1. LOS NÚMEROS ENTEROS

2. LOS NÚMEROS ENTEROS
INTRODUCCIÓN
¿QUÉ ES UN NÚMERO ENTERO?
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS ENTEROS
REPRESENTACIÓN
OPERACIONES: SUMA DE NÚMEROSENTEROS
PROPIEDADES
SUMAS CONSIGNOS DE AGRUPACIÓN EJERCICIOS
MULTIPLICACIÓN PROPIEDADES LA DIVISIÓN
POTENCIACIÓN EJERCICIOS
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3. INTRODUCCIÓN
En algún momento los números naturales no sirvieron para el cálculo de
algunas situaciones, por ejemplo: quedar debiendo 5.000 euros o hasta
millones o tan pocos como 5, o medir la temperaturas bajo cero, fue por
eso que nacieron los números enteros, los cuales son una
generalización del conjunto de los números naturales, que incluye
números negativos.
A continuación se presentará una breve explicación de la necesidad de
otro conjunto numérico, los números enteros, el por qué aparecieron. Se
definirá el conjunto de los números enteros y también se presentarán
una serie de situaciones de la vida diaria donde están presentes los
números enteros. Luego conoceremos como representarlos en una
línea recta, como ordenarlos de mayor a menor o de menor a mayor.
También conoceremos el valor absoluto de un número entero y además
las cuatro operaciones básicas, adición, sustracción, multiplicación y
división. Para luego presentar actividades donde aplicar lo aprendido.
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4. ¿POR QUÉ HA SURGIDO EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS
ENTEROS?
Los griegos utilizaron reglas parecidas a las que usamos actualmente
para realizar operaciones aritméticas con magnitudes negativas en sus
demostraciones geométricas. Sin embargo, corresponde a los hindúes el
mérito de transformar esas pautas en reglas numéricas aplicables a los
números positivos, negativos y cero, hacia el año 650 d. C.
Los árabes no usaron los números negativos y los consideraban como
restas indicadas. A partir del siglo XV, algunos matemáticos muy
conocidos comenzaron a utilizarlos en sus trabajos. Stifel, popularizó los
signos + y - y llamaba a los números negativos, números absurdos, hasta
entonces se utilizaba la palabra latina minus que significa menos, o su
abreviatura m.
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5. Inicia, entonces, la pregunta cómo solucionar expresiones de la forma X +
1 = 0, la que no tiene solución en los naturales, así como otras situaciones
de la vida real como, deudas, depresiones en los terrenos, temperaturas
bajo cero, lo que tampoco es posible representarlas con tales números.
Ej: 5 – 8 = ?
Surge así la necesidad de extender el sistema de los números naturales a
un nuevo sistema en el que tales ecuaciones y situaciones sea posible.
Surge así, un nuevo conjunto que se denomina de los números enteros y
que se simboliza por la letra Z
STIFEL: Michael Stifel (Esslingen, Alemania 1487 - Jena, Alemania 19 de abril de 1567) fue un
matemático alemán que descubrió los logaritmos e inventó una primigenia forma de tablas logarítmicas
antes que John Napier. Su trabajo más importante es Arithmetica integra, publicado en 1544. Contiene
importantes innovaciones en anotación matemática, entre ellas el primer uso de multiplicación por la
yuxtaposición (sin el símbolo entre las condiciones) en Europa. También fue el primero en usar el término
“exponente”, así como exponentes negativos (aunque estos últimos no los consideraba correctos)
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6. Y … ¿Qué es un número entero?
Ahora, ya conoces bien el sistema de los números naturales, que denotamos
con la letra N y en el cual se definen dos operaciones llamadas suma y producto
cuyas propiedades ya son bien conocidas para todos ustedes. Por lo
tanto, podemos preguntarnos:
¿Qué es un número entero?
El conjunto de los números enteros se designa por la letra Z y está compuesto
por:
Z = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5,…}
Ejemplos :
+ 4, + 2, + 63 serían positivos y – 4, - 2 y – 63 serían negativos.
Al conjunto de los números positivos, negativos y el cero se le llama
Conjunto de los números enteros y está compuesto por infinitos números
{ ........, - 4, -3, - 2, - 1, 0, +1, + 2, + 3, + 4, .....}
LOS NÚMEROS ENTEROS, se representan con la letra Z
