Metodo grafico

DETERMINACION DE LOS PARAMETROS DE
WEIBULL CON EL METODO GRAFICO
DOCENTE: ING. RENE ROSADO PACHECO.
PRESENTADO POR:
 JORDAN DIAZ JORGE HUMBERTO 062783
 MONTERROSO QUISPE BRAYAM 100950
CUSCO – PERÚ
2019

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO INGENIERIA MECANICA
INGENIERIA DE MANTENIMIENTO I PÁGINA2
INTRODUCCIÓN
El método grafico para hallar los parámetros haciendo uso del weibull es el método más
sencillo para hallar los parámetros de confiabilidad como son Gamma, Beta y Eta.
Gamma es el parámetro de posición define el punto de partida u origen de la distribución
Eta parámetro de escala, parámetro de extensión o vida útil. Su valor viene dado por la
intersección de la recta trazada con la línea paralela al eje de abscisas correspondiente al
% de fallos acumulados.
Beta parámetro de forma, refleja la dispersión de los datos y determina la forma que
toma la distribución.
Una vez obtenidas los valores de los parámetros de Weibull ya podremos representar
gráficamente la confiabilidad, infiabilidad, tasa de fallos y densidad de fallos, para su
posterior interpretación y tomar acciones para garantizar que cualquier maquina no falle
dentro de su vida útil.

MÉTODO GRAFICO
1. OBJETIVOS
 Hacer uso del método grafico para calcular los parámetros de confiabilidad
haciendo uso de la hoja de Weibull.
 Dar a conocer los valores aproximados de los parámetros de confiabilidad
(gamma, beta y eta) como punto de partida para métodos más exactos como son el
método Matlab, Reliasoft, Excel Solver.
 Encontrar el grafico de confiabilidad, no confiabilidad y tasa de fallas en función
del tiempo entre fallas.
2. ASPECTOS TEÓRICOS
Análisis mediante el método de Weibull
La distribución de Weibull es usada en el estudio de las fallas de componentes mecánicos
a través del tiempo, pero a diferencia de la distribución exponencial, que también es
usada en el campo de la confiabilidad, la distribución de Weibull ofrece las siguientes
características de estudio que nos ha llevado a su elección.
La distribución de Weibull puede cubrir propiedades de otras distribuciones, es decir, si
los parámetros (β, η y γ) toman valores particulares puede utilizarse como una
aproximación a la distribución Exponencial, Normal, etc.
Parámetros de Weibull.
 Gamma (ϒ): Se usa como parámetro como parámetro de posición 0 de tiempos (se
puede fijar el instante en que empiecen a presentarse los fallos modificando el
valor de ϒ) define el valor mínimo de vida de partida (nulo en el mayor de los
casos)
 Eta (ɳ): Es el parámetro de escala, extensión de la distribución a lo largo, del eje de los
tiempos. Cuando (t - t0) = h la fiabilidad viene dada por:
 Beta (ß): Es el parámetro de forma y representa la pendiente de la recta describiendo el
grado de variación de la tasa de fallos.
De acuerdo a los valores que tome el parámetro β la tasa de riesgo tendrá
diferentes comportamientos (Curva de la Bañera).

Valores que puede asumir el parámetro 𝜷
para 𝑇𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 ℎ(𝑡)
𝛽 < 1 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑦𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑑𝑎𝑑
𝛽 ≃ 1 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝛽 ≃ 1 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑙𝑙𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑑𝑎𝑑
3 < 𝛽 < 1 𝐹𝑒𝑛𝑜𝑚𝑒𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑔𝑎𝑠𝑡𝑒
Fuente: ntp 331
Curva de la bañera
Fig.1. Curva de la bañera
Fuente: www.rcm_ingenieria.com
2.1.Confiabilidad R(t).
Es la probabilidad de que un elemento falle después del instante t; la función R(t) es
adimensional.
𝑅( 𝑡) = exp(−(
𝑡 − 𝛾
𝜂
)
𝛽
) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛 0 ≤ 𝛾 ≤ 𝑡 𝑦 ɳ, 𝛽 > 0

Fig.2. Grafica de fiabilidad
Fuente: Emilio BautistaPaz
2.2. Infiabilidad F(t).
También llamado función acumulada de fallos que nos representa la probabilidad de que
un elemento falle antes del instante t; la función F(t) también es adimensional.
𝐹( 𝑡) = 1 − exp (− (
𝑡 − 𝛾
𝜂
)
𝛽
)
Fig.3. Grafica de infiabilidad

