1. Método numérico
Teoría de los errores
Uno de los criterios más importantes para seleccionar, cuál de los métodos
de solución de un problema dado es el óptimo, es la precisión que arroja los
cálculos de este, ya sea hecho a mano o por computadora.
Una pregunta obligada es: ¿Por qué nos conciernen los errores en el
estudio de los métodos numéricos?
Existen muchas razones para estudiarlos, primero porque el manejo de
datos proviene de observaciones mediciones, estos pueden contener errores
llamados inherentes, los cuales son debidos a falta de eficiencia en los cálculos o
errores en las mediciones. Otra razón se debe a que el modelo matemático usado
para generar los datos es solo una aproximación al sistema que representa. Una
razón más es que los métodos numéricos son muchas veces utilizados para
aproximar una solución a problemas que no pueden ser resueltos por los métodos
analíticos exactos.
Finalmente, se cometen errores durante los cálculos, como los son los
errores por redondeo y errores por truncamiento. Todos estos errores deben de
tomarse en cuenta durante las operaciones.
En general, los resultados de las medidas nunca se corresponden con los
valores reales de las magnitudes a medir, sino que, en mayor o menor extensión,
son defectuosos, es decir, están afectados de error.
Las causas que motivan tales desviaciones pueden ser debidas al
observador, al aparato o incluso a las propias características del proceso de
medida.
Punto Flotante
Muchas aplicaciones requieren trabajar con números que no son enteros.
Existen varias formas de representar números no enteros. Una de ellas es usando
un punto o coma fijo. Este tipo de representación ubica siempre el punto o coma
en alguna posición a la derecha del dígito menos significativo.
Por ejemplo el número 10.75 puede ser expresado: 10.75 x 10 0 1.075
x 10 1
¿Qué se necesita para representar un número en punto flotante?
l signo del número.
e
l signo del exponente.
e
ígitos para el exponente.
D
ígitos para la mantisa.
D
2. Un número cualquiera expresado como N=abe es llamado de punto flotante
y en el cual se tienen los siguientes elementos:
a=mantisa
b=base
e=exponente de la base
Por lo anterior, los siguientes son ejemplos de números de punto flotante:
N=315.423 x108 N=-32.49x10-12 N=45.45x812
N=2000 N=2x103 N=20x2 N=200x100
4
N=0.2x10
Dado que un número en punto flotante puede expresarse de distintas
formas que son equivalentes, es necesario establecer una única representación.
Es por ello que se trabaja con números normalizados
Ejercicios propuestos:
a) Expresa con todas las cifras:
a) 6,25x108b) 2,7x10–4c) 3x10–6d) 5,18 x1014e) 3,215x10–9f) –4x10–7
b) Escribe en notación científica:
a) 4 230 000 000 b) 0,00000004 c) 84 300 d) –0,000572
e)La velocidad de la luz en el vacío es por definición una constante universal de
valor 299.792.458 m/s expresar esta cantidad en kilómetros.
f) Toneladas de CO2 que se emitieron a la atmósfera en 1995 en Estados
Unidos: 5 228,5 miles de millones.
g) Radio del átomo de oxígeno: 0,000000000066 m
Notación científica normalizada
En el sistema decimal, cualquier número real puede expresarse mediante la
denominada notación científica normalizada. Para expresar un número en
notación científica normalizada multiplicamos o dividimos por 10 tantas veces
como sea necesario para que todos los dígitos aparezcan a la derecha del punto
decimal y de modo que el primer dígito después del punto no sea cero. Por
ejemplo:
3. Así, un número es llamado de punto flotante normalizado si cumple con:
<=|a|<1 Lo cual en el sistema decimal sería: 0.1<=|a|<1 Ejemplo: 0.364x105 -
.1232x10-3
Medidas, resultados y errores
Los resultados de las medidas nunca se corresponden con los valores
reales de las magnitudes a medir, sino que, en mayor o menor extensión, son
defectuosos, es decir, están afectados de error. Las causas que motivan tales
desviaciones pueden ser debidas al observador, al aparato o incluso a las propias
características del proceso de medida. Un ejemplo de error debido al observador
es el llamado error de paralaje que se presenta cuando la medida se efectúa
mediante la lectura sobre una escala graduada. La situación del observador
respecto de dicha escala influye en la posición de la aguja indicadora según sea
vista por el observador. Por ello para evitar este tipo de error es preciso situarse
en línea con la aguja, pero perpendicularmente al plano de la escala. Otros
errores debidos al observador pueden introducirse por descuido de éste, por
defectos visuales, etc.
