilatación,
resistividad,
conductividad, etc.
•También se incluyen
como errores
sistemáticos, los
errores de cálculo, los
errores en la
adquisición
automática de datos y
otros.
•La mayoría de los
errores sistemáticos
se corrigen, se
minimizan o se
toleran; su manejo,
en todo caso,
depende de la
habilidad del
experimentador.
ERRORESDELINSTRUMENTODEMEDICIÓN
•Son los errores
relacionados con la
calidad de los
instrumentos de
medición:
•- Error de lectura
mínima (ELM).
Cuando la expresión
numérica de la
medición resulta estar
entre dos marcas de la
escala de la lectura del
instrumento. La
incerteza del valor se
corrige tomando la
mitad de la lectura
mínima del
instrumento.
•Ejemplo: Lectura
mínima de 1/25mm
ELM = 1/2(1/25mm) =
0,02mm
•- Error de cero (Eo), es
el error propiamente
de los instrumentos
no calibrados.
•Ejemplo: cuando se
tiene que las escalas
de lectura mínima y
principal no
coinciden, la lectura
se verá que se
encuentra desviada
hacia un lado del cero
de la escala. Si esta
desviación fuera
menor o
aproximadamente
igual al error de
lectura mínima,
entonces Eo es Eo=
ELM
ERRORESALEATORIOS
•Son los errores
relacionados en
interacción con el
medio ambiente, con
el sistema en estudio,
aparecen aun cuando
los errores
sistemáticos hayan
sido suficientemente
minimizadas,
balanceadas o
corregidas.
•Los errores aleatorios
se cuantifican por
métodos estadísticos.
Si se toman n-
mediciones de una
magnitud física x,
siendo las lecturas x1,
x2, x3,…, xn ; el valor
estimado de la
magnitud física x, se
calcula tomando el
promedio de la
siguiente manera:
•La diferencia de cada
medida respecto de X
se llama desviación. El
grado de dispersión de
la medición,
estadísticamente se
llama desviación
estándar de la media
y se le calcula de la
siguiente forma:
•El error aleatorio Ea
para un número
pequeño de
mediciones (<100) es:
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4
EXPRESIÓN DE LA MEDIDA.
 El valor de la medida en función del error relativo es:
 El valor de la medida en función del error porcentual es:
Comparando el valor experimental, con el valor que figura en las tablas (Handbook), al cual llamaremos valor
teórico, se tiene otra medida que se conoce como error experimental.
Que expresado como error experimental porcentual es:
Si al medir los primeros valores (alrededor de 5 medidas) de una magnitud se observa que la desviación
estándar (σ) es muy pequeña comparada con el error del instrumento (Ei ), no habrá necesidad de tomar una
gran cantidad de datos para encontrar el valor promedio. Las medidas que tengan una desviación mayor
que tres veces la desviación estándar, se recomienda descartarlas.
PRECISIÓN PARA LAS MEDICIONES INDIRECTAS
1. FUNCIONES DE UNA VARIABLE: Sea “Y” una magnitud física que depende de otra magnitud física “X” es
decir:
Y= f(x)
El error de “y”, cuando se conoce “x” viene dado por: dy = | ∂f(x) / ∂x | dx
Reemplazando dy por ∆y tenemos: ∆y = |f’(x)| ∆x
Así, el valor final de la medición será: y ± ∆y
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5
2. FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES: Si la magnitud “Y” viene determinada por la medida de varias
magnitudes p, q, r, etc., con la que está ligada por la función y=f (p, q,r,…)
El error de la magnitud “y” viene dado por la expresión.
Asi, el valor final de la medición será: y ± ∆y
Las medidas indirectas son afectadas por los errores de las mediciones directas. Estos errores se “propagan”
cuando se calcula el valor de la medición indirecta.
Si Z = Z(A,B) expresa una magnitud física cuya medición se realiza indirectamente; A y B son ambas medidas
directas, ambas indirectas o una directa y la otra indirecta tal que:
Las medidas indirectas se calculan mediante las fórmulas que ahora analizaremos.
i. Si Z resulta de adiciones y/o sustracciones Z = A ± B, entonces:
ii. Si Z resulta de multiplicaciones o divisiones: Z = A * B ó Z = A ÷ B , entonces:
iii. Si Z resulta de una potenciación: Z = kA n
, entonces:
Finalmente, la expresión de la medida indirecta en cualquiera de los casos anteriores será:
ERRORES DEL INSTRUMENTO DE MEDICIÓN
 Instrumentos analógicos
Error = ½*(mínima división)
 Error REGLA = ½*(1mm) = 0.5 mm = 0.05 cm = 5* 10 −2
cm
 Error BALANZA = ½*(0.1 g) = 0.05 g = 5* 10 −2
g
 Error VERNIER = ½*(0.002 cm) =0.001 cm = 10 −3
cm
 Instrumentos digitales
Error = mínima división
 Error CRONÓMETRO = 1/100 s = 0.01 s = 10 −2
s
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Método de regresión lineal por MÍNIMOS CUADRADOS
Si la distribución de puntos en la gráfica es de tendencia lineal, entonces, se realiza el ajuste de la recta
mediante el método de regresión lineal por mínimos cuadrados. Esto significa que la relación que se busca tiene la
forma de una recta cuya ecuación es: y= mx + b
En donde las constantes a determinar son: m la pendiente de la recta y b la ordenada en el origen
(intercepto), siguiendo el procedimiento que se detalla a continuación.
Primero se construye una tabla de la forma:
Luego se calculan la pendiente y el intercepto.
