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Continuidad De Funciones

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Moisés Villena Muñoz                                     Cap. 2 Continuidad de funciones




          2

                       2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO
                       2.2 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON
                               FUNCIONES
                       2.3     CONTINUIDAD EN UN INTERVALO
                       2.4     TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO




                       OBJETIVOS:
                             • Definir formalmente continuidad de una función de
                               una variable real en un punto y en un intervalo.
                             • Realizar demostraciones formales de continuidad.
                             • Construir funciones continuas.




                                                                                     59
Moisés Villena Muñoz                                            Cap. 2 Continuidad de funciones


   Hasta aquí nos hemos dedicado a estudiar el comportamiento de una función
en la cercanía de un punto; ahora nos proponemos definir su comportamiento
justamente en el punto.


2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO
  El término continuo aplicado a una función de variable real sugiere que su
gráfica no debe presentar saltos; es decir, que al trazar su gráfica no se requiera
alzar la mano. Esto en términos formales sería:

     2.1.1 DEFINICIÓN

         Sea f una función de una variable real definida en
         un intervalo abierto (a, b) y sea x0 ∈ (a, b) . Se dice que
          f es continua en " x0 " si lím f ( x) = f ( x0 ) . Es decir, si
                                                        x→ x0

         se cumplen tres cosas:
            1. f ( x0 ) está definida
            2. lím f ( x) = L (existe); y
               x→ x      0


            3. L = f ( x0 )
         Caso contrario, se dice que f es discontinua en " x0 "

                  Ejemplo
                  Una función continua en un punto x0




                                                                          Fig. 2.1




     Como ejemplos de funciones discontinuas en un punto x0 , tenemos:




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Moisés Villena Muñoz                                              Cap. 2 Continuidad de funciones


                  Ejemplo 1




                                                                                            Fig. 2.2




                  La función no es continua en x0 , debido a que lím f ( x) no existe
                                                                  x → x0




                  Ejemplo 2


                                                                                          Fig. 2.3




                  La función no es continua en x0 , debido a que lím f ( x) no existe
                                                                  x → x0




                  Ejemplo 3




                                                                                          Fig. 2.4




                  La función no es continua en x0 , debido a que lím f ( x) ≠ f ( x 0 )
                                                                  x→ x     0




                                                                                                       61
Moisés Villena Muñoz                                                    Cap. 2 Continuidad de funciones


  Para el caso del ejemplo 1 y del ejemplo 2, se dice que hay una
discontinuidad esencial.
   Y para el caso del ejemplo 3 se dice que es una discontinuidad removible,
porque sería cuestión de definir a f en el punto " x0 " con el valor de L para tener
ya una función continua en ese punto. A propósito, observe que sólo en este caso
el límite existe.


                  Ejemplo 4
                           x 2 + 5x − 6
                   f ( x) =             no está definida en x = 1 y su gráfica es la de f ( x) = x + 6 ; x ≠ 1 que
                               x −1
                  no es continua en x = 1 . (tiene un hueco)


                                                  Fig. 2.5




                                                         ⎧ x 2 + 5x − 6
                                                         ⎪              ;x ≠1
                  Definiéndola continua tenemos f ( x) = ⎨ x − 1
                                                         ⎪             ;x =1
                                                         ⎩      7




                  Ejemplo 5
                                                                                         ⎧ x2 − 4
                                                                                         ⎪        ;x ≠ 2
                  Determine el valor de " A ", de ser posible, para que         f ( x) = ⎨ x − 2
                                                                                         ⎪A      ;x = 2
                                                                                         ⎩
                  sea continua en x = 2 .

                  SOLUCIÓN:
                  Para que f sea continua en x = 2 será cuestión de definirla en este punto con el valor de lím f ( x) si es
                                                                                                            x→ 2
                  que existe; es decir, hacer que A = f (2) = lím f ( x) .
                                                              x→ 2
                  Calculando el límite tenemos:

                                      lím
                                         x2 − 4
                                                = lím
                                                      (x − 2)(x + 2) = lím (x + 2) = 4 .
                                     x→2 x − 2    x→2     x−2          x→2
                  Por tanto A = 4




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Moisés Villena Muñoz                                                           Cap. 2 Continuidad de funciones


                  Ejemplo 6
                                                                                                ⎧ e2x − 1
                                                                                                ⎪         ;x ≠ 0
                  Calcular el valor de “ A ", de ser posible, para que                 f ( x) = ⎨ x
                                                                                                ⎪A      ;x = 0
                                                                                                ⎩
                  sea continua en x = 0 .

                  SOLUCIÓN:
                  La función está definida para todo número real excepto x = 0 . El asunto será definirla en este punto con el
                  valor de lím f ( x) si es que existe; es decir, A = f (0) = lím f ( x) .
                           x →0                                                     x→0
                  Calculando el límite tenemos:
                                                       e 2x − 1
                                                  lím           =2.
                                                  x →0     x
                  Por tanto A = 2



                          Ejercicios Propuestos 2.1
                          1.   Grafique las funciones dadas y determine los puntos de discontinuidad.

                                                 x 2 − 16                                               ⎧ 1
                                    1. f ( x) =                                                         ⎪           ;x ≥ 2
                                                   x−4                                     6. f ( x ) = ⎨ x − 1
                                                                                                        ⎪x −1 ; x < 2
                                                                                                        ⎩
                                                 ⎧( x + 2 )2 ; x ≠ −2
                                                 ⎪
                                    2. f ( x ) = ⎨
                                                 ⎪ 2         ; x = −2                                   ⎧ 1
                                                 ⎩                                                      ⎪ x +1 ;x < 0
                                                                                                        ⎪
                                                ⎧x2 ; x < 0                                7. f ( x ) = ⎨
                                                ⎪
                                                ⎪                                                       ⎪ 1    ;x ≥ 0
                                    3. f ( x) = ⎨− x ;0 ≤ x ≤ 1                                         ⎪ x −1
                                                                                                        ⎩
                                                ⎪x   ;x >1
                                                ⎪
                                                ⎩                                          8.    f ( x) = μ ( x − 2) + Sgn( x + 2)
                                                  ⎧ 2 − 3x                                       f ( x) = x +
                                                                                                                1
                                                  ⎪                   ; x ≤ −1             9.
                                    4.   f ( x) = ⎨ 5                                                           2
                                                  ⎪ x2 − 2 x + 3      ; x > −1             10.     f ( x) = x − x
                                                  ⎩
                                                  ⎧1 + 2 x − x   2
                                                                      ;x ≤ 3               11.     f ( x) = sen x ; x ∈ ( −2π , 2π )
                                    5.   f ( x) = ⎨
                                                  ⎩2 x − 5            ;x > 3

                          2.   Calcular el valor de " A ", de ser posible, para que f sea continua en todo R        .
                                                  ⎧ 3− x                                           ⎧ 3+ 3 x −2
                                                  ⎪         ;x ≠ 3                                 ⎪           ;x ≠1
                                   1. f ( x) = ⎨ x 2 − 9                              4. f ( x ) = ⎨   x −1
                                                 ⎪A   ;x = 3                                       ⎪
                                                 ⎩                                                 ⎩    A      ;x =1
                                                 ⎧ x−2 −2                                            ⎧ sen x
                                                 ⎪         ;x≠6                                               ;x ≠ 0
                                    2. f ( x ) = ⎨ x − 6                                             ⎪
                                                 ⎪                                    5.    f ( x) = ⎨ x
                                                 ⎩   A     ;x = 6                                    ⎪A
                                                                                                     ⎩       ;x = 0
                                                 ⎧ 2x2 + x − 3
                                                 ⎪             ; x ≠1
                                    3. f ( x ) = ⎨ 3 x − 1
                                                 ⎪      A ; x =1
                                                 ⎩




                                                                                                                                       63
Moisés Villena Muñoz                                                            Cap. 2 Continuidad de funciones


     2.2 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON FUNCIONES
  Si operamos funciones se obtienen nuevas funciones cuya continuidad se la
puede determinar haciendo uso del siguiente teorema.