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7. PROPIEDADES
1.Todo número natural es entero, esto quiere decir que el conjunto de los números
naturales está contenido en el de los enteros.
z
… -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 … N
2. El conjunto de los números enteros no tiene primer elemento, es decir todo
número entero tiene anterior.
3.Todo número entero tiene siguiente.
4. Todo número entero es menor que su siguiente y mayor que su anterior; es decir
el conjunto de los números enteros está ordenado.
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8. 5. Se llama valor absoluto de un número, y se designa por | |, a dicho número si
este es positivo y a su opuesto si este es negativo. (El valor absoluto de un
número entero es el número natural que resulta al prescindir del signo)
Ejemplo:
|+4|= |-4|= 4
|-5| = |+5| = 5
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9. Los números enteros se pueden representar sobre una recta en la que situamos el
cero, los números negativos a su izquierda y los positivos a su derecha.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
Los números enteros crecen en valor según nos movemos de izquierda a derecha en la
recta numérica
Crecen en este sentido
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
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10. SUMA DE NÚMEROS ENTEROS
Para sumar dos números enteros hay que distinguir dos casos:
1º Si tienen el mismo signo: Se suman los valores absolutos de los números y
al resultado se le pone el mismo signo que llevasen los números.
EJEMPLOS:
a) Sumar 52+34
Sabemos que 52 = 52 y │34│= 34, y que el signo de los sumandos es
igual (+). Luego, 52 + 34 = +86 = 86.
b) Sumar ─138 + (─25)
Sabemos que │─138│= 138 y │─25│= 25. por lo cual, la suma de sus
valores absolutos es 138 + 25 = 163.
Como los sumandos tienen igual signo (─), entonces ─138 + (─25) = ─163
es la solución.
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11. 2º Si tienen distinto signo: Se restan los valores absolutos de los números y al
resultado se le pone el signo del número que tuviese mayor valor absoluto.
EJEMPLOS:
Sumar: 5 + (- 8) = - 3 y (- 5) + 8 = + 3
En conclusión lo que se debe hacer es lo siguiente: Cuando vamos a sumar
dos números enteros con diferente signo, realizamos una resta del número mayor
menos el número menor y el signo del resultado es el mismo signo que tiene el
número mayor. Usted puede apreciar este hecho en los ejemplos anteriores
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12. PROPIEDADES DE LA SUMA:
La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:
1.CLAUSURATIVA: Si a y b  Z, entonces: a + b  Z
La suma de dos números enteros es otro número entero
EJEMPLO: 2 + 3 = 5; 2  Z, 3  Z entonces la suma que es
igual a 5  a Z
2. CONMUTATIVA: Sí a y b  Z, entonces: a + b = b + a
Si se invierte el orden de los sumandos el resultado no se
altera.
EJEMPLO: 3 + 4 = 7 y 4 + 3 = 7
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13. 3. ASOCIATIVA: Sí a, b, c  Z, entonces: (a + b) + c = a + (b + c)
El resultado de sumar más de dos números enteros no dependen de la
forma como se asocian.
EJEMPLO:
5 + 4 + 6 = 11, aplicando la propiedad asociativa:
5 + (4 + 6) = (5 + 4) + 6 = 11
4. MODULATIVA: Sí a  Z, entonces: a+ 0 = 0 + a = a
Al sumar un entero con el cero, el resultado es el entero sumando.
El “0” es el elemento neutro de la suma.
EJEMPLO: 4 + 0 = 4 y 0 + 4 = 4
EXISTENCIA DEL INVERSO ADITIVO: Si a  Z, entonces: a + (-a) = 0
Todo numero entero sumado con su opuesto da como resultado cero.
EJEMPLO: 4 + ( -4) = 0; 67 + ( -67) = 0; 23 + (-23) = 0
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14. SUMAS CON SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Los signos de agrupación más utilizados son:
Las llaves: { }
Los corchetes: [ ]
Los paréntesis: ( )
• Cuando en una operación existen estos signos, deben tenerse en cuenta ciertas
reglas para poder resolver la operación indicada:
1.Si en una expresión hay paréntesis y corchetes el orden de las operaciones debe
ser como sigue:
• Se efectúan las operaciones que hay dentro de los paréntesis, si el paréntesis no
lleva nada delante o lleva un signo + se escribe el mismo resultado; si el paréntesis
lleva delante un signo – se escribe el resultado opuesto.

