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Capítulo                     9
OSCILACIONES Y
ONDAS MECÁNICAS

                 OSCILATORIO
      MOVIMIENTO OSCILATORIO

      Es aquel movimiento en el cual el cuerpo se mueve hacía uno y otro
      lado respecto a una posición de equilibrio, o decir efectúa un movi-
      miento de vaivén.




      MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.)

      Es aquel movimiento oscilatorio que se repite en intervalos iguales
      de tiempo y además se realiza en una trayectoria con tendencia a la
      línea recta.

      Ilustración



                                                      Se muestra una masa sujeta a
                                                      un resorte sin estirar (posición
                                                      de equilibrio).




                                                      Una fuerza deformadora (FD )
                                                      estira el resorte hasta su posi-
                                                      ción extrema.



                                                      Cuando se suelta el bloque, éste
                                                      regresa a su posición de equili-
                                                      brio e incluso lo sobrepasa has-
                                                      ta llegar a la otra posición ex-
                                                      trema, gracias a la fuerza del re-
                                                      sorte: Fuerza Recuperadora
                                                      (FR ).
214                                                                           Jorge Mendoza Dueñas


CONCEPTOS IMPORTANTES                                          FD = Kx

                                                       FD : fuerza deformadora
                                                       K : constante propio del resorte (N/m)
                                                       x : elongación (deformación)

                                                       B)   Período de Oscilación: ( T = t1 + t2)




A)    Oscilación Simple.- Es el movimiento que
      realiza un cuerpo al ir de una posición extre-
      ma hasta la otra (ABCD).
                                                                               T : período
B)    Oscilación Doble o Completa.- Es el movi-                       m
                                                             T = 2π            m : masa del bloque
      miento que realiza un cuerpo en ir de una                       K        K : constante del resorte
      posición extrema a la otra y luego regresar
      a la primera (ABCDCBA).                          C)   Velocidad (v):

C)    Período (T).- Es el tiempo que emplea un                    2π 2 2
                                                             v=      A −x
      cuerpo en realizar una oscilación completa.                  T

D)    Frecuencia (f).- Es el número de oscilacio-      D)   Aceleración (a):
      nes completas que realiza un cuerpo en cada
      unidad de tiempo (f = 1/T).                                   4 π2
                                                             a=±
                                                                     T2
                                                                         bg
                                                                         x
E)    Elongación (x).- Es la distancia existente
      entre la posición de equilibrio y el cuerpo
      en un instante cualquiera.                       ASOCIACIÓN DE RESORTES

F)    Amplitud (A).- Es la distancia existente en-     A)   Resortes en Serie.- Un sistema de resortes
      tre la posición de equilibrio y cualquiera            está en serie cuando la deformación del resor-
      de las posiciones extremas.                           te equivalente es igual a la suma de las defor-
                                                            maciones de cada resorte. En este caso, la
EXPRESIONES MATEMÁTICAS                                     fuerza en cada resorte será la misma.
IMPORTANTES

A)    Ley de Hooke.- “La fuerza deformadora es di-
      rectamente proporcional a la deformación”
Oscilaciones y Ondas Mecánicas                                                                                                 215


         1   1 1 1
           =  + +
        K E K1 K 2 K 3


B)   Resortes en Paralelo.- Un sistema de resor-
     tes está en paralelo cuando ellos tienen la
     misma deformación.




                                                                                L
                                                                  T = 2π
                                                                                g


                                                       T : período
                                                       L : longitud de la cuerda
       K E = K1 + K 2 + K 3                            g : aceleración de la gravedad



PÉNDULO SIMPLE

El péndulo simple es aquel dispositivo que está
constituído por una masa de pequeñas dimensio-
nes, suspendida de un hilo inextensible y de peso
despreciable. Cuando la masa se desvía hacia un
lado de su posición de equilibrio y se abandona,
oscila alrededor de esa posición con un movimien-
to oscilatorio y periódico, cuya trayectoria es casi
una línea recta si el ángulo θ entre la posición ex-
trema y la posición de equilibrio no sobrepasa los
15 grados.


LEYES DEL PÉNDULO SIMPLE
                                                       Una aplicación directa del péndulo es el “bate segundos”, que generalmente se
1º   El período no depende de la masa que oscila.      usaban años atrás, el período de este reloj es de 2 segundos; es decir en ir y
                                                       regresar demora 2 segundos.

2º   El período es directamente proporcional a la
     raíz cuadrada de la longitud del péndulo.

3º   El período es inversamente proporcional a
     la raíz cuadrada de la aceleración de la gra-
     vedad.
216                                                                                                              Jorge Mendoza Dueñas


                                                ONDULATORIO
                                     MOVIMIENTO ONDULATORIO


CONCEPTO DE ONDA                                                              B)     Ondas Transversales.- Son aquellas en las
                                                                                     cuales las partículas del medio vibran perpen-
Una onda es aquella perturbación en los medios                                       dicularmente a la dirección de las ondas. Por
elásticos o deformables. Es transportadora de                                        ejemplo las ondas de una cuerda.
energía; pero es incapaz de desplazar una masa
en forma contínua. Toda onda al propagarse da
lugar a vibraciones.
Es importante notar que el medio mismo no se
mueve en conjunto en la dirección en que avan-
za el movimiento ondulatorio. Las diversas partes
del medio oscilan únicamente en trayectorias li-
                                                                                                                         dirección de
mitadas.                                                                                                                 las ondas




                                                                               La onda producida en la cuerda viaja verticalmente, mientras que cada partí-
                                                                               cula de la cuerda vibra horizontalmente (perpendicular a la dirección de la
                                                                               onda).

 El agua del océano es perturbado por el viento, por tal motivo se originan   ELEMENTOS DE UNA ONDA
 ondas en el mar (olas).

                                                                              A)     Ciclo.- Se le llama también fase y viene a ser
 En este capítulo limitaremos nuestra atención a
                                                                                     el movimiento ordenado por una onda com-
 ondas en medios deformables o elásticos (on-
                                                                                     prendida entre dos puntos consecutivos de
 das mecánicas).
                                                                                     posición semejante.
CLASES DE ONDAS
                                                                              B)     Período (T).- Es el tiempo transcurrido du-
A)     Ondas Longitudinales.- Son aquellas en                                        rante la realización de un ciclo.
       las cuales las partículas del medio vibran pa-
       ralelo a la dirección de las ondas. Por ejemplo                        C)     Frecuencia (f).- Es el número de ciclos reali-
       las ondas del sonido.                                                         zados en cada unidad de tiempo. La frecuen-
                    dirección de                                                     cia es la inversa del período.
                    las ondas
                                                                                                                        1
                                                                                                                 f =
                                                                                                                        T

                                                                              D)     Longitud de onda (λ ) .- Es la distancia,
                                                                                     medida en la dirección de la propagación de
                                                                                     la onda que existe entre dos puntos conse-
                                                                                     cutivos de posición semejante. También se le
 Las partículas de la masa contínua vibran en la misma dirección de las on-          define como el espacio que una onda reco-
 das. Nótese que dicha masa no se mueve en conjunto con las ondas, sino que
 oscilan en trayectoria cerrada.                                                     rre en un tiempo igual al período.
Oscilaciones y Ondas Mecánicas                                                                        217

                                                        ONDAS VIAJERAS UNIDIMENSIONALES

                                                        Daremos a conocer la ecuación de una onda
                                                        unidimensional.

                                                        A)    Cuando la onda se propaga de izquier-
                                                              da a derecha.

E)   Velocidad de una onda (v).- Es la rapidez
     con la cual una onda se propaga en un me-
     dio homogéneo. Una onda se propaga en
     línea recta y con velocidad constante.

                           λ
                      v=         T: período
                           T

F)   Crestas.- Son los puntos más altos de las ondas.

G)   Valles.- Son los puntos más bajos de las ondas.
                                                                         b
                                                              y = Asen Kx − ωt   g   T = período
                                                                                     t = tiempo
H)   Amplitud (A).- Es la altura de una cresta o la
     profundidad de un valle.                                 A = Amplitud

                                                                   2π
                                                              K=      = # de onda
                                                                   λ
                                                                   2π
                                                              ω=      = frecuenciaangular
                                                                    T

                                                        B)    Cuando la onda se propaga de derecha
                                                              a izquierda.

