Molfino

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  1. 1. Lo s pro c e s o s de ins tituc io nalizac ió n de l límite : un anális is s o c io e pis te mo ló g ic o IPN – Cic ata Pro g rama de Do c to rado e n Mate mátic a Educ ativa S e minario de Inve s tig ac ió n e n ME III Tuto ra : Dra . Gabrie la Bue ndía Co lo quio : 1 º al 3 de julio de 2009 Ve ró nic a Mo lfino Vig o
  2. 2. Índic e te mátic o Introducción Capítulo I: Antecedentes y justificación Capítulo II: Estado del arte Capítulo III: Aspectos teóricos y metodológicos Capítulo IV: Revisión socioepistemológica Capítulo V: Construcción social del límite finito de una función de variable real Capítulo VI: Reflexiones finales
  3. 3. Intro duc c ió n Móvil inicial de la investigación. Tratamiento escolar tradicional: programas, libros de texto, DME, prácticas educativas. Situación uruguaya y mundial. Necesaria problematización: ¿cuáles son los procesos de institucionalización que condujeron a que esta concepción esté tan arraigada en la matemática escolar? ¿cómo y por qué hoy enseñamos el límite como lo enseñamos?  ¿Qué es lo que no se pretende responder en la investigación? • Dificultades de estudiantes • Abordajes alternativos
  4. 4. Capítulo I: Ante c e de nte s y jus tific ac ió n I.1 – Justificación I.2 – Planteamiento del problema I.3 – Objetivos y preguntas de investigación
  5. 5. I.1 - Jus tific ac ió n  Comentarios en el blog → revisión de la justificación.  ¿Por qué investigar sobre algo en lo que ya hay respuestas? La SE ya tiene alternativas.  Cálculo como saber ------- cálculo escolar conceptos y definiciones explícitos Intencionalidad didáctica REALIDAD ACTUAL Predicción-graficación- analiticidad DEBER SER ¿Por qué nos centramos en esta?
  6. 6. I.2 – Plante amie nto de l pro ble ma Tratamiento algorítmico vs abordajes fundados en herramientas, prácticas y argumentos propios de la génesis y evolución del concepto.  Experiencia con estudiantes: dificultades para utilizar el concepto como argumento en la demostración y transitar entre representación gráfica y analítica.  Desde el abordaje socioepistemológico, la componente epistemológica deja de centrarse en el objeto en sí –concepto de límite– como un concepto matemático preestablecido para focalizarse en las prácticas sociales asociadas al mismo, en un contexto determinado.  Análisis de los procesos de institucionalización que llevaron a que el concepto de límite esté tan arraigado hoy como estructurador de todo curso de cálculo.
  7. 7. !.3 – Obje tivo de inve s tig ac ió n  Realizar un análisis socioepistemológico de los procesos de institucionalización del concepto de límite, para explicitar las razones por las que se presenta en el ámbito escolar de la manera en que se hace actualmente. Se espera que ello favorezca la elaboración de una epistemología de prácticas del mismo, con el fin de aportar herramientas robustas para la intervención en el DME.
  8. 8. I.3 – Pre g unta de inve s tig ac ió n : ¿Por qué enseñamos hoy al concepto de límite de la forma en que lo hacemos?
  9. 9. Responderla implica Análisis de procesos de institucionalización presentes en la evolución del concepto y en su introducción al ámbito escolar En particular:  ¿qué preguntas o problemas generaron la necesidad de trabajar con él y en particular con la definición ε-δ?  ¿Qué conocimiento nuevo habilita a construir o resignificar cada nuevo “episodio” en la formalización del concepto que el “episodio” anterior no permitiera?  ¿Esas son las mismas razones que condujeron a la definición formal en el aula? ¿Cuáles sino? Búsqueda de herramientas que aporta el análisis socioepistemológico para intervenir en el DME mediante una construcción social del concepto.
