1. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II – BAN CB
A/ Lý thuyết:
I/ Đại số và giải tích:
1/ Giới hạn của dãy số
2/ Giới hạn của hàm số
3/ Hàm số liên tục
4/ Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
5/ Các quy tắc tính đạo hàm
6/ Đạo hàm của các hàm số lượng giác
7/ Đạo hàm cấp hai của hàm số
II/ Hình học:
1/ Hai đường thẳng vuông góc
2/ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
3/ Hai mặt phẳng vuông góc
4/ Khoảng cách
B/ Bài tập:
I/Đại số và Giải tích
1/ Tìm giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số.
2/ Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
3/ Khảo sát tính liên tục của hàm số tại 1 điểm, trên tập xác định
4/ Ứng dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh sự tồn tại nghiệm.
5/ Tính đạo hàm bằng định nghĩa
6/ Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong tại một điểm
7/ Dùng các qui tắc, tính chất để tính đạo hàm của một hàm số, làm việc với các hệ thức đạo
hàm.
II/ Hình học
1/Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau
2/Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
3/ Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau
4/ Tính được các góc, các khoảng cách.

2. ÔN TẬP CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN
VẤN ĐỀ 1: GIỚI HẠN HÀM SỐ
Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:
f ( x)  0 
1. Giới hạn của hàm số dạng: lim
x →a g ( x)  0 
 
o Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2.
o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp.
f ( x)  ∞ 
2. Giới hạn của hàm số dạng: lim
x →∞ g ( x)  ∞ 
 
o Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp. Chú ý rằng nếu x → +∞ thì coi như x>0, nếu x → −∞
thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn.
3. Giới hạn của hàm số dạng: lim  f ( x ) .g ( x ) 
x →∞   ( 0.∞ ) . Ta biến đổi về dạng:  ∞ 
 
∞
4. Giới hạn của hàm số dạng: lim  f ( x) − g ( x)  ( ∞-∞ )
x →∞ 
f ( x) − g ( x)
o Đưa về dạng: lim
x →∞
f ( x) + g ( x)
Bài tập:
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1: Tính các gới hạn
x +1 x 2 + x+1
3. lim ( 3 - 4x )
2 2
1. lim(x + 2x+1)
x →-1
2. lim(x+ 2 x +1)
x →1
4. lim ; 5. lim
x →3 x →1 2x - 1 x →-1 2x 5 + 3
0
Tính giới hạn dạng của hàm phân thức đại số
0
Bài 2: Tính các giới hạn sau
x2 - 1 x-3 x 2 - 3x + 2 x4 - 1
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4)lim ;
( x - 2)
x →1 x - 1 x →3 x 2 + 2x - 15 x →2 2 x →1 x 2 + 2x - 3
( x - 2) + 8 ; 2 ( x + h ) - 2x 3
3 3
x2 - x  1 3 
5)lim ; 6)lim  - ; 7)lim 8)lim ;
x →1 1- x 1- x 3
x →1 x -1   x →0 x h →0 h
2x 2 - 3x +1 3 2
x + x - 2x - 8 x - 4x 2 +4x - 3
3
8x 3 - 1
9)lim 3 2 ; 10)lim ; 11)lim ; 12)lim 2 ;
x →1 x - x - x +1 x →2 x 2 - 3x + 2 x →3 x 2 - 3x x → 6x - 5x +1
1
2
0
Tìm giới hạn dạng của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc hai
0
Bài 3: Tính các giới hạn sau

