Buscamos la resolución y maximización de un problema de asignación de recursos escasos a actividades competitivas entre sí

1. UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA
MOLINA
CURSO: Investigación de operaciones
Trabajo encargado
Zavala Delgadillo, Joel Alexander
Carrera: Ing. en Gestión Empresarial
Ciclo: 2012-II
Lima - Perú

2. Universidad Nacional Agraria La Molina Ciclo: 2012-I
Curso: Investigación de Operaciones Grupo: F y G
Profesor: Humberto A. Trujillo
Trabajo Encargado
Indicaciones:
Realizar el trabajo en grupos de 3 ó 4.
Presentar sus argumentos por escrito y no solo la respuesta final.
Fecha de entrega: hasta el día miércoles 27 de junio.
Lugar de entrega: en la secretaria del DAEP (8:30 a.m. a 3:30 p.m.)
Para entregar
Presente el modelo de programación lineal que permita la solución al problema de la empresa. Utilice
las herramientas que considere necesarias.
Es necesario que adjunte la solución obtenida por el software LINDO incluyendo el análisis de
sensibilidad.
Caso: Exportación de Palta
Una empresa agroindustrial está evaluando opciones de exportación de paltas. La primera es exportar las
paltas como fruta sin procesar, mientras que la segunda opción es exportar aceite de palta.
La palta cosechada se puede exportar a un precio promedio de 1.5 dólares por kilo, el costo de producción de
0.5 dólares por kilo y el costo de exportación es 0.25 dólares por kilo. Mientras que si se exporta como aceite
de palta el precio es de aproximadamente 10 dólares por litro, el costo de producción es de 3 dólares por litro
y el costo de exportación es de 0.5 dólares por litro. Para producir un litro de aceite se necesitan 10 kilos de
palta.
En caso se necesite producir más aceite de palta se puede comprar palta madura de menor calidad a 1 sol 1
por kilo, siendo necesario 13 kilos para producir un litro de aceite de palta. El costo de producción es de 3
dólares por litro y el costo de exportación es de 0.5 dólares por litro.
La cosecha de la palta toma 2 meses2, llegándose a cosechar 12,500 toneladas, siendo el 90% de calidad de
exportación y el 10% de paltas de calidad inferior que usualmente se destinan a la producción de aceite,
teniendo el mismo costo de producción que el aceite de palta hecho con las paltas de la empresa. Sino se
produce aceite con esta palta, se la puede vender en el mercado mayorista local a 2 soles el kilo.
Como el valle es productor de paltas se considera que la cantidad de paltas para fabricar aceite es ilimitada.
Sin embargo, la capacidad de producción de la planta está limitada a 1500 Kg de palta por hora y la fábrica
trabaja 8 horas por día de lunes a domingo, si se opera un turno adicional el costo de producción se
incrementa en 50% debido al costo de sobre-tiempo de la mano de obra y al incremento en el costo de la
tarifa de energía eléctrica.
1
Tipo de cambio = 2.6 soles/dólar
2
Considera un mes estándar de 30 días.

3. Se pueden programar días con sobretiempo, pero no se puede fraccionar el segundo turno que siempre será
de ocho horas. El turno adicional genera además un costo fijo de 1000 dólares por cada día de sobretiempo.
Con esta información se le pide encontrar el modelo que permita la optimización de las operaciones de la
empresa. Luego realice el análisis de sensibilidad e interprételo.
Finalmente responda a las preguntas:
¿Será necesario utilizar el segundo turno de trabajo?, de ser así, ¿Cuántos días serían?
¿Comprará paltas la empresa para producir aceite?
¿conviene a la empresa exportar paltas como fruta?

