Eu odeio fenômenos de transporte I (versão 2)

"[...] porque sem mim nada podeis fazer."
João 15:5

Deus seja louvado.
Guerreiro, Helder
Eu odeio Fenômenos de Transporte I. / Helder Guerreiro
– Manaus, 2017.
Bibliografia
Livro não catalogado e não institucional, o mesmo é amador.

Sumário
Apresentação.......................................................................................................................... 12
Observações ............................................................................................................................. 13
1. O seu conhecimento nas gotas de orvalho – Definições Gerais ................... 14
1.1 Conceitos Fundamentais...................................................................................................................................................... 14
1.2 Fluido .......................................................................................................................................................................................... 14
1.3 Princípio da Aderência ........................................................................................................................................................ 15
1.4 Fluido em Mecânica dos Fluidos ....................................................................................................................................... 15
1.5 Tensão de Cisalhamento ...................................................................................................................................................... 16
1.6 Tensão de Cisalhamento num Fluido.............................................................................................................................. 16
1.7 As Tensões Entre Camadas ................................................................................................................................................ 17
1.8 Lei de Newton ......................................................................................................................................................................... 17
1.9 Viscosidade................................................................................................................................................................................ 18
1.10 Tensão de Cisalhamento e Viscosidade ....................................................................................................................... 18
1.11 Condições Ambientais........................................................................................................................................................ 19
1.12 O Gradiente........................................................................................................................................................................... 19
1.13 Simplificação Prática ......................................................................................................................................................... 19
Exemplo 1 ......................................................................................................................................................................................... 20
2. Descobrindo a ponta do iceberg – Características e Tipos de Fluidos...... 22
2.1 Massa Específica...................................................................................................................................................................... 22
2.2 Peso Específico......................................................................................................................................................................... 23
2.3 Viscosidade Cinemática........................................................................................................................................................ 23
2.4 Tipos de Fluidos....................................................................................................................................................................... 24
2.5 Fluido Ideal ............................................................................................................................................................................... 24
2.6 Reflexões Sobre a Viscosidade............................................................................................................................................ 24
2.7 A Consequência de uma Viscosidade Nula.................................................................................................................... 25

2.8 Fluido Incompressível............................................................................................................................................................ 26
2.9 Tipos de Fluidos Incompressíveis ...................................................................................................................................... 26
2.10 Tensão Cisalhante e o Tempo ......................................................................................................................................... 27
Exemplo 2 ......................................................................................................................................................................................... 28
3. A entidade que te persegue por toda faculdade - Pressão ........................... 31
3.1 Estática dos fluidos................................................................................................................................................................ 31
3.2 Pressão ....................................................................................................................................................................................... 31
3.3 Pressão de um Fluido............................................................................................................................................................ 32
3.4 Exemplos de Pressão de Fluidos........................................................................................................................................ 32
3.5 Pressão de um Gás ................................................................................................................................................................ 33
3.6 Equação da Pressão............................................................................................................................................................... 33
3.7 Teorema de Stevin................................................................................................................................................................. 34
3.8 Explicação Analítica .............................................................................................................................................................. 34
3.9 Pressão Atmosférica.............................................................................................................................................................. 35
3.10 Lei de Pascal.......................................................................................................................................................................... 35
3.11 Análise da Lei de Pascal ................................................................................................................................................... 36
3.12 Pressão e Altura .................................................................................................................................................................. 36
3.13 Pressão Absoluta e Efetiva............................................................................................................................................... 37
3.14 Medidores de Pressão ........................................................................................................................................................ 38
3.14.1 Barômetro ..................................................................................................................................................................... 38
3.14.2 Piezômetro..................................................................................................................................................................... 38
3.14.3 Manômetro em U........................................................................................................................................................ 39
3.14.4 Manômetro Diferencial ............................................................................................................................................. 39
Exemplo 3 ......................................................................................................................................................................................... 39
4. Treinamento de cães – Exercícios resolvidos....................................................... 43
4.1 Base Teórica ............................................................................................................................................................................. 43
4.1.1 Forma correta de utilizar o teorema de Stevin................................................................................................. 44
4.1.2 Manômetro aberto com um líquido e um gás .................................................................................................... 45

4.1.3 Manômetro aberto com dois líquidos..................................................................................................................... 46
4.1.4 Manômetro fechado com três líquidos................................................................................................................... 47
4.2 Exercícios resolvidos............................................................................................................................................................... 47
Questão 1 ...................................................................................................................................................................................... 47
Questão 2 ...................................................................................................................................................................................... 48
Questão 3 ...................................................................................................................................................................................... 49
5. Velozes e Ferozes – Cinemática dos fluidos.......................................................... 50
5.1 Cinemática................................................................................................................................................................................ 50
5.2 As aplicações de maneira diferente ................................................................................................................................ 50
5.2.1 Observação Prática........................................................................................................................................................ 54
5.2.2 O Sentido de Tudo Isso................................................................................................................................................ 54
5.3 A Experiência de Reynolds ................................................................................................................................................. 55
5.4 Escoamento Laminar............................................................................................................................................................ 55
5.5 Escoamento de Transição e Turbulento ........................................................................................................................ 56
5.6 Número de Reynolds............................................................................................................................................................. 56
5.7 Linha de Corrente.................................................................................................................................................................. 57
5.8 Tipos de Escoamento ............................................................................................................................................................ 57
5.8.1 Escoamento Unidimensional ...................................................................................................................................... 57
5.8.2 Escoamento Bidimensional......................................................................................................................................... 58
5.8.3 Escoamento Tridimensional ....................................................................................................................................... 58
5.9 Vazão........................................................................................................................................................................................... 59
5.10 Cálculo de Velocidade Média........................................................................................................................................... 59
Exemplo 4 ......................................................................................................................................................................................... 60
6. Outros assuntos da viscosidade – Reometria e pseudoplástico.................... 62
6.1 Comportamento pseudoplástico em polímeros........................................................................................................... 62
6.2 Como se mede a viscosidade (reometria)? ................................................................................................................... 64
7. Não desista, continue – A equação da continuidade ....................................... 65
7.1 Balanço de Massa ................................................................................................................................................................... 65

7.2 Relação Velocidade–Massa.................................................................................................................................................. 65
7.3 Equação da Continuidade ................................................................................................................................................... 66
7.4 Vazão (de novo) ...................................................................................................................................................................... 67
7.5 Reflexões entre Pressão e Velocidade.............................................................................................................................. 67
Exemplo 5 ......................................................................................................................................................................................... 68
Exemplo 6 ......................................................................................................................................................................................... 69
Exemplo 7 ......................................................................................................................................................................................... 70
8. Treinamento de cães – Exercícios resolvidos....................................................... 72
Questão 1 .......................................................................................................................................................................................... 72
Questão 2 .......................................................................................................................................................................................... 73
Questão 3 .......................................................................................................................................................................................... 74
Questão 4 .......................................................................................................................................................................................... 75
Questão 5 .......................................................................................................................................................................................... 76
Questão 6 .......................................................................................................................................................................................... 77
Questão 7 .......................................................................................................................................................................................... 79
9. Equacionando o seu desespero – A equação de Bernoulli .............................. 81
9.1 Balanço de Energia................................................................................................................................................................ 81
9.2 Balanço de Energia Geral ................................................................................................................................................... 81
9.3 Interpretação ........................................................................................................................................................................... 83
9.4 Balanço de Energia em Escoamentos............................................................................................................................. 84
9.5 Equação de Bernoulli ............................................................................................................................................................ 84
9.6 Interpretação da equação de Bernoulli.......................................................................................................................... 85
Exemplo 8 ......................................................................................................................................................................................... 86
Segundo método......................................................................................................................................................................... 88
10. Uma pausa - Semelhança, Análise Dimensional e Teorema Pi ................ 90
10.1 Problemática..................................................................................................................................................................... 90
10.2 Análise dimensional........................................................................................................................................................ 90
10.3 Teorema Pi ........................................................................................................................................................................ 91

10.4 Importância....................................................................................................................................................................... 92
10.5 Semelhança ....................................................................................................................................................................... 93
11. Colocando o seu sofrimento em prática - Máquinas..................................... 94
11.1 Os desprezos reconsiderados........................................................................................................................................... 94
11.2 Máquinas................................................................................................................................................................................. 94
11.2.1 Bombas............................................................................................................................................................................ 95
11.2.2 Turbinas.......................................................................................................................................................................... 95
11.2.3 Bomba x Turbina ........................................................................................................................................................ 97
11.4 Cargas manométricas do escoamento......................................................................................................................... 98
11.5 Máquinas e escoamento .................................................................................................................................................... 98
11.6 Potência e rendimento de máquinas........................................................................................................................... 99
Exemplo 9 ......................................................................................................................................................................................... 99
12. Desvendando mínimos detalhes - Perda de carga, Escoamento
multipontos e Diagrama de velocidades................................................................... 102
12.1 Atrito ..................................................................................................................................................................................... 102
12.2 Bernoulli em todos os lugares....................................................................................................................................... 102
12.3 As máquinas ........................................................................................................................................................................ 103
12.4 O efeito do atrito .............................................................................................................................................................. 103
12.5 A grande jogada ................................................................................................................................................................ 104
12.6 Perda de carga................................................................................................................................................................... 105
12.7 Equacionando perda de carga...................................................................................................................................... 106
12.8 Escoamento multipontos ................................................................................................................................................ 106
12.9 Diagrama de velocidades................................................................................................................................................ 107
12.10 Perfis de velocidade....................................................................................................................................................... 109
13. Treinamento de cães – Exercícios resolvidos................................................. 110
Questão 1 ........................................................................................................................................................................................ 110
Questão 2 ........................................................................................................................................................................................ 112
Questão 3 ........................................................................................................................................................................................ 114