3. x+4 - 2 x+3 - 2 2- x-2 x - 2x - 1
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4)lim ;
x →0 x x →1 x -1 x →7 x 2 - 49 x →1 x 2 - 12x +11
x-2 -2 x+4 - 3 x2 + 5 - 3 x 3 +1 - 1
5)lim ; 6)lim ; 7)lim ; 8)lim ;
x →6 x -6 x →5 x 2 - 25 x →2 x-2 x →0 x2 + x
9)lim
x →1
-x 2 + 2x - 1
x2 - x
; 10)lim
x →1
2x - 1 - x
x-1
; 11)lim
x →0
1
x
( 1 + x - 1- x ; ) 12)lim
x →2
x+2 - 2
x +7 - 3
;
x +1 - 1 4 - x2 - 2 x + 2 - 2x x - a+ x-a
13)lim ; 14)lim ; 15)lim ; 16)lim ;
x →0 3 - 2x + 9 x →1 2 x →2 x-1 - 3- x x →a
9- x -3 x2 - a 2
4x + 5 - 3x + 5 x +1 - 3x - 5 x + x -1 -1 x 2 +1 - 1
17)lim ; 18)lim ; 19)lim 20)lim ;
x →1 x+3 - 2 x →3 2x + 3 - x +6 x →1
x2 - 1 x →0 x
x +7 - 3 x+2 -1 2x + 2 - 3x +1 x 2 - 2x +6 - x 2 + 2x - 6
21)lim ; 22) lim ; 23)lim ; 24)lim .
x →2 x2 - 4 x →-1 x+5 - 2 x →1 x -1 x →3 x 2 - 4x + 3
0
Tìm giới hạn dạng của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc ba và bậc cao
0
Bài 4: Tính các giới hạn sau
3 3 3 3
4x - 2 1- x - 1 2x - 1 - 1 x -1
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4)lim 3 ;
x →2 x-2 x →0 x x →1 x -1 x →1 x - 2 +1
3
2x - 1 - 3 x 3
x - 1 + 3 x +1 3
x + x 2 + x+1 9 + 2x - 5
5)lim ; 6)lim ; 7) lim ; 8)lim ;
x →1 x -1 x →0 2x +1 - x +1 x → -1 x +1 x →8 3
x -2
5 4 4 7
5x +1 - 1 4x - 3 - 1 4x - 3 - 1 2 - x -1
9)lim ; 10)lim ; 11)lim ; 12)lim
x →0 x x →1 x -1 x →1 x -1 x →1 x -1
0
Tính giới hạn dạng của hàm số sử dụng phương pháp gọi hằng số vắng
0
Bài 5: Tính các giới hạn sau
2 1+ x - 3 8 - x 4
2x - 1 + 5 x - 2 2x + 2 - 3 7x +1 1- 2x - 3 1+ 3x
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ; 4)lim ;
x →0 x x →1 x -1 x →1 x -1 x →0 x2
5)lim
2 5 - x 3 - 3 x 2 +7
; 6)lim
( x 2 + 2009 ) 7 1- 2x - 2009 ; 7)lim
1+ 2x 3 1+ 3x 3 1+ 4x - 1
;
x →1 x2 - 1 x →0 x x →0 x
x + 2 - 3 x + 20 m
1+αx n 1+ βx - 1 2x - 1 + x 2 - 3x +1
8)lim ; 9)lim ; 10)lim 3 .
x →7 4
x+ 9 - 2 x →0 x x →1 x - 2 + x 2 - x +1
2− 2x − 1.3 5x + 3 3
3x + 2− x + 2 4x + 5+ 3x + 1 − 5
11) lim 12)lim ; 13 lim
)
x →1 x −1 x →2 x2 − x − 2 x →1 x −1
∞
Tính giới hạn dạng của hàm số
∞
Bài 6: Tính các giới hạn sau

4. -6x 5 +7x 3 - 4x+3  3x 2 ( 2x - 1) ( 3x 2 + x+1)  x+ x 2 +2
1) lim 5 4 ; 2) lim  - ; 3) lim ;
x → +∞ 8x - 5x +2x 2 - 1 x → −∞ 2x+1 4x 2

 