  10. 10. Hipótesis: Formalización y generalización como prácticas sociales que ejercen un rol normativo sobre las decisiones tomadas en el proceso de institucionalización
  11. 11. Capítulo II: Es tado de l arte II.1 – Investigaciones que enfatizan la dimensión cognitiva II.2 – Investigaciones que enfatizan la dimensión epistemológica II.3 – Investigaciones que enfatizan la dimensión didáctica II.4 – Investigaciones entorno al desarrollo socio-histórico del concepto II.5 – Estudio exploratorio con estudiantes II.6 – Reflexiones II.7 – Aportes desde la teoría socioepistemológica II.8 – Consideraciones relativas a “otros” cálculos
  12. 12. Es tado de l Arte II.1 Dimensión cognitiva. (Tall, Vinner, Shwarzenberger, Juter, Pinto) II.2 Dimensión epistemológica. (Cornu, Sierpinska, Cottrill, Dubinsky, Artigue, Hitt, Páez) II.3 Dimensión didáctica: abordajes alternativos. (Bokhari y Yushau, Bertero y Trípoli) II.4 Dimensión histórica. (Blázquez y Ortega, Bagni, Bertero y Trípoli, Juter)
  13. 13. II.5 – Expe rie nc ia c o n e s tudiante s Actividad 1: Calcular x 2 − 5x + 6 lim x →3 x−3 Actividad 2: Se da el bosquejo de un gráfico y se pide indicar algunos valores funcionales y límites en puntos de discontinuidad. Actividad 3: Se da la expresión analítica de una función racional y se pide completar una tabla de valores funcionales para valores cercanos a la raíz α del denominador.Se pide cálculo de límite y valor funcional para α y para otro valor. Actividad 4: Contexto extramatemático. Actividad 5: Se pide definir el límite. Actividad 6: Se pide completar la demostración del teorema de conservación del signo con argumentaciones.
  14. 14. II.6 – Re fle xio ne s Constructo imagen conceptual – definición conceptual (Tall y Vinner, 1981) explica desde el enfoque cognitivo Argumentos intuitivos de matemáticos hasta Resultado de actividad de Newton y Leibniz estudiantes (infinitésimos)  Aporte principal: la definición no es única, depende del contexto socio-histórico, y no tiene por qué coincidir con la definición formal (validada por la comunidad matemática en determinado momento lugar).  Críticas de Berkeley: generaron conflicto cognitivo que promovió la necesidad de formalizar el concepto.  El análisis socioepistemológico puede aportar herramientas para dar cuenta de cómo, por qué y para qué coexisten estas dos definiciones en el aula, especialmente en el caso del concepto de límite.  Paralelismo entre dificultades de estudiantes y en desarrollo histórico (Etapa de búsqueda de fundamentos y formalización): de tipo lógico (uso de cuantificadores) y símbolo de pasaje al límite.
  15. 15. II.6 – Re s po ndie ndo pre g untas ¿Cómo son los procesos de institucionalización que se presentan en la evolución e introducción al ámbito escolar del concepto? ¿Qué preguntas o problemas generaron la necesidad de trabajar con él y en particular con la definición épsilon-delta? Se pueden diferenciar cuatro etapas:  Antiguos griegos: Rigurosidad en las demostraciones por exhausión. Ambiente geométrico – estático.  Hasta S. XVII: Métodos infinitesimales. Búsqueda de solución a problemas prácticos sin interés en fundamentos.  Siglos XVII y XVIII: transformación de los fundamentos con el fin de extender los resultados obtenidos para casos particulares. La priorización de métodos algebraicos frente a los analíticos representó un obstáculo para la formalización y condujo a errores. (Euler, Lagrange, D’Alembert).  Siglo XIX y principios del XX: aritmetización del análisis, con la formalización como práctica social que regula las actividades. (Cauchy, Weierstrass).
  16. 16. II.7 – Apo rte s s o c io e pis te mo lo g ía Hitt (2003): • Infinito potencial – infinito actual • Problemáticas que condujeron a reconstrucciones del concepto de límite al seno de la comunidad matemática (Zenón, Cauchy) • Significado situacional (Cordero, 2006): predicción.  Páez (2005): misma línea, énfasis en dimensiones cognitiva y epistemológica.  Navarro (2004): importancia de diferentes representaciones, énfasis en significado situacional de graficación.
  17. 17. II.8 – “Otro s ” c álc ulo s  Fracaso escolar (reportado en varias líneas de investigación) Socioepistemología propone abordaje basado en:  Contexto del estudiante y del desarrollo del conocimiento.  Historia de la matemática e integración al DME.  Historia de la enseñanza del cálculo  Distancia con abordajes tradicionales que eluden carácter instrumental del Cálculo.  Alternativa SE: significados situacionales: predicción, graficación, analiticidad. (Cordero, 2006; Alanís, 1996).