4. RESOLUCIÓN
Supuestos:
La duración de la palta una vez cosechada es de dos semanas, durante los demás turnos se pueden
utilizar paltas compradas.
La producción de palta en el valle es constante, por lo cual existe en todo momento producción
disponible para la producción de aceite.
Los precios no se alteran por la oferta del a empresa.
El mercado local no es muy grande, se estima que la demanda residual de la empresa en el mercado
local solo representa el 5% de su producción.(este supuesto se realiza para mejorar las salidas del
LINDO)
No es posible dejar producción para venderla en la siguiente cosecha-
Variables:
Las variables a utilizar para el desarrollo del problema serán:
X1= Toneladas de palta destinadas a la exportación como fruta.
X2= Toneladas de palta de producción propia destinadas a la producción de aceite en el primer turno.
X3= Toneladas de palta de producción propia destinadas a la venta en el mercado interno.
X4= Toneladas de palta comprados para producción de aceite en el primer turno.
X5= Toneladas de palta de producción propia destinadas a la producción de aceite en el segundo turno.
X6= Toneladas de palta comprados para producción de aceite en el segundo turno.
X7= Número total de turnos adicionales (segundo turno)
Planteamiento de la función objetivo:
Todas las unidades estarán expresadas en dólares.
Toda empresa tiene como meta maximizar el nivel de utilidad de sus negocios por tanto la función objetivo del
problema planteado será la maximización del nivel de utilidad (Z) entendido como la diferencia de los ingresos
y los gastos.
La primera parte de la función objetivo son los ingresos, la fuente de ingresos que tiene la empresa son: la
venta de palta como fruta en el exterior, la exportación de aceite de palta y la venta de palta como fruta en el
mercado nacional, para el proceso de transformación de la palta en aceite se utiliza como insumo principal la
–fruta en las proporciones descritas anteriormente.
Por tanto la función de ingresos será:
I= ingreso por toneladas exp. De fruta + ingreso por exp. De aceite + ingresos por toneladas vendida en el
mercado local
La segunda parte de la función objetivo es la función de costos, en este problema los distinguiremos según
sea la fuente (variable) de esta forma obtendremos los siguientes costos: costos de producción y exportación
de la palta como fruta, costos por la producción y exportación de aceite producido a partir de palta propia de
la empresa, costos por la producción y exportación de aceite producido a partir de palta comprada, en cada
caso se incrementará el 50% (en los costos de producción) si se da un sobretiempo y por último el adicional
por turno de sobretiempo.

5. Por ende la función de costos totales es:
Donde:
El costo total es:
Entonces la función objetivo a maximizar será:
Restricciones:
La primera restricción que se impondrá es la máxima capacidad de kilogramos que se pueden utilizar por la
empresa, la producción total propia es de 12 500 toneladas:
Como el 90% se espera que sea de calidad de exportación entonces esta vendría a ser la máxima oferta que
se puede exportar como fruta.
El otro 10% de la producción se puede destinar a otros usos, pero no se ha exigido que este nivel sea lo
máximo que se pueda ofertar, por lo que no se debería poner una restricción del uso de ese 10% (solo no se

6. puede utilizar para la exportación, pero esta restricción ya está contemplada en la restricción anterior). El
tercer supuesto es necesario debido a que en la función objetivo se puede observar que el mayor ingreso se
da por la venta de palta en el mercado local, así que si no se restringe la demanda local, la empresa decidirá
destinar el total de la producción a este mercado y el problema ya no sería necesario de formular en LINDO.
Dado el supuesto que una vez cosechada se tiene dos semanas entonces la cantidad máxima que se pueden
utilizar en la producción de aceite sin sobretiempo es:
Asimismo p.ara el caso de las toneladas propias utilizadas para la producción de aceite con turnos
adicionales.
La cantidad máxima de kilogramos de paltas que se pueden destinar para la producción de aceite sin existir
turnos adicionales:
La cantidad de paltas destinadas a la producción de aceite en turnos adicionales es:
Como solo puede haber un turno adicional por díay el horizonte adicional por cosecha es de dos meses,
entonces:
Las restricciones para que ninguna variable sean negativos:
Por último por condiciones del problema no se puede partir los turnos adicionales.
El programa maximizador resultante es:
MAX
Sujeto a:
Restricciones de oferta:

7. Restricción de demanda:
Restricciones técnicas (de producción):
Restricciones de no negatividad:
Restricción de no divisibilidad:

8. Planteamiento y resultados en LINDO
Planteamiento del modelo indicado en la primera parte:
max 750x1 + 650x2 + 500x5 + 115.384615x4 + 769.230769x3 - 1000x7
subject to
x1 + x2 + x5 + x3 <= 12500
x1<= 11250
x2<= 625
x2<= 168
x5<= 168
x2 + x4 <= 720
x5 + x6 - 12x7 = 0
x7<= 60
end
gin x7
Análisis de resultados:
La síntesis del análisis de las salidas de LINDO son:
1. El beneficio de la empresa es de 9161162 dólares.

9. 2. La distribución de los recursos (la solución óptima es):
a. 14 turnos de sobretiempo
b. 11 250 toneladas de palta exportada como fruta.
c. 168 toneladas de palta de la empresa destinadas a la producción de aceite en turnos
normales.
d. 168 toneladas de palta de la empresa destinadas a la producción de aceite en turnos
adicionales.
e. 552 toneladas de paltas compradas para la producción de aceite en turnos normales.
f. 625 toneladas de palta vendidas en el mercado local.
g. No se compran paltas para producir aceite en turnos adicionales.
3. La cantidad producida de aceite será:
a. En turnos normales y con paltas de la empresa el total de litros producidos es 16 800 litros.
b. En turnos extras y con paltas de la empresa el total de litros producidos es 16 800 litros.
c. En turnos normales y con paltas compradas el total de litros producidos es 42 462 litros
aproximadamente.
d. El total producido de aceite por la planta es 76062 litros aproximadamente.
4. Los costos reducidos se interpretan:
a. Para que se pueda incluir un turno adicional el costo por el mismo debería reducirse en
5000.
b. Para que se compre una tonelada para la producción de aceite en turnos de sobretiempo la
rentabilidad por tonelada destina debería incrementarse en 500 dólares.
5. Excedentes o faltantes
a. Se dejan de utilizar os 46 posibles turnos extras.
b. No se utilizan 289 toneladas de paltas de producción de la empresa.
6. Dual prices o Precios sombras:
a. Si se pudiera exportar una tonelada más de palta como fruta la utilidad de la empresa
aumentaría en 750 dólares.
b. Si se pudiera vender una tonelada adicional en el mercado interno la rentabilidad
aumentaría en 769,23 dólares.
c. Si se pudiera utilizar una tonelada más en la producción de aceite en turnos normales la
rentabilidad de la empresa aumentaría en 534,61543 dólares.
d. Si se pudiera ampliar la capacidad de producción de la planta de aceite en total (turnos
normales) en una tonelada la rentabilidad de la empresa se incrementaría en 115,38
dólares.
e. Si pudiera existir una diferencia entre la capacidad de producción y la producción efectiva
para los turnos de sobretiempo de 1 tonelada (no existiera producción continua y no se
estuviera obligado a producir la capacidad instalada) la rentabilidad de la empresa se
incrementaría en 500 dólares.

10. Análisis de sensibilidad:
Análisis de resultados:
La síntesis del análisis de las salidas de LINDO son:
1. Rangos de coeficientes objetivos:
a. El beneficio por tonelada de palta exportada como fruta puede decrecer hasta en 750
dólares sin alterar la solución del problema.
b. El beneficio por tonelada de palta de la empresa destinada a la producción de aceite en
turnos normales puede reducirse hasta 534,61 dólares sin alterar la solución problema.
c. El beneficio por tonelada de palta de la empresa destinada a la producción de aceite en
turnos de sobretiempo puede reducirse hasta 500 dólares sin alterar la solución problema.
d. El beneficio por tonelada de palta comprada y destinada a la producción de aceite en
turnos normales puede reducirse hasta 115,38 dólares o incrementarse en 534.61 dólares
sin alterar la solución problema.
e. El beneficio por tonelada de palta de la empresa comprada y destinada a la producción
de aceite en turnos de sobretiempo puede incrementarse hasta 500 dólares sin alterar la
solución problema.
2. RIGHTHAND SIDE RANGES:
a. El precio sombra de incrementos en la producción de la empresa es válido para variaciones
en el intervalo (-289;∞), es decir es válido para reducciones de hasta 289 toneladas y para
cualquier incremento
b. El precio sombra de incrementos en la máxima cantidad que se puede exportar de la
empresa es válido para variaciones en el intervalo (-11250; 289), es decir es válido para
reducciones de hasta 11250 toneladas y para incrementos hasta de 289 toneladas.

