INSTITUTO TECNOLOGICO
DE CIUDAD VICTORIA.

ALUMNO:EDGAR IVAN LOPEZ GARCIA.
PROFESOR: LIC. ESTEBAN REQUENA.
MATERIA: ALGEBR...
4.1-ESPACIO
VECTORIAL.
ESPACIO VECTORIAL.

Un espacio vectorial es una terna (V,+,·), donde V es un conjunto no vacío
(llamada suma, definida par...
Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la

matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en ...
En el estudio de las matemáticas o de la física, el término vector se aplica
a una amplia variedad de objetos, principalme...
Entonces ”V” se denomina un espacio vectorial. Podemos decir por lo anterior
que en un espacio vectorial intervienen dos c...
4.2-SUBESPACIO
VECTORIAL.
Teorema.
La intersección de cualquier número de sub espacios de un espacio vectorial
V es un sub espacio de V.
Recuérdese ...
4.3-COMBINACION
LINEAL E
INDEPENDENCIA LINEAL.
COMBINACIÓN LINEAL.
Sea (V,K,+,*), Espacio Vectorial, S={1, 2,..., n} Se dice que un
vector es combinación lineal de un co...
Ejemplo:

Sea

, espacio Vectorial

S = {(1,-1,0),(-2,3,-1),(2,1,-3)}

Combinación Lineal:

---> 3(1,-1,0) + 4(-2,3,-1) - ...
Para saber que un vector es combinación lineal de otro,
procedemos de la siguiente manera:

=0
Se nos formara un sistema d...
Por Ejemplo:
Determine si es combinación lineal.
S = {(1,0) , (0,1)}
ą ( 1, 0 ) + ß( 0 , 1 ) = ( 0 , 0 )

(ą , ß) = ( 0 , ...
2. S = { ( 1,2,3 ), ( 2, -1,0), (3,1,3) }
Entonces, como primer paso:
a ( 1, 2, 3 ) + b ( 2 , -1, 0 ) + t (3, 1, 3 ) = ( 0...
INDEPENDENCIA LINEAL
En el estudio del algebra lineal, una de las ideas centrales es la de
dependencia o independencia lin...
En otras palabras, el vector cero se puede escribir como una combinación no
trivial de v1 y v2 (es decir, donde los coefic...
Definición: sean v1, v2, …, vn vectores en un espacio vectorial V. entonces se
dice que los vectores son linealmente depen...
TEOREMA.
Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y solo si
uno de ellos es un múltiplo escala...
4.4-BASE Y DIMENSION DE
UN ESPACIO VECTORIAL.
CAMBIO DE BASE
Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio
de base.

Se ha visto en R2 conviene escribir vectores como una combinaci...
Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn es
una base en Rn.

En Rn se define

Puesto que los vectores e...
EJEMPLO: base canónica para M22

Se vio que

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. Así, estas cuatro matrices son
...
EJEMPLO: la dimensión de Mmn
En Mmn sea A la matriz de mxn con un uno en la posición ij y cero en otra parte.
Es sencillo ...
EJEMPLO: una base para el espacio de solución de un sistema
homogéneo
Encuentre una base (y la dimensión) para el espacio ...
4.5-ESPACIO VECTORIAL
CON PRODUCTO INTERNO
Y SUS PROPIEDADES.
Definición. El espacio vectorial complejo V se conoce como un espacio con
producto interior si para cualquier par de vecto...
EJEMPLO:
producto interno de dos vectores en C3
En C3 sean x=(1+i, -3, 4-3i) y y=(2-i, -i, 2+i). entonces

Sea V un espaci...
PROPIEDADES
CONJUNTO ORTONORMAL.

El conjunto de vectores
Si
es ortonormal.

es un conjunto ortonormal en V
y Si solo el p...
Proyección ortogonal.
Sea H un subespacio del espacio con producto interno V con base ortonormal

Si vϵV, entonces la proy...
COMPLEMENTO ORTOGONAL.
Sea H un sub espacio del espacio con producto interno V. entonces el
complemento ortogonal de H, de...
TEOREMA DE PROYECCIÓN.
sea H un sub espacio de dimensión finita del espacio con producto interno V y
suponga que vϵV. ento...
4.6-CAMBIO DE BASE.
BASE ORTONORMAL.
PROCESO DE
ORTONORMALIZACION
GRAM-SCHMIDT.
CAMBIO DE BASE.
El cambio de base consiste en conocidas las coordenadas de un vector
respecto a una base B, encontrar las ...
En la matriz

