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a                                   Serie
    Desarrollo del pensamiento matemático




    Fracciones I
                 ...
372.7
    And.
    Divisibilidad
    Federación Internacional Fe y Alegría, 2006.
    32 p.; 21,5 x 19 cm.
    ISBN: 980-6...
“Hay que atreverse a convertir los centros
y los programas educativos en talleres de humanidad
y a otorgar títulos de verd...
Equipo editorial
Beatriz Borjas
Dimensión: Desarrollo del pensamiento matemático
                                         ...
introducción...
     ...y para desperezarnos un poco, ahí           ¿Cuál de estas dos fracciones es ma-           debe ca...
ES UNA PARTE
    conocer limita y condiciona nuestro                                                        Indudablemente...
la tierra a repartir, el total de los bienes   1/8. Como ejercicio, le sugerimos que                    “matemáticos” –y p...
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1. Verbal: “los dos quintos de…”               flejen la magnitud de la relación            En lo que sigue analizaremos al...
3.2. La partición de la unidad
       Alfredo y Rafael tienen dinero en el bolsillo. Alfredo gasta la quinta parte del suy...
¿Qué fracción está representada por la cuadrícula rayada de la figura?




Pues, evidentemente, no es 1/5. Habrá que hacer ...
¿Existen fracciones negativas?                                                                 Conviene diferenciar la sit...
1/5 de pan cada uno. En otras palabras, como
                                                3.4. Ejercicios de aplicación...
Primero, debemos construir las 3 cuadrículas de tamaño 1/4 que llenan la gráfica anterior:     Grafique la fracción 3/2, si ...
El mismo ejercicio para la siguiente situación:                                                 Exprese la unidad si la gr...
PUES NO, NO TODO
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Una observación adicional respecto a la       magnitudes de la parte y del todo de algo.        dedicados a ellos, por si ...
entra en el terreno de las fracciones, sino    denominador: “quinto” debe verse como             Nuestro len-
     justame...
5.1. ¡Qué bueno! Nos topamos                progresivamente. Porque no todos los
  ¿Cuál de estas dos fracciones es ma-   ...
Para pasar
                     Al sistema                     Procedimiento                              Ejemplo
     del...
Representar la fracción 7/4 en los demás sistemas de representación.
a) Gráfico discreto (el número de • con respecto al t...
5.3. Del sistema de                                 anteperíodo (por ejemplo, 8 en 5/6,       5.4. Del sistema de
        ...
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Un comentario final al llegar a este             ciones de denominador 20 (0,65                  d) 200% a decimal
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9. Determine si los siguientes pares          1/3 es 0,333...; y el correspondiente a            En resumen, podemos decir...
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Fracciones I Concepto Y Representación

  1. 1. a Serie Desarrollo del pensamiento matemático Fracciones I Nº 9 b Concepto y representación Martín Andonegui Zabala
  2. 2. 372.7 And. Divisibilidad Federación Internacional Fe y Alegría, 2006. 32 p.; 21,5 x 19 cm. ISBN: 980-648-80-8 Matemáticas, Fracciones. 2
  3. 3. “Hay que atreverse a convertir los centros y los programas educativos en talleres de humanidad y a otorgar títulos de verdaderas personas. La educación no puede ser meramente un medio para ganarse la vida, sino que tiene que ser esencialmente un medio para ganar la vida a los demás, para provocar las ganas de vivir con sentido y con proyecto, con metas e ideales”. Antonio Pérez Esclarín
  4. 4. Equipo editorial Beatriz Borjas Dimensión: Desarrollo del pensamiento matemático A modo de Serie: Fracciones I, número 9 Autor: Martín Andonegui Zabala Este libro se ha elaborado con el propósito de apoyar la práctica educativa de los cientos de educadores de Fe y Alegría. Su publicación se realizó en el marco del Programa Internacional de Formación de Educadores Popula- res desarrollado por la Federación Internacional Fe y Alegría desde el año 2001. Diseño y diagramación: Juan Bravo Portada e ilustraciones: Juan Bravo Corrección de textos: Beatriz Borjas, Carlos Guédez, Margarita Arribas Edita y distribuye: Federación Internacional Fe y Alegría. Esquina de Luneta, Edif. Centro Valores, piso 7, Altagracia, Caracas 1010-A,Venezuela. Teléfonos: (58) (212) 5631776 / 5632048 / 5647423 Fax (58) (212) 5645096 web: www.feyalegria.org © Federación Internacional Fe y Alegría Depósito Legal: lf 603 2006 510 1591 Caracas, abril 2006 Publicación realizada con el apoyo de: Centro Magis Instituto Internacional para la Educación Superior en América Latina y el Caribe (IESALC) - Corporación Andina de Fomento (CAF)
  5. 5. introducción... ...y para desperezarnos un poco, ahí ¿Cuál de estas dos fracciones es ma- debe caracterizar la forma de construir van unas cuestiones sencillas para en- yor: 7/8 ó 7/9? nuestro pensamiento matemático. ¿Qué trar en materia y en calor. Tratemos de significa esto? resolverlas antes de seguir adelante. Bien, ya tenemos nuestras res- puestas, que iremos contrastando • La presencia constante de la meta ¿Existen fracciones negativas? ¿Puede con las indicaciones y ejercicios que última de nuestro estudio: alcanzar unos considerarse 1 como una fracción? ¿Y 0? plantearemos a lo largo de las líneas niveles de conocimiento tecnológico y ¿Y cualquier otro número natural? ¿Puede que siguen. reflexivo, lo cual debe abrir ese estudio haber fracciones cuyo numerador sea hacia la búsqueda de aplicaciones de igual al denominador? ¿Y cuyo numera- Y un segundo recordatorio: lo aprendido, hacia el análisis de los dor sea mayor que el denominador? ¿Es La sugerencia que proponíamos en sistemas que dan forma a nuestra vida una fracción la expresión 2 5 ? 3 el Cuaderno Nº 1 y que siempre pre- y utilizan ese conocimiento matemático, sidirá los demás Cuadernos: Vamos a y hacia criterios sociales y éticos para 1. ¿Cuál es la diferencia entre el 40% estudiar matemática, pero no lo vamos juzgarlos. de una cantidad y los dos quintos de a hacer como si fuéramos simplemente esa misma cantidad? unos alumnos que posteriormente van • Construir el conocer de cada tó- a ser evaluados, y ya. No. Nosotros pico matemático pensando en cómo 2. ¿Cuántos decimales tiene la fracción somos docentes –docentes de mate- lo enseñamos en el aula, además de 1/2.000? mática en su momento– y este rasgo reflexionar acerca de cómo nuestro (*) Aviso a los navegantes: Las respuestas a los ejercicios precedidos por un número en negrita aparecen al final del Cuaderno. Las respuestas a los ejercicios que no se encuentran precedidos por un número no las encontrarás en este Cuaderno. Dichas respuestas son para que las construyas y las valides con tu grupo de trabajo. Para referirnos a las fracciones en su forma numérica habitual, utilizaremos los símbolos 7/8 ó bien 8 . 7 5
