Đại số tổ hợp D3

1. ĐẠI SỐ TỔ HỢP
BÀI TOÁN ĐẾM
Bài toán đếm, chỉ sử dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân
Kiến thức vận dụng
I. Qui taéc coäng
Moät coâng vieäc ñöôïc hoaøn thaønh bôûi moät trong hai haønh ñoäng. Neáu haønh ñoäng naøy coù m caùch thöïc
hieän, haønh ñoäng kia coù n caùch thöïc hieän khoâng truøng vôùi baát kì caùch naøo cuûa haønh ñoäng thöù nhaát thì
coâng vieäc ñoù coù m + n caùch thöïc hieän.
Neáu AÇ B = Æ thì n(AÈ B) = n(A) + n(B)
Chuù yù: Qui taéc coäng coù theå môû roäng cho nhieàu haønh ñoäng.
II. Qui taéc nhaân
Moät coâng vieäc ñöôïc hoaøn thaønh bôûi hai haønh ñoäng lieân tieáp. Neáu coù m caùch thöïc hieän haønh ñoäng thöù nhaát
vaø öùng vôùi moãi caùch ñoù coù n caùch thöïc hieän haønh ñoäng thöù hai thì coù m.n caùch hoaøn thaønh coâng vieäc ñoù.
Chuù yù: Qui taéc nhaân coù theå môû roäng cho nhieàu haønh ñoäng lieân tieáp.
Bài 1.1 Từ các chữ số 1,5,6,7 có thể viết được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số X = {1, 5, 6, 7}
Gọi số cần tìm là n= a1a2 a3 a4 , trong đó a1 , a2 , a3 , a4 Î X .
· a1 có 4 cách chọn.
· a2 có 4 cách chọn.
· a3 có 4 cách chọn.
· a4 có 4 cách chọn.
Vậy theo quy tắc nhân, ta có : 4 ´ 4 ´ 4 ´ 4 = 256 cách chọn ra số có 4 chữ số từ các phần tử của X.
Bài 1.2 Trong một trường, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn:
a) Một học sinh khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố.
b) Hai học sinh, trong đó có một học sinh nam và một học sinh nữ đi dự trại hè.

2. Hướng dẫn:
Theo quy tắc cộng, ta có 280 + 325 = 605 cách chọn một bạn đi dự dạ hội (hoặc nam hoặc nữ).
Muốn có hai bạn gồm 1 nam và 1 nữ, ta phải thực hiện hai hành động lựa chọn:
· Chọn 1 nam : co 280 cách chọn.
· Khi đã có một nam rồi, có 325 cách chọn một bạn nữ.
Vậy theo quy tắc nhân, ta có 280.325 = cách chọn một nam và một nữ.
Bài 1.3 Từ các chữ số 0,1, 2,3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số.
X = {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7}
Gọi số cần tìm là n= a1a2 a3 , trong đó a1 , a2 , a3 Î X ; a1 ¹ 0; a3 Î {0; 2; 4; 6} .
a1 Î X {0} Þ a1 có 7 cách chọn.
a1 a2 a3
Số cách chọn 7 8 4
Vậy, theo quy tắc nhân, số cách chọn thỏa mãn ycbt là: 7 ´ 8 ´ 4 = 224 cách.
Bài 1.4 Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số chia hết cho 5?
X = {0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8, 9}
Gọi số cần tìm là n = a1a2 a3 a4 a5 a6 ; a1 ¹ 0; a6 Î {0;5}
a1 Î X {0} Þ a1 có 9 cách chọn.
Để nM 5 Þ a6 Î {0;5} Þ a6 có 2 cách chọn.
a1 a2 a3 a4 a5 a6
Số cách chọn 9 10 10 10 10 2
Vậy theo quy tắc nhân , số cách thỏa mãn ycbt là: 9 ´ 10 ´ 10 ´ 10 ´ 10 ´ 2 = 180000 cách.
Bài 1.5 Xét các số gồm 9 chữ số, trong đó có 5 chữ số 1 và bốn chữ số còn lại là 2,4,6,8. Có bao nhiêu
số mà 5 chữ số 1 đứng liền nhau?
X = {1,1,1,1,1, 2, 4, 6,8}

3. Do bài yêu cầu 5 chữ số 1 đứng liền nhau, nên ta có thể coi 5 chữ số 1 được “dính” vào nhau, và bài toán trở
thành xếp các phần tử “11111” , 2,4,6,8 vào 5 ô trống:
· Có 5 cách lấy “11111” xếp vào ô trống.
· Có 5 cách lấy số 2 xếp vào ô trống
· Có 5 cách lấy số 4 xếp vào ô trống
· Có 5 cách lấy số 6 xếp vào ô trống
· Có 5 cách lấy số 8 xếp vào ô trống
Vậy theo quy tắc nhân có : 5 ´ 5 ´ 5 ´ 5 ´ 5 = 3125 cách.
Bài 1.6 Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn 10000 được tạo thành bởi các chữ số 0,1, 2,3, 4 .
· Trường hợp 1: Số có 1 chữ số Þ 5 số.
· Trường hợp 2: Số có 2 chữ số a1a2 .
a1 a2
Số cách chọn 4 5
Theo quy tắc nhân, số cách chọn số có 2 chữ số là : 4 ´ 5 = 20 cách.
· Trường hợp 3: Số có 3 chữ số a1a2 a3 .
a1 a2 a3
Số cách chọn 4 5 5
Theo quy tắc nhân, số cách chọn số có 3 chứ số là : 4 ´ 5 ´ 5 = 100 cách.
· Trường hợp 4: Số có 3 chữ số a1a2 a3 a4 .
a1 a2 a3 a4
Số cách chọn 4 5 5 5
Theo quy tắc nhân, số cách chọn số có 3 chứ số là : 4 ´ 5 ´ 5 ´ 5 = 500 cách.
Vậy theo quy tắc cộng, số cách chọn ra số thỏa mãn bé hơn 10000 là : 5 + 20 + 100 + 500 = 625 cách.
Bài 1.7 Một bài trắc nghiệm có 10 câu. Mỗi câu có 4 phương án trả lời. Hỏi bài thi đó có bao nhiêu
phương án trả lời.
Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9 Câu 10
Số p/a 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

4. Theo quy tắc nhân , số phương án trả lời 10 câu hỏi trắc nghiệm là : 410 = 1.048.576 phương án.
Bài 1.8 Có bao nhiêu ước nguyên dương của tích 2000.2001?
Chú ý: Nếu số n phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố như sau: n = 2a ´ 3b ´ 5c ´ .... ; thì số ước số
của n được tính theo công thức sau: ( a + 1)( b + 1)( c + 1) ...
2000 ´ 2011 = 24 ´ 53 ´ 31 ´ 231 ´ 291 Þ số ước số của 2000 ´ 2001 là : ( 4 + 1)( 3 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 160
ước số dương.
Bài 1.9 Cho 4 thành phố A, B, C , D . Biết rằng từ A đến B có 3 con đường, từ B đến D có 2 con đường,
từ A đến C có 2 con đường, từ C đến D có 3 con đường, và không có con đường nào từ B đến C. Hỏi
có bao nhiêu cách đi từ A đến D.
Cách 1: Đi từ A qua B tới D.
Cách 2: Đi từ A qua C tới D.