Questão 4 ........................................................................................................................................................................................ 116
Questão 5 ........................................................................................................................................................................................ 120
14. Uma visão microscópica - Camada limite, turbulência e vórtices ....... 123
13.1 As condições ........................................................................................................................................................................ 123
14.2 Consequências do atrito.................................................................................................................................................. 123
14.3 Viscosidade........................................................................................................................................................................... 124
14.4 Camada Limite................................................................................................................................................................... 124
14.5 O número de Reynolds e Turbulência ....................................................................................................................... 125
14.6 Camada Limite e Turbulência ...................................................................................................................................... 125
14.7 Vórtices.................................................................................................................................................................................. 126
15. Desejo boa sorte para você - Diagrama de Moody..................................... 127
15.1 Condutos............................................................................................................................................................................... 127
15.2 Analogia ................................................................................................................................................................................ 128
15.3 Raio/Diâmetro hidráulico .............................................................................................................................................. 129
15.4 Cano quadrado?................................................................................................................................................................. 130
15.5 Rugosidade ........................................................................................................................................................................... 131
15.6 Rugosidade relativa .......................................................................................................................................................... 131
15.7 O entendimento da rugosidade ................................................................................................................................... 132
15.8 O Nascimento de um diagrama .................................................................................................................................. 133
15.9 Diagrama de Moody......................................................................................................................................................... 134
15.9.1 Escoamento Laminar............................................................................................................................................... 137
15.9.2 Escoamento de Transição ...................................................................................................................................... 137
15.9.3 Regime hidraulicamente liso................................................................................................................................. 137
15.9.4 Transição de regime liso para rugoso ............................................................................................................... 138
15.9.5 Regime hidraulicamente rugoso .......................................................................................................................... 138
Exercício ........................................................................................................................................................................................... 139
16. Aprendendo a perder -Perda de carga total ............................................... 142
16.1 Comprimento real e equivalente ................................................................................................................................. 142

16.2 Um segundo método........................................................................................................................................................ 142
16.3 Uma tabela .......................................................................................................................................................................... 143
16.4 Como utilizá-la .................................................................................................................................................................. 144
Exemplo 9 ....................................................................................................................................................................................... 145
Exemplo 10 .................................................................................................................................................................................... 149
Exemplo 11 .................................................................................................................................................................................... 152
17. Está ocorrendo cavitação na sua vida? - Cavitação e Associação de
Bombas................................................................................................................................... 156
17.1 Pressão de vapor (Pv)...................................................................................................................................................... 156
17.2 Variáveis que influenciam............................................................................................................................................... 156
17.3 Pressão de vapor em um escoamento....................................................................................................................... 158
17.4 O princípio da cavitação................................................................................................................................................. 159
17.5 Cavitação .............................................................................................................................................................................. 159
17.6 Cavitação e Bombas ......................................................................................................................................................... 160
17.7 NPSH...................................................................................................................................................................................... 161
17.8 Análise de NPSH................................................................................................................................................................ 163
17.9 Associação de Bombas ..................................................................................................................................................... 164
17.10 Curva da bomba ............................................................................................................................................................. 166
Exemplo 12 .................................................................................................................................................................................... 167
Exemplo 13 .................................................................................................................................................................................... 168
18. Uma discussão final - Fenômenos de transporte 1 e climatologia ...... 173
19. Pronto para ser um engenheiro? – Projeto de um sistema hidráulico
.................................................................................................................................................. 176
19.1 Problema .............................................................................................................................................................................. 176
19.2 Primeiros cálculos.............................................................................................................................................................. 177
19.3 Considerações...................................................................................................................................................................... 178
19.4 Desenvolvimento de Equações ...................................................................................................................................... 179
19.4.1 Bomba ........................................................................................................................................................................... 179

19.4.2 Sistema de tubulação............................................................................................................................................... 179
19.4.3 Equações ....................................................................................................................................................................... 180
19.4.4 Áreas.............................................................................................................................................................................. 180
19.5 Escolha de casos................................................................................................................................................................. 181
19.5.1 Corrosão........................................................................................................................................................................ 181
19.6 Estudo de Caso................................................................................................................................................................... 182
19.6.1 Automação do projeto ............................................................................................................................................ 183
19.7 Resultados ............................................................................................................................................................................ 186
19.7.1 Aço Inox e bomba A................................................................................................................................................. 187
19.7.2 Aço Inox e bomba B................................................................................................................................................. 189
19.7.3 Aço Inox e bomba C ................................................................................................................................................. 190
19.8 Discussões.............................................................................................................................................................................. 192
19.8.1 Bombas.......................................................................................................................................................................... 192
19.8.2 Tubulação ..................................................................................................................................................................... 194
19.9 Conclusão.............................................................................................................................................................................. 194
20. Adeus.............................................................................................................................. 196
Referências............................................................................................................................ 197

12
Apresentação
Olá, meu nome é Helder Guerreiro, aluno de Engenharia Química na Universidade Federal
do Amazonas. Todo aquele que faz engenharia (pelo menos suponho que a maioria) terá
de enfrentar um dia o Fenômenos de transporte I, onde o objetivo dessa disciplina é
estudar o comportamento dos fluidos e como domá-los para que eles venham agir em
nosso favor.
Infelizmente, é uma realidade que nem todo mundo se dá bem na faculdade, nem todos
puderam fazer um bom ensino fundamental e médio, nem todos puderam pagar os
melhores cursinhos pré-vestibulares, mas lutam todos os dias para valorizar o seu curso
e aprendizado. Isso ocorreu comigo, eu sou um leigo que aprendeu a ensinar, eu nunca
aprendo do jeito como os livros mostram, porque eu não entendo, nem mesmo as vídeo
aulas da internet me ajudam (elas dão é sono), mas através de incessantes horas de estudo
e dedicação eu consigo assimilar meus estudos a coisas simples do nosso dia a dia.
Se você é que nem eu, ou seja, uma pessoa que nunca aprende as coisas logo de cara e
sente dificuldade em estudar por livros, este livro é para você. É uma triste verdade que
nem todos os professores são bons e nem todos os livros tem boa didática, as vezes os
alunos são abandonados sozinhos, sem ajuda do professor, sem monitor, sem alguém para
tirar suas dúvidas. Foi pensando em pessoas assim que este livro foi criado. Eu serei seu
amigo em todos as páginas deste livro, lhe mostrando os mínimos detalhes e sempre
associando coisas difíceis com as óbvias.
Boa sorte nos seus estudos e vamos avante.

13
Observações
• Este material é baseado no livro: Mecânica dos Fluidos – Franco Brunetti e nas
aulas do professor do autor.
• As teorias retiradas de outros livros e da internet serão destacadas com as suas
respectivas referências através de números: (1), (2) etc.
• Referências constadas no final deste livro que não foram citadas no meio deste,
foram responsáveis pela formulação do pensamento do autor, sendo assim
contribuições indiretas.
• As questões abordadas aqui serão as mesmas que foram utilizadas pelo professor,
mesmo que sejam de outros livros.
• Todas as imagens não pertencentes ao autor foram devidamente referenciadas
na imagem e no final deste livro, as que não contem referência são de autoria
do próprio autor deste livro.
• Este livro é amador e não obteve ajuda de terceiros, ou seja, o autor pensou,
escreveu, editou e publicou este livro sozinho, o que faz deste passível de certos
erros pequenos nesta edição, o que não comprometerá o seu estudo, dessa forma
peço sua compreensão caso encontre algum erro neste livro.
• Para dúvidas, sugestões, aviso de erros, elogios ou algo que necessite contato,
envie um e-mail para: heldermeloguerreiro@gmail.com .
• Este livro é gratuito e não deve, de forma alguma, ser vendido por nenhuma
pessoa física ou jurídica, o autor deliberou de boa vontade este livro como livre
para todo aquele que queira possuí-lo.

14
1. O seu conhecimento nas gotas de orvalho –
Definições Gerais
1.1 Conceitos Fundamentais
• Fluido (e não Fluído):
- É uma substância que não tem uma forma própria, assume o formato do recipiente.
• Princípio da Aderência:
- Os pontos de um fluido, em contato com uma superfície sólida, aderem aos pontos
dela, com os quais estão em contato.
1.2 Fluido
Fluido é qualquer substância que pode fluir (1), a água pode fluir, qualquer gás pode
fluir. E uma pedra pode fluir? Mas afinal o que é fluir?
Fluir é simplesmente correr (2), ou seja, é a habilidade que um certo tipo de material
tem de fazer seu corpo correr em um certo espaço.
Então uma pedra não é um fluido. Ela não pode se desfazer e correr por um pátio e
depois se refazer novamente.
Um ketchup é um fluido, pois ele flui através do pote que apertamos para que ele saia e
caia no sanduiche.
Mas para a mecânica dos fluidos uma definição mais técnica (chata) deve ser
desenvolvida.

15
1.3 Princípio da Aderência
Se você imaginar duas placas, superior e inferior, em um sólido talvez você possa
perceber que se você mexer a placa de cima para o lado o sólido se deformará muito
pouco, ou quase nada. Por exemplo uma borracha se deformará um pouco para o lado,
mas uma pedra se deformará praticamente nada.
Mas e se fosse em um fluido? Ao mover a placa superior o fluido se deformará
infinitamente, como se fosse uma super-borracha que pode ser esticada para sempre.
Quando a placa é movida a camada do fluido que está em contato com ela se move na
mesma velocidade, ou seja, o fluido está ligado à placa.
1.4 Fluido em Mecânica dos Fluidos
Comparando os acontecimentos descritos com as placas em um sólido e em um fluido
temos que a definição mais técnica (chata) de um fluido é:
“Uma substância que se deforma continuamente, quando submetida a uma força
tangencial constante qualquer. ”
Ou
“Uma substância que, quando submetida a uma força tangencial constante, não atinge
uma nova configuração de equilíbrio estático. ”
Força tangencial = mexer a placa para o lado

16
1.5 Tensão de Cisalhamento
Tensão de cisalhamento é uma força que tende a puxar um certo material com duas
forças opostas cada uma em uma metade do material. É como se você pegasse uma
borracha em pé, na parte de cima você puxa para a direita e na parte de baixo para a
esquerda. Se forçar demais, pode ser que a borracha se rasgue no meio. Por isso se chama
cisalhamento (cortar).
Brunetti define a tensão de cisalhamento como uma força
aplicada tangente à uma superfície (mexeram a superfície para
o lado), então decompondo essa força temos a força normal e
uma força que atinge ao lado da superfície, essa é uma força de
cisalhamento que está sendo aplicada sobre a superfície de área
A.
𝜏 =
𝐹𝜏
𝐴
1.6 Tensão de Cisalhamento num Fluido
Imagina-se que o fluido é formado por um aglomerado de camadas (placas) uma em
cima da outra. A observação feita no princípio da aderência (onde duas placas estavam
entre um fluido) ainda é válida.
Veja como essa força 𝐹𝜏 está atingindo ao lado da placa. Isso a fará se movimentar, da
mesma forma como analisamos no princípio da aderência (alguém mexeu a placa para
o lado).
Observou-se anteriormente que o fluido, quando se movia a placa superior, se
comportava como uma “borracha que se estica infinitamente”. Isso significa que a placa
inferior nunca vai se mover. Então, quando a placa superior for atingida por uma força
ela tenderá a atingir uma velocidade 𝑣0 constante e isso é indício de que há forças
internas no fluido que acabam por se equilibrar com a força aplicada 𝐹𝜏.