  6. 6. ES UNA PARTE conocer limita y condiciona nuestro Indudablemente, poder dar una res- DE UN TODO... trabajo docente. De esta forma, integrar puesta más satisfactoria requiere inda- nuestra práctica docente en nuestro Si precisamos que gar acerca de qué son las fracciones, estudio. nos referimos a cuándo y por qué aparecen en el acervo una fracción en el cultural de la humanidad, cuál es su im- • Como complemento a lo anterior, ámbito de la ma- portancia y para qué pueden servirnos construir el conocer de cada tópico temática, quizá la hoy en día. Esta indagatoria nos lleva a matemático pensando en cómo lo po- respuesta se extienda a: la historia de la cultura humana. demos llevar al aula. Para ello, tomar UN PAR DE NÚMEROS conciencia del proceso que seguimos SEPARADOS POR UNA Los conocimientos “matemáticos” para su construcción, paso a paso, así RAYA... iniciales en el campo numérico hallaron como de los elementos –cognitivos, su forma de expresarse mediante el uso actitudinales, emocionales...– que se de los números naturales, números que presenten en dicho proceso. Porque facilitaban el conteo de cantidades y la a partir de esta experiencia reflexiva medida de magnitudes, y con los que se como estudiantes, podremos enten- y, en seguida, optarán por darnos podía “operar” para resolver situaciones der y evaluar mejor el desempeño de unos ejemplos: 1 , 4 , 10 , 3 , y otros simi- 2 3 1 2 de la vida diaria (agregar, reunir, quitar, nuestros alumnos –a su nivel– ante los lares. calcular lo que falta, sumar iteradamen- mismos temas. te, obtener el valor de varias veces algo, La pregunta de por qué se estudian repartir, averiguar cuántas veces una • En definitiva, entender que la las fracciones en la escuela puede ser cantidad contiene o está contenida en matemática es la base de su didáctica: aún más comprometedora, incluso para otra...) cuyos modelos son, precisamen- la forma en que se construye el cono- algunos maestros, y probablemente lle- te, las cuatro operaciones aritméticas cimiento matemático es una fuente ve a respuestas que no pasen de: (ver Cuadernos nº 3 a nº 7). imprescindible a la hora de planificar y desarrollar su enseñanza. PORQUE ASÍ ESTA Pero entre estas mismas situaciones DETERMINADO EN LOS cotidianas existen –y existieron siem- Y ahora, vamos al tema de este Cua- PROGRAMAS... pre– otras, tales como los repartos de derno, las fracciones, su concepto y su o herencias, bienes y tierras, o el pago de representación. PORQUE SIEMPRE SE tributos, diezmos e impuestos, y otras HAN ESTUDIADO... más, en las que, además de las canti- 1. ¿De dónde vienen o dades enteras implicadas, aparecía un PORQUE SE NECESITA las fracciones? SU CONOCIMIENTO nuevo elemento a considerar: la relación Si preguntamos a la gente qué es PARA ABORDAR entre la parte (la porción de tierra reci- una fracción, probablemente muchos FUTUROS TEMAS bida, el monto del tributo o impuesto nos responderán diciendo que: ESCOLARES... pagado...) y el todo (la superficie total de 6
  7. 7. la tierra a repartir, el total de los bienes 1/8. Como ejercicio, le sugerimos que “matemáticos” –y por consiguiente, a poseídos...). halle la “descomposición” de 1/27 a las fracciones– un uso eminentemente partir de la inscripción ‘igi 27 gál-bi 2 práctico, de aplicación a la vida diaria, Como la parte y el todo venían deno- 13 20’ y verifique su exactitud... al comercio, a la arquitectura, a la as- tados por números naturales, se requería tronomía, etc. Pero no hubo entre ellos una nueva expresión –un nuevo tipo una preocupación teórica acerca del de número...– para indicar esa relación concepto de número, como sí la hubo entre dos números naturales. Este es en la cultura griega. Vamos a asomar- el significado cultural primigenio de la nos a ella. fracción: la expresión numérica de la relación entre una parte y el todo. Cual- Los pitagóricos (s. VI a.C.) considera- quier representación que se haga de la ban como números solamente a los nú- fracción debe expresar esa relación entre meros naturales. ambos números naturales (como lo hace Por su parte, los egipcios también Pensaban, ade- la representación habitual, a/b, donde a utilizaron símbolos acordes con su siste- más, que la natu- se refiere a la parte y b al todo). ma de numeración para denotar las frac- raleza se reducía ciones. Así, las fracciones del tipo 1/n a estos números, Este requerimiento cultural –“núme- (salvo 1/2 y 1/4) se representaban con en el sentido de ros que representan fracciones”– apa- la notación correspondiente del número que todo objeto rece plasmado en símbolos abstractos n y un óvalo o punto superpuesto al nú- podía expresarse ya desde las culturas babilónica y mero. Las demás fracciones (salvo 2/3, con un número egipcia; es decir, desde unos 3.000 que tenía también su símbolo particular (la medida de su años a.C. en adelante (Kline, 1992). Los de representación) se reducían a una magnitud), y las relaciones entre objetos babilonios utilizaron fracciones cuyos “suma” de las fracciones unitarias. Por (entre sus magnitudes), siempre como “denominadores” eran potencias de ejemplo y en nuestra notación actual, 5 2 una relación entre números naturales. 60 [Recuérdese que 60 era la base de = 3 + 15 , expresión a la que llegaban de 1 1 su sistema de numeración: ver Cua- la siguiente forma (tomando en cuenta Para lograr esta relación suponían derno nº 2] y con ellas representaban que 3 veces 1/15 es 1/5, y que 5 veces que siempre funcionaría el principio de las fracciones de la forma 1/n. Así, por 1/15 es 1/3): 5 = 5 + 5 = ( 15 + 15 + 15) + 2 1 1 1 1 1 conmensurabilidad, es decir, que dadas ejemplo, la inscripción igi 2 gál-bi 30’ ( 15 + 15 + 15) = 15 + ( 15 + 15 + 15 + 15 +15) = 15 + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 dos magnitudes (por ejemplo, dos seg- se traduce en términos actuales como: 3 . Del mismo modo, 7 = 28 + 4 (obténgalo 1 2 1 1 mentos), siempre era posible encontrar 1/2 = 30/60. Análogamente, igi 8 gál- al modo egipcio...). una magnitud (un segmento) menor que bi 7 30’ se traduce como: 1/8 = 7/60 + Cabe destacar que “encajara” un número exacto de veces 30/602, lo cual es cierto, ya que 7/60 tanto babilonios como en cada una de las dos magnitudes + 30/602 = 7/60 + 30/3600 = 7/60 + egipcios dieron a (los dos segmentos) relacionadas. 1/120 = 14/120 + 1/120 = 15/120 = los conocimientos Es decir, dados los segmentos a 7
  8. 8. y b, podía suceder que ni a encajara Stevin da la idea de una solución que 2. El concepto de fracción un número exacto de veces en b, ni imperará durante tres siglos, al proponer y sus diversas formas viceversa. Pero entonces, siempre era una nueva definición: número es aquello de representación posible encontrar un segmento menor c, mediante lo que se explica la magnitud Después de esta breve introducción tal que estuviera contenido “n veces” en de alguna cosa” (Ferreirós, 1998, p. 8). histórica podemos plantear el concepto a y “m veces” en b, con lo que la relación Definición que Newton clarifica en 1707, de fracción como la expresión de la entre a y b podía denotarse mediante en su Arithmetica Universalis: relación entre una parte y el todo. Para la expresión n/m. Por ejemplo, si la definirlo, necesitamos tres elementos: longitud de un segmento a era “una vez ENTENDEMOS POR y media” la de un segmento b, c sería NÚMERO NO TANTO UNA 1. Un todo, considerado como uni- la mitad del segmento b, con lo cual b MULTITUD DE UNIDADES dad contendría 2 “minisegmentos” c, y a, 3 CUANTO LA RAZÓN ENTRE 2. Una partición de ese todo en b “minisegmentos” c; así, la relación entre UNA CANTIDAD ABSTRACTA partes congruentes (b > 0) CUALQUIERA Y OTRA DEL a y b vendría dada por la relación 3/2, 3. La referencia a un número a de MISMO GÉNERO QUE SE es decir, “como 3 es a 2”. esas partes. TOMA POR UNIDAD. Pero esta relación y su expresión En Matemática, los conceptos re- como aparente “cociente” de dos (Citado en Ferreirós, quieren necesariamente algún modo de números naturales no era conside- 1998, p. 8). representación que ha de ser pertinente, rada como un nuevo número –una es decir, que permita mostrar adecua- fracción, la expresión de una relación De esta manera, una damente y con cierta simplicidad el parte/todo–, sino como una razón entre fracción como 2/3 –que concepto y sus propiedades, así como las ambas magnitudes, es decir, como inicialmente sólo repre- posibles operaciones y transformaciones la expresión numérica de la relación sentaba la relación entre a las que puede someterse posteriormen- entre ellas, sin que ambas estuvieran la magnitud de la parte y la del todo del te. En este sentido, algunos conceptos necesariamente ligadas como un par que procedía– se interpreta también como son polimorfos, es decir, pueden adoptar “parte/todo” (de hecho, en el ejemplo un número que mide el “número de veces diversas formas de representación. Tal es anterior, los dos segmentos son inde- que la parte está contenida en el todo, el caso del concepto de fracción. pendientes). En la Aritmética de los considerado éste como la unidad”. Así, las griegos no existieron, pues, las frac- fracciones, como los números naturales y En efecto, existen varios campos o ciones como números al estilo de los hasta los propios números irracionales (las sistemas de representación para el con- babilonios y egipcios. raíces cuadradas, por ejemplo), se convier- cepto de fracción. Vamos a presentarlos ten en números-medida de magnitudes –tomando como referencia un todo frac- La idea de que las fracciones eran comparadas con la unidad. Por consi- cionado en 5 partes congruentes, de las realmente números se consolidó a par- guiente, todos ellos pueden representarse que consideramos 2– y, posteriormente, tir del Renacimiento. “En 1585, Simon como puntos de la recta numérica. a describirlos: 8
