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MOVIMIENTO
ARMONICO SIMPLE
(M.A.S.)
El M.A.S. de un cuerpo real se puede considerar como el
movimiento de la "proyección" (sombra que proyecta) de un cuerpo
auxiliar que describe un movimiento circular uniforme (M.C.U.)
El Movimiento Armónico Simple es un movimiento periódico en el
que la posición varía según una ecuación de tipo senoidal o
cosenoidal.
La posición de un cuerpo que describe un M.A.S. viene dada por una
ecuación de tipo seno ó coseno:
El caso más sencillo se produce cuando no existe desfase (φ=0). En este caso
la ecuación queda reducida a:
1. A es la amplitud. Es el desplazamiento máximo de la partícula en la
dirección x, ya sea positiva o negativa.
2. ω es la frecuencia angular.
3.  es la constante de fase o ángulo de fase
FRECUENCIA f : es el número de oscilaciones que efectúa la partícula por
unidad de tiempo.
f=1/T
ω= 2πf
ω=2π/T
PERIODO “T”: es el tiempo que tarda la partícula en completar un ciclo.
T= 2π/ω
CARACTERÍSTICAS DE UN M.A.S.
 La amplitud (A) es constante
 El período (T) y la frecuencia (f) son independientes de la
amplitud (A).
 Se pueden expresar en términos de una función de seno o
coseno.
La velocidad v de un móvil que describe un M.A.S. se obtiene
derivando la posición respecto al tiempo:
VELOCIDAD EN UN M.A.S.
La aceleración total puede obtenerse derivando el módulo de la
velocidad:
ACELERACION EN UN M.A.S.
Si se escribe en función de la posición:
Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos el valor de la
fuerza elástica:
DINAMICA DEL M.A.S.
A partir de la definición de la constante elástica, se obtiene la
pulsación (frecuencia angular):
Y recordando la relación entre frecuencia angular y frecuencia, se
tiene:
Se observa que la frecuencia depende exclusivamente de la
constante elástica del movimiento y de la masa del cuerpo que lo
describe.
LA FRECUENCIA DE LA VIBRACION
La relación desplazamiento vs. tiempo para el movimiento armónico
simple es:
x= A cos (ω t+ )
V=dx/ dt= - ω Asen(ω t+ )
a=dv/ dt= - ω ²Acos (ωt+ )
Por lo tanto:
a= - ω²x
xa 2

Av max
Aa 2
max 
PROBLEMA 1
Un cuerpo oscila con movimiento armónico simple a lo largo del eje
“x” de acuerdo con la ecuación:
x = 4 cos(πt + π/4),
Donde t está en segundos y los ángulos en radianes.
a) Determinar la amplitud, la frecuencia y el período del movimiento
b) Determinar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier
tiempo t.
Solución:
a) A = 4m, w= π rad/s
f =w/2 π= 0.5 s-¹
T=1/ f = 2 s
b) V= - 4πsen(π t+ π/4)
a = - 4π2cos(π t+ π/4)
1. SISTEMA MASA-RESORTE
Considere un sistema físico
compuesto por una masa
unida al extremo de un
resorte.
Cuando la masa se desplaza
una pequeña distancia x a
partir del equilibrio, el resorte
ejerce una fuerza sobre “m”
dada por la Ley de Hooke:
F= -k.x
Esta fuerza es “la fuerza restauradora lineal” puesto que está
dirigida al hacia la posición de equilibrio del sistema y es
opuesta al desplazamiento.
F= ma -kx = ma
a= - kx/m
d²x/dt² + (k/m) x = 0
d²x/ dt² +w²x = 0
Ecuación general del M.A.S.
Donde:
02
2
2
 x
td
xd

