Fundamentos da Cartografia em

FUNDAMENTOS DE
CARTOGRAFIA
Prof. Marcos A Timbó Elmiro

Prof. Marcos A. Timbó

Fundamentos de Cartografia

SUMÁRIO

Pag.

1 – Apresentação

3

2 - Conceito e campos de aplicação da Cartografia

4

3 - Ciências e tecnologias de suporte da Cartografia
4
4 - Representação cartográfica do planeta Terra

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4.1 - Modelo forma e dimensões da Terra

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4.2 - Datum horizontal

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4.3 - Datum vertical

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4.4 - Sistema de coordenadas geodésicas

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4.5 - Sistema de coordenadas cartesianas geocêntricas

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4.6 - Algumas medidas na esfera terrestre

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4.7 - Orientação terrestre por azimutes e rumos

22

4.8 - Sistema de coordenadas planas cartesianas

23

4.9 - Sistema de projeção cartográfica

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4.10 - Sistema topográfico local

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4.11 - Operações e transformações com pontos e coordenadas

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5 - Sistema Geodésico Brasileiro

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6 - Sistema Cartográfico Nacional

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7 - Etapas da produção de mapas topográficos

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8 - Interpretação de cartas, mapas e plantas topográficas

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9 - Precisão das medidas cartográficas

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10 – Modelos Digitais de Elevação

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11 - Atualização de cartas e bases de dados

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12 - Questões de avaliação e Práticas de laboratório

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13 - Referências bibliográficas

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1 - APRESENTAÇÃO
Nos dias atuais existe um consenso de que a informação é um dos recursos mais
estratégicos e mais valiosos para a condução de qualquer tipo negócio ou projeto, seja de
natureza pública ou privada, seja de abrangência global, nacional, regional, local e até mesmo
pessoal. Nenhum País, Estado ou Município atingirá seu pleno desenvolvimento se não dispuser
de informações atualizadas, precisas e sinópticas sobre a natureza a quantidade e a distribuição
geográfica dos seus recursos naturais e riquezas produzidas pela sua população. O
Geoprocessamento surgiu, cresceu e se expande com base na filosofia de que a informação
organizada, correta e disponível de forma ágil é indispensável para planejar e tomar decisões
importantes de forma correta. O provérbio popular de que “informação é poder” nunca foi tão
verdadeiro e atual, ganhando vigor renovado em relação à informação geográfica com o advento
da tecnologia de Geoprocessamento.
Em uma visão abrangente, Geoprocessamento é o conjunto de técnicas que lidam com
aquisição, tratamento, interpretação e análise de dados georeferenciados, ou seja, é o
processamento da informação que tem relacionamento com o espaço geográfico. O
Geoprocessamento caracteriza-se por aplicações transdisciplinares em diversas áreas do
conhecimento, apoiadas pela utilização de novas tecnologias como satélites de observação da
Terra, sensores remotos aerotransportados, técnicas de mensuração e coleta de dados por meio
do sistema GPS/GNSS, estações topográficas eletrônicas e medidores a laser. O processamento e
a análise dos dados são feitas em ambientes integrados de software, hardware e procedimentos
chamados sistemas de informações geográficas (SIG).
O ambiente de Geoprocessamento/SIG disponibiliza valiosas ferramentas para aplicações
em diferentes áreas do conhecimento que lidam com recursos geograficamente distribuídos.
Qualquer atividade em que a posição geográfica tenha alguma importância é tipicamente uma
aplicação de Geoprocessamento e pode contar com suas ferramentas. Áreas tão diversificadas
como a Engenharia, Geografia, Geologia, Pedologia, Agricultura, Arquitetura, Navegação,
Turismo, Meteorologia, Transportes, Urbanismo, além de muitas outras, podem tirar grande
proveito das técnicas e ferramentas de Geoprocessamento.
A Cartografia tem um papel de relevância fundamental dentro do Geoprocessamento
constituindo um dos seus pilares mais importantes, porquanto o mapa tem sido o principal meio
de apresentação dos resultados, é a forma de visualização mais natural e de interpretação mais
intuitiva para a informação espacial. Varias operações espaciais que são base para diversas
funções de analises em Geoprocessamento (interseção, união, fusão, etc.) são executadas por
meio de álgebra de mapas. Além disso, tradicionalmente já existe uma enorme quantidade de
informações sob a forma de mapas e cartas, tanto no formato digital como em papel na forma
analógica que alimentam as análises em Geoprocessamento.
Muitos profissionais que ingressam nessa área emergente e efervescente de
Geoprocessamento, visando tirar proveito das suas ferramentas e técnicas para aumentar
produtividade e agilizar suas atividades, têm sido “atrapalhados” pela falta de entendimento de
conceitos fundamentais relacionados à Cartografia e Mapeamento. Estas breves notas de aulas
que foram planejadas para dar suporte à disciplina Fundamentos de Cartografia têm como
objetivo principal minimizar essas dificuldades, procurando fornecer uma visão geral do assunto
com enfoque voltado ao ambiente de Geoprocessamento.

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2- CONCEITO E CAMPOS DE APLICAÇÃO DA CARTOGRAFIA
Cartografia é a Ciência e Arte que se propõe a representar por meio de mapas, cartas e
plantas, além de outras formas como a computação gráfica, os diversos ramos do conhecimento
do homem sobre a superfície e o ambiente terrestre. Ciência quando se utiliza do apoio científico
da Astronomia, da Matemática, da Física, da Geodesia, da Estatística e de outras Ciências para
alcançar exatidão satisfatória. Arte, quando recorre às leis estéticas da simplicidade e da clareza,
buscando atingir o ideal artístico da beleza
Pela definição, percebe-se que um documento cartográfico, seja ele em papel ou na forma
digital tem um compromisso com a exatidão. Esta exatidão deve ser compatível com a escala de
representação ou resolução. Quando extraímos uma informação do documento cartográfico,
temos a possibilidade de quantificar o erro em termos da posição geográfica, comprimento ou
área. Da mesma forma, a definição indica que as informações apresentadas na carta devem ser
claras, logicamente organizadas, de fácil leitura e de interpretação imediata.
A Cartografia é considerada uma das mais antigas ciências de que se tem conhecimento.
Sua origem remonta aos primórdios da civilização, quando o homem primitivo já sentia
necessidade de registrar o espaço em sua volta a fim de marcar os lugares importantes para a sua
sobrevivência. Ao registrar nas paredes das cavernas os locais onde havia abundância de água e
de alimentos, locais perigosos, redutos de tribos hostis, etc. utilizando-se de instrumentos
rudimentares, o homem da antiguidade já estaria desenvolvendo um trabalho de cartografia na
sua forma mais rudimentar.
Desde então a Cartografia evoluiu de forma gradual em seus métodos e instrumentos. Nas
últimas décadas essa evolução foi notavelmente rápida, de forma que nos dias atuais a
cartografia se utiliza de ferramentas de alta tecnologia como medidores a laser, sensores
remotos, satélites artificiais, softwares e hardwares para produzir documentos cartográficos com
as mais diferentes finalidades e para as mais diversas áreas de aplicações. Atualmente, a
cartografia é uma ferramenta de suporte para aplicações em praticamente todas as áreas que
lidam com recursos geograficamente distribuídos tais como Engenharia, Geografia, Geologia,
Pedologia, Agricultura, Arquitetura, Navegação, Transportes, Turismo, Meteorologia,
Urbanismo, etc. com uma lista crescente a cada dia.

3 - CIÊNCIAS E TECNOLOGIAS DE SUPORTE
Para bem cumprir seus objetivos a Cartografia se apoia em várias ciências, tecnologias e
áreas do conhecimento, algumas já são bem consolidadas e outras em constante processo de
evolução e efervescência tecnológica. Apresentamos um breve resumo das áreas mais
importantes para nosso estudo de cartografia.
ASTRONOMIA
A Astronomia é a mais antiga ciência de suporte à Cartografia. Foi utilizada desde
tempos imemoriais para determinar a posição geográfica (latitude, longitude e azimutes) de
lugares e direções na superfície terrestre. Os astrônomos e os observatórios astronômicos, desde
remotas datas, determinam e divulgam as coordenadas das principais estrelas e astros em relação
à Esfera Celeste. Um observador na superfície da Terra, ao observar uma estrela ou astro de
coordenadas celestes já conhecidas e utilizando os conceitos de trigonometria esférica, pode
determinar as coordenadas geográficas e azimutes da posição terrestre. Os antigos cartógrafos e

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navegadores só dispunham deste único recurso para se localizar, navegar e construir mapas
(Figura 1).
Em 27 de abril de 1500, mal haviam sido enrolados os panos das caravelas ancoradas na
Terra de Vera Cruz, João Emenelaus, um físico da esquadra de Cabral, desceu a terra e por meio
do astrolábio mediu a altura do Sol ao meio dia e determinou a latitude de 17 graus para o local
de desembarque (Cêurio de Oliveira, 1993). Nos dias atuais as medições astronômicas
convencionais para determinação de posição geográfica foram praticamente substituídas por
metodologias mais modernas como o posicionamento por satélites e outras que serão abordadas
mais adiante.

Figura 1 – Astronomia usada como recurso único pelos cartógrafos e navegadores antigos.
TOPOGRAFIA e AGRIMENSURA
Os trabalhos de Topografia são utilizados para determinar a posição tridimensional
X,Y,Z ou E, N e Altitude de pontos e feições do terreno. Os métodos tradicionais de Topografia
costumam atuar em pequenas extensões da superfície da Terra onde se pode desconsiderar sua
curvatura. Utilizam diversos instrumentos que medem ângulos (horizontais e verticais) e
distâncias, calculam as posições dos objetos terrestres com base na geometria e na trigonometria
planas considerando um modelo plano da Terra local (Figura 2). Com o desenvolvimento das
estações topográficas eletrônicas (chamadas Estações Totais) as técnicas de topografia alcançam
atualmente alta produtividade na coleta de dados geográficos, sendo largamente utilizadas.

Figura 2 – Visão geral do método topográfico. Observa-se o ponto inicial de instalação do
instrumento com posição conhecida, o ponto de referência de azimute inicial
também com posição conhecida (linha pontilhada com seta), os prismas de reflexão
do laser instalados nos pontos de posição a determinar (linhas cheias sem setas).
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GEODÉSIA
A Geodésia é a ciência que trata do estudo da forma e dimensões da Terra, sendo
responsável pelo estabelecimento do apoio geodésico básico para posicionamento, ou seja, uma
malha de pontos geodésicos com latitude, longitude e altitude de alta precisão (Figura 3). Essa
malha é necessária para dar suporte aos trabalhos que requeiram novas posições, com novas
coordenadas, tais como mapeamentos cartográficos, trabalhos de engenharia, estudos de
geodinâmica e atividades de navegação. A Geodésia utiliza instrumentos e métodos de alta
precisão. As posições geodésicas são calculadas utilizando fórmulas matemáticas rigorosas e
completas da trigonometria esférica sobre um modelo da Terra mais próximo possível do real. A
Terra é considerada como um elipsóide de revolução para cálculo das latitudes e longitudes e
como um modelo gravitacional complexo para cálculo das altitudes.

Figura 3 – Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo (RBMC), em fase de expansão, mantida
pelo IBGE para servir de infra-estrutura geodésica geral apoiada em GPS.

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POSICIONAMENTO GLOBAL POR SATÉLITES
O Sistema de Posicionamento Global - GPS é um sistema de posicionamento e navegação
baseado em satélites que foi projetado de forma que em qualquer lugar do mundo e a qualquer
instante existam pelo menos quatro satélites GPS acima do horizonte do observador. Esta
situação garante a condição geométrica mínima necessária para determinação de uma posição em
tempo real. Assim, qualquer usuário equipado com um receptor e processador de sinais GPS
poderá determinar sua posição imediatamente. O Sistema GPS é constituído por 3 segmentos
distintos, a saber: Segmento Espacial, Segmento de Controle e Segmento do Usuário.
O segmento espacial é composto por pelo menos 24 satélites que orbitam em volta da
Terra a uma altitude aproximada de 20.000 km, distribuídos em seis planos orbitais com
inclinação de 55° em relação ao plano do Equador e com um período de revolução de 12 horas
siderais. A função do segmento espacial é gerar e transmitir para os usuários os sinais GPS
(códigos, portadoras e mensagens de navegação).
O segmento de controle é responsável pela operação do Sistema GPS. Este segmento é
constituído por diversas estações de monitoramento espalhadas pelo mundo que rastreiam
continuamente todos os satélites visíveis no campo da antena. A função principal deste segmento
é manter atualizada a mensagem de navegação que é transmitida pelos satélites para os usuários.
O segmento do usuário refere-se a tudo que se relaciona com a comunidade usuária para
determinação de posição, velocidade ou tempo. São os receptores, algoritmos, programas,
metodologias, técnicas de levantamentos.
O sistema GPS é capaz de fornecer posições geográficas com diversos níveis de precisões
desde as mais grosseiras, em torno de 30 metros, até altas precisões, da ordem de 1 milímetro,
dependendo dos instrumentos e metodologias utilizadas na coleta e processamento dos sinais. A
Figura 4 ilustra o segmento espacial GPS e instrumentos usados nas medidas de campo.

