Reingeniería de procesos
aritméticos y algebraicos
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aritméticos y algebraicos


                                   Autor
              John Baxter Ga...
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1.La multiplicación es una suma

2.La potenciación es una suma

3.La...
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   La multiplicación como suma

 ¿Por qué      8 x 4 = 32 ?
 Porque
 •...
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¿Por qué      3² = 9 ?
• El exponente si...
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¿Por qué        20 ÷ 4 = 5 ?
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¿Por qué     √16 = 4 ?
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común polinomio

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1. Factorización finita:
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1. Los casos de factorización son dos...
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        términos como factor...
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  1. 1. Reingeniería de procesos aritméticos y algebraicos
  2. 2. Reingeniería de procesos aritméticos y algebraicos Autor John Baxter García Amaya Coautor Carlos Alberto Ospina Parra
  3. 3. Reingeniería de procesos aritméticos y algebraicos 1.La multiplicación es una suma 2.La potenciación es una suma 3.La división es una resta 4.La radicación es una resta John Baxter García Amaya – Carlos Alberto Ospina Parra 3
  4. 4. Reingeniería de procesos aritméticos y algebraicos La multiplicación como suma ¿Por qué 8 x 4 = 32 ? Porque • Se suma cuatro veces el número ocho: 8 + 8 + 8 + 8 = 32 •Se sumo ocho veces el número cuatro: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 32 John Baxter García Amaya – Carlos Alberto Ospina Parra 4
  5. 5. Reingeniería de procesos aritméticos y algebraicos La potenciación como suma ¿Por qué 3² = 9 ? • El exponente significa las veces que se debe multiplicar la base por sí misma: 3x3=9 • Como la multiplicación es una suma, se obtiene: 3+3+3=9 John Baxter García Amaya – Carlos Alberto Ospina Parra 5
  6. 6. Reingeniería de procesos aritméticos y algebraicos La división como resta ¿Por qué 20 ÷ 4 = 5 ? Porque al número 20 (dividendo) se le puede sustraer el número 4 (divisor) exactamente 5 veces (resultado o cociente): 20 – 4 = 16 16 – 4 = 12 12 – 4 = 8 8–4=4 4–4=0 John Baxter García Amaya – Carlos Alberto Ospina Parra 6
  7. 7. Reingeniería de procesos aritméticos y algebraicos La radicación como resta ¿Por qué √16 = 4 ? Porque a la cantidad subradical (en este caso, 16) se le puede sustraer exactamente 4 veces el número 4: 16 – 4 = 12 12 – 4 = 8 8–4=4 4–4=0 John Baxter García Amaya – Carlos Alberto Ospina Parra 7
  8. 8. Reingeniería de procesos aritméticos y algebraicos • Factor común por agrupación de términos como factor común polinomio. •Trinomio cuadrado perfecto como factor común polinomio •Diferencia de cuadrados como factor común polinomio •Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción como factor común polinomio John Baxter García Amaya – Carlos Alberto Ospina Parra 8
  9. 9. Reingeniería de procesos aritméticos y algebraicos • Trinomio de la forma x² + bx + c como factor común polinomio •Trinomio de la forma ax² + bx + c como factor común polinomio •Cubo perfecto de binomios como combinación de factor común polinomio y suma o diferencia de potencias impares iguales •Suma o diferencia de cubos perfectos como suma o diferencia de potencias impares iguales John Baxter García Amaya – Carlos Alberto Ospina Parra 9
  10. 10. Reingeniería de procesos aritméticos y algebraicos • Caso dual de factorización •Tipos de factorización •Conclusión final John Baxter García Amaya – Carlos Alberto Ospina Parra 10
  11. 11. Reingeniería de procesos aritméticos y algebraicos Tipos de factorización 1. Factorización finita: es la comúnmente utilizada; una expresión con dos, tres, cuatro y hasta cinco factores. 2. Factorización infinita: es posible factorizar cada uno de los factores obtenidos, por caso dual de factorización todas las veces que se necesite. John Baxter García Amaya – Carlos Alberto Ospina Parra 11