         2.2.1 TEOREMA


                             Sean f y g funciones de variable real
                             continuas en el punto " x0 ", entonces
                             también lo serán: k f , f + g , f − g , f .g ,
                             f
                                 g
                                     ( g ( x0 ) ≠ 0) , f n , n f ( f ( x0 ) > 0        si n es par   )


         Demostración.
         Demostremos lo siguiente:
                 "Si f y g son funciones continuas en el punto " x 0 " entonces
                     f + g también es continua en " x 0 "
         Las hipótesis serían          H 1: lim f ( x) = f ( x0 )      y
                                              x → x0

                                     H 2: lim g ( x ) = g ( x0 )
                                            x → x0

         Como lim [ f ( x) + g ( x) ] = lim f ( x) + lim g ( x)             entonces
                    x → x0                         x → x0     x → x0

                    lim [ f ( x) + g ( x) ] = f ( x0 ) + g ( x0 )
                 x → x0

         Es decir
                                     C : lim ⎡( f + g ) ( x) ⎤ = ( f + g ) ( x0 )
                                             ⎣               ⎦
                                          x → x0

         Lo cual indica que la función f + g también es continua en " x0 "




     Las demostraciones del resto del teorema se la dejamos como ejercicio al lector.
   Se puede hacer analogía con el teorema principal de límites si surge la
interrogante de saber lo que ocurre con el recíproco del teorema, es decir, que si
tenemos una función suma (u otra, resultado de las operaciones indicadas)
continua, se podría decir que las funciones que la formaron son también
continuas.
     Para el caso de la función compuesta tenemos.




64
Moisés Villena Muñoz                                                                  Cap. 2 Continuidad de funciones




        2.2.2 TEOREMA DEL LÍMITE DE LA COMPOSICIÓN.


                       Sean f y g funciones de variable real. Si
                       g es continua en " x0 " y f continua en
                       g ( x0 ) entonces f g es continua en " x0 "


        Demostración.
        Tenemos las siguientes hipótesis:
                   H1 : g es continua en x0 , es decir lim g ( x ) = g ( x0 ) , lo cual significa que
                                                              x → x0


                         ∀ε1 > 0 , ∃∂1 > 0 tal que, si x − x0 < ∂1 entonces g ( x ) − g ( x0 ) < ε1

                   H 2 : f es continua en g ( x0 ) , es decir            lim f ( x) = f ( g ( x0 ) ) , lo cual significa que
                                                                       x → g ( x0 )


                          ∀ε 2 > 0 , ∃∂ 2 > 0 tal que, si x − g ( x0 ) < ∂ 2 entonces f ( x ) − f ( g ( x0 ) ) < ε 2

        En la segunda hipótesis si hacemos x = g ( x ) tenemos:

                                 g ( x ) − g ( x0 ) < ∂ 2 ⇒ f ( g ( x ) ) − f ( g ( x0 ) ) < ε 2

        En la primera hipótesis, el consecuente de la implicación se cumple si ε1 = ∂ 2 .
        Considerando las dos hipótesis juntas:
              ⎡ x − x0 < ∂1 ⇒ g ( x ) − g ( x0 ) < ∂ 2 ⎤     ∧     ⎡ g ( x ) − g ( x0 ) < ∂ 2 ⇒ f ( g ( x ) ) − f ( g ( x0 ) ) < ε 2 ⎤
              ⎣                                        ⎦           ⎣                                                                 ⎦
        Se cumple que:
                               x − x0 < ∂1 ⇒ f ( g ( x ) ) − f ( g ( x0 ) ) < ε

         O lo que es lo mismo lim f ( g ( x ) ) = f ( g ( x0 ) ) . Esto indica que f g es continua en " x0 "
                                 x → x0




   En límites nos interesaba indicar si la función se aproximaba a un punto, en
cambio en continuidad estamos interesados, además, en indicar si la función toma
el valor correspondiente en ese punto. Esto puede ocurrir en ambas direcciones
de acercamiento, como lo acabamos de definir, o en una sola dirección, como lo
vamos a decir a continuación.




                                                                                                                                         65
Moisés Villena Muñoz                               Cap. 2 Continuidad de funciones


2.3 CONTINUIDAD LATERAL

         2.3.1 CONTINUIDAD POR DERECHA

                 Sea f una función de variable real. f es
                 continua por la derecha de " x0 " si
                  lím f ( x) = f ( x0 )
                  x → x0 +



                  Ejemplo




                                                                  Fig. 2.6




     Es decir, f sólo por la derecha de x0 se aproxima y llega a ser f ( x0 ) .

         2.3.2 CONTINUIDAD POR IZQUIERDA

                 Sea f una función de variable real. f es
                 continua  por la izquierda de " x0 " si
                  lím f ( x) = f ( x0 )
                  x → x0 −



     Es decir, f sólo por la izquierda de x0 se aproxima y llega a ser f ( x0 ) .


                  Ejemplo




                                                                Fig. 2.7




66
Moisés Villena Muñoz                                    Cap. 2 Continuidad de funciones


   En conclusión, si f es continua en x0 significa que tanto por derecha como por
izquierda f se aproxima y llegar a ser f ( x0 ) .

  Bien, lo anterior es sólo en un punto, si la función fuera continua en todo         ,
bastaría con decir existe continuidad en todo punto de    . Es decir:

                 Sea f una función de variable real. f es
                 continua en si ∀x0 ∈ ⎡ lím f ( x) = f ( x0 ) ⎤
                                        ⎢ x→ x0
                                        ⎣                     ⎥
                                                              ⎦

  Existen funciones que ya se han tratado en cursos anteriores que son continuas
en todo     , como las funciones lineales, las funciones cuadráticas y en general
todas las funciones polinomiales, las funciones trigonométricas seno y coseno.

  Otras funciones en cambio son continuas sólo en intervalos, sería importante
aquí indicar lo que ocurre en los extremos del intervalo.


   2.4 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO

        2.4.1 CONTINUIDAD EN (a, b )

                       Sea f una función de variable real. f es
                       continua en un intervalo abierto (a, b ) si es
                       continua en todo punto interior de (a, b ) .
                       Es decir ∀x0 ∈ ( a, b ) ; lím f ( x) = f ( x0 )
                                                    x→ x0


                  Ejemplo 1
                  Una función continua en (a, b )




                                                                      Fig. 2.8




                                                                                    67
Moisés Villena Muñoz                                              Cap. 2 Continuidad de funciones


                  Ejemplo 2
                  Otra función continua en (a, b )




                                                                                 Fig. 2.9




        2.4.2 CONTINUIDAD EN [a, b]


                       Sea f una función de variable real. f es
                       continua en un intervalo cerrado [a, b] si
                       es continua en (a, b ) y además continua a la
                       derecha de a ( xlím f ( x) = f (a) ) y a la
                                              →a              +



                       izquierda de b ( xlím
                                          →b         −
                                                         f ( x) = f (b) ).