x → −∞
8x 2 +5x+2
( 2x - 3 ) ( 4x+7 )
2 3
x+ x 2 +1 x+ x 2 + x
4) lim ; 5) lim ; 6) lim ;
x → +∞
( 3x +1) ( 10x +9 )
2 2 x → +∞ 2x+ x+1 x → −∞
3x - x 2 +1
4x - 1 2x 2 + x -1 5x+3 1- x x 2 +4x+5 +2x+1
7) lim ; 8) lim ; 9) lim ; 10) lim ;
x → −∞
4x 2 +3 x → −∞
x x 2 -1 x → −∞ 1- x x → +∞
3x 2 - 2x+7 + x
Tính giới hạn dạng ∞ − ∞ của hàm số
Bài 7: Tính các giới hạn sau
1) lim
x → +∞
( x+1 - x ; ( ) 2) lim
x → +∞
x 2 + x+1 - x ; ) 3) lim (
x → −∞
x 2 +1+ x - 1 ; )
4) lim ( 3x + x+1 - x 3 ) ; 5) lim (
2
3x 2 + x +1+ x 3 ; ) 6) lim ( 2x 2 +1+ x ; )
x → +∞ x → −∞ x → −∞
7) lim ( x + x - x +4 ) ; 8) lim (
2 2
x 2 + 2x +4 - x 2 - 2x+4 ; ) 9) lim ( x 2 + 8x+4 - x 2 +7x+ 4 ; )
x → +∞ x → +∞ x → +∞
( x- ) ( x - 1)
n n
x 2 - 1 + x+ 2
10) lim
x → +∞
( 3
)
x 3 + 3x - x 2 - 2x ; 11) lim x( x 2 + 2x - 2 x 2 + x + x);
x → +∞
12) lim
x → +∞ xn
;
13 ) lim
x → +∞
( x+ x - x ; ) 14) lim
x → −∞
( ( x+ a ) ( x+b ) - x ) ; (
15) lim 2x - 5 - 4x 2 - 4x - 1 ;
x → −∞
)
16) lim x
x → −∞
( 4x 2 +9 + 2x ; ) 17) lim x
x → +∞
( )
x 2 +1 - x ; 18) lim x 2
x → +∞
( 3x 4 +5 - 3x 4 - 2 ; )
19 ) lim x ( x 2 + 2x + x - 2 x 2 + x ; ) 20) lim ( 3
x 3 +1 - x . )
x → +∞ x → −∞
Giới hạn một bên
Bài 8: Tính các giới hạn sau
x+ 2 x 4 - x2 x 2 -7x +12 x 2 + 3x+ 2
1) lim ; 2) lim- ; 3) lim- ; 4) lim + ;
+
x →0 x- x x→2 2- x x →3
9 - x2 x →( -1) x5 + x4
3x +6 3x+6 x 2 + 3x + 2 x 2 + 3x + 2
5) lim + ; 6) lim - ; 7) lim - ; 8) lim + ;
x →( -2 ) x+2 x →( -2 ) x+2 x →( -1) x+1 x →( -1) x +1
x2 - 4 x3 - 1 1- x + x - 1 9 - x2
9) lim- ; 10) lim ; 11) lim- ; 12) lim
x→2
(x 2
+1) ( 2 - x )
+
x →1
x2 - 1 x →1
x2 - x3 x → -3 2x 2 +7x + 3
Tính giới hạn dạng 0.∞ của hàm số
Bài 9: Tính các giới hạn sau
x x x -1 2x+1
1) lim+ ( x - 2 ) 2 ; 2) lim + ( x 3 +1) 2 ; 3) lim ( x+ 2 ) ; 4) lim ( x+1) ;
x→ 2 x -4 x → ( -1) x -1 x → +∞ x3 + x x→ -∞ 3
x + x+ 2

5. 3x+1 2x 3 + x 3 x+4
5) lim ( 1 - 2x ) ; 6) lim x 5 2 ; 7)lim .
( x - 2)
2
x →+∞ x 3 +1 x →- ∞ x - x +3 x →2 4-x
 −1ví i x < 0

Bài 10: Gọi d là hàm dấu: d( x) =  0 ví i x = 0 . Tìm x→0− ( x) , x→0+ ( x) vµ limd( x) (nếu có).
limd limd
x→0
1 ví i x > 0

x3
 ví i x<-1
Bài 11: Cho hàm số f ( x) =  2 . Tìm x→1− ( x) , x→1+ ( x) vµ limf ( x) (nếu có).
limf limf
x→1
2 − 3ví i x ≥ −1
 x
2x − 1
 ví i x ≤ -2
Bài 12: Cho hàm số f ( x) =  . Tìm x→( −2) − f ( x) , x→( −2) + f ( x) vµ x→−2 ( x) (nếu có).
lim lim limf
2
 2 + 1 ví i x > −2
 x
x2 − 2 + 3 ví i x ≤ 2
x
Bài 13: Cho hàm số f ( x) =  . Tìm x→2− ( x) , x→2+ ( x) vµ limf ( x) (nếu có).
limf limf
 4 − 3 ví i x > 2
x x→2
 9− x2 ví i -3≤ x<3


Bài 14: Cho hàm số f ( x) = 1 ví i x = 3 . Tìm limf ( x) , limf ( x) vµ limf ( x) (nếu có).
− + x→3
x→3 x→3
 2
 x − 9 ví i x > 3

2 2 + 3
x
 ví i x ≤ 1
 5

Bài 15: Tìm giới hạn một bên của hàm số f ( x) = 6 x ví i 1<x<3 khi x → 1± vµx → 3 .
-5 ±
 x-3
 2 ví i x ≥ 3
x − 9

VẤN ĐỀ 2: HÀM SỐ LIÊN TỤC.
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Hàm số liên tục tại một điểm trên một khoảng:
o Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b). Hàm số được gọi là liên tục tại điểm x0 ∈ (a;b) nếu:
lim  f ( x )  = f ( x0 ) .Điểm x0 tại đó f(x) không liên tục gọi là điểm gián đoạn của hsố
 
x → x0
o f(x) xác định trên khoảng (a;b) liên tục tại điểm x0 ∈ (a;b)
⇔ lim  f ( x )  = lim  f ( x )  = lim  f ( x )  = f ( x0 ) .
x → x0 
+  x → x0 
−  x → x0  
o f(x) xác định trên khoảng (a;b) được gọi là liên tục trên khoảng (a;b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc
khoảng ấy.
o f(x) xác định trên khoảng [a;b] được gọi là liên tục trên khoảng [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và
 lim  f ( x )  = f ( a )
 x →a+  

 x →b −  f ( x )  = f ( b )

lim  

6. Bài 3. Xét tính lien tục của các hàm số sau lại x0=1
 2x −1  x2 + x − 2
 , nêu x ≠ 1  , nêu x ≠ 1
a. f ( x) =  x b. f ( x) =  x - 1

