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Laboratorio 2

Estadística Aplicada - laboratorio 2

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Laboratorio 2
 PROBLEMASPROPUESTOSPROBLEMASPROPUESTOS
Distribución Binomial
PROBLEMA 1. A cada una de las seis personas que toman refresco de soda, seleccionadas al azar, se les da un
vaso que contiene refresco de cola A y otro que contiene refresco de cola B. Los vasos son idénticos en
apariencia, excepto por un código que se muestra en el fondo para identificar la marca. Suponga que , en
realidad, no hay tendencia entre las personas que beben refresco de cola a preferir entre una marca y otra.
Entonces p=P ( un individuo seleccionado prefiere A,X --- B(6,05). Determinar la probabilidad de que :
a) A lo mas uno prefiere A.
b). Por lo menos tres prefieren A.
PROBLEMA 2: Cuando se prueban tarjetas de circuito empleadas en la manufactura de
reproductores de discos compactos, a la larga el porcentaje de partes defectuosas es de 5%.
Sea X: un número de tarjetas defectuosas en una muestra n = 25, entonces.
Problema3: Veinte por ciento de todos los teléfonos de cierto tipo se remiten para repararse
cuando todavía esta vigente su garantía. De éstos, 60% puede ser reparado y el otro 40% debe
sustituirse por aparatos nuevos. Si una compañía compra 10 de estos teléfonos, ¿cuál es la
probabilidad de que exactamente se cambien 2 dentro del periodo de garantía?
Problema 4. La producción de cuatro maquinas es recogida en cajas de 5 unidades. La
experiencia permitió establecer la siguiente distribución de las cajas, según el numero de
unidades defectuosas que contienen:

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  • 3. Distribución Binomial PROBLEMA 1. A cada una de las seis personas que toman refresco de soda, seleccionadas al azar, se les da un vaso que contiene refresco de cola A y otro que contiene refresco de cola B. Los vasos son idénticos en apariencia, excepto por un código que se muestra en el fondo para identificar la marca. Suponga que , en realidad, no hay tendencia entre las personas que beben refresco de cola a preferir entre una marca y otra. Entonces p=P ( un individuo seleccionado prefiere A,X --- B(6,05). Determinar la probabilidad de que : a) A lo mas uno prefiere A. b). Por lo menos tres prefieren A.
  • 4. PROBLEMA 2: Cuando se prueban tarjetas de circuito empleadas en la manufactura de reproductores de discos compactos, a la larga el porcentaje de partes defectuosas es de 5%. Sea X: un número de tarjetas defectuosas en una muestra n = 25, entonces.
  • 5. Problema3: Veinte por ciento de todos los teléfonos de cierto tipo se remiten para repararse cuando todavía esta vigente su garantía. De éstos, 60% puede ser reparado y el otro 40% debe sustituirse por aparatos nuevos. Si una compañía compra 10 de estos teléfonos, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente se cambien 2 dentro del periodo de garantía?
  • 6. Problema 4. La producción de cuatro maquinas es recogida en cajas de 5 unidades. La experiencia permitió establecer la siguiente distribución de las cajas, según el numero de unidades defectuosas que contienen:
  • 7. 5. Una compañía telefónica emplea cinco operadoras que reciben solicitudes de información independientemente una de otra, cada una según un proceso de Poisson con tasa =2 por minuto.ƛ a) ¿Cuál es la probabilidad de que durante un período de un minuto la primera operadora no reciba solicitudes?  DATOS: ƛ=2/ minuto P(X)=ƛƛеƛƛ n=5 X!  P(X=1)= 2 (2.71828)¯² = 0.0361= 3.61%⁵ 5!  b) ¿Cuál es la probabilidad de que durante un período de un minuto exactamente cuatro de las cinco operadoras no reciban solicitudes?  P(X=4)= 2 (2.71828)¯² = 0.0902=⁴ 9.02% 4! 
