MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS ENTERAS
En el presente documento encontrarás teoría y ejercicios
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MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Y
POLINOMIOS
Multiplicación de monomios.
Multiplicar dos monomios es formar otro monomio cuyos ...
Pero sabemos que
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Luego si aplicamos la ley asociativa, el producto anterior puede
expresarse en forma reduci...
Regla de los exponentes. Los exponentes de las potencias que tienen
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Distribuyendo cada factor del polinomio (a + b + c) entre los
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DIVISIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS
División de monomios.
Dividir un monomio por otro es encontrar un tercero cuyo producto ...
(-5xy2
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15x3
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En la práctica el paso intermedio se realiza mentalmente.
Otro ejemplo.
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División entre polinomios
Consideremos dos polinomios ordenados según las potencias
descendentes de una letra x (pudiendo ...
A(x)=B(x) C(x).
Para ver cómo debe precederse para hallar el cociente y el resto de una
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Y si esto se resta del dividendo en la forma que indica el primer miembro
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Resumiremos el procedimiento explicado en la siguiente
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  1. 1. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS En el presente documento encontrarás teoría y ejercicios sobre multiplicación y división de expresiones algebraicas, léelo detenidamente y de preferencia arma tu propio resumen El texto presentado en su totalidad fue tomado del libro: ♦ GONZALES, M. O. ; MANCIL, J. D. ; “ALGEBRA ELEMENTAL MODERNA”; volumen I SUERT E Sigue adelante, con un poco de esfuerzo y dedicación las matemáticas son fáciles.
  2. 2. MULTIPLICACIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS Multiplicación de monomios. Multiplicar dos monomios es formar otro monomio cuyos factores sean todos y cada uno de los factores de los monomios dados. El monomio resultante se llama producto de los monomios dados. Ejemplo. Indicaremos el producto de los monomios - 3a2 b y +2a3 c escribiendo: (- 3a2 b)( 2a3 c) En virtud de la definición dada y de la ley conmutativa de la multiplicación de números relativos*, se puede escribir (-3)(+2)a2 a3 bc ADMINISTRA EFECTIVAMENTE TU TIEMPO
  3. 3. Pero sabemos que a2 a:3 = a5 , Luego si aplicamos la ley asociativa, el producto anterior puede expresarse en forma reducida así -6a5 bc En lo sucesivo, cuando hablemos de producto de dos monomios entenderemos el producto reducido, en la forma que muestra el ejemplo anterior, siempre que esta reducción sea posible, esto es, siempre que los monomios dados tengan coeficientes numéricos distintos de 1 y algunos factores comunes. Por ejemplo, el producto de los monomios ab y cd es el monomio abcd, el cual no es susceptible de reducción alguna. El ejemplo (-3a2 b)( + 2a3 c) = - 6a5 bc muestra que para obtener inmediatamente el producto reducido .basta tener en cuenta la siguiente REGLA. Multiplíquense los coeficientes numéricos de acuerdo (en el ejemplo -3 por 2). El resultado será el coeficiente numérico del producto de todos los factores literales que figuren en los monomios dados, elevando cada uno a un exponente igual a la suma de los exponentes de dicho factor en los distintos monomios. La regla anterior puede desdoblarse en dos: Regla de los coeficientes. Los coeficientes se multiplican siguiendo la regla, ya conocida, para los números relativos (teniendo en cuenta, en particular, la regla de los signos).