  18. 18. Capítulo III: As pe c to s te ó ric o s y me to do ló g ic o s II.1 – Socioepistemología y prácticas sociales II.2 – Transposición didáctica e institucionalización II.3 – Esquema metodológico
  19. 19. III.1 – S o c io e pis te mo lo g ía y prác tic as s o c iale s Socioepistemología • Consideración del conocimiento situado, atención a escenarios socioculturales. • Conocimiento matemático es producto de la actividad humana. • Resignificación de componentes didáctica, cognitiva y epistemológica por la social a través de la identificación y análisis de las prácticas sociales. Prácticas sociales Práctica de Práctica Social Referencia Práctica de • Generadoras de conocimiento. Act Referencia • Norman y dan sentido a las Act Act Act Act prácticas de referencia Act Práctica de (Montiel, 2005): Referencia Act Act Act
  20. 20. III.2 – Trans po s ic ió n didác tic a e ins tituc io nalizac ió n  Transposición didáctica (Chevallard, 1991) Contenido Transformaciones adaptativas Saber a de saber enseñar Conduce al estudio de:  Institucionalización (Artigue, 2002):  Análisis de evolución de saberes matemáticos al seno de las instituciones.  Identificación y análisis de prácticas que sustentan determinado conocimiento → permite entender qué significa para los miembros de la institución  Institucionalización (Cordero, 2005):  ¿Cómo y por qué un conocimiento se torna en saber a enseñar?  Toma “oficial” del saber por parte del estudiante y compromiso por parte del profesor con el aprendizaje del estudiante.  Otorga estatuto cultural a las producciones de los alumnos.
  21. 21. III.2 – Vo lvie ndo a las pre g untas … Institucionalización en al menos dos sentidos:  Propio de la comunidad matemática y evolución del concepto  Designación como contenido a enseñar y arraigo en prácticas educativas vigentes Respondiendo a necesidades sociales, escolares o extraescolares… ¿CUÁLES? Explicitar este proceso es dar cuenta de la naturaleza social del límite. Necesario para instaurar debate en sistema educativo fuertemente signado por tradición formalista
  22. 22. III.3 – As pe c to s me to do ló g ic o s Reconocimiento de un fenómeno didáctico Revisión socioepistemológica El papel de las prácticas Epistemología de prácticas Situación Desarrollo intencional de las prácticas + Profesor Este esquema presupone una manera específica de + Variables externas entender la construcción del conocimiento y los e internas procesos de enseñanza y aprendizaje: construir conocimiento no se refiere exclusivamente a la adquisición de conceptos, sino también a las prácticas Diseño de aula sociales que dieron origen y actualmente “dan vida” al conocimiento en cuestión
  23. 23. Capítulo IV: Re vis ió n s o c io e pis te mo ló g ic a IV.1 – Análisis socio histórico (en construcción) IV.2 – Análisis del discurso matemático escolar actual IV.2 a – Análisis de programas (en construcción) IV.2 b – Análisis de libros de texto IV.2 c – Análisis de prácticas educativas (cuestionario y entrevista a docentes)
  24. 24. IV.2 b – Anális is de libro s de te xto Fichas comparativas y análisis conceptual, didáctico- cognitivo y fenomenológico:  Giovannini (1998). Matemática A para 6º año. Funciones reales.  Belcredi et al. (2001). Introducción al análisis matemático.  “Apuntes” Profesorado  Límite como estructurador del cálculo  Pocas figuras  Énfasis en algoritmia (libros de Educación Secundaria)  Énfasis en formalización y generalización (Profesorado)  Sin consideración de contextos extramatemáticos  Libro de texto de antaño (en construcción)
  25. 25. IV.2 c – Anális is de prác tic as e duc ativas Objetivos cuestionario:  Rol que el profesor le asigna al límite y a su definición  ¿Cuán arraigado está el concepto como estructurador del Cálculo?  ¿Existe brecha para introducir alternativas?  Influencias de currículum y tradición en prácticas educativas Resultados:  Rol central del límite en los cursos. (Si bien algunos piensan que podría omitirse, pero exigencias externas no lo avalarían)  Todos proponen presentar la definición Epsilon-delta  Incidencia de exigencia del currículum para el tratamiento del tema (demostraciones de teoremas y estructura formal tradicional)
  26. 26. Capítulo V: Co ns truc c ió n s o c ial de l límite finito de una func ió n de variable re al Ambiente en Etapa Período Características que se Móviles Prácticas principales desarrolla el asociadas concepto Geométrico- Determinación de Validación y Ia Grecia Antigua Rigurosidad en estático. En áreas y volúmenes formalización de demostraciones. demostraciones de cuerpos y resultados por exhausión. figuras concretas. Predicción (no Renacimiento Métodos Geométrico – Estudio del necesariamente Ib hasta S. XVII infinitesimales. dinámico movimiento. vinculada al Trabajo intuitivo con Resolución de concepto de poca fundamentación. problemas límite). concretos. 2ª mitad S. Transformación de Búsqueda de II XVII y S. XVIII fundamentos del Analítico fundamentación análisis infinitesimal rigurosa? III S. XIX y Aritmetización del Algebraico – Formalización principios S. XX análisis analítico Generalización del Extensión de un IV S. XX concepto a otros concepto a otros contextos conceptos?