 1, nêu x = 1 
 3, nêu x = 1
 x2 − 2x
 , nêu x ≠ 0
Bài 4. Cho hàm số f ( x) =  x .
2a + 1 , nêu x = 0

Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=0.
 x 2 − 16
 , nêu x ≠ 4
Bài 5. Cho hàm số f ( x) =  x − 4 .
2a + 1 , nêu x = 4

Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=4.
 x2 − x − 2
 , nêu x ≠ −1
Bài 6. Cho hàm số f ( x) =  x + 1 .

 a + 1 , nêu x = 1
Giá trị của a là bằng bao nhiêu để hàm số liên tục tại x0=-1.
 x2 − 4
 ví i x ≠ -2
8 ( x) =  x + 2
)f t¹ i ® mx=-2
iÓ .
 −4 ví i x=-2

 x2 + 1ví i x ≤ 1  x2 + 4ví i x < 2
9 ( x) = 
)f t¹ i ® mx
iÓ =1; 10 ( x) = 
)f t¹ i ® mx ;
iÓ =2
 x− 1 ví i x >1  2x+ 1 ví i x ≥ 2
 x2
 ví i x<0  2
 4− 3x ví i x ≤ -2
11)f ( x) =  t¹ i ® mx ; 12 f ( x) =  3
iÓ =0 ) t¹ i ® mx .
iÓ =-2
1 − x ví i x ≥ 0
 x
 ví i x>-2
Bài 2: xét tính liên tục của hàm số tại x=1
 x + a ví i x=1  x3 − x2 + 2 − 2
x
 2  ví i x ≠ 1
1)f ( x) =  x − 1 ; 2 ( x) = 
)f x− 1 .
 ví i x ≠ 1 3 + a
 x− 1  x ví i x=1
a ví i x=0
 2
 x − x− 6
Bài 3: xét tính liên tục của hàm số tại x=0và x=3 f ( x) =  2 ví i x2 − 3 ≠ 0 .
x
 x −3 x
b
 ví i x=3
Bài 4: Tìm a để hàm số liên tục tại x=0
 x + a khi x < 0  x + 2a khi x < 0
a)f ( x ) =  2 ; b)f ( x ) =  2 .
 x + 1 khi x ≥ 0  x + x + 1 khi x ≥ 0
 x 2 − 3x + 2
 khi x ≠ 1
Bài 5: Cho hàm số f ( x ) =  x − 1 .
a khi x = 1

a) Tìm a để hàm số liển tục trái tại x=1;
b) Tìm a để hàm số liển tục phải tại x=1;

7. c) Tìm a để hàm số liển tục trên R.
Hàm số liên tục trên một khoảng
Bài 1: Chứng minh rằng:
a)Hàm số f(x)= x 4 − x 2 + 2 liên tục trên R.
1
b)Hàm số f ( x ) = liên tục trên khoảng (-1; 1)
1− x2
1
c)Hàm số f(x)= 8 − 2x 2 liên tục trên nửa khoảng [ ; +∞) .
2
Bài 2: Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó:
x 2 + 3x + 4 1
a)f ( x ) = ; b)f ( x ) = 1 − x + 2 − x; c)f ( x ) = x 2 + x + 3 + .
2x + 1 x−2
Bài 3: Giải thích vì sao:
a)Hàm số f(x)= x 2 sinx-2cos 2 x+3 liên tục trên R.
x3 + xc s inx
o x+s
b)Hàm số g( x) = liªn tô trªn R.
c
2sinx+3
c)Hàm số h( x) =
( 2x+ 1) sinx-cos x
liªn tô t¹ i m i ® mx ≠ kπ, k∈ R.
c ä iÓ
xsinx
Bài 4: Tìm các khoảng, nửa khoảng trên đó mỗi hàm số sau đây liên tục:
x+ 1
a ( x) = 2
)f ; b)f ( x) = 3 − 2; c ( x) = x2 + 2 x + 3 d ( x) = ( x + 1) sinx.
x )f ; )f
x + 7x + 10
 x3 + 8
 ví i x ≠ 2
Bài 5: Hàm số f ( x) =  4x + 8 có liên tục trên R ?
3 ví i x=2

