2. IDEAS PREVIAS
1. Planos paralelos. 2.Planos perpendiculares

3. 3.Planos oblicuos.

4. PRISMA
Es el sólido geométrico que tiene dos regiones
poligonales congruentes y situados en planos
paralelos. Siendo las otras caras regiones
paralelográmicas, llamadas caras laterales.
ELEMENTOS DEL PRISMA:
Bases: ABCDE y FGHIJ
Aristas: BG, FA, JE, ……
Altura: Es el segmento perpendicular
a las bases.

5. CLASIFICACIÓN DE LOS PRISMAS.
1. Prisma recto:
Cuando sus aristas laterales
son perpendiculares a las bases.
2. Prisma oblicuo:
Cuando sus aristas laterales
no son perpendiculares.

6. 3. Prisma regular:
Es prisma recto, cuyas bases
son polígonos regulares.

7. ÁREA Y VOLUMEN DE UN PRISMA ORTOGONAL
Área lateral (A L )
A BASE Perímetro
AL = x h
Base
h h: Altura del prisma
Área total (A T )
A T = A L + 2A Base
A BASE
Volumen (V)
V=A Base x Altura

8. PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR O ORTOEDRO.
Es aquel paralelepípedo recto, cuyas caras son todas rectangulares.
D c
a b
A = 2(ab + ac + bc)
D2 = a 2 + b 2 + c 2
V = abc

9. Problemas resueltos:
1.Halla el área lateral, total y volumen de un prisma recto cuya base es un
rectángulo de dimensiones 4 y 5 m y cuya altura es 12.
Desarrollo:
perím etro
AL h
base
2
AL 18 12 216 m
AT AL 2 Abase
12
2 2 2
AT 216 m 2 20 m AT 256m
5 V Abase h
2 3
V 20 m 12 m V 240 m
4

10. 2.Halla el área lateral, total y volumen de un prisma recto cuya base es un
triángulo regular de dimensiones de 4 m de lado y 10m de altura.
perím etro
Desarrollo: AL h
base
2 2
AL 12 10 m 120 m
AT AL 2 Abase
Hallan do el área de la base:
10 L
2
3 2
A A 4 3m
4
4 2 2
AT 120 m 2 4 3m
4 4
2 2
AT 120 m 8 3m
2
AT 8 15 3 m

11. V Abase h
2
V 4 3m 10 m
3
V 40 3 m
3.Encuentra la diagonal de un ortoedro cuyas dimensiones son:
5, 3 y 2 m.
Desarrollo: 2 2 2
d a b c
2 2 2
d 5 3 2
2 2
3 d 38 m
5

12. 4.En el prisma regular mostrado, hallar el área total.
3 3 6
6
3 6
AT AL 2 Abase
2
Desarrollo: 6 3
AT 18 6 2
4
Como la base es un triángulo
equilátero, entonces las caras AT 18 6 18 3
son cuadrados de lado 6.
AT 18 6 3

13. CILINDRO:
Es el sólido limitado por una
superficie cilíndrica y dos planos
paralelos secantes a dicha superficie.
Altura
Generatriz
Base

14. CLASIFICACIÓN DE LOS CILINDROS
1. Cilindro recto: 2. Cilindro oblicuo:
Es el cilindro donde las generatrices Es el cilindro donde las generatrices
son perpendiculares a los planos no son perpendiculares
de las bases. a los planos de las bases.

15. ÁREA Y VOLUMEN DE UN CILINDRO RECTO
Área lateral (A L )
ABASE
A L = 2 rg
Generatriz
g Área total (A T )
A T = A L + 2A Base
A T = 2 r(g + r)
r
Volumen (V)
g : Generatriz V = r 2g
r : Radio de las bases

16. Ejemplos diversos
1. Halla el área lateral , total y volumen de un cilindro recto que tiene como base
un círculo de 3 cm de radio 18 cm de altura.
Desarrollo: AL 2 rg
AL 2 3 18
2
AL 1 0 8 cm
AT AL 2 Abase
2 2
AT 108 cm 2 9 cm
2
AT 1 2 6 cm
2
V r g
2 3
V 3 18 V 162 cm

17. 2.Halla el área total del cilindro AC = 12 cm
AB = 13 cm y BC = 5 cm
r = 6 cm
AT AL 2 Abase
Hallando:
AL 2 rg
2
AL 2 6 5 AL 6 0 cm
Desarrollo. Halando el área del círculo:
2
A 36 cm
Hallando el radio de la base por 2 2
Pitágoras: AT 60 cm 2 36 cm
2
AT 1 3 2 cm

18. 3.El desarrollo de un cilindro es un rectángulo de base igual 4 cm. Hallar el
radio del cilindro.
Desarrollo.
4 cm
LC 2 r
4 2 r
2
r cm

19. 4.La figura muestra a un cilindro recto de 3 cm de radio y a su desarrollo lateral.
Calcular el valor de “b”.
Desarrollo:
LC 2 r
2
b 2 3 b 6 cm