  4. 4. Regla de los exponentes. Los exponentes de las potencias que tienen la misma base se suman, según el principio fundamental am • a" = am+ ". Otros ejemplos. (-5a3 b2 c)(- 2abc3 ) = +10 a4 b3 c4 (+4u4 v5 x)(- 2uvx3 ) = -8 u5 v6 x4 Producto de un monomio por un polinomio. Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la ley distributiva, multiplicando el monomio por cada uno de los términos del polinomio. Ejemplos: m(a + b) = ma + mb m(a + b - c) = ma + mb –mc (-2x) (3x – 2y + z) = -6x2 +4xy -2xz Producto de un polinomio por otro polinomio. Para multiplicar dos polinomios se aplica también la ley distributiva. Resulta así un nuevo polinomio cuyos términos son los productos de cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio Ejemplo. El producto de los polinomios a + b + c y x + y + z se indica así (a + b + c) (x + y + z)
  5. 5. Distribuyendo cada factor del polinomio (a + b + c) entre los términos del polinomio (x + y + z) resulta: (a + b + c) (x + y + z) = ax + ay +az +bx +by +bz +cx +cy +cz La idea es multiplicar cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio con la finalidad de obtener la respuesta Ejemplo 1. Multiplicar x2 — 5x por 2x — 3 = (x2 — 5x) (2x — 3) = (x2 )(2x)+ (x2 )(-3)+ (-5x)(2X) + (-5x)(-3) = 2x3 – 3x2 -10x2 +15x = 2x3 – 13x2 +15x
  6. 6. DIVISIÓN DE MONOMIOS Y POLINOMIOS División de monomios. Dividir un monomio por otro es encontrar un tercero cuyo producto por el segundo sea el primero. En la división algebraica se usa la misma terminología y notación que en la división numérica Ejemplo. La división de 15x3 y2 por — 3x2 se indica así (15x3 y2 ) : ( -3x2 ) o bien (15x3 y2 ) / ( -3x2 ) En el Álgebra se prefiere generalmente la última notación. El monomio que se divide se llama dividendo (15x3 y2 en el ejemplo anterior). El monomio por el cual se divide se llama divisor (— 3x2 ). El monomio resultante se denomina cociente. En el ejemplo que estamos considerando el cociente es — 5xy2 . En efecto, Con esfuerzo y Amor todo es posible
  7. 7. (-5xy2 )(-3x2 )= 15x3 y2 . Por tanto, escribiremos 15x3 y2 = — 5xy2 . -3x2 Para obtener el cociente basta aplicar la siguiente regla REGLA. Divídanse los coeficientes numéricos. El resultado obtenido será el coeficiente numérico del cociente. Cada factor literal del dividendo o del divisor lo será también del cociente pero con un exponente igual a la diferencia entre los exponentes con que figura en el dividendo y en el divisor Cuando un factor figure en el dividendo pero no en el divisor (o viceversa) puede suponerse que tiene en éste (o en aquél) exponente cero. La regla anterior puede desdoblarse en dos: Regla de los coeficientes: Los coeficientes se dividen siguiendo la regla ya conocida para los números relativos (teniendo en cuenta, en particular, la regla de los signos). Regla de los exponentes: Los exponentes de las potencias que tienen la misma base se restan, según el principio fundamental am = am-n an Y se tienen presente que: a0 = 1 a -1 = 1 / a Aplicando la regla enunciada al ejemplo considerado anteriormente tendríamos:
  8. 8. 15x3 y2 15 = x(3-2) y2 =5xy2 - 3x2 - 3 En la práctica el paso intermedio se realiza mentalmente. Otro ejemplo. (4a4 b2 c) / (-8 a2 b3 c) = 1/2 a2 b-1 División de un polinomio por un monomio. Dividir un polinomio por un monomio es hallar otro polinomio cuyo producto por el monomio sea igual al polinomio dado. Regla. Para dividir un polinomio por un monomio basta dividir cada término del polinomio por el monomio y formar el polinomio cuyos términos son los cocientes así hallados. En general, el polinomio resultante no será un polinomio entero, es decir, sus términos contendrán divisores literales, o bien, factores elevados a exponentes negativos. Así, por ejemplo, (a + b – c) / m = a/m + b/m – c/m o en su efecto: am-1 + bm-1 - cm-1 Otro ejemplo. (x2 - 3xy) / x3 = x2 / x3 - 3xy / x3 = X-1 - 3x-2 y