III. EQUIPO:
 Un soporte metálico, con su mordaza
 Una cinta métrica
 Un cronometro
 Un vernier
 Una varilla metálica
 Una balanza
 Un resorte
 Cinco objetos circulares de diferente diámetro
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IV. PROCEDIMIENTO
1. Elija uno de los objetos circulares y mida cinco veces con el vernier: su diámetro “D”, y su
espesor “h”. Luego anote en la tabla N°1
2. Utilizando la balanza mida 5 veces la masa “m”, del objeto circular anteriormente elegido y anote
en la tabla N° 1
Tabla N° 1
N° de medidas 1 2 3 4 5
Diámetro “cm” 3.200 ± 10 −3
3.190 ± 10 −3
3.180 ± 10 −3
3.200 ± 10 −3
3.210 ± 10 −3
Masa “g” 307.3 ± 0.05 307.4 ± 0.05 307.6 ± 0.05 307.4 ± 0.05 307.2 ± 0.05
Espesor “cm” 5.080 ± 10 −3
5.030 ± 10 −3
5.050 ± 10 −3
5.070 ± 10 −3
5.090 ± 10 −3
3. Arme el equipo que corresponde al resorte, tal como indica la figura. Para una amplitud de igual a
3cm, mida el tiempo de 10 oscilaciones, 5 veces y anote sus resultadlos en la tabla N°2
Tabla N°2
N° de
medidas
1 2 3 4 5
Tiempo (s) 4.20 ± 10 −2
4.00 ± 10 −2
4.53 ± 10 −2
4.45 ± 10 −2
4.39± 10
−2
4. Utilizando la cinta métrica mida el perímetro circular de cada uno de los cinco objetos circulares
y anote sus resultados en la tabla N°3
5. Con el vernier mida el diámetro de los cinco objetos circulares y anótelos en la tabla N°3
N° de
medidas
1 2 3 4 5
Diámetro
(cm)
13.320 ± 10
−3
12.140 ± 10 −3
7.340 ± 10 −3
13.060 ± 10
−3
13.128 ± 10 −3
Perímetro
(cm)
42.4 ± 10 −2
38.6 ± 10 −2
23.3 ± 10 −2
42.8 ± 10 −2
41.4 ± 10 −2
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V. OBSERVACIONES EXPERIMENTALES
1. ¿Cuáles son los valores de los errores instrumentales que corresponden a cada
instrumento utilizado en los experimentos?
 Instrumentos analógicos
Error = ½*(mínima división)
 Error REGLA = ½*(1mm) = 0.5 mm = 0.05 cm = 5* 10 −2
cm
 Error BALANZA = ½*(0.1 g) = 0.05 g = 5* 10 −2
g
 Error VERNIER = ½*(0.002 cm) =0.001 cm = 10 −3
cm
 Instrumentos digitales
Error = mínima división
 Error CRONÓMETRO = 1/100 s = 0.01 s = 10 −2
s
2. ¿Qué unidades fundamentales se utilizaron en el experimento?
 Masa
 Longitud
 Tiempo
3. ¿En qué parte del experimento se cometió el error de paralaje?
En el procedimiento 1, 2, 4 y 5 por que este error tiene que ver con la postura que toma el
operador para la lectura de la medición.
4. ¿Cuál es la precisión en las mediciones directas?
Error = ½*(mínima división)
Error = mínima división
5. ¿Cuál de los instrumentos de medida de longitud es de mayor sensibilidad? ¿Por qué?
Es el vernier ya que nos da un número de incertidumbre menor a los demás instrumentos
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VI. ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES
1. Con los datos de la tabla N°1 determine el valor final del diámetro exterior, el valore final de
la masa y el valor final del espesor del objeto circular, haciendo uso de las reglas
mencionadas en el fundamento teórico.
Solución:
Teniendo en cuenta:
𝑋 = 𝑋 ± ℮𝜌
Donde:
𝑋 =
∑ 𝑋𝑖𝑛
𝑖 =1
𝑛
𝑒 𝑝 =
𝜎𝑥
√ 𝑛
Con
𝜎𝑥 = √
∑ 𝛿𝑖
2𝑛
𝑖=1
𝑛 − 1
𝛿𝑖 = |𝑥𝑖 − 𝑋|
Entonces, resolviendo cuidadosamente comenzaremos:
Diámetro exterior:
𝑋 =
3.200 + 3.190 + 3.180 + 3.200 + 3.210
5
= 3.196
𝛿1 = |3.200 − 3.196| = 0.004 → 𝛿1
2
= 1.6 ∗ 10−5
𝛿2 = |3.190 − 3.196| = 0.006 → 𝛿2
2
= 3.6 ∗ 10−5
𝛿3 = |3.180 − 3.196| = 0.016 → 𝛿3
2
= 2.56 ∗ 10−4
𝛿4 = |3.200 − 3.196| = 0.004 → 𝛿4
2
= 1.6 ∗ 10−5
𝛿5 = |3.210 − 3.196| = 0.014 → 𝛿5
2
= 1.96 ∗ 10−4
∑ 𝛿𝑖
2
𝑛
𝑖=1
= 5.2 ∗ 10−4
Seguidamente:
𝜎𝑥 = √
5.2 ∗ 10−4
5 − 1
= 0.0114075425
Ahora:
𝑒 𝑝 =