Figura 4 – Ilustração sem escala do segmento espacial do Sistema GPS e instrumentos receptores
terrestres.
FOTOGRAMETRIA
A Fotogrametria é a técnica utilizada para obtenção de medidas tridimensionais terrestres
e mapeamentos planialtimétricos precisos utilizando-se coberturas fotográficas, obtidas por meio
de câmaras métricas com recobrimento estereoscópico longitudinal e lateral (Figura 5). É uma
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técnica largamente utilizada em Cartografia para elaboração de mapas e cartas topográficas e
cadastrais de áreas extensas, bem como, para produção de modelos digitais de terreno. Para
mapeamento de grandes áreas as técnicas pontuais de Topografia e GPS tornam-se de baixa
produtividade.

Figura 5 – Visão geral do método aerofotogramétrico. O avião fotografa o terreno em faixas
paralelas com recobrimento longitudinal de 60% e lateral de 30%. A reconstrução
do modelo tridimensional é feita pela reconstrução exata da geometria inversa com
base nas fotos e em pontos de controle medidos no campo com exatidão. As
medidas planialtimétricas são extraídas do modelo tridimensional reconstruído com
exatidão cartográfica.

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VARREDURA LASER
O método LIDAR (Light Detection and Ranging) tal como a fotogrametria é uma técnica
para levantamento e mapeamento de recursos da Terra que permite a obtenção de posições
tridimensionais precisas em curto espaço de tempo. Um sistema de LIDAR utiliza uma
combinação de três diferentes tecnologias avançadas: 1) um Sistema de navegação inercial de
alta precisão (Inertial Navigation System - INS) para fornecer atitude e orientação do sensor; 2)
um varredor de distâncias a laser; e 3) um Sistema de Posicionamento Global por satélite (GPS)
operando no modo cinemático diferencial por fase para fornecer a posição do sensor. Com a
integração dos três subsistemas em um único instrumento montado no avião ou em um pequeno
helicóptero, é possível adquirir rapidamente nuvens de pontos tridimensionais do terreno abaixo
da trajetória de vôo. A Figura 6 ilustra os principais aspectos da base conceitual do sistema
LIDAR.

Figura 6 – Visão geral do levantamento a laser. O sensor avança na direção de vôo enquanto o
dispositivo de varredura desloca o feixe de laser lateralmente com passo constante
cobrindo o terreno nas duas dimensões com pontos de amostras espaçados. As
posições geográficas dos pontos são obtidas com base na posição GPS do Centro
Elétrico do emissor de laser, na distância, no azimute e na inclinação do feixe de
laser até o terreno.

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SENSORIAMENTO REMOTO
O Sensoriamento Remoto é a ciência e técnica que utiliza modernos sensores,
equipamentos e programas de processamento e transmissão de dados, aeronaves e/ou
espaçonaves para fins de estudo do ambiente terrestre por meio do registro e da análise das
interações entre a radiação eletromagnética e as substâncias componentes do planeta em suas
mais diversas manifestações. O Sensoriamento Remoto veio complementar o método da
fotogrametria, principalmente para atualização de mapeamentos e nas aplicações para obtenção
de informações temáticas. A Figura 7 ilustra uma visão geral do Sensoriamento Remoto.

Figura 7 – Visão geral do Sensoriamento Remoto. A revolução do satélite em orbita quase-polar
e a rotação da Terra permitem obter imagens de qualquer lugar da Terra com
possibilidade de revisitas periódicas. As imagens em diferentes bandas do espectro
eletromagnético são processadas e combinadas para gerar vários produtos de
mapeamento topográfico.

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INTERFEROMETRIA DE RADAR
A interferometria RADAR é uma técnica que usa pares de imagens de radar para produzir
modelos digitais precisos da elevação do terreno (MDE). Na técnica InSAR um par de imagens é
adquirido de duas posições da antena, separadas espacialmente por uma distância, conhecida
como linha de base. Como são adquiridas de posições diferentes, as imagens não se sobrepõem
perfeitamente. Assim, é necessário que sejam co-registradas com exatidão antes que qualquer
outra etapa adicional de processamento possa ser executada. As duas antenas podem ser
montadas na mesma plataforma, o que é chamado de modalidade de passagem única ou a mesma
área pode ser sobrevoada em horários diferentes pela mesma antena, o que se chama modalidade
de passagem repetida. A Figura 8 ilustra de forma esquemática o princípio de operação do
método InSAR, em passagem única usado na missão SRTM da NASA.

Figura 8 – Visão geral, sem escala, do método InSAR usado na missão SRTM que fez o
mapeamento topográfico global em 2001.
COMPUTAÇÃO E GEOPROCESSAMENTO
O advento e desenvolvimento da computação nas últimas décadas contribuíram para um
grande salto tecnológico da Cartografia. Dentre as maiores contribuições da computação
destacam-se os seguintes avanços: 1) desenvolvimento das ferramentas de computação gráfica;
2) algoritmos e softwares para processamento digital de imagens; 3) sistemas de gerenciamento
de bancos de dados; 4) mesas digitalizadoras; 5)scanners de grande formato; 6) plotters e
impressoras de alta resolução; 7) softwares e plataformas para Sistemas de Informações
Geográficas - SIG.

4 - REPRESENTAÇÃO CARTOGRÁFICA DO PLANETA TERRA
Para representar a superfície da Terra, que tem a forma de um esferóide, por meio de
mapas, que são representações sobre planos, é necessário, antes de tudo, discutir três aspectos
fundamentais envolvidos no processo:
1. Entender sua forma real e definir um modelo matemático de representação simplificada e
apropriado para viabilizar os cálculos, transformações e representações das medidas reais;
2. Estabelecer um sistema de conversão (projeção) das medidas reais obtidas ou calculadas na
superfície esférica do modelo do planeta para o plano cartográfico do mapa; e
3. Adotar uma escala de representação para os elementos e feições da Terra, no caso de usar
documentos impressos, tendo em vista que não é possível a representação em verdadeira
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grandeza. Com o advento da cartografia digital, atualmente, a escala no mapeamento digital
só é considerada no momento da impressão do mapa.
4.1 - MODELO FORMA E DIMENSÕES DA TERRA
Especulações sobre a forma da Terra, embora revestidas de roupagens místicas,
remontam aos primórdios da civilização. Os primeiros seres inteligentes já olhavam para o
universo infinito e questionavam de alguma forma a situação do nosso planeta dentro de toda
aquela incomensurável grandeza e atribuíam à Terra uma transcendente importância no cenário
universal. Existem diversos relatos históricos muito antigos que atribuem formas bastante
inusitadas para a Terra (como, por exemplo, um enorme disco suportado por elefantes gigantes).
Pitágoras e Sócrates (Séc V AC) já se recusavam a aceitar a idéia da Terra plana embora não
pudessem provar. Aristóteles (Séc IV AC) reforçou a idéia da esfericidade da Terra por meio dos
seguintes argumentos: 1) contorno circular da sombra da Terra nos eclipses da Lua; 2) variação
do céu estrelado com a latitude; 3) diferença de horário na observação do mesmo eclipse para
observatórios afastados em longitude. Ele, porem, defendia a imobilidade absoluta do planeta.
Arquimedes (Séc IIV AC) afirmou que o diâmetro da Terra era superior ao da Lua e inferior ao
do Sol. Eratóstenes (Séc II AC) determinou o raio da Terra por meio de operações geométricas e
devido a algumas coincidências achou resultado muito próximo do verdadeiro.
Sabe-se atualmente que a Terra tem uma forma real bastante complexa, entretanto pode
ser simplificada de forma muito próxima por meio de modelos para fins de representação
cartográfica sem prejuízos significativos. As principais formas de interesse para representação
cartográfica da Terra são:
SUPERFÍCIE TOPOGRÁFICA
É a forma verdadeira da Terra com suas montanhas, vales, oceanos e as inúmeras
saliências e reentrâncias geográficas da superfície. É a superfície física de existência real onde
são executadas as medições e observações cartográficas (Figura 9). Os instrumentos de medida
operam na superfície topográfica.

Figura 9 – Superfície topográfica em relação a outras superfícies de interesse cartográfico.
GEÓIDE
É a forma verdadeira da Terra quando são subtraídas as montanhas, as depressões e
outras saliências e reentrâncias geográficas da superfície. Estes elementos são muito pequenos
(máximo 8,9 km no pico do Everest) em relação ao diâmetro da Terra (12.740,0 km). A
superfície do geóide não tem definição geométrica ou matemática, é um modelo gravitacional
cuja superfície é definida pelo potencial da gravidade equivalente ao do nível medo do mar. A
superfície do geóide é aproximadamente esférica com suaves ondulações e achatada nos pólos.
Seu diâmetro equatorial é aproximadamente 43 km maior que o diâmetro polar. O Geóide pode
ser definido como sendo a superfície do nível médio das águas tranqüilas dos mares prolongada

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por baixo dos continentes e é utilizado, em cartografia, como o modelo de referência padrão para
as medidas de altitudes.
ESFERA
É a forma da Terra, com definição matemática, que representa uma simplificação do
Geóide, considerando que o achatamento polar da Terra é muito pequeno (43 km em relação a
12.740 km de diâmetro). É uma forma geométrica simplificada eventualmente utilizada em
cartografia apenas em cálculos auxiliares e trabalhos aproximados. A equação do círculo
máximo que define uma seção meridiana ou o Equador na esfera é dada por: X2 + Z2 = R2, onde
X e Z são as coordenadas do círculo e R é o raio.
ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO
O Elipsóide de Revolução (Figura 10) é definido como sendo o sólido geométrico gerado
por uma elipse que gira em torno do seu eixo menor (eixo polar). Consiste na forma com
definição matemática que mais se aproxima do geóide (prolongamento do nível do mar pelos
continentes), portanto é a forma/modelo que permite a maior precisão de representação da Terra.
Os mapas e cartas topográficas, o sistema GPS e a maioria dos sistemas e processos envolvidos
em cartografia e navegação, utilizam o modelo elipsóidico terrestre. Esta é a forma padrão
considerada pela Geodesia para os trabalhos de precisão rigorosa.