  9. 9. 1. Verbal: “los dos quintos de…” flejen la magnitud de la relación En lo que sigue analizaremos algu- 2. Numérico: 2/5 entre la parte y el todo (sistema nas de las implicaciones inmediatas 3. Gráfico continuo (número de cua- numérico). que se derivan del concepto de frac- drículas rayadas con respecto al número 3. Puede referirse a magnitudes con- ción; luego nos detendremos en el total de cuadrículas congruentes): tinuas tales como la longitud de sistema numérico de representación un segmento, el área de una su- a/b; y posteriormente, trataremos perficie, el volumen de un sólido... de ver qué sentido tiene el hecho de 4. Gráfico discreto (número de • (sistema gráfico continuo). disponer de tantos sistemas de repre- con respecto al número total de obje- 4. O también a magnitudes discre- sentación y qué podemos hacer con tos): tas, como el número de objetos de todos ellos. un conjunto, la cantidad de dine- • ✺ ro... (sistema gráfico discreto). 3. Algunas consecuencias ✺ inmediatas derivadas ✺ Los sistemas de representación 5 y del concepto de fracción • 6 (decimal y como punto sobre la recta Anteriormente mencionamos tres numérica) responden más bien a la idea elementos necesarios para integrar el 5. Decimal: 0,40 (40 de las 100 posterior y complementaria de fracción concepto de fracción. Vamos a dete- centésimas que posee la unidad) como medida de magnitudes compara- nernos en cada uno de ellos. Después 6. Punto sobre la recta numérica: das con la unidad, de la que también se plantearemos algunos ejercicios que habló anteriormente. Finalmente, todo pueden ser resueltos tomando en 0 1/5 2/5 3/5 4/5 1 porcentaje (sistema 7) puede considerarse cuenta directamente el concepto de en principio como una fracción de deno- fracción. 7. Porcentual: 40% (40 de cada minador 100 –siempre que la cantidad 100 partes) porcentual sea entera; por ejemplo, 37%–. 3.1. El todo como unidad [Sin embargo, el uso que habitualmente se Cada fracción en particular hace Los cuatro primeros sistemas res- hace de los porcentajes y de sus aplicacio- referencia a un todo que se toma como ponden más directamente a la relación nes los ubica también en el terreno de las unidad, y que puede variar de una parte/todo, relación que, como sabemos razones y proporciones (reglas de tres...), situación a otra. Por eso, el todo es lo y hemos visto en las referencias históri- como veremos en el Cuaderno 11]. primero que hay que precisar cuando cas anteriores: de fracciones se trata. Veamos estas situaciones prácticas: 1. Puede expresarse verbalmente: la Observe la representación de una fracción mitad, los dos tercios, etc. (siste- en una calculadora científica... y compárela ma verbal). con las anteriores. ¿Una nueva 2. Habitualmente necesita explicitar forma de representación? los dos números enteros que re- 9
  10. 10. 3.2. La partición de la unidad Alfredo y Rafael tienen dinero en el bolsillo. Alfredo gasta la quinta parte del suyo El segundo elemento necesario para y Rafael, la mitad de lo que tiene. ¿Quién de los dos ha gastado más dinero? la definición de la fracción es la parti- ción del todo en b partes congruentes Evidentemente, no podemos precisar la respuesta porque desconocemos las cantidades (b > 0). de dinero que posee cada persona (los todos). Por ejemplo, Alfredo podía haber tenido 100 pesos (gastaría 20) y Rafael 30 (gastaría 15, menos que Alfredo). Pero también podría ocurrir lo contrario o, incluso, que ambos gastaran lo mismo (por ejemplo, si Alfredo tuviera ¿Por qué el número de partes ha de ser mayor 50 pesos y Rafael 20: ambos gastarían 10 pesos). En principio, 1/2 es mayor que 1/5, pero que 0? sólo si ambas fracciones se refieren al mismo todo. Porque no tiene sentido dividir algo en 0 Tres medios loros son loro y medio; pero, ¿cuántos loros y medio son? partes, no se puede. Por consiguiente, no puede haber fracciones de la forma a/0. Está claro: 1 (1 loro y medio). Esta especie de acertijo hace alusión jus- tamente a la posibilidad de manejar distintas unidades como referencia ¿Se puede dividir un todo en una parte? del todo: medio loro (hay 3), 1 loro (hay uno y medio), loro y medio (hay uno). Sí. Dividir un todo en una parte significa En una fiesta se reparte equitativamente un pastel entre 8 niños. que la parte es única y coincide con el Sara se lleva su parte a su casa y la comparte equitativamente todo. Es decir, el todo se deja intacto. Por con sus dos hermanos. a) ¿Qué fracción del pastel trajo Sara consiguiente, sí puede haber fracciones de a su casa? b) ¿Qué parte de ese pedazo de pastel se comerá? la forma a/1. c) ¿Qué parte del pastel original se comerá? a) Un octavo. El todo es el pastel original. Por otro lado, conviene insistir en b) Un tercio. El todo es el pedazo que va a compartir con sus dos hermanos. que las partes han de ser congruentes. c) 1/24. El todo es el pastel original. Esto significa que si las magnitudes son continuas (longitudes, áreas, volúme- ¿Cuántas docenas de huevos son 3 huevos? ¿Y cuántas nes, tiempos...), las partes han de ser del medias docenas? ¿Y cuántos pares de huevos son 7 huevos? mismo tamaño. Y que si son discretas, han de contar con el mismo número de Si el todo es la docena de huevos, 3 huevos son la cuarta parte (1/4) de una docena de elementos. huevos.Y si el todo es la media docena de huevos, 3 huevos son la mitad (1/2) de una media docena de huevos. Por su parte, 7 huevos son 3 pares y medio (3 1/2) de huevos. Volveremos sobre estas precisiones más adelante. 10
  11. 11. ¿Qué fracción está representada por la cuadrícula rayada de la figura? Pues, evidentemente, no es 1/5. Habrá que hacer otros cálculos para llegar a la respuesta. Al repartir 36 juegos educativos entre 3 aulas de preescolar, se dejan, respectivamente, 11, 11 y 14 juegos. ¿Puede decirse que a cada aula le corresponde 1/3 del total de juegos? No, ya que las tres partes no son congruentes. De haberse dejado 12 juegos en cada aula, sí podría decirse que a cada una le correspondió 1/3 del total de los juegos. Tenemos un todo dividido en b partes. ¿Puedo no considerar ninguna de esas partes, es decir, 3.3. Considerar algunas referirme a 0 partes? de esas partes Veamos algunas de las situaciones Sí. Sería el caso, por ejemplo, de yo ser tomado en cuenta para el que se pueden presentar (de paso reparto de un pastel y luego renunciar a la parte que me corres- iremos dando respuesta a algunas de ponde: me estaría llevando 0 partes del pastel (0/b), es decir, nada, las preguntas planteadas al inicio del 0. Por consiguiente, 0 es una fracción, que responde a la forma 0/b, Cuaderno): cualquiera que sea el valor de b > 0. ¿Un número natural a puede ser considerado como una fracción? Acabamos de ver que 0 es una fracción. Afirmar que cualquier otro número natural, por ejemplo el 3, también puede ser considerado como fracción exige establecer qué sentido tiene 3 como fracción: significa que el todo ha sido dividido en una parte –es decir, se deja intacto– y que ahora considero 3 de esas partes, es decir, 3 todos, 3 unidades. Así, la representación numérica más inmediata de 3 como fracción sería 3/1. Por consiguiente, cualquier número natural a puede ser considerado como una fracción. 11