11. c. El precio sombra de incrementos en la máxima cantidad que se puede destinar para la
venta en el mercado interno es válido para variaciones en el intervalo (-625; 289), es decir
es válido para reducciones de hasta 625toneladas y para incrementos hasta de 289
toneladas.
d. El precio sombra de incrementos en la máxima capacidad de la planta para la producción
de aceite en turnos normales y con palta propia de la empresa es válido para variaciones en
el intervalo (-168; 289), es decir es válido para reducciones de hasta 168 toneladas o
incrementos de hasta 289 toneladas.
e. El precio sombra de incrementos en la máxima capacidad de la planta para la producción
de aceite en turnos adicionales y con palta propia de la empresa es válido para variaciones
en el intervalo (0; ∞), es decir no es válido para reducciones, pero es válido para cualquier
incremento.
f. El precio sombra de incrementos en la máxima capacidad de la planta para la producción
de aceite en turnos normales durante los dos meses es válido para variaciones en el
intervalo (-552; ∞), es decir es válido para reducciones de 552 toneladas y para cualquier
incremento.
g. El precio sombra de incrementos en la diferencia entre la capacidad efectiva y instalada de
la planta de aceite para turnos extras es válido para variaciones en el intervalo (-168; 0), es
decir es válido para reducciones de -168 toneladas (salida no posible de efectuar en la
realidad porque nunca se puede producir más de lo máximo posible) y no es válido para
situaciones donde no es necesario utilizar toda la capacidad instalada
h. El precio sombra del número de turno es válido para reducciones de 46 turnos y para
cualquier incremento.
Preguntas:
¿Será necesario utilizar el segundo turno de trabajo?, de ser así, ¿Cuántos días serían?
Rpta:Serán necesarios 14 turnos adicionales.
¿Comprará paltas la empresa para producir aceite?
Rpta:Si, comprará 552 toneladas.
¿conviene a la empresa exportar paltas como fruta?
Rpta:Es más conveniente la venta en el mercado interno, pero dado los supuestos del problema si
resulta conveniente la exportación de palta como fruta.

12. Adicionalmente se estimará el programa que no presenta el tercer supuesto sobre el mercado nacional
Planteamiento en LINDO:
max 750x1 + 650x2 + 500x5 + 115.384615x4 + 769.230769x3 - 1000x7
subject to
x1 + x2 + x5 + x3 <= 12500
x1 <= 11250
x2 <= 168
x5 <= 168
x2 + x4 <= 720
x5 + x6 - 12x7 = 0
x7<= 60
end
gin x7
Los resultados de LINDO son:

13. Análisis de resultados:
La síntesis del análisis de las salidas de LINDO son:
1. El beneficio de la empresa es de 9698462 dólares.
2. La distribución de los recursos (la solución óptima es):
a. No se produce aceite de palta con palta producida por la empresa ni se vende en el
mercado externo como fruta.
b. Se compran 720 toneladas de paltas para la producción de aceite en turnos normales
c. Toda la producción de la empresa se vende en el mercado interno.
3. La cantidad producida de aceite será de 55 384 , 61 litros aproximadamente.
4. Los costos reducidos se interpretan:
a. Para que se pueda incluir un turno adicional el costo por el mismo debería reducirse en
1000 dólares.
b. La rentabilidad por tonelada exportada como fruta debería incrementarse en 19,23 dólares
para que se destinen recursos a este mercado.
c. La rentabilidad por tonelada de palta que se destina a la producción de aceite debería
incrementarse en 234,230774 dólares para que se destinen recursos propios a la
producción de aceite en turnos normales.
d. Los costos por tonelada de la palta de propiedad de la empresa destinada a la producción
de aceite en turnos adicionales debería reducirse en 269, 23 dólares para ser parte de la
solución.
5. Excedentes o faltantes
a. No se destinada producción a la exportación como fruta, no se emplea la capacidad de la
planta en producir aceite con palta de propiedad de la empresa ya sea en turnos normales
o adicionales.
b. No se emplea ningún turno adicional.
6. Precio sombras o duales:
a. Si el nivel de producción total de la empresa se incrementara en una tonelada la
rentabilidad de la empresa se incrementaría en 769,230774 dólares.
b. Incrementos en la cantidad máxima de palta que se puede exportar, la máxima cantidad de
palta de propiedad de la empresa que se pueda utilizar para su transformación en aceite no
generarán incrementos en la rentabilidad de la empresa. Sucede lo mismo para la
disponibilidad de turnos extras.
c. Un incremento en capacidad total de la planta productora de aceite en toneladas produce
un incremento en el beneficio de la empresa en 115,38 dólares.

14. El respectivo análisis de sensibilidad es:
Su análisis es:
3. Rangos de coeficientes objetivos:
a. Reducciones de hasta 1000 dólares por turno adicional no alteran la solución hallada en la
salida anterior.
b. El beneficio por tonelada de palta exportada como fruta puede incrementarse hasta en
19,23 dólares sin alterar la solución del problema.
c. El beneficio por tonelada de palta de la empresa destinada a la producción de aceite en
turnos normales puede incrementarse hasta 234,61 dólares sin alterar la solución
problema.
d. El beneficio por tonelada de palta de la empresa destinada a la producción de aceite en
turnos de sobretiempo puede incrementarse hasta 269 dólares sin alterar la solución
problema.
e. El beneficio por tonelada de palta comprada y destinada a la producción de aceite en
turnos normales puede reducirse hasta 115,38 dólares sin alterar la solución problema.
f. EL beneficio por tonelada de palta vendida en el mercado interno podría disminuir hasta
19,23 dólares sin alterar la solución del problema.
g. El beneficio por tonelada de palta de la empresa comprada y destinada a la producción
de aceite en turnos de sobretiempo puede reducirse hasta 269,23 dólares sin alterar la
solución del problema.
4. El análisis de los RIGHTHAND SIDE RANGES:
a. Todos los precios sombra son válidos para cualquier incremento en las restricciones.
b. El precio sombra de incrementos en la producción de la empresa es válido para variaciones
en el intervalo (-125000;∞), es decir es válido para reducciones de hasta 125000 toneladas
y para cualquier incremento

15. c. El precio sombra de incrementos en la máxima cantidad que se puede exportar de la
empresa es válido para variaciones en el intervalo (-11250; ∞), es decir es válido para
reducciones de hasta 11250 toneladas y para cualquier incremento.
d. El precio sombra de incrementos en la máxima capacidad de la planta para la producción
de aceite (en turnos normales o de sobretiempo) y con palta propia de la empresa es válido
para variaciones en el intervalo (-168; ∞), es decir es válido para reducciones de hasta 168
toneladas y para cualquier incremento.
e. El precio sombra de incrementos en la máxima capacidad de la planta para la producción
de aceite en turnos normales durante los dos meses es válido para variaciones en el
intervalo (-720; ∞), es decir es válido para reducciones de 720 toneladas y para cualquier
incremento.
Preguntas:
¿Será necesario utilizar el segundo turno de trabajo?, de ser así, ¿Cuántos días serían?
Rpta:No será necesario el uso de turnos adicionales.
¿Comprará paltas la empresa para producir aceite?
Rpta:Si, comprará 720 toneladas.
¿conviene a la empresa exportar paltas como fruta?
Rpta:No les conviene, es preferible venderlas en el mercado interno.