17
1.7 As Tensões Entre Camadas
Mas porque haveria uma força interna? Imagine que essa “velocidade constante” é na
verdade velocidade nula, ou seja, a placa superior parou. Quando se aplica a força a um
determinado material e ele se move, ele irá parar somente se houver alguma força
contra esse material que o fará diminuir a sua velocidade gradualmente até parar.
E é verdade que se empurramos uma placa em cima da água uma hora ela irá parar,
não? E que forças internas são essas?
Como o fluido é formado por várias “placas” quando a placa superior é movimentada a
debaixo irá se movimentar também e assim sucessivamente, mas você se lembra que a
placa inferior não se move? Isso significa que as placas se deslizam uma em cima da
outra, mas com velocidades cada vez menores. E essa velocidade só reduz porque algo
vai de contra. Esse “algo” é uma espécie de atrito, mas que aqui é chamado de tensão
de cisalhamento.
1.8 Lei de Newton
Então vamos resumir: cada camada de um fluido que desliza sobre o outro irá formar
tensões de cisalhamento, que multiplicando pela área da “placa” encontra-se as forças
𝐹𝜏 que foi visto anteriormente.
De um outro ponto de vista, a tensão de cisalhamento é relacionada a diferença de
velocidade entre as “placas”. Porque se há uma diferença de velocidade então há alguma
força que impede velocidades iguais.
Newton descreve que a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional á variação
da velocidade em y (que é a altura). Ou seja, a velocidade varia ao passo que descemos
as camadas, elas ficam mais lentas, logo a tensão de cisalhamento será menor.

18
1.9 Viscosidade
Em uma definição primária: a viscosidade é o atrito interno em um fluido (1). Segundo
Brunetti a viscosidade é originada por uma coesão (força atrativa) entre as moléculas e
o choque entre elas. Brunetti também defini a viscosidade como: uma propriedade que
indica a maior ou menor dificuldade que um fluido tem de fluir.
Basicamente a viscosidade é o quanto mais “grosso” é o fluido. Veja o Ketchup, ele é um
fluido “grosso” difícil de escorrer, isso significa que ele é um fluido viscoso.
Como a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional á variação da velocidade
com a altura, está faltando algo para se formar uma equação: uma constante.
Já foi visto que a tensão de cisalhamento é a responsável pelo retardo da velocidade do
deslizamento entre camadas. Mas e se fosse um fluido como a água? Ou como um
ketchup? Se fosse num ketchup com certeza as camadas do fluido se moveriam muito
pouco (porque ele é “grosso”) se relacionado com a água.
1.10 Tensão de Cisalhamento e Viscosidade
Entendemos agora que um fluido quando é viscoso a velocidade de deslizamento diminui
drasticamente porque se torna mais difícil de mover suas placas. A tensão de
cisalhamento é o “atrito” que diminui a velocidade de deslizamento das camadas, logo
chegamos a conclusão de que quanto maior a viscosidade de um fluido maior será o
“atrito” que irá impedir a velocidade de deslizamento. Por fim:
𝜏 = 𝜇
𝑑𝑣
𝑑𝑦
A tensão de cisalhamento é diretamente proporcional ao produto da viscosidade (𝜇) com
a variação de velocidade em y.

19
1.11 Condições Ambientais
Analisando os fluidos de acordo com as condições ambientais, uma alta temperatura em
fluidos líquidos resulta na diminuição da viscosidade enquanto em fluidos gases a
viscosidade aumenta.
O aumento da temperatura aumentará a energia cinética das moléculas dos fluidos e
num fluido líquido as suas moléculas tendem a diminuir suas interações intermoleculares
(é por essa razão que um líquido entra em ebulição) consequentemente a viscosidade
diminuirá. Num fluido gasoso o aumento da temperatura irá agitar as moléculas cada
vez mais, diminuindo os espaços entre as moléculas do gás, dessa forma o gás ficará
mais “denso” e consequentemente sua viscosidade aumentará.
1.12 O Gradiente
Quando foi dito que a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional á variação da
velocidade em y, na verdade estamos falando de um gradiente de velocidade.
Segundo James Stewart (3): “Se f é uma função de
duas variáveis x e y, então o gradiente de f é a função
vetorial 𝛻𝑓 definida por: 𝛻𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑓𝑥(𝑥, 𝑦), 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦)) =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑗 ”
Mas temos um porém, essa velocidade não está
dependendo só de y? Como é que ela vai ter duas
variáveis? Bom, na verdade esse “gradiente” está mais
para taxa de variação da velocidade como define James Stewart (4): “O quociente
∆𝑦
∆𝑥
𝑜𝑢
𝑑𝑦
𝑑𝑥
é denominado taxa média de variação de y em relação a x no intervalo [𝑥1, 𝑥2]
e pode ser interpretado como a inclinação da reta secante PQ na figura ao lado. ”
1.13 Simplificação Prática
O gradiente da velocidade
𝑑𝑣
𝑑𝑦
descreve este comportamento abaixo:
Fonte: James Stewart, Cálculo I

20
O gradiente mede o quão rápido a função sai de uma camada até a outra. Mas quando
o espaço entre essas camadas é muito pequeno, a derivada pode ser simplesmente
ignorada e então usamos uma equação comum em vez de derivadas.
𝜏 = 𝜇
𝑣0
𝜀
𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑦 = 𝜀 < 4 𝑚𝑚
Exemplo 1
Um pistão de peso G = 4 N cai dentro de um cilindro com uma velocidade constante de
2 m/s. O diâmetro do cilindro é 10,1 cm e o do pistão é 10,0 m. Determinar a
viscosidade do lubrificante colocado na folga entre o pistão e o cilindro.
Vamos imaginar a imagem apresentada virada na horizontal. Veja como agora temos
placas uma em cima das outras, considere as laterais do cilindro e do pistão como placas
também. Então, nós queremos analisar o fluido que está entre as placas do cilindro e do
pistão.
Fonte: Franco Brunetti, Mecânica dos Fluidos

21
Ora, o peso do pistão pode ser interpretado como uma 𝐹𝜏, de tal forma que essa força
irá provocar a tensão cisalhante. Podemos calcular essa tensão, usando a área de contato
com o pistão. Veja que a área de contato não é a área total do pistão, porque o fluido
não está completamente em todo pistão, somente em volta.
Mas porque tem que ser a área de contato do pistão e não a do cilindro em volta do
pistão? Deixa eu lhe fazer uma pergunta: quem está se momento o pistão ou o cilindro
em volta dele?
Agora calculamos a tensão cisalhante no fluido provocado pelo pistão:
𝜏 =
𝐹𝑡
𝐴
=
4 𝑁
2𝜋𝑟𝐿
=
4 𝑁
2𝜋(0,05 𝑚)(0,05 𝑚)
= 254,648 𝑁/𝑚2
Porque 2𝜋𝑟𝐿? Essa é a área lateral de um cilindro, o comprimento de uma circunferência
pela altura do cilindro.
Agora vamos analisar a posição do fluido entre essas placas. Veja que entre o pistão e o
cilindro temos 0,1 cm de distância e dividindo esse valor para cada lado onde o fluido
está temos 0,5 mm. Esse valor é a distância entre uma placa e a outra onde entre elas
está o fluido. Logo temos que 𝜀 = 0,5 mm que é muito menor que 4 mm.
Com isso podemos usar a relação abaixo para encontra a viscosidade desse fluido:
𝜏 = 𝜇
𝑣0
𝜀
→ 𝜇 = 𝜏
𝜀
𝑣0
= (254,648 𝑁/𝑚2)
0,0005 𝑚
2 𝑚/𝑠
= 6,37 × 10−2
𝑁𝑠/𝑚2
Por fim, encontramos a viscosidade do fluido.

22
2. Descobrindo a ponta do iceberg –
Características e Tipos de Fluidos
2.1 Massa Específica
A massa específica não é nenhuma novidade, mas esse termo será abordado aqui por
causa da confusão que envolve explicar porque massa específica é diferente de densidade.
Segundo Leonardo Araújo em seu artigo na internet (5):
Os conceitos de densidade e massa específica podem ser os mesmos,
dependendo do contexto. [...] No entanto, esta aparente confusão pode ser
eliminada com o emprego do termo ‘densidade absoluta’, utilizado por
Baptista e Lara (2010) para se referir à ‘massa específica’ e ‘densidade
relativa’ para deixar claro que se refere à razão de massas específicas de
dois fluidos.
Resumindo: a densidade é uma propriedade de materiais e objetos enquanto massa
específica é uma propriedade de substâncias.
Então temos as diferenças das definições descritas por Nelson Lima (6):
“A massa específica de uma substância é a razão entre a massa e o volume da substância.
[...] Densidade absoluta de um corpo é a razão entre a massa e o volume do corpo. ”

23
2.2 Peso Específico
Sabe aquelas versões 2.0 dos softwares? Então, o peso específico é a versão 2.0 da massa
específica. Bom já sabemos que o peso é a massa vezes a aceleração da gravidade, então
basicamente o peso específico é a massa específica vezes a aceleração da gravidade.
Existe alguma explicação glamorosa em porque devemos usar esse tal peso específico?
Não. É só mais uma relação da mecânica dos fluidos, mas que não deixa de ser verdade.
𝛾 =
𝐺
𝑉
Onde G = peso (não sei porque)
Com isso podemos dizer que o peso específico da água é:
𝛾 = 𝜌𝑔 ≅ (1000 𝑘𝑔/𝑚3)(9,8 𝑚/𝑠2) ≅ 9800 𝑁/𝑚3
2.3 Viscosidade Cinemática
E para mais um upgrade de equações conhecidas, temos a viscosidade cinemática, uma
versão 2.0 da viscosidade dinâmica (ou só viscosidade). Simplesmente é a viscosidade
dinâmica sobre a massa específica.
𝜈 =
𝜇
𝜌
Então podemos analisar essa relação. Veja que quanto maior a massa específica maior é
a viscosidade dinâmica. Isso significa que se um fluido é denso sua viscosidade será maior.
Bom até que isso tem sentido, não? Veja que se um gás é denso, significa que suas
moléculas estão cada vez mais próximas, isso tem como consequência uma viscosidade
maior, num líquido o pensamento é análogo.
A viscosidade cinemática descreve o comportamento da viscosidade em relação à massa
específica.

