Trabajo de tesis




     Las figuras de análisis en geometría
    Su utilización en el aula de matemática




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Problemática detectada

  Se ha observado una dificultad bien marcada en los
alumnos de nivel terciario al usar figuras de...
Preguntas de investigación

– ¿Cómo surge el uso de las figuras de análisis
  en el ámbito escolar?

  - El uso de las fig...
Objetivos propuestos

• Descubrir la naturaleza de las figuras de análisis en la
  clase de matemática

• Intentar descubr...
Línea de investigación


                        socioepistemología


                              Construcción social de...
Definición: Las figuras de análisis no son una
representación del concepto sino que es un dibujo que da
idea de la constru...
Visualización
Diferentes personas estudiaron el proceso de visualización
en la resolución de problemas, encontrando así va...
Otros modelos que se refieren a la visualización:

•Modelo de Bishop

•Modelo de Dörfler

•Modelo de Tall y Vinner




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Aspecto social

Con respecto al aspecto social de las figuras de
analisis, antes pasar al estudio historico se puede
menci...
Las figuras a través de la historia

Para acercarnos a una posible respuesta a la primera
pregunta planteada: ¿Cómo surge ...
Algunos ejemplos de las culturas analizadas
  Egipto antiguo
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China




“Suanjing shi shu” (Los Diez Manuales Matemáticos):
demostración del teorema del “gou gu” o para nuestra cultura...
Grecia
Para esta cultura no se tomó de referencia documentos
matemáticos donde existan figuras de análisis, sino uno de
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Edad Moderna
 Descartes, en su tratado “Regulae ad Directionem ingenii” (“Reglas para la
 Dirección de la mente”, publicad...
Las figuras de análisis en el aula de matemática
Las figuras de análisis como se ha dicho son herramientas que se utilizan...
En el esquema se sintetizan las variables que se ponen
en juego en el proceso de resolución de un problema:
Resolución de un problema
En este apartado se analizaron distintos autores, como Kruteskii quien clasifica la
forma en que...
Las figuras de análisis en el
                discurso matemático escolar
Este marco teórico permitirá realizar el estudio...
Aun falta trabajar en el tema y
 profundizar el análisis de los casos
recogidos a partir del marco teórico.
Parte de la bibliografía utilizada
•   Cantoral, R y Farfán R. (2003). Matemática educativa: una visión de su evolución. R...
•   Hernández Camacho, R. (2000). La heurística y el conocimiento matemático especifico en la
    solución de problemas. E...
•   Poincaré, H. y Einstein, A. (1948). Fundamentos de la geometría. (de Rey Pastor, J., Trad.).
    Buenos Aires, Argenti...
•   Siñeriz, L. (2002). La enseñanza de la resolución de problemas de regla y compás.
    Del mundo de la pura resolución ...
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  1. 1. Trabajo de tesis Las figuras de análisis en geometría Su utilización en el aula de matemática Mónica L. Micelli
  2. 2. Problemática detectada Se ha observado una dificultad bien marcada en los alumnos de nivel terciario al usar figuras de análisis, especialmente en la materia geometría. Entendiéndose por figuras de análisis aquellos dibujos que pueden ser realizados a mano alzada, sin rigurosidad geométrica en donde se vuelcan la información dada como primer paso ya sea para resolver un problema geométrico, demostrar un teorema o realizar una construcción. Durante las clases comúnmente se observa que los estudiantes no representan correctamente los datos dados en los enunciados del problema o toman figuras que representan casos particulares, obviando situaciones generales llegando a conclusiones erróneas o incompletas.