2.3. Densidad de fallos f(t)
Es la probabilidad de fallo del elemento por unidad de tiempo, en cada instante del
tiempo es decir, será el cociente de la probabilidad de que un elemento falle en el
intervalo comprendido entre t y t+dt dividida por la magnitud de dt del intervalo.
 Tendrá que cumplirse∫ ∫ 𝑓𝑡 ∗ 𝑑𝑡 = 1
∞
0
 La función ft tiene dimensión 1/tiempo
𝑓( 𝑡) =
𝛽
𝜂
(
𝑡 − 𝛾
𝜂
)
𝛽−1
∗ exp (− (
𝑡 − 𝛾
𝜂
)
𝛽
)
2.4. Tasa de fallos Z(t).
Es la probabilidad, por unidad de elementos superviviente en t de que se produzca un
fallo por unidad de tiempo en dicho instante t, es decir será el cociente de f(t) y R(t). Lo
que nos permite en un conjunto de elementos idénticos poder evaluar la posibilidad de
que existan fallos en un instante t.
 Para un único elemento la tasa de fallos Z(t) mide la posibilidad de que falle en
instante t, sin haber fallado hasta ese instante.
 La función Z(t) también tiene unidades 1/tiempo.
𝑍( 𝑡) =
𝛽
𝜂
(
𝑡 − 𝛾
𝜂
)
𝛽−1

Grafica de tasa de fallos
3. RESOLUCIÓN GRÁFICA
 El papel de Weibull (está graduado a escala funcional de la siguiente forma:
 En el eje de ordenadas se tiene: In In [ 1 / 1 - F (t)] (Doble logaritmo neperiano)
 En el eje de abscisas, tenemos: In (t - ϒ)
Donde gamma toma valores de 0 ≤ ϒ < 𝑇𝑀𝐸𝐹
1° Paso: Ordenar los tiempos en forma creciente y hallar el porcentaje de frecuencia
acumulada de fallas; esto depende del número de datos.
Para datos menores a 100 y mayores a 20 se considerará la “Fórmula de Bernard”:
𝐹(𝑖) =
𝑖 − 0.3
𝑛 + 0.4
Dónde:
𝑖 = 1,2,3 … … …. ., 𝑛
𝑛 = 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠
2° Paso: Ubicación de los puntos en el papel de Weibull.
Colocar los valores de los tiempos en el eje X y en el eje Y los porcentajes de frecuencia de
fallas acumulados.

3°Paso: Determinación de parámetro gamma.
Para iniciar el cálculo asumimos un gamma ϒ=0 y si los puntos ubicados se acerca a una
recta, se pasa al paso 4°; de no ser así se debe de buscar otro valor de gamma y
reemplazarlos en (t-ϒ), hasta que los puntos sean cercanos a un recta claro que el valor
de gamma están entre 0 ≤ ϒ < 𝑇𝑀𝐸𝐹.
El anterior procedimiento para determinar el gamma cuando este no es 0 es bastante
tedioso; hay otra forma de hacerlo más rápido que es, el Método de estimación o de los
rangos medianos. Este método se inicia una vez dibujada la curva, seleccionando un
punto arbitrario Y2 aproximadamente en la mitad de la curva, y otros dos puntos Y1e
Y3equidistantes del primero una distancia d según el eje de las Y.
Y luego usar la siguiente fórmula de estimación de rangos:
ϒ =
𝑡22
− (𝑡1𝑥𝑡3)
(2 ∗ 𝑡2 − 𝑡1 − 𝑡3)
4° Paso: Determinación del parámetro eta.
 Una vez trazada la recta procedemos a intersecar con la línea horizontal que le
corresponde al punto 63.2% del eje Y.
 Y del punto de intersección trazamos una recta vertical hacia el eje x donde
están los valores del tiempo.
 Damos lectura de valor de eta.
5° Paso: Determinación del parámetro beta.
 Se traza una recta paralela a la inicial que interseque con el valor de 0 del papel
de Weibull.
 Luego ubicamos el punto -1 en la parte horizontal superior y trazamos una
vertical, y en el punto de intersección con la recta; luego trazamos un horizontal
hacia los valores de beta (β) que están en la derecha del papel, en la primera
columna.