24
2.4 Tipos de Fluidos
Os fluidos podem ser descritos como:
• Ideal;
• Incompressível.
E entre os incompressíveis estão os:
• Newtoniano;
• Dilatante;
• Pseudo Plástico;
• Plástico de Bingham.
2.5 Fluido Ideal
Uma vez um professor disse assim: “Um gás ideal é que nem a pessoa ideal, não existe.
”, maltratando os corações iludidos.
Bom, segundo Brunetti: “Fluido ideal é aquele cuja viscosidade é nula.”. Então a
viscosidade ser nula significa que o fluido não tem atrito interno, logo o comportamento
da tensão cisalhante nesse fluido seria nulo. Pois quanto mais viscoso o fluido, maior é a
tensão cisalhante. Digamos que a viscosidade é a “potência” da tensão de cisalhamento.
Ora, se não há tensão de cisalhamento então as placas do fluido não serão atrasadas
com o movimento da placa superior. Isso significa que tanto a placa superior como a
inferior se movimentarão ao mesmo tempo, a placa inferior não terá mais a velocidade
nula.
2.6 Reflexões Sobre a Viscosidade
Imagine uma pessoa em um pequeno barco no meio de um rio, essa pessoa pega um
remo e começa a remar.

25
Ao entrar em contato com a água com a força exercida pela pessoa, o remo irá deslocar
as camadas da água com a mesma velocidade que está sendo movido (princípio da
aderência), o deslocamento dessas camadas irá produzir forças tangenciais contrárias
(consequentemente tensão de cisalhamento).
Pela terceira Lei de Newton, toda ação tem uma reação, quanto maior for a força do
remo ao entrar em contato com a água maior serão as forças tangenciais contrárias.
Essas forças resultarão numa forma de resistência contra o remo e pelo fato da pessoa
está em um pequeno barco num rio, cujo atrito na superfície da água é muito pequeno,
o pequeno barco irá se deslocar na direção oposta à força do remo, pois a resultante das
forças opostas é maior do que a força do remo.
2.7 A Consequência de uma Viscosidade Nula
Então, imagine a mesma situação descrita anteriormente.
Veja que quando o remo entrar na água a sua força irá deslocar as camadas do fluido.
Mas você se lembra o que foi dito sobre um fluido com viscosidade nula? Bom, não
existirá nenhuma força oposta à força do remo, porque não haverá tensão de
cisalhamento. Consequentemente as camadas superiores terão a mesma velocidade que
as camadas inferiores, ou seja, é como se o remo estivesse empurrando um grande bloco
de gelo. Mas por ser um fluido com viscosidade nula, seria um fluido superfino, mais fino
do que o ar (daí você imagina), logo seria praticamente impossível deslocar o pequeno
barco no meio de um fluido ideal.
E se uma pessoa tentasse “nadar” nesse fluido? A pessoa cairia até se deparar com
alguma superfície sólida. (Imagine se jogar de um avião ás alturas, é a mesma coisa).

26
2.8 Fluido Incompressível
Você um dia já deve ter sido uma criança peralta. Quem sabe um dia você já pegou uma
seringa (sem a agulha) e colocou água dentro dela e o seu dedo na ponta da seringa. Aí
depois de seu dedo quase cair você percebe que aconteceu absolutamente nada!
Então, um fluido é incompressível segundo Brunetti quando: “o seu volume não varia ao
modificar a pressão. ” Simplesmente você não pode diminuir o volume da água
apertando com toda força do mundo o êmbolo da seringa.
Digamos que todos os líquidos e alguns gases (em certas condições) são incompressíveis.
Bom, na Termodinâmica, você verá que o fato de um fluido ser incompressível não é
totalmente verdade, porque quando um fluido é submetido a uma certa pressão,
realmente existe uma variação de volume, porém é tão pequena que para efeito de
cálculos, pode ser desprezada.
2.9 Tipos de Fluidos Incompressíveis
Possa se dizer que 90 % dos fluidos incompressíveis são Newtonianos, aqueles que
obedecem a Lei de Newton: “a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à
taxa de variação da velocidade em y e à viscosidade do fluido”.
Abaixo observa-se o comportamento de alguns tipos de fluidos em relação a Lei de
Newton:

27
2.10 Tensão Cisalhante e o Tempo
Porque devemos trocar o óleo do carro ou da moto? Bom, quando você tiver que abrir
o motor e pagar uns 200 R$ por isso você terá um bom motivo para trocar de óleo
periodicamente.
Quando um fluido perde sua tensão cisalhante com o tempo, significa que as forças
contrarias a qualquer força externa serão diminuídas. Então imagine que o óleo que está
deslizando entre os pistões do carro está se tornando água, o atrito do pistão com as
paredes cilíndricas vai aumentar e causar superaquecimento, então temos dois tipos de
fluidos que variam sua tensão cisalhante com o tempo.

28
Exemplo 2
Um dispositivo é constituído de dois pistões de mesmas dimensões geométricas que se
deslocam em dois cilindros de mesmas dimensões. Entre os pistões e os cilindros existe
um lubrificante de viscosidade dinâmica 10−2
𝑁𝑠/𝑚2
. O peso específico do pistão 1 é
20000 𝑁/𝑚3
qual é o peso específico de 2 para que o conjunto se desloque na direção
indicada com a velocidade constante de 2 𝑚/𝑠? Desprezar atrito das cordas.
Nunca devemos esquecer que estamos nunca disciplina de mecânica, ora continua sendo
toda aquela mecânica que você aprendeu antes, só que dessa vez é nos fluidos!

29
Então vamos desenhar um diagrama de corpo livre sobre a situação descrita:
Veja que o enunciado expõe que o mesmo fluido está em ambos os pistões, então a força
tangencial é a mesma para os dois pistões e a corda é a mesma para os dois pistões,
então a força de tensão será a mesma.
Não temos o valor da altura dos cilindros. Temos duas incógnitas, o valor do peso
específico de 2 e a altura dos cilindros, mas em contrapartida podemos ter duas
equações. Isso é um sistema.
As equações baseadas no diagrama:
{
𝑇 = 𝐺2 + 𝐹𝜏
𝐺1 = 𝑇 + 𝐹𝜏
→ 𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 → 𝐺1 = 𝐺2 + 2𝐹𝜏
Vamos calcular 𝐹𝜏. Veja que o lubrificante está entre o pistão de 10 cm e o cilindro ao
redor de 10,1 cm, então em cada lado o lubrificante está a 0,5 mm que é muito menor
que 4 mm, por isso usamos a simplificação:
𝜏 =
𝐹𝜏
A
→ 𝐹𝜏 = 𝜏𝐴 = 𝜇
𝑣
𝑒
𝐴 = (10−2
𝑁𝑠/𝑚)
2 𝑚/𝑠
0,0005 𝑚
𝐴 = 40𝐴
Agora, como não temos os pesos de cada pistão utilizamos a alternativa do peso
específico:
𝛾 =
𝐺
𝑉
→ 𝐺 = 𝛾𝑉
E como as dimensões são as mesmas, o volume é igual para ambos:
𝐺1 = 𝐺2 + 80𝐴 → 𝛾1 𝑉 = 𝛾2 𝑉 + 80𝐴 → 𝛾1 = 𝛾2 +
80𝐴
𝑉

30
Não temos o valor da altura do cilindro, mas temos a presença da altura tanto no
volume quanto na área, então a altura será cancelada:
𝛾1 = 𝛾2 +
80(2𝜋𝑟𝐿)
𝜋𝑟2 𝐿
= 𝛾2 +
80(2𝜋(0,05))
𝜋(0,05)2
= 𝛾2 + 3200
𝛾2 = 20000 − 3200 = 16800 𝑁/𝑚3

31
3. A entidade que te persegue por toda
faculdade - Pressão
3.1 Estática dos fluidos
Algo que está estático é tudo aquilo que está em repouso, imóvel, sem se mover (2). E
porque o estudo de fluidos estáticos seria interessante? No coração desse assunto está os
estudos das pressões de fluidos, um assunto realmente interessante.
O que seria essa tal pressão? Bom, com o seu dedo você pode empurrar o braço de um
colega seu, a ação que o seu dedo faz ao empurrar o braço de alguém é justamente uma
pressão.
Muita gente usa a expressão “estou sendo pressionado por fulano”, hum.. Quer dizer que
fulano está sentando em cima de você e te pressionando? Acho que sentar em cima de
alguém é outra coisa e não pressão... Na verdade a pressão no dito popular é na verdade
uma metáfora, mas é condizente ao real sentido de pressão.
Imagine que alguém está lhe empurrando na beira de uma janela para você cair, e você
faz força para que essa pessoa não consiga jogar você da janela. Isso é a pressão do dito
popular.
3.2 Pressão
Mas então, o que é mesmo pressão? Basicamente é uma força distribuída numa certa
área. Mas se apertar o dedo no braço de alguém é uma pressão, o que seria uma força?