  12. 12. ¿Existen fracciones negativas? Conviene diferenciar la situación anterior de esta otra: Evidentemente, no. El número de partes en que se divide el todo viene dado por un nú- mero natural mayor que 0. Y el número de partes que se toman o consideran viene dado también por cualquier número natural, incluido el 0. Nunca aparecen números negativos, y tampoco es posible una relación negativa entre la parte y el todo. Por consiguiente, no A pesar de que ahora también considera- podemos hablar de fracciones negativas. mos 7 cuadrículas del mismo tamaño que en el caso anterior, la situación nos está ¿Existen fracciones de la forma a/b en las que a pueda ser igual o mayor que b? hablando de un todo dividido en 8 partes congruentes de las que estamos tomando La respuesta es afirmativa en ambos casos. Si a = b, estamos hablando del número 1, ya 7: esta representación gráfica corresponde que la situación indica que el todo se divide en b partes, de las cuales consideramos todas; a la fracción numérica 7/8. De nuevo hay es decir, estamos tomando el todo, la unidad. Si a > b, simplemente estamos indicando que que resaltar la importancia de definir el consideramos un número a de partes que es mayor que el número b de partes en que se todo en cada caso. dividió el todo; lógicamente, esta fracción excede el valor del todo, de la unidad. Una situación en la que pueden presentarse fracciones impropias es la correspondiente al reparto equitativo de objetos (más ob- La última situación nos lleva a hablar La fracción 7/4 viene dada por la jetos que receptores), siempre que estos de dos clases de fracciones: propias, parte rayada siguiente: objetos se “dejen” fraccionar. Por ejemplo, aquellas de la forma numérica a/b en si se reparten 8 balones entre 5 personas, las que a < b; e impropias, aquellas de la no podemos decir que a cada persona le forma a/b en las que a > b. Vamos a refe- toquen 8/5 de balón, ya que estos objetos rirnos con más detalle a estas últimas. son indivisibles; la situación se resuelve de acuerdo al modelo de una división entera: ¿Cuál es el significado de una frac- a cada persona le corresponde 1 balón ción como 7/4? De acuerdo con el pro- Evidentemente, 7/4 equivale a 4/4 (cociente) y quedan 3 (resto) sin repartir. ceso que lleva a su definición, hay un más 3/4, es decir y como se observa en todo que inicialmente se ha dividido en la gráfica, a 1 y 3/4: una unidad com- Pero si se trata de, por ejemplo, 8 panes, sí 4 partes congruentes; posteriormente pleta y 3/4 de otra. Cuando la fracción tiene sentido decir que a cada persona le consideramos 7 de esas partes, es decir, impropia se expresa como un entero y corresponden 8/5 de pan. Esta expresión, tomamos 7 partes del tamaño 1/4 del una fracción propia, recibe el nombre resultado del reparto, significa que cada pan todo. Gráficamente, tenemos un todo di- de fracción mixta, es decir, “mezcla” se ha dividido en 5 partes congruentes, 5 vidido en 4 cuadrículas congruentes: de un entero y de una fracción propia, quintos, (obsérvese que el todo es un pan) y se representa colocando juntos ambos y que a cada persona le corresponden 8 de elementos: 1 4 . 3 esas quintas partes, 8 “trozos” del tamaño de 12
  13. 13. 1/5 de pan cada uno. En otras palabras, como 3.4. Ejercicios de aplicación si fuera 1 pan entero y 3/5 de otro pan. directa del concepto de fracción Por otro lado, el proceso de pasar de Y ahora, algunas situaciones que una expresión de fracción impropia a pueden ser resueltas directamente a una de fracción mixta es muy sencillo: partir de las consideraciones previas se efectúa la división del numerador acerca del concepto de fracción: entre el denominador; el cociente da el entero de la fracción mixta; y la fracción propia adicional tiene como numerador Rosario y Maribel participan en dos fiestas diferentes, en las cuales se reparten equi- el resto de la división y como denomina- tativamente sendos pasteles del mismo tamaño. Si el trozo recibido por Rosario es dor, el divisor de la misma división. menor que el recibido por Maribel, ¿en cuál de las dos fiestas hubo más invitados? Así, por ejemplo, para 11/5: Evidentemente, hubo más invitados en la fiesta en la que participó Rosario, porque si la 11 5 11 5 =21 5 unidad es la misma, cuanto mayor es el número de partes, menor es el tamaño de cada 1 2 una, y viceversa. El proceso inverso se analizará al hablar de la suma de fracciones, aunque puede 4. Si la unidad se representa gráficamente mediante este rectángulo: ser fácilmente deducido por los lectores. Es de hacer notar que las fraccio- nes mixtas suelen utilizarse con cierta indique qué fracción está representada por la parte rayada: frecuencia en el habla de la vida diaria, como por ejemplo, cuando alguien so- licita 2 metros y medio de una tela o un refresco que contiene litro y medio, o cuando uno habla de una película de cine que dura hora y tres cuartos o de un pitcher que ha estado lanzando durante 7 entradas y dos tercios en Si la gráfica un juego de béisbol... 3. Escriba las fracciones mixtas corres- pondientes a las fracciones impropias: 2 , 3 representa los 3/4 de cierta unidad, construya la unidad correspondiente. , , , 12 15 9 100 76 10 4 9 13
  14. 14. Primero, debemos construir las 3 cuadrículas de tamaño 1/4 que llenan la gráfica anterior: Grafique la fracción 3/2, si la unidad es: ❏❏❏❏❏❏ Como la mitad de la unidad viene expresada Y a partir de aquí, completar la unidad (los 4/4) con 4 de esas cuadrículas: por 3 cuadritos, y como 3/2 equivale a una unidad y media, tendremos la gráfica: ❏❏❏❏❏❏❏❏❏ Grafique la fracción 6/5, si la unidad es: El mismo ejercicio, si la gráfica representa 1/4 de la unidad: ❍❍❍❍❍ ❍❍❍❍❍ La fracción 6/5 equivale a la unidad más 1/5 de la misma (❍ ❍), con lo que ten- La gráfica de la unidad puede ser ésta (pueden darse otras formas de agrupación de las12 dremos: cuadrículas congruentes): ❍❍❍❍❍❍ ❍❍❍❍❍❍ Represente la unidad sobre la recta numérica, a partir de la ubicación de la fracción dada: De nuevo, el mismo ejercicio, si la gráfica representa los 3/5 de la unidad: 0 1/3 Si el punto indicado representa a la fracción Ahora la unidad se compondrá de 5 de las cuadrículas anteriores; por ejemplo: 1/3, la unidad comprenderá 9 de los peque- ños segmentos marcados, es decir: 0 1/3 2/3 1 14
  15. 15. El mismo ejercicio para la siguiente situación: Exprese la unidad si la gráfica repre- senta la fracción 14 : 3 0 4/7 Se observa que la fracción 1/7 abarca dos de los pequeños segmentos marcados, de donde Obsérvese que hay justamente 14 elemen- se deduce que la unidad comprenderá 14 de tales segmentos: tos de la forma en la figura anterior, por lo que ese elemento equivale a 1/3 de la 0 1/7 4/7 1 unidad considerada. Una representación gráfica de la unidad puede ser: . Ahora puede verificarse en la gráfica inicial cómo Exprese ahora la unidad si la gráfica representa sus 7/5 partes: la fracción 14 equivale a la mixta 4 2 . 3 3 Primero debemos obtener la cuadrícula equivalente a 1/5 de la unidad. Para ello, dividimos 4. La representación numérica el rectángulo anterior en 7 partes congruentes y rayamos una de ellas: de la fracción: a/b Como vimos anteriormente, el siste- ma numérico de representación de una fracción adopta la forma a/b. Aunque ya Ahora construimos la unidad, equivalente a 5 de estas cuadrículas: hemos aludido a ella, incluso en algunos ejercicios previos, vamos a detenernos algo más, por cuanto es la de uso más La gráfica final de la unidad es: habitual y conviene establecer algunas puntualizaciones al respecto. 4.1. Antes de seguir, ¿cuántos Represente la unidad sobre la recta numérica, a partir de la ubicación de la fracción dada: significados puede tener una expresión del tipo a/b? 0 12/5 Esta llamada de atención es nece- saria y oportuna, como veremos. Con lo La observación nos lleva a comprobar que cada fracción 1/5 abarca dos de los segmentos expresado hasta ahora, podemos reco- pequeños marcados sobre la recta numérica, por lo que la unidad comprenderá 10 de nocer dos significados: el de fracción y el tales segmentos: de razón. Pero también hay otros. Vamos a examinarlos con cuidado para que 0 1/5 1 12/5 no aceptemos como fracción cualquier expresión numérica de la forma a/b. 15