                  Ejemplo
                  Una función continua en [a, b]




                                                                                 Fig. 2.10




68
Moisés Villena Muñoz                                  Cap. 2 Continuidad de funciones


   2.4.3 CONTINUIDAD EN [a, b )


                       Sea f una función de variable real. f es
                       continua en un intervalo semiabierto [a, b) ,
                       si es continua en (a, b ) y además continua a
                       la derecha de a .

                  Ejemplo 1
                  Una función continua en    [a, b)

                                                                        Fig. 2.11




                  Ejemplo 2
                  Otra función continua en   [a, b)

                                                                    Fig. 2.12




                                                                                    69
Moisés Villena Muñoz                                           Cap. 2 Continuidad de funciones


     2.4.4 CONTINUIDAD EN (a, b]


                       Sea f una función de variable real. f es
                       continua en un intervalo semiabierto (a, b] ,
                       si es continua en (a, b ) y además continua a
                       la izquierda de b .

                  Ejemplo 1




                                                                                   Fig. 2.13




                  Ejemplo 2



                                                                                     Fig. 2.14




     Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos.


                  Ejercicio resuelto 1
                                                                  ⎧ x 2 − 2a ; x < 2
                                                                  ⎪
                  Hallar " a ", de ser posible, para que f ( x) = ⎨ 8        ; x = 2 sea continua en todo   .
                                                                  ⎪5 x + a ; x > 2
                                                                  ⎩
                  SOLUCIÓN:




70
Moisés Villena Muñoz                                                                   Cap. 2 Continuidad de funciones


                  Note que f está definida con funciones polinomiales y por tanto f será continua en los respectivos intervalos.
                  Debemos procurar que f sea continua en x = 2 , lo que significa que:

                                                           lím ( x 2 − 2a ) = lím+ (5 x + a) = f ( 2 )
                                                           x → 2−               x →2

                                                                    4 − 2a = 10 + a = 8
                                                                       a = −2

                                                    ⎧ x2 + 4 ; x < 2
                                                    ⎪
                  Es decir, que la función f ( x) = ⎨ 8       ; x=2                         será continua en todo R .
                                                    ⎪5 x − 2 ; x > 2
                                                    ⎩


                  Ejercicio resuelto 2
                                                                  ⎧2x2 + a ; x < 1
                                                                  ⎪
                  Hallar " a ", de ser posible, para que f ( x) = ⎨ 5      ; x = 1 sea continua en todo                                     .
                                                                  ⎪ x − 3a ; x > 1
                                                                  ⎩
                  SOLUCIÓN:
                  Igual que el ejercicio anterior, debemos procurar que f sea continua en x = 1 , lo que significa que:

                                                           lím(2 x 2 + a) = lím( x − 3a ) = f (1)
                                                           x →1−               +
                                                                                x →1

                                                           2 + a = 1 − 3a = 5
                  Aquí ocurre una inconsistencia, entonces no existe valor de a para que f sea continua en                         .




                  Ejercicio resuelto 3
                                                                                                                 ⎧2 x − a     ; x < −3
                                                                                                                 ⎪
                  Hallar los valores de " a " y " b ", de ser posible, para que f ( x) = ⎨ax + b                              ;−3 ≤ x ≤ 3
                                                                                                                 ⎪b − 5 x     ;x > 3
                                                                                                                 ⎩
                  sea continua en todo                 .
                  SOLUCIÓN:
                  Aquí igual que las anteriores, f está definida con funciones lineales y por tanto será continua en los
                  respectivos intervalos. Debemos procurar que f sea continua en x = −3 y en x = 3 , lo que significa dos
                  cosas:


                            lím (2 x − a ) = lím+ (ax + b) = f ( −3)                         lím (ax + b) = lím (b − 5 x) = f ( 3)
                                                                                             x → 3−            +
                                                                                                                 x →3
                            x →−3−             x →−3

                                     2(3) − a = 3a + b                                                        / /
                                                                                                      a (3) + b = b − 5(3)
                       1.                                                              2.
                                      2a − b = 6                                                           3a = −15
                                                                                                             a = −5

                                                                                                            2(−5) − b = 6
                  reemplazando el valor de         a   en la primera ecuación obtenida, resulta:
                                                                                                                   b = −16
                                                    ⎧ 2x + 5                ; x < −3
                                                    ⎪
                  Es decir, que la función f ( x) = ⎨ −5 x − 16             ; −3 ≤ x ≤ 3               será continua en todo R .
                                                    ⎪ −16 − 5 x             ;x > 3
                                                    ⎩




                                                                                                                                            71
Moisés Villena Muñoz                                                          Cap. 2 Continuidad de funciones


                  Ejercicio resuelto 4
                                                                         9−x
                  Analizar la continuidad de la función f ( x) =
                                                                         x−6
                  SOLUCIÓN:
                  El asunto aquí es sinónimo al de establecer el dominio natural (¿por qué?). Entonces debemos resolver la
                             9− x
                  inecuación       ≥0.
                             x−6
                  Se concluye que f tendrá gráfica sólo en el intervalo ( 6,9] , que será también su intervalo de continuidad.


                  Ejercicio resuelto 5
                  Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:
                    1.   Dom f =
                       2.         f   es continua en (−∞,−2 ) ∪ (−2,1] ∪ (1,+∞ )
                       3.                             [
                                  ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x < − N ⇒ f ( x) − 2 < ε      ]
                       4.         ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x + 2 < ∂ ⇒ f ( x) < − M ]
                       5.         ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x − 1 < ∂ ⇒ f ( x) > M ]
                       6.         ∀M > 0, ∃N > 0, ∀x[x > N ⇒ f ( x) < − M ]
                       7.                           [
                                  ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x − ∂ < x + 2 < 0 ⇒ f ( x) + 2 < ε        ]
                       8.         ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < 1 − x < ∂ ⇒    f ( x) − 2 < ε   ]
                       9.         f ( −2) = 1 , f (0) = 1 , f (−1) = 0 , f (3) = 0 , f (2) = 1

                  SOLUCIÓN:
                  Las condiciones dadas significan:
                  1. Intervalos de continuidad (−∞,−2 ) ∪ (−2,1] ∪ (1,+∞ )
                  2. lím f ( x) = 2 asíntota horizontal y = 2 para x negativos.
                       x → −∞
                  3.    lím f ( x) = −∞ asíntota vertical x = −2 por derecha
                       x → −2 +
                  4. lím f ( x) = ∞ asíntota vertical x = 1 por derecha
                       x →1+
                  5. lím f ( x) = −∞
                       x →∞
                  6.    lím f ( x) = −2 límite por izquierda de x = −2
                       x → −2 −
                  7. lím f ( x) = 2 límite por izquierda de x = 1
                       x →1−
                  8. Puntos que pertenecen a f
                  Por tanto la grafica sería:




                                                                                                      Fig. 2.15




72
Moisés Villena Muñoz                                                                  Cap. 2 Continuidad de funciones



                        Ejercicios Propuestos 2.2
                       1.     Hallar los valores de " a " y " b " , de ser posible, para que f sea continua en R .