  9. 9. División entre polinomios Consideremos dos polinomios ordenados según las potencias descendentes de una letra x (pudiendo contener o no los polinomios con las letras). Indicaremos esto usando la notación A(x) y B(x) para designar los polinomios, y supondremos que el grado de A(x) es mayor o igual que el de B(x) Así, por ejemplo, podremos tener A(x) = x3 + 2x2 — 3x + 6 B(x) = x2 - x + 2 De modo que aun cuando los polinomios contengan otras letras, sólo nos fijaremos, por el momento, en la letra ordenatriz x. Lo importante antes de iniciar la división de un polinomio es ordenar el mismo respecto a una letra ordenatriz, en el ejemplo la letra ordenatriz es (x) y se ordena de manera descendente tomando como referencia la (x ) que tenga el mayor exponente (en el ejemplo x3 ) y se ubican descendentemente x2 y x; tomando en cuenta el valos absoluto y relativo de los exponentes dados. Definición. Dividir un polinomio A(x) por otro polinomio B(x), cuyo grado sea igual o menor que el de A(x), es hallar otros dos polinomios C(x) y R(x) que cumplan las siguientes condiciones: ♦ A(x) = B(x).C(x) + R(x). ♦ Grado de R(x) menor que el grado de B(x). El polinomio A(x) se llama el dividendo, B(x) el divisor, C(x) el cociente entero, y R(x) el resto. Cuando el resto R(x) es cero la división de A(x) por B(x) se dice exacta, y se tiene
  10. 10. A(x)=B(x) C(x). Para ver cómo debe precederse para hallar el cociente y el resto de una división de polinomios, consideremos el caso particular siguiente: B(x) = 3x2 - x + 4 C(x) = 2x — 3 R(x) = x - 5. Se tendrá entonces: A(x) = (3x2 - x + 4) (2x - 3) + (x - 5). ó A(x) = 6x3 — Ilx2 + 12x - 17 De modo que: 6x3 – llx2 + 12x - 17 = (3x2 - x + 4) (2x - 3) + (x - 5). La igualdad anterior se puede escribir también: (6x3 - llx2 + 12x - 17) - (3x2 - x + 4)(2x - 3) = x - 5 Lo cual expresa que el resto de la división es la diferencia entre el dividendo y un cierto "múltiplo" del divisor. Aplicando la propiedad distributiva al producto indicado en el primer miembro tendríamos: [1] (6x3 — llx2 + 12x — 17) — (3x2 - x +4) (2x) - (3x2 - x + 4)(- 3) = x - 5 Puesto que el primer término del dividendo (6x3 ) es el producto del primer término del divisor (3x2 ) por el primer término del cociente (2x), éste último se puede hallar dividiendo 6x3 por 3x2 , esto es: 6x3 / 3x2 =2x Si ahora se multiplica 2x por el divisor completo 3x2 se obtiene 6x3 — 2x2 + 8x
  11. 11. Y si esto se resta del dividendo en la forma que indica el primer miembro de [1], se encuentra 6x3 - llx2 + 12x - 17 6x3 - 2x2 + 8x - 9x2 + 4x - 17 Que es lo que se llama el primer resto parcial. La igualdad [1] se puede entonces escribir [2] (-9x2 + 4x - 17) - (3x2 - x + 4)(- 3) = x - 5. Como el resto x — 5 es de grado menor que el divisor, los términos en x2 deben eliminarse, es decir: -9x2 = (3x2 )(—3). Por tanto, — 3, que es el segundo término del cociente, se puede hallar dividiendo el primer término del resto parcial por el primer término del divisor, a saber: (-9x2 ) / (3x2 ) = (—3). Finalmente, la igualdad [2] indica que el resto de la división se obtiene restando del primer resto parcial el producto del divisor completo por — 3. En la práctica las operaciones descritas se disponen de la manera siguiente: Dividendo 6x3 — llx2 + 12x — 17 / 3x2 — x + 4 Divisor 6X3 —2x2 + 8x — 3 2x – 3 Cociente 1er resto parcial - 9x2 + 4x — 17 - 9X2 + 3x — 12 Resto x — 5
  12. 12. Resumiremos el procedimiento explicado en la siguiente Regla. Supuestos ordenados el dividendo y el divisor en potencias descendentes de una misma letra, se obtiene el primer término del cociente dividiendo el primer término del dividendo por el primer término del divisor; el primer resto parcial resulta restando del dividendo el producto del divisor por él primer término del cociente; dividiendo ahora el primer término de dicho resto parcial por el primer término del divisor se obtiene el segundo término del cociente, y así sucesivamente, hasta obtener un resto cuyo erado sea menor que el grado del divisor, el cual será el resto de la división. Si este resto último es nulo la división será exacta Otros ejemplos. Dividendo x3 + 3x2 + x + 4 / x - 2 Divisor X3 - 2x2 x2 + 5x + 11 Cociente 1er resto parcial 5x2 + x + 4 5X2 - 10x 11x + 4 11x - 22 Resto +26

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