Ⅰ 직선의 방정식 Ⅱ 원의 방정식
Ⅲ 도형의 이동

Ⅰ

y ax b의 그래프
⑴ y ax 에서
b a의b성질
,
y
a 0 a 0
b
기울기
a 0
a
O x
b y 절편
Ⅰ

예제
오른쪽 그래프가 나타내는 직선의 방정식을 구하
여라.
y 증가량
x 증가량
Ⅰ

직선의 방정식
⑴ 기울기가 m이고 점 ( x1 , y1 ) 지나는 직선의 방정식
을
직선의 방정식을 y ax b y
기울기 m
기울기가 m이므로 a m
m
점 ( x1 , y 1을 지나므로
) y1 ax 1 b ( x1 , y 1 )
y1
a m 이므로 b y1 mx 1 1
x1
따라서 구하는 직선의 방정식은 O x
y mx y1 mx 1
∴ y y1 m(x x1 )
Ⅰ

⑵ 두 점 ( x1 , y1 ), ( x 2 , 를2 지나는 직선의 방정식
y )
y
( x2 , y2 )
y2
직선의 방정식을 y ax b ( y2 y1 )
( x1 , y 1 )
y1
y2 y1
기울기가 m 이므로 ( x2 x1 )
x2 x1
O x1 x2 x
y2 y1
∴ x1 x2 일 때 y y1 (x x1 )
x2 x1
x1 x2 일 때 x x1
Ⅰ

예제
두 점 (1, 2 ), ( 3,5 )
직선의 방정식을 구하여라.
Ⅰ

⑶ x절편이 a이고, y
절편이 인 직선의 방정식
b
오른쪽 그림에서 (ab 0)
b
기울기가 , y절편이 이므로
b y
a
a
b b b
y x b ∴ x y b
a a b
양변을 b로 나누면 O a x
x y
1
a b
Ⅰ

예제
다음 조건을 만족시키는 직선의 방정식을 구하여라.
x절편이 5
이고, 절편이
y 인 직선
3
Ⅰ

두 직선 사이의 위치관계
y ax b, y ax b
⑴ a a 한 점에서 만나다 한 쌍의 근을 갖는다
⑵ a a, b b 평행하다 근이 없다 (불능)
⑶ a a, b b 일치한다 근이 무수히 많다 (부정)
⑷ aa 1 수직이다 한 쌍의 근을 갖는다
⑴y ⑵ y ⑶ y ⑷ y
x
O O x O x O x
Ⅰ

예제
다음 물음에 답하여라.
(1) 보기에서 서로 평행인 직선끼리 짝을 지어라.
(2) 보기에서 서로 수직인 직선끼리 짝을 지어라.
Ⅰ

점과 직전과의 거리
좌표평면에서 점 P ( x1 , y1 )
으로부터 직선 ax by c 0
까지의 거리를 d 하면
라 y
ax by c 0
ax 1 by 1 c
d d
2 2
a b P ( x1 , y 1 )
O x
Ⅰ

예제
다음에 주어진 점과 직선 사이의 거리를 구하여라.
( 2 ,3 ), 4 x 3y 8 0
Ⅰ

Ⅱ

원의 방정식의 표준형
⑴ 점 ( a , b를 중심으로 하고, 반지름
) 인 원의 방정식
r
점 C ( a , b를 중심으로 하고, 반지름 인 원
) r
y
위의 임의의 점을 P ( x , y ) 하면
라
P ( x, y )
r 로 부터
2 2
CP (x a) (y b) r r
C
양변을 제곱하면 (a, b)
2 2 2
(x a) (y b) r
O x
Ⅱ 원의 방정식

⑵ 원점을 중심으로 하고, 반지름 r 원의 방정식
인
y
P ( x, y )
r
(x a)
2
(y b)
2
r
2
에서
O x
a 0, b 0 인 경우이므로
2 2 2
x y r
Ⅱ 원의 방정식

예제
다음 원의 방정식을 구하여라.
중심이 ( 3, 이고
1) 축에 접하는 원
y
Ⅱ 원의 방정식

원의 방정식의 일반형
원의 방정식 ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2
을 전개하여 정리하면 다음과 같다.
2 2 2 2 2
x y 2 ax 2 by a b r 0
여기서 2a A, 2b B, a 2 b
2
r
2
C 로 놓으면
2 2
x y Ax By C 0 (일반형)
2 A 2 2 B 2 A 2 B 2
x Ax ( ) y By ( ) ( ) ( ) C 0
2 2 2 2
2 2
A B A B 4C
∴ (x )
2
(y )
2
2 2 4
A B 2 2
중심 : ( , 반지름 :
),
A B 4C
2 2 2
Ⅱ 원의 방정식