Figura 10 – Elipsóide de revolução, modelo matemático da Terra que mais se aproxima do
geóide (modelo físico), portanto mais usado na representação da Terra.
A elipse é uma curva definida pelo lugar geométrico dos pontos do plano onde a soma
dos raios vetores, que partem dos focos, é uma constante de valor igual ao dobro do semi-eixo
maior da elipse, ou seja, r1 + r2 = 2a. A equação da elipse é dada por: X2/a2 + Y2/b2 =1, onde
Raios vetores
r1 , r 2
Semi-eixo maior
a
Semi-eixo menor
b
Coordenadas
X, Y
Achatamento
f = (a-b)/a
Excentricidade
ε = [(a2 - b2 )/ a2 ] 1/2
PLANO
É o modelo/forma da Terra mais simplificada de todas, prestando-se unicamente para
representação local, em extensões limitadas de acordo com a aplicação, geralmente até um raio
máximo de aproximadamente de 50 km. Nessa extensão a diferença entre o arco e a corda é
menor que 40 cm. Neste caso, todas as medidas feitas sobre o terreno natural são simplesmente
projetadas em um plano horizontal tangente à superfície terrestre local (conhecido como Plano
Topográfico) usando fórmulas da trigonometria plana. Muitos trabalhos de topografia e

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mapeamentos para obras de engenharia civil, arquitetura e parcelamentos urbanos utilizam o
Plano Topográfico Local como base de projeção.
OUTROS CONCEITOS RELACIONADOS À FORMA DA TERRA
Superfícies Eqüipotenciais – Lugar geométrico dos pontos do espaço de igual potencial da
gravidade. O geóide é uma superfície equipotencial de altitude zero
Vertical do Lugar – Direção do fio de prumo, perpendicular á superfície equipotencial que passa
no lugar considerado.
Normal ao Elipsóide – Direção perpendicular à superfície do elipsóide de revolução no lugar
considerado.
Desvio da Vertical – Ângulo formado entre a Vertical do Lugar e a Normal ao Elipsóide de
Revolução no lugar considerado. Locais da Terra onde o desvio da vertical é nulo são
especialmente adequados para servir de origem a um Datum Local.
Altura Geoidal ou Ondulação Geoidal (N) – Desnível da superfície do geóide acima ou abaixo
da superfície de um determinado elipsóide. O conhecimento da Altura Geoidal é de grande
importância para medições altimétricas por meio do Sistema GPS, pois a altitude dada pelo GPS
é relativa à superfície do elipsóide de revolução. Para ficar referida ao geóide, a altitude
fornecida pelo GPS deve ser diminuída da altura geoidal no ponto considerado. Locais da Terra
onde o a altura geoidal é nula e o desvio da vertical também, são ótimos para servir de origem a
um Datum Local, pois o geóide coincide localmente com o elipsóide.
4.2 - DATUM HORIZONTAL
Desde os estudos gravitacionais de Sir Isaac Newton, que derrubou a esfericidade simples
do Planeta, concluiu-se que o modelo matemático mais adequado para a representação da Terra é
o elipsóide de revolução. Porém, vários países e continentes adotaram elipsóides com parâmetros
ligeiramente diferentes, com objetivo de que eles se ajustassem localmente melhor às suas
regiões específicas e produzissem resultados locais mais precisos, visto que àquela época não
havia integração global. O modelo da Terra usado pelos Estados Unidos era um elipsóide
diferente do elipsóide usado pelo Brasil que, por sua vez, diferente do elipsóide usado pela
Rússia. Assim, existem vários modelos elipsoídicos terrestres locais e a adoção de um modelo
terrestre global, que seria ideal, geralmente esbarrava nas fronteiras políticas.
Um Datum Horizontal (Figura 11) é definido como sendo um sistema de referência
padrão adotado por um país ou por todo o planeta ao qual devem ser referenciadas as posições
geográficas planimétricas (latitude e longitude ou coordenadas cartesianas derivadas da projeção
cartográfica). É fundamental que os dados geográficos usados em um mesmo projeto de
Geoprocessamento estejam referenciados a um único Datum Horizontal para evitar
incompatibilidades. Um datum horizontal local ou topocêntrico é definido pela adoção de um
Elipsóide de Referência que representará a figura matemática simplificada da Terra real,, um
Ponto Geodésico Origem onde o geóide coincide localmente com o elipsóide e um Azimute
inicial para fixar o sistema de coordenadas na Terra, servindo como marco geodésico inicial para
propagar as medições de latitudes e longitudes. O critério básico para escolha do Ponto
Geodésico Origem de um datum local é a ocorrência de máxima coincidência entre a superfície
do geóide e a superfície do elipsóide de referência adotado, ou seja, o desvio da vertical e
ondulação geoidal deve ser nulo.

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Figura 11 – Ilustração de datuns diferentes (elipsóides diferentes fixados ao geóide em locais
diferentes) os quais, conseqüentemente, apresentarão diferentes coordenadas para os
mesmos objetos da Terra.
Atualmente há uma tendência mundial para adoção de datums globais geocênticos que
são determinados com base em medições de satélites artificiais e observações de radioastronomia
de alta precisão, onde a origem dos eixos de coordenadas tridimensionais é o centro de massa da
Terra e o elipsóide adotado se ajusta à figura da Terra de forma global para todos os continentes.
É importante lembrar que um mesmo ponto do terreno terá valores de coordenadas diferentes
quando referidas a diferentes datuns.
Existe atualmente uma grande quantidade de datuns horizontais usados em diferentes
partes do mundo. No Brasil lidamos, basicamente, com apenas quatro datuns, a saber: 1) Sistema
de Referência Geodésico para as Américas (SIRGAS 2000) que é o datum global geocêntrico
oficial adotado por lei a partir da R.PR-IBGE-1/2005 de 25/02/2005; 2) South American Datum
(SAD-69), que é o datum local topocêntrico oficial anterior ao SIRGAS e que deverá ser por este
completamente substituído no prazo de 10 anos a partir da R.PR-IBGE-1/2005; 3) Córrego
Alegre, que é o datum local topocêntrico anterior ao SAD-69, ao qual existem ainda vários
trabalhos antigos referenciados; e 3) World Geodetic System (WGS-84), que é o datum global
geocêntrico utilizado pelo Sistema GPS (muito similar ao SIRGAS 2000), cuja a tendência é ser
adotado como padrão mundial.
O WGS-84 é um datum global e geocêntrico, onde o elipsoide adotado (GRS80) ajusta-se
o mais possível ao geóide em todo o globo e a origem dos seus eixos coordenados é fixada no
geocentro (centro de massa da Terra). No datum global, como o elipsóide é fixado à Terra no
geocentro, não há Ponto Geodésico Origem na superfície da Terra nem Azimute inicial. A
Tabela 1 ilustra vários elipsóides estabelecidos para a Terra desde que Newton contestou sua
simples esfericidade e postulou sua forma elipsóidica.
Tabela 1 - Parâmetros de vários Elipsóides Terrestres de Revolução em ordem cronológica desde
que Newton derrubou a esfericidade da Terra.
Seq.

Autor

SemiEixo a SemiEixo b f-1 = a/(a-b)

Ano

Método Usado

1
2
3
4
5
6
7
8

BOUGUER, MAUPERTIUS
Comissão de Pesos e Medidas
LAPLACE
LAPLACE
DELAMBRE
WALBECK
SHIMIDT
EVEREST

6379300
6375739
6375739
6375739
6376523
6376896
6376959
6377276

1738
1800
1800
1802
1810
1819
1829
1830

Astrogeodésico
Astrogeodésico
Astrogeodésico
Astronômico
Astrogeodésico
Astrogeodésico
Astrogeodésico
Astrogeodésico

6349875.2
6356650.0
6352804.7
6354834.9
6355860.3
6355836.2
6355523.8
6356074.9

15

216.80
334.00
278.00
305.00
308.60
302.80
297.50
300.80

9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65

AIRY
BESSEL
EVEREST
JAMES & CLARKE
CLARKE
SHUBERT
PRATT
CLARKE
FISCHER
CLARKE
CLARKE
HELMERT
BONSDORF
DARWIN
DARWIN
IVANOV
CALLANDREAU
HARKNESS
HELMERT
MAYFORD
HELMERT
HAYFORD
HELMERT
BERROTH
BOWIE
MACCAW
HEISKANEN
HEISKANEN
DE SITTER
HEISKANEN
HEISKANEN
KRASSOWSKI
ISOTOV
DE SITTER
HEISKANEN
SHURAVLEV
KRASSOWSKI
NISKANEN
SCHUTTE
LEDERSTEGER
JEFFREIS
SPENCER JONES
LIEBERMAN-TANNI
A.M.S
A.M.S
HOUGH
UOTILA
O'KEEFFE
BUCHAR
LECAR, SORENSON, ECKELS
MERSON, HELE
RUSHWORTH, LOWER
MERSON, HELE
BLITZER
JACCHIA
FISCHER
COOK

6377563
6377397
6376901
6377936
6378345
6378345
6378245
6378206
6378338
6378199
6378249
6378249
6378444
6378444
6378444
6378444
6378444
6378039
6378039
6378283
6378200
6378388
6378388
6378388
6378388
6378300
6378300
6378397
6378397
6378397
6378397
6378245
6378279
6378279
6378279
6378279
6378245
6378245
6378245
6378300
6378300
6378300
6378160
6378240
6378285
6378270
6378270
6378270
6378270
6378270
6378270
6378201
6378201
6378201
6378201
6378160
6378160

6356254.7
6356078.6
6356399.1
6356513.4
6356669.1
6356876.3
6356645.8
6356583.5
6356229.4
6356445.3
6356514.4
6356934.9
6357082.8
6356924.3
6356989.4
6356982.2
6356996.6
6356793.0
6356657.7
6356865.0
6356818.2
6356911.9
6356890.2
6356969.6
6356940.8
6356766.2
6356853.1
6356920.9
6356918.0
6356920.9
6357007.3
6356884.5
6356982.6
6356785.2
6356889.7
6356908.4
6356863.0
6356827.1
6356806.2
6356824.2
6356845.2
6356845.9
6356684.7
6356764.4
6356809.3
6356794.3
6356801.6
6356887.9
6356844.8
6356889.4
6356873.6
6356772.5
6356812.0
6356768.9
6356818.4
6356778.3
6356774.0
16

299.30
299.15
311.04
297.72
294.26
297.10
295.30
294.98
288.50
293.20
293.46
299.25
298.60
296.40
297.30
297.20
297.40
300.20
298.30
297.80
298.30
297.00
296.70
297.80
297.40
296.20
297.40
297.00
296.96
297.00
298.20
298.60
299.50
296.75
298.20
298.46
298.30
297.80
297.51
297.00
297.29
297.30
297.00
297.00
297.00
297.00
297.10
298.30
297.70
298.32
298.10
297.65
298.20
297.60
298.29
298.30
298.24

1830
1841
1847
1856
1857
1859
1863
1866
1868
1878
1880
1884
1888
1889
1889
1889
1891
1901
1906
1907
1909
1915
1917
1924
1924
1926
1927
1928
1929
1936
1938
1938
1938
1940
1940
1945
1950
1951
1952
1953
1955
1956
1956
1957
1957
1958
1958
1958
1958
1958
1959
1959
1959
1960
1960

Astrogeodésico
Astrogeodésico
Astrogeodésico
Astrogeodésico
Astrogeodésico
Gravimétrico
Astrogeodésico
Astrogeodésico
Astrogeodésico
Astrogeodésico
Astrogeodésico
Gravimétrico
Astrogeodésico
Astronômico
Astronômico
Gravimétrico
Astronômico
Astrogeodésico
Gravimétrico
Astrogeodésico
Astrogeodésico
Astrogeodésico
Gravimétrico
Gravimétrico
Gravimétrico
Gravimétrico
Astrogeodésico
Astronômico
Gravimétrico
Gravimétrico
Astrogeodésico
Astrogeodésico
Astronômico
Gravimétrico
Gravimétrico
Astrogeodésico
Gravimétrico
Gravimétrico
Gravimétrico
Astronômico
Astronômico
Combinado
Astrogeodésico
Astrogeodésico
Astrogeodésico
Gravimétrico
Satélites
Satélites
Satélites
Satélites
Astrogeodésico
Satélites
Satélites
Satélites
Combinado
Satélites

66
67
68
69
70
71
72
73

KOZAI
ZHONGOLOVITCH
KING-HELE
KAULA
BUCHAR
RAPP
Sistema Geodésico de Ref-67
Sistema Geodésico de Ref-80

6378160
6378160
6378160
6378163
6378163
6378194
6378160
6378137

6356778.3
6356771.1
6356771.1
6356777.0
6356766.9
6356926.3
6356774.7
6356752.3

298.30
298.20
298.20
298.24
298.10
299.90
298.25
298.25722

1960
1960
1961
1961
1962
1963
1967
1980

Satélites
Satélites
Satélites
Combinado
Satélites
Astrogeodésico
Combinado
Combinado