                                               ⎧x 2             ;x ≤1                                           ⎧ x + 2a     ; x < −1
                                               ⎪
                                               ⎪                                                                ⎪
                                   1. f ( x) = ⎨ax + b          ;1 < x < 4                 4. f ( x ) = ⎨ax + b           ; −1 ≤ x < 3
                                               ⎪2 x − 6                                                         ⎪
                                               ⎪                 ;x ≥ 4                                         ⎩2ax − 3b         ;x ≥ 3
                                               ⎩
                                                ⎧x       ;x ≤1                                               ⎧−2sen x      ; x ≤ −π
                                                ⎪                                                            ⎪                       2
                                   2. f ( x ) = ⎨ax + b ;1 < x < 4                                           ⎪                 π < x<π
                                                                                           5.       f ( x) = ⎨a cos x + bx ; −
                                                ⎪− 2 x  ;x ≥ 4                                                                   2     2
                                                ⎩                                                            ⎪
                                                                                                             ⎪sen x        ;x ≥ π
                                                  ⎧x + 1       ;x <1                                         ⎩                     2
                                                  ⎪
                                   3. f ( x ) = ⎨ax + b        ;1 ≤ x < 2
                                                  ⎪3 x         ;x ≥ 2
                                                  ⎩

                        2.    Determine los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:
                                                  sen 2 x                                                       2 x 3 + x 2 − x + 18
                                   1. f ( x ) =                                            4. f ( x ) =
                                                   x −1                                                          x3 + x 2 − 2 x − 8
                                                  1+ x2                                                           x −1
                                   2. h( x) =                                              5.       f ( x) =
                                                  2x + 3                                                         sen 2 x
                                                         x 2 + 2x − 8                                            ⎛ x2 + 1 ⎞
                                   3. f ( x ) =                                            6.       f ( x) = sen ⎜ 2      ⎟
                                                  x 3 + 6 x 2 + 5 x − 12                                         ⎝ x −1 ⎠
                                                                  ⎧1         ;x > 0
                                                                  ⎪
                       3.     Sean las funciones:        f ( x) = ⎨0         ;x = 0                 y               g ( x) = 1 + x 2
                                                                  ⎪− 1       ;x < 0
                                                                  ⎩
                              Para que valores de " x ", es continua:             a) ( f   g )(x )                             b) (g   f )(x )

                       4. Determine el máximo valor de " k " para que la función:                       f ( x) = x 2 − 2        sea continua en el intervalo
                             [3,3 + k )
                       5. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:

                               f   es continua en (−5,2 ) ∪ (2,10        ]
                               f (3) = f (10) = 0
                                                         [
                              ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < x + 5 < ∂ ⇒ f ( x) − 3 < ε                         ]
                              ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < 2 − x < ∂ ⇒ f ( x) > M ]
                              ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x − 2 < ∂ ⇒ f ( x) < − M ]
                       6. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:

                                    f es continua en         (−∞,0] ∪ (0,3) ∪ (3, ∞ )
                                                      [
                                   ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x < − N ⇒ f ( x) < ε                      ]
                                   ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x[− ∂ < x < 0 ⇒                   f ( x) − 2 < ε        ]
                                   ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x < ∂ ⇒ f ( x) < − M ]
                                   ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < 3 − x < ∂ ⇒ f ( x) > M ]
                                                    [
                                   ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < x − 3 < ∂ ⇒ f ( x) < ε                        ]
                                   ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x[x > N ⇒                  f ( x) + 1 < ε       ]
                                    f (3) = f (5) = 2 , f (7) = 0




                                                                                                                                                        73
Moisés Villena Muñoz                                                    Cap. 2 Continuidad de funciones


2.5 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO PARA FUNCIONES
     CONTINUAS

                       Sea f una función de variable real
                       definida en el intervalo cerrado [a, b] . Si f
                       es continua en [a, b] entonces para toda
                       f ( x) ∈ ⎡ f ( a ) , f ( b ) ⎤ existe un x0 ∈ [ a, b ] .
                                ⎣                   ⎦



                                                                                       Fig. 2.16




                         Ejemplo
                         Demuestre que la ecuación x + 3 x − 2 = 0 tiene una solución real entre "0" y "1".
                                                             3

                         SOLUCIÓN:
                         Definamos la función f ( x) = x3 + 3 x − 2 .
                         Observamos que: f (0) = −2 y f (1) = 2




                                                                                          Fig. 2.17


                         y como f es continua en [0,1] , por ser polinomial; aplicando el Teorema del Valor Intermedio,
                         tenemos que si f ( x) = 0 existirá un x elemento de [0,1] que lo satisfaga. Es decir: ∃x ∈ [0,1] tal
                         que f ( x) = x3 + 3x − 2 = 0




74
Moisés Villena Muñoz                                                          Cap. 2 Continuidad de funciones



                       Ejercicios Propuestos 2.3
                       1.   (Consulta) Enuncie y demuestre el teorema de Bolzano.
                       2.   (Consulta) Enuncie y demuestre el teorema de Weierstrass.
                       3.   Diga si son VERDADERAS o FALSAS las siguientes proposiciones. En caso de ser verdaderas demuéstrelas y
                            en caso de ser falsa, dé un contraejemplo.
                            a)                                                  [ ]
                                    Si f es continua y no tiene ceros en a, b , entonces f ( x) > 0 para toda x en a, b                 [ ]    o
                                     f ( x) < 0 , ∀x ∈ [a, b]
                            b)      Si f es continua en x0 y f ( x0 ) > 0 , hay un intervalo (x0 − ∂ , x0 + ∂ ) tal que f ( x ) > 0 en ese
                                    intervalo.
                            c)      El producto de dos funciones f y g es continua en " x0 " ,si f es continua en " x0 " pero g no.

                            d)      Si f es continua en " x0 " y g es discontinua en " x0 ", entonces f + g es discontinua en " x0 ".

                            e)      Toda función continua en (a, b ) es acotada.

                            f)                                [ ]                  [ ]
                                    Toda función acotada en a, b es continua en a, b

                            g)                                        [ ]
                                    Si f es continua e inyectiva en a, b entonces su función inversa f
                                                                                                             −1
                                                                                                                                [ ]
                                                                                                                  es continua en a, b

                            Demuestre que la ecuación: x − 4 x − 3x + 1 = 0 tiene una solución en el intervalo [2,3].
                                                              5       3
                       4.
                       5.   Si el peso de un niño al nacer es de 8 libras y después de un año el mismo niño tiene un peso de 16 libras,
                            demuestre, empleando el teorema del valor intermedio para funciones continuas, que en algún instante de
                            tiempo el niño alcanzó un peso de 11 libras.




                                                                          Misceláneos
                       1.   Diga si son VERDADERAS o FALSAS las siguientes proposiciones. En caso de ser verdaderas demuéstrelas y
                            en caso de ser falsa, dé un contraejemplo.
                            a) lím f ( x ) = lím f ( x) entonces f es continua en x = a .
                                x→a      +
                                                 x →a     −




                            b) Si f y g son funciones continuas en x = a entonces la función fg también es continua en x = a .
                                                                                                  ⎧ x − 2 + x−2
                                                                                                  ⎪             ;x > 2
                            c) La función de variable real con regla de correspondencia f ( x ) = ⎨     x2 − 4         es
                                                                                                  ⎪
                                                                                                  ⎩     2       ;x ≤ 2
                                 continua en x = 2 .
                            d) Si f es una función tal que dom f = IR y ∀a ∈ IR lím f ( x) existe, entonces f es continua
                                                                                               x→a   +



                                    en todo su dominio.
                            e) Si                                     [ ]
                                       f es una función continua en a, b tal que f ( a) > 0 y f (b) < 0 entonces existe al menos un
                                    c ∈ (a, b ) tal que f (c) = 0 .
                                                                                        [      ]
                            f) Si f es una función de IR en IR tal que f ( x ) = sen x entonces f es continua en x = π .
                                                                    [ ]
                            g) Sea f una función continua en a, b tal que f ( a) • f (b) > 0 entonces no existe un valor c ∈ a, b        [ ]
                                    tal que f (c) = 0 .
                            h) Si f y g son funciones que no son continuas en x = a entonces la función f + g no es continua en
                                 x =a.
                                                     ⎧1 − x
                                                     ⎪            ;x < 2
                            i) La función f ( x ) = ⎨                       es continua en todo su domino.
                                                    ⎪ 2
                                                     ⎩x − 2x ; x ≥ 2




                                                                                                                                              75
Moisés Villena Muñoz                                                          Cap. 2 Continuidad de funciones


                                                                                                                             ⎧1 − cos x
                                                                                                                             ⎪          ; x≠0
                            j) Sea f        una función de variable real con regla de correspondencia f ( x ) = ⎨                x2           ,
                                                                                                                             ⎪ 0        ; x=0
                                                                                                                             ⎩
                                entonces f es continua en todo su dominio.