                                                                         b
                                                              y = Asen Kx + ωt   g
       OBSERVACIÓN
 Las ondas se pueden clasificar también como            VELOCIDAD DE UNA ONDA TRANSVERSAL
 ondas unidimensionales, bidimensionales y              EN UNA CUERDA
 tridimensionales, según el número de dimen-
 siones en que propague la energía. Las ondas           Experimentalmente se puede demostrar de una
 que se mueven en una cuerda horizontal o en            manera sencilla, que la velocidad de la onda de-
 el resorte vertical son unidimensionales. Las olas     pende sólo de la tensión o fuerza ejercida sobre la
 u ondas en el agua son bidimensionales. Las            cuerda y de la masa de la unidad de longitud “µ” de
 ondas sonoras y las ondas luminosas son tridi-         la cuerda.
 mensionales.
                                                                   F
                                                             v=
                                                                   µ


                                                         F = tensión
                                                         µ = masa por unidad de longitud
218                                                                                                                Jorge Mendoza Dueñas

ONDAS MECÁNICAS CONOCIDAS

1.-    LAS ONDAS DEL SONIDO

Son ondas longitudinales que se originan por el
movimiento de un cuerpo.
Todo cuerpo que se mueve produce sonido. En                                     El sonido agudo es debido a una fre-     El sonido grave se debe a una fre-
                                                                                cuencia alta.                            cuencia baja.
nuestra vida diaria, el sonido se propaga a través
del aire (en el vacío no se propaga, es decir no hay                           C)      Timbre.- Es la cualidad que nos permite dis-
sonido). El sonido tiene tres cualidades:                                              tinguir una misma nota emitida por desigua-
                                                                                       les instrumentos. Un violín y una trompeta
A)     Intensidad.- Es la cualidad por la que perci-                                   pueden emitir una misma nota (un mismo
       bimos un sonido FUERTE o DÉBIL. El sonido                                       tono), pero sus timbres serán diferentes.
       emitido por un radiorreceptor puede tener
       demasiada intensidad y ser molesto, por lo
       que reducimos el volumen, lo cual significa
       que disminuimos la intensidad del sonido
       emitido. A mayor amplitud mayor sonido.

                                                                                Dos personas pueden entonar la misma canción, pero sus timbres siempre se-
                                                                                rán diferentes.

                                                                               2.- LAS ONDAS EN EL AGUA

                                                                               Son ondas transversales que se originan al pertur-
                                                                               bar una masa de agua por intermedio de por lo
                                                                               menos un cuerpo.

                                                                               Las ondas en el agua ocurren generalmente en grupos y no aislados. Esto
                                                                               puede observarse al arrojar un cuerpo a un depósito. Una serie completa de
                                                                               crestas de ondas se mueven a partir del punto en que el cuerpo se sumerge, las
 Los parlantes de un equipo de so-   Un radio transistor emite un sonido cu-   separa la misma distancia (λ).
 nido vibran con mayor amplitud;     yas ondas tienen amplitud pequeña;
 luego su intensidad será grande.    luego su intensidad será muy pobre.

B)     Tono.- Es la cualidad que nos hace percibir
       como agudo o como grave y depende de la fre-
       cuencia de la onda. Dos notas musicales distin-
       tas se diferencian en el tono.
       El tono que los músicos llaman La4 tiene una
       frecuencia de 440 Hz y el denominado Fa5, tie-
       ne una frecuencia de 739,99 Hz; cuanto mayor                                                                                 plano imaginario
       sea la frecuencia, mayor será el tono.
       El tímpano humano responde a sonidos en un
       amplio intervalo de frecuencias. Aunque el in-
       tervalo real varía según el individuo, podemos                            Un objeto flotante se
       afirmar que en general el intervalo de audi-                              mueve en trayectoria cir-
       ción humana oscila entre 20 Hz y 20 000 Hz.                               cular cuando una onda
                                                                                 pasa; el agua también se
       Las frecuencias mayores se denominan ultrasóni-                           mueve en círculos; a pe-
       cas. Los humanos no pueden oír frecuencias ul-                            sar que la onda transpor-
                                                                                 ta energía en la dirección
       trasónicas pero algunos animales (los perros, por                         de la propagación.
       ejemplo) si pueden hacerlo. Los silbatos “silencio-
       sos” para perros se basan en este principio.
Ciencia y Tecnología
Oscilaciones y Ondas Mecánicas                                                             219



 ¿Porqué se producen las olas?
 ¿Porqué
   orqu     producen
 Lo que se muestra en la figura, una ola por
 lo menos ocurre cuando las ondas se pro-
 pagan en aguas profundas y cuando la al-
 tura de la onda es pequeña. Si un viento
 continúa soplando contra la onda, parte de
 la carga de velocidad del viento se trans-
 forma en una carga de gravedad en la
 onda, la cual crece en la altura. Si la onda
 adquiere tanta energía como para que su
 altura alcance más de un séptimo de su
 longitud de onda, se romperá. Cuando esto
 ocurre, el agua en la cresta es liberada de
 su movimiento circular y es lanzada vio-
 lentamente en la dirección de la onda.

 Una vez que la onda se rompe, la altura
 de ésta se reduce a menos de un séptimo
 de su longitud de onda y la onda continúa
 avanzando como antes, para luego entrar
 en aguas poco profundas (orilla), donde
 se romperá y arrojará una masa de agua
 hacia la playa.
 Las olas transportan enormes cantidades
 de energía y las más grandes son capaces de destruir los barcos que encuentran en su camino.




 El maremoto (tsunami)

                                                           El maremoto no necesariamente
                                                           se produce por acción de los vien-
                                                           tos, sino más bien por efecto de
                                                           algún terremoto debajo de las
                                                           aguas; el movimiento sísmico em-
                                                           puja una parte del fondo del mar
                                                           hacia arriba o hacia abajo lo que
                                                           origina una larga ola la cual avan-
                                                           za y crece, tal es así que cuando
                                                           llega a Tierra puede medir hasta
                                                           30 metros de altura provocando
                                                           consecuencias dañinas.
220                                                                         Jorge Mendoza Dueñas
                                                                              Ciencia y Tecnología



 Las ondas sonoras necesitan del aire para propagarse
                                           propagarse
                                             opagar


 En realidad, las ondas mecánicas ne-
 cesitan algún medio para propagarse,
 así pues, el sonido necesita del aire
 para manifestarse.
 En el Sol se producen contínuamente
 grandes explosiones, si entre la Tie-
 rra y el Sol existiese aire en su totali-
 dad, estaríamos condenados a es-
 cuchar explosiones todos los días.




 El silbato silencioso
 Ultrasonido: Los ultrasonidos son so-
 nidos que superan los 20 000 Hertz,
 El hombre no está en la capacidad
 de captar sonidos tan agudos, sin
 embargo animales como el murcié-
 lago, el perro entre otros pueden
 captar estos sonidos fácilmente.
 El silbato silencioso para dar orde-
 nes a los perros es una prueba de
 ello.


                                         La resonancia
                                         El edificio colapsa debi-
                                         do al a energía máxima
                                         que absorbe de las on-
                                         das sísmicas por efecto
                                         de la resonancia.
                                         Se produce resonancia
                                         cuando la frecuencia de
                                         un ente externo se igua-
                                         la a la frecuencia natural
                                         de la estructura (edificio, casa, puente, etc).
                                         Cuando esto sucede se generan ondas estacionarias en la
                                         cual la transferencia de energía desde el ente externo has-
                                         ta la estructura se hace máxima.
                                         La frecuencia natural de la estructura depende de las ca-
                                         racterísticas propias de la misma y es fácil calcularla.
Oscilaciones y Ondas Mecánicas                                                                                              221


                                                          TEST

1.-   El sonido se transmite a alta velocidad a través del:     6.-   Considerando el caso anterior, la máxima compresión
                                                                                                          1
      a)   Aire.                                                      del resorte es: (energía potencial = Kx2 )
      b)   Vacío.                                                                                         2
      c)   Agua.                                                                                                     1/ 2
      d)   Acero.                                                     a)
                                                                            Mv 2
                                                                                                     d)   2v
                                                                                                            FG MIJ
      e)   Madera.                                                           K                               HKK
                                                                                       1/ 2                          1/ 2
2.-   Se produce un eco únicamente si una onda sonora es:             b)    v
                                                                             FG M IJ                 e)
                                                                                                             FKI
                                                                                                          2vG J
                                                                              HKK                            H MK
      a)   Absorbida.                                                                  1/ 2
      b)   Amplificada.                                               c)
                                                                              FKI
                                                                            vG J
      c)   Medida.                                                            H MK
      d)   Reflejada.
      e)   Perturbada.                                          7.-   Una masa M unida a un resorte de constante elástica
                                                                      K mantiene un M.A.S. horizontal de amplitud “A” De-
                                                                                                                     .
3.-   Si se produce un fuerte sonido desde un punto cerca-            terminar la energía cinética del bloque cuando pasa
      no a una de las superficies reflectoras de sonido, dis-         por la posición de equilibrio.
      tantes y opuestas, tales como; montañas, es posible                                   1 2
                                                                      (energía potencial = Kx )
      que una persona.                                                                      2

      a)   No escuche el eco.
      b)   Escuche dos o más ecos.
      c)   Encuentre que el eco se cancela.
      d)   Escuche ecos continuos.
      e)   Escuche solo tres ecos.