CONVERSÃO DE DATUM HORIZONTAL
Conhecendo-se os parâmetros de transformação, é possível converter posições
geográficas de um datum horizontal para outro e vice-versa, por meio de equações matemáticas.
Os Softwares de Geoprocessamento/Cartografia incorporam ferramentas para conversão entre os
datuns mais conhecidos e utilizados no mundo. Deve-se, entretanto, tomar o cuidado de checar a
nomenclatura e fidelidade dos parâmetros, pois tem sido objeto de muitas confusões em alguns
programas. Para consolidar os conceitos veja demonstração usando os programas.
A conversão de datum é possível para coordenadas cartesianas X,Y,Z por meio do conhecimento
dos sete parâmetros abaixo:
∆x, ∆y, ∆z componentes do vetor diferença do geocentro;
α, β, γ
ângulos de rotação dos três eixos;
S
fator de escala entre os sistemas.
Entretanto a forma mais comum é a aplicação das equações diferenciais simplificadas de
MOLODENSKI para transformações das coordenadas geográficas de um datum origem para um
datum de destino. As equações são:
∆φ0” = [∆z.cosφ1 - senφ1.(cosλ1. ∆X + senλ1. ∆Y) + (a1.∆f + f1.∆a). sen(2φ1) ] / (M1.sen 1”)
∆λ0” = (∆y.cosλ1 - ∆x.senλ1) / (N1.cosφ1.sen 1”)
φ2 = φ1 + ∆φ0 ;
λ2 = λ1 + ∆λ0 ;
onde :
a1 = semi-eixo maior do elipsóide do sistema S1
f1 = achatamento do elipsóide do sistema S1
φ1 = latitude geodésica do sistema S1
λ1 = longitude geodésica do sistema S1
a2 = semi-eixo maior do elipsóide do sistema S2
f2 = achatamento do elipsóide do sistema S2
φ2 = latitude geográfica do sistema S2
λ2 = longitude geográfica do sistema S2
∆a = a2 - a1 ⇒ diferença dos semi-eixos maiores dos elipsóides entre os sistemas S2 e S1
∆f = f1- f2 ⇒ diferença de achatamento dos elipsóides entre os sistemas S2 e S1
N1 = a / (1- e12 . sen2 ϕ1 )1/2 = grande normal ou raio de curvatura da 1a. vertical no sistema S1
M1 = N1/ (1- e’12 . cos2 ϕ1) = raio de curvatura da seção meridiana no sistema S1
e12 = f1.(2 - f1) = 1a. excentricidade do elipsóide do sistema S1
e’12 = e12/ (1- e12) = 2a. excentricidade do elipsóide do sistema S1
O Decreto Lei 89.317 de 20/06/84 especificou o uso das equações diferenciais
simplificadas de MOLODENSKI para as transformações de coordenadas geográficas de um
17



datum para outro e o IBGE estabeleceu os parâmetros de transformação entre os principais
Datuns horizontais utilizados no Brasil (SIRGAS; SAD-69; Córrego Alegre e WGS-84) a seguir.
De Córrego Alegre para SAD-69:
a1 = 6.378.388,00 m
f1 = 1/297,00
a2 = 6.378.160,00 m
f2 = 1/298,25
∆x = -138,70 m
∆y = +164,40 m
∆z = +34,40 m
De WGS-84 para SAD-69:
a1 = 6.378.160,00 m
f1 = 1/298,25
a2 = 6.378.137,00 m
f2 = 1/298,26
∆x = +66,87 m
∆y = -4,37 m
∆z = +38,52 m
SAD 69 para SIRGAS2000
a1 = 6.378.160 m
f1 = 1/298,25
a2 = 6.378.137 m
f2 = 1/298,257222101
∆X = − 67,35 m
∆Y = + 3,88 m
∆Z = − 38,22 m
SIRGAS2000 para SAD 69
a1 = 6.378.137 m
f1 = 1/298,257222101
a2 = 6.378.160 m
f2 = 1/298,25
∆X = + 67,35 m
∆Y = − 3,88 m
∆Z = + 38,22 m
É importante ressaltar que, salvo em uma aproximação grosseira, não tem sentido falar
em posição geográfica (latitude, longitude ou coordenada plana cartesiana X e Y ou E e N) sem
especificar o datum horizontal de referência.
4.3 - DATUM VERTICAL
As altitudes são referidas ao nível médio das águas tranqüilas dos mares, ou seja, à
superfície do geóide. Porém, tal como ocorre com o datum horizontal, cada país mede e adota o
seu próprio nível do mar. O nível do mar sofre influência de vários fatores tais como ventos,
atração do Sol e da Lua, densidade das massas continentais e dos fundos dos oceanos, correntes
marítimas, etc. Para obter um valor estável e preciso é necessário tomar medidas da variação das
marés durante um período de aproximadamente 19 anos, quando todos os fatores mais influentes
passam a se repetir (Figura 12). Assim, o Datum Vertical é um sistema padrão ao qual devem ser
referenciadas as altitudes de um país ou região. Na prática é dado pela média das observações de
18



um Marégrafo (Figura 12) que tem o registro das variações de marés por um longo período (pelo
menos 19 anos, quando se repete o ciclo da Lua). É de fundamental importância que os dados
altimétricos de um mesmo projeto estejam referenciados a um único datum Vertical para evitar
incompatibilidades. Cabe ressaltar que, salvo em uma aproximação grosseira, não tem sentido
falar em altitude sem especificar o datum vertical de referência.

Figura 12 – Ilustração do Datum Vertical, onde é necessário medir a variação das marés durante
um longo período para obter um valor de referência estável.
4.4 - SISTEMA DE COORDENADAS GEODÉSICAS
O sistema de coordenadas geodésicas (elipsóidicas ou esféricas, também chamadas de
coordenadas geográficas) é um sistema adequado para a localização inequívoca da posição dos
objetos e acidentes geográficos na superfície terrestre. Neste sistema o modelo elipsoídico da
Terra é dividido em círculos paralelos ao Equador chamados PARALELOS e em elipses que
passam pelos pólos terrestres (perpendiculares aos paralelos) chamados MERIDIANOS (Figura
13). Cada ponto na Terra terá uma posição única constituída de duas coordenadas geodésicas
definidas por:
Latitude Geodésica ou Geográfica (ϕ): ângulo entre a normal ao elipsóide de referência no ponto
considerado e sua projeção no plano equatorial. Ou seja, é o arco de meridiano que vai do
equador ao ponto considerado. A latitude é positiva a Norte (0 a +90°), negativa a Sul (0 a –90°)
Longitude Geográfica ou Geodésica (λ): ângulo diedro entre os planos do meridiano de
Greenwich e do meridiano que passa pelo ponto considerado. Ou seja, é o arco de paralelo que
vai do meridiano de Greenwich até o ponto considerado. Positiva a Este (0 a +180°), negativa a
Oeste (0 a -180°)
Altitude Elipsoidal (H): distância sobre a normal ao elipsóide que se estende da superfície do
elipsóide até o ponto considerado.
Na prática geral usa-se a altitude em relação ao nível do mar que é chamada de
Altitude Ortométrica (h): distância vertical que se estende do nível médio do mar
(Geóide ≡ Datum Vertical) até o ponto considerado. Difere de H pela Ondulação Geoidal.

19



Figura 13 – Ilustração dos conceitos de coordenadas esféricas, geográficas ou geodésicas e
ondulação do geóide.
4.5 - SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS GEOCÊNTRICAS (X, Y e Z)
Constitui-se de um sistema de três eixos cartesianos ortogonais (X,Y,Z) muito utilizado
pelos satélites artificiais do sistema GNSS (GPS, GLONASS, GALILEO) para cálculo de
posições, utilizando geometria tridimensional (Figura 14). As fórmulas e transformações neste
sistema são de manipulação bastante simples e direta, além de serem facilmente programáveis
em softwares. As coordenadas fornecidas pelo GPS são inicialmente calculadas neste sistema e
posteriormente convertidas para o sistema curvilíneo de coordenadas geodésicas ou geográficas
e coordenadas UTM. As principais características do sistema de coordenadas cartesianas
geocêntricas são:
Origem dos eixos coordenados no centro de massa da Terra (Geocentro)
Eixo X coincidente com o traço do meridiano de Greenwich no plano do Equador (positivo na
direção da longitude 0°)
Eixo Y ortogonal ao eixo X no plano do Equador (positivo na direção da longitude 90° E)

20



Eixo Z coincide com o eixo de rotação da Terra (positivo na direção Norte)

Figura 14 – Ilustração do Sistema Cartesiano Tridimensional (X,Y,Z) utilizado no cálculo de
posições em geodésia por satélites artificiais.
A transformação de coordenadas cartesianas tridimensionais x,y,z WGS84 para x,y,z SAD69
consiste apenas em aplicar 3 translações, pois assume-se que os dois sistemas são paralelos e de
mesma escala. Assim, basta somar os parâmetros de transformação, Tx = 66,87 m; Ty = -4,37 m;
Tz = 38,52 m, às coordenadas x,y,z WGS84 para obter as correspondentes x,y,z SAD69.
Para converter SAD69 em WGS84 basta subtrair esses mesmos parâmetros das coordenadas
x,y,z SAD69. Os parâmetros para transformar Córrego Alegre em SAD69 são:
Tx = -138,70 m; Ty = 164,40 m; Tz = 34,40 m;
Para transformar coordenadas x,y,z SIRGAS em coordenadas x,y,z SAD69 somam-se as 3
translações abaixo às coordenadas SIRGAS
Tx = + 67,35 m; Ty = − 3,88 m; Tz = + 38,22 m;
Para converter SAD69 em SIRGAS basta subtrair esses mesmos parâmetros das coordenadas
x,y,z SAD69.
As coordenadas cartesianas e geodésicas podem ser transformadas entre si pelas fórmulas
simples a seguir
X = (N+H).cosϕ.cosλ
Tanλ = Y/X
Y = (N+H).cosϕ.senλ
Tanϕ = (Z+e2N senϕ)/(X2+Y2)
Z = [(1-e2)N +H].senϕ
H = X.secϕ.secλ - N = Y.secϕ.cosecλ -N
Onde
H = altitude elipsoidal
N = a / (1- e2.sen2ϕ)1/2
M = N/ (1- e’2.cos2ϕ)
e2 = f.(2 - f) = (a2 - b2)/ a2
e’2 = e2/ (1- e2)

= raio de curvatura da seção 1a. vertical do elipsóide
= raio de curvatura da seção meridiana do elipsóide
= 1a. excentricidade do elipsóide
= 2a. excentricidade do elipsóide

4.6 - ALGUMAS MEDIDAS NA ESFERA TERRESTRE
Para nossa maior familiarização com as grandezas terrestres, são apresentadas algumas
medidas utilizando o modelo esférico terrestre (modelo simplificado) neste caso a esfera adotada
tem raio igual ao semi-eixo maior do modelo SAD69.
Comprimento de um grau de Latitude (Meridiano)
1° = 2 x 3,141592(π) x 6378160m / 360 = 111320 metros
1’ minuto = 111320m/60 = 1855 metros
21



1’’ segundo = 1852m/60 = 31 metros
Comprimento de um grau de Longitude (Paralelo) é variável conforme a Latitude do lugar
1° = 2 x 3,141592(π) x 6378160 x cos(Lat) / 360 = ?
no Equador o valor de 1° é o mesmo do grau de Latitude 111320 m
na Latitude de 45° = 78715 metros
Distância entre dois pontos A e B no modelo da esfera terrestre
A menor distância entre dois pontos quaisquer, na esfera (modelo simplificado), é sempre
aquela percorrida sobre o círculo máximo que passa pelos dois pontos. Círculos máximos são
todos aqueles que passam pelo centro da esfera. O arco de círculo máximo entre dois pontos é
dado pela fórmula

cosd = (sena.senb) + (cosa.cosb.cosp)
d - arco de círculo máximo entre A e B
a - latitude de A
b - latitude de B
p - diferença de longitude entre A e B
EXEMPLO: encontrar a distância esférica e o azimute geográfico de Belo Horizonte para
Fortaleza. As coordenadas são: Belo Horizonte: ϕ = -19°54’, λ =-43°54’; Fortaleza: ϕ = 3°48’, λ = -38°30’.
4.7 - ORIENTAÇÃO TERRESTRE POR AZIMUTES E RUMOS
AZIMUTE
É a forma mais usada para indicar uma direção geográfica. O azimute é o ângulo formado
entre e a direção Norte (meridiano ou azimute zero) e uma direção terrestre considerada. É
sempre contado no sentido horário e assume valores desde 0° até 360°. O azimute entre dois
pontos no modelo da esfera terrestre (modelo simplificado) é dado por

cosAz = (senb - sena.cosd )/(cosa.send)
RUMO
É uma forma alternativa, menos usada que o azimute, para indicar uma direção
geográfica. Consiste no menor ângulo que uma direção terrestre faz com a linha Norte-Sul
(meridiano). O rumo pode ser contado do Norte ou do Sul (sempre a partir do que estiver
angularmente mais próximo). Nunca passa de 90° e vem obrigatoriamente acompanhado da
identificação do quadrante (NE, NW, SE, SW) onde se encontra. Exemplos. 80°NE, 40°SE, 30°
SW, 10°NW.
A conversão entre Azimutes(Az) e Rumos(R) ou vice versa pode ser feita pelas relações a seguir
Primeiro quadrante (NE)

