MODUL AJAR BAHASA INGGRIS KELAS 4 KURIKULUM MERDEKA.pdf
Β
Kalkulus lanjut 001
1. 1
SISTEM KOORDINAT
Pierre Fermat dan Rene Decartes telah memperkenalkan sistem koordinat
yang sekarang kita kenal dengan sistem koordinat kartesius atau siku-siku. Dasar
pemikiran kedua orang Prancis ini ialah untuk menunjukkan kedudukan titik P
pada bidang dengan dua bilangan (x,y). Setiap bilangan itu menggambarkan jarak
dari dua sumber yang tegak lurus sesamanya.
Y
P(x,y)
0 X
Memberikan jarak berarah dari dua sumbu yang tegak lurus bukanlah jalan
satu-satunya untuk menunjukkan kedudukan suatu titik pada bidang. Cara lainnya
ialah menggunakan koordinat kutub.
Koordinat Kutub
Dengan menggambar sebuah lingkaran yang berpusat di titik O dan P
sebagai perpotongan antara sebuah lingkaran, r adalah jari-jari lingkaran dari π
adalah satu sudut antara sinar dan sumbu kutub maka (r, π) dinamakan sepasang
koordinat kutup dari titik P.
P(r, π)
r
O
2. 2
Hubungan dengan Koordinat Kartesius
Y
P(x,y)
r P(r,π)
y
0 x X
Cos π =
π₯
π
x = r Cos π
Sin π =
π¦
π
y = r Sin π
r = βπ₯2 + π¦2 π2
= π₯2
+ π¦2
Tg π =
π¦
π₯
π = πππ π‘π
π¦
π₯
3. 3
Contoh
Tentukan koordinat kartesius dari titik (4,
3
4
π) !
Peny :
Jika (r,π) = (4,
3
4
π)
Maka π₯ = r Cos π y = r Sin π
= 4 πππ
3
4
π = 4 π ππ
3
4
π
= 4 cos
540Β°
4
= 4 sin
540Β°
4
= 4 cos 135Β° = 4 sin 135Β°
= 4 . ( β
1
2
β2) = 4 .
1
2
β2
= -2β2 = 2β2
Jadi (x,y) = (-2β2 , 2β2)
Tentukan koordinat kutub dari titik (-3, -β3)
Peny :
Jika (x,y) = (-3, -β3)
maka
π2
= π₯2
+ π¦2
= (β3)2
+ (ββ3)2
4. 4
r
d
o
o
d
d
o
= 9 + 3
= 12
r = 2β3
tg π =
π¦
π₯
=
ββ3
β3
...........................kuadran III
=
1
3
β3
π = πππ π‘π (
1
3
β3)
π = 180Β°+30Β°
π = 210Β°
Jadi (r, π) = (2β3 , 2100
)
PERSAMAAN KUTUB
a. Persamaan kutub untuk garis
πΒ° = 0 πΒ° =
1
2
π
(π β πΒ°)
πΒ°
π =
π
πππ (πβπΒ° )
π =
π
πππ π
π =
π
sin π
5. 5
a
o
a
o a
o
d
d
d
b. Persamaan kutub untuk lingkaran
πΒ°
π = 2π πΆππ (π β πΒ° ) π = 2π πΆππ π π = 2π πππ π
c. Persamaan kutub sebuah Konik (elips, parabola, atau hiperbola)
πΒ°
π =
ππ
1+ππΆππ (πβπΒ° )
π =
ππ
1+ππΆππ π
π =
ππ
1+ππππ π
Elips (e < 1)
Parabola (e = 1)
Hiperbola (e > 1)
GRAFIK PERSAMAAN KUTUB
Selain grafik persamaan kutub yang berupa garis lingkaran dari konik
terdapat juga grafik persamaan kutub yaitu kardioid, limason, lemniskart, dan
mawar. Walaupun bentuk grafiknya rumit namun persamaannya tetap sederhana
kalau digunakan persamaan kutub.
Sifat simetris dapat membantu menggambarkan sebuah grafik. Berikut
ini ada beberapa pengujian kesimetrisan yang berguna dalam koordinat kutub.
a. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu x, yaitu sumbu kutub dari
perpanjangannya kekiri. Apabila π diganti dengan β π akan menghasilkan
persamaan yang sama.
6. 6
a > b a = b a < b
b. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu y, maka tetap akan
menghasilkan persamaan yang sama (apabila π diganti dengan π β π)
c. Grafik persamaan kutub simetri terhadap titik asal apabila r diganti dengan
βr menghasilkan persamaan yang sama.
KARDIOID
Persamaannya π = π Β± π πΆππ π
π = π Β± π πππ π
a , b konstanta yang positif. Grafik dikatakan limason khusus atau kardioid
apabila a = b.
LEMNISKART
Persamaannyaπ2 = Β±π πΆππ 2 π
π2 = Β±π πππ 2 π
MAWAR
Persamaannya π = π πΆππ π π
π = π πΆππ π π
14. 14
Daftar Pustaka
1. Panggabean, A.B. 2008. Kalkulus. Yogyakarta:Graha Ilmu.
2. Dra.Lusiana, M.Pd dan Dra. Hj. Farahdiba, M.Pd.2009. Diktat Kalkulus
Lanjutan. Palembang:Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas PGRI Palembang.