Đánh thức tài năng toán học-Quyển 6 (13-14 tuổi) nằm trong bộ sách toán song ngữ Singapore của tác giả Terry Chew sẽ giúp các em phát triển tư duy tốt nhất.
Đặt mua sách tại: http://book.ihoc.me/
3. 4
Chapter 1 Simple Equation Terry Chew
5
Đánh thức tài năng toán học - 6
Foreword
Wrote British philosopher and mathematician Bertrand Russell in his 1917 essay
Mysticism and Logic: “Mathematics, when rightly viewed, possesses not only
truth, but supreme beauty – a beauty cold and austere, like that of sculpture.”
Mathematics problems are not alike in the way they come to the students’
attention. As interesting as the diversified nature of Maths Olympiad questions
is the constant curious nature of our minds. As a writer and coach of MO for
many years, my curiosity intensifies each time I ask my students to present their
solutions to problems as part of the training, that is, to articulate their thinking
process and reasoning skills. In moments like these, I become the student – my
mind filled with childlike anticipation and my students, in turn, become the
master. The verbalisations of their thoughts are so full of imagination, fantasy
and creativity that this exchange becomes an enjoyment. Perhaps there is as
much for me to learn from them as they from me.
Two things are obvious how some students have arrived at this state of mastery.
Firstly, their tremendous acquisition of knowledge and the ability to make
connection through this knowledge is highly remarkable. Secondly, and quite
evidently, they have interest in what they persevere and are apparently gifted.
Which attribute precedes the other, though, I cannot be too sure.
Psychologists over the years have agreed on one thing, the like of which
Canadian journalist Malcolm Gladwell mentioned in his book Outliers: The
Story of Success: To be exceptionally good, or to reach the state of professional,
one must put in something like 10,000 hours of effort in the practice. Though
not immediately and readily comparable, the moral is nevertheless the same:
practice, practice, practice.
This book is written specially for my students and others alike who also enjoy
mathematics.
Terry Chew
Lời nói đầu
Năm 1917, nhà triết học và toán học người Anh Bertrand Russel đã viết trong tiểu
luận Mysticism and Logic (tạm dịch: Các bí ẩn và suy luận) của mình rằng: “Khi
nhìn nhận đúng đắn Toán học, ta không chỉ tìm được sự thật, mà còn thấy vẻ đẹp
tối cao, vẻ đẹp lạnh lùng và khắc khổ, tựa như vẻ đẹp của các tác phẩm điêu khắc.”
Đối với học trò, các bài toán không hề giống nhau. Những câu hỏi thú vị và
phong phú trong bộ đề thi Olympic Toán luôn khiến chúng ta phải hiếu kì, phải
bỏ công sức và tư duy để tìm hiểu. Là tác giả và thầy luyện thi Olympic Toán
trong nhiều năm, sự hiếu kì của tôi tăng lên mỗi khi tôi yêu cầu học sinh của
mình trình bày lời giải của các em về mỗi phần của bài tập, việc đó là tổng hoà
của quá trình tư duy và kỹ năng lập luận của các em. Trong những khoảnh khắc
như thế, tôi trở thành học sinh, tâm trí của tôi đầy những dự đoán ngây thơ, và
khi đó học sinh của tôi trở thành người thầy. Việc thể hiện những suy nghĩ của
các em rất giàu sức tưởng tượng và sự sáng tạo, chúng dung hòa với nhau tạo
nên sự hứng thú. Có lẽ tôi học được nhiều điều từ các em hơn là các em học
được từ tôi.
Có hai điều hiển nhiên về cách thức một số học sinh đạt đến mức độ thành thạo.
Thứ nhất, việc tiếp thu kiến thức của học sinh và khả năng kết hợp các kiến
thức với nhau vô cùng quan trọng. Thứ hai, rõ ràng học trò phải có hứng thú
với những gì các em kiên trì theo đuổi và các em cũng phải có năng khiếu nữa.
Tuy nhiên, tôi không dám chắc niềm yêu thích hay năng khiếu quan trọng hơn.
Trong những năm trở lại đây, các nhà tâm lý đã đồng ý về một điều, như nhà
báo người Canada, Malcolm Gladwell đề cập trong cuốn Outliers: The Story of
Success (Những kẻ xuất chúng) của ông: Để được đặc biệt xuất sắc hoặc để đạt
được những điều lớn lao, chúng ta phải dành hết sức lực vào việc đó như dành
10.000 giờ tập trung vào việc thực hành. Mặc dù kết quả không thể thấy ngay
lập tức và được kiểm chứng dễ dàng, nhưng cách thức vẫn như nhau: thực hành,
thực hành và thực hành.
