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1
PROGRAMA DE SEGUNDA ESPECIALIDAD EN
DIDÁCTICA DE LA EDUCACIÓN PRIMARIA
DIDÁCTICA DE CAMBIO Y RELACIONES
UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN DE AREQUIPA
Sesión N° 2:
Sistema de Numeración Decimal.
Otros sistemas de numeración.
ESPECIALISTA: Jaime Luis Vilca Vargas
2
Utiliza material didáctico pertinente en la
construcción y problematización con sistema
de numeración decimal y otros sistemas.
3
Un buscador de tesoros encuentra en una excavación una habitación que
contenía un cofre, en el cual se hallaba el tesoro que buscaba. Las inscripciones
en la pared hacían suponer que existía un mecanismo de seguridad, por lo que
habría que cifrar correctamente; caso contrario se destruiría el cofre. En la pared
había las siguientes inscripciones, algunas de las cuales el buscador de tesoros
logró descifrar.
“Si nuestro intrépido aventurero descubrió que el código del tesoro coincide
con la fecha 1679 a.C, ¿cuál es la inscripción que debe marcar?”
………………………………………………………………………………………
4
Axiomática de Peano.
Supuesta la existencia del conjunto N con infinitos elementos, que estan
denotados por 1, 2, 3…, los cinco axiomas de Peano son los siguientes:
1. El 1 es un número natural.
2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n
también es un número natural.
3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural.
4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo
sucesor, entonces n y m son el mismo número
natural.
5. Si el 1 pertenece a un conjunto, y dado un número
natural cualquiera, el sucesor de ese número
también pertenece a ese conjunto, entonces todos
los números naturales pertenecen a ese conjunto.
Este es el axioma de inducción, y captura la idea de
inducción matemática.
Matemático italiano
1858 - 1932
Giuseppe Peano
Hay un debate sobre si considerar al 0 como número natural o no.
Generalmente se decide en cada caso, dependiendo de si se lo necesita
o no.
5
PROPIEDADES
6
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL. OTROS
SISTEMAS DE NUMERACIÓN.
En los sistemas de
numeración ponderados o
posicionales el valor de un
dígito depende tanto del
símbolo utilizado, como
de la posición que ése
símbolo ocupa en el
número.
POSICIONALES NO POSICIONALES
En los sistemas no-
posicionales los dígitos
tienen el valor del símbolo
utilizado, que no depende
de la posición (columna)
que ocupan en el número.
7
 Ejemplo: Los egipcios usaron signos jeroglíficos
para representar las diferentes potencias de diez
en la escritura de izquierda a derecha.
Sistema de numeración No-posicionales.
8
9
Los romanos utilizaron un sistema de numeración no
posicional, en el que se usan algunas letras
mayúsculas como símbolos para representar los
números. Desconocían el cero.
Sistema de numeración No-posicionales.
10
Resolviendo Problemas
11
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contenía un cofre, en el cual se hallaba el tesoro que buscaba. Las inscripciones
en la pared hacían suponer que existía un mecanismo de seguridad, por lo que
habría que cifrar correctamente; caso contrario se destruiría el cofre. En la pared
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logró descifrar.
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con la fecha 1679 a.C, ¿cuál es la inscripción que debe marcar?”
………………………………………………………………………………………
12
El sistema de numeración que utilizamos
habitualmente es el decimal, que se compone de diez
símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que
otorga un valor dependiendo de la posición que
ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas,
millares, etc.
Sistema de numeración Decimal.
13
El Imperio inca tuvo el sistema de numeración
decimal. Una de las principales referencias que
confirman esto son las crónicas que presentan una
jerarquía de autoridades organizadas decimalmente.
También se puede confirmar el uso del sistema decimal en el
incanato, por medio de la interpretación de los quipus, que están
organizados a base de nudos que de acuerdo a su ubicación
pueden representar: unidades, decenas, centenas, etc.
14
El siguiente cuadro, denominado cuadro o tablero de
valor posicional, muestra el valor de posición hasta el
noveno orden:
15
Valores de las Cifras
Cada cifra de una expresión numérica tiene dos
valores: Valor absoluto y valor de posición o
relativo
Ejemplo: El número: 5 457
* La cifra 5 tiene como valor absoluto “cinco”,
cualquiera sea el lugar que ocupe dentro del
número.