R = Az

Segundo Quadrante (SE)

R = 180 - Az

Terceiro quadrante (SO)

R = Az - 180

22


Quarto quadrante (NO)


R = 360 – Az

NORTE GEOGRÁFICO, NORTE de QUADRÍCULA e NORTE MAGNÉTICO
Em um lugar qualquer da Terra, o Norte Geográfico é definido pela direção do meridiano
geográfico que aponta para o Polo Norte Verdadeiro da Terra. O Norte Magnético é definido
pela direção da agulha da bússola que aponta para o Polo Norte Magnético da Terra. O Pólo
Norte Magnético descreve um lento movimento, aproximadamente circular e de período secular,
em torno do Polo Norte Geográfico considerado fixo. Existe, portanto, um desvio angular entre o
Norte da Bússola e o Norte Geográfico. A magnitude deste ângulo depende da localização do
observador na Terra. Todas as medidas de azimutes ou rumos feitas com a bússola são
magnéticas, já os azimutes obtidos nas cartas, mapas ou por meio de cálculos geodésicos são
azimutes de quadrícula ou azimutes geográficos. O Norte de Quadrícula é a direção do eixo Y
cartesiano (eixo N) do mapa o qual tem também um pequeno ângulo de desvio da transformada
do meridiano geográfico. Assim, quando se trabalha com mapas e bússolas (caso típico da
navegação) é necessário fazer a conversão entre esses diferentes tipos de azimutes (Magnético,
Geográfico e de Quadrícula). O ângulo de desvio entre o Norte Magnético e o Norte Geográfico
é chamado Declinação Magnética e pode ser obtido por meio de cartas magnéticas ou usando-se
modelos numéricos do campo magnético terrestre. O angulo entre o Norte geográfico e o Norte
de quadrícula é chamado Convergência Meridiana. É importante esclarecer que o Norte
Magnético sofre perturbações de várias naturezas, assim, sua direção não é precisa. As melhores
bússolas fornecem medidas com erro de, pelo menos, meio grau. Portanto, as bússolas só se
prestam para orientações aproximadas. Orientações precisas devem ser tomadas em relação ao
Norte Geográfico usando métodos adequados. A Figura 15 apresenta na forma de gráficos os
conceitos discutidos. Os mapas e cartas trazem um diagrama com os valores numéricos dos
desvios entre os três Nortes (NM, NQ, NV). Para consolidar os conceitos veja demonstração
usando os programas.

Figura 15 – Ilustração dos conceitos de Nortes de referência (NM, NQ, NV), azimutes e rumos.
4.8 - SISTEMA DE COORDENADAS PLANAS CARTESIANAS
O sistema de coordenadas elipsóidicas ou esféricas (latitude e longitude), apesar de ser
muito útil para localizar pontos inequivocamente na superfície elipsóidica da Terra, não é muito
prático para o trabalho com a manipulação dos elementos e medidas de feições cartográficas
projetadas no plano dos mapas. Assim, foram estabelecidos os sistemas de coordenadas planascartesianas associados às projeções cartográficas (assunto a ser visto com detalhes no próximo
tópico). São sistemas puramente cartesianos que têm a origem dos seus eixos coordenados
fixadas em certos paralelos e meridianos terrestres. As coordenadas do sistema são medidas em

23



metros, e não em graus, como no caso das coordenadas esféricas. A coordenada X é denominada
Este (E) e a coordenada Y denominada Norte (N). Este sistema simplifica bastante os cálculos
de comprimentos, direções, declividades, áreas, volumes, etc. usando-se operações de
trigonometria e geometria planas. Cabe, porém, observar que as coordenadas planas estão
estritamente associadas ao sistema de projeção específico do mapa que modifica, em graus
variáveis, as feições reais da Terra. Cada coordenada plana corresponde a uma coordenada
geográfica que foi transformada pelas equações e leis matemáticas do sistema de projeção. Não
tem nenhum sentido falar em coordenada plana cartesiana sem especificar o sistema de projeção
que lhe deu origem.
4.9 - SISTEMA DE PROJEÇÃO CARTOGRÁFICA
Os mapas (impressos ou digitais) são essencialmente representações planas da Terra,
tendo em vista as dificuldades de construir, manipular e arquivar globos terrestres com a mesma
forma da Terra. As projeções cartográficas são, então, uma necessidade absolutamente imperiosa
para viabilizar o mapeamento da Terra devido à impossibilidade de transformar diretamente uma
superfície esferoidal (caso da Terra) em um plano (caso do mapa) sem provocar rupturas,
estiramentos, dobras e outras deformações imprevisíveis, incontroláveis e indesejáveis.
A projeção cartográfica consiste na transformação matemática executada sobre os pontos
de interesse da superfície elipsóidica (curva) da Terra, de forma a representá-los sobre a
superfície plana de um mapa provocando um mínimo de deformações e tendo essas deformações
sob completo controle de acordo com as leis matemáticas utilizadas (Figura 16). Qualquer
deformação ocorrida na feição real é completamente conhecida e pode ser recuperada a qualquer
tempo. Conforme já visto, o modelo matemático teórico da Terra é um elipsóide de revolução
onde os elementos a serem mapeados possuem coordenadas geodésicas esféricas (latitude e
longitude) na superfície do modelo. As superfícies utilizadas para projeção do modelo
elipsóidico podem ser planos, cilindros ou cones. Essas superfícies planificáveis podem ser
secantes ou tangentes à superfície elipsóidica do modelo, dependendo das propriedades que se
deseja conservar ou realçar na transformação dos elementos da Terra para o sistema cartográfico
do mapa.
A forma projetada (plana) da Terra apresenta uma série de vantagens práticas sobre a
forma elipsóidica original. Entretanto, qualquer que seja o tipo de projeção do modelo curvo
sobre um plano provocará alterações nos comprimentos, nas formas, direções ou nas áreas dos
elementos originais. Um sistema que conserve algum destes atributos (por exemplo, distâncias),
forçosamente deformará os demais (áreas, formas e direções) e vice-versa. Deste modo, não
existe um sistema de projeção ideal que não introduza qualquer tipo de deformações. Qualquer
que seja o sistema escolhido será apenas a melhor forma de representação da superfície terrestre
para um determinado objetivo. Entretanto, é muito importante lembrar, que as deformações são
produzidas por transformações e leis matemáticas, portanto são previsíveis, controláveis,
calculáveis e corrigíveis em qualquer situação. Com as facilidades computacionais atuais é muito
simples recuperar os valores corretos dos elementos cartográficos que foram deformados pela
projeção cartográfica.
Existem inúmeras formas de classificação das projeções cartográficas sob diversos
critérios. Um critério muito comum bastante utilizado é a divisão segundo os tópicos abaixo.
1) Quanto às propriedades que conserva:
Eqüidistantes – são aquelas que não apresentam deformações lineares.
Equivalentes – são aquelas que não apresentam deformações de áreas.

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Conformes – são aquelas que não apresentam deformações angulares – muito utilizadas
em navegação e mapeamento de detalhes.
Afiláticas – são aquelas que apresentam todas as deformações anteriores, mas apresentam
alguma outra propriedade de interesse específico.
2) Quanto a natureza da superfície de projeção:
Planas ou Azimutais – quando a superfície de projeção é um plano.
Cilíndricas – quando a superfície de projeção é um cilindro desenvolvível em um plano.
Cônicas – quando a superfície de projeção é um cone desenvolvível em um plano.
3) Quanto ao tipo de contato entre o elipsóide e a superfície de projeção:
Tangentes – quando o cone, cilindro ou plano de projeção apenas toca a superfície
elipsoidal em um ponto ou linha.
Secantes – quando o cone, cilindro ou plano de projeção corta a superfície elipsoidal em
duas linhas.
Polisuperficiais – quando o cone, cilindro ou plano toca a superfície elipsoidal em várias
linhas ou pontos.
4) Quanto à posição da superfície de projeção em relação ao elipsóide terrestre:
Normal – quando o eixo do cone ou cilindro é paralelo ao eixo de rotação da Terra.
Transversa – quando o eixo do cone ou cilindro é perpendicular ao eixo de rotação da
Terra.
Oblíqua – quando o eixo do cone ou cilindro é inclinado em relação ao eixo de rotação da
Terra.
Apesar de obedecerem às classificações acima, as projeções cartográficas são mais
conhecidas pelos nomes das pessoas que as desenvolveram, tais como projeção de Mercator,
projeção Conforme de Gauss, projeção de Robinson, etc.

Figura 16 – Ilustração dos conceitos da projeção cartográfica das posições geográficas dos
objetos e feições da Terra esférica ou elipsoidica no mapa (plano de projeção).
A transformação dos pontos terrestres para o plano de projeção requer o estabelecimento
de sistemas de coordenadas para garantir uma correspondência em ambas as superfícies. As
coordenadas dos elementos da superfície no modelo elipsóidico são expressas em termos de
latitude e longitude geodésicas. As coordenadas na superfície plana de projeção são expressas
em um sistema cartesiano retangular com o eixo X positivo apontando para Este e eixo Y
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positivo apontando para Norte. A relação entre as coordenadas elipsóidicas e as coordenadas no
plano são dadas pela lei matemática da projeção que é característica de cada sistema particular
de projeção (Figura 17).

Figura 17 – Ilustração da Terra com suas feições mapeadas em diferentes projeções
cartográficas. Observe que os mesmos objetos ta Terra se mostram bastantes
diferentes conforme a projeção utilizada na representação.
A PROJEÇÃO UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR - UTM
A projeção cartográfica adotada no Mapeamento Sistemático Brasileiro desde 1955 é o
Sistema Universal Transverso de Mercator (UTM). É uma projeção bastante conhecida,
difundida e utilizada em diversas aplicações no mundo inteiro. A projeção UTM é um caso
particular da Projeção Transversa de Mercator (TM) onde várias características foram
padronizadas por recomendação da União de Geodésia e Geofísica Internacional (UGGI) para
uso no mundo inteiro em mapeamento sistemático (Figura 18). As principais características do
sistema de projeção UTM são:
1) A superfície de projeção é um cilindro com eixo perpendicular ao eixo polar terrestre.
2) É uma projeção conforme, ou seja, mantém sem deformações os ângulos e a forma das
pequenas áreas, porém deforma distâncias lineares e valor das áreas.
3) O cilindro de projeção é secante ao modelo do elipsóide de revolução, em dois meridianos,
ao longo dos quais não ocorrem deformações lineares de escala da projeção (K=1).
4) Os mapas na projeção UTM não possuem uma escala única e constante em relação à
realidade terrestre. As regiões entre os meridianos de secância sofrem reduções de escala
(K<1), enquanto as regiões fora dos meridianos de secância apresentam escalas ampliadas
(K>1). Isso permite que as distorções de escala sejam distribuídas ao longo do fuso de 6° de
amplitude.