                                                                       ⎧ x          π                        π
                                                                       ⎪ cot x − 2 cos x ; x <
                                                                                                                 sea continua en x = π
                                                                                                             2
                       2. Determine el valor de "a" para que f ( x ) = ⎨
                                                                                                             π                       2
                                                                       ⎪      ax − 1     ;x ≥
                                                                       ⎩                                     2
                                                                               ⎧     1 − x2           ; x ≤ −1
                                                                               ⎪
                                                                               ⎪ Ax5 + Bx 4 − Ax − B
                                                                               ⎪
                       3. Sea f una función de variable real tal que f ( x ) = ⎨                     ;−1 < x < 1
                                                                               ⎪        x2 − 1
                                                                               ⎪
                                                                               ⎪        x2           ;x ≥1
                                                                               ⎩
                            Determine los valores de A y B para que f sea continua en todos los reales.


                       4.   Realice el bosquejo de la gráfica de una función f que satisfaga cada una de las siguientes proposiciones:
                            •    f es continua en los intervalos (−∞,0) ; [0,1] ; (1,+∞ ) .
                            •    f (0) = f (3) = f (5) = 0 f (1) = f (2) = 1
                            •     lim f ( x) = −1        lim f (x) = −∞
                                 x →0   −
                                                           x → −∞
                            •    ∀N > 0 ∃δ > 0 [0 < x − 1 < δ ⇒ f ( x) > N ]
                            •                          [
                                 ∀ε > 0 ∃M > 0 x > M ⇒ f ( x) − 1 < ε              ]
                            •    ∀x ∈ (3,5) [ f ( x) < 0]

                       5.   Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:
                                 Domf = (− ∞,−1) ∪ [0,+∞ )
                                 rgf = [1, e ) ∪ (e,+∞ ]
                                 f (0) = 1
                                                            [
                                 ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x > N ⇒ f ( x) − e < ε                   ]
                                 ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[−∂ < x + 1 < 0 ⇒ f ( x) > M ]

                       6.   Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:
                                Dom f=IR,
                                 f ( x) > 0 para x ∈ (−∞,−1 ∪ (0,1) ]
                                 f (−1) = 1 ∧ f (0) = f (1) = 0 ∧ lím+ f ( x) = 1
                                                                        x→0
                                                   [
                                 ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x < − N ⇒ f ( x) − 1 < ε                 ]
                                 ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x[x > N ⇒             f ( x) + 1 < ε   ]
                                 ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < 1 − x < ∂ ⇒            f ( x) > M ]
                                                           [
                                 ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < x + 1 < ∂ ⇒ f ( x) > M                       ]
                                                   [
                                 ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < − x < ∂ ⇒ f ( x) − f (0) < ε                     ]
                                 ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x − 1 < ∂ ⇒           f ( x) < ε         ]