  • 8. c) Escriba una expresión para la probabilidad de que durante un periodo de un minuto todas las operadoras reciban exactamente el mismo número de solicitudes. P(X=5)= 2 (2.71828)¯² = 0.0361= 3.61%⁵ 5! Problema 6. Un puesto de periódicos ha solicitado cinco ejemplares de cierta edición de una revista de fotografía , Sea X: numero de individuos que entran a comprar esta revista . Si X tiene una distribución de Poisson con parámetro λ = 4. ¿Cuál es el numero esperado de ejemplares que se venderán ? DATOS: Usamos una distribución de Poisson con parámetro λ = 4 Un puesto de periódicos ha solicitado 5 ejemplares P ( X < 5)
  • 9. Problema 7. Una universidad procesa 100 000 calificaciones en determinado semestre. En ocasiones anteriores se ha descubierto que 0.1% de todas las calificaciones estaban equivocadas. Suponer que una persona estudia cinco materias en esta universidad en un semestre. ¿Cuál es la probabilidad de que todas las calificaciones estén correctas?  np = (100 000/5)*0,001 = 20  λ = 20  x = 5 e = 2,71828 P₍ ₎ =ₓ =
  • 10. 8° en cada página de una enciclopedia caben 3000 letras. La editorial estima que se comete una errata en cada 5000 letras. Suponiendo que el número de erratas por página sigue aproximadamente una distribución de Poisson, se pide:   DATOS: Cada página = 3000 letras Errores = cada 5000 letras A) Calcular la probabilidad de que en una página haya exactamente dos erratas.  UNA PÁGINA = 2 ERRATAS  5000 PÁGINAS = 2 ERRATAS EN CADA UNO  10000 = 1 ERRATA EN CADA UNA    P( X = 1) = 3678. 80 
  • 11. B) SI SE VAN REVISANDO LAS PÁGINAS UNA A UNA, CALCULAR LA PROBABILIDADA DE QE LAB) SI SE VAN REVISANDO LAS PÁGINAS UNA A UNA, CALCULAR LA PROBABILIDADA DE QE LA PRIMERA ERRATA QUE SE ENCUENTRE APAREZCA EN LA QUINTA PÁGINA REVISADAPRIMERA ERRATA QUE SE ENCUENTRE APAREZCA EN LA QUINTA PÁGINA REVISADA   P( X = 5) = 1.7546 xP( X = 5) = 1.7546 x C) CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE EN LAS CINCO PRIMERAS PÁGINAS HAYA AL MENOS DOS ERRATASC) CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE EN LAS CINCO PRIMERAS PÁGINAS HAYA AL MENOS DOS ERRATAS    P( X = 5) = 5.6149 xP( X = 5) = 5.6149 x
  • 12. Problema 9. Si X→ n(0.1); hallar: a)P[Z ≤ 1,57] = 0,9418a)P[Z ≤ 1,57] = 0,9418 b) P[Z ≥ 1,84] = 1 – P[Z ≤ 1,84]b) P[Z ≥ 1,84] = 1 – P[Z ≤ 1,84] = 1 – 0,9671 = 0,0329= 1 – 0,9671 = 0,0329 c) P[1,57 ≤ Z ≤ 1,84] = P[Zc) P[1,57 ≤ Z ≤ 1,84] = P[Z ≤ 1,84] -≤ 1,84] - P[ZP[Z ≤ 1,57]≤ 1,57] = 0,9671 – 0,9418 = 0,0253= 0,9671 – 0,9418 = 0,0253 d) P[-1,84 ≤ Z ≤ 1,84] = P[Zd) P[-1,84 ≤ Z ≤ 1,84] = P[Z ≤ 1,84] – (1 -≤ 1,84] – (1 - P[ZP[Z ≤ 1,84])≤ 1,84]) = 0,9671 – (1 – 0,9671) = 0,9342= 0,9671 – (1 – 0,9671) = 0,9342 e) P[Z ≥ -2,08] = P[Ze) P[Z ≥ -2,08] = P[Z ≤ 2,08]≤ 2,08] = 0,9812= 0,9812   
  • 13. Problema 10. Si P[Z ≥ Ζ₀] = 0.50 ; hallar Ζ₀.  P[Z ≥ Ζ₀] = 0.50  Aplicamos la propiedad: P (Z ≥ Ζ₀) → 1 – P(Z ≤ Ζ₀) = 0,50 1 - P(Z ≤ Ζ₀) = 0,50 P(Z ≤ Ζ₀) = 0,50 Por lo tanto: Ζ₀= 0,00