* En cambio, el valor de posición o relativo,
depende de la posición que ocupa dicha cifra
dentro de la expresión numérica.
Pudiendo ser 50 ó 5000
16
OTRO EJEMPLO: el número 8 674 953
17
TALLER
Construcción y uso de tablero posicional,
material multibase, yupana y taptana.
18
19
20
21
22
Descomposición Polinómica
En el sistema decimal el número 325, por ejemplo,
significa:
3 centenas + 2 decenas + 5 unidades, es decir:
3x102 + 2x101 + 5x100 (Forma polinómica)
300 + 20 + 5 (Forma desarrollada)
23
Un Número de varias cifras o guarismos se denotan
de la siguiente forma:
24
Sistema de Numeración Binario
• El sistema de numeración binario utiliza sólo dos
dígitos, el cero (0) y el uno (1).
• En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor
dependiendo de la posición que ocupe.
• El valor de cada posición es el de una potencia
de base 2, elevada a un exponente igual a la
posición del dígito menos uno.
25
El número binario 1011(2) tiene un valor que se
calcula así: 1x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20, es decir:
8 + 0 + 2 + 1 = 11, y para expresar que ambas
cifras describen la misma cantidad lo escribimos
así: 1011(2) = 11(10)
Conversión entre números decimales y
binarios
Convertir un número decimal al sistema binario es
muy sencillo: “basta con realizar divisiones sucesivas
por 2 y escribir los restos obtenidos en cada
división en orden inverso al que han sido obtenidos”.
26
Por ejemplo, para convertir al sistema binario el
número 77(10) haremos una serie de divisiones que
arrojarán los restos siguientes:
Tomando los restos en orden inverso obtenemos la
cifra binaria: 77(10) = 1001101(2)
27
Para cambiar de una base (n) a base decimal (10):
Se realiza la descomposición polinómica. Y para
cambiar de base decimal (10) a otra base (n), se
realiza divisiones sucesivas por la base “n”
Cambio de Base
Existen otros sistemas de numeración posicional,
pues ellos solo dependen de la determinación de
la base, así tenemos, sistema heptal, octal, etc.
28
TALLER
Uso de materiales, con sistemas de
numeración.
29
Señora Deme un menú …
Jaimito tuvo mucha hambre y siendo las 2:13 pm. Decide ir a almorzar a
Ocampo, pues le dijeron que vendían menús cómodos y variados.
Al ver tal concurrencia de la gente decide tomar una foto de la realidad y
empieza a matematizar….
30
1. ¿Cuántas personas hay?
2. ¿Cuántos varones?
3. ¿Cuántas mujeres?
4. ¿Cuántos llevan sombrero?
5. ¿Cuántos llevan gorro?
6. ¿Cuántos ninguna prenda en la cabeza?
7. ¿cuántos niños hay?
8. Escribe la cantidad total de personas que hay en la
imagen. (en números y letras)
9. Cómo se escribe el orden en que ingresó la persona
número 11?
De la imagen proyectada,
contesta las preguntas
31
En el restaurant hay menús:
• Sopa - cayhua rellena S/. 5
• Sopa – trucha frita S/.6
Sopa sola S/. 3
cayhua rellena sola, S/. 4
trucha frita sola, S/. 5
 además venden Caldo de gallina a S/.7.
1. En la mesa N° 1 hay dos niños y una señora, y pidieron un caldo de
gallina que lo dividió para los dos niños y la señora comió menú con
trucha frita.
2. En la mesa N° 2 hay dos adultos, cada uno pide un menú distinto.
3. En la mesa N° 3 hay un señor que come un menú con Cayhua rellena.
4. En la mesa N° 4 hay una familia, los esposos pidieron menú con cayhua
rellena y el joven comió trucha frita, sin Sopa.
5. En la mesa N° 5 hay 7 personas mayores y una niña, los dos varones
pidieron caldo de gallina, la niña sopa sola, la señora que no lleva
sombrero pidió menú con trucha frita y las demás menú con cayhua
rellena.