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5) O elipsóide terrestre é dividido em 60 fusos parciais, cada um abrangendo 6° de amplitude e
numerados de 1 até 60. A contagem numérica dos fusos (1) começa no antimeridiano de
Greenwich (Longitude =180°) crescendo para Leste até 60, vizinho do 1. O número de um
fuso qualquer pode ser encontrado pela relação F= (183°-Longitude)/6. Assim, o fuso 1 vai
de 180°W a 174°W, o Fuso 60 de 174°E a 180°E, o fuso de Belo Horizonte
(Longitude = 44°W) é o de número 23, os fusos vizinhos a Greenwich (Longitude=0°) são o
30 do lado W e o 31 do lado E.
6) Todos os fusos parciais possuem as mesmas características matemáticas e projetivas. O
coeficiente de redução máxima de escala UTM ocorre ao longo do meridiano central de cada
fuso (MC) e tem o valor constante K0 = 0.9996, ou seja, 1 m de redução para cada 2500 m.
As longitudes dos Meridianos Centrais dos fusos (MC) são múltiplas de 6° mais 3°. Podem
ser encontrados pela relação MC = 6° x N + 3°, (N é um número inteiro entre 0 e ± 29). Se
for dado o número do Fuso, então MC = 183°- 6 x Fuso
7) O Equador (eixo X origem) é representado por uma linha reta horizontal, o Meridiano
Central (eixo Y origem) representado por uma linha reta vertical, os paralelos são
transformados para curvas de concavidades voltadas para os pólos e os meridianos para
curvas de concavidades voltadas para o MC.
8) As coordenadas planas UTM são designadas inequivocamente pelas letras E e N, acrescidas
do Fuso e do Hemisfério (S ou N). A origem do sistema cartesiano de coordenadas é formada
pelo meridiano central do fuso (eixo Y) cujo valor é E=500.000,00 metros (Falso Este), e
pelo Equador (eixo X) que tem valor N=0,00 metros, para coordenadas no hemisfério Norte
e N=10.000.000,00 metros (Falso Norte), para coordenadas no hemisfério sul. As constantes
E=500.000 m para o MC e N=10.000.000 m para o Equador, chamadas, respectivamente, de
Falso Este e Falso Norte e têm objetivo de evitar o uso de coordenadas negativas (Figura 19)
9) O Coeficiente de Deformação Linear de Escala (K) em um ponto qualquer do fuso UTM de
6° varia com o afastamento do meridiano central e é dado de forma aproximada por
K=K0(1+(E-500.000)2 / (2R2)), onde E é a coordenada Este UTM do ponto e R o raio médio
da curvatura da Terra no ponto considerado. As maiores ampliações ocorrem nos extremos
do fuso onde K é da ordem de 1,0010, ou seja, 1 m de ampliação para cada 1000 m.
10) A Convergência Meridiana (δ) em um ponto qualquer do fuso UTM de 6° é dada
aproximadamente por δ = (λ-λMC).Sen.ϕ. Onde λ e λMC são as longitudes do ponto e do MC,
respectivamente e ϕ é a latitude do ponto. A convergência meridiana é usada para
transformar azimute plano em azimute verdadeiro ou geográfico.

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Figura 18 – Visão geral de alguns aspectos principais do Sistema UTM.
11) O sistema costuma ser, também, dividido em faixas de 8° de latitudes designadas pelas letras
do alfabeto (exceto as letras I e O). A contagem das faixas começa em 80° Sul com a letra C
(80°S a 72°S) e cresce para Norte até a letra X. Assim coordenadas na faixa de 16°Sul a
24°Sul dentro da zona de MC=45° são precedidas por 23K (por exemplo. UTM 23K 608600;
7802650 – SAD69 são as coordenadas do PCA-UFMG). A primeira faixa acima do Equador,
0°N a 8°N, corresponde à letra N. Este sistema é muito usado pelos equipamentos GPS de
navegação.
12) A projeção UTM quando comparada a outras projeções apresenta deformações pequenas em
todos os aspectos.

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Figura 19 – No alto, o sistema de coordenadas planas de um Fuso UTM qualquer, o qual é igual
para todos os demais 60 fusos. Em baixo, os oito Fusos UTM que cobrem o Brasil.

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PROJEÇÕES TRANSVERSAS DE MERCATOR – TM
As projeções Transversas de Mercator utilizam as mesmas fórmulas matemáticas da
projeção UTM, mudando apenas os parâmetros de Largura de Fuso em longitude, Meridiano
Central, Coeficiente K0 da escala no MC, Falso Norte e Falso Este. Estas projeções são
adequadas para mapeamentos locais e específicos que requerem deformações pequenas, onde a
deformação do sistema UTM não é aceitável. Assim, podem-se reduzir as amplitudes dos fusos e
as deformações de escala (K) de forma a aproximar a projeção cartográfica de uma projeção
local no plano topográfico que não tem deformações. São empregadas para obras de engenharia,
cadastros e mapeamentos urbanos de escalas grandes. Os sistemas TM mais conhecidos são:
Sistema LTM – fusos de 1° de amplitude em longitude com Meridianos Centrais coincidentes
com as longitudes de 30’, coeficiente de deformação no MC, K0 = 0.999995, a origem dos eixos
de coordenadas do sistema no cruzamento do Equador com o Meridiano Central, acrescidos do
Falso Norte de 5.000.000,00 para o Hemisfério Sul e Falso Este de 200.000,00.
Sistema Gauss-Kruger – fusos de 3° de amplitude em longitude com Meridianos Centrais
múltiplos de 3°, coeficiente de deformação no MC, K0 = 1.0000, a origem dos eixos de
coordenadas do sistema no cruzamento do Equador com o Meridiano Central, acrescidos do
Falso Norte de 5.000.000,00 para o Hemisfério Sul e Falso Este de 200.000,00
Sistema RTM (SPCS) – fusos de 2° de amplitude em longitude com Meridianos Centrais em
longitudes ímpares, coeficiente de deformação no MC, K0 = 0.999995, a origem dos eixos de
Sistema Gauss-Tardi – fusos de 6° de amplitude em longitude com Meridianos Centrais
múltiplos de 6°, coeficiente de deformação no MC, K0 = 0.999333, a origem dos eixos de
TRANSFORMAÇÃO DE PROJEÇÕES CARTOGRÁFICAS
Existe um número muito grande de sistemas de projeções com diferentes propriedades e
características diversas para atender a diferentes propósitos. A maioria dos softwares de
Geoprocessamento incorpora funções e facilidades para conversão entre as projeções mais
conhecidas e utilizadas no mundo. Para consolidar os conceitos veja demonstração usando os
programas.
4.10 - SISTEMA TOPOGRÁFICO LOCAL
O plano topográfico local de projeção é largamente utilizado em trabalhos de engenharia,
arquitetura, agrimensura, cadastros e obras civis. Sempre que não for conveniente ou não for
permitido introduzir quaisquer deformações adicionais (inerentes às projeções cartográficas) nas
feições do terreno, o uso do sistema local será necessário ou recomendável. A maior
desvantagem de usar o plano de projeção local é a falta de um georeferenciamento padronizado
que, inevitavelmente, irá gerar incompatibilidades entre os diversos trabalhos independentes.
Quando se usam instrumentos de medidas de campo como os teodolitos, as estações
topográficas eletrônicas, as trenas, os medidores a laser, etc. essas medições estão sendo tomadas
na superfície topográfica. Se as informações se destinam a compor um sistema local, serão
simplesmente projetadas ortogonalmente no plano topográfico local usando as fórmulas simples
30



da geometria e da trigonometria planas. Entretanto, se vão compor um sistema cartográfico ou
um SIG precisam ser, necessariamente, projetadas na superfície do elipsóide segundo as normais
e convertidas para a superfície da projeção cartográfica usando as fórmulas geodésicas
apropriadas e as leis da projeção. A convivência entre sistemas locais e sistemas cartográficos é
muitas vezes necessária, portanto é conveniente dispor de conhecimentos e instrumentos para
conversão entre eles. Os tópicos a seguir apresentam alguns dos principais conceitos de
medições locais.
O PLANO TOPOGRÁFICO é o plano horizontal tangente à superfície de nível no local do
trabalho de levantamento (Figura 20). Por definição é perpendicular à linha que representa a
vertical do lugar (fio de prumo). Sobre o plano topográfico são projetadas ortogonalmente todas
as medidas e feições do terreno de interesse do levantamento topográfico para fins de construção
da planta. Isso faz com que os mapeamentos em diferentes locais sejam independentes e
limitados a pequenas extensões. As diferenças em altimetria são mais sensíveis do que em
planimetria, pois em uma extensão de 20 quilômetros o abaixamento da Terra devido à curvatura
chega a atingir 30 metros, enquanto a diferença do arco elipsóidico para a corda (linha reta
horizontal) é de apenas 7 cm. Por isso a altimetria deve ser sempre corrigida da curvatura para
distâncias maiores que 1000 metros, onde o abaixamento já atinge cerca de 7 cm. As variações
não são lineares, estão relacionadas aos quadrados das distâncias. O abaixamento total devido à
curvatura da Terra e à refração atmosférica (ambos tem efeitos contrários) é dado,
aproximadamente em metros, por 675 x 10-10 D2. Onde D é a distância entre os pontos em metros.

Figura 20 – Ilustração do Plano topográfico local onde são projetadas ortogonalmente todas as
feições geográficas para fins de representação em planta. Fonte: Erba et al. (2003)
CÁLCULO DE COORDENADAS PLANAS LOCAIS
É recomendável que os trabalhos topográficos em coordenadas locais tenham sua origem local
em um ponto de coordenadas geodésicas ou cartográficas conhecidas (sistemas UTM, LTM,
RTM, etc.) e que a referência de azimutes seja o Norte Geográfico ou Verdadeiro. Com isso o
sistema local fica muito próximo do sistema cartográfico. Quando essa prática não for viável,
será conveniente que a definição da origem dos eixos coordenados fique situada sempre abaixo
(Sul) e a esquerda (Oeste) dos limites da área de interesse do levantamento para evitar valores
negativos de coordenadas. O transporte de coordenadas a partir da origem (Ponto1) para os
novos pontos a determinar (Ponto2) é dado pelas fórmulas da geometria e trigonometria planas
X2 = X1 + dh12 sen Az12
Y2 = Y1 + dh12 cos Az12
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Onde, X1,Y1,X2,Y2, dh12, Az12 são, respectivamente, coordenadas do Ponto1 (origem),
coordenadas do Ponto2 (a determinar), distância plana horizontal do ponto 1 para o ponto 2,
azimute verdadeiro do ponto 1 para o ponto 2.
Considerando a correção aproximada da curvatura da Terra e da refração atmosférica, o
transporte de altitude a partir da origem (Ponto1) para os novos pontos (2) é dado pela fórmula
H2 = H1 + Di Cos Z + Ai - Ao + 675 x 10-10 Di2m
Onde, H1, Di, Z, Ai e Ao são, respectivamente, altitude do Ponto1, distância inclinada do ponto 1
para o ponto 2, ângulo vertical zenital do ponto 1 para o ponto 2, altura da luneta do teodolito a
partir do chão no ponto 1, altura do sinal visado a partir do chão no ponto 2.
A Figura 21 ilustra os conceitos geométricos fundamentais de transporte de coordenadas planas
retangulares locais, distância inclinada, distância plana projetada no plano topográfico e
distância vertical (diferença de nível entre pontos topográficos).