0.0114075425
√5
= 5.099 ∗ 10−3
Entonces el diámetro exterior final es:
𝑋 = 𝑋 ± ℮𝜌
𝑋 = (3.190 ± 5.099 ∗ 10−3
)𝑐𝑚
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10
Masa final:
𝑋 =
307.3 + 307.4 + 307.6 + 307.4 + 307.2
5
= 307.38
𝛿1 = |307.3 − 307.38| = 0.08 → 𝛿1
2
= 6.4 ∗ 10−3
𝛿2 = |307.4 − 307.38| = 0.02 → 𝛿2
2
= 4 ∗ 10−4
𝛿3 = |307.6 − 307.38| = 0.22 → 𝛿3
2
= 0.0484
𝛿4 = |307.4 − 307.38| = 0.02 → 𝛿4
2
= 4 ∗ 10−4
𝛿5 = |307.2 − 307.38| = 0.18 → 𝛿5
2
= 0.0324
∑ 𝛿𝑖
2
𝑛
𝑖=1
= 0.088
Seguidamente:
𝜎𝑥 = √
0.088
5 − 1
= 0.4883239697
Ahora:
𝑒 𝑝 =
0.4883239697
√5
= 0.06633
Entonces la masa final es:
𝑋 = 𝑋 ± ℮𝜌
𝑋 = (307.38 ± 0.066 )𝑔
Espesor:
𝑋 =
5.080 + 5.030 + 5.050 + 5.070 + 5.090
5
= 5.064
𝛿1 = |5.080 − 5.064| = 0.016 → 𝛿1
2
= 2.56 ∗ 10−4
𝛿2 = |5.030 − 5.064| = 0.034 → 𝛿2
2
= 1.156 ∗ 10−3
𝛿3 = |5.050 − 5.064| = 0.014 → 𝛿3
2
= 1.96 ∗ 10−4
𝛿4 = |5.070 − 5.064| = 0.006 → 𝛿4
2
= 3.6 ∗ 10−5
𝛿5 = |5.090 − 5.064| = 0.026 → 𝛿5
2
= 6.76 ∗ 10−4
∑ 𝛿𝑖
2
𝑛
𝑖=1
= 2.32 ∗ 10−3
Seguidamente:
𝜎𝑥 = √
2.32 ∗ 10−3
5 − 1
= 0.02408318916
Ahora:
𝑒 𝑝 =
0.02408318916
√5
= 0.01077032961
Entonces el diámetro exterior final es:
𝑋 = 𝑋 ± ℮𝜌
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11
𝑋 = (5.064 ± 0.01077)𝑐𝑚
2. Halle el valor relativo y porcentual de las anteriores medidas, tomando en cuenta los
procedimientos mostrados en el marco teórico (para un conjunto de medidas).
Solución:
Teniendo en cuenta:
El error relativo está dado por:
𝑒 𝑟 =
𝑒 𝑝
𝑋
El error porcentual: 𝑒% =
𝑒 𝑝
𝑋
× 100%
Seguidamente:
Diámetro exterior:
𝑒 𝑟 =
5.099 ∗ 10−3
3.196
= 1.595 ∗ 10−3
𝑒% =
5.099 ∗ 10−3
3.196
× 100% = 0.1595
Masa final:
𝑒 𝑟 =
0.06633
307.38
= 2.1579 ∗ 10−4
𝑒% =
0.06633
307.38
× 100% = 0.021579
Espesor:
𝑒 𝑟 =
0.01077032961
5.064
= 2.12684 ∗ 10−3
𝑒% =
0.01077032961
5.064
× 100% = 0.212684
3. Haciendo uso de los resultados anteriores, hallar el área circular (A = A ± eA); volumen (V =
V ± ev) y la densidad ( ρ=ρ ± eρ)
Solución:
 Teniendo en cuenta: 𝐴 = 𝐴 ± ∆𝐴
𝐴 = 𝜋𝑅2
, 𝐴 = 𝑓(𝑅)
𝑑𝑦 = 2𝜋𝑅𝑑𝑅
∆𝐴 = 2𝜋𝑅∆𝑅
Donde:
∆𝑅 = 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑛𝑖𝑒𝑟
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12
∆𝑅 = 10−3
𝑐𝑚
∆𝐴 = 2𝜋𝑅∆𝑅 = 2𝜋 (
3.190
2
) (10−3) = 0.01002168 𝑐𝑚2
𝐴 = 𝜋𝑅2
= 𝜋
3.190
2
2
= 7.99229𝑐𝑚2
𝐴 = (7.99229 ± 0.01002 )𝑐𝑚2
 Teniendo en cuenta: 𝑉 = 𝑉 ± ∆𝑉
𝑉 = 𝜋𝑅2(ℎ) , 𝑉 = 𝐹(𝑅, ℎ)
𝜕𝑉
𝜕𝑅
= 𝜋ℎ(2𝑅) = 𝜋(5.064)2(1.595) = 56.1614
𝜕𝑉
𝜕ℎ
= 𝜋𝑅2
= 𝜋(1.595)2
= 7.99229
∆𝑉 = √(
𝜕𝑉
𝜕𝑅
∆𝑅)
2
− (
𝜕𝑉
𝜕ℎ
∆ℎ)
2
Donde:
𝜕𝑅 = 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑛𝑖𝑒𝑟 = 10−3
𝑐𝑚
𝜕ℎ = 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑛𝑖𝑒𝑟 = 10−3
𝑐𝑚
𝑉 = 𝜋 (
3.19
2
2
) (5.064) = 40.47296 𝑐𝑚3
∆𝑉 = √(56.1614 ∗ 10−3
)2 − (7.99229 ∗ 10−3
)2 = 55.58 ∗ 10−3
𝑉 = (40.47296 ± 0.05558)𝑐𝑚3
 Teniendo en cuenta: 𝜌 = 𝜌 ± ∆𝜌
𝜌 =
𝑚𝑎𝑠𝑎
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛
=
𝑚
𝑉
, 𝜌 = 𝑓(𝑚, 𝑣)
Reemplazando:
𝜌 =
307.38
40.47296
= 7.594700264
𝑔
𝑐𝑚3⁄
Aplicando la derivada:
∆𝜌 = 𝑘
𝑚
𝑣
√(
∆𝑚
𝑚
)
2
+ (
∆𝑉
𝑉
)
2
∆𝜌 = 1
307.38
40.47296
√(
0.066
307.38
)
2
+ (
0.05558
40.47296
)
2
∆𝜌 = 7.594700264 √4.61037 ∗ 10−8 + 1.88585 ∗ (10)−6
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13
∆𝜌 = 7.594700264 √1.931954 ∗ 10−3
∆𝜌 = 0.01055623397
Valor final de la densidad:
𝜌 = (7.59470 ± 0.01056)
𝑔
𝑐𝑚3⁄
4. Con los datos de la tabla N°2 determine le valor promedio de las 10 oscilaciones del péndulo
con su respectivo error haciendo el uso de la relación funcional P=f (t), donde t es el tiempo
de oscilación. Escriba el valor final haciendo el uso de las reglas mencionadas en el marco
teórico.