k
m
Ty
m
k
 2
Av max
Aa 2
max 
   tAx cos
PROBLEMA 2:
Una masa de 200g está conectada a un resorte ligero con constante
de fuerza 5 N/m y puede oscilar libremente, sobre una pista
horizontal sin fricción. Si la masa se desplaza 5 cm desde el
equilibrio y se suelta a partir del reposo. Determinar:
a) el período
b) la velocidad máxima de la masa
c) la aceleración máxima de la masa
Solución:
a) Periodo:
ω=(k/m) = ((5N/m)/(0.2 kg)) = 5 rad/s.
T = 2π/ω = 2π/5 =1.26 s.
b) Velocidad máxima de la masa
Vmax= ωA = (5 rad/s) (0.05m) = 0.25 m/s
c) Aceleración máxima de la masa
Amax= ω²A = (5 rad/s)² (0.05m) = 1.25 m/s²
ENERGIA DE UN OSCILADOR
ARMONICO SIMPLE
Examinemos la energía mecánica del sistema masa-resorte:
k=1/2mV² = ½(mω²)A²sen²(ωt+ )
U=1/2kx² = 1/2kA²cos²(ωt+ )
Etotal=1/2kA²{sen²(wt+ )+cos²(wt+ )}
Etotal=1/2kA²
2
2
1
kAEtotal 
UkEtotal 
22
maxmax
2
1
2
1
kAmvk 
ENERGIA CINETICA Y
POTENCIAL
ENERGIA DE UN OSCILADOR
ARMONICO SIMPLE
PROBLEMA 3:
Un sistema masa-resorte con
k=221 N/m y m=2.43 kg se estira
en dirección positiva x una
distancia de 11.6 cm. del
equilibrio y luego se suelta.
Determinar:
a) La energía total almacenada
en el sistema
b) La velocidad máxima del
bloque
c) La aceleración máxima del
bloque
Solución:
a) Energía total:
E=1/2kx² =1/2(221N/m)(0.116m)²
E=1.49 J.
b) Velocidad máxima (punto de vista energético):
Vmáx=(2kmáx/m) = (2(1.49J)/2.43kg)
Vmáx= 1.11 m/s
c) Aceleración máxima (Según Ley de Newton):
amáx = Fmáx/m=kx/m =(221N/m)(0.116m)/2.43kg
amáx= 10.6 m/s²
2. EL PENDULO SIMPLE
Se compone de una masa
puntual m suspendida por una
cuerda ligera de longitud L,
donde el extremo superior de
la cuerda está fijo.
Mostraremos que, siempre y
cuando el ángulo  sea
pequeño, este es otro modelo
de un oscilador armónico
simple.
Entonces:
∑Ftan = m.atan
-mgsen  = m (α L)
-gsen  = L. d²/ dt²
Si  es pequeño: sen  ≈ 
-g . = L. d²/ dt²
d²/ dt² + (g/L) = 0 02
2
2
 x
td
xd

02
2
 

L
g
td
d
g
L
Ty
L
g
 2
PROBLEMA 4:
Un péndulo simple tiene un período de 2.5 s. Determinar:
a) La longitud de la cuerda del péndulo
b) Su período en un lugar donde g = 1.67 m/s²
g
L
Ty
L
g
 2
Solución:
T=2π (L/g): L=(2.5)². g/4π²
L=1.55m.
T=2π (L/g): T=2π(1.55/1.67)
T=6.05 s.
3. PENDULO FISICO
Es un cuerpo que gira
libremente alrededor de un
eje que no pasa por su
centro de masa.
 = I.α
 = - (mg).dsen 
Entonces:
-mgdsen = I .d²/ dt²
d²/ dt² +(mgd/I )sen =0
Si  es pequeño, entonces sen  ≈ 
d²/ dt² +(mgd/I)  = 0
Entonces:
02
2
2
 x
td
xd

02
2
 

I
mgd
td
d
mgd
I
Ty
I
mgd
 2
PROBLEMA 5:
Una “masa M” está unida al
extremo de una barra uniforme de
masa M y longitud L que puede
girar en su parte superior.
Determinar:
a) El periodo T de oscilación para
desplazamientos pequeños desde
la posición de equilibrio
b) El periodo T para L= 2m.
 = I.α
∑  = I.α
-Lsen  (Mg) – (½) Lsen (Mg)= i d²/dt²
-(3/2)MgLsen =(1/3ML²+ML²)d²/dt²
Si  es pequeño: sen  ≈ 
-3/2g = 4/3 L d²/dt²
d²/dt² +9 g /8L.=0
w=3/2(g/2L)
T=4/3π(2L/g)
Solución:
4. PENDULO DE TORSION
Cuando el cuerpo se hace girar cierto
ángulo pequeño , el alambre torcido
ejerce un momento de torsión
restaurador sobre el cuerpo
proporcional al desplazamiento
angular.
Es decir:
 = -k 
 = -k  = I d²/dt²
d²/dt²+(k/I)  =0
Donde:
ω= (k/I)
T=2π (I/k)
PENDULO DE TORSION