Figura 21 – Transporte de coordenadas planas retangulares no plano topográfico local, cálculo
da distância plana horizontal (Dh) e da distância vertical (Dv) (diferença de nível
entre pontos) em função a distância inclinada (Di).
4.11 – OPERAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES COM PONTOS E COORDENADAS
Neste tópico são relacionadas algumas das principais operações matemáticas e geodésicas com
coordenadas e sistemas cartográficos. A formulação matemática geodésica rigorosa é bastante
extensa e foge ao escopo deste material introdutório, portanto descrevem-se apenas os passos
gerais das operações principais. Porém, para o leitor interessado a formulação matemática e
geodésica completa está detalhada em várias referências do final do texto (IBGE, 1995; Rocha,
2000). Para as demonstrações práticas no curso utilizaremos programas que já possuem todas as
ferramentas implementadas.
TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS PLANAS UTM EM PLANAS LOCAIS
O método rigoroso para esta operação envolve o cálculo da distância topográfica e do azimute
geodésico partindo do ponto de origem das coordenadas locais para cada ponto a transformar. A
linha geodésica que liga dois pontos é uma curva reversa no elipsóide. No plano de projeção
UTM essa linha é uma curva de concavidade sempre voltada para o MC. Isso implica em um
pequeno ângulo entre a transformada da geodésica e a corda representada pela distância UTM,
chamado de Redução Angular.
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Se a área a transformar é pequena, a Redução Angular é praticamente desprezível, então a
conversão de sistemas de coordenadas planas pode ser feita aplicando-se duas translações (eixo
X e eixo Y), uma rotação comum para os dois eixos e um coeficiente médio de escala. Escolhese um ponto para origem no qual se mantém o valor numérico das coordenadas UTM igual ao
das coordenadas topográficas locais (não há translações). A rotação aplicada em torno deste
ponto origem é de um ângulo igual à convergência meridiana com o sinal invertido e o
coeficiente de escala multiplicativo é o inverso do coeficiente UTM neste ponto origem, ou seja,
1/K. Para consolidar os conceitos veja demonstração usando os programas.
TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS PLANAS LOCAIS EM PLANAS UTM
No caso de conversão de coordenadas planas do sistema topográfico local para o sistema UTM, é
necessário ter as coordenadas UTM do ponto topográfico escolhido para origem. O método
rigoroso para esta operação envolve o cálculo da distância plana UTM e do azimute de
quadrícula partindo do ponto de origem das coordenadas locais para cada ponto a transformar.
Se a área a transformar é pequena, a Redução Angular torna-se desprezível, então a conversão é
feita aplicando-se duas translações (nos eixos X e Y correspondentes às diferenças XUTM XTOPOGRAFICO e YUTM - YTOPOGRAFICO). A rotação em torno da origem é igual ao próprio ângulo
da convergência meridiana e o coeficiente de escala multiplicativo é o próprio K do sistema
UTM neste ponto origem (ver demonstração usando software).
TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS PLANAS UTM EM GEODÉSICAS -ver software
TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS GEODÉSICAS EM PLANAS UTM -ver software
TRANSFORMAÇÃO DE DISTÂNCIAS GEODÉSICAS EM DISTÂNCIAS PLANAS UTM
TRANSFORMAÇÃO DE DISTÂNCIAS PLANAS UTM EM DISTÂNCIAS GEODÉSICAS
TRANSFORMAÇÃO DE AZIMUTES PLANOS UTM EM GEODÉSICOS - ver no software
TRANSPORTE DE COORDENADAS PLANAS UTM - ver demonstração no software
TRANSPORTE DE COORDENADAS GEODÉSICAS - ver demonstração no software
TRANSFORMAÇÃO DE DATUM GEODÉSICO - ver demonstração no software
CÁLCULO DA DISTÂNCIA E DO AZIMUTE GEODÉSICO ENTRE DOIS PONTOS
CÁLCULO DA DISTÂNCIA E DO AZIMUTE PLANO UTM ENTRE DOIS PONTOS
A PROJEÇÃO CÔNICA CONFORME DE LAMBERT
Outro sistema muito usado em cartografia é a projeção Cônica Conforme de Lambert. Tal
como a projeção UTM, também apresenta deformações muito pequenas, porém não é
padronizada para o globo inteiro. Cada país estabelece características especificas para seu
território. Suas principais propriedades são:
1. Projeção cônica com dois paralelos secantes ao elipsóide, geralmente escolhidos a 1/6 dos
extremos da área a ser mapeada, com objetivo de distribuir melhor as distorções de escala em
ampliações e reduções.

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2. O eixo do cone de projeção é coincidente com o eixo de rotação do elipsóide terrestre, os
meridianos são representados por linhas retas que convergem para o vértice do cone e os
paralelos são círculos concêntricos, tendo como o centro o vértice do cone.
3. Não existem distorções ao longo dos paralelos de secância (K=1). As regiões entre os
paralelos de secância sofrem reduções de escala (K<1), enquanto as áreas fora dos paralelos
de secância apresentam escalas ampliadas (K>1). Desta forma permite-se que as distorções
de escala sejam distribuídas ao longo da área a ser mapeada.
4. Como as deformações dependem somente da latitude, a projeção de Lambert é especialmente
apropriada para áreas que se estendem na direção Este-Oeste (Richardus e Adler, 1972).
5. A origem do sistema cartesiano de coordenadas Lambert não e padronizado para o mundo
todo como no caso do UTM. Escolhe se um meridiano (geralmente no centro da área) e um
paralelo de origem para as coordenadas e atribuem-se os valores de Falso Este e Falso Norte
suficientemente grandes para evitar coordenadas negativas.
Um sistema da projeção de Lambert adequado para o estado de Minas Gerais que é mais
amplo em longitude do que em latitude pode ter as seguintes características: origem no Equador
e Meridiano de 45° W com FE=5.000.000 m, FN=10.000.000 m, Paralelos padrões -15°30’ e 21°30’ (Figura 22)

Figura 22 – Visão geral do Sistema da projeção cônica conforme de Lambert. Abaixo, um
esquema adequado para uso no estado de Minas Gerais (mais amplo em longitude).

TRANSFORMAÇÃO DE PROJEÇÕES
Existe um número muito grande de sistemas de projeções com diferentes propriedades e
características para atender a diferentes propósitos. A maioria dos Softwares de
34



Geoprocessamento traz funções e facilidades para conversão entre as projeções mais conhecidas
e utilizadas no mundo. Para consolidar os conceitos veja demonstração usando os programas.

5 - SISTEMA GEODÉSICO BRASILEIRO
O Decreto Lei 242 de 28/02/1967 estabelece um sistema plano-altimétrico único
representado por uma malha de pontos geodésicos materializados no terreno o qual constitui o
referencial padrão oficial para georeferenciamento de trabalhos cartográficos, adensamento de
novas redes de pontos de coordenadas geodésicas (latitude e longitude e altitude) e
georeferenciamento de dados em todo o território nacional. Este referencial, chamado de Sistema
Geodésico Brasileiro (SGB), constitui a infra-estrutura fundamental a partir da qual todos os
novos posicionamentos serão efetuados e serve para dar suporte aos trabalhos de natureza
cartográfica, geodésica ou de navegação. O SGB é constituído por duas redes geodésicas
fisicamente independentes (a rede Planimétrica e rede Altimétrica).
A REDE GEODÉSICA HORIZONTAL OU PLANIMÉTRICA
Essa rede é constituída por pontos com latitude e longitude de alta precisão e que formam
o referencial planimétrico (Figura 23). Até 25/02/2005 o datum Datum Horizontal era o South
American Datum de 1969 (SAD69). Este datum utiliza o Elipsóide Internacional de 1967,
definido pela Associação Geodésica Internacional ocorrida em Lucerne, no ano de 1967, cujos
parâmetros são: a = 6.378.160,00m e f = 1/298,25. O datum SAD69 foi escolhido para permitir a
melhor aproximação entre o geóide e o elipsóide para a América do Sul é um datum topocêntrico
que tem como Ponto Geodésico de Origem o vértice geodésico CHUÁ da cadeia de triangulação
do paralelo 20° Sul, cujas coordenadas são: Lat = 19°45’41,6527”S, Lon = 48°06’04,0639”W e
Ondulação Geoidal N=0,0 m. A partir de 25/02/2005, com base na R.PR-IBGE-1/2005, passou a
vigorar o SIRGAS 2000 como datum de referência. Os pontos da rede planimétrica são
monumentados no terreno em locais elevados e de boa visibilidade, possuem a inscrição
“Protegido por Lei”, a identificação do ponto e nome do órgão que implantou. Grande parte dos
pontos foi implantada pelo método geodésico de Triangulação, por isso recebem também o nome
de Vértices de Triangulação. Os pontos têm Latitude e Longitude de precisão e possuem também
altitude, porém determinada por nivelamento trigonométrico (de menor precisão). Essa rede é
conhecida como Rede Clássica. Com o advento das medições geodésicas com GPS que fornece
precisão 10 vezes melhor que os métodos clássicos os pontos estão sendo reocupados para
determinação de novas coordenadas mais precisas. Atualmente a estrutura geodésica de melhor

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precisão do SGB é Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo (RBMC) determinada por
medições conjuntas de satélites do sistema GPS, radioastronomia, e outras de altíssima precisão.

Figura 23 – Ilustração da malha de pontos da rede geodésica planimétrica clássica.
REDE DE GEODÉSICA DE NIVELAMENTO DE PRECISÃO OU ALTIMÉTRICA
Essa rede é constituída de pontos com altitudes ortométricas (relativas ao geóide) de alta
precisão, determinadas pelo método de nivelamento geométrico (geralmente não possuem
latitude e longitude) e que formam o referencial altimétrico para trabalhos de natureza
cartográfica e geodésica, tendo como Datum Vertical o nível médio do mar (geoide) definido
pelo Marégrafo da Baia de Imbituba em Santa Catarina. Os pontos estão localizados ao longo
das estradas principais, estações ferroviárias, igrejas antigas, sedes de prefeituras, etc. Locais de
fácil acesso e difícil destruição.
SITUAÇÃO DA MALHA FÍSICA DO SISTEMA GEODÉSICO BRASILEIRO
A maior parte da malha física de pontos do Sistema Geodésico Brasileiro (SGB) foi
implantada ao longo de vários anos usando-se os métodos geodésicos clássicos de triangulação,
poligonação e trilateração, ao longo de paralelos e meridianos espaçados de 2° em 2°. A partir da
implantação do Sistema GPS estes métodos clássicos foram substituídos pelo método de
posicionamento GPS diferencial ou relativo que fornece precisão muito melhor e a custos mais
baixos. A partir de 1991 vários Estados brasileiros e algumas concessionárias de serviços
públicos começaram a implantar redes GPS independentes que formam o que se chama de Rede
Nacional GPS. Atualmente o IBGE que é o órgão gestor do Sistema Geodésico Brasileiro está
disponibilizando a Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo (RBMC) que é uma rede ativa
formada por várias estações GPS espalhadas pelo Brasil (Figura 24) e com o número de estações
sendo expandidas a cada ano. As estações coletam dados continuamente, 24 horas por dia em
duas freqüências (L1 e L2). As estações estão instaladas em pontos geodésicos de altíssima
precisão (integrantes da implantação e materialização do SIRGAS 2000) e dispensam o usuário
da onerosa ocupação de pontos geodésicos da malha física convencional do SGB. Bastará ao
usuário dispor de apenas um receptor GPS apropriado para coletar seus próprios dados. O
usuário usará os dados coletados pelo IBGE na estação RBMC mais próxima para fazer o pós36



processamento diferencial e obter suas posições precisas amarradas ao Sistema Geodésico
Brasileiro. Os dados RBMC são disponibilizados gratuitamente, em formato RINEX, com
intervalo de observação de 15 segundos na internet, site: http://www.ibge.gov.br. Para o usuário
interessado em trabalhos locais de menor alcance existe a Rede Incra de Bases Comunitárias
(RIBAC) que fornece dados coletados em uma só freqüência (L1) via internet, site:
http://www.incra.gov.br. Existem, ainda, disponíveis diversas redes privadas de base ativas GPS
das quais que o usuário poderá obter maiores informações nos sites das empresas, por exemplo:
http://www.santiagoecintra.com.br ; http://www.sightgps.com.br http://www.trimbase.com.br ;
http://www.manfra.com.br

Figura 24 – Ilustração da Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo (RBMC), formada por
estações GPS espalhadas pelo Brasil e coletando dados 24 horas por dia em L1 e L2.

6 - O SISTEMA CARTOGRÁFICO NACIONAL
Chamamos de Sistema Cartográfico Nacional (SCN) ou Mapeamento Sistemático
Brasileiro a estrutura de mapas topográficos nas escalas padronizadas de 1:25.000, 1:50.000,
1:100.000, 1:250.000, 1:500.000 e 1:1.000.000, obtidos pelo método aerofotogramétrico,
segundo uma articulação sistemática padronizada formando uma grande série cartográfica
(Figura 25).
Os mapas sistemáticos até a escala de 1:25.000, são considerados como um pré requisito
para o desenvolvimento do país, e é uma tarefa considerada, por consenso geral, como obrigação
de Governo provê-los e mantê-los atualizados para uso da comunidade em geral. No Brasil os
principais órgãos executores de mapeamento sistemático são o Instituto Brasileiro de Geografia
e Estatística – IBGE e a Diretoria do Serviço Geográfico do Exercito – DSG. As escalas e a

37



articulação das folhas oficiais do mapeamento sistemático nacional obedecem ao esquema
mostrado abaixo.
Escala

Subdivisão

1:1.000.000

Amplitude
6º X 4º

4 FOLHAS
1:500.000

3º X 2º
4 FOLHAS

1:250.000

1,5º X 1º
6 FOLHAS

1:100.000

30’ X 30’

|
|
|
|
|
|
|
|
|

Escala

Subdivisão

1:100.000

Amplitude
30’ X 30’

4 FOLHAS
1:50.000

15’ X 15’
4 FOLHAS

1:25.000

7,5’ X 7,5’