  12. 12. Reingeniería de procesos aritméticos y algebraicos Conclusiones finales 1. Los casos de factorización son dos y no 10. 2. Es posible aplicar un método general para resolver los casos de factorización. 3. Los casos de factorización no son otra cosa que la expresión de la adición y sustracción en factores. 4. El caso dual de factorización, lleva a que sea posible obtener dos respuestas distintas en un ejercicio planteado. 5. La matemática es una ciencia abierta al cambio; es decir, una ciencia en construcción; no está totalmente definida, y allí se encierra su misteriosa belleza. John Baxter García Amaya – Carlos Alberto Ospina Parra 12
  13. 13. Reingeniería de procesos aritméticos y algebraicos Factor común por agrupación de términos como factor común polinomio • ax + bx + ay + by = Se asocian términos por parejas de acuerdo con un término común: (ax+bx) + (ay+by) Se extrae el factor común de cada pareja: x( a +b ) + y( a + b ) Se saca el factor común de la expresión algebraica: (a + b)( x + y) John Baxter García Amaya – Carlos Alberto Ospina Parra 13
  14. 14. Reingeniería de procesos aritméticos y algebraicos Trinomio cuadrado perfecto como factor común polinomio x² + 14x + 49= Se parte en dos sumandos iguales, el término del medio: x² + 7x + 7x + 49 = Se asocian términos por parejas de acuerdo con un término común: (x² +7x) + (7x+49) = Se extrae el factor común de cada pareja: x(x+7) + 7(x+7)= Se saca el factor común de la expresión algebraica: (x+7)(x+7) = (x + 7)² John Baxter García Amaya – Carlos Alberto Ospina Parra 14
  15. 15. Reingeniería de procesos aritméticos y algebraicos Diferencia de cuadrados como factor común polinomio x² - 9 = Se suma y resta el producto de las raíces cuadradas de ambos términos (artificio matemático que no altera la expresión). Para este caso, la primera raíz es x, y la segunda 3; el producto queda 3x; y ésta es la expresión que debe sumarse y restarse: x² - 3x + 3x – 9 = Se asocian términos por parejas de acuerdo con un término común: (x² - 3x )+(3x – 9 ) = Se extrae el factor común de cada pareja: x(x – 3) + 3(x – 3) Se saco el factor común de la expresión algebraica: (x – 3)(x + 3) John Baxter García Amaya – Carlos Alberto Ospina Parra 15
  16. 16. Reingeniería de procesos aritméticos y algebraicos Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción como factor común polinomio x⁴ + x²y²+ y⁴ Se forma trinomio cuadrado perfecto. Para ello, es necesario analizar el segundo término, el cual debe ser el doble producto de las raíces cuadradas del primer y tercer términos. En este caso, la primera raíz es x², y la otra, es y²; en consecuencia, el doble producto es 2x²y². Como el ejercicio planteado solamente contiene x²y² una vez, es necesario sumar x²y²; para que el ejercicio no quede alterado, es necesario sustraer dicho término: x⁴ + x²y² + y⁴ + x²y² - x²y² x⁴ + 2x²y²+ y⁴ - x²y² John Baxter García Amaya – Carlos Alberto Ospina Parra 16
  17. 17. Reingeniería de procesos aritméticos y algebraicos Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción como factor común polinomio x⁴ + 2x²y²+ y⁴ - x²y² El paso siguiente es resolver el trinomio cuadrado perfecto (proceso que ya fue descrito); y el otro término, por el momento, se le deja al margen: (x⁴ + 2x²y²+ y⁴) - x²y² = ( (x⁴ + x²y²) + (x²y² + y⁴) ) - x²y² = (x²(x² + y²) + y²(x² + y²) ) - x²y² = (x² + y²) (x² + y²) - x²y² = (x² + y²) ² - x²y² = John Baxter García Amaya – Carlos Alberto Ospina Parra 17
  18. 18. Reingeniería de procesos aritméticos y algebraicos Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción como factor común polinomio La expresión resultante es una diferencia de cuadrados (proceso ya reseñado): el término que debe adicionarse y sustraerse es: xy(x²+y²), así: (x² + y²) ² - xy(x²+y²) + xy(x²+y²) - x²y² = Se asocian términos por parejas de acuerdo con un término común: ( (x² + y²) ² - xy(x²+y²) ) + ( xy(x²+y²) - x²y² ) = Se extrae el factor común de cada pareja: (x² + y²) ((x² + y²) – xy) + xy((x² + y²) -xy) Se saca el factor común de la expresión algebraica: ((x² + y²) – xy) ((x² + y²) + xy) Se ordenan términos, y se da la respuesta: (x² – xy + y²) (x² + xy + y²) John Baxter García Amaya – Carlos Alberto Ospina Parra 18