Solución:
Teniendo en cuenta:
𝑃𝐹 = 𝑃̅ ± ∆𝑃
𝑃 = 𝑓(𝑡),
Donde:
𝑡 = 4.20 + 4.00 + 4.53 + 4.15 + 4.39 = 21.27
𝑃̅ =
𝑡̅
𝑛
=
1
5
𝑡̅ =
1
5
∗ 21.27 = 4.254
𝑑𝑃 =
1
5
𝑑𝑡̅
∆𝑃 =
1
5
∆𝑡̅ =
1
5
∗ 10−2
= 2 ∗ 10−3
∆𝑡̅ = 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑟𝑜𝑛ó𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
∆𝑡̅ = 10−2
𝑠
Entonces el diámetro exterior final es:
𝑃𝐹 = 𝑃̅ ± ∆𝑃
𝑃 = (4.254 ± 0.002)𝑠
5. Con los datos obtenidos en la tabla N°3, graficar P=f (D). escriba la ecuación tipo
correspondientes y calcule mediante el método de los mínimos cuadrados el valor del
parámetro y su respectivo error
Solución:
 Teniendo en cuenta:
N° de
medidas
1 2 3 4 5
Diámetro
(cm)
13.320 ± 10
−3
12.140 ± 10 −3
7.340 ± 10 −3
13.060 ± 10
−3
13.128 ± 10 −3
Perímetro
(cm)
42.4 ± 10 −2
38.6 ± 10 −2
23.3 ± 10 −2
42.8 ± 10 −2
41.5 ± 10 −2
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14
Graficar: 𝑃 = 𝑓(𝐷)
Donde:
𝑃 = 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
𝐷 = 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
Entonces:
𝑃 = 2𝜋𝑅 = 2𝑅𝜋 = 𝐷𝜋
𝑃 = 𝐷𝜋, → 𝑃 = 𝑓(𝐷)
Tabulando:
Además
Donde p es número de datos:
𝑚 =
5(2306.8612) − (188.5)(58.988)
5(7376.41) − 188.52
= 0.3079710629
𝑦 = 𝑚𝑥
Entonces:
𝑦 = 0.3079710629𝑥
0
2
4
6
8
10
12
14
0 10 20 30 40 50
perimetro
Perímetro P Diámetro D 𝑃2
𝐷2
P*D
42.4 ± 10 −2
13.32± 10 −3
1797.76 177.4224 564.768
38.6± 10 −2
12.14± 10 −3
1489.96 147.3796 468.604
23.3± 10 −2
7.34± 10 −3
542.89 53.8756 171.022
42.8± 10 −2
13.06± 10 −3
1831.84 170.5636 558.968
41.4± 10 −2
13.128± 10 −3
1713.96 172.344384 543.4992
∑ 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 188.5 58.988 7376.41 721.585584 2306.8612
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15
6. Escriba la ecuación empírica ¿Qué representa el parámetro calculador? Comparar este
valor calculado con el que es conocido en textos.
Entonces la formula empírica es:
𝑃 = 0.3079710629 ∗ 𝐷
Valor calculado con el que es conocido en textos:
𝑃 = 𝐷𝜋
Entones vemos que se acercan ya que 𝜋 tiene un valor de 3.14…
VII. CONCLUSIONES
Concluimos que los errores nos sirven y que son fundamentales ya que nos ayuda a tener una
referencia de cuanto es el error a considerar en cada medición que realicemos ya sea mediciones
directas o mediciones indirectas.