Son, asimismo, frecuentes los errores debidos al aparato de medida. Tal es
el caso del llamado error del cero. El uso sucesivo de un aparato tan sencillo
como una báscula de baño hace que al cabo de un cierto tiempo en ausencia de
peso alguno la aguja no señale el cero de la escala. Para evitar este tipo de error
los fabricantes incluyen un tornillo o rueda que permite corregirlo al iniciar cada
medida. Variaciones en las condiciones de medida debidas a alteraciones
ambientales, como pueden ser cambios de presión o de temperatura o a las
propias características del proceso de medida constituyen otras posibles fuentes
de error. La interacción entre el sistema físico y el aparato de medida constituye
la base del proceso de medida; pero dicha interacción perturba en cierto grado
las condiciones en las que se encontraba el sistema antes de la medida.
Así, cuando se desea medir la tensión eléctrica existente entre dos puntos
de un circuito con un voltímetro, una parte de la corriente se desvía por el aparato
de medida, con lo que el sistema a medir queda ligeramente perturbado. De igual
modo, al medir una temperatura con un termómetro se está provocando una
cesión o absorción de calor entre termómetro y sistema hasta que se alcanza el
equilibrio térmico entre ambos. En un cierto grado, el valor de la temperatura a
medir se ha visto modificado al hacer intervenir el aparato de medida. En el
ámbito de la física microscópica tal perturbación, cuando existe, es controlable y
4. puede reducirse hasta considerarse despreciable mediante un diseño adecuado
del aparato de medida.
Los científicos procuran que sus datos experimentales no digan más de lo
que pueden decir según las condiciones de medida en los que fueron obtenidos.
Por ello ponen cuidado en el número de cifras con que expresar el resultado de
una medida con el propósito de incluir sólo aquellas que tienen algún significado
experimental. Tales cifras reciben el nombre de cifras significativas.
Cifras significativas
La confiabilidad de un valor numérico está dada por sus cifras significativas que
se definen como el número de dígitos, más un dígito estimado que se pueda usar
con confianza. Por ejemplo, si se leen 25 ml en una bureta, que está graduada en
0,1 ml, se puede decir que el nivel del líquido es mayor que 25,1 y menor que 25,2
ml como puede observarse en la figura siguiente:
Hasta puede estimarse con una aproximación de ± 0,05 ml, por lo tanto el
volumen vertido es 25,15 ml que tiene 4 cifras significativas. Los primeros tres
dígitos son seguros y el último es una estimación.
Un cero puede ser significativo o no, dependiendo de su posición en un
número dado. Los ceros que solamente sitúan la cifra decimal no son
significativos, si se escribiera 25,15 ml como 0,02515 l, el número de cifras
significativas sigue siendo el mismo. Los ceros al final de un número pueden ser
significativos o no. Si se dice que un tanque de agua se encuentra a 10,0 m de
altura, significa que la altura se conoce hasta las décimas de metro. Si esa misma
altura se da como 1000 cm la expresión es confusa y para mantener el criterio de
cifras significativas se utiliza la notación científica 1.0x103.
Cifras significativas.- Es el conjunto de dígitos confiables o necesarios que
representan el valor de una magnitud independientemente de las unidades de medidas
utilizadas.
¿Cuántas cifras significativas (que tan preciso debe ser) son necesarias?
1.- El total de cifras significativas es independiente de la posición del punto
decimal.