  19. 19. Reingeniería de procesos aritméticos y algebraicos Trinomio de la forma x²+bx+c como factor común polinomio x² + 7x + 12= Se parte en dos sumandos el término del medio, de tal manera que ambos sean divisores del último término del trinomio x² + 4x + 3x + 12 = Se asocian términos por parejas de acuerdo con un término común: (x² +4x) + (3x+12) = Se extrae el factor común de cada pareja: x(x+4) + 3(x+4)= Se saco el factor común de la expresión algebraica: (x+4)(x+3) John Baxter García Amaya – Carlos Alberto Ospina Parra 19
  20. 20. Reingeniería de procesos aritméticos y algebraicos Trinomio de la forma ax²+bx+c como factor común polinomio 2x² + 7x + 6 = Se parte en dos sumandos el término del medio, de tal manera que uno sea divisor del último término del trinomio; y el otro, múltiplo del primero: 2x² + 4x + 3x + 6 = Se asocian términos por parejas de acuerdo con un término común: (2x² +4x) + (3x+6) = Se extrae el factor común de cada pareja: 2x(x+2) + 3(x+2)= Se saca el factor común de la expresión algebraica: (x+2)(2x+3) John Baxter García Amaya – Carlos Alberto Ospina Parra 20
  21. 21. Reingeniería de procesos aritméticos y algebraicos Cubo perfecto de binomios x³ + 3x²y + 3xy² + y³ = Lo primero que se debe hacer es agrupar términos por parejas; así,:en el primer paréntesis, deben ir los cubos, y en el otro, los dos términos restantes: (x³ + y³) + (3x²y + 3xy²) = Se factoriza la primera expresión como suma o diferencia de potencias impares iguales , la cual obedece a la siguiente fórmula: (x+y)(xⁿ⁻¹ - xⁿ⁻²yⁿ⁻² +….y ⁿ⁻¹) (x+y)(x² - xy + y²) + (3x²y + 3xy²) = Se extrae el factor común de la segunda expresión: (x+y)(x² - xy + y²) + 3xy(x + y) = Se saca el factor común de la expresión: (x+y) ((x² - xy + y²) + 3xy) = Reduzco términos semejantes en el segundo paréntesis y concluyo que el resultado es un trinomio cuadrado perfecto, lo Factorizo y doy la respuesta: (x+y)(x² +2xy + y²) (x+y)((x² +xy) + (xy + y²)) (x+y) (x(x+y) + y(x+ y)) (x+y)(x+y)(x+y) (x+y)³ John Baxter García Amaya – Carlos Alberto Ospina Parra 21
  22. 22. Reingeniería de procesos aritméticos y algebraicos Suma o diferencia de cubos perfectos como suma o diferencia de potencias impares iguales Obedece a la siguiente fórmula: xⁿ + yⁿ = (x+y)(xⁿ⁻¹ - xⁿ⁻²yⁿ⁻² +….y ⁿ⁻¹) xⁿ - yⁿ = (x-y)(xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻²yⁿ⁻² +….+y ⁿ⁻¹) Ésta es deducida a partir de la división algebraica de aⁿ ± bⁿ entre a ± b (x³ + y³) Se utiliza la fórmula para factorizar la expresión planteada, considerando la como 3: (x+y)(x² - xy + y²) John Baxter García Amaya – Carlos Alberto Ospina Parra 22
  23. 23. Reingeniería de procesos aritméticos y algebraicos Caso dual de factorización x- y= Factorización como diferencia de cuadrados perfectos utilizando el proceso de factor común polinomio: x–y Se suma y resta el producto de las raíces cuadradas de ambos términos (artificio matemático que no altera la expresión). Para este caso, la primera raíz es x y la segunda y, el producto queda xy; y ésta es la expresión que debe sumarse y restarse: x - x½ y ½ + x½ y ½ - y = Se asocian términos por parejas de acuerdo con un término común: (x - x½ y ½) + (x½ y ½ - y ) = Se extrae el factor común de cada pareja: x½(x½ - y ½) + y ½ (x½ - y ½) Se saca el factor común de la expresión algebraica: (x½ - y ½)(x½ + y ½) John Baxter García Amaya – Carlos Alberto Ospina Parra 23
  24. 24. Reingeniería de procesos aritméticos y algebraicos Caso dual de factorización x- y= Factorización como suma o diferencia de potencias impares iguales: x–y Se desarrolla la siguiente fórmula tomando el ejercicio como: (x^(1/3)³) - (y^(1/3)³) xⁿ - yⁿ = (x-y)(xⁿ⁻¹ + xⁿ⁻²yⁿ⁻² +….+y ⁿ⁻¹) (x^(1/3) - y^(1/3))(x^(2/3) + x^(1/3) y^(1/3) + y^(2/3)) John Baxter García Amaya – Carlos Alberto Ospina Parra 24
  25. 25. Reingeniería de procesos aritméticos y algebraicos John Baxter García Amaya – Carlos Alberto Ospina Parra 25

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