Cuốn sách này được viết riêng cho học sinh của tôi và những người bạn yêu
thích toán học khác.
Terry Chew
4. 6
Chapter 1 Simple Equation Terry Chew
7
Đánh thức tài năng toán học - 6
Example 2
Example 1
Where a and b are constants, the most fundamental equation takes the form
of ax = b.
We get x =
b
__
a , where a ≠ 0.
If x =
1
__
2
satisfies the equation 4x – 3a = 0, find the value of a.
Solution: 4x – 3a = 0
4x = 3a
Substituting x =
1
__
2
,
4 ×
1
__
2
= 3a
3a = 2
a =
2
__
3
It is given 3 – a = 4 – b = 2, c = 499. Also, a + b + c = 2008m. Find the
value of m.
Solution: 3 – a = 2, a = 1
4 – b = 2, b = 2
a + b + c = 1 + 2 + 499 = 502
502 = 2008m
m =
502
_____
2008
=
1
__
4
1 Simple Equation
Ví dụ 2
Ví dụ 1
Cho a và b là các hằng số, phương trình cơ bản nhất có dạng ax = b.
Ta nhận được x =
b
__
a , khi a ≠ 0.
Nếu x =
1
__
2
thoả mãn phương trình 4x – 3a = 0, tính giá trị của a.
Lời giải: 4x – 3a = 0
4x = 3a
Thay x =
1
__
2
,
4 ×
1
__
2
= 3a
3a = 2
a =
2
__
3
Cho 3 – a = 4 – b = 2, c = 499. Đồng thời, a + b + c = 2008m. Tính giá trị
của m.
Lời giải: 3 – a = 2, a = 1
4 – b = 2, b = 2
a + b + c = 1 + 2 + 499 = 502
502 = 2008m
m =
502
_____
2008
=
1
__
4
1 Phương trình đơn giản
5. 8
Chapter 1 Simple Equation Terry Chew
9
Đánh thức tài năng toán học - 6
Example 4
Example 3
Find the value of m if x = 3 satisfies the equation
m – x
_____
3
+
3x – 6
______
4
=
4x + 5
______
12
.
Solution: Substituting the value of x = 3 into the equation,
m – 3
_____
3
+
9 – 6
_____
4
=
12 + 5
______
12
m – 3
_____
3
+
3
__
4
=
17
___
12
4m – 12 + 9
__________
12
=
17
___
12
4m = 17 + 3
= 20
m =5
Find the smallest possible value of a, where a is a whole number, in
33x
____
2
– a =
5x
___
6
+ 184.
Solution:
33x
____
2
– a =
5x
___
6
+ 184
33x
____
2
–
5x
___
6
– 184 = a
x must be an even number.
When x = 10,
330
____
2
–
50
___
6
– 184 = 165 –
50
___
6
– 184 (rejected)
When x = 12,
33 • 12
______
2
–
5 • 12
_____
6
– 184 = 198 – 10 – 184
a =4
Ví dụ 4
Ví dụ 3
Tính giá trị của m nếu x = 3 thoả mãn phương trình
m – x
_____
3
+
3x – 6
______
4
=
4x + 5
______
12
.
Lời giải: Thay giá trị x = 3 vào phương trình,
m – 3
_____
3
+
9 – 6
_____
4
=
12 + 5
______
12
m – 3
_____
3
+
3
__
4
=
17
___
12
4m – 12 + 9
__________
12
=
17
___
12
4m = 17 + 3
= 20
m =5
Tìm giá trị nhỏ nhất của a, biết a là một số nguyên dương trong:
33x
____
2
– a =
5x
___
6
+ 184.
Lời giải:
33x
____
2
– a =
5x
___
6
+ 184
33x
____
2
–
5x
___
6
– 184 = a
x phải là một số chẵn.
Khi x = 10,
330
____
2
–
50
___
6
– 184 = 165 –
50
___
6
– 184 (không thoả mãn)
Khi x = 12,
33 • 12
______
2
–
5 • 12
_____
6
– 184 = 198 – 10 – 184
a =4
6. 10
Chapter 1 Simple Equation Terry Chew
11
Đánh thức tài năng toán học - 6
Example 6
Example 5
If (a + 1) satisfies 2(x + 1) = 3(x – 1), find the solution to
2[3(2 + x) – 2(a – x)] = 4a.
Solution: 2x + 2 = 3x – 3
x = 5
Since (a + 1) is a solution,
a + 1 = 5
a = 4
Substitute the value of a into the equation.