  16. 16. PUES NO, NO TODO LO QUE BRILLA ES 1. a/b como fracción: Expresa la relación 3. a/b como división de dos cantida- ORO, Y NO TODO LO 3 entre los valores de una parte y del todo des enteras: Expresa justamente eso, una QUE SE PARECE A MÍ del que proviene la parte. Por ejemplo, si en división indicada (por ejemplo, un reparto ES UNA FRACCIÓN... un grupo hay 20 hombres y 30 mujeres, la a efectuar), y la necesidad de calcular el JE JÉ relación del número de hombres con res- cociente (resultado del repar to). Por pecto al de todo el grupo es de 2/5, donde ejemplo, 180/15 puede indicar la división 4 el todo se ha tomado como 5 decenas de de 180 caramelos entre 15 niños, con el personas, y la parte, como 2 decenas de fin de averiguar el número de caramelos hombres. que corresponderá a cada niño. O bien, simplemente, la forma de proceder para 2. a/b como razón: Expresa la relación establecer cuántas veces 15 está contenido entre los valores de dos magnitudes cuales- en 180. A esta variedad de significados del quiera, de la misma o diferente naturaleza. símbolo a/b se le denomina polisemia Por ejemplo, la relación del número de 4. a/b como número racional: Es un de a/b. La moraleja de este cuento está hombres con respecto al de mujeres (en elemento de un conjunto numérico abs- clara: no todo lo que se representa en el caso anterior) es 2/3, es decir, el núme- tracto, denotado Q, que está formado por la forma a/b es una fracción; por consi- ro de hombres es al número de mujeres clases de pares ordenados equivalentes de guiente, no hay que confundirlas con las como 2 es a 3; o también, por cada dos números enteros (positivos y negativos) razones ni con los cocientes de números hombres hay 3 mujeres. Aquí 2/3 no re- cuyo segundo elemento es ≠ 0. Por ejemplo, naturales ni con los números racionales. presenta una fracción (no hay una relación el número racional 2/5 es un represen- Conceptualmente, estos cuatro “obje- parte/todo), sino una razón. O también, en tante de la clase de los infinitos números tos” matemáticos son diferentes, a pesar un movimiento uniforme, la velocidad (en racionales equivalentes a 2/5: {4/10, 12/30, de que pueden presentarse bajo la mis- km/h) de un vehículo que ha recorrido (-2)/(-5), (-6)/(-15), 14/35, …}. Un número ma forma. No es, por tanto, la forma lo 350 km en 5 horas viene representada racional no hace referencia a la medida de que distingue a estos conceptos, sino el por la razón 350/5 [Como veremos en el magnitudes que se relacionan como una análisis de la situación en que aparecen Cuaderno 11, en un movimiento uniforme parte con un todo (caso de las fracciones) en cada caso. las distancias recorridas son proporcionales o como dos magnitudes entre sí (caso de a los tiempos empleados; y desde esta las razones). Es algo abstracto, sin referentes, Pero hay algo más. Las fracciones perspectiva, la velocidad representa la propio de la matemática pura. Y puede ser tampoco están obligadas a presentarse razón de la proporcionalidad entre ambas negativo, situación que no se da ni en las siempre en la forma a/b. Ya vimos que magnitudes]. fracciones ni en las razones. hay otros seis posibles sistemas de representación. He aquí la riqueza y la complejidad de las fracciones como objeto de estudio. 16
  17. 17. Una observación adicional respecto a la magnitudes de la parte y del todo de algo. dedicados a ellos, por si alguien se siente diferenciación conceptual entre fracciones De ahí el recurso a la matemática pura, a la picado por la curiosidad...). y números racionales. El breve recorrido teoría de conjuntos, a seguir un desarrollo histórico que trazamos al comienzo nos abstracto y desde adentro (Ferreirós, 1998). En este contexto formal, las fracciones marcaba dos etapas diferenciadas: la apari- Así se construyeron los números racionales no aparecen como uno de los sistemas ción y aceptación de las fracciones como que, como se ve, tienen una naturaleza numéricos en el sentido contemporáneo elementos culturales necesarios para distinta a la de las fracciones. –axiomático– de la matemática. Pero por su representar y manejar situaciones de la expresión numérica y la manera de hacer vida diaria, y el reconocimiento posterior Digamos, finalmente, que los “números operaciones con ellas, sí pueden considerarse de estas expresiones de relaciones parte- oficiales” que se manejan habitualmente en no sólo como el antecedente histórico, sino todo como números-medida a partir del esta matemática pura son los naturales (el también como la fuente fenomenológica de Renacimiento. conjunto N), los enteros (positivos y nega- los números racionales, es decir, como objetos tivos, el conjunto Z), matemáticos que –sin estar definidos como En el siglo XIX la los racionales (el con- números racionales– se presentan y compor- matemática experi- junto Q), los reales tan como tales (Freudenthal, 1983). mentó numerosos y (el conjunto R), los profundos cambios; complejos (el conjun- Por todo ello, su estudio –después de los se buscó, entre otras to C) y los números números naturales– resulta muy pertinente cosas, darles a los transfinitos. Números y práctico, ya que sigue el patrón histórico números un funda- definidos, todos ellos, de desarrollo de los números en culturas mento abstracto, que no de una manera muy destacadas en las que, como hemos no dependiera de referentes externos. Y intuitiva o descriptiva, sino axiomática, ma- visto, en seguida las fracciones compartieron en este sentido, se requerían números de temáticamente formal. Su estudio constituye presencia y uso con los números naturales. la forma a/b, pero sin la referencia a mag- una rama de la matemática conocida como Y además, prepara el estudio posterior de nitudes medibles ni a la relación entre las los Sistemas Numéricos (hay muchos libros los números racionales. 4.2. Otra vez los numeradores dividió la unidad, y que el numerador profundo a ambos términos, vamos a y denominadores denota el número de estas partes que recoger las ideas que ya expusimos en Como sabemos, a/b es la forma en se toman en consideración en la frac- el Cuaderno nº 3. la que se presenta el uso de los térmi- ción. Y suele tenerse la impresión de nos numerador y denominador de una que ambos términos se estrenan en la Allí señalábamos que “la aparición fracción. Habitualmente suele decirse matemática cuando se llega al tema de de los términos numerador y denomi- que el denominador representa el nú- las fracciones. Pero ya sabemos que no nador en el discurso matemático no mero de partes congruentes en que se es así. Para darle un significado más debe reservarse al momento en que se 17
  18. 18. entra en el terreno de las fracciones, sino denominador: “quinto” debe verse como Nuestro len- justamente desde que se mencionan un sustantivo, como silla en “tres sillas”. guaje popular pue- cantidades referidas a alguna entidad “Quinto” es el sustantivo que designa “la de servirnos de particular”. quinta parte” de cualquier todo. Inicial- base para enten- mente puede ser manejado de esa forma, der y manejar las Porque, “¿qué significa numera- como un sustantivo. Igual interpretación fracciones de esta dor? Lo que numera, lo que sirve para cabe con los números que aparecen en el forma. En efecto, numerar; en particular, cada término o denominador de otras fracciones. en este tipo de lenguaje solemos deno- expresión que se utiliza para numerar. minar determinados objetos de la vida Y denominador, lo que denomina o Es muy importante dotar de este diaria con expresiones fraccionarias. sirve para denominar; y en particular, sentido a las fracciones, empezando Así, en Venezuela se designa como cada término o expresión que se utiliza con las unitarias, es decir, con las que “un cuartico” al envase de leche o de para denominar”. Y puntualizábamos tienen la unidad como numerador. Una jugo que contiene 1/4 de litro; como que en el campo de la gramática, estas fracción como 1/5 puede verse como “un tercio”, al que contiene 1/3 de litro expresiones correspondían a los ad- una unidad, como un objeto-unidad de cerveza; como “un quinto”, al que jetivos numerales y a los sustantivos, (similar a “una silla”), que permite accio- contiene, aproximadamente, 1/5 de lo respectivamente. nes de conteo (un quinto, dos quintos, mismo; como “un décimo”, al billete de tres quintos, etc.) y, posteriormente, de lotería que equivale a 1/10 de la serie... “De esta forma, cada vez que en suma y de resta (dos quintos más seis (Y así, hay éstos y otros ejemplos en nuestro hablar expresamos un adjetivo quintos son ocho quintos). Así, 1/5 cada uno de nuestros países). Y todo numeral seguido de un sustantivo, esta- significa que nos estamos refiriendo a el mundo entiende qué significa tener mos utilizando un binomio numerador- la unidad del objeto “quinta parte” de “cinco cuarticos” de leche en la nevera denominador. Así, en la locución ‘tres algo (y aquí sintonizamos de nuevo o tomarse “tres tercios” de cerveza en sillas’, tres es el numerador y sillas es el con babilonios y egipcios en cuanto una fiesta o comprar dos décimos para el denominador. Análogamente al hablar a la singularidad e importancia de las próximo sorteo de lotería... (y no hay pro- de cinco centenas”. fracciones unitarias...). blema con las fracciones impropias). En este contexto, ¿qué significado Por su parte, las fracciones no unita- Nuestra conclusión parcial es que tienen el numerador y el denominador rias pueden considerarse como expre- ésta es una forma en que también de una fracción como 3/5? En su expre- siones que equivalen a “tantas veces la deberíamos manejar las fracciones sión verbal, estamos hablando de “tres unidad fraccionaria”. Por ejemplo, 3/5, en el aula de clase, con el sentido y la quintos”. Claramente vemos que “tres” leído como “tres quintos”, indica que familiaridad con que lo hacemos en la –adjetivo numeral– responde a la idea estamos considerando “tres veces un vida diaria. Una vez más, el lenguaje de numerador que apuntábamos antes; quinto”, de una forma similar a como la nos sirve de vehículo entre el concepto hasta ahora no hay ninguna novedad. Lo expresión “tres sillas” se puede entender y su representación simbólica, a la que interesante está en la interpretación del como “tres veces una silla”. puede dotar de sentido pleno... 18
