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モナモナ言うモナド入門
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モナモナ言うモナド入門
1.
モナモナ言うモナド入門
2012.11.17 hiratara
2.
今日話すこと ✦
圏論から目を背けずに 、 モナドの定義を淡々と ✦ 図はスライド作るの面倒なので板書で ✦ タイトルは@kazu_yamamoto さんの 「モナモナ言わないモナド入門」の オマージュ
3.
今日話すこと ✦
モナドは数学の概念 ✦ よほどの数学嫌いでもない限り、 回り道をして誤摩化す必要はない
4.
ゃ駄目だ。逃げちゃ駄目だ。 逃げちゃ駄目だ。 逃げ ちゃ駄目だ。
逃げちゃ駄目だ。 逃げちゃ駄目だ。 逃 げちゃ駄目だ。 逃げちゃ駄目だ。 逃げちゃ駄目だ。 逃げちゃ駄目だ。 逃げちゃ駄目だ。 逃げちゃ駄目 だ。 逃げちゃ駄目だ。 逃げちゃ駄目だ。 逃げちゃ駄 目だ。 逃げちゃ駄目だ。 逃げちゃ駄目だ。 逃げちゃ 駄目だ。 逃げちゃ駄目だ。 逃げちゃ駄目だ。 逃げ ちゃ駄目だ。 逃げちゃ駄目だ。 逃げちゃ駄目だ。 逃 げちゃ駄目だ。 逃げちゃ駄目だ。 逃げちゃ駄目だ。 逃げちゃ駄目だ。 逃げちゃ駄目だ。 逃げちゃ駄目 だ。 逃げちゃ駄目だ。 逃げちゃ駄目だ。 逃げちゃ駄
5.
圏 (Category)
6.
圏(Category) ✦
C0 - 対象の集合。A, B, C, ... ✦ C1 - 射の集合。f, g, h, ... ✦ dom: C1 → C0 - 定義域 ✦ cod: C1 → C0 - 値域
7.
圏(Category) ✦
id: C0 → C1 - 恒等射 ✦ dom (id A) = cod (id A) = A ✦ ∘: C1×C1 → C1 - 合成 (C1×C1 := {<g, f>| dom g = cod f}) ✦ dom g ∘f = dom f, cod g ∘f = cod g
8.
圏(Category) ✦
h ∘(g ∘f) = (h ∘g) ∘f - 結合律 ✦ id ∘ f = f ∘ id = f - 恒等射
9.
関手 (Functor)
10.
関手(Functor) ✦
圏Cと圏Dについて、関手F : C → Dとは、 F : C0 → D0 - 対象関数 F : C1 → D1 - 射関数 の組
11.
関手(Functor) ✦
dom Ff = F(dom f), cod Ff = F(cod f) ✦ F id = id ✦ F (g ∘f) = Fg ∘ Ff
12.
13.
自然変換 (Natural Transformation)
14.
自然変換(Nat) ✦
関手F, G:C → D について、 自然変換α:F→Gとは、 α : C0 → D1 (dom αA = FA、cod αA = GA)
15.
自然変換(Nat) ✦
任意のCの射f : A → Bについて、 αB∘Ff = Gf∘αA
16.
補足)垂直合成 ✦
F, F’,F’’:C→C’ α:F→F’, β:F’→F’’について、β.α:F→F’’を (β.α)A := βA∘αA と定義。
17.
水平合成 ✦
F, F’:C→C’、G, G’:C’→C’’ α:F→F’, β:G→G’について、β∘α:FG→F’G’を (β∘α)A := βF’A∘GαA (= G’αA∘βFA) と定義。
18.
19.
モノイド (Monoid)
20.
モノイダル圏 ✦
圏C、双関手□:C×C→C、対象I、 自然同型α:(-□-)□-→-□(-□-)、 λ:I□-→id、ρ:-□I→idについて、
21.
モノイダル圏 ✦
(C, □, I, α, λ, ρ)がモノイダル圏とは、 任意の対象W, X, Y ,Zについて、 W□α(X, Y, Z)∘α(W, X□Y, Z)∘α(W, X, Y)□Z =α(W, X, Y□Z)∘α(W□X, Y, Z) X□λ∘α(X, I, Y) = ρ□Y
22.
モノイド ✦
モノイダル圏 (C, □, I, α, λ, ρ)において、 対象M、射µ:M□M→M、η:I→Mが モノイドとは、 µ∘id□µ∘α(M, M, M) = µ∘µ□id µ∘η□id = λ, µ∘id□η = ρ
23.
24.
25.
モナド (Monad)
26.
モナド ✦
関手 T:C→C、自然変換η:id→T、µ:TT→T (T, η, µ)がモナドとは、 µ∘Tµ = µ∘µT µ∘Tη = µ∘ηT = id
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