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Movimiento armónico simple (MAS

  • 2. El M.A.S. de un cuerpo real se puede considerar como el movimiento de la "proyección" (sombra que proyecta) de un cuerpo auxiliar que describe un movimiento circular uniforme (M.C.U.) El Movimiento Armónico Simple es un movimiento periódico en el que la posición varía según una ecuación de tipo senoidal o cosenoidal.
  • 3. La posición de un cuerpo que describe un M.A.S. viene dada por una ecuación de tipo seno ó coseno: El caso más sencillo se produce cuando no existe desfase (φ=0). En este caso la ecuación queda reducida a:
  • 4. 1. A es la amplitud. Es el desplazamiento máximo de la partícula en la dirección x, ya sea positiva o negativa. 2. ω es la frecuencia angular. 3.  es la constante de fase o ángulo de fase
  • 5. FRECUENCIA f : es el número de oscilaciones que efectúa la partícula por unidad de tiempo. f=1/T ω= 2πf ω=2π/T PERIODO “T”: es el tiempo que tarda la partícula en completar un ciclo. T= 2π/ω
  • 6. CARACTERÍSTICAS DE UN M.A.S.  La amplitud (A) es constante  El período (T) y la frecuencia (f) son independientes de la amplitud (A).  Se pueden expresar en términos de una función de seno o coseno.
  • 7. La velocidad v de un móvil que describe un M.A.S. se obtiene derivando la posición respecto al tiempo: VELOCIDAD EN UN M.A.S.
  • 8. La aceleración total puede obtenerse derivando el módulo de la velocidad: ACELERACION EN UN M.A.S.
  • 9. Si se escribe en función de la posición: Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos el valor de la fuerza elástica: DINAMICA DEL M.A.S.
  • 10. A partir de la definición de la constante elástica, se obtiene la pulsación (frecuencia angular): Y recordando la relación entre frecuencia angular y frecuencia, se tiene: Se observa que la frecuencia depende exclusivamente de la constante elástica del movimiento y de la masa del cuerpo que lo describe. LA FRECUENCIA DE LA VIBRACION
  • 11. La relación desplazamiento vs. tiempo para el movimiento armónico simple es: x= A cos (ω t+ ) V=dx/ dt= - ω Asen(ω t+ ) a=dv/ dt= - ω ²Acos (ωt+ ) Por lo tanto: a= - ω²x xa 2  Av max Aa 2 max 
  • 12. PROBLEMA 1 Un cuerpo oscila con movimiento armónico simple a lo largo del eje “x” de acuerdo con la ecuación: x = 4 cos(πt + π/4), Donde t está en segundos y los ángulos en radianes. a) Determinar la amplitud, la frecuencia y el período del movimiento b) Determinar la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier tiempo t.
  • 13. Solución: a) A = 4m, w= π rad/s f =w/2 π= 0.5 s-¹ T=1/ f = 2 s b) V= - 4πsen(π t+ π/4) a = - 4π2cos(π t+ π/4)
  • 14. 1. SISTEMA MASA-RESORTE Considere un sistema físico compuesto por una masa unida al extremo de un resorte. Cuando la masa se desplaza una pequeña distancia x a partir del equilibrio, el resorte ejerce una fuerza sobre “m” dada por la Ley de Hooke: F= -k.x
  • 15. Esta fuerza es “la fuerza restauradora lineal” puesto que está dirigida al hacia la posición de equilibrio del sistema y es opuesta al desplazamiento. F= ma -kx = ma a= - kx/m d²x/dt² + (k/m) x = 0 d²x/ dt² +w²x = 0 Ecuación general del M.A.S. Donde: 02 2 2  x td xd  k m Ty m k  2 Av max Aa 2 max     tAx cos