  19. 19. 5.1. ¡Qué bueno! Nos topamos progresivamente. Porque no todos los ¿Cuál de estas dos fracciones es ma- con la diversidad... sistemas presentan las mismas exigen- yor: 7/8 ó 7/9? Ya lo dijimos en el Cuaderno nº 1: cias cognitivas. Por ejemplo, en nuestro buscamos construir una matemática que medio, la competencia de representar Un error frecuente consiste en leer cada asuma y genere diversidad. En particular, una fracción sobre la recta numérica fracción como dos números y derivar de la “diversidad en los sistemas de repre- suele alcanzarse más tarde, en compa- ahí que, en nuestro ejemplo, 7/9 es mayor sentación de un concepto es algo tan ración con otras representaciones. Pero que 7/8, ya que 7 y 9 son más que 7 y 8. importante que los autores estiman que eso no significa que se tenga que renun- Pero si leemos 7/8 como “7 veces 1/8” y una persona llega a dominar un concepto ciar a ese sistema de representación, 7/9 como “7 veces 1/9”, nos damos cuenta matemático sólo cuando es capaz de: sino que su inclusión en las competen- de que 7/8 es mayor que 7/9, ya que 1/9 cias a alcanzar será posterior. significa una porción entre las nueve en que • identificarlo en cualquiera de sus se dividió un todo y 1/8, una entre las ocho posibles sistemas de representa- Las dos primeras competencias en que se dividió el mismo todo: nos toca ción; (identificar y representar fracciones más en 1/8 que en 1/9. Como se ve, no es • representarlo en todos ellos; en cada uno de los sistemas de repre- preciso hacer operaciones aritméticas para • saber pasarlo –“traducirlo”– de sentación) nos imponen como tarea responder a este tipo de preguntas (aunque cada sistema a todos los demás” primordial conocer y familiarizarnos con también se pueden efectuar para llegar a la (Cuaderno nº 1). tales sistemas, utilizarlos con frecuencia misma respuesta...). y espontáneamente. La tercera compe- Por consiguiente, en el tema de las tencia requiere el dominio de ciertos fracciones, debemos llegar a alcanzar procedimientos de “traducción”, que estas tres competencias: presentamos a continuación. 5. ¿Para qué queremos tantos sistemas de representación • identificar una fracción en cual- 5.2. Procedimientos de las fracciones? quiera de sus siete posibles siste- de traducción He ahí una buena pregunta. Porque mas de representación; entre los sistemas habitualmente hemos considerado a la • representarla en todos ellos; de representación matemática como un área de caminos • saber pasarla –“traducirla”– de Los resumimos en la siguiente tabla. únicos, de representaciones únicas, cada sistema a todos los demás; La mayoría de los procedimientos son de procedimientos únicos, de maneras lo que incluye, cuando sea posible, muy sencillos e intuitivos y de alguna únicas de resolver un problema... Y buscar “traducciones” dentro de forma ya han sido tratados. Pero, como ahora resulta que disponemos de hasta un mismo sistema. verá el (la) lector(a), hay dos casos sobre siete sistemas de representación del los que se llama la atención –pasar del concepto de fracción. Como vemos, tenemos una gran sistema numérico al decimal, y vicever- tarea por delante. Tarea que debemos sa– y que serán tratados con más detalle realizar, nosotros y nuestros alumnos, posteriormente. 19
  20. 20. Para pasar Al sistema Procedimiento Ejemplo del sistema Numérico Verbal Lectura de a/b 2/5 dos quintos Gráfico Dividir una región en b partes congruentes continuo y señalar a de ellas Gráfico Ídem, para un conjunto discreto • ✺ discreto ✺ • ✺ Decimal Dividir a entre b 2/5 0,4 Porcentual (Decimal x 100) % (Sólo cuando no haya 0,4 (0,4 x La traducción de una fracción al más de 2 decimales exactos) 100)% = 40% sistema verbal requiere saber cómo se Punto recta Dividir el segmento unidad en b partes 2/5 nombran las fracciones. El numerador se congruentes y señalar el punto final de las primeras a de ellas 0 1 lee como un número normal; en cuanto al denominador, se le asignan los si- Decimal Numérico (Reglas de transformación) 0,4 4/10 = 2/5 guientes sustantivos, según el número Porcentual (Decimal x 100) % (Sólo cuando no 0,4 (0,4 x que aparece en él: haya más de 2 decimales exactos) 100)% = 40% Todos los demás Pasar a la forma a/b y de ahí a los demás sistemas 2 medio(s) 3 tercio(s) Porcentual Decimal Porcentaje : 100 (dividir) 40% 40 : 100 = 0,4 4 cuarto(s) Numérico Porcentaje/100 (simplificar) 40% 40/100 = 5 quinto(s) 2/5 6 sexto(s) Todos los demás Pasar a la forma a/b y de ahí a los demás sistemas 7 séptimo(s) 8 octavo(s) Punto recta Numérico Numerador: medida del segmento que va 9 noveno(s) del 0 al punto. Denominador: medida del segmento unidad (de 0 a 1) 10 décimo(s) Todos los demás Pasar a la forma a/b y de ahí a los demás sistemas Si el denominador es mayor que 10, Verbal Numérico Traducción directa desde la expresión se forma la palabra con el nombre del verbal o desde la gráfica número y el sufijo avo(s). Por ejemplo, la Gráfico fracción 7/11 se lee “siete onceavos” y continuo la fracción 1/20, “un veinteavo”. Gráfico discreto Todos los demás Pasar a la forma a/b y de ahí a los demás sistemas Y ahora, unos ejercicios sencillos de traducción entre sistemas de repre- sentación: 20
  21. 21. Representar la fracción 7/4 en los demás sistemas de representación. a) Gráfico discreto (el número de • con respecto al total de objetos del conjunto): b) Gráfico continuo: • • • • • • • ✺ Obsérvese que el primer recuadro representa la unidad (4/4) y el segundo, 3/4. c) Punto recta: d) Decimal: 7 : 4 = 1,75 e) Porcentual: (1,75 x 100) % = 175 % 0 1 7/4 2 f) Verbal: Siete cuartos Representar la fracción 70% en los sistemas Decimal, Numérico, Punto recta, Gráfico continuo. ¿%...? a) Decimal: 70 : 100 = 0,7 b) Numérico: 70 % = 70/100 = 7/10 c) Punto recta: 0 7/10 1 d) Gráfico continuo: Esto y aquello, más la mitad de esto y aquello, ¿qué porcentaje es de esto y Representar la fracción 2,05 en los sistemas Porcentual, Numérico y Punto aquello? recta. a) Porcentual: (2,05 x 100) % = 205 % Si a una cantidad (esto y aquello) se b) Numérico: 2,05 = 100 = 20 (fracción impropia) 205 41 le suma su mitad, en términos de re- 2,05 = 2 + 0,05 = 2 +100 = 2 + 20 = 2 20 (fracción mixta) 5 1 1 presentación decimal tenemos 1 + 0,5 (es decir, 1,5). El problema consiste en c) Punto recta: expresar esta cantidad en el sistema 1/20 41/20 porcentual: basta multiplicar por 100 y 0 1 2 llegamos a 150%. 21