4.-   El número de ondas sonoras producidas en una uni-
      dad de tiempo se llama:
                                                                            KA2
      a)   Tono.                                                      a)                             d)   Cero
      b)   Frecuencia.                                                       2
      c)   Amplitud.
                                                                                                          KA
      d)   Intensidad.                                                b)    KA2                      e)
      e)   Período.                                                                                        2

5.-   Un Bloque de masa “M” es disparado con velocidad “v”            c)    2KA2
      contra un resorte de masa despreciable y constante
      elástica K. Suponiendo el plano horizontal liso, es co-   8.-   Respecto a los movimientos armónicos simples, seña-
      rrecto que durante la compresión del resorte:                   lar verdadero o falso:

                                                                      I.-   El carácter cinemático involucra las funciones ar-
                                                                            mónicas senos y cosenos.
                                                                      II.- Todos los movimientos oscilatorios por una posi-
                                                                            ción de equilibrio son armónicos.
                                                                      III.- Estos movimientos transcurren bajo la acción
                                                                            de fuerzas recuperadoras elásticas que son go-
      a)   La fuerza resultante sobre el bloque es hacia la                 bernadas por la ley de Hooke.
           derecha.
      b)   Cuando el bloque se detiene momentáneamen-                 a)    VFV
           te su aceleración es nula.                                 b)    VVV
      c)   El bloque estará en equilibrio cuando su veloci-           c)    VFF
           dad es nula.                                               d)    FFF
      d)   La rapidez del bloque varía entre 0 y “v”
                                                   .                  e)    FVV
      e)   Todas son falsas.
222                                                                                                Jorge Mendoza Dueñas


9.-    Respecto al período de oscilación de un péndulo,          10.-   Si un péndulo es trasladado de un lugar de menor al-
       señalar verdadero o falso:                                       tura respecto a la superficie terrestre a otro de mayor
                                                                        altura, su período de oscilación: ........................
       I.- Es proporcional a la masa oscilante.
       II.- Depende de la desviación respecto a la posición             a)   Aumenta dependiendo de la altura.
             de equilibrio.                                             b)   Disminuye dependiendo de la altura.
       III.- Oscila en planos variables.                                c)   Permanece igual.
       IV.- Es proporcional a la raíz cuadrada de la longitud           d)   Aumenta al doble.
             e inversamente proporcional a raíz cuadrada de             e)   Disminuye en la mitad.
             la gravedad.

       a)   VVVV                     d)   FFFF
       b)   FFVV                     e)   FVVF
       c)   FFFV




                                            RESUELTOS
                                  PROBLEMAS RESUELTOS


 A    problemas de aplicación

1.-    En la siguiente figura, se muestra un bloque unido a             Solución:
       un resorte que realiza un movimiento armónico sim-
       ple, si la amplitud para este caso es de 1 m. Determi-           t 1 ciclo < > ABC + CBA
       nar qué espacio recorre el bloque en un ciclo.




       Solución:                                                        t t ABC = 8 s                    t e1ciclo = e ABC + e CBA
                                                                             t CBA = 8 s                         e1ciclo = 4 + 4
                                                                             t1ciclo = t ABC + t CBA             e1ciclo = 8 m
                                                                             t1ciclo = 16 s


                                                                 3.-    ¿Cuál es la longitud de un péndulo, cuyo período es
                                                                        de 4 segundos? (g = π2 m/s2).

                                                                        Solución:

      En un ciclo se recorre cuatro veces el valor de la am-                             L
                                                                        t T = 2π
      plitud.                                                                            g
                            e= 4m                                             T          L        T2         L
                                                                                =             ⇒          =
2.-    Un bloque que realiza un M.A.S. en ir de una posición                 2π          g        4 π2       g
       extrema a la posición de equilibrio recorre 2 m en 4 s.
                                                                                  gT2
       Determinar qué espacio recorre y qué tiempo demo-                     L=
       ra en un ciclo.                                                            4π 2
Oscilaciones y Ondas Mecánicas                                                                                                             223


      t Reemplazando: T = 4 s , g = π2                                B    problemas complementarios
                           2
           L=
                   π 4
                    2
                        bg          ⇒ L= 4m                          1.-   Un punto tiene un movimiento vibratorio de período
                    4 π2                                                   T = 2 s, si su velocidad máxima es 2,5 m/s. Calcular su
4.-   Si la longitud de un péndulo simple aumentase en                     amplitud.
      2 m, su período se triplicaría. Calcular la longitud
      del péndulo (en metros).                                             Solución:

      Solución:
                                                                                                                  v máx

      t Inicialmente:

           L   U
               V    T = 2π
                                    L
           T   W                    g
                                                                                     2π
      t Finalmente:                                                             v=      A2 − x 2 ............. (1)
                                                                                      T
           LF = L + 2
                                                                           t Para que: vmax ⇒ x = 0
           TF = 3T                                                              T = 2s

           2π
                    LF
                       = 3 2π
                              LF         I                                      v max = 2, 5 m / s
                    g         gGH        JK
                                                                           t Reemplazando en (1):
               LF    L                        L+2    L
                  =3   ⇒                          =3                                      2π
               g     g                         g     g                          2, 5 =       A2 − 0         ⇒ 2, 5 = πA
                                                                                           2
      t Elevando al cuadrado ambos miembros:                                    A = 0 ,796 m
           L+2   L
               =9 ⇒                     L = 0 , 25 m                 2.-   En el oscilador horizontal sin fricción de la figura, hallar
            g    g                                                         la amplitud máxima para que la masa superior no res-
5.-   La ecuación de cierta onda transversal es:                           bale. El coeficiente de fricción entre “m” y “M” es µ.

                   y = 0 , 03 sen 2π
                                          FG t − x IJ
                                           H 0, 02 0, 20 K
      donde, x e y se miden en metros y t en segundos,
      calcular:

      A)   La amplitud.
      B)   La longitud de onda.
      C)   La frecuencia.                                                  Solución:
      D)   La velocidad de propagación.
                                                                           t Para hallar la amplitud máxima tendremos que
      Solución:                                                              hallar la máxima aceleración.

      t De la fórmula: y = Asen 2π                     FG t − x IJ                    b         g
                                                                                FR = m + M a ............. (1)             De la figura:
                                                        H T λK                                                              f = ma
                                                                                FR = Kx ........................ (2)
           Comparando las ecuaciones:                                                                                        µmg = ma
                                                                           t (1) = (2):                                      a = µg
           A) A = 0,03 m
                                                                                      b
                                                                                Kx = m + M a    g
           B) λ = 0,20 m
                                  1                                             x=
                                                                                     bm + Mga ............. (3)           D.C.L. (m)
           C) T = 0,02 s ⇒ f =                                                             K
                               0 , 02
                                                                           t En (3):
                   f = 50 ciclos/s ⇒ f = 50 Hertz

                         λ 0 , 20                                               x=
                                                                                     bm + Mgµg
           D) v =         =                   ⇒ v = 10 m / s                                K
                         T 0 , 02
224                                                                                              Jorge Mendoza Dueñas


3.-   En la figura mostrada, determinar el período de osci-         t Finalmente:
      lación del bloque de masa “m” .
                                                                                      m       3m
                                                                         T = 2π          = 2π
                                                                                      KE      4K

                                                                                   3m
                                                                         T=π
                                                                                   4K

                                                              4.-   La escala de una balanza de resorte que registra de
                                                                    0 a 200 N, tiene una longitud de 10 cm. Un bloque
                                                                    suspendido de dicha balanza oscila verticalmente
                                                                    dando 120 vibraciones por minuto. Calcular la masa
      Solución:
                                                                    del bloque (considerar π2 = 10).
      El sistema equivale a:
                                                                    Solución:

                                                                    t Analizando el resorte con el peso de 0 a 200 N:




                                                                    t Analizando el resorte con el bloque de masa “m”