32
Na verdade, quando empurramos a geladeira de casa na hora da limpeza o que estamos
exercendo é uma força e a geladeira está sofrendo uma pressão. Nós não somos capazes
de fazer com que a geladeira sofra uma força, nossas mãos conduzem força até a
geladeira e então estamos pegando uma certa área (mesmo que pequena) da geladeira.
Lembre-se, uma força é pontual e um ponto não tem dimensões.
3.3 Pressão de um Fluido
Segundo Young (1): “quando um fluido (um gás ou líquido) está em repouso, ele exerce
uma força perpendicular sobre qualquer superfície que esteja em contato come ele [...]
as forças exercidas pelo fluido são oriundas das colisões moleculares com as superfícies
vizinhas. ”
Porque um fluido exerce uma pressão? Imagine uma piscina, você está do lado de fora,
não há nada interferindo no volume da água, então ela está de boas. Mas a partir do
momento que você entra na piscina, você se torna meio que um “corpo estranho” então
a água deve estar pensando: “quem é esse filho de égua que está dentro mim? Sai fora
daqui! ”
Lembra da pessoa te empurrando para você cair da janela? Bom, agora ela se chama
água. Sem delongas, as moléculas ficam se colidindo com a superfície da sua pele que
tem moléculas diferentes da água, ou seja, temos um caso de xenofobia aqui, essas colisões
são forças que distribuída sobre a sua pele resulta na pressão.
3.4 Exemplos de Pressão de Fluidos
Lembra quando você tentava sair correndo da piscina e lá na frente saiu quase morrendo
de tanto fazer esforço? O nome dela é pressão, a garota que te faz sofrer, ela dificulta
sua vida, torna tudo tão mais pesado e não se pode evita-la.
Lembra daquele papo de que os bolivianos mascam folha de coca? Bom, eles não
drogados, calma ae. A folha de coca ajuda na respiração e o coração, isso porque a

33
Bolívia é um país de grande altitude e consequentemente é mais difícil respirar. Mas
porque é difícil respirar? Sim, por causa da pressão. Como o nosso ar atmosférico é um
fluido, então a sonsa da pressão está lá. Do mesmo jeito que explicado antes, nós somos
um “corpo estranho” nas moléculas do ar, e então essas moléculas se chocam com as
nossas e causam a pressão. No caso da altitude, temos uma baixa pressão e isso significa
que as colisões estão diminuindo. Mas como se ainda estou lá? Se você ainda está lá e a
pressão está diminuindo significa que outros tipos de moléculas não estão presentes e
uma delas é justamente o oxigênio que respiramos.
3.5 Pressão de um Gás
Sim, é verdade que o ar que respiramos é um gás e que ele também tem suas pressões
altas e baixas assim como foi exemplificado anteriormente. Mas para casos laboratoriais
e industriais é inútil se preocupara com a modificação da pressão de um gás dentro de
um recipiente. Veja que para ocorrer mudança na pressão atmosférica é necessário
saímos do terreno comum para uma altitude muito alta, como uma montanha.
Por isso, a diferença de pressão entre dois pontos de um gás é desprezada, o gás é tido
como um fluido com pressão constante em toda sua extensão, pois suas moléculas estão
longe demais e são muito poucas para causar colisões grandes à uma superfície.
3.6 Equação da Pressão
A pressão é definida matematicamente por:
𝑃 =
𝐹
𝐴
Olhando um pouco melhor para essa equação temos que quanto menor a área maior a
pressão.
Lembra quando você ia encher as garrafas de água da sua casa e então você apertava a
boca da mangueira porque pensava que era mais rápido? Então, quando a boca da

34
mangueira é larga a água sai numa velocidade menor, isso porque não há muita pressão
da mangueira, mas quando você coloca seu dedo a área diminui muito e então a água
começa a sair numa velocidade maior, porém a vazão volumétrica é a mesma.
Se você não tem muita noção de pressão relacionada com velocidade, lembre-se de uma
seringa com água: quanto maior for a força no êmbolo mais rápido a água sairá.
3.7 Teorema de Stevin
“A pressão de um fluido é função direta da altura (profundidade) e não da largura ou
comprimento. ”
∆𝑃 = 𝛾∆ℎ = 𝜌𝑔∆ℎ
O teorema de Stevin remete o que já sabemos por experiência da vida que a pressão
varia com a altura, assim como foi dado no exemplo da Bolívia. Mas como entender isso?
Imagine a água novamente, sabemos que carregar 100 litros de água é impossível, 10
litros já se pode carregar com um certo esforço e 1 litro é muito fácil. Imagine um
tanque de água e uma escada dentro dele, a cada degrau que você desce você precisa
carregar a água que toca no degrau, e quanto mais se desce a quantidade de água vai
acumulando. Quando se chega no fundo, existe uma grande quantidade de água para se
carregar, se tornando muito pesado para as suas costas.
Nesse caso o “pesado” seria uma pressão alta e o “leve” uma pressão baixa.
3.8 Explicação Analítica
O exemplo do grande tanque é só para se ter o entendimento de como é o
comportamento da pressão em um fluido. Mas ao organizar a equação mostrada antes
temos:
𝑃 = 𝑃𝑜 + 𝜌𝑔ℎ

35
A explicação dada por Young (2) é que 𝑃𝑜 é a pressão na superfície do fluido, ou seja,
seria a pressão na altura zero e 𝑃 é uma pressão de qualquer ponto do fluido. Então, a
pressão de qualquer parte do fluido é simplesmente a própria pressão na superfície do
fluido mais a altura em produto com o peso específico.
Veja que o peso específico participa do cálculo, ou seja, quanto mais profundo se está no
fluido mais “pesado” ele fica, assim como foi explicado com o exemplo do tanque, um
objeto no fundo de um fluido terá que suportar toda a quantidade de fluido que está
acima dele, como se ele estivesse o carregando nas costas.
3.9 Pressão Atmosférica
Pelo fato de muitas das vezes a pressão atmosférica não interferir nos processos voltados
aos fluidos, a pressão atmosférica é desconsiderada. A pressão atmosférica seria
representada pelo 𝑃𝑜, que é a pressão na superfície do fluido (sem interferência humana
ou mecânica), então a pressão em qualquer ponto de um fluido é:
𝑃 = 𝜌𝑔ℎ
Muitas das vezes não é conveniente envolver a pressão atmosférica nessas análises, isso
porque essa pressão não muda facilmente ficando quase estática se tornando uma simples
constante.
3.10 Lei de Pascal
A Lei de Pascal expressa o seguinte:
“A pressão aplicada a um fluido no interior de um recipiente é transmitida sem
nenhuma diminuição a todos os pontos do fluido e para as paredes do recipiente. ”
Ou seja, é como se o fluido se comportasse num efeito dominó. Se você empurrar o fluido
na sua superfície com um pistão as moléculas vão empurrar uma fileira após a outra até
chegar no fundo recipiente. É como se houvessem várias fileiras de pessoas e cada fileira

36
empurrasse a de trás contra a parede, com certeza o pessoal da última fileira vai morrer
espremido.
A Lei de Pascal não procura quantificar a pressão do fluido e sim o quanto ele aumentou,
porque assim como a pressão é transmitida para todo o fluido a mesma pressão exercida
na sua superfície será somada à pressão no fundo do recipiente.
𝑃 = 𝑃𝑜
3.11 Análise da Lei de Pascal
Mas como assim a pressão da superfície é igual a pressão de qualquer ponto do fluido?
Lembre-se: essa lei não está medindo a pressão do fluido, e sim a pressão exercida sobre
o fluido.
No exemplo da imagem, pela lei de Pascal, uma pressão qualquer exercida sobre o fluido
será transmitido, sem perdas, por toda a extensão do fluido, então no exemplo acima a
pressão exercida pelo êmbolo 1 será a mesma que empurrará o êmbolo 2. Portanto:
𝑃1 = 𝑃2 →
𝐹1
𝐴1
=
𝐹2
𝐴2
3.12 Pressão e Altura
A pressão é distribuída uniformemente em toda a extensão do fluido. Como a pressão
independe do formato do recipiente no qual o fluido está, a altura atingida pelo fluido
numa certa pressão sempre será a mesma. A figura abaixo exemplifica essa situação:

37
Para isso ser verdade não deve haver descontinuidade no fluido, como uma barreira ou
a presença de outro fluido.
3.13 Pressão Absoluta e Efetiva
Nos laboratórios e na indústria é muito utilizado escalas de pressão, a absoluta e a efetiva.
Essas escalas são utilizadas justamente por causa do que foi explicado sobre pressão
atmosférica, ela é desprezada. A pressão absoluta leva a pressão atmosférica em
consideração e a pressão efetiva a despreza.
Um exemplo de pressão efetiva são os medidos de pressões, eles medem na verdade a
pressão efetiva de alguma coisa e não a pressão absoluta. Mas já estamos acostumados
com a pressão atmosférica no dia a dia se houver alguma pressão diferente aí sim iremos
sentir. Por esse motivo os medidores de pressão trabalham somente com a pressão
efetiva.
Fonte: Silva, Domiciano. Mundo Educação

38
3.14 Medidores de Pressão
3.14.1 Barômetro
Um barômetro é representado pela imagem ao lado:
O barômetro foi construído por Torricelli para o estudo
da pressão atmosférica.
A pressão atmosférica é medida diretamente da altura
atingida pelo mercúrio. A pressão atmosférica atinge o
mercúrio no prato e pela lei de Pascal essa mesma pressão
é transmitida por todo o fluido e como no topo da coluna
somente há alguns gases de mercúrio, então considera-se
isso como vácuo, logo não há pressão contra a pressão
atmosférica e a altura atingida será o resultado direto da
pressão atmosférica.
A altura encontrada foi:
760 𝑚𝑚𝐻𝑔 = 760 𝑇𝑜𝑟𝑟 = 1 𝑎𝑡𝑚
3.14.2 Piezômetro
Um piezômetro é exemplificado ao lado:
Mede a pressão diretamente. Pode ser ligado a um reservatório ou uma encanação, mas
possui desvantagens: sua configuração faz com que grandes pressões resultem em valores
de altura da coluna inviáveis, ou seja, para
medir algo com alta pressão é necessária
uma coluna enorme para o sistema;
Seu sistema não permite a medição de
pressão negativa, isto é, vácuo, porque
simplesmente a pressão atmosférica é
Fonte: Sears Young