Ejemplo:
5. El medir una mujer se registró que su estatura es de 1.67 m = 16. 7 dm =
167 cm , (teniéndose 3 cifras significativas ).
2.- Los ceros a la izquierda de dígitos no nulos, nunca serán cifras
significativas.
Ejemplo:
Un balero tiene un diámetro de 26 mm = 0.026 m = 0.000026 km (2 cifras
significativas).
3.- Los ceros intermedios de dígitos no nulos, siempre serán significativos:
Ejemplo:
40072 ( 5c.s. )
3.001 ( 4c.s. )
0.000203 ( 3. c.s. )
Tipos de errores
Los errores.- Es la discrepancia que existe entre la magnitud “verdadera” y
la magnitud obtenida.
Exactitud.- Lo que está más cerca del valor verdadero (veracidad del
valor). Se refiere a que tan cercano está el valor medido o calculado con el valor
verdadero.
Precisión.- Se refiere a que tan cercano esta un valor individual medido
o calculado con respecto a los otros. (Escala usada para expresar el valor)
6. De acuerdo a lo anterior, los modelos matemático expresados en las
soluciones que resultan de la aplicación de los métodos numéricos son
aproximaciones, debido a la idealización y simplificación de la realidad y en la
resolución numérica debido a errores de truncamiento y de redondeo.
A saber, existen varios tipos de errores, pero en los cálculos realizados por
medio de los métodos numéricos, se distinguen 2 tipos básicos de errores:
Redondeo
Truncamiento
Error de redondeo
Se origina por el hecho de que una computadora sólo puede representar un
número finito de términos. Para expresar una cantidad con un desarrollo decimal
infinito, se tiene que prescindir de la mayoría de ellos.
Por ejemplo, el número π = 3.14159265...., tiene un desarrollo decimal infinito no
periódico.
Por lo tanto, para fines de cálculo, sólo se toman algunos de sus dígitos. Esto se
realiza a través de dos estrategias:
Redondeo. Prescinde de cierto número de cifras significativas y realiza un
ajuste, sobre la última cifra no descartada: π ≈ 3.1416
Corte o poda: Prescinde de cierto número de cifras significativas sin realizar
un ajuste sobre la última cifra no descartada π ≈ 3.1415
En aplicaciones actuariales, ciencias e ingeniería, se recomienda el
redondeo, ya que el corte o poda implica la pérdida de información.
Ejemplo: considere la aproximación de π ≈ 3.14159265.
Realice el corte y redondeo a:
Dos dígitos significativos.
Tres dígitos significativos.
Cuatro dígitos significativos.
Cinco dígitos significativos.
Seis dígitos significativos.
Siete dígitos significativos.
Ocho dígitos significativos.
Solución:
El respectivo corte y redondeo para el respectivo número de dígitos significativos,
se resume en la siguiente tabla:
7. Error absoluto y error relativo (como medir el error)
Como consecuencia de la existencia de diferentes fuentes de error, el
científico se plantea por sistema hasta qué punto o en qué grado los resultados
obtenidos son fiables, esto es, digno de confianza. Por ello, al resultado de una
medida se le asocia un valor o índice complementario que indica la calidad de la
medida o su grado de precisión. Los errores o imprecisiones en los resultados se
expresan matemáticamente bajo dos formas que se denominan error absoluto y
error relativo.
Error verdadero
Los errores numéricos se generan con el uso de las aproximaciones para
representar las operaciones y cantidades matemáticas. Estos incluyen errores de
truncamiento y errores de redondeo. Para los dos tipos de errores, la relación
entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado esta dado por:
valor verdadero=valor aproximado o calculado + el error
Entonces, reordenando la ecuación, se encuentra que el error numérico es
igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, esto es
Error verdadero = |valor verdadero- valor aproximado (absoluto)|
Así, se define el error absoluto como la diferencia entre el valor verdadero y
el aproximado, ejemplo:
8. X=32.4689 truncando a 5 dígitos significativo = X=32.468. Ahora redondeamos =
X=32.47
Error absoluto=|Valor absoluto-Valor aproximado=|32.4689-32.47|=0.0011=1.1x10-
3
=0.11x10-2
Pero, ¿proporciona suficiente información? El error expresado ¿es mayor o
pequeño?