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Continuidad De Funciones

  • 1. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones 2 2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO 2.2 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON FUNCIONES 2.3 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO 2.4 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO OBJETIVOS: • Definir formalmente continuidad de una función de una variable real en un punto y en un intervalo. • Realizar demostraciones formales de continuidad. • Construir funciones continuas. 59
  • 2. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones Hasta aquí nos hemos dedicado a estudiar el comportamiento de una función en la cercanía de un punto; ahora nos proponemos definir su comportamiento justamente en el punto. 2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO El término continuo aplicado a una función de variable real sugiere que su gráfica no debe presentar saltos; es decir, que al trazar su gráfica no se requiera alzar la mano. Esto en términos formales sería: 2.1.1 DEFINICIÓN Sea f una función de una variable real definida en un intervalo abierto (a, b) y sea x0 ∈ (a, b) . Se dice que f es continua en " x0 " si lím f ( x) = f ( x0 ) . Es decir, si x→ x0 se cumplen tres cosas: 1. f ( x0 ) está definida 2. lím f ( x) = L (existe); y x→ x 0 3. L = f ( x0 ) Caso contrario, se dice que f es discontinua en " x0 " Ejemplo Una función continua en un punto x0 Fig. 2.1 Como ejemplos de funciones discontinuas en un punto x0 , tenemos: 60
  • 3. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones Ejemplo 1 Fig. 2.2 La función no es continua en x0 , debido a que lím f ( x) no existe x → x0 Ejemplo 2 Fig. 2.3 La función no es continua en x0 , debido a que lím f ( x) no existe x → x0 Ejemplo 3 Fig. 2.4 La función no es continua en x0 , debido a que lím f ( x) ≠ f ( x 0 ) x→ x 0 61
  • 4. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones Para el caso del ejemplo 1 y del ejemplo 2, se dice que hay una discontinuidad esencial. Y para el caso del ejemplo 3 se dice que es una discontinuidad removible, porque sería cuestión de definir a f en el punto " x0 " con el valor de L para tener ya una función continua en ese punto. A propósito, observe que sólo en este caso el límite existe. Ejemplo 4 x 2 + 5x − 6 f ( x) = no está definida en x = 1 y su gráfica es la de f ( x) = x + 6 ; x ≠ 1 que x −1 no es continua en x = 1 . (tiene un hueco) Fig. 2.5 ⎧ x 2 + 5x − 6 ⎪ ;x ≠1 Definiéndola continua tenemos f ( x) = ⎨ x − 1 ⎪ ;x =1 ⎩ 7 Ejemplo 5 ⎧ x2 − 4 ⎪ ;x ≠ 2 Determine el valor de " A ", de ser posible, para que f ( x) = ⎨ x − 2 ⎪A ;x = 2 ⎩ sea continua en x = 2 . SOLUCIÓN: Para que f sea continua en x = 2 será cuestión de definirla en este punto con el valor de lím f ( x) si es x→ 2 que existe; es decir, hacer que A = f (2) = lím f ( x) . x→ 2 Calculando el límite tenemos: lím x2 − 4 = lím (x − 2)(x + 2) = lím (x + 2) = 4 . x→2 x − 2 x→2 x−2 x→2 Por tanto A = 4 62
  • 5. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones Ejemplo 6 ⎧ e2x − 1 ⎪ ;x ≠ 0 Calcular el valor de “ A ", de ser posible, para que f ( x) = ⎨ x ⎪A ;x = 0 ⎩ sea continua en x = 0 . SOLUCIÓN: La función está definida para todo número real excepto x = 0 . El asunto será definirla en este punto con el valor de lím f ( x) si es que existe; es decir, A = f (0) = lím f ( x) . x →0 x→0 Calculando el límite tenemos: e 2x − 1 lím =2. x →0 x Por tanto A = 2 Ejercicios Propuestos 2.1 1. Grafique las funciones dadas y determine los puntos de discontinuidad. x 2 − 16 ⎧ 1 1. f ( x) = ⎪ ;x ≥ 2 x−4 6. f ( x ) = ⎨ x − 1 ⎪x −1 ; x < 2 ⎩ ⎧( x + 2 )2 ; x ≠ −2 ⎪ 2. f ( x ) = ⎨ ⎪ 2 ; x = −2 ⎧ 1 ⎩ ⎪ x +1 ;x < 0 ⎪ ⎧x2 ; x < 0 7. f ( x ) = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ 1 ;x ≥ 0 3. f ( x) = ⎨− x ;0 ≤ x ≤ 1 ⎪ x −1 ⎩ ⎪x ;x >1 ⎪ ⎩ 8. f ( x) = μ ( x − 2) + Sgn( x + 2) ⎧ 2 − 3x f ( x) = x + 1 ⎪ ; x ≤ −1 9. 4. f ( x) = ⎨ 5 2 ⎪ x2 − 2 x + 3 ; x > −1 10. f ( x) = x − x ⎩ ⎧1 + 2 x − x 2 ;x ≤ 3 11. f ( x) = sen x ; x ∈ ( −2π , 2π ) 5. f ( x) = ⎨ ⎩2 x − 5 ;x > 3 2. Calcular el valor de " A ", de ser posible, para que f sea continua en todo R . ⎧ 3− x ⎧ 3+ 3 x −2 ⎪ ;x ≠ 3 ⎪ ;x ≠1 1. f ( x) = ⎨ x 2 − 9 4. f ( x ) = ⎨ x −1 ⎪A ;x = 3 ⎪ ⎩ ⎩ A ;x =1 ⎧ x−2 −2 ⎧ sen x ⎪ ;x≠6 ;x ≠ 0 2. f ( x ) = ⎨ x − 6 ⎪ ⎪ 5. f ( x) = ⎨ x ⎩ A ;x = 6 ⎪A ⎩ ;x = 0 ⎧ 2x2 + x − 3 ⎪ ; x ≠1 3. f ( x ) = ⎨ 3 x − 1 ⎪ A ; x =1 ⎩ 63
  • 6. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones 2.2 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON FUNCIONES Si operamos funciones se obtienen nuevas funciones cuya continuidad se la puede determinar haciendo uso del siguiente teorema. 2.2.1 TEOREMA Sean f y g funciones de variable real continuas en el punto " x0 ", entonces también lo serán: k f , f + g , f − g , f .g , f g ( g ( x0 ) ≠ 0) , f n , n f ( f ( x0 ) > 0 si n es par ) Demostración. Demostremos lo siguiente: "Si f y g son funciones continuas en el punto " x 0 " entonces f + g también es continua en " x 0 " Las hipótesis serían H 1: lim f ( x) = f ( x0 ) y x → x0 H 2: lim g ( x ) = g ( x0 ) x → x0 Como lim [ f ( x) + g ( x) ] = lim f ( x) + lim g ( x) entonces x → x0 x → x0 x → x0 lim [ f ( x) + g ( x) ] = f ( x0 ) + g ( x0 ) x → x0 Es decir C : lim ⎡( f + g ) ( x) ⎤ = ( f + g ) ( x0 ) ⎣ ⎦ x → x0 Lo cual indica que la función f + g también es continua en " x0 " Las demostraciones del resto del teorema se la dejamos como ejercicio al lector. Se puede hacer analogía con el teorema principal de límites si surge la interrogante de saber lo que ocurre con el recíproco del teorema, es decir, que si tenemos una función suma (u otra, resultado de las operaciones indicadas) continua, se podría decir que las funciones que la formaron son también continuas. Para el caso de la función compuesta tenemos. 64
  • 7. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones 2.2.2 TEOREMA DEL LÍMITE DE LA COMPOSICIÓN. Sean f y g funciones de variable real. Si g es continua en " x0 " y f continua en g ( x0 ) entonces f g es continua en " x0 " Demostración. Tenemos las siguientes hipótesis: H1 : g es continua en x0 , es decir lim g ( x ) = g ( x0 ) , lo cual significa que x → x0 ∀ε1 > 0 , ∃∂1 > 0 tal que, si x − x0 < ∂1 entonces g ( x ) − g ( x0 ) < ε1 H 2 : f es continua en g ( x0 ) , es decir lim f ( x) = f ( g ( x0 ) ) , lo cual significa que x → g ( x0 ) ∀ε 2 > 0 , ∃∂ 2 > 0 tal que, si x − g ( x0 ) < ∂ 2 entonces f ( x ) − f ( g ( x0 ) ) < ε 2 En la segunda hipótesis si hacemos x = g ( x ) tenemos: g ( x ) − g ( x0 ) < ∂ 2 ⇒ f ( g ( x ) ) − f ( g ( x0 ) ) < ε 2 En la primera hipótesis, el consecuente de la implicación se cumple si ε1 = ∂ 2 . Considerando las dos hipótesis juntas: ⎡ x − x0 < ∂1 ⇒ g ( x ) − g ( x0 ) < ∂ 2 ⎤ ∧ ⎡ g ( x ) − g ( x0 ) < ∂ 2 ⇒ f ( g ( x ) ) − f ( g ( x0 ) ) < ε 2 ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Se cumple que: x − x0 < ∂1 ⇒ f ( g ( x ) ) − f ( g ( x0 ) ) < ε O lo que es lo mismo lim f ( g ( x ) ) = f ( g ( x0 ) ) . Esto indica que f g es continua en " x0 " x → x0 En límites nos interesaba indicar si la función se aproximaba a un punto, en cambio en continuidad estamos interesados, además, en indicar si la función toma el valor correspondiente en ese punto. Esto puede ocurrir en ambas direcciones de acercamiento, como lo acabamos de definir, o en una sola dirección, como lo vamos a decir a continuación. 65