PAPEL DE WEIBULL TIPO HORIZONTAL

3. MÉTODO GRAFICO (EJEMPLO PARA DE UN TURBOCOMPRESOR)
1° Paso: (ordenar los datos y hallar la frecuencia acumulada de fallas F (i))
Como los datos que se tiene son mayores a 20 y menores a 100 se usara la fórmula de
Bernard.
𝐹(𝑖) =
𝑖 − 0.3
𝑛 + 0.4
Dónde:
𝑖 = 1,2,3 … … …. .,60
𝑛 = 60
Numero
de
ITEM
Tiempo
entre
fallas ϒ=0
Frecuencia
acumulada
F(i) %
Numero
de
ITEM
Tiempo
entre
fallas ϒ=0
Frecuencia
acumulada
F(i) %
Numero
de
ITEM
Tiempo
entre
fallas ϒ=0
Frecuencia
acumulada
F(i) %
1 520 1,16% 21 3450 34,27% 41 4325 67,38%
2 575 2,81% 22 3542 35,93% 42 4343 69,04%
3 1039 4,47% 23 3582 37,58% 43 4367 70,70%
4 1052 6,13% 24 3592 39,24% 44 4413 72,35%
5 1283 7,78% 25 3611 40,89% 45 4467 74,01%
6 1880 9,44% 26 3613 42,55% 46 4508 75,66%
7 2224 11,09% 27 3695 44,21% 47 4545 77,32%
8 2409 12,75% 28 3812 45,86% 48 4735 78,97%
9 2517 14,40% 29 3824 47,52% 49 4765 80,63%
10 2715 16,06% 30 3865 49,17% 50 4803 82,28%
11 2945 17,72% 31 3870 50,83% 51 4885 83,94%
12 3000 19,37% 32 3918 52,48% 52 4985 85,60%
13 3154 21,03% 33 3918 54,14% 53 5126 87,25%
14 3179 22,68% 34 3955 55,79% 54 5149 88,91%
15 3201 24,34% 35 3976 57,45% 55 5348 90,56%
16 3256 25,99% 36 4150 59,11% 56 6005 92,22%
17 3341 27,65% 37 4230 60,76% 57 6129 93,87%
18 3353 29,30% 38 4232 62,42% 58 6350 95,53%
19 3353 30,96% 39 4251 64,07% 59 6850 97,19%
20 3422 32,62% 40 4299 65,73% 60 7683 98,84%
n=60

2° Paso: (Ubicación de los puntos en el papel Weibull)
Ubicar en el papel de Weibull los puntos para un gamma igual 0 de la siguiente forma:
 Eje de las abscisas o eje X (los tiempos entre fallas).
 Eje de las ordenadas o eje Y (los porcentajes de fallas).
Como se puede ver los puntos no se acerca a una recta.
Conclusiones
 Como se observa en la figura anterior, los puntos no se acercan a una recta, y para
que estos puntos se aproximen más a una recta, debemos de cambiar el valor de
gamma.

3° Paso: (determinación del parámetro gamma ϒ)
El máximo valor de gamma es menor al tiempo mínimo entre fallas en este caso sería:ϒ < 𝑇𝑀𝐸𝐹
Numero
de
ITEM
Tiempo
entre
fallas ϒ=0
Frecuencia
acumulada
F(i) %
TMEF
para un
ϒ=100
TMEF
para un
ϒ=400
Numero
de ITEM
Tiempo
entre
fallas ϒ=0
Frecuencia
acumulada
F(i) %
TMEF
para un
ϒ=100
TMEF
para un
ϒ=400
Numero
de ITEM
Tiempo
entre
fallas ϒ=0
Frecuencia
acumulada
F(i) %
TMEF
para un
ϒ=100
TMEF
para un
ϒ=400
1 520 1,16% 620 920 21 3450 34,27% 3550 3850 41 4325 67,38% 4425 4725
2 575 2,81% 675 975 22 3542 35,93% 3642 3942 42 4343 69,04% 4443 4743
3 1039 4,47% 1139 1439 23 3582 37,58% 3682 3982 43 4367 70,70% 4467 4767
4 1052 6,13% 1152 1452 24 3592 39,24% 3692 3992 44 4413 72,35% 4513 4813
5 1283 7,78% 1383 1683 25 3611 40,89% 3711 4011 45 4467 74,01% 4567 4867
6 1880 9,44% 1980 2280 26 3613 42,55% 3713 4013 46 4508 75,66% 4608 4908
7 2224 11,09% 2324 2624 27 3695 44,21% 3795 4095 47 4545 77,32% 4645 4945
8 2409 12,75% 2509 2809 28 3812 45,86% 3912 4212 48 4735 78,97% 4835 5135
9 2517 14,40% 2617 2917 29 3824 47,52% 3924 4224 49 4765 80,63% 4865 5165
10 2715 16,06% 2815 3115 30 3865 49,17% 3965 4265 50 4803 82,28% 4903 5203
11 2945 17,72% 3045 3345 31 3870 50,83% 3970 4270 51 4885 83,94% 4985 5285
12 3000 19,37% 3100 3400 32 3918 52,48% 4018 4318 52 4985 85,60% 5085 5385
13 3154 21,03% 3254 3554 33 3918 54,14% 4018 4318 53 5126 87,25% 5226 5526
14 3179 22,68% 3279 3579 34 3955 55,79% 4055 4355 54 5149 88,91% 5249 5549
15 3201 24,34% 3301 3601 35 3976 57,45% 4076 4376 55 5348 90,56% 5448 5748
16 3256 25,99% 3356 3656 36 4150 59,11% 4250 4550 56 6005 92,22% 6105 6405
17 3341 27,65% 3441 3741 37 4230 60,76% 4330 4630 57 6129 93,87% 6229 6529
18 3353 29,30% 3453 3753 38 4232 62,42% 4332 4632 58 6350 95,53% 6450 6750
19 3353 30,96% 3453 3753 39 4251 64,07% 4351 4651 59 6850 97,19% 6950 7250
20 3422 32,62% 3522 3822 40 4299 65,73% 4399 4699 60 7683 98,84% 7783 8083
n=60