39
maior do que o vácuo e fará o medidor sair de sua escala.
3.14.3 Manômetro em U
Young (1) expõe melhor o que é um Manômetro em U ao
lado:
Esse medidor já pode fazer uma medição de pressão
negativa. A pressão dentro do balão é uma pressão que se
deseja conhecer enquanto o outro tudo está aberto à pressão
atmosférica. Como a pressão no fundo do recipiente é
conhecida, pois as pressões são iguais mesmo com pressões
inicias diferentes, pode-se calcular a pressão existente
dentro do balão através da diferença de altura das colunas.
3.14.4 Manômetro Diferencial
O mesmo manômetro, mas dessa vez é uma medição sem a pressão atmosférica, como
mostra a figura ao lado:
Um fluido está entre dois gases com pressões diferentes,
cada gás irá exercer uma pressão no fluido e o gás de
maior pressão irá empurrar o fluido do seu lado
aumentado a altura do fluido no lado do outro gás.
Pressões iguais dos dois lados irão equilibrar o fluido em
alturas iguais nas colunas.
Exemplo 3
Tem-se um manômetro diferencial abaixo, a densidade de do fluido A tem valor de
720 𝑘𝑔/𝑚2
. Determine 𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 e quem é maior. Onde ℎ1 = 15 𝑐𝑚, ℎ2 = 25 𝑐𝑚 e ℎ3 = 35 𝑐𝑚.
Fonte: Sears Young

40
Primeiramente se deve ter uma referência. Para isso, escolhemos o ponto 2 como
referência. Lembre-se: Estamos estudando mecânica dos Fluidos, e mecânica sempre
precisa de uma referência.
Veja o ponto 1, esse cara está um pouco abaixo da superfície, se ele estivesse na superfície
a pressão nesse ponto seria o próprio 𝑃𝐴. Lembra do exemplo do tanque com uma escada
dentro? Então, se estamos na superfície não precisamos carregar nada, mas ao descer
um pouquinho aquele ponto além da pressão de A terá que “suportar” o “peso” da água
em cima dele. Então a pressão no ponto 1 é a pressão de A mais alguma coisa e essa
coisa é calculada pelo peso específico do fluido com a altura:
𝑃1 = 𝑃𝐴 + 𝛾ℎ = 𝑃𝐴 + (9800
𝑁
𝑚3
) (0,15 𝑚) = 𝑃𝐴 + 1470
𝑁
𝑚2
Veja que o ponto 1 está na mesma altura que o ponto 2, se eles são o mesmo fluido
então temos a lei de Pascal que diz que a pressão aplicada é distribuída sem perda por
todo o fluido. Como os dois pontos estão na mesma altura e como a altura é relacionada
a pressão os dois pontos são iguais:
𝑃1 = 𝑃2
Fonte: Washington Braga, PUC – Rio. Editado pelo Autor

41
Agora observando o ponto 2’, veja que já estamos em outro fluido. A água que está um
pouco mais embaixo exerce uma pressão na superfície do fluido essa pressão é conhecida,
pois acabamos de encontrá-la. Como o ponto está um pouco mais acima a pressão será
a pressão na superfície menos alguma coisa, essa coisa é o peso específico com a altura,
mas porque menos? É como se ao subir a quantidade de água que o ponto deve
“suportar” seja cada vez menor, ou seja, ao subir a pressão é aliviada.
𝑃2
′
= 𝑃2 + 𝜌𝑔ℎ = 𝑃2 − (720
𝑘𝑔
𝑚2
) (9,8
𝑚
𝑠2
) (0,25 𝑚) = 𝑃2 − 1764
𝑁
𝑚2
O ponto 3’ está na mesma altura que o ponto 2’ logo já sabemos o resultado né:
𝑃2
′
= 𝑃3
′
E o ponto 3 já está dentro da água. o fluido A está exercendo uma pressão na superfície
da água, a qual já conhecemos o valor, mas como o ponto 3 está um pouco embaixo da
superfície ele terá que “carregar” mais água em suas costas, ficando assim:
𝑃3 = 𝑃3
′
+ (9800
𝑁
𝑚3
) (0,25 𝑚) = 𝑃3
′
+ 2450
𝑁
𝑚2
Por fim já sabemos que a pressão do ponto 3 é igual ao ponto 4:
𝑃3 = 𝑃4
A pressão no ponto 4 agora está sendo influenciado pela pressão de B que está exercendo
uma pressão superficial na água. Portanto, o ponto 4 terá que suportar a pressão de B
mais o peso da água:
𝑃4 = 𝑃𝐵 + (9800
𝑁
𝑚3
) (0,35 𝑚) = 𝑃𝐵 + 3430
𝑁
𝑚2
Com isso agora temos um belo sistema linear:
{
𝑃1 = 𝑃𝐴 + 1470
𝑃1 = 𝑃2
𝑃2
′
= 𝑃2 − 1764
𝑃2
′
= 𝑃3
′
𝑃3 = 𝑃3
′
+ 2450
𝑃3 = 𝑃4
𝑃4 = 𝑃𝐵 + 3430
→ {
𝑃1 − 𝑃𝐴 = 1470
𝑃2
′
− 𝑃1 = −1764
𝑃3 − 𝑃2
′
= 2450
𝑃3 − 𝑃𝐵 = 3430
→ 𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 = 1274
𝑁
𝑚2
Em função do resultado encontrado temos que:

42
𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 = 1274 → 𝑃𝐴 = 1274 + 𝑃𝐵
Ou seja, a pressão em A é muito maior do que em B. O resultado encontrado através
das equações é sempre o mesmo, mas a equação sempre pode mudar de acordo com o
método adotado por você e de acordo com o ponto de referência escolhido.
Esse método utilizado foi somente para o início do seu compreendimento de como os
pontos influenciam um ao outro no manômetro, mas no próximo capítulo você verá
métodos mais rápidos de resolução desses tipos de situações.

43
4. Treinamento de cães – Exercícios
resolvidos
4.1 Base Teórica
Antes de você meter a cara na resolução dos exercícios é preciso entender o que é que
está acontecendo. Os exercícios a frente irão
abordar manômetro e todos eles obedecem às
teorias estudadas antes.
Veja o manômetro abaixo que usamos no exemplo
da aula anterior:
O manômetro se fundamenta no teorema de
Stevin e na lei de Pascal. Vamos relembra-los:
O teorema de Stevin diz que a pressão em
qualquer ponto do fluido é a pressão superficial
mais alguma coisa:
𝑃 = 𝑃𝑜 + 𝜌𝑔ℎ
A lei de Pascal diz que uma pressão aplicada no fluido será distribuída, sem perdas, por
todo o fluido e pelas paredes do recipiente.
𝐹1
𝐴1
=
𝐹2
𝐴2
Não importa a forma do manômetro, se você estiver a par da teoria saberá lhe dar com
qualquer situação. Toda vez que um manômetro for calculado deve-se prestar atenção
com qual o tipo de fluido e que tipo de manômetro é esse.
Fonte: Washington Braga, PUC –
Rio. Editado pelo Autor

44
Abordarei três casos aqui:
• Manômetro aberto, com um líquido e um gás;
• Manômetro aberto, com dois líquidos;
• Manômetro fechado, com três líquidos.
4.1.1 Forma correta de utilizar o teorema de Stevin
O equívoco na hora de resolver questões com manômetros está na forma errada de
utilização do teorema de Stevin, para evitar confusões vamos estabelecer um padrão:
• O fluido manométrico é o divisor de águas:
Pela lei de Pascal a pressão no fundo horizontal do fluido manométrico é igual em toda
sua extensão, isso faz com que a pressão que os fluidos estão exercendo de um lado do
fluido manométrico seja igual as pressões exercidas do outro lado.
• Expresse o fluido manométrico pelas suas cotas e não pela diferença de alturas:
Muitos estão acostumados a representar todos os fluidos por “h” que é a diferença de
cotas, mas no fluido manométrico isso deve ser evitado para não causar erros. O correto
é representar o fluido manométrico, de um lado por 𝑦1 e do outro por 𝑦2, como no
exemplo abaixo:
𝑃𝑟𝑒𝑠𝑠õ𝑒𝑠 + 𝜌𝑔𝑦1 = 𝜌𝑔𝑦2 + 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑠õ𝑒𝑠
• Tomar cuidado com a direção das pressões:
Pressão não é um vetor, mas partiu de um, se o fluido estiver subindo a coluna do
manômetro a sua pressão está sendo diminuída pelo teorema de Stevin. E se estiver
descendo a coluna a sua pressão está aumentando. Por isso certifique-se de subtrair as
pressões ascendentes e somar as pressões descendentes.
• Não torne esse método mecânico:

45
A essência do aprendizado é saber o porquê das coisas, se você sabe porque uma pressão
está sendo subtraída ou somada e se sabe que o fluido manométrico possui pressão
constante em toda sua extensão horizontal, você resolve qualquer questão.
• Nunca analise partindo do fluido manométrico:
Inicie sua análise do extremo do manômetro até o fluido manométrico, não importando
a posição, nunca faça o contrário, isso pode confundir você na convenção de quem está
subindo ou descendo a coluna do manômetro.
4.1.2 Manômetro aberto com um líquido e um gás
A imagem de Young (1) ao lado exemplifica essa situação:
Veja que de um lado há um balão de vidro com um gás dentro com uma pressão P e do
outro lado o manômetro está aberto recebendo pressão da
atmosfera.
Uma dica: tenha sempre o fluido manométrico como o ponto
de referência! O fluido manométrico é aquele que está no
meio, entre dois gases ou dois líquidos, ele muda as suas
alturas dos dois lados de acordo com a pressão exercida de
cada lado.
A pressão na parte horizontal do manômetro é igual em toda
sua extensão, por causa da lei de Pascal e pelo fato da
variação de altura ser muito pequena. Por causa disso chega-
se à conclusão de que a pressão de um lado é igual a pressão
do outro lado.
O líquido no meio do manômetro estabiliza as pressões dentro de si através da mudança
de altura das colunas. Como as pressões são iguais na parte horizontal (justamente onde
está o líquido medidor) podemos dizer que:
𝑃 + 𝜌𝑔𝑦1 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔𝑦2
Fonte: Sears Young