                                                                         f =120 rev/min
                                                                                   rev 1min    rev
                                                                         f = 120      ×     =2
                                                                                   min 60 s     s

      t K1 : Proviene de asociar dos resortes en serie.                 1
                                                                    t T= s
                                                                        2
           1 1 1          2K
             = +   ⇒ K1 =                                                             m
           K1 K 2K         3                                             T = 2π
                                                                                      K
      t K2 : Proviene de asociar dos resortes en paralelo.
                                                                         1      m
                                                                           = 2π
          K2 = K + K      ⇒    K 2 = 2K                                  2      K

      t K3 : Proviene de asociar dos resortes en serie.                   1    m
                                                                            =
                                                                         4π   2000
            1   1 1 1 1          2K
              =   + =  +  ⇒ K3 =                                           1
                                                                                  =
                                                                                       m
           K 3 K 2 K 2K K         3
                                                                         16 π 2       2000
      t KE = ?                                                                  2 000
                                                                         m=                  ⇒    m = 12, 5 kg
                                                                               16 × 10
          Nótese que si K1 se comprime “A” posteriormente
                                          ,                   5.-   Un reloj pendular tiene un período de 2 segundos en un
          K3 también se comprime “A” lo cual significa que
                                     ,                              lugar donde g = 10 m/s2 . Si se lleva dicho péndulo a un
          las deformaciones en los resortes son iguales.            planeta “x” su nuevo período es de 4 segundos. ¿Cuánto
                                                                               ,
                                                                    vale la aceleración de la gravedad en ese planeta?
      t Por lo tanto estos se encuentran en paralelo.
          KE = K1 + K 3                                             Solución:

                 2K 2K                 4K                           t Según la fórmula
          KE =      +         ⇒ KE =                                  de péndulo simple:            T = 2π
                                                                                                             L
                  3   3                 3                                                                    g
Oscilaciones y Ondas Mecánicas                                                                                                                225


          En la Tierra:                                  En el Planeta “x”:          7.-   Un péndulo efectúa 10 vibraciones, otro péndulo, en
                                                                                           el mismo tiempo que el primero realiza 6 vibraciones,
                       L                                          L                        la diferencia entre las longitudes de ambos péndulos
          2 = 2π          ......... (1)                  4 = 2π      ......... (2)
                       gt                                         gP                       es 16 cm. Hallar las longitudes de los péndulos.

      t (2) : (1)                                                                          Solución:
                  gt                     gt                                                                           1
          2=              ⇒         4=                                                     f1 = 10 vib/u ⇒ T1 =         u
                  gP                     gP                                                                          10
                                                                                                              1
              g                  10                                                        f2 = 6 vib/u ⇒ T2 = u
          gP = t          ⇒ gP =                                                                              6
               4                  4
                                                                                           Siendo u : Unidad de tiempo.
          gP = 2, 5 m / s2
                                                                                                              L1           1      L
                                                                                           t T1 = 2π             ⇒           = 2π 1
6.-   ¿A qué altura sobre la superficie terrestre, el período                                                 g           10      g
      de un péndulo se duplica?
                                                                                           t T2 = 2π L2          ⇒
                                                                                                                          1      L
                                                                                                                            = 2π 2
      Solución:                                                                                      g                    6       g

      t Recordar:                                                                          t T1 : T2
                     GM
          g2 =                                                                                    6   L
                  bR + hg   2                                                                       = 1
                                                                                                 10   L2
                 GM
          g1 =                                                                                    36 L1
                  R2                                                                                =           ⇒         L1 = 0 , 36 L2
                                                                                                 100 L 2
      t Ahora:
                                                                                           t Además: L2 – L1 = 16 cm (dato)
                   L                       L
           T1 = 2π    = 2π                                                                      L2 − 0 , 36L 2 = 16 ⇒ 0 , 64 L2 = 16
                   g1                    FG IJ
                                          GM
                                          H K
                                          R2                                                     L1 = 9 cm                     L2 = 25 cm
                            2
                       LR ......... (1)
           T1 = 2π                                                                   8.-   Una onda transversal viajera en una cuerda es des-
                       GM
                                                                                           crita por la ecuación:
                        L                       L
           T2 = 2π         = 2π
                                         LM GM OP                                                                    FG
                                                                                                          y = 16sen πx −
                                                                                                                                3πt   IJ ;
                        g2                                                                                            H          2     K
                                          MN bR + hg PQ
                                                     2
                                                                                           donde x, y son dados en cm, y el tiempo en segun-
                                                                                           dos. Calcular “y” cuando x = 0,5 cm; t = (1/6) s.
                                    2
           T2 = 2π
                         b g
                        L R+h
                                         ......... (2)                                     Solución:
                            GM

      t (1) : (2)                                                                          x = 0 , 5 cm   U
                                                                                                          |
           T1           R2                                                                 t=
                                                                                                1
                                                                                                  s
                                                                                                          V
                                                                                                          |
                                                                                                               y=?
              =                 2                                                               6         W
           T2        bR + hg
                                                                                           t               FG 3πt IJ
                                                                                                 y = 16sen πx −
            T1
               =
                 R
                     ⇒
                                        1
                                          =
                                            R                                                               H 2K
           2T1 R + h                    2 R+h
                                                                                                            L              F 3π I F 1 I O
                                                                                                 y = 16sen Mb π gb0 , 5g − G J G J P
          h=R                                                                                               N              H 2 KH 6KQ
           h = 6 370 km                                                                                    F π πI                         π
                                                                                                 y = 16sen G − J ⇒ y = 16sen
         Caso General:
                                                                                                           H 2 4K                         4

                                                                                                           2
                             T1 R + h1                                                           y = 16         ⇒    y = 8 2 cm
                               =                                                                          2
                             T2 R + h2
226                                                                                                  Jorge Mendoza Dueñas


9.-   Un pescador, en un bote anclado, observa que éste          10.-   Se suspende un peso “W” de una cuerda uniforme de
      flota efectuando 10 oscilaciones completas en 8 s, y              longitud “L” y masa “M” tal como se muestra en la
                                                                                                ,
      que se invierten 4 s, para que la cresta de la ola reco-          figura. Agitando transversalmente el extremo inferior
      rra los 16 m de su bote. ¿Cuántas ondas completas                 se origina una onda, la cual se propaga a lo largo de
      existe en cualquier instante a lo largo de la longitud            dicha cuerda. En consecuencia, ¿cuál es la máxima
      del bote?                                                         velocidad de propagación?

      Solución:                                                         Solución:
               10 ciclos
      t f=
                  8s
                              v                                                    F ......... (1)
                                                                            v=
                                                                                   µ




                                                                        t Para que v sea máximo, F tiene que ser también
                                                                          máximo. Nótese que la cuerda es vertical, por
      t Según el problema:                                                tanto “F” no es constante.
               e 16
          v=    =   = ⇒ v = 4 m/s                                       t F= W +
                                                                                    FG MgIJ x ;       Fmax   ⇒ x =L
               t 4                                                                   HLK
      t Se sabe:                                                                        F MgIJ L
                                                                            Fmax   =W+G
            λ
        v = = λf           ⇒ 4=λ
                                   FG 10 IJ                                             HLK
            T                       H 8K                                    Fmax = W + Mg ......... (2)
           λ = 3, 2 m
                    m
                                                                        t (2) en (1):
      t Como quiera que el bote mide 16 m, el número
        de ondas que pasa por él será:                                              W + Mg
                                                                            v=
                        16 m                                                         M/L
          N° de ondas =
                        3, 2 m
                                                                                    WL
          N° de ondas = 5                                                    v=        + gL
                                                                                    M
Oscilaciones y Ondas Mecánicas                                                                                                227


                                  PROBLEMAS PROPUESTOS


 A    problemas de aplicación

1.-    En la figura mostrada, calcular el período de oscila-
       ción del cuerpo de masa m = 1 kg.

                                                                                                           Rpta.    1,2 m/s

                       2π
       Rpta.              s
                        5


                                                                  8.-    Una cuerda de 3 m tiene una masa de 120 g. ¿A qué
                                                                         velocidad se propagan las ondas transversales en la
                                                                         cuerda si se pone bajo una tensión de 4 N?
2.-    Comparar los períodos de oscilación en cada caso.
                                                                         Rpta.     10 m/s

                                                                  9.-    Un corcho flotando en el mar realiza 20 oscilaciones
                                                                         completas en 30 s, debido al movimiento de las aguas.
                                                                         Calcular la velocidad de propagación de la onda mari-
                 I                           (II)                        na sabiendo que las aristas de las olas están separa-
                                                                         das entre si 60 m.


                                     Rpta.    TII > TI > TIII

               (III)                                                     Rpta.     40 m/s

3.-    Un cuerpo pequeño de 0,10 kg está ejecutando un
       M.A.S. de 1 m de amplitud y 0,2 segundos de período.
       Si las oscilaciones son producidas por un resorte, ¿cuál
       es la constante de fuerza del resorte? π2 = 9,8.           10.-   Una cuerda de 1,5 m y de 0,3 kg, contiene una onda
                                                                         estacionaria como muestra la figura, cuando la ten-
       Rpta.           98 N/m                                            sión es 180 N, calcular la frecuencia de oscilación.

