3. Chapitre III
Relations–Fonctions–Applications
Introduction
L’objectif de ce chapitre est de maˆ
ıtriser aussi bien les notions de relations (binaires, d’´quivalence
e
et d’ordre) que celles d’applications (injectives, surjectives et bijectives) dont il sera fait un usage
constant.
III.1 Relations
III.1.1 Relation binaire
a/ D´finition d’une relation binaire
e
On appelle relation binaire 1 , not´ R 2 d’un ensemble E vers un ensemble F , une proposition qui
e
est vraie pour certains couples de l’ensemble produit E × F , et fausse pour d’autres. E est appel´ e
ensemble de d´part, et F ensemble d’arriv´e. Si E = F , on dit simplement que R est une relation
e e
binaire d´finie dans E.
e
Notation : Pour exprimer que le couple (x, y) ∈ E × F v´rifie la relation binaire R, on note x R y.
e
Si x R y, on dit que y est une image de x par la relation R et que x est un ant´c´dent de y par cette
e e
mˆme relation.
e
Exemples :
1. Soit E = F = N et la relation R d´finie dans E par :
e
xRy ⇐⇒ x divise y
est une relation binaire dans N. Le couple (2, 6) v´rifie la relation donc 2 R 6, tandis que le couple
e
(3, 4) ne v´rifie pas la relation.
e
2. Soit E = F = R et la relation C d´finie dans E par :
e
xC y ⇐⇒ x est le carr´ de y
e
est une relation binaire dans R. On a 9 C 3, mais la proposition 7 C 2 est fausse.
1
dite binaire car elle fait intervenir deux ´l´ments.
ee
2
Il est fr´quent de remplacer la lettre R par un sumbole sp´cial.
e e
11
4. 12 Professeure : Amale LAHLOU Chapitre III : Relations–Fonctions–Applications
b/ Graphe d’une relation binaire
D´finition III.1.1 Soit R une relation binaire de l’ensemble E vers l’ensemble F . On appelle graphe
e
de R (ou ensemble repr´sentant de R) l’ensemble des couples (x, y) ´l´ments de E × F v´rifiant cette
e ee e
relation. On note GR et on ´crit :
e
GR = {(x, y) ∈ E × F / x R y}.
Exemples :
1. Soient E = Z, F = N et la relation R d´finie de E dans F par :
e
xRy ⇐⇒ y = x2 .
Les couples du GR sont repr´sent´s dans un rep`re (O, Ox, Oy). On parle de repr´sentation gra-
e e e e
phique de la relation R.
On remarque que 4 est l’unique image de 2, mais 4 est aussi l’image de (−2). Le nombre 4 admet
deux ant´c´dents qui sont (−2) et 2.
e e
GR = {(x, y) ∈ Z × N / y = x2 }.
Si on prend maintenant E = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} et E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, alors ;
GR = {(−3, 9), (−2, 4), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)}.
On peut repr´senter GR ` l’aide d’un diagramme sagittal
e a 3 :
2. Soit E = F = {0, 1, 2, 3, 5} et GR = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 3), (5, 2), (5, 5)}. La relation
binaire R d´finie dans E peut ˆtre repr´senter par un diagramme sagittal du type :
e e e
3
du latin : sagitta =fl`che
e
5. ´
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3. Soient E = {1, 2} et F = {1, 2, 3, 4}. La relation binaire R d´finie dans E vers F par :
e
(x, y) ∈ E × F, xRy ⇐⇒ x divise y.
On a :
GR = {(x, y) ∈ E × F / y = kx, k ∈ N}.
Explicitement,
GR = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4)}.
4. Soit E = F = [−1, 1] et la relation binaire R d´finie dans E par :
e
(x, y) ∈ [−1, 1] × [−1, 1], xRy ⇐⇒ x + y < 0.