  3. 3. Preguntas de investigación – ¿Cómo surge el uso de las figuras de análisis en el ámbito escolar? - El uso de las figuras de análisis en geometría, ¿es comprendido por los estudiantes como necesario y útil o como algo impuesto por el discurso matemático escolar? - ¿Qué factores influyen en el uso que se da a las figuras de análisis en las clases de geometría?
  4. 4. Objetivos propuestos • Descubrir la naturaleza de las figuras de análisis en la clase de matemática • Intentar descubrir si las figuras de análisis son impuestas por el discurso escolar o nacen naturalmente en la resolución de problemas de geometría (demostraciones, construcciones u otros). • Detectar los factores que llevan a resultados erróneos en problemas de geometría.
  5. 5. Línea de investigación socioepistemología Construcción social del conocimiento matemático Lo epistemológico Lo sociocultural Lo cognitivo Lo didáctico
  6. 6. Definición: Las figuras de análisis no son una representación del concepto sino que es un dibujo que da idea de la construcción de la imagen mental necesaria para asociar los datos y hallar la solución al problema. Algunos ejemplos de figuras de análisis: Esta diferencia implica analizar desde la psicología las relaciones que existen entre las imágenes mentales y pictográficas. Pudiendo resumir todo esto en el proceso de visualización que realiza en sujeto.
  7. 7. Visualización Diferentes personas estudiaron el proceso de visualización en la resolución de problemas, encontrando así varios modelos donde se aborda el análisis de imágenes y figuras, utilizando cada autor termología especifica • Modelo de Fischbein: presentación de dos teorías: del código dual y la proposicional • Modelo de Duval: establecen tres tipos de aprehensiones que realiza el observador frente al dibujo: aprehensión perceptiva, discursiva u operativa. • Modelo de Presmeg: distingue distintos tipos de imágenes: concretas pictóricas, de fórmulas, de patrones; las que pueden ser cinéticas o dinámicas.
  8. 8. Otros modelos que se refieren a la visualización: •Modelo de Bishop •Modelo de Dörfler •Modelo de Tall y Vinner Aún se esta trabajando en la bibliografía sobre estos modelos
  9. 9. Aspecto social Con respecto al aspecto social de las figuras de analisis, antes pasar al estudio historico se puede mencional el trabajo de investigación de Scaglia y Moriena (2005) consiste en el análisis de las dificultades que presentan los alumnos para reconocer un concepto geométrico cuando su representación grafica difiere de los prototipos establecidos culturalmente como pueden ser la posición espacial, cierta clase de triángulos o cuadriláteros, que solo son casos particulares.
  10. 10. Las figuras a través de la historia Para acercarnos a una posible respuesta a la primera pregunta planteada: ¿Cómo surge el uso de las figuras de análisis en el ámbito escolar?, se realizará un relevamiento histórico en busca de figuras de análisis pertenecientes a diferentes culturas, en distintas épocas históricas y acercarse así a un enfoque epistemológico del objeto de estudio de este trabajo. No se pretende hacer una evolución histórica completa y minuciosa de las figuras de análisis sino analizar el uso de estas figuras en distintas épocas de la historia y como el uso de las mismas en cada civilización esta relacionada con su propia cultura.
  11. 11. Algunos ejemplos de las culturas analizadas Egipto antiguo Civilización Sumeria Problema 48 del Papiro Rhind o de Ahmes Tablillas VAT 6598 e BM 96957 India - Bhaskara I (600-680) Aryabhatiyabhasya: verso 8 y números cuadrados