Bài 6: xét tính liên tục của các hàm số sau đây trên tập xác định của nó
 x2 + x khi x < 1  x2 ví i x<1  a2x2
 ví i x ≤ 2
1)f ( x) =  ; 2 ( x) = 
)f ; 3 ( x) = 
)f ;
 ax+1 khi x ≥ 1  2 x+3ví i x ≥ 1
a ( 1 − a) x ví i x>2

 x2 − 3 + 2
x
 ví i x<2  x2 ví i 0≤ x ≤ 1  2x + a ví i 0≤ x<1
4 ( x) =  x2 − 2x
)f ; 5 ( x) = 
)f ; 6 ( x) =  2
)f .
 m +1 ví i x ≥ 2  2 ví i 1<x ≤ 2
-x  a + 2 ví i 1 ≤ x ≤ 2
x
 x+m
2 2 −1 − 2 + 2
x x
 nÕ x > 1
u
 x− 1
Bài 7: xét tính liên tục của hàm số f(x) =  trên ¡ .
m 2 + x
x nÕ x ≤ 1
u

 2
Bài 4:Chứng minh các phương trình sau
a) x 3 − 19x − 30 = 0 có đúng ba nghiệm
b) x 5 − x 2 − 2x − 1 = 0 có đúng một nghiệm
c)4x 4 + 2x 2 − x − 3 = 0 có ít nhất hai nghiệm.
d) x 5 − 3x 4 + 5x 3 − 7x 2 + 8x − 11 = 0 cã nghiÖm. b) x 3 + ax 2 + bx + c = 0 cã nghiÖm.

8. e) x 5 − x 2 + 2x − 1 = 0 cã ®óng 1 nghiÖm d¬ng.
VẤN ĐỀ 3: ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ.
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b):
f (x) − f (x 0 ) ∆y
f '(x 0 ) = lim = lim (∆x = x – x0, ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0)
x →x 0 x − x0 ∆x → 0 ∆x
• Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại diểm đó.
2. Ý nghĩa của đạo hàm
Ý nghĩa hình học:
+ f′ (x0) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M ( x 0 ; f (x 0 ) ) .
+ Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M ( x 0 ; f (x 0 ) ) là:
y – y0 = f′ (x0).(x – x0)
3. Qui tắc tính đạo hàm
 n∈ N 
(C)' = 0 (x)′ = 1 (xn)′ = n.xn–1  n > 1 
 
( 1
x) =
′
(u ± v)′ = u′ ± v′ (uv)′ = u′v + v′u
2 x
 u ′ u′v − v′u  1 ′ v′
  = (v ≠ 0) (ku)′ = ku′   =− 2
v v2 v v
• Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm tại x là u′x và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại
u là y′u thì hàm số hợp y = f(g(x) có đạo hàm tại x là: y′x = y′u.u′x
4. Đạo hàm của hàm số lượng giác
( tanx ) ′ = 1 ( cot x ) ′ = − 1
(sinx)′ = cosx (cosx)′ = – sinx 2
cos x sin2 x
5. Đạo hàm cấp cao f ''(x) = [ f '(x)] ′ ; f '''(x) = [ f ''(x)] ′ ; f (n) (x) =  f (n−1) (x)′ (n ∈ N, n ≥ 4)
 
1. ĐẠO HÀM BẰNG CÔNG THỨC
Baøi 1:Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1 3 2
a) y = 2x 4 − x3 + 2 x − 5 b) y = − x + x x. c) y = (x3 − 2)(1 − x 2 )
3 x2 3
d) y = (x 2 − 1)(x 2 − 4)(x 2 − 9) e) y = (x 2 + 3x)(2 − x) f) y = (  1
x +1 
 x
) 
− 1

3 2x + 1 1 + x − x2
g) y= h) y = i) y =
2x + 1 1 − 3x 1 − x + x2
2 2 2x 2
k) y = x − 3x + 3 l) y = 2x − 4x + 1 m) y =
x −1 x −3 x 2 − 2x − 3
Baøi 2:Tính đạo hàm của các hàm số sau:

9. 3
2 4  2x + 1 
a) y = (x + x + 1) b) y = (1 − 2x 2 )5 c) y =  
 x −1 
(x + 1)2 1 4
d) y=
3
e) y = 2 2 f) y = ( 3 − 2x 2 )
(x − 1) (x − 2x + 5)
Baøi 3:Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = 2x 2 − 5x + 2 b) y = 3 x3 − x + 2 c) y = x + x
4x + 1 2
d) y = (x − 2) x 2 + 3 e) y = f) y = 4 + x
x2 + 2 x
x3 3
g) y = h) y = (x − 2)3 i) y = ( 1 + 1 − 2x )
x −1
Baøi 4:Tính đạo hàm của các hàm số sau:
2
 sinx 
a) y=   b) y = x.cosx c) y = sin3 (2x + 1)
 1 + cosx 
d) y = cot 2x e) y = sin 2 + x 2 f) y = sinx + 2x
2 1
g) y = tan2x + tan3 2x + tan5 2x h) y = 2sin2 4x − 3cos3 5x
3 5
 x + 1
k) y = sin ( cos2 x tan2 x )
2
i) y = (2 + sin2 2x)3 l) y = cos 


 x − 1
2. ĐẠO HÀM CẤP CAO
1. Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ... ta dùng công thức: y (n) = (y n−1)/ .
Baøi 1:Cho hàm số f (x) = 3(x + 1) cosx .
 π
a) Tính f '(x),f ''(x) b) Tính f ''(π), f ''   ,f ''(1)
 2
Baøi 2:Tính đạo hàm của các hàm số đến cấp được chỉ ra:
x−3
a) y = cosx, y ''' b) y = 5x 4 − 2x3 + 5x 2 − 4x + 7, y '' c) y = , y ''
x+4
d) y = 2x − x 2 , y '' e) y = x sinx, y '' f) y = x tanx, y ''
1
g) y = (x 2 + 1)3 ,y'' h) y = x 6 − 4x3 + 4, y(4) i) y = , y (5)
1− x
3. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ
1. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0, y0) ∈ (C) là: y − y 0 = f '(x 0 )(x − x 0 ) (*)
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k:
+ Gọi x0 là hoành độ của tiếp điểm. Ta có: f ′(x 0 ) = k (ý nghĩa hình học của đạo hàm)
+ Giải phương trình trên tìm x0, rồi tìm y 0 = f (x 0 ).
+ Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*)
3. Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) đi qua điểm A(x1, y1) cho trước:
+ Gọi (x0 , y0) là tiếp điểm (với y0 = f(x0)).

10. + Phương trình tiếp tuyến (d): y − y 0 = f '(x 0 )(x − x 0 )
(d) qua A (x1, y1) ⇔ y1 − y 0 = f '(x 0 ) (x1 − x 0 ) (1)
+ Giải phương trình (1) với ẩn là x0, rồi tìm y 0 = f (x 0 ) và f '(x 0 ).
+ Từ đó viết phương trình (d) theo công thức (*).
4. Nhắc lại: Cho (∆): y = ax + b. Khi đó:
1
+ (d) ⁄⁄ (∆) ⇒ k d = a + (d) ⊥ (∆ ) ⇒ k d = −
a
Baøi 1:Cho hàm số (C): y = f (x) = x 2 − 2x + 3. Viết phương trình tiếp với (C):
a) Tại điểm có hoành độ x0 = 1.
b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + 5 = 0.
c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = 0.
d) Vuông góc với đường phân giác thứ nhất của góc hợp bởi các trục tọa độ.
2
Baøi 2:Cho hàm số y = f (x) = 2 − x + x (C).
x −1
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(2; 4).
b) Viết phương trình ttiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1.
Baøi 3:Cho hàm số y = f (x) = 3x + 1 (C).
1− x
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(2; –7).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
1
d) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với d: y = x + 100 .
2
e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với ∆: 2x + 2y – 5 = 0.
Baøi 4:Cho hàm số (C): y = x3 − 3x 2 .
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I(1, –2).
b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị (C) không đi qua I.
Baøi 5:Cho hàm số (C): y = 1 − x − x 2 . Tìm phương trình tiếp tuyến với (C):
1
a) Tại điểm có hoành độ x0 = .
2
b) Song song với đường thẳng x + 2y = 0.
II− PHẦN TỰ LUẬN
Bài 1: Cho hàm số y = f ( x) = x 3 − 3 x 2 + 2 .
a) Viết pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = −3x
+ 2008.
b) Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ba nghiệm phân biệt.

11. 1 − cos x
 ( x ≠ 0)
 sin 2 x
Bài 2 (2đ) Xét tính liên tục của hàm số tại xo = 0 : f(x) = 
1 ( x = 0)
4