  27. 27. Capítulo VI: Re fle xio ne s “finale s ” Procesos de institucionalización en la construcción del concepto como saber matemático:  Primer etapa: resolución de problemas “prácticos” con métodos infinitesimales. Culmina con Newton y Leibniz cuando determinan que todos ellos se pueden reducir a sólo dos problemas.  Segunda etapa: necesidad de generalizar resultados a más funciones → revisión de fundamentos.  Definición de D’Alembert: más intuitiva pero origina creencia de que el límite no es alcanzado.  Tercer etapa: aritmetización del análisis, necesidad de utilizar concepto de límite para estructurar Cálculo… ¿móviles?  Evolución concepto de función  Nuevos problemas matemáticos y físicos  Evolución y extensión de enseñanza de matemática (difusión)  Argumentación (vuelta a nuestra hipótesis: formalización y generalización)
  28. 28. Capítulo VI: Re fle xio ne s “finale s ” Procesos de institucionalización en la construcción del concepto como saber a enseñar:  Se constató fuerte arraigo de límite como estructurador del Cálculo en DME.  Influencia de la tradición y de exigencias de los programas
  29. 29. Pro ye c c io ne s y tare as pe ndie nte s Completar análisis sociohistórico y de programas. Completar la socioepistemología de prácticas (construcción social) relativa al concepto de límite. Completar respuesta a pregunta inicial.
  30. 30. Re fe re nc ias biblio g ráfic as  Aizpuru, A. y Pérez-Fernández, F. (1999) El Cours d’Analyse de Cauchy. Suma, Nº 30, febrero 1999, pp. 5-25.  Alanís, J. A. (1996). La predicción: un hilo conductor para el rediseño del discurso escolar del cálculo. Tesis de Doctorado no publicada. Cinvestav, IPN, México.  Artigue, M (1998). Enseñanza y aprendizaje del análisis elemental: ¿qué se puede aprender de las investigaciones didácticas y los cambios curriculares? Relime, Vol 1, Nº 1, marzo 1998, pp. 40-55.  Artigue, M. (2002). Learning mathematics in a CAS environment: The genesis of a reflection about instrumentation and the dialectics between technical and conceptual work. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 7(3).  Bagni, G. (2005) Historical Roots of limit notion. Development of its representation registers and cognitive development. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education 5:4, pp. 453-468.  Belcredi, L.; Deferrari, M. y Zambra, M. (2001). Introducción al análisis matemático. Montevideo, Uruguay: Ediciones de la Plaza.  Bertero, F y Trípoli, M (2006). Teoría de infinitesimales: historia, desarrollo y aplicaciones. Tesis para obtener grado de Licenciatura en Matemática no publicada.  Bertero, F y Trípoli, M (2007). Distintos enfoques para la enseñanza de la noción de límite en un primer curso de Cálculo. Jornadas de Enseñanza e Investigación Educativa en el campo de las Ciencias Exactas y Naturales, octubre 2007.  Bills, L. y Tall, D. (1998). Operable Definitions in Advanced Mathematics: the case of the Least Upper Bound. Proceedings of PME 22, Stellenbosch, South Africa, 2, pp. 104 – 111.  Blázquez, S. y Ortega, T. (2002). Nueva definición de límite funcional. Uno: Revista de Didáctica de las Matemáticas, Nº 30, pp. 67-84.  Blázquez, S., Ortega, T. et al (2006). Una conceptualización de límite para el aprendizaje inicial de análisis matemático de la universidad. Relime, Vol. 9, Nº 2, julio 2006, pp. 189-209.
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  34. 34. Muc has g rac ias

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