B’ representa la matriz que tiene por columnas las

componentes de los vectores de la base B’ respectivament...
Así, una base ortonormal es una base ortogonal, en la cual la norma de cada
elemento que la compone es unitaria.
Estos con...
Proceso de orto normalización Gram – Schmidt
El proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt de álgebra lineal es un
proces...
En el denominador tenemos módulo de u por módulo de u, ya que el coseno
sería 1. Si separamos los dos módulos de u en el d...
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Algebra lineal

  1. 1. INSTITUTO TECNOLOGICO DE CIUDAD VICTORIA. ALUMNO:EDGAR IVAN LOPEZ GARCIA. PROFESOR: LIC. ESTEBAN REQUENA. MATERIA: ALGEBRA LINEAL. SAN FERNANDO 15-10-2013
  2. 2. 4.1-ESPACIO VECTORIAL.
  3. 3. ESPACIO VECTORIAL. Un espacio vectorial es una terna (V,+,·), donde V es un conjunto no vacío (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y +,· son dos operaciones del tipo + : V V → R, · : R V → V a las que llamaremos ’suma de vectores’ y ’producto por escalares respectivamente y con las siguientes propiedades: denotando +(u, v) = u+v y ·(λ, v) = λv,
  4. 4. Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan en métodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, o proporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectoriales proporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales como tensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de línealización.
  5. 5. En el estudio de las matemáticas o de la física, el término vector se aplica a una amplia variedad de objetos, principalmente a cantidades que representan magnitudes y dirección , ya sea un fuerza, una velocidad o una distancia. El término vector también se usa para describir entidades como matrices, polinomios o funciones. Supongamos que tenemos un conjunto ”V” donde para X, Y, €,V y a , b escalares cumplen con las siguientes propiedades:
  6. 6. Entonces ”V” se denomina un espacio vectorial. Podemos decir por lo anterior que en un espacio vectorial intervienen dos conjuntos, vectores y escalares, los segundos como coeficientes de los primeros. Los vectores forman un grupo abeliano con respecto a la adición (la suma es cerrada, asociativa, conmutativa, existe el elemento 0 y los negativos) y los escalares forman un campo con la inclusión del 0 y del 1. Dicho de manera informal, en un espacio vectorial tenemos elementos los cuales podemos sumar entre ellos, alargarlos o contraerlos; un paso a seguir es encontrar todas las características estructurales de estos espacios. Para esto recurriremos a ideas provenientes del Álgebra Universal, tales como relaciones de orden, relaciones de equivalencia, mapeos de un conjunto a otro y la generación de espacios más complejos por medio de productos cartesianos.
  7. 7. 4.2-SUBESPACIO VECTORIAL.
  8. 8. Teorema. La intersección de cualquier número de sub espacios de un espacio vectorial V es un sub espacio de V. Recuérdese que toda solución de un sistema de ecuaciones lineales con n incógnitas AX=B puede verse como un punto en K n y por tanto el conjunto solución de tal sistema es un subconjunto de K n. Supongamos que el sistema homogéneo, es decir, supongamos que el sistema tiene la forma AX=0. Denotemos por W su conjunto solución. Como A0=0, el vector cero 0ÎW además, si u y v pertenecen a W, esto es, si u y v son soluciones de AX=0, necesariamente Au=0 y A v=0. Por esta razón, para todo par de escalares a y b en K, tendremos A(a u + b v)=a A u + b A v = a 0 + b 0 = 0 + 0 = 0. De esta manera, a u + b v es también una solución de AX=0 o, dicho de otro modo, a u + b v Î W. En consecuencia, según el corolario, hemos demostrado: Teorema: el conjunto solución W de un sistema homogéneo con n incógnitas AX=0 es un sub espacio de k n. Hacemos énfasis en que el conjunto solución de un sistema in homogéneo AX=B no es sub espacio de K n. De hecho, el vector cero, 0, no pertenece a dicho conjunto solución.
  9. 9. 4.3-COMBINACION LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL.
  10. 10. COMBINACIÓN LINEAL. Sea (V,K,+,*), Espacio Vectorial, S={1, 2,..., n} Se dice que un vector es combinación lineal de un conjunto de vectores S = { 1, 2,..., n} si es que existe alguna forma de expresarlo como suma de parte de todos los vectores de S, multiplicados a cada uno de ellos por un escalar cualquiera . El vector es combinación lineal de los vectores S si tal que:
  11. 11. Ejemplo: Sea , espacio Vectorial S = {(1,-1,0),(-2,3,-1),(2,1,-3)} Combinación Lineal: ---> 3(1,-1,0) + 4(-2,3,-1) - 2(2,1,-3) = (-9,7,2) ---> 4(1,-1-0) + 5(-2,3,-1) - 6(2,1,-3) = (-18,5, 13)
  12. 12. Para saber que un vector es combinación lineal de otro, procedemos de la siguiente manera: =0 Se nos formara un sistema de ecuaciones, el cual tendrá dos opciones por el hecho de ser un sistema de ecuaciones homogéneo: Que tenga única solución, lo que significa que ninguno de los vectores es combinación lineal de otros. Que tenga infinitas soluciones, es decir algún vector es combinación lineal de los otros.
  13. 13. Por Ejemplo: Determine si es combinación lineal. S = {(1,0) , (0,1)} ą ( 1, 0 ) + ß( 0 , 1 ) = ( 0 , 0 ) (ą , ß) = ( 0 , 0 ) Realizamos la matriz ampliada Al desarrollar el determinante de la matriz ampliada, podemos ver que tiene única solución, debido a que su determinante es diferente de cero, por lo tanto, ninguno de sus vectores es combinación lineal de otro.
  14. 14. 2. S = { ( 1,2,3 ), ( 2, -1,0), (3,1,3) } Entonces, como primer paso: a ( 1, 2, 3 ) + b ( 2 , -1, 0 ) + t (3, 1, 3 ) = ( 0 , 0 ) Al desarrollarlo tenemos: (a , 2b ,3 t) + (a 2, - b , t) + (3a ,3 t) = ( 0, 0, 0 ) Al Hacer la matriz ampliada, tenemos: Al obtener el determinante , nos da como resultado igual a cero, por lo que podemos concluir dos cosas, que el sistema no tiene solución o tiene infinitas soluciones, pero como es un sistema de ecuaciones homogéneas, concluimos que tiene infinitas soluciones.
  15. 15. INDEPENDENCIA LINEAL En el estudio del algebra lineal, una de las ideas centrales es la de dependencia o independencia lineal de los vectores. En esta sección se define el significado de independencia lineal y se muestra su relación con la teoría de sistemas homogéneos de ecuaciones y determinantes. Existe una relación espacial entre los vectores , se puede apreciar que v2=2v1; o si se escribe esta ecuación de otra manera. 2v1-v2=0.
  16. 16. En otras palabras, el vector cero se puede escribir como una combinación no trivial de v1 y v2 (es decir, donde los coeficientes en la combinación lineal no son ambos cero). ¿Qué tienen de especial los vectores ? La respuesta a esta pregunta es más difícil a simple vista. Sin embargo, es sencillo verificar que v3=3v1+2v2; rescribiendo esto se obtiene Se ha escrito el vector cero como una combinación lineal de v1, v2, y v3. Parece que los dos vectores de la ecuación y los tres vectores de la otra ecuación tienen una relación más cercana que un par arbitrario de 2-vectores a una terna arbitraria de 3-vectores. En cada caso, se dice que los vectores son linealmente dependientes. En términos generales, se tiene la importante definición a continuación presentada.
  17. 17. Definición: sean v1, v2, …, vn vectores en un espacio vectorial V. entonces se dice que los vectores son linealmente dependientes si existen n escalares c1, c2, …, cn no todos ceros tales que Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes. Para decirlo de otra forma, v1, v2, .., vn son linealmente independientes si la ecuación c1v1+c2v2+…+cnvn=0 se cumple únicamente para c1=c2=…=cn=0. Son linealmente dependientes si el vector cero en V se puede expresar como una combinación lineal de v1, v2,…,vn con coeficientes no todos iguales a cero. Nota. Se dice que los vectores v1, v2, …, vn son linealmente independientes (o dependientes), o que el conjunto de vectores {v1, v2, …, vn} es linealmente independiente (o pendiente). Esto es, se usan las dos frases indistintamente.
  18. 18. TEOREMA. Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y solo si uno de ellos es un múltiplo escalar del otro. Demostración: primero suponga que v2=cv1 para algún escalar c≠0. Entonces cv1-v2=0 y v1 y v2 son linealmente dependientes. Por otro parte, suponga que v1 y v2 son linealmente dependientes. Entonces existen constantes c1 y c2 al menos uno distinto a cero, tales que c1v1+c2v2=0. Si c1≠0, entonces dividiendo entre c1 se obtiene v1+(c2/c1)v2=0, o sea, Es decir, v1 es un múltiplo escalar de v2. Si c1=0, entonces c2≠0 y, por lo tanto, v2=0=0v1.
  19. 19. 4.4-BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL. CAMBIO DE BASE