  12. 12. China “Suanjing shi shu” (Los Diez Manuales Matemáticos): demostración del teorema del “gou gu” o para nuestra cultura teorema de Pitágoras
  13. 13. Grecia Para esta cultura no se tomó de referencia documentos matemáticos donde existan figuras de análisis, sino uno de los libros de Platón, “Menón”. En un fragmento esta obra se puede leer el diálogo llevado a cabo entre Sócrates y el esclavo o servidor de Menón, en donde Platón por medio de la palabra de Sócrates hace uso de los dibujos para comprender estas propiedades ideales pertenecientes a los objetos matemáticos, en este caso preciso, el cuadrado. SÓC. –– Si este lado fuera de dos pies y este otro tam-bién de dos, ¿cuántos pies tendría el todo? Míralo así: si fuera por aquí de dos pies, y por allí de uno solo, ¿no sería la superficie de una vez dos pies? SERVIDOR. –– Sí. SÓC. –– Pero puesto que es de dos pies también aquí, ¿qué otra cosa que dos veces dos resulta? SERVIDOR. –– Así es. (Platón, p. 16)
  14. 14. Edad Moderna Descartes, en su tratado “Regulae ad Directionem ingenii” (“Reglas para la Dirección de la mente”, publicado post mortem en 1701, en “Obras Póstumas”) estableció las pautas de su método para la resolución de problemas. Entre ellas existen algunas reglas que hacen referencia a las figuras, entendiendo por figura “el límite del objeto extenso”, como lo define el propio Descartes Edad Contemporánea Poincaré en su libro Fundamentos de la Geometría dedica todo un apartado a el empleo de las figuras, en el explica las razones de porque no se puede estudiar geometría sin figuras y se debe a que antes de estudiar Geometría uno ya ha tenido experiencias que implican las nociones de espacio sensible Hilbert enunció que: “los signos y fórmulas de la Aritmética son figuras escritas, y las figuras geométricas son fórmulas dibujadas; ningún matemático podría prescindir de estas fórmulas dibujadas, como no podría realizar sus cálculos sin paréntesis ni signos operativos” (Rey Pastor, 1916, p. 18).
  15. 15. Las figuras de análisis en el aula de matemática Las figuras de análisis como se ha dicho son herramientas que se utilizan al resolver un problema por lo tanto en este capítulo se abordará el tema definiendo, en principio, qué es un problema y los procedimientos requeridos para hallar la resolución del mismo, para luego profundizar que rol cumplen las figuras de análisis y cual es su importancia es este proceso de resolución de problemas. La palabra problema que proviene del griego y se encuentra compuesta por “pro” que significa “delante” y una segunda parte “blema” que significa “acción de arrojar”, (Palacios, Álvarez y Argerami, 1995, p. 39) “Un problema es un obstáculo arrojado ante la inteligencia para ser superado, una dificultad que exige ser resuelta, una cuestión que reclama ser aclarada” (Nieto Said,2004, p.1)
  16. 16. En el esquema se sintetizan las variables que se ponen en juego en el proceso de resolución de un problema:
  17. 17. Resolución de un problema En este apartado se analizaron distintos autores, como Kruteskii quien clasifica la forma en que los alumnos resuelven un problema bajo tres categorías distintas según si realizan o no un dibujo al momento de resolver un problema: Un tipo de pensamiento “No visual o Analítico”, un pensamiento “Visual o Geométrico” y por último en un punto intermedio entre ambos un tipo “Intermedio o Armónico” Proceso de resolución En el siguiente esquema se detallan los elementos del proceso heurístico que puede resumirse como las acciones o los modos de actuar de quien se enfrenta a un problema. Varios, desde Descartes, han pautado este proceso a través de un método para llegar a la correcta solución. Se enumeran algunos métodos: Método de Polya Método de Müller Método de Schoenfeld Modelo de Wheatley Modelo de Kantowski Modelo de Fernández
