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Tarea 6 de probabilidad y estadistica con respuestas

IPN
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TEMAS: 1.- VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 2.- ESPERANZA MATEMATICA O VALOR ESPERADO

1 de 10
TAREA 6
ASIGNATURA: BIOESTADÍSTICA
2do parcial
TEMAS: 1.- VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
2.- ESPERANZA MATEMATICA O VALOR ESPERADO
VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
1.- La vida útil, en días, para frascos de cierta medicina de prescripción es una variable aleatoria que
tiene la siguiente función de densidad:
𝑓( 𝑥) = {
20,000
( 𝑥 + 100)3 , 𝑥 > 0,
0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜.
Calcule la probabilidad de que un frasco de esta medicina tenga una vida útil de
a) al menos 200 días;
b) cualquier lapso entre 80 y 120 días.
2.- La proporción de personas que responden a cierta encuesta enviada por correo es una variable
aleatoria continua X que tiene la siguiente función de densidad:
𝑓( 𝑥) = {
2( 𝑥 + 2)
5
, 0 < 𝑥 < 1,
0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜.
a) Demuestre que 𝑃(0 < 𝑋 < 1) = 1.
b) Calcule la probabilidad de que más de ¼ pero menos de ½ de las personas contactadas responden
a este tipo de encuesta.
3.- El número total de horas, medidas en unidades de 100 horas, que una familia utiliza una aspiradora
en un periodo de un año es una variable aleatoria continua X que tiene la siguiente función de
densidad:
𝑓( 𝑥) = {
𝑥, 0 < 𝑥 < 1,
2 − 𝑥, 1 ≤ 𝑥 < 2,
0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜.
Calcule la probabilidad de que en un periodo de un año una familia utilice su aspiradora
a) menos de 120 horas;
b) entre 50 y 100 horas.
4.- La distribución de probabilidad de X, el número de imperfecciones que se encuentra en cada 10
metros de una tela sintética que viene en rollos continuos de ancho uniforme, está dada por
x 0 1 2 3 4
f(x) 0.41 0.37 0.16 0.05 0.01
Construya la función de distribución acumulativa de X.
5.- Un embarque de 7 televisores contiene 2 unidades defectuosas. Un hotel compra 3 de los
televisores al azar. Si x es el número de unidades defectuosas que compra el hotel
a) Calcule la distribución de probabilidad de X.
b) Exprese los resultados de forma gráfica como un histograma de probabilidad.
c) Calcule la función de distribución acumulativa de la variable aleatoria X que represente el número de
unidades defectuosas. Luego utilice F(x) para calcular
d) 𝑃( 𝑋 = 1);
e) 𝑃(0 < 𝑋 ≤ 2);
f) Construya una gráfica de la función de distribución acumulativa.
6.- Una empresa de inversiones ofrece a sus clientes bonos municipales que vencen después de
varios años. Dado que la función de distribución acumulativa de T, el número de años para el
vencimiento de un bono que se elige al azar, es
𝐹( 𝑡) =
{
0, 𝑡 < 1
1
4
, 1 ≤ 𝑡 < 3
1
2
, 3 ≤ 𝑡 < 5
3
4
, 5 ≤ 𝑡 < 7
1, 𝑡 ≥ 7,
calcule
a) 𝑃( 𝑇 = 5);
b) 𝑃( 𝑇 > 3);
c) 𝑃(1.4 < 𝑇 < 6);
d) 𝑃( 𝑇 ≤ 5| 𝑇 ≥ 2).
7.- De una caja que contiene 4 monedas de 10 centavos y 2 monedas de 5 centavos se seleccionan 3
monedas al azar y sin reemplazo. Calcule la distribución de probabilidad para el total T de las tres
monedas. Exprese la distribución de probabilidad de forma gráfica como un histograma de
probabilidad.
8.- El tiempo que pasa, en horas, para que un radar detecte entre conductores sucesivos a los que
exceden los límites de velocidad es una variable aleatoria continua con una función de distribución
acumulativa
𝐹( 𝑥) = {
0, 𝑥 < 0,
1 − 𝑒−8𝑥, 𝑥 ≥ 0.
Calcule la probabilidad de que el tiempo que pase para que el radar detecte entre conductores
sucesivos a los que exceden los límites de velocidad sea menor de 12 minutos
a) usando la función de distribución acumulativa de X;
b) utilizando la función de densidad de probabilidad de X.