  20. 20. Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base. Se ha visto en R2 conviene escribir vectores como una combinación lineal de los vectores . En R3 se escribieron los vectores en términos De Ahora se generalizara esta idea. BASE Un conjunto finito de vectores vectorial V si es una base para un espacio
  21. 21. Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en Rn es una base en Rn. En Rn se define Puesto que los vectores e, son las columnas d una matriz identidad (que tiene determinante 1), es un conjunto linealmente independiente y, por lo tanto, constituye una base en Rn. Esta base especial se denomina base canónica en Rn. Ahora se encontraran bases para otros espacios.
  22. 22. EJEMPLO: base canónica para M22 Se vio que generan a , entonces es evidentemente que . Así, estas cuatro matrices son linealmente independientes y forman una base para M22, lo que se denomina base canónica para M22. DIMENSIÓN Si el espacio vectorial V tiene una base con un numero finito de elementos, entonces la dimensión de V es el numero de vectores en todas las bases y V se denomina espacio vectorial de dimensión finita. De otra manera, V se denomina espacio vectorial de dimensión infinita. Si V={0}, entonces se dice que V tiene dimensión cero. Notación. La dimensión V se denota por dimV.
  23. 23. EJEMPLO: la dimensión de Mmn En Mmn sea A la matriz de mxn con un uno en la posición ij y cero en otra parte. Es sencillo demostrar que las matrices a para i=1,2,…,m y j=1,2,…,n forman una base para Mmn. Así, dimMmn=mn. TEOREMA: suponga que dimV=n.si es un conjunto de m vectores linealmente independientes en V, entonces m≤n. Sea entonces, igual que la prueba del teorema, se pueden encontrar constantes no todas cero, tales que la ecuación (2) se satisface. Esto contradice la independencia lineal de los vectores u. así, m≤n.
  24. 24. EJEMPLO: una base para el espacio de solución de un sistema homogéneo Encuentre una base (y la dimensión) para el espacio de solución S del sistema homogéneo SOLUCIÓN: aquí . Como A es una matriz de 2x3, S es un Sub espacio de R3. Reduciendo por renglones, se encuentra, sucesivamente,
  25. 25. 4.5-ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO Y SUS PROPIEDADES.
  26. 26. Definición. El espacio vectorial complejo V se conoce como un espacio con producto interior si para cualquier par de vectores u y v en V, existe un único número complejo (u, v), llamado el producto interior de u y v, tal que si u, v y w están en V y si α ∈ C, entonces Propiedades i. (v, v) ≥ 0 ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0. iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w) iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w) v. (u, v) = (v, u) vi. (αu, v) = α(u, v) vii. (u, αv) = α(u, v) La barra en las condiciones (v) y (vii) denota el conjugado complejo.
  27. 27. EJEMPLO: producto interno de dos vectores en C3 En C3 sean x=(1+i, -3, 4-3i) y y=(2-i, -i, 2+i). entonces Sea V un espacio con producto interno y suponga que u y v están en V. entonces
  28. 28. PROPIEDADES CONJUNTO ORTONORMAL. El conjunto de vectores Si es ortonormal. es un conjunto ortonormal en V y Si solo el primero se cumple, se dice que el conjunto TEOREMA: cualquier conjunto finito de vectores ortonormales diferentes de cero en un espacio con producto interno es linealmente independiente. TEOREMA: cualquier conjunto finito linealmente independiente en un espacio con producto interno se puede convertir en un conjunto ortonormal mediante el proceso de Gram-Schmidt. En particular, cualquier espacio con producto interno tiene una base ortonormal.
  29. 29. Proyección ortogonal. Sea H un subespacio del espacio con producto interno V con base ortonormal Si vϵV, entonces la proyección ortonormal de v sobre H denotada por proyHv esta dada por (6) Las demostraciones de los siguientes teoremas son idénticas a sus contrapartes en Rn. TEOREMA: sea H un subespacio de dimensión finita con producto interno V. suponga que H tiene dos bases ortonormales Sea vϵV. entonces
  30. 30. COMPLEMENTO ORTOGONAL. Sea H un sub espacio del espacio con producto interno V. entonces el complemento ortogonal de H, denotado por H, esta dado por (7) TEOREMA: si H es un sub espacio del espacio con producto interno V, entonces