  18. 18. Las figuras de análisis en el discurso matemático escolar Este marco teórico permitirá realizar el estudio de campo que comprende cuatro acciones distintas, para analizar las figuras de análisis en distintos aspectos del discurso escolar. Las acciones son: • Entrevista a docentes y alumnos sobre las figuras de análisis para conocer su visión. • Estudio de las figuras de análisis en los libros de textos y otros soportes, como puede ser tutoriales en la web. • Estudio de casos puntuales de alumnos de nivel terciario. • Entrevista a un alumno de nivel terciario (aun a realizar)
  19. 19. Aun falta trabajar en el tema y profundizar el análisis de los casos recogidos a partir del marco teórico.
  20. 20. Parte de la bibliografía utilizada • Cantoral, R y Farfán R. (2003). Matemática educativa: una visión de su evolución. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, Vol. 6, Núm. 1, pp. 27-40. • Crespo Crespo, C. (2005). El papel de las argumentaciones matemáticas en el discurso escolar. La estrategia de deducción por reducción al absurdo. Tesis de Maestría no publicada. Cinvestav - IPN, México. Recuperado el 1 de febrero de 2008, de http://www.matedu.cicata.ipn.mx/tesis/maestria/crespo_2005.pdf • Crespo Crespo, C. (2005). Las figuras de análisis en las demostraciones matemáticas por reducción al absurdo. II Congreso Virtual de Enseñanza de las Matemáticas. • Descartes, R. (1983). Reglas para la dirección de la mente (de P. Samaranch, F., Trad.). Barcelona, España.: Gráficas Ramón Sopena, S.A. (Trabajo original publicado en 1701). • Fischbein, E. (1993). La teoría de los conceptos figurales. (de Larios Osorio, V. Trad.) Revista Educational Studies in Mathematics. – CICB, UAQ; México. 2002. Recuperado el 28 de mayo de 2008, de http://www.uaq.mx/matematicas/vlarios/cursos/tem-txt31.pdf • González Polo, M., García Campuzano, L., Lamothe Rousseaux, M. (2005). Resolución de problemas geométricos a través de la modelación gráfica. Centro: Instituto Superior Pedagógico “Raúl Gómez García”, Guantánamo. Cuba. Recuperado el 16 de marzo de 2009, de http://www.revistaciencias.com/publicaciones/EEEluVAupkSELGakrT.php • Gutiérrez, A. (1991). Procesos y habilidades en visualización espacial. Memorias del 3er Congreso Internacional sobre Investigación en Educ. Mat., Valencia, pp. 44-59. Recuperado el 20 de abril de 2008, de http://www.uv.es/Angel.Gutierrez/archivos1/textospdf/Gut92b.pdf • Gutiérrez, A. (2004). Aprendizaje de la demostración matemática en enseñanza secundaria. En Memorias XV Encuentro de Geometría y III de Aritmética, pp. 573-593. Universidad Pedagógica Nacional, Bogotá, Colombia. Recuperado el 20 de abril de 2008, de http://dma.pedagogica.edu.co/dmdocuments/encuentro_15/33.pdf
  21. 21. • Hernández Camacho, R. (2000). La heurística y el conocimiento matemático especifico en la solución de problemas. En Colectivo de autores de Universidad del Ministerio de Educación Superior (Eds.), Resolución de problemas (pp. 26-29). Cuba: Editorial Universitaria del Ministerio de Educación Superior. Recuperado el 2 de febrero de 2009, de http://revistas.mes.edu.cu/eduniv/02-Libros-por-ISBN/959-16-0200/0101_Problemas.pdf • Lagarto, M. J. (2002-2008). História da Matemática - história dos problemas Bhaskara I (600-680). Recuperado el 10 de febrero de 2009, de http://www.malhatlantica.pt/mathis/India/bhaskaraI.htm. Última actualización 15-06-2008 • López, F. (1997-2008). Las Matemáticas en el Antiguo Egipto. El papiro Rhind. La Tierra de los Faraones. Egiptologia.org. Recuperado el 9 de febrero de 2009, de http://www.egiptologia.org/ciencia/matematicas/papiro_rhind.htm • Maza