9.- Una variable aleatoria continua X, que puede tomar valores entre x=1 y x=3, tiene una función de
densidad dada por 𝑓( 𝑥) =
1
2
.
a) Muestre que el área bajo la curva es igual a 1.
b) Calcule 𝑃(2 < 𝑋 < 2.5).
c) Calcule 𝑃( 𝑋 ≤ 1.6).
d) Calcule F(x). Utilícela para evaluar 𝑃(2 < 𝑋 < 2.5).
d) 1/4
10.- Una variable aleatoria continua X, que puede tomar valores entre x=2 y x=5, tiene una función de
densidad dada por 𝑓( 𝑥) =
2(1+𝑥)
27
. Calcule
a) Muestre que el área bajo la curva es igual a 1.
b) Calcule 𝑃( 𝑋 < 4).
c) Calcule 𝑃(3 ≤ 𝑋 < 4).
d) Calcule F(x). Utilícela para evaluar 𝑃(3 ≤ 𝑋 < 4).
11.- Considere la función de densidad
𝑓( 𝑥) = { 𝑘√ 𝑥, 0 < 𝑥 < 1,
0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜.
a) Evalúe k.
b) Calcule F(x) y utilice el resultado para evaluar 𝑃(0.3 < 𝑋 < 0.6).
12.- El tiempo que pasa, en horas, antes de que una parte importante de un equipo electrónico que se
utiliza para fabricar un reproductor de DVD empiece a fallar tiene la siguiente función de densidad:
𝑓( 𝑥) = {
1
2000
𝑒
( −𝑥
2000
)
, 𝑥 ≥ 0,
0, 𝑥 < 0.
a) Calcule F(x).
b) Determine la probabilidad de que el componente (y, por lo tanto, el reproductor de DVD) funcione
durante más de 1000 horas antes de que sea necesario reemplazar el componente.
c) Determine la probabilidad de que el componente falle antes de 2000 horas.

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Tarea 6 de probabilidad y estadistica con respuestas

  • 1. TAREA 6 ASIGNATURA: BIOESTADÍSTICA 2do parcial TEMAS: 1.- VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 2.- ESPERANZA MATEMATICA O VALOR ESPERADO VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 1.- La vida útil, en días, para frascos de cierta medicina de prescripción es una variable aleatoria que tiene la siguiente función de densidad: 𝑓( 𝑥) = { 20,000 ( 𝑥 + 100)3 , 𝑥 > 0, 0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜. Calcule la probabilidad de que un frasco de esta medicina tenga una vida útil de a) al menos 200 días; b) cualquier lapso entre 80 y 120 días. 2.- La proporción de personas que responden a cierta encuesta enviada por correo es una variable aleatoria continua X que tiene la siguiente función de densidad: 𝑓( 𝑥) = { 2( 𝑥 + 2) 5 , 0 < 𝑥 < 1, 0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜. a) Demuestre que 𝑃(0 < 𝑋 < 1) = 1. b) Calcule la probabilidad de que más de ¼ pero menos de ½ de las personas contactadas responden a este tipo de encuesta.
  • 2. 3.- El número total de horas, medidas en unidades de 100 horas, que una familia utiliza una aspiradora en un periodo de un año es una variable aleatoria continua X que tiene la siguiente función de densidad: 𝑓( 𝑥) = { 𝑥, 0 < 𝑥 < 1, 2 − 𝑥, 1 ≤ 𝑥 < 2, 0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜. Calcule la probabilidad de que en un periodo de un año una familia utilice su aspiradora a) menos de 120 horas; b) entre 50 y 100 horas.
  • 3. 4.- La distribución de probabilidad de X, el número de imperfecciones que se encuentra en cada 10 metros de una tela sintética que viene en rollos continuos de ancho uniforme, está dada por x 0 1 2 3 4 f(x) 0.41 0.37 0.16 0.05 0.01 Construya la función de distribución acumulativa de X. 5.- Un embarque de 7 televisores contiene 2 unidades defectuosas. Un hotel compra 3 de los televisores al azar. Si x es el número de unidades defectuosas que compra el hotel a) Calcule la distribución de probabilidad de X. b) Exprese los resultados de forma gráfica como un histograma de probabilidad. c) Calcule la función de distribución acumulativa de la variable aleatoria X que represente el número de unidades defectuosas. Luego utilice F(x) para calcular d) 𝑃( 𝑋 = 1); e) 𝑃(0 < 𝑋 ≤ 2); f) Construya una gráfica de la función de distribución acumulativa.
