La teoría de colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de espera. Describe sistemas donde los clientes llegan a un servidor con cierta capacidad. Si el servicio no está disponible de inmediato, los clientes esperan en una cola. Existen modelos para determinar la capacidad óptima que balancea los costos del sistema y los tiempos de espera.

1. TEORIA DE COLA
Una Cola es una línea de espera y la Teoría
de Colas es una colección de modelos
matemáticos que describen sistemas
de líneas de espera particulares o de
sistemas de colas.

2. Los modelos sirven para encontrar un buen compromiso entre los costos del
sistema y los tiempos promedio de la línea de espera para un sistema dado. ‘‘El
objetivo esencial es determinar que capacidad o tasa de servicio proporciona el
balance correcto, para que el tiempo de espera no sea muy largo y el costo de
servicio no sea muy alto’’.
Esto no es sencillo de determinar, ya que, un cliente no llega a un horario fijo, como
también, el tiempo de servicio no tiene un horario fijo. Por lo tanto, se deduce de
aquí, que los sistemas de líneas de espera son sistemas probabilísticos y aleatorios.
El análisis cuantitativo con frecuencia es útil en estas situaciones.
El tener que esperar en una cola es una experiencia cotidiana que normalmente se
considera desagradable.
Esperar ser servido en un restaurante o en la cola de un banco, es una confrontación
con la pérdida de tiempo por parte del cliente. Ejemplos Típicos de Teoría de Colas:
Situación Llegadas Cola Mecanismo de Servicio Aeropuerto Pasajeros Sala de espera
Avión Dpto. de bomberos Alarmas de incendio Incendios Dpto. de bomberos
Compañía telefónica Números marcados Llamadas Conmutador Panadería Clientes
con números Vendedor.

3. SITUACION LLEGADAS COLA MECANINISMO DE
SERVICIO
Aeropuerto Pasajero sala de espera avión
Panadería clientes clientes con
números
vendedor
Dpto. de
bomberos
alarmas de
incendio
incendio dpto. de bomberos
Compañía
telefónica
Números
marcados
llamadas conmutador
Panadería clientes Clientes con
números
vendedor
Ejemplos típico de teoría de cola

4. DEFINICION DE LA TEORIA DE COLAS
La Teoría de Colas es el estudio matemático del comportamiento de líneas de
espera. Estas se presentan cuando ‘‘clientes’’ llegan a un ‘‘lugar’’ demandando un
servicio a un ‘‘servidor’’, el cual, tiene una cierta capacidad de atención. Si el servicio
no está disponible inmediatamente y el cliente decide esperar, entonces se forma
en la cola o línea de espera.
Esquema General del Sistema de Colas Llegadas Línea o Cola de Espera
Servidor (Mecanismo de Servicio) Salidas Sistema de Colas.
SISTEMA DE COLA
LLEGADAS SALIDAS
Línea o cola de espera Servidor
(Mecanismo de servicio)

5. CONCEPTOS BASICOS DEL SISTEMA DE COLAS
a) Clientes: término usado en un sistema de colas para referirse por ejemplo a:
• Gente esperando líneas telefónicas desocupadas.
• Máquinas que esperan ser reparadas.
• Aviones esperando aterrizar.
b) Instalaciones de Servicio: este término se usa para referirse por ejemplo a:
• Líneas telefónicas.
• Talleres de reparación.
• Pistas de aeropuerto.
c) Llegadas: es el número de clientes que llegan a las instalaciones de servicio.
d) Tasa de Servicio: este término se usa para designar la capacidad de servicio, por ejemplo:
• Un sistema telefónico entre dos ciudades puede manejar 90 llamadas por minuto.
• Una instalación de reparación puede (de media), reparar máquinas a razón de una cada 8
horas.
• Una pista de aeropuerto en la que aterrizan dos aviones por minuto.
e) Número de Servidores de Servicio: es la cantidad de servidores de que disponemos,
por ejemplo:
• Número de conmutadores telefónicos.
• Número de puestos de reparación.
• Número de pistas de aterrizaje de un aeropuerto. El número de servidores no tiene porqué
ser siempre en paralelo, es decir, puede que un sistema de colas tenga varias fases:

6. Servidores fases ejemplos típicos
Uno una kiosco de prensa con un empleado
varios una oficina bancaria con varios cajeros
Uno varios lavado / secado de automóviles
varios varias centro de servicio radiológico del hospital
COSTOS ASOCIADOS AL SISTEMA DE COLAS
a) Los costos de espera. Esperar significa desperdicio de algún recurso activo que bien se
puede aprovechar en otra cosa. Lo normal es pensar que estos costos de espera
decrecen conforme aumenta la capacidad de servicio del sistema.
b) Los costos de servicio. Contra la reducción anterior de los costos de espera, es también
normal que el costo asociado a incrementar la capacidad de servicio, crezca con alguna
proporcionalidad en relación a esta capacidad.
c) Los costos totales del sistema de servicio. La suma de los dos costos anteriores, da una
función de costos totales del sistema en función de la capacidad. Aquí hay que tomar en
cuenta que para tasas bajas de servicio, se experimentan largas colas y costos de
espera muy altos. Conforme aumenta este servicio, disminuyen los costos de espera,
pero aumenta el costo de servicio y el costo total disminuye.

7. TIPOS DE SISTEMAS DE COLAS
Según el tipo de sistema de colas, tenemos varios tipos de éstas, las cuales son:
a) Una línea, un servidor
El primer sistema, es típico de una consulta médico - paciente, el lavado de carros
automático o un muelle de descarga de un solo lugar.
llegadas salida
b) Una línea, múltiples servidores
El segundo sistema, es típico de una peluquería o una panadería, en donde los
clientes toman un número al entrar y se les sirve cuando les llega el turno.
llegada

8. c) Varias líneas, múltiples servidores El tercer sistema
en que cada servidor tiene una línea separada, es característico de los bancos y las
tiendas de autoservicio. Para este tipo de servicio pueden separarse los servidores y
tratarlos como sistemas independientes de un servidor y una cola.
salidas
Llegada salidas
salidas
d) Una línea, múltiples servidores secuenciales En el cuarto sistema
un cliente después de ser atendido por un servidor, pasa al siguiente, después al
siguiente y así sucesivamente, hasta salir de la cola. Este sistema es útil para las líneas
de producción, en donde hay varios pasos intermedios para el proceso de
manufactura.
Llegada salida

9. DISTRIBUCIONES
Puesto que, la Teoría de Colas se basa en la probabilidad, con el fin de estudiar las opciones
más ventajosas para controlar situaciones o procesos en los que existen líneas de espera,
ocupándose para aquello de factores como el patrón de llegada a la cola, las distintas
necesidades de cada nueva llegada, así como de las probabilidades y patrones estadísticos
de los tiempos de espera y de procesado. En razón, tenemos para aquello, dos tipos de
distribuciones que nos proveen información para controlar mencionadas situaciones. Estas
son:
1. La Distribución de Poisson
Esta distribución es muy frecuente en los problemas relacionados con la investigación
operativa, sobre todo en el área de la gestión de colas. Suele describir por ejemplo, la
llegada de pacientes a un ambulatorio, las llamadas a una central telefónica, la llegada de
coches a un túnel de lavado, etc.. Todos estos casos pueden ser descritos por una variable
aleatoria discreta que tiene valores no-negativos enteros.
2. La Distribución Exponencial
La distribución de Poisson describe las llegadas por unidad de tiempo y la distribución
Exponencial estudia el tiempo entre cada una de estas llegadas. Si las llegadas son de
Poisson, el tiempo entre ellas es Exponencial. La distribución de Poisson es discreta,
Llegadas Cola Servidor Salidas Cola Servidor mientras que la distribución Exponencial es
continua, porque el tiempo entre llegadas no tiene por qué ser un número entero. Esta
distribución se usa mucho para describir el tiempo entre eventos, específicamente, la
variable aleatoria que representa el tiempo necesario para servir a la llegada. Un ejemplo
típico puede ser el tiempo que un médico dedica a un paciente.

10. Ejemplo # 1
Suponga que en una estación con un solo servidor llegan en promedio 45 clientes
por
hora, Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora. Se sabe
que
los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola.
Se solicita: a) Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema. b) Número
promedio de clientes en la cola. c) Número promedio de clientes en el Sistema en un
momento dado.
Solución: Se conoce la siguiente información:
λ= 45 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 45/60 clientes/minutos
µ= 60 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 60/60 clientes/minutos=
Wq = 3 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola)
a) Para calcular el tiempo promedio que un cliente pasa en el Sistema (Ws). Lo
podemos calcular a partir de Wq y µ.
𝑾𝒔 = 𝑾𝒒 +𝟏 𝝁 = 3 minutos + 𝟏𝟏 = 𝟑 + 𝟏 = 𝟒 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔
Es decir en promedio un cliente pasa 4 minutos en el Sistema: distribuidos así 3
minutos pasa esperando en la cola + 1 minutos en servicio.

