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“  TRANSFORMACIONES  LINEALES ” Hernán Pesántez Regalado Escuela de Ingeniería Civil UNIVERSIDAD DE CUENCA Facultad de Ingeniería “ Algebra Lineal – Curso 2011”
[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],“ Algebra Lineal – Curso 2011”
[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],“ Algebra Lineal – Curso 2011”
La Transformación es:  Multiplicación por A. T: R ⁴ -> R ² T  aplica, transforma o mapea, vectores de  R ⁴  en R² “ Algebra Lineal – Curso 2011” u. v. 0. R ⁴ .w 1   .w  2 .0  R ²  Multiplicación por  A
T: R n  -> R m “ Algebra Lineal – Curso 2011” T  Transforma Vectores en R  Vectores en R n m en Dominio Codominio
1.-  T( u + v ) = T(u) + T(v) 2.-  T( ku ) = kT(u) Definición.-  Transformación Lineal, es una función que transforma  un vector en el espacio vectorial  V , en uno y solo uno en el espacio vectorial  W; y que debe cumplir con las  dos siguientes condiciones:  Dominio “ Algebra Lineal – Curso 2011” R R n m x T(x) Codominio R(T)  -> Recorrido de T T(x) : Imagen de  x , bajo la función T T
Toda transformación lineal, se convierte en una transformación matricial; es decir es una Multiplicación por  A. Transformación Matricial Sea T que aplica  R²  -> R² , definida por   Se puede expresar de la siguiente manera  que es una transformación matricial, donde  A =  “ Algebra Lineal – Curso 2011”
Dad a la matriz  A =  Y la transformación  T: R ² -> R³ ;  definida por   T( x ) = A x ,[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],, los vectores :  Ejemplo: “ Algebra Lineal – Curso 2011”
Solución: 1.  Determinamos  T(x),  T(x) =  2.  De la ecuación:  T(x) = Ax = v ,  resolvemos el sistema:  , luego  x = 3/2  ,  y = -1/2  “ Algebra Lineal – Curso 2011” , luego  T(u) = T
[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],4.  El vector  t,  está en el recorrido de  T  si  t  es la imagen de  alguna  x  en  R ²,  esto es, si  T(x) = t  para alguna  x .  Esta  es  sólo otra  manera  de  preguntarse si el sistema  Ax = t  es  consistente.  Para  encontrar  la  respuesta,  resolvemos  el  sistema  con  el vector  t  como  términos  independientes  y  llegamos a una inconsistencia.  Por lo tanto  t  no está en el  recorrido  de  T. “ Algebra Lineal – Curso 2011”

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Algebra Lineal - Transformaciones Lineales

  • 1. “ TRANSFORMACIONES LINEALES ” Hernán Pesántez Regalado Escuela de Ingeniería Civil UNIVERSIDAD DE CUENCA Facultad de Ingeniería “ Algebra Lineal – Curso 2011”
  • 2.
  • 3.
  • 4. La Transformación es: Multiplicación por A. T: R ⁴ -> R ² T aplica, transforma o mapea, vectores de R ⁴ en R² “ Algebra Lineal – Curso 2011” u. v. 0. R ⁴ .w 1 .w 2 .0 R ² Multiplicación por A
  • 5. T: R n -> R m “ Algebra Lineal – Curso 2011” T Transforma Vectores en R Vectores en R n m en Dominio Codominio
  • 6. 1.- T( u + v ) = T(u) + T(v) 2.- T( ku ) = kT(u) Definición.- Transformación Lineal, es una función que transforma un vector en el espacio vectorial V , en uno y solo uno en el espacio vectorial W; y que debe cumplir con las dos siguientes condiciones: Dominio “ Algebra Lineal – Curso 2011” R R n m x T(x) Codominio R(T) -> Recorrido de T T(x) : Imagen de x , bajo la función T T
  • 7. Toda transformación lineal, se convierte en una transformación matricial; es decir es una Multiplicación por A. Transformación Matricial Sea T que aplica R² -> R² , definida por Se puede expresar de la siguiente manera que es una transformación matricial, donde A = “ Algebra Lineal – Curso 2011”
  • 8.
  • 9. Solución: 1. Determinamos T(x), T(x) = 2. De la ecuación: T(x) = Ax = v , resolvemos el sistema: , luego x = 3/2 , y = -1/2 “ Algebra Lineal – Curso 2011” , luego T(u) = T
  • 10.