46
Essas equações surgiram justamente por causa do teorema de Stevin. Como dos dois
lados a densidade é a mesma (na parte horizontal há somente um fluido) e aceleração
da gravidade também, podemos simplificar:
𝑃 − 𝑃𝑎𝑡𝑚 = 𝜌𝑔(𝑦2 − 𝑦1) = 𝜌𝑔ℎ
No nosso caso vamos desconsiderar a pressão atmosférica mesmo, por pura frescura.
Como os fluidos ao lado desse líquido são gases e, como já foi dito antes, os gases tem
uma “pressão constante” em toda sua extensão, não há o que calcular. Então a pressão
do gás no balão de vidro é:
𝑃 = 𝜌𝑔ℎ
4.1.3 Manômetro aberto com dois líquidos
Parecido com o anterior, mas dessa vez temos um fluido ao lado do fluido manométrico,
veja a imagem ao lado:
Como o fluido manométrico é o
divisor de águas, no lado de 𝑃1 as
pressões que vem contra ele são 𝑃1
e a pressão que vem do fluido A.
No outro lado a única pressão que
vem contra o fluido manométrico
é a pressão atmosférica
𝑃1 + 𝑃𝐴 + 𝜌 𝐵 𝑔𝑦1 = 𝑃𝑎𝑡𝑚 + 𝜌 𝐵 𝑔𝑦2
𝑃1 = 𝜌 𝐵 𝑔(𝑦2 − 𝑦1) − 𝜌 𝐴 𝑔ℎ 𝐴 + 𝑃𝑎𝑡𝑚
PAPB

47
4.1.4 Manômetro fechado com três líquidos
A mais complexa das análises, veja a imagem ao
lado:
Seguindo os princípios ensinados anteriormente, a
pressão que está no fluido A do lado de 𝑃𝐴 é a
pressão 𝑃𝐴 mais a pressão que vem da água. Veja
que o fluido A está ascendendo a coluna do
manômetro.
Do outro lado a pressão 𝑃𝐵 mais as pressões da água
estão relacionadas com a pressão do seu lado
direito no fluido A.
𝑃𝐴 + 𝑃á𝑔𝑢𝑎1
− 𝜌 𝐴 𝑔𝑦1 = −𝜌 𝐴 𝑔𝑦2 + 𝑃á𝑔𝑢𝑎2
+ 𝑃𝐵
𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 = 𝜌 𝐴 𝑔ℎ + 𝑃á𝑔𝑢𝑎2
− 𝑃á𝑔𝑢𝑎1
As alturas h devem representar a diferença entre as alturas dos extremos do fluido.
Portanto, veja que no final a altura h do fluido A ficou 𝑦1 − 𝑦2, onde 𝑦1 > 𝑦2 logo o
resultado será positivo, se caso contrário seria negativo sem nenhum problema.
𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 = 𝜌 𝐴 𝑔ℎ − 𝜌á𝑔𝑢𝑎 𝑔ℎ1 + 𝜌á𝑔𝑢𝑎 𝑔(ℎ3 − ℎ2)
Veja que usamos a diferença ℎ3 − ℎ2 para termos a altura correta entre os extremos do
fluido. Lembre-se sempre de fazer isso.
4.2 Exercícios resolvidos
Questão 1
No manômetro abaixo, o fluido A é água e o B é mercúrio. Qual é a pressão 𝑃1?
Dados: 𝛾 𝐻𝑔 = 136000 𝑁/𝑚3
, 𝛾á𝑔𝑢𝑎 = 104
𝑁/𝑚3
Fonte: Washington Braga, PUC –
Rio. Editado pelo Autor

48
O manômetro é aberto, logo a pressão atmosférica é desconsiderada e o fluido medidor
terá sua pressão dependente somente de 𝑃1 e da água, logo:
𝑃1 + 𝛾á𝑔𝑢𝑎(0,075 − 0,05) + 𝛾 𝐻𝑔(0,05) = 𝛾 𝐻𝑔(0,15) + 𝑃𝑎𝑡𝑚 → 𝑃1 = 13350 𝑃𝑎
Questão 2
Na figura abaixo o fluido A é agua e o fluido B é óleo e o fluido manométrico é mercúrio.
Sendo ℎ1 = 25 𝑐𝑚, ℎ2 = 100 𝑐𝑚, ℎ3 = 80 𝑐𝑚 e ℎ4 = 10 𝑐𝑚. Qual é a diferença de pressão 𝑃𝐴 −
𝑃𝐵. 𝛾á𝑔𝑢𝑎 = 104
𝑁/𝑚3
, 𝛾 𝐻𝑔 = 136000 𝑁/𝑚3
e 𝛾ó𝑙𝑒𝑜 = 8000 𝑁/𝑚3
.
Observando o mercúrio no lado A e no lado B temos:
𝑃𝐴 + 𝑃á𝑔𝑢𝑎 + 𝜌 𝐻𝑔 𝑔𝑦1 = 𝜌 𝐻𝑔 𝑔𝑦2 + 𝑃ó𝑙𝑒𝑜 + 𝑃𝐵
𝑃𝐴 − 𝑃𝐵 = 𝜌 𝐻𝑔 𝑔(𝑦2 − 𝑦1) + 𝑃ó𝑙𝑒𝑜 − 𝑃á𝑔𝑢𝑎
Veja que 𝑦2 é menor que 𝑦1, logo sua altura h ficará negativa:

49
PA − PB = −γHgh2 + γóleoh3 − γáguah1 = −132100 Pa
Questão 3
Calcular a leitura do manômetro A da figura abaixo. 𝛾 𝐻𝑔 = 136000 𝑁/𝑚3
.
Perceba que são duas câmaras com ar, mas nós concordamos aqui que os gases não
possuem variação de pressão consideráveis. De um lado sabemos qual é a pressão e para
saber qual é a pressão no manômetro A temos que subtrair a pressão das duas câmaras,
pois um manômetro exibe seus resultados em diferenças de pressões.
A única coisa que varia de pressão e pode ser calculada é o mercúrio que está no tubo
ligado à câmara do manômetro A.
Lembrando da lei de Pascal, qualquer pressão aplicada no fluido será distribuída, sem
perda, por toda sua extensão. Então a pressão da câmara do manômetro A é a pressão
que está sendo exercida no mercúrio do tubo, isso porque aqui os gases não variam de
pressão então a mesma pressão que está no manômetro A está sendo exercida no
mercúrio.
A pressão na câmara é:
𝛾 𝐻𝑔(0,15) = 20,4 𝑘𝑃𝑎
A pressão medida pelo manômetro é:
𝑃𝐴 = 100 − 20,4 = 79,4 𝑘𝑃𝑎

50
5. Velozes e Ferozes – Cinemática dos
fluidos
5.1 Cinemática
É óbvio que cinemática significa movimento, então porque exatamente falar só sobre
cinemática? Não seria mais importante falar sobre cinemática dos fluidos? Acalme-se
um pouco, que tal fazer o alicerce antes de construir a casa?
Alguma vez na vida você chegou a ter contato com as leis de Newton e que elas podem
ser aplicadas em quase tudo no nosso dia a dia. Como seria entender a cinemática de
um fluido através da mecânica newtoniana?
Primeiramente sabemos que uma partícula é representada por um vetor, por isso usa-
se um diagrama de forças, então como seria a representação de um fluido já que não é
um ponto e sim um corpo muito extenso?
Segundo Young (1) podemos representar um corpo extenso por uma partícula, desde
que essa partícula possa representa-lo por completo. Portanto, se o fluido for a mesma
coisa em toda sua extensão, então podemos usar uma partícula.
5.2 As aplicações de maneira diferente
Um fluido pode estar estático sem nenhum problema, mas devido ao seu comportamento
a sua representação é mais complexa. Como estamos acostumados a representar os
fluidos como camadas, então consideraremos cada camada uma partícula a ser
analisada.

51
A primeira força que representamos é o peso. A primeiro momento de análise a força
peso indica que o fluido tem tendência de se deslocar para o centro da terra. É claro
que isso é óbvio, mas é do óbvio que chegamos a grandes entendimentos. A força peso é
o grande indicador da energia potencial que será de grande uso.
Em tudo que aprendemos até hoje vamos exemplificar no movimento das partículas com
uma força empurrando o fluido pelo encanamento:
Agora ficou interessante né? Porque a primeira e última partícula não tem movimento?
Lembrando do que estudamos anteriormente: por causa da tensão de cisalhamento, as
placas do fluido se movimentam cada vez menos ao passo que se afastam do local onde
a força foi aplicada. A força está vindo pela lateral e não de cima como antes, dessa
forma a velocidade máxima está no meio do fluido.
Lembrando da lei de Pascal, uma pressão aplicada ao fluido será transmitida sem perdas
em toda extensão do fluido e ás paredes do recipiente. E quanto a força?
Analisando a lei de Pascal vamos procurar desenvolvê-la para entender o que acontece
com a força:

52
Se a lei de Pascal é verdadeira e se a área no tubo é a mesma em 𝐴1 e 𝐴2, podemos dizer
que: 𝑃1 = 𝑃2, logo:
𝐹𝐴1
𝐴1
=
𝐹𝐴2
𝐴2
→ 𝐴1 = 𝐴2 → 𝐹𝐴1
= 𝐹𝐴2
Então do mesmo jeito que a pressão é distribuída sem perda, nesse caso, a força também
se segue uniforme no movimento do fluido.
Não podemos dizer que algumas das forças apresentadas nas camadas será igual à força
aplicada no fluido, porque as forças das camadas são várias forças pontuais aplicadas
pelo fluido, enquanto a força aplicada ao fluido é uma resultante. Portanto o mais
correto é dizer que a resultante das forças no fluido é igual a força aplicada ao fluido,
nesse caso.
Porque toda essa explicação é importante? Isso irá lhe ajudar a olhar um fluido
incompressível com outros olhos, esse entendimento irá abrir sua mente (insight) para
novos conhecimentos.
Como estamos falando de um fluido, aplicar uma força a ele causará o seu deslocamento,
logo á uma relação entre as forças de um fluido e velocidade. Primeiro vamos relembrar
que força é massa vezes aceleração, com isso abrimos nossa mente para buscar
entendimento ao comportamento da velocidade num fluido.
O problema é que não conseguimos representar a velocidade somente pensando em
forças, mas para isso vamos pensar em trabalho, ora se houve uma força constante
aplicada ao fluido por uma certa distância temos um trabalho:
𝑊 = 𝐹𝑑