4.-    En un M.A.S. la relación entre la velocidad máxima y la
       aceleración máxima es 2/π. Calcular el período del
       M.A.S.

       Rpta.           4s

5.-    Un péndulo simple tiene una longitud de 1,6 m. Cal-
       cular su período de oscilación (g = 10 m/s2).                     Rpta.     60 Hz

       Rpta.           0,8 π s

6.-    Un péndulo simple oscila con un período de 0,6 s, si
       se lo lleva a la Luna. ¿Cuál será su nuevo período?
                                                                   B     problemas complementarios
               1
       (gL =     g ; g = 10 m/s2).
               6 t t
                                                                  1.-    En un M.A.S. ¿a qué distancia del punto de equilibrio
       Rpta.           0, 6 6 s                                          su velocidad es igual a la mitad de su velocidad máxi-
                                                                         ma siendo la amplitud de oscilación A = 20 cm?
7.-    La onda que se muestra es emitida por un vibrador de
       60 Hz. Calcular la velocidad de dicha onda.                       Rpta.     17,3 cm
228                                                                                                Jorge Mendoza Dueñas


2.-   Un bloque de 4 kg de masa, que está unido a un resorte       7.-    Un estudiante golpea el agua de una cubeta 4 ve-
      de rigidez K = 9 N/m, se encuentra oscilando vertical-              ces por segundo y nota que la onda producida re-
      mente con una amplitud de 50 cm. Determinar a qué                   corre 60 cm en 5 s. ¿Cuál es la longitud de onda
      distancia se encuentra el bloque, de su posición de equi-           del fenómeno?
      librio en el instante que su velocidad es de 60 cm/s.
                                                                          Rpta.     λ = 3 cm
      Rpta.     30 cm
                                                                   8.-    La ecuación de una onda transversal que se propaga
3.-   Si la masa de 2 kg está osci-                                       en una cuerda es:
      lando con una amplitud de
      40 cm. Determinar la máxi-                                                     y = 4 sen 2π
                                                                                                    FG t − x IJ ;
      ma velocidad que adquie-                                                                       H 0,1 20 K
      re en su trayectoria.                                               donde las distancias están en cm y los tiempos en s.
                                                                          ¿Determinar el período, la frecuencia, la longitud de
                                                                          onda y la velocidad de propagación?
      Rpta.     8 m/s
                                                                          Rpta.     T = 0,1 s
                                                                                    f = 10 Hz
                                                                                    λ = 20 cm
                                                                                    v = 200 cm/s
4.-   Un péndulo simple ejecuta 30 oscilaciones simples por
      minuto con una amplitud de 10 cm. Determinar su              9.-    Dos pulsos de onda generados en una cuerda tensa
      máxima velocidad.                                                   se mueven como se observa en la figura. ¿Cuánto tiem-
                                                                          po tardarán en pasar la una, sobre la otra?
      Rpta.     10π cm/s

5.-   Dos péndulos de L1 = 30 cm y L2 = 60 cm se encuen-
      tran en lugares donde la aceleración de la gravedad
      son: g1 = 10 m/s2 y g2 = 5 m/s2 . Determine la relación
      de sus períodos (T1 /T2), sabiendo que la relación de
      sus masas pendulares son: m1= 2m2
                                                                          Rpta.     10 s
      Rpta.     1/2
                                                                   10.-   ¿Qué diferencia de fase habrá entre las vibraciones de
6.-   Un reloj de péndulo hecho en Tierra es llevado a un                 2 puntos que se encuentran respectivamente a las
      planeta desconocido donde la gravedad es 4 veces                    distancias de 10 y 16 m del centro de vibración?. El
      que la Tierra. Si el período en la Tierra es 1 hora, ¿cuál          período de vibración de 0,04 s y su velocidad de pro-
      será el período en dicho planeta?                                   pagación 300 m/s.

      Rpta.     0,5 hora                                                  Rpta.     π rad