El error absoluto por sí solo no proporciona gran información
En resultado, Para cuantificar la importancia del error respecto del valor
exacto de una cierta cantidad cualquiera (x) se introduce el concepto de error
relativo.
Error relativo
El error relativo se define como el cociente del error absoluto entre el valor
real. El error relativo normaliza el error absoluto respecto al valor verdadero de la
cantidad medida.
El error relativo es adimensional y puede quedar expresado en forma fraccional, o
se puede multiplicar por 100 para expresarlo en términos porcentuales (error
relativo porcentual):
Continuando con el ejemplo del error absoluto.
Error Relativo Porcentual= 0.3387x10-3 x 100=.03%
El error relativo por si solo proporciona bastante información.
Extendiendo un poco más los conceptos anteriores, se plantea: la
estadística es muy importante en la Ciencias Experimentales. Toda experiencia
debería tener detrás un estudio estadístico que nos indique cuántos datos
debemos tomar y cómo tratarlos una vez realizada la misma.
Como se trata de iniciarte en las Ciencias Experimentales, las reglas que vamos a
adoptar en el cálculo con datos experimentales son las siguientes:
9. Una medida se debería repetir tres ó cuatro veces para intentar neutralizar
el error accidental.
Se tomará como valor real (que se acerca al valor exacto) la media
aritmética simple de los resultados.
El error absoluto de cada medida será la diferencia entre cada una de las
medidas y ese valor tomado como exacto (la media aritmética).
El error relativo de cada medida será el error absoluto de la misma dividido
por el valor tomado como exacto (la media aritmética).
Ejemplo. Medidas de tiempo de un recorrido efectuadas por diferentes alumnos:
3,01 s; 3,11 s; 3,20 s; 3,15 s
1. Valor que se considera exacto:
2. Errores absoluto y relativo de cada medida:
Medidas Errores absolutos Errores relativos
-0,11 / 3,12 = - 0,036 (-
3,01 s 3,01 - 3,12 = - 0,11 s
3,6%)
-0,01 / 3,12 = - 0,003 (-
3,11 s 3,11 -3,12 = - 0,01 s
0,3%)
+0,08 / 3,12 = + 0,026 (+
3,20 s 3,20 -3,12 = + 0,08 s
2,6%)
+0,03 / 3,12 = + 0,010 (+
3,15 s 3,15 - 3,12 = + 0,03 s
1,0%)
Tolerancia
10. En métodos numéricos suele establecerse una tolerancia (que puede ser
porcentual) como criterio de paro, tal que el error relativo aproximado de un método, no
exceda dicha tolerancia.
|Error relativo| < τ
donde T, es tolerancia fijada de antemano. A menor tolerancia se tiene mayor precisión en
la aproximación al valor verdadero, sin embargo esto implica un aumento en el número de
iteraciones requeridas para detener el método.
Determinación del error en ausencia del valor verdadero
Cuando no se conoce la respuesta verdadera, es necesario estimar el valor
en ausencia de los valores verdaderos. Ciertos métodos numéricos usan un
método iterativo para calcular resultados, tales casos se hace una aproximación
con base en la aproximación anterior. Es decir, el error se calcula como la
diferencia ente la aproximación actual y la aproximación previa.
La función exponencial llamada expansión por serie de McLaurin, se puede
calcular mediante la ecuación:
Mientras más términos se le agreguen a la serie, la aproximación se
acercará cada vez más al valor de ex. Estímese el valor de e0.5, hasta que el error
relativo porcentual sea menor que el 1%.
Así, e0.5 es igual a 1.648434 con un error de 0.16%
11. Nota: en la columna aproximación, resulta de la aproximación anterior más el
término evaluado.