  • 8. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones 2.3 CONTINUIDAD LATERAL 2.3.1 CONTINUIDAD POR DERECHA Sea f una función de variable real. f es continua por la derecha de " x0 " si lím f ( x) = f ( x0 ) x → x0 + Ejemplo Fig. 2.6 Es decir, f sólo por la derecha de x0 se aproxima y llega a ser f ( x0 ) . 2.3.2 CONTINUIDAD POR IZQUIERDA Sea f una función de variable real. f es continua por la izquierda de " x0 " si lím f ( x) = f ( x0 ) x → x0 − Es decir, f sólo por la izquierda de x0 se aproxima y llega a ser f ( x0 ) . Ejemplo Fig. 2.7 66
  • 9. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones En conclusión, si f es continua en x0 significa que tanto por derecha como por izquierda f se aproxima y llegar a ser f ( x0 ) . Bien, lo anterior es sólo en un punto, si la función fuera continua en todo , bastaría con decir existe continuidad en todo punto de . Es decir: Sea f una función de variable real. f es continua en si ∀x0 ∈ ⎡ lím f ( x) = f ( x0 ) ⎤ ⎢ x→ x0 ⎣ ⎥ ⎦ Existen funciones que ya se han tratado en cursos anteriores que son continuas en todo , como las funciones lineales, las funciones cuadráticas y en general todas las funciones polinomiales, las funciones trigonométricas seno y coseno. Otras funciones en cambio son continuas sólo en intervalos, sería importante aquí indicar lo que ocurre en los extremos del intervalo. 2.4 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO 2.4.1 CONTINUIDAD EN (a, b ) Sea f una función de variable real. f es continua en un intervalo abierto (a, b ) si es continua en todo punto interior de (a, b ) . Es decir ∀x0 ∈ ( a, b ) ; lím f ( x) = f ( x0 ) x→ x0 Ejemplo 1 Una función continua en (a, b ) Fig. 2.8 67
  • 10. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones Ejemplo 2 Otra función continua en (a, b ) Fig. 2.9 2.4.2 CONTINUIDAD EN [a, b] Sea f una función de variable real. f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en (a, b ) y además continua a la derecha de a ( xlím f ( x) = f (a) ) y a la →a + izquierda de b ( xlím →b − f ( x) = f (b) ). Ejemplo Una función continua en [a, b] Fig. 2.10 68
  • 11. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones 2.4.3 CONTINUIDAD EN [a, b ) Sea f una función de variable real. f es continua en un intervalo semiabierto [a, b) , si es continua en (a, b ) y además continua a la derecha de a . Ejemplo 1 Una función continua en [a, b) Fig. 2.11 Ejemplo 2 Otra función continua en [a, b) Fig. 2.12 69
  • 12. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones 2.4.4 CONTINUIDAD EN (a, b] Sea f una función de variable real. f es continua en un intervalo semiabierto (a, b] , si es continua en (a, b ) y además continua a la izquierda de b . Ejemplo 1 Fig. 2.13 Ejemplo 2 Fig. 2.14 Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos. Ejercicio resuelto 1 ⎧ x 2 − 2a ; x < 2 ⎪ Hallar " a ", de ser posible, para que f ( x) = ⎨ 8 ; x = 2 sea continua en todo . ⎪5 x + a ; x > 2 ⎩ SOLUCIÓN: 70
  • 13. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones Note que f está definida con funciones polinomiales y por tanto f será continua en los respectivos intervalos. Debemos procurar que f sea continua en x = 2 , lo que significa que: lím ( x 2 − 2a ) = lím+ (5 x + a) = f ( 2 ) x → 2− x →2 4 − 2a = 10 + a = 8 a = −2 ⎧ x2 + 4 ; x < 2 ⎪ Es decir, que la función f ( x) = ⎨ 8 ; x=2 será continua en todo R . ⎪5 x − 2 ; x > 2 ⎩ Ejercicio resuelto 2 ⎧2x2 + a ; x < 1 ⎪ Hallar " a ", de ser posible, para que f ( x) = ⎨ 5 ; x = 1 sea continua en todo . ⎪ x − 3a ; x > 1 ⎩ SOLUCIÓN: Igual que el ejercicio anterior, debemos procurar que f sea continua en x = 1 , lo que significa que: lím(2 x 2 + a) = lím( x − 3a ) = f (1) x →1− + x →1 2 + a = 1 − 3a = 5 Aquí ocurre una inconsistencia, entonces no existe valor de a para que f sea continua en . Ejercicio resuelto 3 ⎧2 x − a ; x < −3 ⎪ Hallar los valores de " a " y " b ", de ser posible, para que f ( x) = ⎨ax + b ;−3 ≤ x ≤ 3 ⎪b − 5 x ;x > 3 ⎩ sea continua en todo . SOLUCIÓN: Aquí igual que las anteriores, f está definida con funciones lineales y por tanto será continua en los respectivos intervalos. Debemos procurar que f sea continua en x = −3 y en x = 3 , lo que significa dos cosas: lím (2 x − a ) = lím+ (ax + b) = f ( −3) lím (ax + b) = lím (b − 5 x) = f ( 3) x → 3− + x →3 x →−3− x →−3 2(3) − a = 3a + b / / a (3) + b = b − 5(3) 1. 2. 2a − b = 6 3a = −15 a = −5 2(−5) − b = 6 reemplazando el valor de a en la primera ecuación obtenida, resulta: b = −16 ⎧ 2x + 5 ; x < −3 ⎪ Es decir, que la función f ( x) = ⎨ −5 x − 16 ; −3 ≤ x ≤ 3 será continua en todo R . ⎪ −16 − 5 x ;x > 3 ⎩ 71
  • 14. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones Ejercicio resuelto 4 9−x Analizar la continuidad de la función f ( x) = x−6 SOLUCIÓN: El asunto aquí es sinónimo al de establecer el dominio natural (¿por qué?). Entonces debemos resolver la 9− x inecuación ≥0. x−6 Se concluye que f tendrá gráfica sólo en el intervalo ( 6,9] , que será también su intervalo de continuidad. Ejercicio resuelto 5 Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones: 1. Dom f = 2. f es continua en (−∞,−2 ) ∪ (−2,1] ∪ (1,+∞ ) 3. [ ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x < − N ⇒ f ( x) − 2 < ε ] 4. ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x + 2 < ∂ ⇒ f ( x) < − M ] 5. ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x − 1 < ∂ ⇒ f ( x) > M ] 6. ∀M > 0, ∃N > 0, ∀x[x > N ⇒ f ( x) < − M ] 7. [ ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x − ∂ < x + 2 < 0 ⇒ f ( x) + 2 < ε ] 8. ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < 1 − x < ∂ ⇒ f ( x) − 2 < ε ] 9. f ( −2) = 1 , f (0) = 1 , f (−1) = 0 , f (3) = 0 , f (2) = 1 SOLUCIÓN: Las condiciones dadas significan: 1. Intervalos de continuidad (−∞,−2 ) ∪ (−2,1] ∪ (1,+∞ ) 2. lím f ( x) = 2 asíntota horizontal y = 2 para x negativos. x → −∞ 3. lím f ( x) = −∞ asíntota vertical x = −2 por derecha x → −2 + 4. lím f ( x) = ∞ asíntota vertical x = 1 por derecha x →1+ 5. lím f ( x) = −∞ x →∞ 6. lím f ( x) = −2 límite por izquierda de x = −2 x → −2 − 7. lím f ( x) = 2 límite por izquierda de x = 1 x →1− 8. Puntos que pertenecen a f Por tanto la grafica sería: Fig. 2.15 72