  • 14. Problema 11°. Si P[Z ≥Z○] =0.025. Hallar Z○  Resolución:Resolución:   1- P (Z ≤ Z○) = 0.0251- P (Z ≤ Z○) = 0.025  P (Z ≤ Z○) = 1 – 0.025P (Z ≤ Z○) = 1 – 0.025  P (Z ≤ Z○) = 0.975P (Z ≤ Z○) = 0.975   BuscamosBuscamos  Z○ = 1,96Z○ = 1,96
  • 15.  12. ¿Entre que dos valores de Z (simétricos alrededor de la media) estará contenido el 68.26% de todos los valores posibles de Z?   1- 0.6826 = 0.3174 … (a este valor lo dividimos entre dos porque se distribuye en1- 0.6826 = 0.3174 … (a este valor lo dividimos entre dos porque se distribuye en ambas colas)ambas colas)  0.3174/ 2 = 0.1587…(lo buscamos en la tabla)0.3174/ 2 = 0.1587…(lo buscamos en la tabla)   VALORES DE “Z” PARA= 0.1587 (está entre)VALORES DE “Z” PARA= 0.1587 (está entre)  Valor Z -1.00 0.15866Valor Z -1.00 0.15866 Valor Z -0.99 0.16109Valor Z -0.99 0.16109 
  • 16. X n(100.100).X n(100.100). u= 100 o= 100u= 100 o= 100 a) P(X < 75 ) = ( < 75)a) P(X < 75 ) = ( < 75) ( z < ) =(z < -0.25)( z < ) =(z < -0.25) P(z < -0.25) = 1-P ( z < -0.25)P(z < -0.25) = 1-P ( z < -0.25) 1 – 0.4013 = 0.59871 – 0.4013 = 0.5987 b) P(X < 70 ) = ( < 70)b) P(X < 70 ) = ( < 70) ( z < ) = (z < -0.30)( z < ) = (z < -0.30) P(z < -0.30) = 1-P ( z < -0.30)P(z < -0.30) = 1-P ( z < -0.30) 1 – 0.3821 = 0.61791 – 0.3821 = 0.6179 
  • 17. c) P(75 < X < 85 ) =( < z < )c) P(75 < X < 85 ) =( < z < ) (-0.25 < z < -0.15)(-0.25 < z < -0.15) 0.5987 – 0.5596 = 0.03910.5987 – 0.5596 = 0.0391 d) P(X < 112) = ( > 112)d) P(X < 112) = ( > 112) ( z > ) (z > 0.12)( z > ) (z > 0.12) P(z > 0.12) = 1-P ( z < -0.12)P(z > 0.12) = 1-P ( z < -0.12) 1 – 0.5478 = 0.45221 – 0.5478 = 0.4522
  • 18. F) El valor m �=1−0.10 P= 0.90 G) Hallar los dos valores de X ( simétricos alrededor de la media de 80% de los valores ) P( X < 80% o X > 80%) = (z < 0.80) o ( z > 0.80) 0.7881 o 1- 0.7881 0.5398 o 0.2119
  • 19. Problema 14. Los gastos mensuales en alimentación para familias de cuatro miembros en una ciudad grande son en promedio de 420 dólares con una desviación estándar de 80 dólares. Suponga que los gastos mensuales por alimentación tiene distribución normal a) ¿Qué porcentaje de gastos es menor que 350 dólares?a) ¿Qué porcentaje de gastos es menor que 350 dólares? Z =Z = 0,189430,18943 (100%) = 18,94 %(100%) = 18,94 % b) ¿Qué porcentaje de estos gastos está entre 250 y 350 dólares?b) ¿Qué porcentaje de estos gastos está entre 250 y 350 dólares? Z =Z = Z =Z = 0,18943 – 0,01659 = 0,17284 (100%) = 17,28%0,18943 – 0,01659 = 0,17284 (100%) = 17,28%
  • 20. c) ¿Qué porcentaje de estos gastos está entre 250 y 450 dólares? Z = Z = 0,64803 – 0,01659 = 0,63144 (100%) = 63,14% d) ¿Qué porcentaje de estos gastos es menor 250 o mayor que 450 dólares? Z = Z = e) ¿Cuál es el gasto mínimo del 10% de familias con mayores gastos? P (Z ≥ Z₁)= 0,10 Estandarizando obtenemos: P (Z ≥ Z₁) = 0,10
  • 21. Aplicamos la propiedad: P ( Z ≥ Z₁) = (1 – P (Z < Z₁) = 0,10 1 - P (Z ≤ Z₁) = 0,10 P ( Z < Z₁) = 0,90 Z₁ = 1.282 = 1,282 Por lo tanto: = 522,56 Respuesta: El gasto mínimo del 10% de familias con mayores gastos es de 522,6