Gómez, C. (2002). Matemáticas en la Antigüedad. Universidad de Sevilla, España. Recuperado el 9 de febrero de 2009, de http://personal.us.es/cmaza/ • Meavilla Seguí, V. (n. d.). Álgebra geométrica: notas históricas. Centro de divulgación de las matemáticas. España. Recuperado el 9 de febrero de 2009, de http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/Topicos/AlgebraGeometrica/InprimaketaAlgebraGeo .asp • Nieto Said, J. (2004). Resolución de problemas Matemáticos. Material de apoyo de un taller de formación matemáticas en la Licenciatura de Matemáticas. Maracaibo. Recuperado el 30 de marzo de 2009, de http://ommcolima.ucol.mx/guias/TallerdeResolucionproblemas.pdf • Palacios, A., Álvarez, A. y Argerami, O. (1995). Biografías de palabras. Pesquisas en el lenguaje matemático. Buenos Aires, Argentina: Serie Eureka. Editorial Magisterio del Río de La Plata • Plasencia Cruz, I. (2000). Análisis del papel de las imágenes en la actividad matemática. Un estudio de casos. Tesis de Maestría no publicada. Universidad de La Laguna, España. Recuperado el 13 de marzo de 2009, de ftp://tesis.bbtk.ull.es/ccppytec/cp114.pdf • Platón. (2002). Menón. Editato por Librodot.com. Recuperado el 1 de febrero de 2009, de www.librodot.com
  22. 22. • Poincaré, H. y Einstein, A. (1948). Fundamentos de la geometría. (de Rey Pastor, J., Trad.). Buenos Aires, Argentina: Colección infinito. Serie 3, Filosofía de la Ciencia, Vol. 1. Ibero América. (Trabajo original publicado en 1891). • Ramírez, L. (2008). La resolución de problemas mediada por la visualización. Un estudio de casos. Tesis de Maestría no publicada. Universidad Autónoma de Guerrero, México. Recuperado el 13 de marzo de 2009, de http://74.125.47.132/search? q=cache:SW9GLlGWrjAJ:imatematicas.uagro.mx/tesis/luis/tesisluis051208.htm+tesis+ramir ez%2B2008%2B+%22visualizaci%C3%B3n+matematica%22&cd=1&hl=es&ct=clnk • Renzetti, R. (n. d.). Alcune questioni di matematica nell'antichita' preclassica. Parte II – Mesopotamia. Recuperado el 10 de febrero de 2009, de http://www.fisicamente.net/FISICA/index-1540.htm • Rey Pastor, R. (1916). Fundamentos de la Geometría. Recuperado el 20 de marzo de 2009, de Digitalizado por maplewhite@gmail.com • Scaglia, S. y Moriena, S. (2005). Prototipos y estereotipos en geometría. Educación Matemática, Vol.17, Núm. 3, pp. 105-120. Recuperado el 6 de abril de 2008, de http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/405/40517306.pdf • Sigarreta Almira, J. y Laborde Chacón, J. (febrero, 2004). Estrategias para la resolución de problemas como un recurso para la interacción sociocultural. Revista de la Sociedad Argentina de Educación Matemática, Año 6, Núm. 20, pp. 15-28. • Sigarreta, J. M. Rodríguez, J. M. y Ruega, P. (2006). La resolución de problemas: una visión histórico-didáctica. Boletín de la Asociación Matemática Venezolana, Vol. XIII, Num. 1, pp. 53-66. Recuperado el 22 de marzo de 2008, de http://www.ma.usb.ve/~bol- amv/conten/vol13/pruesga.pdf
  23. 23. • Siñeriz, L. (2002). La enseñanza de la resolución de problemas de regla y compás. Del mundo de la pura resolución de problemas a la Escuela Media Argentina: estudio de dos casos. Revista oficial del Comité Latinoamericano de Matemática Educativa. A.C. Relime Vol. 5, Núm. 1, pp. 79-101. Recuperado el 22 de marzo de 2008, de dialnet.unirioja.es/servlet/fichero_articulo?codigo=2147055&orden=71856 – • Torregrosa, G. y Quesada, H. (2007). Coordinación de procesos cognitivos en geometría. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, Vol. 10, Núm. 002, pp. 275-300. Recuperado el 12 de mayo de 2008, de http://redalyc.uaemex.mx/redalyc/pdf/335/33500205.pdf Más otras referencias que se están trabajando

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