  • 15. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones Ejercicios Propuestos 2.2 1. Hallar los valores de " a " y " b " , de ser posible, para que f sea continua en R . ⎧x 2 ;x ≤1 ⎧ x + 2a ; x < −1 ⎪ ⎪ ⎪ 1. f ( x) = ⎨ax + b ;1 < x < 4 4. f ( x ) = ⎨ax + b ; −1 ≤ x < 3 ⎪2 x − 6 ⎪ ⎪ ;x ≥ 4 ⎩2ax − 3b ;x ≥ 3 ⎩ ⎧x ;x ≤1 ⎧−2sen x ; x ≤ −π ⎪ ⎪ 2 2. f ( x ) = ⎨ax + b ;1 < x < 4 ⎪ π < x<π 5. f ( x) = ⎨a cos x + bx ; − ⎪− 2 x ;x ≥ 4 2 2 ⎩ ⎪ ⎪sen x ;x ≥ π ⎧x + 1 ;x <1 ⎩ 2 ⎪ 3. f ( x ) = ⎨ax + b ;1 ≤ x < 2 ⎪3 x ;x ≥ 2 ⎩ 2. Determine los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones: sen 2 x 2 x 3 + x 2 − x + 18 1. f ( x ) = 4. f ( x ) = x −1 x3 + x 2 − 2 x − 8 1+ x2 x −1 2. h( x) = 5. f ( x) = 2x + 3 sen 2 x x 2 + 2x − 8 ⎛ x2 + 1 ⎞ 3. f ( x ) = 6. f ( x) = sen ⎜ 2 ⎟ x 3 + 6 x 2 + 5 x − 12 ⎝ x −1 ⎠ ⎧1 ;x > 0 ⎪ 3. Sean las funciones: f ( x) = ⎨0 ;x = 0 y g ( x) = 1 + x 2 ⎪− 1 ;x < 0 ⎩ Para que valores de " x ", es continua: a) ( f g )(x ) b) (g f )(x ) 4. Determine el máximo valor de " k " para que la función: f ( x) = x 2 − 2 sea continua en el intervalo [3,3 + k ) 5. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones: f es continua en (−5,2 ) ∪ (2,10 ] f (3) = f (10) = 0 [ ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < x + 5 < ∂ ⇒ f ( x) − 3 < ε ] ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < 2 − x < ∂ ⇒ f ( x) > M ] ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x − 2 < ∂ ⇒ f ( x) < − M ] 6. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones: f es continua en (−∞,0] ∪ (0,3) ∪ (3, ∞ ) [ ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x < − N ⇒ f ( x) < ε ] ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x[− ∂ < x < 0 ⇒ f ( x) − 2 < ε ] ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x < ∂ ⇒ f ( x) < − M ] ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < 3 − x < ∂ ⇒ f ( x) > M ] [ ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < x − 3 < ∂ ⇒ f ( x) < ε ] ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x[x > N ⇒ f ( x) + 1 < ε ] f (3) = f (5) = 2 , f (7) = 0 73
  • 16. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones 2.5 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO PARA FUNCIONES CONTINUAS Sea f una función de variable real definida en el intervalo cerrado [a, b] . Si f es continua en [a, b] entonces para toda f ( x) ∈ ⎡ f ( a ) , f ( b ) ⎤ existe un x0 ∈ [ a, b ] . ⎣ ⎦ Fig. 2.16 Ejemplo Demuestre que la ecuación x + 3 x − 2 = 0 tiene una solución real entre "0" y "1". 3 SOLUCIÓN: Definamos la función f ( x) = x3 + 3 x − 2 . Observamos que: f (0) = −2 y f (1) = 2 Fig. 2.17 y como f es continua en [0,1] , por ser polinomial; aplicando el Teorema del Valor Intermedio, tenemos que si f ( x) = 0 existirá un x elemento de [0,1] que lo satisfaga. Es decir: ∃x ∈ [0,1] tal que f ( x) = x3 + 3x − 2 = 0 74
  • 17. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones Ejercicios Propuestos 2.3 1. (Consulta) Enuncie y demuestre el teorema de Bolzano. 2. (Consulta) Enuncie y demuestre el teorema de Weierstrass. 3. Diga si son VERDADERAS o FALSAS las siguientes proposiciones. En caso de ser verdaderas demuéstrelas y en caso de ser falsa, dé un contraejemplo. a) [ ] Si f es continua y no tiene ceros en a, b , entonces f ( x) > 0 para toda x en a, b [ ] o f ( x) < 0 , ∀x ∈ [a, b] b) Si f es continua en x0 y f ( x0 ) > 0 , hay un intervalo (x0 − ∂ , x0 + ∂ ) tal que f ( x ) > 0 en ese intervalo. c) El producto de dos funciones f y g es continua en " x0 " ,si f es continua en " x0 " pero g no. d) Si f es continua en " x0 " y g es discontinua en " x0 ", entonces f + g es discontinua en " x0 ". e) Toda función continua en (a, b ) es acotada. f) [ ] [ ] Toda función acotada en a, b es continua en a, b g) [ ] Si f es continua e inyectiva en a, b entonces su función inversa f −1 [ ] es continua en a, b Demuestre que la ecuación: x − 4 x − 3x + 1 = 0 tiene una solución en el intervalo [2,3]. 5 3 4. 5. Si el peso de un niño al nacer es de 8 libras y después de un año el mismo niño tiene un peso de 16 libras, demuestre, empleando el teorema del valor intermedio para funciones continuas, que en algún instante de tiempo el niño alcanzó un peso de 11 libras. Misceláneos 1. Diga si son VERDADERAS o FALSAS las siguientes proposiciones. En caso de ser verdaderas demuéstrelas y en caso de ser falsa, dé un contraejemplo. a) lím f ( x ) = lím f ( x) entonces f es continua en x = a . x→a + x →a − b) Si f y g son funciones continuas en x = a entonces la función fg también es continua en x = a . ⎧ x − 2 + x−2 ⎪ ;x > 2 c) La función de variable real con regla de correspondencia f ( x ) = ⎨ x2 − 4 es ⎪ ⎩ 2 ;x ≤ 2 continua en x = 2 . d) Si f es una función tal que dom f = IR y ∀a ∈ IR lím f ( x) existe, entonces f es continua x→a + en todo su dominio. e) Si [ ] f es una función continua en a, b tal que f ( a) > 0 y f (b) < 0 entonces existe al menos un c ∈ (a, b ) tal que f (c) = 0 . [ ] f) Si f es una función de IR en IR tal que f ( x ) = sen x entonces f es continua en x = π . [ ] g) Sea f una función continua en a, b tal que f ( a) • f (b) > 0 entonces no existe un valor c ∈ a, b [ ] tal que f (c) = 0 . h) Si f y g son funciones que no son continuas en x = a entonces la función f + g no es continua en x =a. ⎧1 − x ⎪ ;x < 2 i) La función f ( x ) = ⎨ es continua en todo su domino. ⎪ 2 ⎩x − 2x ; x ≥ 2 75
  • 18. Moisés Villena Muñoz Cap. 2 Continuidad de funciones ⎧1 − cos x ⎪ ; x≠0 j) Sea f una función de variable real con regla de correspondencia f ( x ) = ⎨ x2 , ⎪ 0 ; x=0 ⎩ entonces f es continua en todo su dominio. ⎧ x π π ⎪ cot x − 2 cos x ; x < sea continua en x = π 2 2. Determine el valor de "a" para que f ( x ) = ⎨ π 2 ⎪ ax − 1 ;x ≥ ⎩ 2 ⎧ 1 − x2 ; x ≤ −1 ⎪ ⎪ Ax5 + Bx 4 − Ax − B ⎪ 3. Sea f una función de variable real tal que f ( x ) = ⎨ ;−1 < x < 1 ⎪ x2 − 1 ⎪ ⎪ x2 ;x ≥1 ⎩ Determine los valores de A y B para que f sea continua en todos los reales. 4. Realice el bosquejo de la gráfica de una función f que satisfaga cada una de las siguientes proposiciones: • f es continua en los intervalos (−∞,0) ; [0,1] ; (1,+∞ ) . • f (0) = f (3) = f (5) = 0 f (1) = f (2) = 1 • lim f ( x) = −1 lim f (x) = −∞ x →0 − x → −∞ • ∀N > 0 ∃δ > 0 [0 < x − 1 < δ ⇒ f ( x) > N ] • [ ∀ε > 0 ∃M > 0 x > M ⇒ f ( x) − 1 < ε ] • ∀x ∈ (3,5) [ f ( x) < 0] 5. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones: Domf = (− ∞,−1) ∪ [0,+∞ ) rgf = [1, e ) ∪ (e,+∞ ] f (0) = 1 [ ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x > N ⇒ f ( x) − e < ε ] ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[−∂ < x + 1 < 0 ⇒ f ( x) > M ] 6. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones: Dom f=IR, f ( x) > 0 para x ∈ (−∞,−1 ∪ (0,1) ] f (−1) = 1 ∧ f (0) = f (1) = 0 ∧ lím+ f ( x) = 1 x→0 [ ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x < − N ⇒ f ( x) − 1 < ε ] ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x[x > N ⇒ f ( x) + 1 < ε ] ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < 1 − x < ∂ ⇒ f ( x) > M ] [ ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < x + 1 < ∂ ⇒ f ( x) > M ] [ ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < − x < ∂ ⇒ f ( x) − f (0) < ε ] ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x − 1 < ∂ ⇒ f ( x) < ε ] 76