1. Técnicas de Conteo
Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y
contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.
Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas
por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades.
Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc. Para
facilitar el conteo examinaremos tres técnicas: La técnica de la multiplicación, la técnica de la
permutación, y la técnica de la combinación.
La Técnica de la Multiplicación
La técnica de la multiplicación: Si hay m formas de hacer una cosa y hay n formas de hacer otra
cosa, hay m x n formas da hacer ambas cosas
En términos de fórmula
Número total de arreglos = m x n
Esto puede ser extendido a más de dos eventos. Para tres eventos, m, n, y o:
Número total de arreglos = m x n x o
Ejemplo:
Un vendedor de autos quiere presentar a sus clientes todas las diferentes opciones con que
cuenta: auto convertible, auto de 2 puertas y auto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rines
deportivos o estándar. ¿Cuántos diferentes arreglos de autos y rines puede ofrecer el vendedor?
Para solucionar el problema podemos emplear la técnica de la multiplicación, (donde m es número
de modelos y n es el número de tipos de rin).
Número total de arreglos = 3 x 2
No fue difícil de listar y contar todos los posibles arreglos de modelos de autos y rines en este
ejemplo. Suponga, sin embargo, que el vendedor tiene para ofrecer ocho modelos de auto y seis
tipos de rines. Sería tedioso hacer un dibujo con todas las posibilidades. Aplicando la técnica de la
multiplicación fácilmente realizamos el cálculo:
Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48
La Técnica de la Permutación
Como vimos anteriormente la técnica de la multiplicación es aplicada para encontrar el número
posible de arreglos para dos o más grupos. La técnica de la permutación es aplicada para
encontrar el número posible de arreglos donde hay solo u grupo de objetos. Como ilustración
analizaremos el siguiente problema: Tres componentes electrónicos - un transistor, un capacitor, y
un diodo - serán ensamblados en una tablilla de una televisión. Los componentes pueden ser
ensamblados en cualquier orden. ¿De cuantas diferentes maneras pueden ser ensamblados los
tres componentes?
Las diferentes maneras de ensamblar los componentes son llamadas permutaciones, y son las
siguientes:
TDCDTCCDT
TCDDCTCTD
Permutación: Todos los arreglos de r objetos seleccionados de n objetos posibles
La fórmula empleada para contar el número total de diferentes permutaciones es:
n P r = n!
(n – r )!
Donde:
nPr es el número de permutaciones posible
n es el número total de objetos
r es el número de objetos utilizados en un mismo momento

2. n P r = n! = 3! = 3 x 2 = 6
(n – r )! ( 3 – 3 )! 1
Las seleccionessucesivas de una muestra probabilística pueden hacerse
con o sin reemplazo de las unidades obtenidas en las selecciones previas; por ello
al primer procedimiento se le llama muestreo con reemplazo y al segundo sin
reemplazo.
En el muestreo con reemplazo, al hacer las estimaciones, cada unidad de
la muestra debe considerarse en un número igual al de veces que haya salido en
la muestra.
Etapas:
Las unidades que tengan que investigarse a través del cuestionario,
posiblemente convenga agruparlas y estos grupos a su vez se vuelvan a agrupar y
así sucesivamente. Dependiendo del número de agrupamientos de las unidades
de interés -o últimas unidades de muestreo-, es el nombre que se le da. Si el
marco muestral no presentó agrupamientos, el muestreo se llamará monoetápico
-selección directa de las unidades de interés-; si el marco muestral presenta
agrupamientos de un sólo orden se llamará bietápico, o lo que es lo mismo se
seleccionarán primero los grupos de unidades-de primera etapa-y finalmente
se seleccionarán los de interés o de segunda etapa, y así sucesivamente se tendrá
el muestreo trietápico, tetraetápico, etc.
Diagrama de árbol
Un diagrama de árbol es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles
resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el
número de objetos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la
construcción de un diagrama de árbol.
El diagrama de árbol es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el
cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de
ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.
Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las
posibilidades, acompañada de su probabilidad. Cada una de esta ramas se conoce como rama de
primera generación.
En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudo del cual parten
nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación, según las posibilidades del siguiente
paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).
Hay que tener en cuenta que la construcción de un árbol no depende de tener el mismo número
de ramas de segunda generación que salen de cada rama de primera generación y que la suma de
probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.
Existe un principio sencillo de los diagramas de árbol que hace que éstos sean mucho más útiles
para los cálculos rápidos de probabilidad: multiplicamos las probabilidades si se trata de ramas
adyacentes (contiguas), el ejemplo de alumna de la primera facultad, o bien las sumamos si se
trata de ramas separadas que emergen de un mismo punto, el ejemplo de encontrar un alumno.
Ejemplos
Una universidad está formada por tres facultades:
La 1ª con el 50% de estudiantes.
La 2ª con el 25% de estudiantes.
La 3ª con el 25% de estudiantes.