16. PLANTEAMIENTO DEL PRIMER PROGRAMA:
max 750x1 + 650x2 + 500x5 + 115.384615x4 + 769.230769x3 - 1000x7
subject to
x1 + x2 + x5 + x3 <= 12500
x1<= 11250
x3<= 625
x2<= 168
x5<= 168
x2 + x4 <= 720
x5 + x6 - 12x7 = 0
x7<= 60
end
gin x7
SALIDAS DE LINDO DEL PRIMER PROGRAMA:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6
OBJECTIVE VALUE = 9161162.00
NEW INTEGER SOLUTION OF 9161162.00 AT BRANCH 0 PIVOT 6
BOUND ON OPTIMUM: 9161162.
ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 0 PIVOTS= 6
LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND
RE-INSTALLING BEST SOLUTION...
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 9161162.
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X7 14.000000 -5000.000000
X1 11250.000000 0.000000
X2 168.000000 0.000000
X5 168.000000 0.000000
X4 552.000000 0.000000

17. X3 625.000000 0.000000
X6 0.000000 500.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 289.000000 0.000000
3) 0.000000 750.000000
4) 0.000000 769.230774
5) 0.000000 534.615356
6) 0.000000 0.000000
7) 0.000000 115.384613
8) 0.000000 500.000000
9) 46.000000 0.000000
NO. ITERATIONS= 6
BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X7 -1000.000000 0.000000 INFINITY
X1 750.000000 INFINITY 750.000000
X2 650.000000 INFINITY 534.615356
X5 500.000000 INFINITY 500.000000
X4 115.384613 534.615356 115.384613
X3 769.230774 INFINITY 769.230774
X6 0.000000 500.000000 INFINITY
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 12500.000000 INFINITY 289.000000
3 11250.000000 289.000000 11250.000000
4 625.000000 289.000000 625.000000
5 168.000000 289.000000 168.000000
6 168.000000 INFINITY 0.000000
7 720.000000 INFINITY 552.000000
8 0.000000 0.000000 168.000000
9 60.000000 INFINITY 46.000000

18. PLANTEAMIENTO DEL SEGUNDO PROGRAMA:
max 750x1 + 650x2 + 500x5 + 115.384615x4 + 769.230769x3 - 1000x7
subject to
x1 + x2 + x5 + x3 <= 12500
x1<= 11250
x2<= 168
x5<= 168
x2 + x4 <= 720
x5 + x6 - 12x7 = 0
x7<= 60
end
gin x7
SALIDAS DE LINDO DEL SEGUNDO PROGRAMA:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
OBJECTIVE VALUE = 9698462.00
FIX ALL VARS.( 1) WITH RC > 0.000000E+00
NEW INTEGER SOLUTION OF 9698462.00 AT BRANCH 0 PIVOT 2
BOUND ON OPTIMUM: 9698462.
ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 0 PIVOTS= 2
LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND
RE-INSTALLING BEST SOLUTION...
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 9698462.
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X7 0.000000 1000.000000
X1 0.000000 19.230774
X2 0.000000 234.615387
X5 0.000000 269.230774
X4 720.000000 0.000000
X3 12500.000000 0.000000
X6 0.000000 0.000000

19. ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 769.230774
3) 11250.000000 0.000000
4) 168.000000 0.000000
5) 168.000000 0.000000
6) 0.000000 115.384613
7) 0.000000 0.000000
8) 60.000000 0.000000
NO. ITERATIONS= 2
BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
COEF INCREASE DECREASE
X7 -1000.000000 1000.000000 INFINITY
X1 750.000000 19.230774 INFINITY
X2 650.000000 234.615387 INFINITY
X5 500.000000 269.230774 INFINITY
X4 115.384613 INFINITY 115.384613
X3 769.230774 INFINITY 19.230774
X6 0.000000 INFINITY 269.230774
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 12500.000000 INFINITY 12500.000000
3 11250.000000 INFINITY 11250.000000
4 168.000000 INFINITY 168.000000
5 168.000000 INFINITY 168.000000
6 720.000000 INFINITY 720.000000
7 0.000000 INFINITY 0.000000
8 60.000000 INFINITY 60.000000