Sigue
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15. 2. Se efectúan las operaciones que hay dentro de los corchetes, si el corchete no
lleva nada delante o lleva un signo + se escribe el mismo resultado; si el corchete
lleva delante un signo – se escribe el resultado
opuesto.
Los números enteros positivos se pueden escribir sin el signo + adelante, es decir
+5 y 5 es lo mismo.
EJEMPLO: Realizar las siguientes operaciones: 5 – [2 – (3 – 9) + (2 – 3)]
5 – [2 – (3 – 9) + (2 – 3)]
-1
5 – [2 +6 – 1]
7
5- 7
-2
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16. EJERCICIOS PARA EVALUAR LAS COMPETENCIAS ( SUMAS Y RESTAS
CON NÚMEROS ENTEROS)
Con los siguientes ejercicios evaluarás las competencias adquiridas en el
eje temático de los números enteros, practicarás cada una de los
conceptos estudiados para las operaciones de suma y resta.
Realiza las siguientes operaciones, aplicando los conceptos relacionados con los
números enteros:
Calcula:
a) 5 – (6 – 7) + (4 – 9) g) 5 – 12 + (3 – 7) – ( - 3 – 6)
b) – [5 + 3 – (6 – 5 + 8)] h) – [(6 – 5) + 8] – [(1+ 3) + 6]
c) 9 – (3 – 5) + (6 + 4 – 7) i) – 5 + [3 + (6 – 5) + 8] - 2
d) – (4 – 7) – [8 + (9 – 2)]
e) – 8 + ( 3 – 5) – (- 3 + 6)
f) – [8 - ( 3 – 5)] – (- 3 + 6)
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17. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Para multiplicar dos números enteros hay que distinguir dos casos:
1. Si tienen el mismo signo: Se multiplican los valores absolutos y el resultado
será positivo.
2. Si tienen distinto signo: Se multiplican los valores absolutos y el resultado será
negativo.
Regla de los signos: + POR + = + , - POR - = +
+ POR - = - , - POR + = -
EJEMPLO: 3 x 2 = 6; 1 x (- 4) = - 4; ( - 3) x (- 5) = + 15; ( - 2) x 4 = - 8
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18. 1. Regla del producto
a. El producto de dos números positivos es otro número positivo.
b. El producto de dos números negativos es otro positivo.
c. El producto de dos números de diferente signo es otro número negativo.
2. Asociativa. El agrupamiento de los factores no altera el producto.
3. Elemento unidad: el 1 es el elemento neutro o unidad, porque al
multiplicar por cualquier número da dicho número.
4. Conmutativa. El orden de los factores no altera el producto
5. Elemento absorbente: el “0” es el elemento absorbente de la multiplicación, porque
cualquier número multiplicado por “0” es siempre “0”. Ej. 8 x 0 = 0
6. La propiedad distributiva del producto respecto de la suma: el producto de un número
por una suma o diferencia es igual a la suma o diferencia de los productos de dicho
número por cada sumando. Ej. 2 x (3 + 4) = 2 x 3 + 2 x 4 = 6 + 8 = 14
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19. POTENCIACIÓN
Una potencia es una multiplicación de factores iguales, el factor que se
repite se llama base y el número de veces que se repite se llama
exponente, se representa como:
a x a x a x a = a4
• Para calcular una potencia de base entera hay que tener en cuenta lo
siguiente:
a) Si la base es positiva entonces el resultado siempre es positivo
b) Si la base es negativa y el exponente es un número par entonces la
respuesta es positiva.
c) Si la base es negativa y el exponente es un número impar entonces la
respuesta es negativa.
EJEMPLO: 23 =8; (-3)2 = 9; (-3)3 = -27; 43 = 64
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20. EJERCICIOS:
Con los siguientes ejercicios evaluarás las competencias adquiridas en el
eje temático de los números enteros, practicarás cada una de los
conceptos estudiados para las operaciones de suma y resta.
1. Realiza las siguientes operaciones:
1) 3 x (2 + 5) + (- 6 x 5 + 2) x (3 – 4) – (6 – 8) =
2) 1 – [6 x (2 + 3) – (4 + 1) x 2] x 2 =
3) (4 + 7) x (4 + 5) – 8 x (9 – 7) + (–7 – 2) =
4) 3 + 2 x 3 x ( - 4 x 2) – ( 6 – 7) – 2 x 4 x (–1) =
5) 1 + (3 + 4 x 2 – 6) x 2 – (5 – 7) x 2 =
6) 3 – 4 x (2 – 3) x 2 + ( 4 + 3 + 2) x (–1) x 2 =
7) 2 – [3 – (2 – 5) x 3 + 2 x (1 – 3) x (–2)] + 5 =
8) 4 – 5 x {2 – 3 x [– 4 + 2 x (5 – 4) x (–1)] x (–1)} x (–1) =
9) 8 – [4 + (2 – 5) x 2 – 6 x 3 + (6 – 2)] x (–1) + 5 x (–3 – 2) =
10) 1 – {2 – [3 x (4 – 5) x 2 – 3] x 2} x (–2) =
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21. + -
División de
números
enteros Z
Área: Matemática
Lic. Sally Romero Gutiérrez
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22. INDICE
CONCEPTO
LEY DE SIGNOS
EJEMPLOS
PROPIEDADES
AUTOEVALUACION
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23. CONCEPTO
• Es la división inversa de la multiplicación que
consiste: “Dados dos números enteros
llamados Dividendo y divisor (diferente de
cero) Hallar un tercer numero llamado
cociente, que multiplicado por el divisor de el
dividendo”
D ÷d=c