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oscilaciones

  • 1. Capítulo 9 OSCILACIONES Y ONDAS MECÁNICAS OSCILATORIO MOVIMIENTO OSCILATORIO Es aquel movimiento en el cual el cuerpo se mueve hacía uno y otro lado respecto a una posición de equilibrio, o decir efectúa un movi- miento de vaivén. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.) Es aquel movimiento oscilatorio que se repite en intervalos iguales de tiempo y además se realiza en una trayectoria con tendencia a la línea recta. Ilustración Se muestra una masa sujeta a un resorte sin estirar (posición de equilibrio). Una fuerza deformadora (FD ) estira el resorte hasta su posi- ción extrema. Cuando se suelta el bloque, éste regresa a su posición de equili- brio e incluso lo sobrepasa has- ta llegar a la otra posición ex- trema, gracias a la fuerza del re- sorte: Fuerza Recuperadora (FR ).
  • 2. 214 Jorge Mendoza Dueñas CONCEPTOS IMPORTANTES FD = Kx FD : fuerza deformadora K : constante propio del resorte (N/m) x : elongación (deformación) B) Período de Oscilación: ( T = t1 + t2) A) Oscilación Simple.- Es el movimiento que realiza un cuerpo al ir de una posición extre- ma hasta la otra (ABCD). T : período B) Oscilación Doble o Completa.- Es el movi- m T = 2π m : masa del bloque miento que realiza un cuerpo en ir de una K K : constante del resorte posición extrema a la otra y luego regresar a la primera (ABCDCBA). C) Velocidad (v): C) Período (T).- Es el tiempo que emplea un 2π 2 2 v= A −x cuerpo en realizar una oscilación completa. T D) Frecuencia (f).- Es el número de oscilacio- D) Aceleración (a): nes completas que realiza un cuerpo en cada unidad de tiempo (f = 1/T). 4 π2 a=± T2 bg x E) Elongación (x).- Es la distancia existente entre la posición de equilibrio y el cuerpo en un instante cualquiera. ASOCIACIÓN DE RESORTES F) Amplitud (A).- Es la distancia existente en- A) Resortes en Serie.- Un sistema de resortes tre la posición de equilibrio y cualquiera está en serie cuando la deformación del resor- de las posiciones extremas. te equivalente es igual a la suma de las defor- maciones de cada resorte. En este caso, la EXPRESIONES MATEMÁTICAS fuerza en cada resorte será la misma. IMPORTANTES A) Ley de Hooke.- “La fuerza deformadora es di- rectamente proporcional a la deformación”
  • 3. Oscilaciones y Ondas Mecánicas 215 1 1 1 1 = + + K E K1 K 2 K 3 B) Resortes en Paralelo.- Un sistema de resor- tes está en paralelo cuando ellos tienen la misma deformación. L T = 2π g T : período L : longitud de la cuerda K E = K1 + K 2 + K 3 g : aceleración de la gravedad PÉNDULO SIMPLE El péndulo simple es aquel dispositivo que está constituído por una masa de pequeñas dimensio- nes, suspendida de un hilo inextensible y de peso despreciable. Cuando la masa se desvía hacia un lado de su posición de equilibrio y se abandona, oscila alrededor de esa posición con un movimien- to oscilatorio y periódico, cuya trayectoria es casi una línea recta si el ángulo θ entre la posición ex- trema y la posición de equilibrio no sobrepasa los 15 grados. LEYES DEL PÉNDULO SIMPLE Una aplicación directa del péndulo es el “bate segundos”, que generalmente se 1º El período no depende de la masa que oscila. usaban años atrás, el período de este reloj es de 2 segundos; es decir en ir y regresar demora 2 segundos. 2º El período es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la longitud del péndulo. 3º El período es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la aceleración de la gra- vedad.
  • 4. 216 Jorge Mendoza Dueñas ONDULATORIO MOVIMIENTO ONDULATORIO CONCEPTO DE ONDA B) Ondas Transversales.- Son aquellas en las cuales las partículas del medio vibran perpen- Una onda es aquella perturbación en los medios dicularmente a la dirección de las ondas. Por elásticos o deformables. Es transportadora de ejemplo las ondas de una cuerda. energía; pero es incapaz de desplazar una masa en forma contínua. Toda onda al propagarse da lugar a vibraciones. Es importante notar que el medio mismo no se mueve en conjunto en la dirección en que avan- za el movimiento ondulatorio. Las diversas partes del medio oscilan únicamente en trayectorias li- dirección de mitadas. las ondas La onda producida en la cuerda viaja verticalmente, mientras que cada partí- cula de la cuerda vibra horizontalmente (perpendicular a la dirección de la onda). El agua del océano es perturbado por el viento, por tal motivo se originan ELEMENTOS DE UNA ONDA ondas en el mar (olas). A) Ciclo.- Se le llama también fase y viene a ser En este capítulo limitaremos nuestra atención a el movimiento ordenado por una onda com- ondas en medios deformables o elásticos (on- prendida entre dos puntos consecutivos de das mecánicas). posición semejante. CLASES DE ONDAS B) Período (T).- Es el tiempo transcurrido du- A) Ondas Longitudinales.- Son aquellas en rante la realización de un ciclo. las cuales las partículas del medio vibran pa- ralelo a la dirección de las ondas. Por ejemplo C) Frecuencia (f).- Es el número de ciclos reali- las ondas del sonido. zados en cada unidad de tiempo. La frecuen- dirección de cia es la inversa del período. las ondas 1 f = T D) Longitud de onda (λ ) .- Es la distancia, medida en la dirección de la propagación de la onda que existe entre dos puntos conse- cutivos de posición semejante. También se le Las partículas de la masa contínua vibran en la misma dirección de las on- define como el espacio que una onda reco- das. Nótese que dicha masa no se mueve en conjunto con las ondas, sino que oscilan en trayectoria cerrada. rre en un tiempo igual al período.
  • 5. Oscilaciones y Ondas Mecánicas 217 ONDAS VIAJERAS UNIDIMENSIONALES Daremos a conocer la ecuación de una onda unidimensional. A) Cuando la onda se propaga de izquier- da a derecha. E) Velocidad de una onda (v).- Es la rapidez con la cual una onda se propaga en un me- dio homogéneo. Una onda se propaga en línea recta y con velocidad constante. λ v= T: período T F) Crestas.- Son los puntos más altos de las ondas. G) Valles.- Son los puntos más bajos de las ondas. b y = Asen Kx − ωt g T = período t = tiempo H) Amplitud (A).- Es la altura de una cresta o la profundidad de un valle. A = Amplitud 2π K= = # de onda λ 2π ω= = frecuenciaangular T B) Cuando la onda se propaga de derecha a izquierda. b y = Asen Kx + ωt g OBSERVACIÓN Las ondas se pueden clasificar también como VELOCIDAD DE UNA ONDA TRANSVERSAL ondas unidimensionales, bidimensionales y EN UNA CUERDA tridimensionales, según el número de dimen- siones en que propague la energía. Las ondas Experimentalmente se puede demostrar de una que se mueven en una cuerda horizontal o en manera sencilla, que la velocidad de la onda de- el resorte vertical son unidimensionales. Las olas pende sólo de la tensión o fuerza ejercida sobre la u ondas en el agua son bidimensionales. Las cuerda y de la masa de la unidad de longitud “µ” de ondas sonoras y las ondas luminosas son tridi- la cuerda. mensionales. F v= µ F = tensión µ = masa por unidad de longitud
  • 6. 218 Jorge Mendoza Dueñas ONDAS MECÁNICAS CONOCIDAS 1.- LAS ONDAS DEL SONIDO Son ondas longitudinales que se originan por el movimiento de un cuerpo. Todo cuerpo que se mueve produce sonido. En El sonido agudo es debido a una fre- El sonido grave se debe a una fre- cuencia alta. cuencia baja. nuestra vida diaria, el sonido se propaga a través del aire (en el vacío no se propaga, es decir no hay C) Timbre.- Es la cualidad que nos permite dis- sonido). El sonido tiene tres cualidades: tinguir una misma nota emitida por desigua- les instrumentos. Un violín y una trompeta A) Intensidad.- Es la cualidad por la que perci- pueden emitir una misma nota (un mismo bimos un sonido FUERTE o DÉBIL. El sonido tono), pero sus timbres serán diferentes. emitido por un radiorreceptor puede tener demasiada intensidad y ser molesto, por lo que reducimos el volumen, lo cual significa que disminuimos la intensidad del sonido emitido. A mayor amplitud mayor sonido. Dos personas pueden entonar la misma canción, pero sus timbres siempre se- rán diferentes. 2.- LAS ONDAS EN EL AGUA Son ondas transversales que se originan al pertur- bar una masa de agua por intermedio de por lo menos un cuerpo. Las ondas en el agua ocurren generalmente en grupos y no aislados. Esto puede observarse al arrojar un cuerpo a un depósito. Una serie completa de crestas de ondas se mueven a partir del punto en que el cuerpo se sumerge, las Los parlantes de un equipo de so- Un radio transistor emite un sonido cu- separa la misma distancia (λ). nido vibran con mayor amplitud; yas ondas tienen amplitud pequeña; luego su intensidad será grande. luego su intensidad será muy pobre. B) Tono.- Es la cualidad que nos hace percibir como agudo o como grave y depende de la fre- cuencia de la onda. Dos notas musicales distin- tas se diferencian en el tono. El tono que los músicos llaman La4 tiene una frecuencia de 440 Hz y el denominado Fa5, tie- ne una frecuencia de 739,99 Hz; cuanto mayor plano imaginario sea la frecuencia, mayor será el tono. El tímpano humano responde a sonidos en un amplio intervalo de frecuencias. Aunque el in- tervalo real varía según el individuo, podemos Un objeto flotante se afirmar que en general el intervalo de audi- mueve en trayectoria cir- ción humana oscila entre 20 Hz y 20 000 Hz. cular cuando una onda pasa; el agua también se Las frecuencias mayores se denominan ultrasóni- mueve en círculos; a pe- cas. Los humanos no pueden oír frecuencias ul- sar que la onda transpor- ta energía en la dirección trasónicas pero algunos animales (los perros, por de la propagación. ejemplo) si pueden hacerlo. Los silbatos “silencio- sos” para perros se basan en este principio.