  22. 22. 5.3. Del sistema de anteperíodo (por ejemplo, 8 en 5/6, 5.4. Del sistema de representación numérico 0 en 45/22, 36 en 13/36). representación decimal al decimal al numérico El procedimiento general que hemos Las representaciones decimales no Ahora afrontamos el problema inver- indicado consiste en dividir numerador exactas que carecen de anteperíodo re- so; es decir, dada una fracción en forma entre denominador (se recomienda uti- ciben el nombre de decimales periódicos decimal, pasarla a la forma numérica lizar la calculadora) y anotar el cociente puros, mientras que las que sí presentan a/b. Este proceso de traducción suele con todos sus decimales. Por ejemplo, la anteperíodo se denominan decimales recibir el nombre de “hallar la fracción fracción 2/5 lleva a la división 2 : 5, cuyo periódicos mixtos. Pueden representar- generatriz del decimal dado”. Como resultado es 0,4; en este sentido, puede se de la forma anterior (0,6666..., etc.) acabamos de ver, hay varios tipos de denominarse como un decimal exacto. o bien escribiendo el período una sola decimales, por lo que analizaremos di- Pero la fracción 1/6 lleva a la división vez con una especie de pequeño arco versos casos en este proceso. 1 : 6, cuyo resultado es 0,166666..., superpuesto sobre la(s) cifra(s) que lo cociente en el que la cifra decimal 6 no compone(n). Aquí lo haremos colocando cesa de aparecer. las cifras del período en escritura negri- a) Decimal exacto: El procedimiento es ta cursiva; por ejemplo: 0,666… 0,6; sencillo: se multiplica y divide el decimal por Veamos otros ejemplos similares: y 2,04545… 2,045. la potencia 10n, donde n es el número de cifras decimales. Así se obtiene una fracción 2/3 0,6666… 5/6 0,8333… 5. Represente las siguientes fracciones en cuyo numerador pasa a ser entero y cuyo 20/11 1,818181… forma decimal: 7/9, 18/5, 12/11, 5/33, denominador es la potencia 10n. 4/7 0,571428571428… 1/14, 13/15, 26/99, 5/101 45/22 2,0454545… Por ejemplo: 0,4 pasa a ser (0,410 10) = 10 = 2 . x 4 5 13/36 0,36111… Análogamente, 7,5 pasa a ser 10 = 75 (7,5 x 10) 10 Desde este punto de vista, debemos llegar = 15 . Y también, 2,03 pasa a ser 2,03100100 2 x En las expresiones decimales anterio- a distinguir las fracciones que dan una ex- = 100 . Así, pues, la fracción generatriz de una 203 res encontramos tres tipos de elementos: presión decimal exacta: son aquellas cuyos expresión decimal exacta tiene como nume- denominadores son números “compuestos” rador la parte entera seguida de las cifras de- • la parte entera, antes de la coma; por los factores primos 2 y 5; por ejemplo, cimales y como denominador la potencia 10n, • la(s) cifra(s) decimal(es) que se denominadores como 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, donde n es el número de cifras decimales. repite(n) indefinidamente: recibe(n) etc. En cambio, las fracciones cuyos denomi- el nombre de período (por ejemplo, nadores tienen otros factores primos (3, 7, b) Decimal periódico puro: Veamos cómo 6 en 2/3, 571428 en 4/7, 45 en 11...) generan expresiones decimales perió- se procede con el ejemplo 0,15: 45/22); dicas. La razón de estos comportamientos • la(s) cifra(s) ubicada(s) entre la estriba en que sólo 2 y 5 son divisores de Primero, observemos que es cierta esta parte entera y la primera cifra del 10 (otra vuelta al Cuaderno nº 8...). igualdad: 0,15 = 0,1515. Ahora multiplica- período: recibe(n) el nombre de 22
  23. 23. mos y dividimos 0,1515 por 100, con lo que pura tiene como numerador la diferencia entre Por su parte, 0,183 se desglosa así: parte no se altera su valor, y se llega a: 0,1515 = el número formado por la secuencia “parte entera: 0; anteperíodo: 18; período: 3. De (0,1515 x 100)/100 = 15,15/100 = (15 + entera-período”, menos la parte entera; y modo que: 0,183 = (183 – 18)/900 = 0,15)/100. como denominador, tantos nueves como cifras 165/900 (verifíquelo). tiene el período. Hasta ahora tenemos la igualdad: 0,15 Finalmente, 3,12101 se desglosa así: parte = (15 + 0,15)/100. Multiplicando ambos Por ejemplo, la fracción generatriz del entera: 3; anteperíodo: 12; período: 101. términos de la igualdad por 100 se tiene: decimal 3,27 tiene como numerador: 327 De modo que: 3,12101 = (312101 – 100 x 0,15 = 15 + 0,15. Si restamos 0,15 – 3; y como denominador, 99. Se trata de 312)/99900 = 311789/99900 (verifíquelo). en ambos miembros de la igualdad, a la la fracción 324/99 (verifíquelo). izquierda tendremos (100 – 1) veces 0,15, 6. Obtenga la fracción generatriz de es decir, 99 veces 0,15. Y a la derecha, Análogamente para el decimal 0,123; su nu- las siguientes expresiones decimales: quedará sólo 15. Es decir, pasaremos a merador es 123, y su denominador, 999. Se la igualdad: 99 x 0,15 = 15. Finalmente, trata de la fracción 123/999 (verifíquelo). 4,05 4,05 0,101 0,8 dividimos ambos miembros de la igualdad 2,75 2,75 0,8 10,1 0,3 entre 99, con lo que llegamos al resultado c) Decimal periódico mixto: En este caso final: 0,15 = 15/99 vamos a obviar la construcción de la regla que rige estos casos [dejamos a los lectores Si se hubiera tratado de la expresión deci- su búsqueda en algún texto de matemáti- Veamos un caso curioso: el de la fracción 0,9 mal periódica pura 2,15, el proceso sería: ca...] y a exponerla directamente: La fracción (una sucesión ilimitada de nueves después 2,15 = 2 + 0,15 = 2 + 15/99 = 198/99 + generatriz de una expresión decimal periódica de la coma...). De acuerdo con lo expresado 15/99 = 213/99. Obsérvese que el numera- mixta tiene como numerador la diferencia en- anteriormente, su fracción generatriz es 0,9 dor puede desglosarse como una diferencia: tre el número formado por la secuencia “parte = 9/9 = 1. De donde se sigue que 0,9 = 1. 213 = 215 – 2, es decir, como la diferencia entera-anteperíodo-período”, menos el número ¿Será cierto esto? Sí lo es; lo que ocurre entre el número formado por la secuencia formado por la secuencia “parte entera-ante- es que hemos descubierto otra manera “parte entera-período”, 215, menos la período”; y como denominador, tantos nueves de representar la unidad como fracción parte entera, 2. como cifras tiene el período, seguidos de tantos decimal: 0,9. [Acabamos de abrir una ven- ceros como cifras tiene el anteperíodo. tana hacia una matemática más avanzada, Todo este proceso puede parecer tedioso y la que trabaja con expresiones infinitas y complicado, pero se presenta para justificar Vamos a dar algunos ejemplos para mostrar utiliza el concepto de límite para ello. No la regla que rige la búsqueda de la fracción cómo se aplica la regla anterior: 2,315 se vamos a entrar en este terreno, pero sí a generatriz en el caso de las expresiones desglosa así: parte entera: 2; anteperíodo: 3; tomar nota del punto de partida desde el decimales periódicas puras: La fracción ge- período: 15. De modo que: 2,315 = (2315 que salimos...]. neratriz de una expresión decimal periódica – 23)/990 = 2292/990 (verifíquelo). 23
  24. 24. Un comentario final al llegar a este ciones de denominador 20 (0,65 d) 200% a decimal punto. No todo el trasiego de fracciones = 13 x 0,05 = 13 veces 1/20 = e) 13/20 a porcentaje entre sus representaciones numéricas y 13/20, etc.); las fracciones de f) 7 a porcentaje decimales, en ambos sentidos, tiene que denominador 20 son múltiplos g) 6/2 a decimal reducirse a estos ejercicios tan “técni- de 0,05 (por ejemplo, 17/20 = 17 h) 300% a fracción numérica cos” y “complejos”. También tenemos veces 1/20 = 17 x 0,05 = 0,85). i) 6/2 a porcentaje que familiarizarnos con la equivalencia de las fracciones y los decimales más Tenemos que acostumbrarnos a 5.5. Fracciones equivalentes sencillos y frecuentes. Así como llega- manejar de esta manera las fracciones Hasta ahora hemos hablado de la mos a dominar las tablas de multiplicar, y los decimales más usuales y sencillos, traducción mutua entre los diversos deberíamos manejar con soltura al y hacerlos así parte de nuestra vida, de sistemas de representación de las frac- menos las siguientes equivalencias (en las herramientas mentales que están ahí ciones. Pero también apuntábamos la ambos sentidos): siempre listas para su uso. Esta fami- posibilidad de traducción al interior de liaridad mental con las fracciones y los cada sistema. Esto nos lleva a una pri- a) 1/2 equivale a 0,5; los múltiplos decimales debe ser siempre un objetivo mera pregunta: ¿Cuáles son los sistemas decimales de 0,5 son fracciones de nuestro aprendizaje del tema. de representación que aceptan este de denominador 2 (por ejemplo: proceso interno de traducción? 