 ¿Cuánto pagó en total la mesa N° 5?
 ¿si hubieran pagado con S/. 100, cuánto de cambio les han entregado?
 ¿Cuánto pagaron juntos la mesa N° 1 con la mesa N° 5?
 ¿qué pidieron más?

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Sesion 2 números naturales

  • 1. 1 PROGRAMA DE SEGUNDA ESPECIALIDAD EN DIDÁCTICA DE LA EDUCACIÓN PRIMARIA DIDÁCTICA DE CAMBIO Y RELACIONES UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTÍN DE AREQUIPA Sesión N° 2: Sistema de Numeración Decimal. Otros sistemas de numeración. ESPECIALISTA: Jaime Luis Vilca Vargas
  • 2. 2 Utiliza material didáctico pertinente en la construcción y problematización con sistema de numeración decimal y otros sistemas.
  • 3. 3 Un buscador de tesoros encuentra en una excavación una habitación que contenía un cofre, en el cual se hallaba el tesoro que buscaba. Las inscripciones en la pared hacían suponer que existía un mecanismo de seguridad, por lo que habría que cifrar correctamente; caso contrario se destruiría el cofre. En la pared había las siguientes inscripciones, algunas de las cuales el buscador de tesoros logró descifrar. “Si nuestro intrépido aventurero descubrió que el código del tesoro coincide con la fecha 1679 a.C, ¿cuál es la inscripción que debe marcar?” ………………………………………………………………………………………
  • 4. 4 Axiomática de Peano. Supuesta la existencia del conjunto N con infinitos elementos, que estan denotados por 1, 2, 3…, los cinco axiomas de Peano son los siguientes: 1. El 1 es un número natural. 2. Si n es un número natural, entonces el sucesor de n también es un número natural. 3. El 1 no es el sucesor de ningún número natural. 4. Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número natural. 5. Si el 1 pertenece a un conjunto, y dado un número natural cualquiera, el sucesor de ese número también pertenece a ese conjunto, entonces todos los números naturales pertenecen a ese conjunto. Este es el axioma de inducción, y captura la idea de inducción matemática. Matemático italiano 1858 - 1932 Giuseppe Peano Hay un debate sobre si considerar al 0 como número natural o no. Generalmente se decide en cada caso, dependiendo de si se lo necesita o no.
  • 6. 6 SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL. OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN. En los sistemas de numeración ponderados o posicionales el valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el número. POSICIONALES NO POSICIONALES En los sistemas no- posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición (columna) que ocupan en el número.
  • 7. 7  Ejemplo: Los egipcios usaron signos jeroglíficos para representar las diferentes potencias de diez en la escritura de izquierda a derecha. Sistema de numeración No-posicionales.
  • 8. 8
  • 9. 9 Los romanos utilizaron un sistema de numeración no posicional, en el que se usan algunas letras mayúsculas como símbolos para representar los números. Desconocían el cero. Sistema de numeración No-posicionales.
  • 11. 11 Un buscador de tesoros encuentra en una excavación una habitación que contenía un cofre, en el cual se hallaba el tesoro que buscaba. Las inscripciones en la pared hacían suponer que existía un mecanismo de seguridad, por lo que habría que cifrar correctamente; caso contrario se destruiría el cofre. En la pared había las siguientes inscripciones, algunas de las cuales el buscador de tesoros logró descifrar. “Si nuestro intrépido aventurero descubrió que el código del tesoro coincide con la fecha 1679 a.C, ¿cuál es la inscripción que debe marcar?” ………………………………………………………………………………………
  • 12. 12 El sistema de numeración que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc. Sistema de numeración Decimal.
  • 13. 13 El Imperio inca tuvo el sistema de numeración decimal. Una de las principales referencias que confirman esto son las crónicas que presentan una jerarquía de autoridades organizadas decimalmente. También se puede confirmar el uso del sistema decimal en el incanato, por medio de la interpretación de los quipus, que están organizados a base de nudos que de acuerdo a su ubicación pueden representar: unidades, decenas, centenas, etc.