Alors,
GR = {(x, y) ∈ E 2 / x + y < 0}
qu’on peut le repr´senter par la partie hachur´e :
e e
III.1.2 Relation d’´quivalence
e
a/ D´finition d’une relation d’´quivalence
e e
On appelle relation d’´quivalence sur un ensemble E, une relation binaire d´finie dans E et
e e
poss´dant les propri´t´s suivantes :
e ee
1. R´flexivit´ : pour tout x ∈ E, x R x
e e
2. Sym´trie : pour tous x, y ∈ E on a,
e (x R y =⇒ y R x)
3. Transitivit´ : pour tous x, y et z ∈ E on a,
e [x R y et y R z] =⇒ xRz
Notation : Soit R est une relation d’´quivalence. Au lieu de x R y on note x ∼ y [R]
e (lire : x
´quivalent ` y modulo R) ou encore, x ≡ y [R] (lire : x congru ` y modulo R).
e a a
Exemples :
1. Soient E = Z et R, la congruence arithm´tique modulo p d´finie dans Z par :
e e
(x, y) ∈ Z2 , xRy ⇐⇒ x − y = kp, k ∈ Z,
o` p est un entier naturel donn´. R est une relation d’´quivalence dans Z et on note x ≡ y [p]
u e e
au lieu de x R y. En effet,
– R est r´flexive : soit x ∈ Z, x − x = 0 = 0.p donc,
e
∀x ∈ Z, xRx.
6. 14 Professeure : Amale LAHLOU Chapitre III : Relations–Fonctions–Applications
– R est sym´trique : soient x, y ∈ Z,
e
x R y =⇒ ∃k ∈ Z, x − y = kp
=⇒ ∃k = −k ∈ Z, y−x=kp
=⇒ x R y
Donc,
∀x, y ∈ Z, (x R y =⇒ x R y).
– R est transitive : soient x, y, z ∈ Z,
xRy x − y = kp
=⇒ ∃k, k ∈ Z,
yRz y−z =kp
=⇒ ∃k, k ∈ Z, x − y + y − z = (k + k )p
=⇒ ∃k” = k + k ∈ Z, x − z = k”p
=⇒ x R z
Donc,
∀x, y, z ∈ Z, (x R y et y R z) =⇒ x R z.
2. Soient E = N et R, la relation binaire d´finie dans E par :
e
(x, y) ∈ E 2 , xRy ⇐⇒ x est un multiple de y.
La relation R est r´flexive et transitive mais non sym´trique. D’o`, la relation n’est pas une
e e u
relation d’´quivalence dans E.
e
Remarque : Dans un diagramme sagittal d’une relation binaire d´finie dans E :
e
– le bouclage de chaque ´l´ment montre une relation r´flexive,
ee e
– la pr´sence syst´matique d’une fl`che retour indique une relation sym´trique.
e e e e
b/ Classe d’´quivalence
e
i)/ D´finition d’une classe d’´quivalence
e e
Soit R une relation d’´quivalence d´finie dans un ensemble E.
e e
D´finition III.1.2 On appelle classe d’´quivalence d’un ´l´ment a de E, l’ensemble de tous les
e e ee
´l’ements x de E qui sont en relation avec a.
e
On note : Cl(a), a.
¯
On ´crit :
e a = {x ∈ E /
¯ x R a}.
Chaque ´l´ment de a est appel´ repr´sentant de la classe.
ee ¯ e e
Exemples : Reprenons les exemples des relations d’´quivalence cit´es plus haut :
e e
a = {x ∈ Z / x − a = kp,
¯ k ∈ Z}
= {a + kp / k ∈ Z}
7. ´
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ii)/ Propri´t´s
e e
Th´or`me III.1.3 Etant donn´e une relation d’´quivalence dans un ensemble E.
e e e e
1. pour tout x ∈ E, x ∈ x;
¯
2. pour toux x, y ∈ E, si y ∈ x alors x = y ;
¯ ¯ ¯
3. pour toux x, y ∈ E, ou bien x = y ou bien x ∩ y = ∅.
¯ ¯ ¯ ¯
Preuve :
1. Comme R est r´flexive alors, pour tout x ∈ E, x R x. Donc x ∈ x ;
e ¯
2. Soient x, y ∈ E. Supposons que y ∈ x, c’est-`-dire, y R x et montrons que x = y .
¯ a ¯ ¯
z∈x
¯ ⇐⇒ zRx ⇐⇒ zRy ⇐⇒ z∈y
¯
(en utilisant la sym´trie et la transitivit´ de R). D’o` x = y .
e e u¯ ¯
3. Soient x et y deux classes distinctes. Supposons qu’il existe z ∈ E tel que z ∈ x ∩ y .
¯ ¯ ¯ ¯
z ∈ x ∩ y =⇒ z ∈ x
¯ ¯ ¯ et z∈y¯
=⇒ z = x
¯ ¯ et z = y (d’apr`s (2))
¯ ¯ e
=⇒ x = y
¯ ¯
ce qui est absurde avec le fait que x = y . D’o` x ∩ y = ∅.