  • 22. Problema 15.° los pesos de 600 paquetes están normalmente distribuidos con medias 65.3 kg. Y deviación estándar 5.51 kg. Encuentre el número de paquetes que pesan: A) ENTRE 60 Y 70 Kg Z= x-u o P ( 60 < x < 70 ) P (60-65.3 < x < 70-65.8) 5.51 5.51 P (-0.9619 < x < 0.8529 ) P (z<0.85) - P(z<-0.96) 0.80234 – 0.16853 0.6338 Rpta. 380 B) MÁS DE 63.2 Kg Z= x-u o P ( x > 63.2 ) P ( z > 63.2-65.8 ) 5.51 P ( z > 0.3811 ) P = 1 – P (Z > 0.3811) P = 1 – 0.64803 P =0.35197 Rpta. 3211
  • 23. Problema 16. Las calificaciones de una prueba final de Estadística tienen distribución normal con una media de 12. Si el 95,44% de los examinados obtuvo calificaciones entre 8 y 16. A) Calcular la desviación estándar de la distribución.A) Calcular la desviación estándar de la distribución. µ = 12µ = 12 σσ == del 8 al 16del 8 al 16 σσ == σσ = 2,58= 2,58
  • 24. b) Si la nota aprobatoria es 11, ¿qué porcentaje de alumnos aprobaron el curso? x = 11 Z = Z = Z = -0,39 Probabilidad: 0,3483 ( 100%) = 34,83% Respuesta: Aprobaron el 34,83% de alumnos
  • 25. Problema 17. El tiempo de acceso al disco duro en un cierto modelo de ordenadores se distribuye normalmente con media 15 milisegundos y una desviación estándar de 3 milisegundos. μ = 15 milisegundos σ = 3 milissegundos a. ¿Qué porcentaje de ordenadores acceden al disco duro entre 10 y 20 milisegundos? Z = Z = 0,95254 – 0,04746 = 0,90508 (100%) = 90,50% b. ¿Qué porcentaje de ordenadores acceden al disco duro en más de 20 milisegundos? 
  • 26. Z = c. ¿Cuál es el tiempo de acceso máximo del 10% de ordenadores con menor tiempo de acceso al disco duro? P (Z ≤ Z )= 0,10₁ Z = 4,00₁ Por lo tanto:   =27 Respuesta: El tiempo de acceso máximo del 10% de ordenadores con menor tiempo de acceso al disco duro es de 27
  • 27. 18° Si T → t Hallar:  ResoluciónResolución:: a)a) P[T < -1.796] =P[T < -1.796] = 1 - P (T<-1.796)1 - P (T<-1.796) 1- 0.951- 0.95 0.50.5 a)a) b)b) P[T > 1.363 ] =P[T > 1.363 ] = 1 - P (t ≤ 1.363)1 - P (t ≤ 1.363) 1 - 0.901 - 0.90 0.100.10 a)a) b)b) P[T<3,497] =0,995P[T<3,497] =0,995 a)a) b)b) P[-2,718P[-2,718 ≤T≤ 2,718≤T≤ 2,718] =] = P( T ≤ 2.718) – ( 1 – P( T ≤ 2. 718))P( T ≤ 2.718) – ( 1 – P( T ≤ 2. 718)) 0.99 – ( 1 – 0.99)0.99 – ( 1 – 0.99) 0.980.98 
  • 28. 19. SI T → t . Hallar: a) P(T≥-1.7089) =P(T≤1.7089)= 0.95 b) P(T≤2.485) = 0.99 c) P(T ≥3.450) =1- P(T≤ 3.450) = 1- 0.999 =0.001 d) P(T<-1.316) = 1- P(T≤1.316) = 1- 0.90 = 0.10
  • 29. 20) Si X → X . hallar a) P(X < 32.8) = 0.995 c) P( X > 25.0) = 1-P ( X < 25.0) 1 – 0.95 = 0.05 e) P ( 11.0 < X < 30.8) = ( 11.0 < X < 30 . 8 ) ( X < 11.0 ) –P ( X < 308) 0.25 - 0.99 = -074 g) P( X > 30.6)= 1 - P ( X < 30.6) 1 – 0.99 = 0.01
  • 30. 21. Si X→ X² . Hallar₂₀ a) P[ 12.4 ≤ X ≤ 40.0] = P(X ≤ 40.0) - P(X ≤ 12.4) = 0.995 – 0.10 = 0.895 b) P[X > 15.5] = 1 – P(X ≤ 15.5) = 1- 0.25 = 0.75 c) P[X < 9.59] = 0.025 d) P[X ≥ 28.4] = 1 - P(X ≤ 28.4) = 1 - 0.90 = 0.10