  • 7. Ciencia y Tecnología Oscilaciones y Ondas Mecánicas 219 ¿Porqué se producen las olas? ¿Porqué orqu producen Lo que se muestra en la figura, una ola por lo menos ocurre cuando las ondas se pro- pagan en aguas profundas y cuando la al- tura de la onda es pequeña. Si un viento continúa soplando contra la onda, parte de la carga de velocidad del viento se trans- forma en una carga de gravedad en la onda, la cual crece en la altura. Si la onda adquiere tanta energía como para que su altura alcance más de un séptimo de su longitud de onda, se romperá. Cuando esto ocurre, el agua en la cresta es liberada de su movimiento circular y es lanzada vio- lentamente en la dirección de la onda. Una vez que la onda se rompe, la altura de ésta se reduce a menos de un séptimo de su longitud de onda y la onda continúa avanzando como antes, para luego entrar en aguas poco profundas (orilla), donde se romperá y arrojará una masa de agua hacia la playa. Las olas transportan enormes cantidades de energía y las más grandes son capaces de destruir los barcos que encuentran en su camino. El maremoto (tsunami) El maremoto no necesariamente se produce por acción de los vien- tos, sino más bien por efecto de algún terremoto debajo de las aguas; el movimiento sísmico em- puja una parte del fondo del mar hacia arriba o hacia abajo lo que origina una larga ola la cual avan- za y crece, tal es así que cuando llega a Tierra puede medir hasta 30 metros de altura provocando consecuencias dañinas.
  • 8. 220 Jorge Mendoza Dueñas Ciencia y Tecnología Las ondas sonoras necesitan del aire para propagarse propagarse opagar En realidad, las ondas mecánicas ne- cesitan algún medio para propagarse, así pues, el sonido necesita del aire para manifestarse. En el Sol se producen contínuamente grandes explosiones, si entre la Tie- rra y el Sol existiese aire en su totali- dad, estaríamos condenados a es- cuchar explosiones todos los días. El silbato silencioso Ultrasonido: Los ultrasonidos son so- nidos que superan los 20 000 Hertz, El hombre no está en la capacidad de captar sonidos tan agudos, sin embargo animales como el murcié- lago, el perro entre otros pueden captar estos sonidos fácilmente. El silbato silencioso para dar orde- nes a los perros es una prueba de ello. La resonancia El edificio colapsa debi- do al a energía máxima que absorbe de las on- das sísmicas por efecto de la resonancia. Se produce resonancia cuando la frecuencia de un ente externo se igua- la a la frecuencia natural de la estructura (edificio, casa, puente, etc). Cuando esto sucede se generan ondas estacionarias en la cual la transferencia de energía desde el ente externo has- ta la estructura se hace máxima. La frecuencia natural de la estructura depende de las ca- racterísticas propias de la misma y es fácil calcularla.
  • 9. Oscilaciones y Ondas Mecánicas 221 TEST 1.- El sonido se transmite a alta velocidad a través del: 6.- Considerando el caso anterior, la máxima compresión 1 a) Aire. del resorte es: (energía potencial = Kx2 ) b) Vacío. 2 c) Agua. 1/ 2 d) Acero. a) Mv 2 d) 2v FG MIJ e) Madera. K HKK 1/ 2 1/ 2 2.- Se produce un eco únicamente si una onda sonora es: b) v FG M IJ e) FKI 2vG J HKK H MK a) Absorbida. 1/ 2 b) Amplificada. c) FKI vG J c) Medida. H MK d) Reflejada. e) Perturbada. 7.- Una masa M unida a un resorte de constante elástica K mantiene un M.A.S. horizontal de amplitud “A” De- . 3.- Si se produce un fuerte sonido desde un punto cerca- terminar la energía cinética del bloque cuando pasa no a una de las superficies reflectoras de sonido, dis- por la posición de equilibrio. tantes y opuestas, tales como; montañas, es posible 1 2 (energía potencial = Kx ) que una persona. 2 a) No escuche el eco. b) Escuche dos o más ecos. c) Encuentre que el eco se cancela. d) Escuche ecos continuos. e) Escuche solo tres ecos. 4.- El número de ondas sonoras producidas en una uni- dad de tiempo se llama: KA2 a) Tono. a) d) Cero b) Frecuencia. 2 c) Amplitud. KA d) Intensidad. b) KA2 e) e) Período. 2 5.- Un Bloque de masa “M” es disparado con velocidad “v” c) 2KA2 contra un resorte de masa despreciable y constante elástica K. Suponiendo el plano horizontal liso, es co- 8.- Respecto a los movimientos armónicos simples, seña- rrecto que durante la compresión del resorte: lar verdadero o falso: I.- El carácter cinemático involucra las funciones ar- mónicas senos y cosenos. II.- Todos los movimientos oscilatorios por una posi- ción de equilibrio son armónicos. III.- Estos movimientos transcurren bajo la acción de fuerzas recuperadoras elásticas que son go- a) La fuerza resultante sobre el bloque es hacia la bernadas por la ley de Hooke. derecha. b) Cuando el bloque se detiene momentáneamen- a) VFV te su aceleración es nula. b) VVV c) El bloque estará en equilibrio cuando su veloci- c) VFF dad es nula. d) FFF d) La rapidez del bloque varía entre 0 y “v” . e) FVV e) Todas son falsas.
  • 10. 222 Jorge Mendoza Dueñas 9.- Respecto al período de oscilación de un péndulo, 10.- Si un péndulo es trasladado de un lugar de menor al- señalar verdadero o falso: tura respecto a la superficie terrestre a otro de mayor altura, su período de oscilación: ........................ I.- Es proporcional a la masa oscilante. II.- Depende de la desviación respecto a la posición a) Aumenta dependiendo de la altura. de equilibrio. b) Disminuye dependiendo de la altura. III.- Oscila en planos variables. c) Permanece igual. IV.- Es proporcional a la raíz cuadrada de la longitud d) Aumenta al doble. e inversamente proporcional a raíz cuadrada de e) Disminuye en la mitad. la gravedad. a) VVVV d) FFFF b) FFVV e) FVVF c) FFFV RESUELTOS PROBLEMAS RESUELTOS A problemas de aplicación 1.- En la siguiente figura, se muestra un bloque unido a Solución: un resorte que realiza un movimiento armónico sim- ple, si la amplitud para este caso es de 1 m. Determi- t 1 ciclo < > ABC + CBA nar qué espacio recorre el bloque en un ciclo. Solución: t t ABC = 8 s t e1ciclo = e ABC + e CBA t CBA = 8 s e1ciclo = 4 + 4 t1ciclo = t ABC + t CBA e1ciclo = 8 m t1ciclo = 16 s 3.- ¿Cuál es la longitud de un péndulo, cuyo período es de 4 segundos? (g = π2 m/s2). Solución: En un ciclo se recorre cuatro veces el valor de la am- L t T = 2π plitud. g e= 4m T L T2 L = ⇒ = 2.- Un bloque que realiza un M.A.S. en ir de una posición 2π g 4 π2 g extrema a la posición de equilibrio recorre 2 m en 4 s. gT2 Determinar qué espacio recorre y qué tiempo demo- L= ra en un ciclo. 4π 2
  • 11. Oscilaciones y Ondas Mecánicas 223 t Reemplazando: T = 4 s , g = π2 B problemas complementarios 2 L= π 4 2 bg ⇒ L= 4m 1.- Un punto tiene un movimiento vibratorio de período 4 π2 T = 2 s, si su velocidad máxima es 2,5 m/s. Calcular su 4.- Si la longitud de un péndulo simple aumentase en amplitud. 2 m, su período se triplicaría. Calcular la longitud del péndulo (en metros). Solución: Solución: v máx t Inicialmente: L U V T = 2π L T W g 2π t Finalmente: v= A2 − x 2 ............. (1) T LF = L + 2 t Para que: vmax ⇒ x = 0 TF = 3T T = 2s 2π LF = 3 2π LF I v max = 2, 5 m / s g gGH JK t Reemplazando en (1): LF L L+2 L =3 ⇒ =3 2π g g g g 2, 5 = A2 − 0 ⇒ 2, 5 = πA 2 t Elevando al cuadrado ambos miembros: A = 0 ,796 m L+2 L =9 ⇒ L = 0 , 25 m 2.- En el oscilador horizontal sin fricción de la figura, hallar g g la amplitud máxima para que la masa superior no res- 5.- La ecuación de cierta onda transversal es: bale. El coeficiente de fricción entre “m” y “M” es µ. y = 0 , 03 sen 2π FG t − x IJ H 0, 02 0, 20 K donde, x e y se miden en metros y t en segundos, calcular: A) La amplitud. B) La longitud de onda. C) La frecuencia. Solución: D) La velocidad de propagación. t Para hallar la amplitud máxima tendremos que Solución: hallar la máxima aceleración. t De la fórmula: y = Asen 2π FG t − x IJ b g FR = m + M a ............. (1) De la figura: H T λK f = ma FR = Kx ........................ (2) Comparando las ecuaciones: µmg = ma t (1) = (2): a = µg A) A = 0,03 m b Kx = m + M a g B) λ = 0,20 m 1 x= bm + Mga ............. (3) D.C.L. (m) C) T = 0,02 s ⇒ f = K 0 , 02 t En (3): f = 50 ciclos/s ⇒ f = 50 Hertz λ 0 , 20 x= bm + Mgµg D) v = = ⇒ v = 10 m / s K T 0 , 02