24. Observación:
1. La división de a por b se a÷b ,a: b
puede indicar de las a a/b
siguientes formas: b
2. La división de un Numero = no definido
numero por cero no 0
esta definido, por
tanto:
INDICE

25. LEY DE SIGNOS
Al dividir números enteros del
mismo signo, el cociente
obtenido es de signo positivo
Al dividir números enteros de
distinto signo, el cociente
obtenido es de signo negativo
INDICE

26. EJEMPLOS
• Para demostrar la ley
INDICE

27. PROPIEDADES
P. Distributiva
P. del Elemento neutro
P. del Elemento Absorbente
P. de Monotonía
INDICE

28. Propiedad Distributiva
• El cociente de dividir una suma indicada de varios
números Z entre un divisor diferente de cero es igual
a la suma de los cocientes de cada sumando entre el
mismo divisor
(a+b+c+d) (e) =(a e)+(b e)+(c e)+(d e)
a) [( - 24 ) + ( + 18 )]  6 = ( - 24 )  6 + ( + 18 )  6
( - 6 ) 6 = ( - 4 ) + ( + 3 )
-1 = -1
b) [( + 32 ) + ( + 24 )]  8 = ( + 32 )  8 + ( + 24 )  8
( + 56 )  8 = ( + 4 ) + ( + 3 )
+7 = +7 propiedades

29. Propiedad Elemento Neutro
• Es el uno como divisor. El cociente de dividir
cualquier número entero entre uno es el mismo
numero
a1=a
a) ( - 4 )  ( 1 ) = - 4
b) ( + 12 )  ( 1 ) = + 12
propiedades

30. Propiedad Elemento absorbente
• El cero es absorbente por la izquierda, ya
que dividido por cualquier número diferente
de cero, siempre da cero. No por la
derecha, ya que la división por cero, es
imposible.
0a=0
a) 0  ( + 38 ) = 0
b) 0  ( - 95 ) = 0
propiedades

31. Propiedad de Monotonía
Si el dividendo y el divisor de una división
exacta se multiplican o dividen por un mismo
numero diferente de cero el cociente no varia
ac=bc
a) Si 40  8 = 5 b) Si 40  8 = 5
===> 40 x 3  8 x 3 ===> (40  4)  (8  4)
= 120  24 = 10  2
=5 =5

32.  Si el dividendo lo multiplicamos o lo dividimos por
cualquier numero entero sin alterar el divisor; el
cociente quedará multiplicado o dividido por dicho
numero entero.
a) Si 54  6 = 9 a) Si 54  6 = 9
===> ( 2 x 54 ) 6 ===> (54  3 ) 6
= 108  6 = 18  6
= 18 =3

33.  Si el divisor lo multiplicamos o dividimos por un
numero diferente de cero, sin alterar el dividendo; el
cociente quedará dividido en el primer caso o
multiplicado en el segundo caso por el mismo
numero entero.
a) Si 64  16 = 4 a) Si 64  16 = 4
===> 64  16 x 2 ===> 64  16  4
= 64  32 = 64  4
=2 = 16
 Queda dividido por 2  Queda dividido por 4
propiedades

34. AUTOEVALUACION
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 