  • 14. 14 El siguiente cuadro, denominado cuadro o tablero de valor posicional, muestra el valor de posición hasta el noveno orden:
  • 15. 15 Valores de las Cifras Cada cifra de una expresión numérica tiene dos valores: Valor absoluto y valor de posición o relativo Ejemplo: El número: 5 457 * La cifra 5 tiene como valor absoluto “cinco”, cualquiera sea el lugar que ocupe dentro del número. * En cambio, el valor de posición o relativo, depende de la posición que ocupa dicha cifra dentro de la expresión numérica. Pudiendo ser 50 ó 5000
  • 16. 16 OTRO EJEMPLO: el número 8 674 953
  • 17. 17 TALLER Construcción y uso de tablero posicional, material multibase, yupana y taptana.
  • 18. 18
  • 19. 19
  • 20. 20
  • 21. 21
  • 22. 22 Descomposición Polinómica En el sistema decimal el número 325, por ejemplo, significa: 3 centenas + 2 decenas + 5 unidades, es decir: 3x102 + 2x101 + 5x100 (Forma polinómica) 300 + 20 + 5 (Forma desarrollada)
  • 23. 23 Un Número de varias cifras o guarismos se denotan de la siguiente forma:
  • 24. 24 Sistema de Numeración Binario • El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1). • En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. • El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno.
  • 25. 25 El número binario 1011(2) tiene un valor que se calcula así: 1x23 + 0x22 + 1x21 + 1x20, es decir: 8 + 0 + 2 + 1 = 11, y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos así: 1011(2) = 11(10) Conversión entre números decimales y binarios Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: “basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido obtenidos”.
  • 26. 26 Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número 77(10) haremos una serie de divisiones que arrojarán los restos siguientes: Tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria: 77(10) = 1001101(2)
  • 27. 27 Para cambiar de una base (n) a base decimal (10): Se realiza la descomposición polinómica. Y para cambiar de base decimal (10) a otra base (n), se realiza divisiones sucesivas por la base “n” Cambio de Base Existen otros sistemas de numeración posicional, pues ellos solo dependen de la determinación de la base, así tenemos, sistema heptal, octal, etc.
  • 28. 28 TALLER Uso de materiales, con sistemas de numeración.
  • 29. 29 Señora Deme un menú … Jaimito tuvo mucha hambre y siendo las 2:13 pm. Decide ir a almorzar a Ocampo, pues le dijeron que vendían menús cómodos y variados. Al ver tal concurrencia de la gente decide tomar una foto de la realidad y empieza a matematizar….
  • 30. 30 1. ¿Cuántas personas hay? 2. ¿Cuántos varones? 3. ¿Cuántas mujeres? 4. ¿Cuántos llevan sombrero? 5. ¿Cuántos llevan gorro? 6. ¿Cuántos ninguna prenda en la cabeza? 7. ¿cuántos niños hay? 8. Escribe la cantidad total de personas que hay en la imagen. (en números y letras) 9. Cómo se escribe el orden en que ingresó la persona número 11? De la imagen proyectada, contesta las preguntas
  • 31. 31 En el restaurant hay menús: • Sopa - cayhua rellena S/. 5 • Sopa – trucha frita S/.6 Sopa sola S/. 3 cayhua rellena sola, S/. 4 trucha frita sola, S/. 5  además venden Caldo de gallina a S/.7. 1. En la mesa N° 1 hay dos niños y una señora, y pidieron un caldo de gallina que lo dividió para los dos niños y la señora comió menú con trucha frita. 2. En la mesa N° 2 hay dos adultos, cada uno pide un menú distinto. 3. En la mesa N° 3 hay un señor que come un menú con Cayhua rellena. 4. En la mesa N° 4 hay una familia, los esposos pidieron menú con cayhua rellena y el joven comió trucha frita, sin Sopa. 5. En la mesa N° 5 hay 7 personas mayores y una niña, los dos varones pidieron caldo de gallina, la niña sopa sola, la señora que no lleva sombrero pidió menú con trucha frita y las demás menú con cayhua rellena.  ¿Cuánto pagó en total la mesa N° 5?  ¿si hubieran pagado con S/. 100, cuánto de cambio les han entregado?  ¿Cuánto pagaron juntos la mesa N° 1 con la mesa N° 5?  ¿qué pidieron más?