예제
다음 방정식이 나타내는 원의 중심과 반지름의 길이를
구하여라. x
2
2x 1 y
2
4y 4 9
Ⅱ 원의 방정식

원과 직선의 관계
y
⑴ 원과 직선의 위치관계 D 0
D 0
• y x n D 0
2 2 2
• x y r
2 2 2
x (x n) r
2 2 2 O r x
2x 2 nx n r 0
① D 0 서로 다른 두 실근 두 점에서 만난다
② D 0 중근 접한다
③ D 0 서로 다른 두 허근 만나지 않는다
Ⅱ 원의 방정식

예제
다음 원과 직선의 교점의 개수를 구하여라.
2 2
x y 10 , y 3x 10
Ⅱ 원의 방정식

원과 직선의 관계
⑵ - ① 원의 접선의 방정식 – 접선의 방정식
y1 x
OP의 기울기는 이므로 에서의 접선의 기울기는
P 이다.
1
x1 y1
따라서 접선의 방정식은 y
x1
y y1 (x x1 )
y1
∴ x1 x
2 2
y1 y x1 y1 P ( x1 , y 1 )
이
P ( x1 , y 1 ) x
2
y 위의 r
2 2
점이므로 x1
2 2 2 O x
y1 r
2
∴ x1 x
2 2 2
y1 y r x y r
(원 x 2 y
2
위의 점
r
2
( x1에서의 접선의 방정식)
, y1 )
Ⅱ 원의 방정식

⑵ - ② 원의 접선의 방정식 – 직선의 방정식
y
2 2 2
x y r
기울기가 m 접선의 방정식을
인 y mx b
P ( x1 , y 1 )
대입하면 x 2
( mx b)
2
r
2
2 2 2 2
(m 1) x 2 bmx b r 0 O x
직선이 원에 접하려면 중근을 가져야 하므로 x
2
y
2
r
2
2 2 2 2 2
D/4 b m (m 1)( b r ) 0
전개하여 정리하면 b 2 (m
2
1) r
2
∴ b r m
2
1
2
y mx r m 1
(원 x 2 y
2
에2 접하고 기울기가
r 인 직선의 방정식)
m
Ⅱ 원의 방정식

예제
다음 접선의 방정식을 구하여라.
x
2
y
2
위의 점
10 ( 에서의 접선
3,1)
Ⅱ 원의 방정식

Ⅲ 도형의 이동

평행이동
⑴ 점의 평행이동 y
Q(x a, y b)
좌표평면 위의 점 P ( x , y )
를 축 방향
x
으로 a만큼, y 방향으로 만큼 평행이
축 b b
동한 점을 Q 하면
라
O x
Q(x a, y b) a
P ( x, y ) (x a, y)
이다.
이와 같이 점 P ( x , y ) 점
를
Q(x a , y 로)이동시키는 것을 평행이동이라 하고,
b
T : ( x, y ) (x a, y b)
와 같이 나타낸다.
Ⅲ 도형의 이동

f (x a, y b) 0
f ( x, y ) 0
⑵ 도형의 평행이동
b
P ( x, y ) a
좌표평면 위의 도형
f ( x, y ) 0 O
을 평행이동
T : ( x, y ) (x a, y b)
에 의하여 이동한 도형의 방정식은 다음과 같다.
f (x a, y b) 0
Ⅲ 도형의 이동

예제
다음 점은 평행이동 ( x , y1, y 에 2 ) 2 , y 의하여 어떤
평행이동 ( x , y ) ) 의하여 1)
(x 에
점으로 옮겨지는지 구하여라. 방정식을 구하여라.
원 x 2 y 2 가 옮겨지는 원의
2
( 3, 1)
Ⅲ 도형의 이동

대칭이동
⑴ 점의 대칭이동
⑴ x축에 대한 대칭이동 T : ( x, y ) ( x, y )
⑵ y축에 대한 대칭이동 T : ( x, y ) ( x, y )
⑶ 원점에 대한 대칭이동 T : ( x, y ) ( x, y )
⑷ 직선 y 에 대한 대칭이동
x T : ( x, y ) ( y, x)
⑴y ( x, y ) ⑵ ⑶ y ⑷y
y
( x, y ) y x
( y, x)
O x
( x, y ) ( x, y ) O x
( x, y )
O x
( x, y ) O x
( x, y )
Ⅲ 도형의 이동

⑵ 도형의 대칭이동
⑴ x축에 대하여 대칭이동 f ( x, y ) 0
⑵ y축에 대하여 대칭이동 f ( x, y ) 0
⑶ 원점에 대하여 대칭이동 f ( x, y ) 0
⑷ 직선 y x 대하여 대칭이동
에 f ( y, x) 0
Ⅲ 도형의 이동

예제
점 ( 2 , 5 ) 주어진 조건에 따라 알맞게 대칭이동한 점
를
의 좌표를 찾아 선으로 연결하여라.
Ⅲ 도형의 이동

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