¯ ¯ u¯ ¯
Th´or`me III.1.4 Les classes d’´quivalences relatives ` une relation d’´quivalence d´finie dans un
e e e a e e
ensemble E, forment une partition de E.
Exemple : Soit la relation de la congruence arithm´tique modulo 3, d´finie dans Z par :
e e
(x, y) ∈ Z2 , x ≡ y [3] ⇐⇒ x − y = 3k, k ∈ Z,
D’apr`s ce qui pr´c`de,
e e e
a = {a + 3k / k ∈ Z}.
¯
Ainsi,
¯ = {. . . , −9, −6, −3, 0, 3, 6, 9, . . .},
0
¯ = {. . . , −8, −5, −2, 1, 4, 7, 10, . . .},
1
¯ = {. . . , −7, −4, −1, 2, 5, 8, 11, . . .}.
2
Ces trois classes forment une partition de Z.
c/ Ensemble quotient
Soit R une relation d’´quivalence d´dinie dans un ensemble E.
e e
D´finition III.1.5 On appelle ensemble quotient de E par R, not´ E/R, l’ensemble de toutes les
e e
classes d’´quivalences.
e
Exemple : Soit la relation de la congruence arithm´tique modulo p, d´finie dans Z par :
e e
(x, y) ∈ Z2 , x ≡ y [p] ⇐⇒ x − y = kp, k ∈ Z,
D’apr`s ce qui pr´c`de,
e e e
a = {a + kp / k ∈ Z}.
¯
8. 16 Professeure : Amale LAHLOU Chapitre III : Relations–Fonctions–Applications
Ainsi,
¯
0 = {. . . , −3p, −2p, −p, 0, p, 2p, 3p, . . .},
¯
1 = {. . . , 1 − 3p, 1 − 2p, 1 − p, 1, 1 + p, 1 + 2p, 1 + 3p, . . .},
¯
2 = {. . . , 2 − 3p, 2 − 2p, 1 − p, 2, 2 + p, 2 + 2p, 2 + 3p, . . .},
.
.
.
p−1 = {. . . , −p − 1, −1, p − 1, 2p − 1, 3p − 1, . . .}.
Ces p classes forment une partition de Z. Ainsi, l’ensemble quotient not´ Z/pZ est donn´ par :
e e
Z/pZ = {¯ ¯ ¯ ¯ . . . , p − 1}.
0, 1, 2, 3,
III.1.3 Relation d’ordre
a/ D´finition d’une relation de pr´ordre
e e
On appelle une relation de pr´ordre dans E toute relation binaire d´finie dans E qui est ` la fois
e e a
r´flexive et transitive.
e
Exemples :
1. Toutes les relations d’´quivalence sont des relations de pr´ordre ;
e e
2. La relation binaire d´finie dans Z par :
e
(x, y) ∈ Z2 , x/y ⇐⇒ y = kx, k∈Z
est un pr´ordre.
e
b/ D´finition d’une relation d’ordre
e
On appelle une relation d’ordre dans E toute relation de pr´ordre d´finie dans E qui v´rifie la
e e e
propri´t´ d’antisym´trie, c’est-`-dire : pour tous x, y ∈ E,
ee e a
(x R y et y R x) =⇒ x = y.
dans ce cas, E est dit ensemble ordonn´ par R, et l’on note (E, R) (E ensemble muni de la relation
e
d’ordre R).
Exemples :
1. l’in´galit´ des nombres r´els est une relation d’ordre :
e e e
(x, y) ∈ R2 , xRy ⇐⇒ x ≤ y.
2. La relation binaire d´finie dans N par :
e
(x, y) ∈ N2 , xRy ⇐⇒ x divise y
est une relation d’ordre.
3. La relation binaire d´finie dans P(E) par :
e
A, B ∈ P(E), ARB ⇐⇒ A⊆B
est une relation d’ordre.
9. ´
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c/ Ordre total ou ordre partiel
Soit R une relation d’ordre dans un ensemble E. Deux ´l´ments x et y de E sont comparables si
ee
l’on a : ou bien x R y ou bien y R x.
D´finition III.1.6 On dit que :
e
- E est dit totalement ordonn´ par R (ou encore R est une relation d’ordre total dans E) si pour
e
tous x et y de E, x et y sont comparables ;
- E est dit partiellement ordonn´ par R (ou encore R est une relation d’ordre partiel dans E) si
e
il existe au moins x, y de E tels que x et y ne sont pas comparables, c’est-`-dire, ni x R y ni
a
y R x.