53
Esse trabalho será constante em todo o fluido, quando a área for constante. O trabalho
pode representar a energia cinética do fluido através da diferença entre a energia
cinética antes e depois da aplicação da força:
𝑊 =
𝑚𝑣𝑓
2
2
−
𝑚𝑣𝑖
2
2
Pode-se simplificar essa equação de maneira a desvendar o entendimento do
comportamento desse fluido analisado.
2𝑊 = 𝑚𝑣𝑓
2
− 𝑚𝑣𝑖
2
→ 2𝑊 = 𝑚(𝑣𝑓
2
− 𝑣𝑖
2
) → 𝑚(𝑣𝑓
2
− 𝑣𝑖
2
) = 2𝐹𝑑
Abrindo a equação da força:
𝑚(𝑣𝑓
2
− 𝑣𝑖
2
) = 2𝑚𝑎𝑑 → 𝑣𝑓
2
− 𝑣𝑖
2
= 2𝑎𝑑 → 𝑣𝑓 = √2𝑎𝑑 + 𝑣𝑖
2
Supondo que a velocidade inicial seja zero, ou seja, o fluido estava em repouso:
𝑣𝑓 = √2𝑎𝑑
Perceba que a velocidade final é sempre maior que a inicial, isso resulta no
comportamento da velocidade em relação a força aplicada ao fluido. Mas para
entendermos melhor o que essa relação quer dizer ampliaremos a equação para
representa-la em função da força e pressão aplicada.
Se não abrirmos a equação da força a equação final resultará em:
𝑚(𝑣𝑓
2
− 𝑣𝑖
2
) = 2𝐹𝑑 → 𝑣𝑓
2
− 𝑣𝑖
2
= 2
𝐹𝑑
𝑚
→ 𝑣𝑓 = √2
𝐹𝑑
𝑚
+ 𝑣𝑖
2
→ 𝑠𝑒 𝑣𝑖 = 0 → 𝑣𝑓 = √ 𝐹𝑑
2
𝑚
Se em vez de força utilizarmos pressão temos:
𝑣𝑓 = √2
𝐹𝑑
𝑚
= √2
𝑃𝐴𝑑
𝑚
= √ 𝑃𝑉𝑡
2
𝑚
Pelos resultados encontrados podemos focar na velocidade final da pressão, quando o
fluido está inicialmente em repouso. Se a pressão é distribuída uniformemente em toda
extensão do fluido e se a massa for constante, logo essa velocidade final representa a
velocidade com que o fluido é jorrado do tubo. Vale ressaltar que essa distância é a

54
distância exercida pelo trabalho, ou seja, a distância com que uma força foi aplicada ao
fluido, essa distância não é o comprimento do tubo.
5.2.1 Observação Prática
Imagine uma seringa (sem agulha), quando você aperta o êmbolo o fluido é fluído pela
outra ponta (fluído significa jorrar). Neste caso, as equações que encontramos não são
válidas porque não temos um valor fixo de área pelo qual o fluido passa, a ponta da
seringa tem uma área muito menor do que o seu corpo. Mas a observação prática desta
situação é válida.
Quando você pressiona o êmbolo com pouca força o fluido sai devagar, mas quando você
aperta com força percebe que o fluido é fluído mais ferozmente, ou seja, a pressão que
você aplica no êmbolo resulta na velocidade de saída da seringa.
A relação da velocidade final em função da pressão explica o mesmo acontecimento (mas
sem diferença de áreas), a raiz do dobro da pressão aplicada em um certo volume de
fluido em produto com o inverso da massa é igual a velocidade final do fluido, ou seja,
a velocidade de saída do tubo.
As equações demonstradas anteriormente servem somente para lhe provar a relação
entre velocidade e pressão.
5.2.2 O Sentido de Tudo Isso
Tudo que foi apresentado a você antes teve cunho pedagógico, ou seja, eu queria abrir
sua mente para você perceber a relação existente entre pressão e velocidade. Mas o caso
apresentado antes não é um caso geral, é somente um único caso em particular, por
isso as equações apresentadas anteriormente não são de grande valor científico.
A mecânica dos fluidos procurar demonstrar casos gerais, que possam representar o
comportamento de um fluido em qualquer ocasião que pode envolver um tubo sinuoso,

55
atrito, subidas e descidas etc. Todas essas variáveis influenciam na velocidade final do
fluido, mas que a pressão e a força aplicada no fluido têm grande contribuição é fato.
5.3 A Experiência de Reynolds
Essa experiência é apresentada pela imagem ao lado:
Foi utilizado um tanque com grande
capacidade de armazenamento, isso
faz com que a perda de fluido no
tanque, através de uma saída “2”,
não altere o valor da altura atingida
pelo fluido no tanque.
Corante foi adicionado ao fluido e percebeu-se o comportamento retilíneo do fluido pelo
tubo como se formasse uma camada dentro dele. Ao passo que a velocidade de saída
aumentava o comportamento do corante tendia para uma senoidal, e quando a
velocidade era muito grande não existia mais um comportamento uniforme, mas sim
um grande caos chamado de turbulência.
5.4 Escoamento Laminar
Reynolds conseguiu representar o comportamento do fluido de acordo com esses
acontecimentos:
𝑅 𝑒 =
𝜌𝑣𝐷
𝜇
=
𝑣𝐷
𝜈
Portanto, descreve três tipos de comportamentos em um fluido newtoniano
incompressível: laminar, transição e turbulento. O laminar é o comportamento que
segundo Young (1): “camadas adjacentes do fluido deslizam umas sobre as outras e o
escoamento é estacionário. “ Como mostra a imagem abaixo:
Velocidade
Viscosidade cinemática

56
5.5 Escoamento de Transição e Turbulento
O escoamento de transição é a mudança do comportamento laminar para uma
formação de ondas cada vez maiores até que o
escoamento se torne turbulento.
Um escoamento turbulento segundo Young (1): “não
pode existir nenhuma configuração com escoamento
estacionário; a configuração do escoamento varia
com o tempo. “ Podemos ver um exemplo na imagem
abaixo:
A fumaça de varetas de incenso tem comportamento
laminar no início, mas após um certo ponto torna-
se um escoamento turbulento.
5.6 Número de Reynolds
Para determinar se um fluido está em escoamento laminar, de transição ou turbulento,
Reynolds aponta uma faixa de numeração adimensional resultantes da sua equação que
são:
• Turbulento: 𝑅 𝑒 > 2400
• Transição: 2000 < 𝑅 𝑒 < 2400
• Laminar: 𝑅 𝑒 < 2000
Fonte: Sears Young
Fonte: Sears Young

57
5.7 Linha de Corrente
A linha de corrente é a representação de cada parte do fluido em um escoamento
através de uma linha, representando o fluxo, e a representação do fluido por partículas
vetoriais:
O objetivo dessa representação é analisar a direção do fluido no escoamento, pois tem-
se em mente que se a direção do fluido mudar houve uma força necessária para essa
mudança, logo perdeu-se energia.
5.8 Tipos de Escoamento
5.8.1 Escoamento Unidimensional
Um escoamento pode ser representado pelo Cálculo de três forma diferentes:
unidimensional, bidimensional e tridimensional.
O caso que apresentei no início desta aula de um tubo com área constante é um caso de
uma representação unidimensional de um escoamento, pois segundo Brunetti: “O
escoamento é dito unidimensional quando uma única coordenada é suficiente para
descrever as propriedades do fluido. Para que isso aconteça, é necessário que as
propriedades sejam constantes em cada seção. “
Fonte: Franco Brunetti, editado pelo autor

58
5.8.2 Escoamento Bidimensional
Neste caso o escoamento do fluido está dependendo de duas variáveis, o caso mais
comum que pode ser citado aqui é a diferença de áreas em partes do tubo.
5.8.3 Escoamento Tridimensional
A terceira dimensão pode ser a consequência da variação de alturas no escoamento, ou
seja, o tubo o qual o fluido está apresenta uma certa declividade.
Fonte: Franco Brunetti

59
E é nesse assunto que você acaba se deparando com um dos seus maiores terrores de
calouro: integrais simples, duplas e triplas. Olha o tio Stewart de volta.
5.9 Vazão
O conceito de vazão é muito simples, é segundo Brunetti: “a quantidade de volume de
fluido que atravessa uma certa seção do escoamento por unidade de tempo. “ O
problema é que essa velocidade nem sempre é uniforme nos escoamentos, pois como
temos o comportamento do fluido através de camadas há a diferença de velocidade em
cada uma delas. Portanto, um olhar mais vasto deve ser feito através de integração e
então busca-se a velocidade média do escoamento para representar a velocidade do
fluido.
A velocidade média tenta linearizar todas as velocidades dentro do fluido, como se fosse
uma regressão linear, sendo que a velocidade real se comporta como se fosse uma
parábola (pois a camada superior e inferior tem velocidades nula) e a velocidade média
é uma seção reta.
A equação da vazão é:
𝑄 =
𝑉
𝑡
𝑜𝑢 𝑄 = 𝑣𝐴
5.10 Cálculo de Velocidade Média
Tem-se o um caso geral abaixo:

60
Utiliza-se a vazão como ponto de partida, onde: 𝑑𝑄 = 𝑣𝑑𝐴.
𝑄 = ∫ 𝑣𝑑𝐴
𝐴
= 𝑣 𝑚 𝐴
Isolando a velocidade média temos a relação:
𝑣 𝑚 =
1
𝐴
∫ 𝑣𝑑𝐴
𝐴
O resultado é a imagem abaixo.
Exemplo 4
Calcule a 𝑉𝑚 para o perfil de velocidade da seguinte equação:
𝑣 = 𝑣 [1 − (
𝑟
𝑅
)
2
] , 𝑣 = 𝑣 𝑚á𝑥
Considerando que há um escoamento bidimensional dentro de um tubo cilíndrico.
Como estamos falando de um cilindro e precisamos da área da seção reta do escoamento,
utilizamos coordenadas polares a partir de uma integral dupla para desenvolver todo o
volume do escoamento:
𝑑𝑄 = 𝑣𝑑𝐴
Com as coordenadas polares 𝑑𝐴 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 e os limites de uma área circular são, para o
ângulo, de 0 a 2π e, para o raio, de 0 a r.
A integral dupla foi adotada porque tanto o ângulo quanto o raio podem variar nesse
escoamento:

Eu odeio fenômenos de transporte I (versão 2)

Eu odeio fenômenos de transporte I (versão 2)

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (18)

Similar a Eu odeio fenômenos de transporte I (versão 2)

Similar a Eu odeio fenômenos de transporte I (versão 2) (20)

Último

Último (7)

Eu odeio fenômenos de transporte I (versão 2)