20. 5.Si la diagonal de un rectángulo es el doble de su ancho y el largo es 6 3
entonces halla el volumen que se genera cuando el rectángulo gira 360°
sobre su mayor lado.
Desarrollo: LC 2 r
2
Pide: V r g
6 3 2 r
3 3
2x r
x
Hallando el volumen:
2
6 3 3 3
V 6
Resolviendo por Pitágoras:
X=6 g=6 162
V
Hallando el radio:

21. PIRÁMIDE
Las pirámides a diferencia de los prismas
tiene una base, que puede ser un polígono
de cualquier forma. Las caras laterales son
triángulos, todos ellos tienen un punto en
común que se llama vértice de la pirámide.
Altura:
Se llama altura al segmento perpendicular
a la base que se traza desde el vértice.
Pirámide regular:
si la base es un polígono regular y las aristas
laterales iguales se dice que la pirámide es una
pirámide regular.
En las pirámides regulares a la altura de cada
uno de los triángulos laterales se llama
APOTEMA.

22. PIRÁMIDE REGULAR
ÁREA LATERAL (AL) vértice
A L = p Base x Ap
p semiperímetro
ÁREA TOTAL (AT) Lateral.
Altura.
A T = A L + A BASE
Apoltema
( Ap )
VOLUMEN (V)
Base.
1 A
V= Base x h
3

23. Ejemplos diversos:
1.La altura de una pirámide regular
triangular es 10 m y su base tiene 6 m
como perímetro. Hallar su volumen.
Área de la base:
Desarrollo:
2
2 3 2
A 3m
4
1 A
V= Base x h
3
10
1 2
V 3m 10 m
3
3
2 10 3 m
V
3

24. 2.La arista básica de la pirámide regular
mide 10 cm y el apotema del sólido es de
6 cm. Calcular el área lateral y total del
sólido.
La base de la pirámide es un cuadrado de
lado 10 cm
AL p base ap .
2
AL 20 cm 6 cm AL 1 2 0 cm
Desarrollo:
A T = A L + A BASE
2 2
AT 120 cm 10 cm
6
2 2
AT 1 2 0 cm 1 0 0 cm 2
AT 2 2 0 cm
10

25. 3.La figura indica el desarrollo de una
pirámide triangular regular. Calcular su
área lateral.
2 2
3
1 1
ap 3
Desarrollo:
AL 3 3
Pide:
AL p base ap .
P =3

26. CONO:
es el solido que se determina
al trazar un plano secante a una
superficie cónica.
Vértice
Generatriz
Altura
g h g h
r r

27. ÁREA LATERAL (AL)
AL = r.g g g
h
ÁREA TOTAL (AT) r
O
A T = r . (g + r) Desarrollo lateral del cono
g
VOLUMEN (V) g
h
g 2 r
1 r 2. h
V= r
3 2 r
=
g

28. Ejemplos diversos:
AL = r.g
30° 8
1.Hallar la razón entre área lateral y
volumen del cono recto, si: r = 4. AL 4 8 4 3
60°
AL 32
4
1 r 2. h
V=
3
1
60°
2
r V . 4 4 3
3
64 3
V .
Desarrollo: 3
AL 3
Pide: La razón es:
V 2

29. 2.El radio de la base de un cono mide
4 cm y la altura es de 3 cm. Calcular A T = r . (g + r)
el valor de su área total y volumen
AT 4 5 4
2
Desarrollo: AT 3 6 cm
C
1 r 2. h
V=
3
5
3 1 2
V 4 3
3
B
A 4 3
V 16 cm

30. 3.Si la diferencia de cuadrados entre la Por dato:
generatriz y la altura de un cono recto es
225 dm y la generatriz mide 25 dm, hallar 2 2
el ángulo de desarrollo de la superficie g h 225
lateral del cono. 2 2
25 h 225
Desarrollo: 2
625 h 225
h = 20 dm
25
h
37° 25
20
53°
r 15
Respuesta: 74°

31. 4.En el gráfico halla el volumen
del cono de revolución, si el
volumen del cilindro es 30cm 2
2r r r
3 2 3 2
30cm r h 30cm r h
3
Desarrollo: V co n o 4 0 cm
1 2
V cono 4 r h
3
1 3
V cono .4 30 V co n o 4 0 cm
3

32. ESFERA:
es el solido limitado por una superficie en la que todas sus puntos equidistan
de un punto interior denominado centro.
Círculo menor
Círculo mayor
2R o máximo
R
R 2
A=4 R
V= 4
3
R
3

33. Ejemplos diversos 2
Aesf 144 dm
1.El radio de una esfera es de 6 dm.
Calcule su área y volumen.
Desarrollo: 4 3
V esf R
3
6 4 3
V esf 6
3
3
V esf 288 dm
2
Aesf 4 R
2
Aesf 4 6

34. 2.Halla el volumen de una esfera
de 10 cm de diámetro. 100 3
V esf cm
Desarrollo: 3
4 3
V esf 5
10
3
100 3
V esf cm
3
r = 5 cm

35. 2.Halla el volumen de una esfera h = 3r
inscrita en un cono equilátero
de altura 6m 6 = 3r
Desarrollo: r=2
32 3
30°
V esf cm
2r
3
r 4 3
O V esf 2
3
32 3
V esf cm
3