III.2 Fonctions
III.2.1 D´finition d’une fonction
e
Soient E et F deux ensembles distincts ou non. On donne le nom de fonction, f , de E dans F ` a
toute relation binaire R associant ` chaque ´l´ment x de E au plus un ´l´ment y de F tel que x R y.
a ee ee
On ´crit :
e
f : E −→ F
x −→ y = f (x)
L’ensemble des fonctions d´finies de E dans F est not´ F(E, F ).
e e
On appelle E l’ensemble de d´part de f , F l’ensemble d’arriv´e de f , y = f (x) l’image de x par
e e
f , et x l’ant´c´dent de y = f (x).
e e
Si l’ensemble d’arriv´e F = R, alors f est dite une fonction num´rique.
e e
Exemples :
f : R −→ R+ g : R −→ R
√
x −→ f (x) = x x −→ g(x) = |x|
III.2.2 Domaine de d´finition d’une fonction
e
On appelle domaine de d´finition d’une fonction f , l’ensemble des ´l´ments de E poss´dant une
e ee e
image dans F . On note,
Df = {x ∈ E / ∃y ∈ F tel que y = f (x)}.
Si Df = E, on dit que f est partout d´finie.
e
Exemple : Soit la fonction num´rique f d´finie pour tout r´el x de R par :
e e e
1
f (x) =
x−1
On Df = R − {1}.
10. 18 Professeure : Amale LAHLOU Chapitre III : Relations–Fonctions–Applications
III.2.3 Ensemble image d’une fonction
L’image f (A) d’une partie A de E est, par d´finition, l’ensemble des images des ´l´ments de A,
e ee
f (A) = {f (x) / x ∈ A}.
On appelle ensemble image d’une fonction f , le sous ensemble f (E) de F form´ par des ´l´ments de
e ee
F qui poss´dent un ant´c´dent dans E. On le note encore Imf et on ´crit,
e e e e
Imf = {y ∈ F / ∃x ∈ E tel que y = f (x)}.
Exemples :
√
- f (x) = x, Df = R+ et Imf = R+ ;
- g(x) = |x|, Df = R et Imf = R+ .
III.2.4 Graphe d’une fonction
On appelle graphe d’une fonction f (ou ensemble repr´sentatif de f ) la partie de l’ensemble produit
e
E × F , not´ Gf et d´finie par :
e e
Gf = {(x, y) ∈ E × F / y = f (x)}.
Si le plan est rapport´ ` deux axes concourantes ; tout couple de deux nombres (x, y) repr´sente un
ea e
point du plan. x sera l’abscisse de ? et y en sera l’ordonn´e. La courbe d’´quation y = f (x) est l’en-
e e
semble des points dont les coordonn´es x et y sont li´es par la relation y = f (x).
e e
Exemples :
√ √
- Pour f (x) = x, Gf = {(x, y) ∈ R × R+ / y = x} ;
- Pour g(x) = |x|, Gg = {(x, y) ∈ R2 / y = |x|}.
III.3 Applications
III.3.1 D´finition d’une application
e
On appelle f une application d´finie de E dans F toute correspondance fonctionnelle qui ` tout
e a
´l´ment x de E associe une et une seule image dans F .
ee
III.3.2 Application identique
L’application de E dans E qui ` tout x de E associe x lui mˆme est appel´e application identique
a e e
de E et est not´e idE :
e
idE : E −→ E
x −→ idE (x) = x
11. ´
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e Session : Automne–Hiver 2008-2009 19
III.3.3 Restriction et prolongement d’une application
Si f est une application de E dans F , et A une partie de E, on appelle restriction de f ` A et on
a
note fA , l’application de A dans F qui co¨
ıncide avec f pour tout ´l´ment de A :
ee
fA : A −→ F
x −→ fA (x) = f (x)
Inversement, consid´rons f : A → F et g : E → F avec A ⊆ E. Si, pour tout x de A, on a
e
g(x) = f (x), on dit que g est un prolongement de f ` E.
a
Exemple :
Posons, pour tout x de Z, f (x) = |x|. La restriction de f ` N est l’application identique de N : pour
a
tout x de N, fN (x) = x.