11. b) Para calcular el número de clientes en la cola (Lq), usaremos la fórmula
siguiente:
Lq= λ Wq.
𝐿𝑞 = 𝜆 ∗ 𝑊𝑞=0.75 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠* 3 minutos = 2.25 clientes.
Es decir los cálculos nos muestran que en la cola puede haber más de dos
clientes
en la cola.
c) Para calcular cual es el número de clientes en la cola (Ls). Lo podemos
hacer con la fórmula: Ls= λ Ws.
𝐿𝑆 = 𝜆 ∗ 𝑊𝑆 = 0.75 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 ∗ 4 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = 3 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
Es decir en promedio hay tres clientes en el sistema, como se nos ha dicho
que
solo hay un servidor, sabemos que solo un cliente puede estar en servicio,
por lo
que los demás deben estar en la cola. Esto indica que hay dos clientes en
espera.

12. EJEMPLO # 2
Suponga un restaurante de comidas rápidas al cual llegan un promedio de 100
clientes por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por
hora Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola
Calcule las medidas de desempeño del sistema:
a) ¿Cuál es la probabilidad que el sistema este ocioso?
b) ¿Cuál es la probabilidad que un cliente llegue y tenga que esperar, porque el
sistema está ocupado?
c) ¿Cuál es el número promedio de clientes en la cola?
d) ¿Cuál es la probabilidad que hayan 10 clientes en la cola?
Solución: Se conoce la siguiente información:
λ= 100 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 100/60 clientes/minutos
µ= 150 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 150/60 clientes/minutos=
Wq = 2 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola).
a) Para conocer cuál es la probabilidad de que el sistema este ocioso, primero
conoceremos, cual es la probabilidad que esté ocupado o factor de utilización del
sistema.

13. ߩ =
λ
µ
+
100 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 /ℎ𝑜𝑟𝑎
150 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 /ℎ𝑜𝑟𝑎
= 0,66 = 66,7%
este porcentaje representa tiempo
que el sistema está ocupado. Es decir (1- ρ) representa el tiempo ocioso del
sistema, es decir 1- 0.667= 0.333 = 33.3% el sistema permanece ocioso.
b) La probabilidad que un cliente llegue y tenga que esperar es suponer que estará
como primer cliente en la cola. Usaremos la fórmula:
𝑃𝑛 = ( 1 -
λ
µ
) (
λ
µ
) ˆ n= Para nuestro caso n=1 y la formula se convierte en:
𝑃𝑛 = ( 1-
λ
µ
) (
λ
µ
) ˆ 1 = ( 1-
100
150
) (
100
150
) ˆ 1 = (1 − 0.667)(0.667) = 0.222=22.2%
Es decir existe un 22.2% de posibilidad que haya un cliente en la cola
esperando ser atendido.
c) Ahora requerimos calcular el número de clientes en la línea de espera.
𝐿𝑞 = 𝜆 ∗ 𝑊𝑞=1.667
𝐶𝐿𝐼𝐸𝑁𝑇𝐸𝑆
𝑀𝐼𝑁𝑈𝑇𝑂𝑆
* 2 minutos = 3.334 clientes.≈4 clientes en la cola.
Es decir existe la posibilidad de llegar a tener un promedio de 4 clientes en la línea
de espera.

14. d) La probabilidad de que hayan 10 clientes en la cola, como hemos visto existe
un
promedio de tener hasta 4 clientes en la cola que hayan más de 4 las
probabilidades serán muy pequeñas, para ese cálculo haremos uso de la
fórmula
que usamos en el inciso b de este mismo ejemplo.
𝑃10 = ( 1--
λ
µ
) (
λ
µ
) ˆ 10 = ( 1 --
100
150
) (
100
150
) ˆ 10 = (1 − 0.667)(0.667)
10 =
0.0058=0.58% (lo cual es casi cero). Es decir es muy remoto o poco probable
que pueda haber 10 clientes en la línea de espera.