  • 16. PROBLEMA 2: Una masa de 200g está conectada a un resorte ligero con constante de fuerza 5 N/m y puede oscilar libremente, sobre una pista horizontal sin fricción. Si la masa se desplaza 5 cm desde el equilibrio y se suelta a partir del reposo. Determinar: a) el período b) la velocidad máxima de la masa c) la aceleración máxima de la masa
  • 17. Solución: a) Periodo: ω=(k/m) = ((5N/m)/(0.2 kg)) = 5 rad/s. T = 2π/ω = 2π/5 =1.26 s. b) Velocidad máxima de la masa Vmax= ωA = (5 rad/s) (0.05m) = 0.25 m/s c) Aceleración máxima de la masa Amax= ω²A = (5 rad/s)² (0.05m) = 1.25 m/s²
  • 18. ENERGIA DE UN OSCILADOR ARMONICO SIMPLE Examinemos la energía mecánica del sistema masa-resorte: k=1/2mV² = ½(mω²)A²sen²(ωt+ ) U=1/2kx² = 1/2kA²cos²(ωt+ ) Etotal=1/2kA²{sen²(wt+ )+cos²(wt+ )} Etotal=1/2kA² 2 2 1 kAEtotal  UkEtotal  22 maxmax 2 1 2 1 kAmvk 
  • 20. ENERGIA DE UN OSCILADOR ARMONICO SIMPLE PROBLEMA 3: Un sistema masa-resorte con k=221 N/m y m=2.43 kg se estira en dirección positiva x una distancia de 11.6 cm. del equilibrio y luego se suelta. Determinar: a) La energía total almacenada en el sistema b) La velocidad máxima del bloque c) La aceleración máxima del bloque
  • 21. Solución: a) Energía total: E=1/2kx² =1/2(221N/m)(0.116m)² E=1.49 J. b) Velocidad máxima (punto de vista energético): Vmáx=(2kmáx/m) = (2(1.49J)/2.43kg) Vmáx= 1.11 m/s c) Aceleración máxima (Según Ley de Newton): amáx = Fmáx/m=kx/m =(221N/m)(0.116m)/2.43kg amáx= 10.6 m/s²
  • 22. 2. EL PENDULO SIMPLE Se compone de una masa puntual m suspendida por una cuerda ligera de longitud L, donde el extremo superior de la cuerda está fijo. Mostraremos que, siempre y cuando el ángulo  sea pequeño, este es otro modelo de un oscilador armónico simple.
  • 23. Entonces: ∑Ftan = m.atan -mgsen  = m (α L) -gsen  = L. d²/ dt² Si  es pequeño: sen  ≈  -g . = L. d²/ dt² d²/ dt² + (g/L) = 0 02 2 2  x td xd  02 2    L g td d g L Ty L g  2
  • 24. PROBLEMA 4: Un péndulo simple tiene un período de 2.5 s. Determinar: a) La longitud de la cuerda del péndulo b) Su período en un lugar donde g = 1.67 m/s² g L Ty L g  2
  • 25. Solución: T=2π (L/g): L=(2.5)². g/4π² L=1.55m. T=2π (L/g): T=2π(1.55/1.67) T=6.05 s.
  • 26. 3. PENDULO FISICO Es un cuerpo que gira libremente alrededor de un eje que no pasa por su centro de masa.
  • 27.  = I.α  = - (mg).dsen  Entonces: -mgdsen = I .d²/ dt² d²/ dt² +(mgd/I )sen =0 Si  es pequeño, entonces sen  ≈  d²/ dt² +(mgd/I)  = 0 Entonces: 02 2 2  x td xd  02 2    I mgd td d mgd I Ty I mgd  2
  • 28. PROBLEMA 5: Una “masa M” está unida al extremo de una barra uniforme de masa M y longitud L que puede girar en su parte superior. Determinar: a) El periodo T de oscilación para desplazamientos pequeños desde la posición de equilibrio b) El periodo T para L= 2m.  = I.α
  • 29. ∑  = I.α -Lsen  (Mg) – (½) Lsen (Mg)= i d²/dt² -(3/2)MgLsen =(1/3ML²+ML²)d²/dt² Si  es pequeño: sen  ≈  -3/2g = 4/3 L d²/dt² d²/dt² +9 g /8L.=0 w=3/2(g/2L) T=4/3π(2L/g) Solución:
  • 30. 4. PENDULO DE TORSION Cuando el cuerpo se hace girar cierto ángulo pequeño , el alambre torcido ejerce un momento de torsión restaurador sobre el cuerpo proporcional al desplazamiento angular. Es decir:  = -k 
  • 31.  = -k  = I d²/dt² d²/dt²+(k/I)  =0 Donde: ω= (k/I) T=2π (I/k) PENDULO DE TORSION