3. Las mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 60% del total en cada facultad.
¿Probabilidad de encontrar una alumna de la primera facultad?
¿Probabilidad de encontrar un alumno varón?
pero
también podría ser lo contrario.
Principio Fundamental del Proceso de Contar
De la sección anterior se puede establecer una manera eficiente de contar considerando el
principio de multiplicación, el cual llamaremos: Principio fundamental del proceso de contar

4. quedando explícitamente de la siguiente manera: Si en una primera decisión se puede hacer de
“n” formas diferentes y una segunda decisión en “m” formas diferentes entonces las dos
decisiones se pueden hacer en “n” por “m” o sea “nm” formas diferentes en el orden dado.
Ej.- Cuantas palabras de 4 letras (sin significado) se puede formar con las letras de la palabra
verónica, sin usar mas de una vez cada una de las letras,
8 x 7 x 6 x 5 = 1680
Ej.- Cuantos números de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos 6,7,8,9 si :
a) no deben repetirse los dígitos 4 x 3 x 2 = 24
b) deben repetirse los dígitos. 4 x 4 x 4 = 64
Compruébalo
Permutaciones
El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el numero
de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. En cambio
para un solo conjunto de objetos las formulas desarrolladas para permutaciones y combinaciones
son mas convenientes para contar el numero de posibles arreglos.
Una permutación de un número de objetos es un arreglo de todas o una parte de los objetos en
un orden definido.
a) Permutaciones lineales.
Permutaciones de diferentes objetos tomados todos a la vez. El total de permutaciones de un
conjunto de objetos tomados todos a la vez, se obtiene razonando en forma similar del principio
fundamental de contar.
NPn = n!
Ej.- TRI
3 x 2 x 1 = 6 nPn = n! ........ 3 x 2 x 1 = 6
Ej .- Cuantas palabras de cinco letras se pueden formar con la palabra libro aplique permutaciones.
5P5 = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
b) Permutaciones de objetos diferentes tomados parte al vez o de r en r.
Una permutación de “n” objetos diferentes tomados de “r” en “r” es tambien una ordenación de
“r” entre los “n “ objetos.
NPr = n!
(n-r)!
Ej.- Cuantas palabras de tres letras se pueden formar con las letras de la palabra libro.
N = 5 5P3 = 5! = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 60
R = 3 (5-3)! 2! 2 x 1
Ej.- Cuantos números de dos dígitos se pueden formar con los dígitos 4,6,9 y cuales son, sin
repetirse los dígitos?
N = 3 3P2 = 3! = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 46, 49, 64, 69, 94, 96.
R = 2 (3-2)! 1! 2!
Combinaciones
Una combinación de un numero de objetos diferentes tomados de “r” en “r” es una selección de
“r” de los “n” objetos de un conjunto sin considerar el orden de los objetos.
nCr = n! .
r! (n-r)!
Ej. Se desean formar equipos de dos personas para la exposición de un proyecto de un total de
cuatro estudiantes Gabriel, Melchor, Wendy y Verónica, de cuantas maneras se pueden formar y
comprobar si:
a) se pide una ordenación

5. nPr = n! . n = 4 4P2 = 4! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 12
(n-r)! r = 2 (4-2)! 2! 2 x 1
GM MG WG VG
GW MW WM VM
GV MV WV VW
b)se pide una selección
nCr = n! n = 4 4C2 = 4! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 6
r!(n-r)! r = 2 2! (4-2)! 2!(2!) 2 x 1 x 2 x 1
GM WV
GW MW
GV MV
Ej.- Se requiere formar un comité representativo que lo conforman un presidente, secretario y un
tesorero de un total de 15 personas ¿De cuantas maneras se puede seleccionar estas tres
personas para ocupar estos puestos?
n = 15 r = 4
nCr = n! . = 15! = 15! = 15 x 14 x 13 x 12!... = 2730 = 455
r! (n-r)! 3!(15-3)! 3!(2!) 3 x 2 x 1 x 12! 6