3,5 = 7 x 0,5 = 7 veces 0,5 = Utilice la recomendación anterior para 7/2, etc.). calcular mentalmente las expresiones de- Una observación cuidadosa nos b) 1/4 equivale a 0,25; los múltiplos cimales correspondientes a las fracciones permite responder que los sistemas de decimales de 0,25 son fracciones siguientes: 53 , 20 , 10 , 4 , 5 , 4 , 2 , 15 , 5 7 18 9 2 5 3 20 8 representación que aceptan este pro- de denominador 4 (0,75 = 3 x ceso interno de traducción (en el que 0,25 = 3 veces 1/4 = 3/4, etc.). Asimismo, para calcular mentalmente las una fracción cambia de representación c) 1/5 equivale a 0,2; los múltiplos fracciones numéricas correspondientes conservando su valor), son el numérico decimales de 0,2 son fracciones a las expresiones decimales siguientes: –y, por consiguiente, el verbal–, el grá- de denominador 5 (1,8 = 9 x 0,2 0,15; 1,2; 3,25; 1,5; 1,75; 2,6; 0,7; fico discreto y el gráfico continuo. Por el = 9 veces 1/5 = 9/5, etc.); las 7,5; 0,65 contrario, este proceso no tiene sentido fracciones de denominador 5 son en los sistemas decimal, porcentual, y múltiplos de 0,2 (por ejemplo, 4/5 7. Resuelva los siguientes ejercicios punto sobre la recta. = 4 veces 1/5 = 4 x 0,2 = 0,8). de conversión de fracciones entre d) 1/10 equivale a 0,1; los múltiplos los sistemas de representación que En los sistemas en los que se pro- decimales de 0,1 son fracciones se indican: duce la traducción interna se habla, de denominador 10 (0,9 = 9 x 0,1 entonces, de fracciones equivalentes. = 9 veces 1/10 = 9/10, etc.). a) 4/5 a decimal El caso más conocido –aunque no el e) 1/20 equivale a 0,05; los múlti- b) 160% a fracción numérica único, como acabamos de ver– es el del plos decimales de 0,05 son frac- c) 2,5 a fracción numérica sistema numérico a/b. Vamos a anali- 24
  25. 25. zar cómo en este sistema se generan Otro de los procedimientos para por la vía de la amplificación; en los demás fracciones equivalentes a una dada y, obtener fracciones equivalentes a una casos funciona esta vía y la de la simplifi- posteriormente, cómo se descubre si dada es el de “simplificar” la fracción, cación, que es siempre más corta. dos fracciones son equivalentes. si es posible; esto es, dividir numerador y denominador por la misma cantidad Tomemos nuestro ejemplo de la frac- entera positiva (excluyendo el 1). Por Un caso par ticular de equivalencia por ción 2/5. Podemos obtener fracciones ejemplo, si tomamos 24/60, al dividir amplificación es el que atañe a los números equivalentes “amplificando” la fracción, así entre 2, llegamos a 12/30; al dividir naturales considerados como fracciones. es decir, multiplicando numerador y entre 3, a 8/20; al dividir entre 12, a Así, 1 puede representarse como 2 , 3 , 5 ..., es 2 3 5 denominador por la misma cantidad 2/5. Todas estas fracciones (12 , 20 , 5 ) 30 8 2 decir, de infinitas maneras como fracción. Del entera positiva (no por 0). Por ejemplo, son equivalentes a 24/60. mismo modo, 2 puede hacerlo como 2 , 6 , 14, 4 3 7 al multiplicar así por 2, llegamos a etc. Esta observación nos ayuda también a 4/10; ahora estamos diciendo que el ¿Cuántas fracciones equivalentes a familiarizarnos con las fracciones y, además, mismo todo se ha dividido en 10 partes 24/60 pueden obtenerse por la vía de la será muy útil cuando operemos con ellas. congruentes, de las cuales estamos simplificación? Tantas como divisores considerando 4. comunes –aparte del 1– tengan 24 y 60 (de vuelta al Cuaderno nº 8...). Estos En cuanto a la segunda cuestión, Obsérvese 1 1 divisores comunes son {2, 3, 4, 6 y 12}. para descubrir si dos fracciones son que, sin embar- Por consiguiente, hay 5 fracciones equi- equivalentes –valen lo mismo– el re- 5 5 go, esta fracción 1 valentes a 24/60 que pueden obtenerse curso más sencillo es el de pasar ambas 1 1 10 tiene también por la vía de la simplificación: 12 , 20, 15 , 8 6 al sistema decimal (otra vez la calcula- 5 1 51 30 su lectura como 1 1 10 4 10 y 5 . De todas ellas puede llamarnos la 2 dora...): si se obtiene el mismo número 2/5, si se consi- 10 5 10 atención la fracción 2/5, porque es la decimal, son equivalentes. Otra vía de dera que el todo única que no puede simplificarse más. hacerlo –como ya el (la) lector(a) lo habrá se ha dividido en 5 “pares” (10 partes), Y esto es así, porque dividimos 24 y 60 intuido– es la de buscar una fracción de los cuales estamos consideran- entre su máximo divisor común, que es que sea simultáneamente equivalente a do 2 (4 partes). Así se descubre la 12, con lo cual los factores resultantes, ambas; para lograrlo, la vía más sencilla equivalencia entre ambas fracciones. 2 y 5, son números primos relativos, es la de calcular la fracción irreducible Del mismo modo se consiguen otras primos entre sí (seguimos con el Cua- de ambas: si coinciden, ambas fraccio- fracciones equivalentes: 6/15 (multi- derno nº 8...). nes son equivalentes. plicando por 3: ahora hay 5 “ternas” de las cuales se toman 2), 14/35 (mul- Cuando el numerador y denominador 8. Halle la fracción irreducible en cada tiplicando por 7), etc. Como se ve, la de una fracción son números primos rela- caso: “clase” de fracciones equivalentes a tivos, la fracción se denomina irreducible. 28/140 36/24 18/108 13/65 una dada tiene un número infinito de Pues bien, las fracciones equivalentes a 42/60 76/12 54/24 56/24 fracciones. una fracción irreducible sólo se consiguen 15/16 25
  26. 26. 9. Determine si los siguientes pares 1/3 es 0,333...; y el correspondiente a En resumen, podemos decir que nos de fracciones son equivalentes: 3/10 es 0,3. Como se ve, en estas dos hemos sumergido en la diversidad ma- estimaciones estamos cerca del valor temática; que nos ha ayudado a captar a) 5 y 40 3 24 b) 18 y 52 24 39 c) 33 y 200 9 54 de la fracción 28/89. mejor el concepto y significado de las d) 24 y 14 60 35 f) 100 y 11 27 3 fracciones; que nos permite familiarizar- Análogamente, 17/70 puede aproxi- nos con ellas; que la variedad nos facilita 5.6. Estimar el valor marse a 20/70 (es decir, 2/7), a 14/70 (es la resolución de tareas con fracciones de las fracciones decir, 1/5); a 17/68 (es decir, 1/4), etc. al permitirnos optar por el sistema más Volvemos de nuevo a nuestro intento Y 63/97 puede acercarse a 66/99 (es adecuado a cada tarea... Y en esta tó- por familiarizarnos con las fracciones, decir, 2/3), a 65/100 (es decir, 13/20), nica seguiremos cuando, en el próximo ahora con el aporte de las fracciones a 64/96 (es decir, 2/3 nuevamente), etc. Cuaderno, abordemos las actividades equivalentes. A este respecto, resulta Lo importante es saber manejarse con de ordenar fracciones, operar con ellas interesante la actividad de estimar el soltura y familiaridad; y esta actitud y resolver problemas. valor aproximado de algunas fracciones sólo puede ser producto de las ganas que no presentan números “amigables” de “acercarse” a las fracciones... y de la 6. Las fracciones en el numerador y en el denominador ejercitación. en nuestra vida (por ejemplo, 28 , 17 , 63 , etc.). La idea es 89 70 97 Familiarizarnos con las fracciones no la de acercarnos a fracciones más sen- Estime el valor de las siguientes fraccio- supone solamente acostumbrarnos a sus cillas –particularmente las irreducibles–, nes, aproximándolas a fracciones más conversiones de un sistema de repre- cuyo valor esté cerca del valor de las sencillas: sentación a otro, o a sus equivalencias fracciones dadas. Esta actividad recibe 31/59 91/62 53/149 26/60 dentro de un mismo sistema. También el nombre de estimación del valor de las 83/39 97/79 37/121 13/31 supone saber “verlas” y “utilizarlas” en fracciones. 89/91 nuestra vida. Una actividad destinada a este fin puede ser, por ejemplo, la de Esta actividad requiere desarrollar tomar la altura de un mueble, indicar las competencias de observación de 5.7. Y ahora sí, ¿para qué un punto en él, y cada fracción y la familiaridad con las tantos sistemas estimar qué frac- fracciones más sencillas. Por ejemplo, de representación ción representa 28/89 nos lleva a acercarnos a 30/90, de las fracciones? –respecto a la cuya fracción irreducible es 1/3 Quizás ahora ya tenemos una bue- altura total– la (simplificando entre 30); o también na respuesta a la pregunta con la que distancia desde a 27/90, cuya fracción irreducible es iniciábamos este apartado. La variedad la base del mue- 3/10 (simplificando entre 9). Obsér- de sistemas de representación no es ble hasta el pun- vese que el decimal correspondiente algo superfluo, ni mucho menos inútil. to indicado. El a 28/89 es –con sólo 4 cifras deci- Ya hemos visto algo de lo que se puede ejercicio puede males– 0,3146; el correspondiente a sacar de esta variedad... llevarse a otros 26

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