1 − x khi x ≤ 3
 2
Bài 3: Xét tính liên tục trên R của hàm số: f(x) =  x − 2 x − 3
 khi x > 3
 2x − 6
ì 2a 2 + 1
ï khi x £ 1
ï
ï 3
Bài 4 : Cho hµm sè f(x)= í x - x 2 + 2 x - 2 . §Þnh a ®Ó hµm sè liªn tôc trªn R
ï
ï khi x > 1
ï
ï
î x- 1
ì x 2 - 7 x + 10
ï
ï
ï khi x ¹ 2
Bài 5 Cho f ( x) = í x- 2 . Hàm số liên tục tại x = 2 thì giá trị của a là :
ï
ïa
ï
î khix = 2
Bài 6 : Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phương trình: (m2 + 1)x 4 – x 3 – 1 = 0 có ít nhất 2 nghiệm nằm
trong khoảng (– 1; 2 ).
2
Bài 7: Cho haøm soá : f(x) = 2x + 16cosx – cos2x
π
a./ Tính f’(x) vaø f’’(x) . Töø ñoù suy ra f’(0) vaø f’’( 2 ) b./ Giaûi phöông trình f’’(x) = 0
Bài 8: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và SA = a. Gọi I là trung điểm của cạnh SC và M là trung điểm của cạnh AB.
a) Chứng minh OI ⊥ ( ABCD) b) Tính góc tạo bỡi (IMC) và mặt đáy hình chóp.
·
Bài 9. Cho hình choùp ñeàu S.ABCD coù AB = a; goùc ASC = 2α
a). Ch. minh BD vuoâng goùc vôùi mp(SAC) b). Tính goùc giöõa caïnh beân vaø maët ñaùy,
maët beân vaø maët ñaùy.
Bài 10: 2). Cho hình choùp ñeàu S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng taâm O caïnh a; caïnh
beân SA = a 2 .
a). Tính khoaûng caùch töø S ñeán maët phaúng (ABCD)
b). Goïi I,J laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB,CD. chöùng minh (SIJ) ⊥ (SCD)
c). Tính khoaûng caùch töø O ñeán (SCD) d). Tính goùc giöõa caïnh beân vaø ñaùy
0
Bài 11. Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc caân taïi A coù goùc A baèng 120 ,caïnh
AB = SC = a, SC ⊥ (ABC) ,M laø trung ñieåm cuûa SC .
a) Tính khoaûng caùch töø C ñeán mp(SAB) vaø soá ño cuûa goùc hai maët phaúng (SAB)
vaø(ABC) .
b) Ñöôøng thaúng (d) ⊥(ABC) taïi B , ñieåm J∈(d) sao cho töù giaùc CSJB laø hình chöõ nhaät
. Tính goùc cuûa hai maët phaúng (ABC) vaø (MAJ) .

12. Bài 12 . Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy laø hình vuoâng caïnh a, SA vuoâng goùc ñaùy, SA = a 2
a). Tính khoaûng caùch töø SC ñeán (SBC)
b). Tính goùc giöõa SC vaø mp (SAD).
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD ) ,
góc giữa (SBC) và (ABCD) là 600.
a) Xác định góc 600. Chứng minh góc giữa (SCD) và (ABCD) cũng là 600.
b) Chứng minh (SCD ) ⊥ (SAD ) . Tính góc giữa (SAB) và (SCD), giữa (SCB) và (SCD).
c) Tính khoảng cách từ A đến (SBC), giữa AB và SC.
d) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SC và BD; SC và AD.
e) Dựng và tính diện tích thiết diện của hình chóp và mặt phẳng qua A, vuông góc với SC.
Bài 10 Hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a, nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. I là trung
điểm của AB.
a) Chứng minh tam giác SAD vuông. Tính góc giữa (SAD) và (SCD).
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SD và BC.
c) Gọi F là trung điểm AD. Chứng minh (SID ) ⊥ (SFC) . Tính khoảng cách từ I đến (SFC).
Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các mặt bên là các tam giác đều.
a) Xác định và tính góc giữa: - mặt bên và đáy - cạnh bên và đáy
- SC và (SBD) - (SAB) và (SCD).
b) Tính khoảng cách giữa SO và CD; CS và DA.
c) Gọi O’ là hình chiếu của O lên (SBC). Giả sử ABCD cố định, chứng minh khi S di động nhưng
SO ⊥ (ABCD ) thì O’ luôn thuộc một đường tròn cố định.

13. Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có (SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC), tam giác ABC vuông cân tại C. AC
= a; SA = x.
a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC).
b) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBC) . Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC). (O là trung điểm của AB).
d) Xác định đường vuông góc chung của SB và AC.
Bài 13 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng a. M, N, E lần lượt là trung
điểm của BC, CC’, C’A’ và mặt phẳng (P) đi qua M, N, E.
Xác định và tính diện tích thiết diện của (P) và lăng trụ.
Bài 14 : Cho hỡnh chúp S.ABC; ∆ ABC cú gúc B = 1v; SA⊥ (ABC). Trong tam giác SAB kẻ đường cao AH
⊥SB. Trong tam giác SAC kẻ đường cao AK ⊥ SC. Xác định góc giữa SC và (AHK).
Bài 15:
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; CD = 2a; AB = AD = a; SD ⊥ (ABCD) và
SB tạo với đáy (ABCD) góc α.
a) Xác định góc α.
b) Tính tan của góc ϕ giữa SA và đáy theo a và α.
Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a.SA ⊥ (ABCD); SA = a 6 .Tính góc giữa
SC và (ABCD).
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SA ⊥ (ABCD);
SA = a 6 . AM, AN là các đường cao của tam giác SAB và SAD;
1) CMR: Các mặt bên của chóp là các tam giác vuông. Tính tổng diện tích các tam giác đó.
2) Gọi P là trung điểm của SC. Chứng minh rằng OP ⊥ (ABCD).
3) CMR: BD ⊥ (SAC) , MN ⊥ (SAC).
4) Chứng minh: AN ⊥ (SCD); AM ⊥ SC
5) SC ⊥ (AMN)
6) Dùng định lí 3 đường vuông góc chứng minh BN ⊥ SD
7) Tính góc giữa SC và (ABCD)
8) Hạ AD là đường cao của tam giác SAC, chứng minh AM,AN,AP đồng phẳng.
Bài 2: Cho hỡnh choựp S.ABC coự ủaựy ABC laứ tam giaực vuoõng caõn taùi B , SA ⊥ (ABC) . Keỷ AH , AK
laàn lửụùt vuoõng goực vụựi SB , SC taùi H vaứ K , coự SA = AB = a .
1) Chửựng minh tam giaực SBC vuoõng .
2) Chửựng minh tam giaực AHK vuoõng vaứ tớnh dieọn tớch tam giaực AHK .
3) Tớnh goực giữa AK vaứ (SBC) .
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình thang vuông có BC là đáy bé và góc · ACD = 900 , SA
vuông góc với đáy
a) tam giác SCD, SBC vuông
b)Kẻ AH ⊥ SB, cm AH ⊥ (SBC)
c)Kẻ AK ⊥ SC, cm AK ⊥ (SCD)
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA=SB=SC=SD=a 2 ; O là tâm của hình
vuông ABCD.
a) cm (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD). b) cm (SAC) ⊥ (SBD)
c) Tính khoảg cách từ S đến (ABCD)
d) Tính góc giưa đường SB và (ABCD).

14. e) Gọi M là trung điểm của CD, hạ OH ⊥ SM, chứng minh H là trực tâm tam giác SCD
f) tính góc giưa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD)
g) Tính khoảng cách giữa SM và BC; SM và AB.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và SA=a; đáy ABCD là hình thang vuông có đáy bé là BC, biết
AB=BC=a, AD=2a.
1)Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
2)Tính khoảng cách giữaBC và SD; AB và SD
3)M, H là trung điểm của AD, SM cm AH ⊥ (SCM)
5)Tính góc giữa SC và (SAD), (SBC) và (ABCD)
6)Tính tổng diện tích các mặt của chóp.
Bài 9: Cho chóp OABC có OA=OB=OC=a; · · ·
AOC = 1200 ; BOA = 600 ; BOC = 900 cm
a)ABC là tam giác vuông
b)M là trung điểm của AC; cm tam giác BOM vuông
c)cm (OAC) ⊥ (ABC)
d)Tính góc giữa (OAB) và (OBC)
Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C, CA=CB=2a, hai mặt phẳng (SAB) và
(SAC) vuông góc với mặt đáy, cạnh SA=a. Gọi D là trung điểm của AB. a)Cm: (SCD) ⊥ (SAB)
b)Tính khoảng cách từ A đến (SBC)
c)Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC)
Bài 11: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.
a)Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD
b)Tính góc giữa câc cạnh bên và mặt đáy
c)Tính góc giữa các mặt bên và mặt đáy
d)Chứng minh các cặp cạnh đối vuông góc nhau.
Bài 12: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’; M, N là trung điểm của BB’ và A’B’
a)Tính d(BD, B’C’)
b)Tính d(BD, CC’), d(MN,CC’)
Bài 13: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có AB=BC=a; AC=a 2
a)cmr: BC vuông góc với AB’
b)Gọi M là trung điểm của AC, cm (BC’M) ⊥ (ACC’A’)
c)Tính khoảng cách giữa BB’ và AC.
Bài 14:
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vuông tại C, CA=a; CB=b, mặt bên AA’B’B là hình vuông. Từ
C kẻ đường thẳng CH ⊥ AB, kẻ HK ⊥ AA’
a) CMR: BC ⊥ CK , AB’ ⊥ (CHK)
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (AA’B’B) và (CHK)
c) Tính khoảng cách từ C đến (AA’B’B).