1. Halle la solución del siguiente sistema de ecuaciones
diferenciales con condiciones iniciales:
Como podemos observar, este es un problema con
condiciones iniciales, por tanto, lo más conveniente es usar
la transformada de Laplace para encontrar la solución del
SED.
' 3 2
4 ' cos
(0) (0) 0
x x y sent
x y y t
x y
1
Preparado por: Gil Sandro Gómez, prof.
de Matemática de la UASD

2. Aplicamos transformada de Laplace en ambos lados del
sistema de ecuaciones
Determinamos la transformada de cada término de (2):
Ahora sustituimos las condiciones iniciales en (3)
' 3 2
(2)
4 ' cos
L x L x L y L sent
L x L y L y L t

2
2
1
( ) (0) 3 ( ) 2 ( )
1
(3)
4 ( ) ( ) (0) ( )
1
X s X X s Y s
s
s
X s Y s Y Y s
s

2
Preparado por: Gil Sandro Gómez, prof.
de Matemática de la UASD

3. Sustituyendo las condiciones iniciales en (3), nos queda:
Como podemos observar, el sistema de ecuaciones
diferenciales se ha transformado en un sistema de
ecuaciones algebraico, así que podemos utilizar
cualquiera de los métodos conocidos para resolver
sistemas de ecuaciones algebraicas.
Ahora procedemos a encontrar la solución de (4).
2
2
1
2 ( ) 2 ( )
1
(4)
4 ( ) 2 ( )
1
X s Y s
s
s
X s Y s
s

3
Preparado por: Gil Sandro Gómez, prof.
de Matemática de la UASD

4. Mediante la aplicación de la transformada inversa de
Laplace en (5) obtenemos que:
Ahora buscamos la otra variable.
2 2
1 1 1
2 ( ) ( ) (5)
1 2 1
s s
X s X s
s s

1 1
2
1 1
2 2
1 1
( )
2 1
1 1 1
( )
2 1 2 1
cos
( ) (6)
2 2
s
L X s L
s
s
x t L L
s s
t sent
x t 
4
Preparado por: Gil Sandro Gómez, prof.
de Matemática de la UASD

5. Entonces, la solución del sistema viene dado por:
cos
( )
2 2
cos
( )
2
t sent
x t
t
y t sent
5
Preparado por: Gil Sandro Gómez, prof.
de Matemática de la UASD
2 2
1 1 1
2 2
2 1 2
2 ( ) ( )
1 2 1
1 1
( )
2 1 1
cos
( ) (7)
2
s s
Y s Y s
s s
s
L Y s L L
s s
t
y t sent 