  • 4. 6.- Una empresa de inversiones ofrece a sus clientes bonos municipales que vencen después de varios años. Dado que la función de distribución acumulativa de T, el número de años para el vencimiento de un bono que se elige al azar, es 𝐹( 𝑡) = { 0, 𝑡 < 1 1 4 , 1 ≤ 𝑡 < 3 1 2 , 3 ≤ 𝑡 < 5 3 4 , 5 ≤ 𝑡 < 7 1, 𝑡 ≥ 7, calcule a) 𝑃( 𝑇 = 5); b) 𝑃( 𝑇 > 3); c) 𝑃(1.4 < 𝑇 < 6); d) 𝑃( 𝑇 ≤ 5| 𝑇 ≥ 2). 7.- De una caja que contiene 4 monedas de 10 centavos y 2 monedas de 5 centavos se seleccionan 3 monedas al azar y sin reemplazo. Calcule la distribución de probabilidad para el total T de las tres monedas. Exprese la distribución de probabilidad de forma gráfica como un histograma de probabilidad.
  • 5. 8.- El tiempo que pasa, en horas, para que un radar detecte entre conductores sucesivos a los que exceden los límites de velocidad es una variable aleatoria continua con una función de distribución acumulativa 𝐹( 𝑥) = { 0, 𝑥 < 0, 1 − 𝑒−8𝑥, 𝑥 ≥ 0. Calcule la probabilidad de que el tiempo que pase para que el radar detecte entre conductores sucesivos a los que exceden los límites de velocidad sea menor de 12 minutos a) usando la función de distribución acumulativa de X; b) utilizando la función de densidad de probabilidad de X. 9.- Una variable aleatoria continua X, que puede tomar valores entre x=1 y x=3, tiene una función de densidad dada por 𝑓( 𝑥) = 1 2 . a) Muestre que el área bajo la curva es igual a 1. b) Calcule 𝑃(2 < 𝑋 < 2.5). c) Calcule 𝑃( 𝑋 ≤ 1.6). d) Calcule F(x). Utilícela para evaluar 𝑃(2 < 𝑋 < 2.5).
  • 6. d) 1/4 10.- Una variable aleatoria continua X, que puede tomar valores entre x=2 y x=5, tiene una función de densidad dada por 𝑓( 𝑥) = 2(1+𝑥) 27 . Calcule a) Muestre que el área bajo la curva es igual a 1. b) Calcule 𝑃( 𝑋 < 4). c) Calcule 𝑃(3 ≤ 𝑋 < 4). d) Calcule F(x). Utilícela para evaluar 𝑃(3 ≤ 𝑋 < 4). 11.- Considere la función de densidad 𝑓( 𝑥) = { 𝑘√ 𝑥, 0 < 𝑥 < 1, 0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜. a) Evalúe k. b) Calcule F(x) y utilice el resultado para evaluar 𝑃(0.3 < 𝑋 < 0.6). 12.- El tiempo que pasa, en horas, antes de que una parte importante de un equipo electrónico que se utiliza para fabricar un reproductor de DVD empiece a fallar tiene la siguiente función de densidad: 𝑓( 𝑥) = { 1 2000 𝑒 ( −𝑥 2000 ) , 𝑥 ≥ 0, 0, 𝑥 < 0. a) Calcule F(x). b) Determine la probabilidad de que el componente (y, por lo tanto, el reproductor de DVD) funcione durante más de 1000 horas antes de que sea necesario reemplazar el componente. c) Determine la probabilidad de que el componente falle antes de 2000 horas.
  • 7. 13.- Un factor importante en el combustible sólido para proyectiles es la distribución del tamaño de las partículas. Cuando las partículas son demasiado grandes se presentan problemas importantes. A partir de datos de producción históricos se determinó que la distribución del tamaño (en micras) de las partículas se caracteriza por 𝑓( 𝑥) = {3𝑥−4, 𝑥 > 1, 0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜. a) Verifique que sea una función de densidad válida. b) Evalúe F(x). c) ¿Cuál es la probabilidad de que una partícula tomada al azar del combustible fabricado sea mayor que 4 micras? 14.- Con base en pruebas extensas, el fabricante de una lavadora determinó que el tiempo Y (en años) para que el electrodoméstico requiera una reparación mayor se obtiene mediante la siguiente función de densidad de probabilidad: 𝑓( 𝑦) = { 1 4 𝑒 −𝑦 4 , 𝑦 ≥ 0, 0, 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜. a) Los críticos considerarían que la lavadora es una ganga si no hay probabilidades de que requiera una reparación mayor antes del sexto año. Comente sobre esto determinando 𝑃( 𝑌 > 6). b) ¿Cuál es la probabilidad de que la lavadora requiera una reparación mayor durante el primer año? 15.- Se está revisando qué proporciones de su presupuesto asigna cierta empresa industrial a controles ambientales y de contaminación. Un proyecto de recopilación de datos determina que la distribución de tales proporciones está dada por 𝑓( 𝑦) = { 5(1 − 𝑦)4, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, 0, 𝑒𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜. a) Verifique que la función de densidad anterior sea válida. b) ¿Cuál es la probabilidad de que una empresa elegida al azar gaste menos de 10% de su presupuesto en controles ambientales y de contaminación?