  • 12. 224 Jorge Mendoza Dueñas 3.- En la figura mostrada, determinar el período de osci- t Finalmente: lación del bloque de masa “m” . m 3m T = 2π = 2π KE 4K 3m T=π 4K 4.- La escala de una balanza de resorte que registra de 0 a 200 N, tiene una longitud de 10 cm. Un bloque suspendido de dicha balanza oscila verticalmente dando 120 vibraciones por minuto. Calcular la masa Solución: del bloque (considerar π2 = 10). El sistema equivale a: Solución: t Analizando el resorte con el peso de 0 a 200 N: t Analizando el resorte con el bloque de masa “m” f =120 rev/min rev 1min rev f = 120 × =2 min 60 s s t K1 : Proviene de asociar dos resortes en serie. 1 t T= s 2 1 1 1 2K = + ⇒ K1 = m K1 K 2K 3 T = 2π K t K2 : Proviene de asociar dos resortes en paralelo. 1 m = 2π K2 = K + K ⇒ K 2 = 2K 2 K t K3 : Proviene de asociar dos resortes en serie. 1 m = 4π 2000 1 1 1 1 1 2K = + = + ⇒ K3 = 1 = m K 3 K 2 K 2K K 3 16 π 2 2000 t KE = ? 2 000 m= ⇒ m = 12, 5 kg 16 × 10 Nótese que si K1 se comprime “A” posteriormente , 5.- Un reloj pendular tiene un período de 2 segundos en un K3 también se comprime “A” lo cual significa que , lugar donde g = 10 m/s2 . Si se lleva dicho péndulo a un las deformaciones en los resortes son iguales. planeta “x” su nuevo período es de 4 segundos. ¿Cuánto , vale la aceleración de la gravedad en ese planeta? t Por lo tanto estos se encuentran en paralelo. KE = K1 + K 3 Solución: 2K 2K 4K t Según la fórmula KE = + ⇒ KE = de péndulo simple: T = 2π L 3 3 3 g
  • 13. Oscilaciones y Ondas Mecánicas 225 En la Tierra: En el Planeta “x”: 7.- Un péndulo efectúa 10 vibraciones, otro péndulo, en el mismo tiempo que el primero realiza 6 vibraciones, L L la diferencia entre las longitudes de ambos péndulos 2 = 2π ......... (1) 4 = 2π ......... (2) gt gP es 16 cm. Hallar las longitudes de los péndulos. t (2) : (1) Solución: gt gt 1 2= ⇒ 4= f1 = 10 vib/u ⇒ T1 = u gP gP 10 1 g 10 f2 = 6 vib/u ⇒ T2 = u gP = t ⇒ gP = 6 4 4 Siendo u : Unidad de tiempo. gP = 2, 5 m / s2 L1 1 L t T1 = 2π ⇒ = 2π 1 6.- ¿A qué altura sobre la superficie terrestre, el período g 10 g de un péndulo se duplica? t T2 = 2π L2 ⇒ 1 L = 2π 2 Solución: g 6 g t Recordar: t T1 : T2 GM g2 = 6 L bR + hg 2 = 1 10 L2 GM g1 = 36 L1 R2 = ⇒ L1 = 0 , 36 L2 100 L 2 t Ahora: t Además: L2 – L1 = 16 cm (dato) L L T1 = 2π = 2π L2 − 0 , 36L 2 = 16 ⇒ 0 , 64 L2 = 16 g1 FG IJ GM H K R2 L1 = 9 cm L2 = 25 cm 2 LR ......... (1) T1 = 2π 8.- Una onda transversal viajera en una cuerda es des- GM crita por la ecuación: L L T2 = 2π = 2π LM GM OP FG y = 16sen πx − 3πt IJ ; g2 H 2 K MN bR + hg PQ 2 donde x, y son dados en cm, y el tiempo en segun- dos. Calcular “y” cuando x = 0,5 cm; t = (1/6) s. 2 T2 = 2π b g L R+h ......... (2) Solución: GM t (1) : (2) x = 0 , 5 cm U | T1 R2 t= 1 s V | y=? = 2 6 W T2 bR + hg t FG 3πt IJ y = 16sen πx − T1 = R ⇒ 1 = R H 2K 2T1 R + h 2 R+h L F 3π I F 1 I O y = 16sen Mb π gb0 , 5g − G J G J P h=R N H 2 KH 6KQ h = 6 370 km F π πI π y = 16sen G − J ⇒ y = 16sen Caso General: H 2 4K 4 2 T1 R + h1 y = 16 ⇒ y = 8 2 cm = 2 T2 R + h2
  • 14. 226 Jorge Mendoza Dueñas 9.- Un pescador, en un bote anclado, observa que éste 10.- Se suspende un peso “W” de una cuerda uniforme de flota efectuando 10 oscilaciones completas en 8 s, y longitud “L” y masa “M” tal como se muestra en la , que se invierten 4 s, para que la cresta de la ola reco- figura. Agitando transversalmente el extremo inferior rra los 16 m de su bote. ¿Cuántas ondas completas se origina una onda, la cual se propaga a lo largo de existe en cualquier instante a lo largo de la longitud dicha cuerda. En consecuencia, ¿cuál es la máxima del bote? velocidad de propagación? Solución: Solución: 10 ciclos t f= 8s v F ......... (1) v= µ t Para que v sea máximo, F tiene que ser también máximo. Nótese que la cuerda es vertical, por t Según el problema: tanto “F” no es constante. e 16 v= = = ⇒ v = 4 m/s t F= W + FG MgIJ x ; Fmax ⇒ x =L t 4 HLK t Se sabe: F MgIJ L Fmax =W+G λ v = = λf ⇒ 4=λ FG 10 IJ HLK T H 8K Fmax = W + Mg ......... (2) λ = 3, 2 m m t (2) en (1): t Como quiera que el bote mide 16 m, el número de ondas que pasa por él será: W + Mg v= 16 m M/L N° de ondas = 3, 2 m WL N° de ondas = 5 v= + gL M
  • 15. Oscilaciones y Ondas Mecánicas 227 PROBLEMAS PROPUESTOS A problemas de aplicación 1.- En la figura mostrada, calcular el período de oscila- ción del cuerpo de masa m = 1 kg. Rpta. 1,2 m/s 2π Rpta. s 5 8.- Una cuerda de 3 m tiene una masa de 120 g. ¿A qué velocidad se propagan las ondas transversales en la cuerda si se pone bajo una tensión de 4 N? 2.- Comparar los períodos de oscilación en cada caso. Rpta. 10 m/s 9.- Un corcho flotando en el mar realiza 20 oscilaciones completas en 30 s, debido al movimiento de las aguas. Calcular la velocidad de propagación de la onda mari- I (II) na sabiendo que las aristas de las olas están separa- das entre si 60 m. Rpta. TII > TI > TIII (III) Rpta. 40 m/s 3.- Un cuerpo pequeño de 0,10 kg está ejecutando un M.A.S. de 1 m de amplitud y 0,2 segundos de período. Si las oscilaciones son producidas por un resorte, ¿cuál es la constante de fuerza del resorte? π2 = 9,8. 10.- Una cuerda de 1,5 m y de 0,3 kg, contiene una onda estacionaria como muestra la figura, cuando la ten- Rpta. 98 N/m sión es 180 N, calcular la frecuencia de oscilación. 4.- En un M.A.S. la relación entre la velocidad máxima y la aceleración máxima es 2/π. Calcular el período del M.A.S. Rpta. 4s 5.- Un péndulo simple tiene una longitud de 1,6 m. Cal- cular su período de oscilación (g = 10 m/s2). Rpta. 60 Hz Rpta. 0,8 π s 6.- Un péndulo simple oscila con un período de 0,6 s, si se lo lleva a la Luna. ¿Cuál será su nuevo período? B problemas complementarios 1 (gL = g ; g = 10 m/s2). 6 t t 1.- En un M.A.S. ¿a qué distancia del punto de equilibrio Rpta. 0, 6 6 s su velocidad es igual a la mitad de su velocidad máxi- ma siendo la amplitud de oscilación A = 20 cm? 7.- La onda que se muestra es emitida por un vibrador de 60 Hz. Calcular la velocidad de dicha onda. Rpta. 17,3 cm
  • 16. 228 Jorge Mendoza Dueñas 2.- Un bloque de 4 kg de masa, que está unido a un resorte 7.- Un estudiante golpea el agua de una cubeta 4 ve- de rigidez K = 9 N/m, se encuentra oscilando vertical- ces por segundo y nota que la onda producida re- mente con una amplitud de 50 cm. Determinar a qué corre 60 cm en 5 s. ¿Cuál es la longitud de onda distancia se encuentra el bloque, de su posición de equi- del fenómeno? librio en el instante que su velocidad es de 60 cm/s. Rpta. λ = 3 cm Rpta. 30 cm 8.- La ecuación de una onda transversal que se propaga 3.- Si la masa de 2 kg está osci- en una cuerda es: lando con una amplitud de 40 cm. Determinar la máxi- y = 4 sen 2π FG t − x IJ ; ma velocidad que adquie- H 0,1 20 K re en su trayectoria. donde las distancias están en cm y los tiempos en s. ¿Determinar el período, la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación? Rpta. 8 m/s Rpta. T = 0,1 s f = 10 Hz λ = 20 cm v = 200 cm/s 4.- Un péndulo simple ejecuta 30 oscilaciones simples por minuto con una amplitud de 10 cm. Determinar su 9.- Dos pulsos de onda generados en una cuerda tensa máxima velocidad. se mueven como se observa en la figura. ¿Cuánto tiem- po tardarán en pasar la una, sobre la otra? Rpta. 10π cm/s 5.- Dos péndulos de L1 = 30 cm y L2 = 60 cm se encuen- tran en lugares donde la aceleración de la gravedad son: g1 = 10 m/s2 y g2 = 5 m/s2 . Determine la relación de sus períodos (T1 /T2), sabiendo que la relación de sus masas pendulares son: m1= 2m2 Rpta. 10 s Rpta. 1/2 10.- ¿Qué diferencia de fase habrá entre las vibraciones de 6.- Un reloj de péndulo hecho en Tierra es llevado a un 2 puntos que se encuentran respectivamente a las planeta desconocido donde la gravedad es 4 veces distancias de 10 y 16 m del centro de vibración?. El que la Tierra. Si el período en la Tierra es 1 hora, ¿cuál período de vibración de 0,04 s y su velocidad de pro- será el período en dicho planeta? pagación 300 m/s. Rpta. 0,5 hora Rpta. π rad