III.3.4 ´
Egalit´ de deux applications
e
III.3.5 Composition de deux applications
Soient E, F et G trois ensembles distints ou non et f , g deux applications de E dans F et de F
dans G respectivement. A un ´l´ment x de E, f associe comme image unique dans F l’´l´ment f (x),
ee ee
auquel g associe comme image unique dans G l’´l´ment g(f (x)).
ee
x ∈ E −→ g(f (x)) ∈ G.
On a ainsi une application, appel´e produit de f par g (ou encore application compos´e de f et g),
e e
associant ` tout ´l´ment x de E un ´l´ment unique g(f (x)) de G. Cette application sera not´e par
a ee ee e
g ◦ f et on ´crit :
e
g ◦ f : E −→ F
x −→ g ◦ f = g(f (x))
Exemples :
III.3.6 Application surjective, injective, bijective
a/ Surjection
On dit qu’une application f de E dans F est surjective si f (E) = F (normalement f (E) ⊆ F ),
c’est-`-dire :
a
∀y ∈ F, ∃x ∈ E tel que y = f (x).
12. 20 Professeure : Amale LAHLOU Chapitre III : Relations–Fonctions–Applications
Autrement dit, pour une application surjective de E dans F , il n’y a aucun ´l´ment y de F qui ne
ee
soit l’image d’un ´l´ment x de E.
ee
Exemple : Soit l’application suivante :
f : R+ −→ R+
x −→ f (x) = x2
f est une application surjective de R+ dans R+ car tout ´l´ment de R+ est le carr´ d’un nombre r´el
ee e e
positif.
b/ Injection
On dit qu’une application f de E dans F est injective si pour tous x1 , x2 ∈ E, l’on ait :
x1 = x2 =⇒ f (x1 ) = f (x2 )
ou bien (par contrapos´e)
e
f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x1 = x2
Autrement dit, pour une application injective de E dans F , il n’arrive jamais que deux ´l´ments
ee
distincts de E aient la mˆme image dans F .
e
Exemple : Soit l’application suivante :
f : R+ −→ R+
x −→ f (x) = x2
f est une application injective de R+ dans R+ car pour toux ´l´ments x)1, x2 de R+ ,
ee
f (x1 ) = f (x2 ) =⇒ x2 = x2
1 2
=⇒ (x1 − x2 )(x1 + x2 ) = 0
=⇒ x1 = x2
c/ Bijection
On dit qu’une application f de E dans F est bijective si elle est ` la fois surjective et injective,
a
c’est-`-dire :
a
∀y ∈ F, ∃x ∈ E tel que y = f (x).
13. ´
Mati`re : Instruments d’Analyse Economique/Module 3/Semestre I
e Session : Automne–Hiver 2008-2009 21
Autrement dit, pour une application surjective de E dans F , il n’y a aucun ´l´ment y de F qui ne
ee
soit l’image d’un et un seul ´l´ment x de E.
ee
Exemple : Soit l’application suivante :
f : R+ −→ R+
x −→ f (x) = x2
f est une application bijective de R+ dans R+ .
Remarque : Toujours bien pr´ciser les ensembles de d´part et d’arriv´e lorsqu’on parle d’injection,
e e e
de surjection ou de bijection. En effet :
f : R −→ R
– n’est ni surjective ni injective,
x −→ f (x) = x2
f : R −→ R+
– est une surjection et non une injection de R dans R+,
x −→ f (x) = x2
f : R+ −→ R
– est une injection et non une surjection de R+ dans R,
x −→ f (x) = x2
f : R+ −→ R+
– est une bijection de R+ dans R+ .
x −→ f (x) = x2
III.3.7 Application r´ciproque d’une bijection
e
Soit f une application bijective de E dans F . Ainsi f associe ` tout x unique de E un y unique
a
de F . R´ciproquement, ` tout y unique de F une autre application, dite application r´ciproque, fait
e a e
correspondre un ´l´ment x unique de E. Cette application r´ciproque s’´crit f
ee e e −1 :
f −1 : F −→ E
y −→ x = f −1 (y)
Remarque : Il est clair que f −1 est bijective et que (f −1 )−1 = f.
Exemple : Soit l’application bijective :
f : R+ −→ R+
x −→ f (x) = x2
Son application r´ciproque est d´finie comme suit :
e e
f −1 : R+ −→ R+
y=x 2 −→ x = f −1 (y) = √y
Remarque : S’il existe une bijection entre E et F , on dit que E et F sont ´quipotents. On note :
e
E F . Cette relation est d’´quivalence dans l’ensemble des parties de E.
e