  • 8. c) ¿Cuál es la probabilidad de que una empresa seleccionada al azar gaste más de 50% de su presupuesto en controles ambientales y de la contaminación? ESPERANZA MATEMATICA O VALOR ESPERADO 16.- La distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es 𝑓( 𝑥) = (3 𝑥 )( 1 4 ) 𝑥 ( 3 4 ) 3−𝑥 , 𝑥 = 0,1,2,3. Calcule la media de X. 17.- Una moneda está cargada de manera que la probabilidad de ocurrencia de una cara es tres veces mayor que la de una cruz. Calcule el número esperado de cruces si esta moneda se lanza dos veces. 18.- En un juego de azar a una mujer se le pagan $3 si saca una jota o una reina, y $5 si saca un rey o un as de una baraja ordinaria de 52 cartas. Si saca cualquier otra carta, pierde. ¿Cuánto debería pagar si el juego es justo? 19.- Si una persona invierte en unas acciones en particular, en un año tiene una probabilidad de 0.3 de obtener una ganancia de $4000 o una probabilidad de 0.7 de tener una pérdida de $1000. ¿Cuál es la ganancia esperada de esta persona?
  • 9. 20.- Suponga que un distribuidor de joyería antigua está interesado en comprar un collar de oro para el que tiene 0.22 de probabilidades de venderlo con $250 de utilidad; 0.36 de venderlo con $150 de utilidad; 0.28 de venderlo al costo y 0.14 de venderlo con una pérdida de $150. ¿Cuál es su utilidad esperada? 21.- A un operador de un local de lavado de autos se le paga de acuerdo con el número de automóviles que lava. Suponga que las probabilidades de que entre las 4:00 p.m. y las 5:00 p.m. de cualquier viernes soleado reciba $7, $9, $11, $13, $15 o $17 son: 1/12, 1/12, ¼, ¼, 1/6 y 1/6, respectivamente. Calcule las ganancias esperadas del, operador para este periodo específico. 22.- Utilizando la información del ejercicio 7; calcule la media de la variable aleatoria T que representa el total de las tres monedas. 23.- Un piloto privado desea asegurar su avión por $200,000. La aseguradora estima que la probabilidad de pérdida total es de 0.002, que la probabilidad de una pérdida del 50% es de 0.01 y la probabilidad de una pérdida del 25% es de 0.1. Si se ignoran todas las demás pérdidas parciales, ¿qué prima debería cobrar cada año la aseguradora para tener una utilidad promedio de $500? 24.- La función de densidad de las mediciones codificadas del diámetro de paso de los hilos de un encaje es 𝑓( 𝑥) = { 4 𝜋(1 + 𝑥2) , 0 < 𝑥 < 1, 0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜. Calcule el valor esperado de X. 25.- La función de densidad de la variable aleatoria continua X, el número total de horas que una familia utiliza una aspiradora durante un año, en unidades de 100 horas, se da como 𝑓( 𝑥) = { 𝑥, 0 < 𝑥 < 1, 2 − 𝑥, 1 ≤ 𝑥 < 2, 0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜.
  • 10. Calcule el número promedio de horas por año que las familias utilizan sus aspiradoras. 26.- Calcule la proporción X de personas que se podría esperar que respondieran a cierta encuesta que se envía por correo, si X tiene la siguiente función de densidad 𝑓( 𝑥) = { 2( 𝑥 + 2) 5 , 0 < 𝑥 < 1, 0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜. 27.- El periodo Y en minutos que se requiere para generar un reflejo humano ante el gas lacrimógeno tiene la siguiente función de densidad 𝑓( 𝑦) = { 1 4 𝑒−𝑦 4⁄ , 0 ≤ 𝑦 < ∞, 0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜. ¿Cuál es el tiempo medio para el reflejo?