  31. 31. TEOREMA DE PROYECCIÓN. sea H un sub espacio de dimensión finita del espacio con producto interno V y suponga que vϵV. entonces existe un par único de vectores h y p tales que hϵH, pϵH, y (8) v=h+p donde h=proyHv. Si V tiene dimensión finita, entonces p=proyHv. TEOREMA: sea A una matriz de nxn; entonces A tiene vectores propios linealmente independientes si y solo si multiplicidad geométrica de cada valor propio es igual a su multiplicidades algebraica. En particular, A tiene n vectores propios linealmente independientes si todos los valores propios son distintos (ya que entonces la multiplicidad algebraica de cada valor propio es 1).
  32. 32. 4.6-CAMBIO DE BASE. BASE ORTONORMAL. PROCESO DE ORTONORMALIZACION GRAM-SCHMIDT.
  33. 33. CAMBIO DE BASE. El cambio de base consiste en conocidas las coordenadas de un vector respecto a una base B, encontrar las coordenadas de dicho vector con respecto a otra base B’. TEOREMA 4.10 (La inversa de la matriz de transición). Si P es la matriz de transición de una base B a una base B’ en , entonces P es invertible y la matriz de transición de B’a B es . TEOREMA 4.11 (Matriz de transición de una base B a una base B’). Sean y dos bases de Rn, entonces la matriz de transición P-1 de B a B’ puede determinarse mediante eliminación de Gauss – Jordán en la matriz como se muestra a continuación
  34. 34. En la matriz B’ representa la matriz que tiene por columnas las componentes de los vectores de la base B’ respectivamente, de forma similar B representa la matriz que tiene por columnas las componentes de los vectores de la base B respectivamente. Base ortonormal. En algebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio de HilbertH, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria. Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un escalar apropiado y de hecho, esta es la forma habitual en la que se obtiene una base ortonormal: por medio de una base ortogonal.
  35. 35. Así, una base ortonormal es una base ortogonal, en la cual la norma de cada elemento que la compone es unitaria. Estos conceptos son importantes tanto para espacios de dimensión finita como de dimensión infinita. Para espacios de dimensión finita, la condición de span denso es la misma que la de 'span', como se usa en álgebra lineal. Una base ortonormal por lo general no es una "base", es decir, en general no es posible escribir a cada elemento del espacio como una combinación lineal de un número finito de elementos de la base ortonormal. En el caso de dimensión infinita, esta distinción cobra importancia: la definición dada requiere solo que el span de una base ortonormal sea densa en el espacio vectorial, y no que iguale al espacio entero. Una base ortonormal de un espacio vectorial V no tiene sentido si el espacio no posee un producto interno. Un Espacio de Banach no tendrá una base ortonormal a no ser que sea unespacio de Hilbert.
  36. 36. Proceso de orto normalización Gram – Schmidt El proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt de álgebra lineal es un proceso utilizado en matemática y análisis numérico, para ortogonalizar un conjunto de vectores en un espacio prehilbertiano, más comúnmente el espacio euclídeo Rn. Ortogonalización en este contexto significa lo siguiente: comenzamos con vectores v1,…, vk los cuales son linealmente independientes y queremos encontrar mutuamente vectores ortogonales u1, …, uk los cuales generan el mismo subespacio que los vectores v1, …, vk. Este proceso lleva el nombre en honor a Jørgen Pedersen Gram y Erhard Schmidt. Proceso de Gram–Schmidt Definimos el operador proyección condonde los corchetes angulares representan el producto interior, proyecta el vector v ortogonalmente en el vector u. Antes de ver el proceso, debemos comprender el porqué de la definición de proyección. Si recordamos la definición de producto escalar, tenemos para el caso del numerador, módulo de u por módulo de v por el coseno del ángulo que forman.
  37. 37. En el denominador tenemos módulo de u por módulo de u, ya que el coseno sería 1. Si separamos los dos módulos de u en el denominador, vemos que a la izquierda tenemos únicamente “módulo de v * cos (ángulo que forman)”, lo que nos da claramente el módulo del vector proyección. Teniendo el módulo del vector proyección lo único que debemos hacer es asignarle una dirección, cosa que hacemos multiplicándolo por u/módulo(u), lo que es el vector de módulo 1 con dirección u (el vector unitario).

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