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  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO INGENIERÍA DE MINAS 1 MEDICIONES Y ERRORES I. OBJETIVOS: 1. Describir, identificar y reconocer los diversos instrumentos de medida, e interpretar sus lecturas mínimas. 2. Describir, entender y aplicar las características de las mediciones directas e indirectas. 3. Explicar el grado de precisión o/y propagación de incertidumbres en los procesos de medición. II. MARCO TEORICO: La importancia de las mediciones crece permanentemente en todos los campos de la ciencia y la técnica. ¿Qué es Medir? Medir es comparar dos cantidades de la misma magnitud, tomando arbitrariamente una de ellas como unidad de medida. La magnitud a medir se representa según la ecuación básica de mediciones: Magnitud a medir Valor numérico de la magnitud unidad de la magnitud (S.I) M = nU
  • 2. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO INGENIERÍA DE MINAS 2 Ejemplo: 110 KPa, 20Kg, 25m, 30s, 28° C. En el proceso de medir, conocemos qué tan confiable es la medición realizada para su interpretación y evaluación. La medición es Directa e Indirecta. Cuando se tienen, por ejemplo, unas diez medidas directas, expresadas con el mismo valor, entonces la variable que se mide es estable. La medida directa que no tiene un valor único exacto se expresa de la siguiente manera: 𝑋 = 𝑥 ± ∆𝑥 Valor real Medida i-ésima Error o incertidumbre Medida del largo del libro de Física I. Alonso Finn, con una regla métrica. l  225,0  0,5mm Si se toman más de 5 medidas directas en las mismas condiciones anteriores y éstas presentan variación en sus valores, decimos que esto corresponde a fluctuaciones que están en un entorno o intervalo de valores. Estas diferencias indican la imposibilidad de encontrar el valor real. Las n-mediciones directas realizadas, con n grande, se pueden tratar estadísticamente mediante la Teoría de la Medición. El valor real de la medida queda expresado por: 𝑋 = 𝑥 ± ∆𝑥 Valor real Medida promedio Error o incertidumbre MEDICIONES Mediciones Directas El valor de la magnitud desconocida se obtiene por comparación con una unidad conocida (patrón). Mediciones Indirectas El valor se obtiene calculándolo a partir de fórmulas que vinculan una o mas medidas directas
  • 3. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO INGENIERÍA DE MINAS 3 ERRORESSISTEMÁTICOS •Son los errores relacionados con la destreza del operador. •- Error de paralaje (EP), este error tiene que ver con la postura que toma el operador para la lectura de la medición. •-Errores Ambientales y Físicos (Ef), al cambiar las condiciones climáticas, éstas afectan las propiedades físicas de los instrumentos: dilatación, resistividad, conductividad, etc. •También se incluyen como errores sistemáticos, los errores de cálculo, los errores en la adquisición automática de datos y otros. •La mayoría de los errores sistemáticos se corrigen, se minimizan o se toleran; su manejo, en todo caso, depende de la habilidad del experimentador. ERRORESDELINSTRUMENTODEMEDICIÓN •Son los errores relacionados con la calidad de los instrumentos de medición: •- Error de lectura mínima (ELM). Cuando la expresión numérica de la medición resulta estar entre dos marcas de la escala de la lectura del instrumento. La incerteza del valor se corrige tomando la mitad de la lectura mínima del instrumento. •Ejemplo: Lectura mínima de 1/25mm ELM = 1/2(1/25mm) = 0,02mm •- Error de cero (Eo), es el error propiamente de los instrumentos no calibrados. •Ejemplo: cuando se tiene que las escalas de lectura mínima y principal no coinciden, la lectura se verá que se encuentra desviada hacia un lado del cero de la escala. Si esta desviación fuera menor o aproximadamente igual al error de lectura mínima, entonces Eo es Eo= ELM ERRORESALEATORIOS •Son los errores relacionados en interacción con el medio ambiente, con el sistema en estudio, aparecen aun cuando los errores sistemáticos hayan sido suficientemente minimizadas, balanceadas o corregidas. •Los errores aleatorios se cuantifican por métodos estadísticos. Si se toman n- mediciones de una magnitud física x, siendo las lecturas x1, x2, x3,…, xn ; el valor estimado de la magnitud física x, se calcula tomando el promedio de la siguiente manera: •La diferencia de cada medida respecto de X se llama desviación. El grado de dispersión de la medición, estadísticamente se llama desviación estándar de la media y se le calcula de la siguiente forma: •El error aleatorio Ea para un número pequeño de mediciones (<100) es:
  • 4. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO INGENIERÍA DE MINAS 4 EXPRESIÓN DE LA MEDIDA.  El valor de la medida en función del error relativo es:  El valor de la medida en función del error porcentual es: Comparando el valor experimental, con el valor que figura en las tablas (Handbook), al cual llamaremos valor teórico, se tiene otra medida que se conoce como error experimental. Que expresado como error experimental porcentual es: Si al medir los primeros valores (alrededor de 5 medidas) de una magnitud se observa que la desviación estándar (σ) es muy pequeña comparada con el error del instrumento (Ei ), no habrá necesidad de tomar una gran cantidad de datos para encontrar el valor promedio. Las medidas que tengan una desviación mayor que tres veces la desviación estándar, se recomienda descartarlas. PRECISIÓN PARA LAS MEDICIONES INDIRECTAS 1. FUNCIONES DE UNA VARIABLE: Sea “Y” una magnitud física que depende de otra magnitud física “X” es decir: Y= f(x) El error de “y”, cuando se conoce “x” viene dado por: dy = | ∂f(x) / ∂x | dx Reemplazando dy por ∆y tenemos: ∆y = |f’(x)| ∆x Así, el valor final de la medición será: y ± ∆y
  • 5. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO INGENIERÍA DE MINAS 5 2. FUNCIÓN DE VARIAS VARIABLES: Si la magnitud “Y” viene determinada por la medida de varias magnitudes p, q, r, etc., con la que está ligada por la función y=f (p, q,r,…) El error de la magnitud “y” viene dado por la expresión. Asi, el valor final de la medición será: y ± ∆y Las medidas indirectas son afectadas por los errores de las mediciones directas. Estos errores se “propagan” cuando se calcula el valor de la medición indirecta. Si Z = Z(A,B) expresa una magnitud física cuya medición se realiza indirectamente; A y B son ambas medidas directas, ambas indirectas o una directa y la otra indirecta tal que: Las medidas indirectas se calculan mediante las fórmulas que ahora analizaremos. i. Si Z resulta de adiciones y/o sustracciones Z = A ± B, entonces: ii. Si Z resulta de multiplicaciones o divisiones: Z = A * B ó Z = A ÷ B , entonces: iii. Si Z resulta de una potenciación: Z = kA n , entonces: Finalmente, la expresión de la medida indirecta en cualquiera de los casos anteriores será: ERRORES DEL INSTRUMENTO DE MEDICIÓN  Instrumentos analógicos Error = ½*(mínima división)  Error REGLA = ½*(1mm) = 0.5 mm = 0.05 cm = 5* 10 −2 cm  Error BALANZA = ½*(0.1 g) = 0.05 g = 5* 10 −2 g  Error VERNIER = ½*(0.002 cm) =0.001 cm = 10 −3 cm  Instrumentos digitales Error = mínima división  Error CRONÓMETRO = 1/100 s = 0.01 s = 10 −2 s
  • 6. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO INGENIERÍA DE MINAS 6 Método de regresión lineal por MÍNIMOS CUADRADOS Si la distribución de puntos en la gráfica es de tendencia lineal, entonces, se realiza el ajuste de la recta mediante el método de regresión lineal por mínimos cuadrados. Esto significa que la relación que se busca tiene la forma de una recta cuya ecuación es: y= mx + b En donde las constantes a determinar son: m la pendiente de la recta y b la ordenada en el origen (intercepto), siguiendo el procedimiento que se detalla a continuación. Primero se construye una tabla de la forma: Luego se calculan la pendiente y el intercepto. III. EQUIPO:  Un soporte metálico, con su mordaza  Una cinta métrica  Un cronometro  Un vernier  Una varilla metálica  Una balanza  Un resorte  Cinco objetos circulares de diferente diámetro
  • 7. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO INGENIERÍA DE MINAS 7 IV. PROCEDIMIENTO 1. Elija uno de los objetos circulares y mida cinco veces con el vernier: su diámetro “D”, y su espesor “h”. Luego anote en la tabla N°1 2. Utilizando la balanza mida 5 veces la masa “m”, del objeto circular anteriormente elegido y anote en la tabla N° 1 Tabla N° 1 N° de medidas 1 2 3 4 5 Diámetro “cm” 3.200 ± 10 −3 3.190 ± 10 −3 3.180 ± 10 −3 3.200 ± 10 −3 3.210 ± 10 −3 Masa “g” 307.3 ± 0.05 307.4 ± 0.05 307.6 ± 0.05 307.4 ± 0.05 307.2 ± 0.05 Espesor “cm” 5.080 ± 10 −3 5.030 ± 10 −3 5.050 ± 10 −3 5.070 ± 10 −3 5.090 ± 10 −3 3. Arme el equipo que corresponde al