2[3(2 + x) – 2(4 – x)] = 16
12 + 6x – 16 + 4x = 16
10x = 16 + 16 – 12
= 20
x =2
Solve
13
___
6
(x – 3) +
4
__
3
(3 – x) =
7
__
6
(x – 3) + 8.
Solution: Let x – 3 = a,
then 3 – x = –a.
13
___
6
a –
4
__
3
a =
7
__
6
a + 8
(
13 – 8 – 7
_________
6
)a = 8
–
2
__
6
a = 8
a = –24
x – 3 = –24
x =–21
Ví dụ 6
Ví dụ 5
Nếu nghiệm (a + 1) thỏa mãn 2(x + 1) = 3(x – 1), tìm nghiệm của
2[3(2 + x) – 2(a – x)] = 4a.
Lời giải: 2x + 2 = 3x – 3
x = 5
Vì (a + 1) là nghiệm nên,
a + 1 = 5
a = 4
Thay giá trị của a vào phương trình.
2[3(2 + x) – 2(4 – x)] = 16
12 + 6x – 16 + 4x = 16
10x = 16 + 16 – 12
= 20
x =2
Giải phương trình
13
___
6
(x – 3) +
4
__
3
(3 – x) =
7
__
6
(x – 3) + 8.
Lời giải: Đặt x – 3 = a,
khi đó 3 – x = –a.
13
___
6
a –
4
__
3
a =
7
__
6
a + 8
(
13 – 8 – 7
_________
6
)a = 8
–
2
__
6
a = 8
a = –24
x – 3 = –24
x =–21
7. 12
Chapter 1 Simple Equation Terry Chew
13
Đánh thức tài năng toán học - 6
Practice
1 If x = 2 satisfies the equation px + q = 91 and p – q = 2,
the value of pq is .
(A) 415
(B) 581
(C) 682
(D) 899
(E) none of the above ( )
2 If
a – b
_____
b
=
3
__
5 , the value of
a
__
b
is .
(A)
6
__
5
(B)
7
__
5
(C)
8
__
5
(D)
9
__
5
(E) none of the above ( )
3 The value of x in
x
_____
1 × 2 +
x
_____
2 × 3 +
x
_____
3 × 4 + ... +
x
___________
1999 × 2000 = 1 is .
(A) 1
(B) 1999
(C) 2000
(D)
2000
_____
1999
(E) none of the above ( )
4 If an operation is defined as
a * b = 3a – b, the value of x in x * (1 * 2) = 2 is .
(A) 1
(B) 1 __
2
(C)
3
__
2
Luyện tập
1 Nếu x = 2 thoả mãn phương trình px + q = 91 và p – q = 2,
giá trị của pq là .
(A) 415
(B) 581
(C) 682
(D) 899
(E) Không phải là các đáp án trên ( )
2 Nếu
a – b
_____
b
=
3
__
5 , giá trị
a
__
b
là .
(A)
6
__
5
(B)
7
__
5
(C)
8
__
5
(D)
9
__
5
(E) Không phải là các đáp án trên ( )
3 Giá trị của x trong:
x
_____
1 × 2 +
x
_____
2 × 3 +
x
_____
3 × 4 + ... +
x
___________
1999 × 2000 = 1 là .
(A) 1
(B) 1999
(C) 2000
(D)
2000
_____
1999
(E) Không phải là các đáp án trên ( )
4 Nếu một phép toán được thể hiện như sau:
a * b = 3a – b, giá trị của x trong x * (1 * 2) = 2 là .
(A) 1
(B) 1 __
2
(C)
3
__
2
8. 14
Chapter 1 Simple Equation Terry Chew
15
Đánh thức tài năng toán học - 6
(D) 2
(E)
5
__
2 ( )
5 What can be the smallest value of a in 6x – a = 5x + 8?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5 ( )
6 Solve for the value of x when 17x – 85 = 85 – 17x.
7 Solve for the value of x in (x + 2) : 2 = (5x – 8) : 4.
8 An operation is defined as a * b = 3 × a – 5 × b.
Find the value of x in 7 * (x * 4) = 1.
(D) 2
(E)
5
__
2 ( )
5 Số nào có thể là giá trị nhỏ nhất của a trong 6x – a = 5x + 8?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5 ( )
6 Tìm giá trị của x biết 17x – 85 = 85 – 17x.
7 Tìm giá trị của x biết (x + 2) : 2 = (5x – 8) : 4.
8 Một phép toán được thể hiện như sau a * b = 3 × a – 5 × b.
Tìm giá trị của x trong 7 * (x * 4) = 1.