Figura 25 – Ilustração da estrutura de mapa do Sistema Cartográfico Nacional (SCN).
SITUAÇÃO ATUAL DA COBERTURA CARTOGRÁFICA DO SCN
A atual cobertura nacional de mapas oficiais do SCN não é adequada e deixa muito a
desejar em vários aspectos. Toda a extensão territorial do país já deveria ter a cobertura
completa, pelo menos em escala 1:100.000, atualizada de 10 em 10 anos. Grande parte do país
não tem esta cobertura cartográfica e onde existe há mapas com mais de 30 anos sem qualquer
atualização. A cobertura de 1:50.000 que deveria mapear as regiões de crescimento urbano com
os aspectos econômicos e sociais em expansão é muito escassa e bastante desatualizada. A
38



cobertura de 1:25.000 que deveria mapear as regiões densamente urbanizadas e com
desenvolvimento econômico e social em aceleração também é quase inexistente e bastante
desatualizada. Os Estados Unidos dispõem de cobertura completa de mapas topográficos digitais
do seu território inteiro em escala 1:25.000 e de Modelos Digitais de Terrenos gerados a partir
desses mapas.
DISTINÇÃO ENTRE MAPA, CARTA e PLANTA
Os termos carta e mapa têm tudo em comum e freqüentemente são usados como
sinônimos. No Brasil, porem, há uma ligeira tendência em utilizar a terminologia cartográfica de
acordo com a classificação abaixo.
Mapa - É considerado um documento cartográfico simples e diagramático, geralmente
representando uma ampla porção da superfície terrestre em escalas pequenas.
Carta - É um documento cartográfico mais complexo, ou mais detalhado e de caráter geográfico
mais científico, apresentando maior precisão e confiabilidade e com articulação sistemática.
Planta – É um documento em escalas grandes, representando áreas de pequenas dimensões que
requerem medidas de maior precisão e onde geralmente não se considera a curvatura da Terra.
Cartas Topográficas - São cartas que contêm informações básicas do terreno em planimetria e
altimetria, servindo de suporte para elaboração de outras cartas e mapas mais específicos. São
também chamados Mapas Topográficos. O método mais comum de elaboração de mapas ou
cartas topográficas é por meio do levantamento aerofotogramétrico.
Cartas Temáticas - Cartas que abordam temas específicos e inventários de recursos da Terra,
geralmente elaboradas sobre um fundo de informação geográfica obtidas a partir da compilação
de informações básicas extraídas das cartas topográficas e complementadas com as informações
temáticas de interesse específico. São também chamados Mapas Temáticos.
7 - ETAPAS DA PRODUÇÃO DE MAPAS TOPOGRÁFICOS
Apesar do surgimento de novas tecnologias de mapeamento e cartografia, os mapas topográficos
ainda são, na maioria, elaborados pelo Método Aerofotogramétrico, o qual consiste em utilizar
um avião equipado com uma câmara métrica que toma fotografias seqüenciais parcialmente
sobrepostas, em faixas paralelas, recobrindo toda a área a mapear (Figura 26). O processo pode
ser resumido nas seguintes etapas.

39



Figura 26 – Ilustração do Método Aerofotogramétrico para construção de mapas.
Planejamento e execução do vôo
É a etapa que consiste em definir com antecedência vários elementos importantes para a
execução do vôo, tais como a aeronave, a distância focal da câmara aérea, a altura de vôo, a
superposição longitudinal e lateral das fotos, o número de fotos por faixa, o número de faixas do
vôo, o total de fotos, a quantidade de filmes. Após a elaboração do plano de vôo com todo seu
detalhamento segue-se a sua execução de acordo com o planejado.
Trabalhos de laboratório
Essa etapa consiste na revelação dos filmes, produção das fotos em papel e diapositivos
(transparências) para serem utilizadas nas fases de restituição e reambulação. Recentemente já
estão disponíveis câmaras digitais que dispensam completamente essa etapa.
Levantamento dos pontos de apoio terrestre para a restituição
A orientação absoluta dos modelos estereoscópicos requer um georeferenciamento
tridimensional preciso para correlacionar adequadamente o modelo fotogramétrico
tridimensional com o terreno. Assim, esta etapa consiste na medição em campo, por meio de
levantamento topográfico/geodésico, das coordenadas UTM e altitudes de um conjunto de
pontos, que sejam bem identificáveis tanto nas fotografias como no terreno, chamados pontos de
controle que servirão para ajustar as coordenadas, escala e altitudes dos modelos fotogramétricos
com a precisão necessária.
Aerotriangulação fotogramétrica
O trabalho de campo da fase anterior representa um dos custos mais elevados do projeto de
mapeamento fotogramétrico. Assim, a finalidade desta fase é aumentar o conjunto de pontos de
controle da fase anterior, sem a necessidade de trabalho de campo, visando economia de custos.
O trabalho consiste em uma metodologia para determinar as coordenadas UTM de um grande
conjunto de pontos cujas coordenadas são medidas apenas nas fotografias utilizando aparelhos
fotogramétricos de escritório. Os pontos são submetidos a ajustamentos por métodos estatísticos.

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Reambulação das fotografias
Essa etapa consiste na coleta de dados e informações relativos à toponímia, hidrografia,
orografia, divisões políticas e tudo mais que não pode ser obtido diretamente das fotografias. A
equipe de campo leva um conjunto de fotografias e vai anotando nas próprias fotos as
informações importantes que devem constar no mapa.
Restituição fotogramétrica
Essa etapa consiste na construção do mapa a partir dos diapositivos fotográficos ou imagens
rasterizadas montados em pares estereoscópicos, ajustados e georeferenciados
tridimensiomalmente por meio dos pontos de controle, formando os modelos estereoscópicos. Os
modelos estereoscópicos são uma réplica do terreno em escala reduzida de onde podem ser
extraídas quaisquer medidas. Ou seja, essa etapa consiste na transformação da projeção cônica
das fotografias aéreas em projeção ortogonal executada em aparelhos otico-mecânicos de
precisão chamados restituidores fotogramétricos ou em restituidores digitais baseados em
computadores que dispensam os dispositivos otico-mecânicos, melhoram a precisão e a
aumentam produtividade. Atualmente o processo é feito em estações fotogramétricas digitais de
alta qualidade e produtividade, onde os produtos principais são as ortofotos digitais, os arquivos
vetoriais de restituição e Modelos Digitais de Terrenos.
Trabalhos de edição e produção de originais cartográficos
São trabalhos destinados consertar erros e fazer acertos gerais para produzir quatro pranchas
finais de filmes fotográficos (fotolitos) correspondentes às cores de impressão ciano, magenta,
amarelo e preto para produzir cartas impressas coloridas. Modernamente esta etapa tem sido
completamente elaborada por meio de computadores utilizando softwares de editoração
eletrônica de forma muito mais simplificada, aprimorada e eficiente. Como atualmente o
interesse maior é pelos produtos digitais para processamento em sistemas SIG, esta etapa caiu
em desuso

8 - INTERPRETAÇÃO DE CARTAS E MAPAS TOPOGRÁFICOS
Uma carta topográfica, seja ela impressa ou no formato digital, representa uma porção em
escala reduzida e já interpretada do terreno de onde podem ser facilmente extraídas importantes
e valiosas informações para aplicações em Geoprocessamento e SIG.
INFORMAÇÕES MARGINAIS
Nas cartas impressas, as informações contidas nas margens trazem dados importantes que
dizem respeito ao uso da própria carta. As principais informações marginais são: Identificação da
carta, índice de nomenclatura padrão, escala numérica e escala gráfica, eqüidistância das curvas
de níveis, datum horizontal e datum vertical, índice de folhas adjacentes, meridiano central do
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fuso UTM, declinação magnética, variação anual da declinação magnética e convergência
meridiana do centro da folha.
O Quadro de Convenções Cartográficas é um conjunto de símbolos padronizados
utilizados para representar diferentes elementos do terreno. Os símbolos e convenções realçam
elementos importantes do terreno e auxiliam bastante na leitura e interpretação da carta.
ESCALA
Em cartografia a escala é a relação existente entre a representação gráfica de um objeto na carta
(d) e sua dimensão real no terreno (D).
E = d/D
A escala em cartografia é sempre dada na forma de uma fração (1:250000, 1:50000, 1:1000) e a
escolha da escala de uma carta, mapa ou planta geralmente obedece a 3 preceitos básicos:
1. Minúcia de detalhes desejada. uma casa, por exemplo, pode ser desenhada apenas como um
símbolo (carta de escala pequena) ou com jardins e outros detalhes (planta de escala grande).
2. Espaço disponível ou conveniente no papel. Formatos A0, A1, A2, A3, A4 etc.
3. Limitação gráfica de 0.2 mm (chamado erro gráfico), considerado como o limite da acuidade
visual humana. Assim, nenhum elemento poderá ser representado em escala com menos de
0.2 mm.
Exercícios básicos de escala
1. Ache uma escala apropriada para desenhar a planta de um lote retangular medindo 200,00
por 300,00 metros no papel formato A4, A3 e A2.
2. Ache uma escala apropriada para desenhar a planta de uma quadra urbana onde se deseja
representar todos os detalhes do terreno que sejam maiores que 1 metro.
3. Ache a escala de uma carta onde os objetos do terreno com 500 m de comprimento devam
medir 2,5 mm na planta
Escala Gráfica
É uma régua impressa no rodapé do mapa e na mesma escala da carta que garante a facilidade de
obter medidas sem uso de régua de plástico ou escalímetro. A escala gráfica tem a vantagem de
continuar valendo mesmo quando ocorre redução ou ampliação da planta original ou até mesmo
deformação do papel.
REPRESENTAÇÃO DO RELEVO
Nas cartas e mapas topográficos o relevo é representado por meio de curvas de níveis e pontos
cotados (Figura 27) com suas altitudes referidas ao nível médio do mar (datum vertical)
Ponto Cotado - é a projeção ortogonal de um ponto do terreno no plano da carta com a indicação
da sua altitude. São usados em pontos notáveis do terreno tais como topos de morros, fundos de
vales, gargantas, pontos geodésicos e referências de níveis.
Curvas de Nível – são isolinhas de altitude, ou seja, linhas que representam todos os pontos do
terreno de mesma altitude. As Curvas de níveis constituem a forma mais utilizada para
representação do relevo nas cartas, mapas e plantas topográficas.
Eqüidistância Vertical - é a separação vertical entre curvas de níveis consecutivas. A
eqüidistância vertical (Eq) está associada a escala da carta (Esc), por exemplo: Esc:1:250.000
Eq:100 m; Esc:1:100.000
Eq:50 m; Esc:1:50.000
Eq:20 m; Esc:1:25.000
Eq:10 m;
Esc:1:2.000 Eq:1 m.

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Curvas Mestras - são as curvas de níveis mais grossas e numeradas com o valor da altitude que
ocorrem a cada cinco curvas. A quinta curva é sempre uma curva mestra nas cartas e mapas
topográficos. Geralmente somente as mestras são numeradas para evitar congestionamento de
números.

Figura 27 – Ilustração dos conceitos de pontos cotados, curvas de níveis e eqüidistância vertical
das curvas de níveis.
Características Básicas das Curvas de Níveis
1) Quanto maior a inclinação do terreno mais próximas umas das outras se apresentam as
curvas de níveis e quanto menor a inclinação do terreno mais afastadas ficam essas
curvas.
2) O espaçamento entre as curvas de níveis é constante nas encostas de inclinação uniforme.
3) As curvas de níveis são perpendiculares à linha de maior declividade do terreno. A linha
de maior declive é o caminho do escoamento das águas.

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4) As curvas de níveis nunca se cruzam nem se juntam com suas vizinhas, exceto em
superfícies verticais que são muito raras na natureza.
5) As curvas de níveis sempre se fecham, dentro ou fora das bordas da carta ou da planta.
6) As curvas de níveis formam um bico acentuado “V” apontando para a descida da encosta
nas cristas e linhas de cumeadas (divisores de água), formam um bico característico “V”
apontando para a subida da encosta nos vales, córregos e ravinas (recolhedores de águas)
e formam um M nas confluências de dois rios e córregos.
A Figura 28 ilustra várias dessas características.

Figura 28 – Ilustração das Curvas de Níveis em planta e perfil, curvas mestras, divisores de
águas, recolhedores de águas e eqüidistância vertical.
O conhecimentos dessas características básicas das curvas de níveis é muito importante, não só
para o processo de construí-las nos mapas, mas também, para interpretar e identificar feições
geográficas e morfológicas do terreno, tais como as formas do relevo, delimitação de bacias
hidrográficas, determinação do escoamento superficial, etc.
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