resorte, tal como indica la figura. Para una amplitud de igual a 3cm, mida el tiempo de 10 oscilaciones, 5 veces y anote sus resultadlos en la tabla N°2 Tabla N°2 N° de medidas 1 2 3 4 5 Tiempo (s) 4.20 ± 10 −2 4.00 ± 10 −2 4.53 ± 10 −2 4.45 ± 10 −2 4.39± 10 −2 4. Utilizando la cinta métrica mida el perímetro circular de cada uno de los cinco objetos circulares y anote sus resultados en la tabla N°3 5. Con el vernier mida el diámetro de los cinco objetos circulares y anótelos en la tabla N°3 N° de medidas 1 2 3 4 5 Diámetro (cm) 13.320 ± 10 −3 12.140 ± 10 −3 7.340 ± 10 −3 13.060 ± 10 −3 13.128 ± 10 −3 Perímetro (cm) 42.4 ± 10 −2 38.6 ± 10 −2 23.3 ± 10 −2 42.8 ± 10 −2 41.4 ± 10 −2
  • 8. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO INGENIERÍA DE MINAS 8 V. OBSERVACIONES EXPERIMENTALES 1. ¿Cuáles son los valores de los errores instrumentales que corresponden a cada instrumento utilizado en los experimentos?  Instrumentos analógicos Error = ½*(mínima división)  Error REGLA = ½*(1mm) = 0.5 mm = 0.05 cm = 5* 10 −2 cm  Error BALANZA = ½*(0.1 g) = 0.05 g = 5* 10 −2 g  Error VERNIER = ½*(0.002 cm) =0.001 cm = 10 −3 cm  Instrumentos digitales Error = mínima división  Error CRONÓMETRO = 1/100 s = 0.01 s = 10 −2 s 2. ¿Qué unidades fundamentales se utilizaron en el experimento?  Masa  Longitud  Tiempo 3. ¿En qué parte del experimento se cometió el error de paralaje? En el procedimiento 1, 2, 4 y 5 por que este error tiene que ver con la postura que toma el operador para la lectura de la medición. 4. ¿Cuál es la precisión en las mediciones directas? Error = ½*(mínima división) Error = mínima división 5. ¿Cuál de los instrumentos de medida de longitud es de mayor sensibilidad? ¿Por qué? Es el vernier ya que nos da un número de incertidumbre menor a los demás instrumentos
  • 9. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO INGENIERÍA DE MINAS 9 VI. ANÁLISIS DE DATOS EXPERIMENTALES 1. Con los datos de la tabla N°1 determine el valor final del diámetro exterior, el valore final de la masa y el valor final del espesor del objeto circular, haciendo uso de las reglas mencionadas en el fundamento teórico. Solución: Teniendo en cuenta: 𝑋 = 𝑋 ± ℮𝜌 Donde: 𝑋 = ∑ 𝑋𝑖𝑛 𝑖 =1 𝑛 𝑒 𝑝 = 𝜎𝑥 √ 𝑛 Con 𝜎𝑥 = √ ∑ 𝛿𝑖 2𝑛 𝑖=1 𝑛 − 1 𝛿𝑖 = |𝑥𝑖 − 𝑋| Entonces, resolviendo cuidadosamente comenzaremos: Diámetro exterior: 𝑋 = 3.200 + 3.190 + 3.180 + 3.200 + 3.210 5 = 3.196 𝛿1 = |3.200 − 3.196| = 0.004 → 𝛿1 2 = 1.6 ∗ 10−5 𝛿2 = |3.190 − 3.196| = 0.006 → 𝛿2 2 = 3.6 ∗ 10−5 𝛿3 = |3.180 − 3.196| = 0.016 → 𝛿3 2 = 2.56 ∗ 10−4 𝛿4 = |3.200 − 3.196| = 0.004 → 𝛿4 2 = 1.6 ∗ 10−5 𝛿5 = |3.210 − 3.196| = 0.014 → 𝛿5 2 = 1.96 ∗ 10−4 ∑ 𝛿𝑖 2 𝑛 𝑖=1 = 5.2 ∗ 10−4 Seguidamente: 𝜎𝑥 = √ 5.2 ∗ 10−4 5 − 1 = 0.0114075425 Ahora: 𝑒 𝑝 = 0.0114075425 √5 = 5.099 ∗ 10−3 Entonces el diámetro exterior final es: 𝑋 = 𝑋 ± ℮𝜌 𝑋 = (3.190 ± 5.099 ∗ 10−3 )𝑐𝑚
  • 10. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO INGENIERÍA DE MINAS 10 Masa final: 𝑋 = 307.3 + 307.4 + 307.6 + 307.4 + 307.2 5 = 307.38 𝛿1 = |307.3 − 307.38| = 0.08 → 𝛿1 2 = 6.4 ∗ 10−3 𝛿2 = |307.4 − 307.38| = 0.02 → 𝛿2 2 = 4 ∗ 10−4 𝛿3 = |307.6 − 307.38| = 0.22 → 𝛿3 2 = 0.0484 𝛿4 = |307.4 − 307.38| = 0.02 → 𝛿4 2 = 4 ∗ 10−4 𝛿5 = |307.2 − 307.38| = 0.18 → 𝛿5 2 = 0.0324 ∑ 𝛿𝑖 2 𝑛 𝑖=1 = 0.088 Seguidamente: 𝜎𝑥 = √ 0.088 5 − 1 = 0.4883239697 Ahora: 𝑒 𝑝 = 0.4883239697 √5 = 0.06633 Entonces la masa final es: 𝑋 = 𝑋 ± ℮𝜌 𝑋 = (307.38 ± 0.066 )𝑔 Espesor: 𝑋 = 5.080 + 5.030 + 5.050 + 5.070 + 5.090 5 = 5.064 𝛿1 = |5.080 − 5.064| = 0.016 → 𝛿1 2 = 2.56 ∗ 10−4 𝛿2 = |5.030 − 5.064| = 0.034 → 𝛿2 2 = 1.156 ∗ 10−3 𝛿3 = |5.050 − 5.064| = 0.014 → 𝛿3 2 = 1.96 ∗ 10−4 𝛿4 = |5.070 − 5.064| = 0.006 → 𝛿4 2 = 3.6 ∗ 10−5 𝛿5 = |5.090 − 5.064| = 0.026 → 𝛿5 2 = 6.76 ∗ 10−4 ∑ 𝛿𝑖 2 𝑛 𝑖=1 = 2.32 ∗ 10−3 Seguidamente: 𝜎𝑥 = √ 2.32 ∗ 10−3 5 − 1 = 0.02408318916 Ahora: 𝑒 𝑝 = 0.02408318916 √5 = 0.01077032961 Entonces el diámetro exterior final es: 𝑋 = 𝑋 ± ℮𝜌