Grafica en papel Weibull para un ϒ = 𝟏𝟎𝟎 y ϒ = 𝟒𝟎𝟎
Conclusiones
 Como se puede apreciar en la gráfica para un gamma =100 los puntos a un no
están cerca de una recta.
 Pero en la gráfica para un gamma = 400 como se ve en los puntos son cercanos a
una recta.
 Por lo cual usaremos los puntos para un gamma 400 trazaremos una recta más
próxima a los puntos.
 La Recta a trazar contendrá la mayor cantidad de puntos

Otra forma más directa de hallar gamma es con los rangos medianos
ϒ =
𝑡22
− (𝑡1𝑥𝑡3)
(2 ∗ 𝑡2 − 𝑡1 − 𝑡3)
De grafico podemos hallar los valores de
𝑡1 = 2.1
𝑡2 = 3.2
𝑡3 = 3.8
ϒ =
𝟑. 𝟐 𝟐
− (𝟐. 𝟏 ∗ 𝟑. 𝟖)
(𝟐 ∗ 𝟑. 𝟐 − 𝟐. 𝟏 − 𝟑. 𝟖)
= 𝟒. 𝟎

4° Paso: (determinación del parámetro eta ɳ).
Después de trazar la recta la intersecamos con la línea horizontal que corresponde al
punto 63.2% del eje Y, en el punto de intersección trazamos una línea vertical hacia el eje
X donde están los valores de los tiempos.
Posteriormente leemos el valor de eta ɳ=4.2(ver gráfico posterior).
5° Paso: (determinación del parámetro beta β).
Para hallar beta debemos de trazar una recta paralela a la recta inicial y hacer que se
interseque con la línea vertical que contenga al punto 0.
Enseguida del trazado de la recta paralela, trazamos una recta vertical que parte del
punto –1, y en el punto de intersección con la recta paralela trazamos una horizontal que
parte del punto de intersección hacia la parte derecha de la hoja donde se encuentran los
valores de beta.

Gráfico de Weibull para Calcular de 𝛃
4. OBTENCIÓN DE LAS GRAFICAS.
Una vez obtenido los parámetros de Weibull podemos graficar;
 Confiablidad
 Infiabilidad
 Tasa de fallos
 Densidad de fallos

Confiabilidad
Infiabilidad
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 2000 4000 6000 8000 10000
CONFIABILIDAD Rt
CONFIABILIDAD Rt
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 2000 4000 6000 8000 10000
INFIABILIDAD D(Ft)
INFIABILIDAD D(Ft)

Tasa de fallos
Densidad de fallos
-0.0005
0
0.0005
0.001
0.0015
0.002
0.0025
0 2000 4000 6000 8000 10000
TASA DE FALLOS Z(t)
TASA DE FALLOS Z(t)
-0.00005
0
0.00005
0.0001
0.00015
0.0002
0.00025
0.0003
0.00035
0 2000 4000 6000 8000 10000
DENSIDAD DE FALLOS f(t)
DENSIDAD DE FALLOS f(t)

CONCLUSIÓNES
 El cálculo de los parámetros de la distribución de Weibull puede ser hallada por
varios métodos, pero el método grafico es el más sencillo, pero a la vez menos
preciso en la obtención de los parámetros de weibull.
 Para hallar el valor de Gamma se puede hallar por dos métodos: El método de los
rangos medianos y asumiendo valores de gamma.
 El método grafico usando el papel de Weibull, resulta una buena herramienta en
lugares donde no se cuenta con programas de computadora como el Excel o Matlab
o Reliasoft’s, pero se produce un error considerable si no se traza bien la recta.
 Un sistema basado en confiabilidad optimiza los esfuerzos de mantenimiento y los
costos
 Con los parámetros determinados se podrá ubicar para el TURBO COMPRESOR las
regiones de la curva de la bañera. El parámetro β< 1; muestra que las fallas que se
presentan son prematuras.

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