  • 11. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO INGENIERÍA DE MINAS 11 𝑋 = (5.064 ± 0.01077)𝑐𝑚 2. Halle el valor relativo y porcentual de las anteriores medidas, tomando en cuenta los procedimientos mostrados en el marco teórico (para un conjunto de medidas). Solución: Teniendo en cuenta: El error relativo está dado por: 𝑒 𝑟 = 𝑒 𝑝 𝑋 El error porcentual: 𝑒% = 𝑒 𝑝 𝑋 × 100% Seguidamente: Diámetro exterior: 𝑒 𝑟 = 5.099 ∗ 10−3 3.196 = 1.595 ∗ 10−3 𝑒% = 5.099 ∗ 10−3 3.196 × 100% = 0.1595 Masa final: 𝑒 𝑟 = 0.06633 307.38 = 2.1579 ∗ 10−4 𝑒% = 0.06633 307.38 × 100% = 0.021579 Espesor: 𝑒 𝑟 = 0.01077032961 5.064 = 2.12684 ∗ 10−3 𝑒% = 0.01077032961 5.064 × 100% = 0.212684 3. Haciendo uso de los resultados anteriores, hallar el área circular (A = A ± eA); volumen (V = V ± ev) y la densidad ( ρ=ρ ± eρ) Solución:  Teniendo en cuenta: 𝐴 = 𝐴 ± ∆𝐴 𝐴 = 𝜋𝑅2 , 𝐴 = 𝑓(𝑅) 𝑑𝑦 = 2𝜋𝑅𝑑𝑅 ∆𝐴 = 2𝜋𝑅∆𝑅 Donde: ∆𝑅 = 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑛𝑖𝑒𝑟
  • 12. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO INGENIERÍA DE MINAS 12 ∆𝑅 = 10−3 𝑐𝑚 ∆𝐴 = 2𝜋𝑅∆𝑅 = 2𝜋 ( 3.190 2 ) (10−3) = 0.01002168 𝑐𝑚2 𝐴 = 𝜋𝑅2 = 𝜋 3.190 2 2 = 7.99229𝑐𝑚2 𝐴 = (7.99229 ± 0.01002 )𝑐𝑚2  Teniendo en cuenta: 𝑉 = 𝑉 ± ∆𝑉 𝑉 = 𝜋𝑅2(ℎ) , 𝑉 = 𝐹(𝑅, ℎ) 𝜕𝑉 𝜕𝑅 = 𝜋ℎ(2𝑅) = 𝜋(5.064)2(1.595) = 56.1614 𝜕𝑉 𝜕ℎ = 𝜋𝑅2 = 𝜋(1.595)2 = 7.99229 ∆𝑉 = √( 𝜕𝑉 𝜕𝑅 ∆𝑅) 2 − ( 𝜕𝑉 𝜕ℎ ∆ℎ) 2 Donde: 𝜕𝑅 = 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑛𝑖𝑒𝑟 = 10−3 𝑐𝑚 𝜕ℎ = 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑟𝑛𝑖𝑒𝑟 = 10−3 𝑐𝑚 𝑉 = 𝜋 ( 3.19 2 2 ) (5.064) = 40.47296 𝑐𝑚3 ∆𝑉 = √(56.1614 ∗ 10−3 )2 − (7.99229 ∗ 10−3 )2 = 55.58 ∗ 10−3 𝑉 = (40.47296 ± 0.05558)𝑐𝑚3  Teniendo en cuenta: 𝜌 = 𝜌 ± ∆𝜌 𝜌 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝑚 𝑉 , 𝜌 = 𝑓(𝑚, 𝑣) Reemplazando: 𝜌 = 307.38 40.47296 = 7.594700264 𝑔 𝑐𝑚3⁄ Aplicando la derivada: ∆𝜌 = 𝑘 𝑚 𝑣 √( ∆𝑚 𝑚 ) 2 + ( ∆𝑉 𝑉 ) 2 ∆𝜌 = 1 307.38 40.47296 √( 0.066 307.38 ) 2 + ( 0.05558 40.47296 ) 2 ∆𝜌 = 7.594700264 √4.61037 ∗ 10−8 + 1.88585 ∗ (10)−6
  • 13. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO INGENIERÍA DE MINAS 13 ∆𝜌 = 7.594700264 √1.931954 ∗ 10−3 ∆𝜌 = 0.01055623397 Valor final de la densidad: 𝜌 = (7.59470 ± 0.01056) 𝑔 𝑐𝑚3⁄ 4. Con los datos de la tabla N°2 determine le valor promedio de las 10 oscilaciones del péndulo con su respectivo error haciendo el uso de la relación funcional P=f (t), donde t es el tiempo de oscilación. Escriba el valor final haciendo el uso de las reglas mencionadas en el marco teórico. Solución: Teniendo en cuenta: 𝑃𝐹 = 𝑃̅ ± ∆𝑃 𝑃 = 𝑓(𝑡), Donde: 𝑡 = 4.20 + 4.00 + 4.53 + 4.15 + 4.39 = 21.27 𝑃̅ = 𝑡̅ 𝑛 = 1 5 𝑡̅ = 1 5 ∗ 21.27 = 4.254 𝑑𝑃 = 1 5 𝑑𝑡̅ ∆𝑃 = 1 5 ∆𝑡̅ = 1 5 ∗ 10−2 = 2 ∗ 10−3 ∆𝑡̅ = 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑟𝑜𝑛ó𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 ∆𝑡̅ = 10−2 𝑠 Entonces el diámetro exterior final es: 𝑃𝐹 = 𝑃̅ ± ∆𝑃 𝑃 = (4.254 ± 0.002)𝑠 5. Con los datos obtenidos en la tabla N°3, graficar P=f (D). escriba la ecuación tipo correspondientes y calcule mediante el método de los mínimos cuadrados el valor del parámetro y su respectivo error Solución:  Teniendo en cuenta: N° de medidas 1 2 3 4 5 Diámetro (cm) 13.320 ± 10 −3 12.140 ± 10 −3 7.340 ± 10 −3 13.060 ± 10 −3 13.128 ± 10 −3 Perímetro (cm) 42.4 ± 10 −2 38.6 ± 10 −2 23.3 ± 10 −2 42.8 ± 10 −2 41.5 ± 10 −2
  • 14. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO INGENIERÍA DE MINAS 14 Graficar: 𝑃 = 𝑓(𝐷) Donde: 𝑃 = 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝐷 = 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 Entonces: 𝑃 = 2𝜋𝑅 = 2𝑅𝜋 = 𝐷𝜋 𝑃 = 𝐷𝜋, → 𝑃 = 𝑓(𝐷) Tabulando: Además Donde p es número de datos: 𝑚 = 5(2306.8612) − (188.5)(58.988) 5(7376.41) − 188.52 = 0.3079710629 𝑦 = 𝑚𝑥 Entonces: 𝑦 = 0.3079710629𝑥 0 2 4 6 8 10 12 14 0 10 20 30 40 50 perimetro Perímetro P Diámetro D 𝑃2 𝐷2 P*D 42.4 ± 10 −2 13.32± 10 −3 1797.76 177.4224 564.768 38.6± 10 −2 12.14± 10 −3 1489.96 147.3796 468.604 23.3± 10 −2 7.34± 10 −3 542.89 53.8756 171.022 42.8± 10 −2 13.06± 10 −3 1831.84 170.5636 558.968 41.4± 10 −2 13.128± 10 −3 1713.96 172.344384 543.4992 ∑ 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 188.5 58.988 7376.41 721.585584 2306.8612
  • 15. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO INGENIERÍA DE MINAS 15 6. Escriba la ecuación empírica ¿Qué representa el parámetro calculador? Comparar este valor calculado con el que es conocido en textos. Entonces la formula empírica es: 𝑃 = 0.3079710629 ∗ 𝐷 Valor calculado con el que es conocido en textos: 𝑃 = 𝐷𝜋 Entones vemos que se acercan ya que 𝜋 tiene un valor de 3.14… VII. CONCLUSIONES Concluimos que los errores nos sirven y que son fundamentales ya que nos ayuda a tener una referencia de cuanto es el error a considerar en cada medición que realicemos ya sea mediciones directas o mediciones indirectas.