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Numeros raccionales con fraccionarios
1.
1 Números racionales
INTRODUCCIÓN Esta unidad desarrolla conceptos y técnicas ya conocidos de otros cursos. Sin embargo, es conveniente repasar las distintas interpretaciones que ofrecen las fracciones, las diferencias de interpretación de fracciones positivas y negativas, y la diferencia entre fracciones propias e impropias. A lo largo de la unidad se resolverán operaciones tales como sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y obtención del común denominador de varias fracciones, que pondrán de manifiesto su utilidad para resolver problemas de la vida diaria. Conviene hacer reflexionar a los alumnos sobre la presencia de las fracciones en distintos contextos. Además, se trabajará la relación entre los números racionales y los números decimales, aprendiendo a pasar de unos a otros. Se practicará la lectura y escritura de números decimales exactos y su expresión en forma de fracciones decimales. RESUMEN DE LA UNIDAD a b d c y • Dos fracciones son equivalentes si se cumple que a ⋅ c = b ⋅ d. • Fracción irreducible es aquella que no se puede simplificar. • Para comparar, sumar y/o restar fracciones, estas deben tener igual denominador. • El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores, y con denominador, el producto de los denominadores. • Para dividir fracciones se realiza el producto cruzado de los términos de cada una de ellas. • El conjunto de los números racionales lo forman los números enteros y los números fraccionarios. OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS 1. Reconocer las formas de representación que tiene una fracción. 2. Reconocer y obtener fracciones equivalentes a una dada. 3. Amplificar y simplificar MATEMÁTICAS 3.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 241 fracciones. 4. Reducir fracciones a común denominador. 5. Sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones. 6. Obtener la forma decimal de una fracción. 7. Reconocer los diferentes tipos de números decimales. 8. Obtener fracciones a partir de números decimales. • Numerador y denominador. • Representación escrita, numérica, gráfica y en la recta. • Obtención de fracciones equivalentes a una dada. • Amplificación de fracciones. • Simplificación de fracciones. • Fracción irreducible. • Obtención del común denominador de varias fracciones. • Comparación de fracciones. • Suma y resta de fracciones. • Multiplicación y división de fracciones. • Expresión de fracciones en forma decimal. • Decimal exacto. • Decimal periódico puro. • Decimal periódico mixto. • Expresión de números decimales como fracciones. • Utilización de dibujos y expresiones. • Identificación de una fracción. • Representación de una fracción. • Obtención de fracciones equivalentes. • Determinación de si dos fracciones son equivalentes. • Obtener fracciones equivalentes por amplificación y simplificación. • Reconocimiento de la fracción irreducible. • Búsqueda del denominador común de dos fracciones. • Ordenación de un conjunto de fracciones. • Operaciones con fracciones. • Operaciones combinadas. • Obtención de la expresión decimal de una fracción. • Distinción de los números decimales exactos, periódicos puros y periódicos mixtos. • Cálculo de la expresión fraccionaria de un número decimal exacto o periódico. ADAPTACIÓN CURRICULAR 826523 _ 0241-0262.qxd 27/4/07 13:32 Página 241
2.
OBJETIVO 1 1
RECONOCER LAS FORMAS DE REPRESENTACIÓN QUE TIENE UNA FRACCIÓN NOMBRE: CURSO: FECHA: Una fracción está compuesta por un numerador y un denominador. • Denominador → Partes en que se divide la unidad. • Numerador ⎯→ Partes que tomamos de la unidad. NUMERADOR = 3 Fracción: DENOMINADOR = 4 • Denominador → Dividimos la unidad en cuatro partes iguales. • Numerador → Tomamos tres partes del total. FORMAS DE REPRESENTACIÓN DE UNA FRACCIÓN Una fracción se puede representar de distintas formas: • Representación escrita. • Representación gráfica. • Representación numérica. • Representación en la recta numérica. 0 2 1 5 0 1 242 MATEMÁTICAS 3.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 3 4 3 4 3 4 EJEMPLO F F F F EJEMPLO REPRESENTACIÓN ESCRITA REPRESENTACIÓN NUMÉRICA REPRESENTACIÓN GRÁFICA REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA Dos quintos Cuatro séptimos Cuatro tercios 2 5 4 7 4 3 −1 −1 4 7 −2 −1 0 1 2 4 3 826523 _ 0241-0262.qxd 27/4/07 13:32 Página 242
3.
1 1 Completa
la siguiente tabla. REPRESENTACIÓN NUMÉRICA Partiendo del dibujo, halla la fracción que representa y escribe cómo se lee. a) F ............... octavos 8 F b) F F ............... ............... c) F ............... medios 2 F d) F F ............... ............... MATEMÁTICAS 3.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 243 2 ¿Cuál es la respuesta correcta? Rodéala. a) c) b) d) 1 3 4 6 1 2 2 5 1 12 1 3 2 8 2 5 3 REPRESENTACIÓN ESCRITA Cuatro quintos Siete quintos 4 5 7 5 REPRESENTACIÓN GRÁFICA REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA 2 3 2 5 ADAPTACIÓN CURRICULAR 826523 _ 0241-0262.qxd 7/5/07 10:29 Página 243
4.
826523 _ 0241-0262.qxd
27/4/07 13:32 Página 244 OBJETIVO 2 RECONOCER Y OBTENER FRACCIONES EQUIVALENTES A UNA DADA NOMBRE: CURSO: FECHA: c d a b 1 Dos fracciones y son equivalentes cuando el producto cruzado de numeradores y denominadores es igual. a b c d = → a ⋅ d = b ⋅ c 4 6 2 3 EJEMPLO Las fracciones y son equivalentes, ya que 2 ⋅ 6 = 3 ⋅ 4. Dibuja las siguientes fracciones. 2 3 3 6 a) c) e) 5 10 4 6 b) d) f) 4 8 1 2 1 Observando el ejercicio anterior vemos que algunas fracciones, a pesar de ser diferentes, nos dan el mismo resultado. Coloca en dos grupos estas fracciones. Grupo 1 Fracciones que representan la mitad de la tarta. Grupo 2 Fracciones que representan dos tercios de la tarta. 2 Calcula tres fracciones equivalentes. 9 12 a) = = = 16 24 b) = = = 2 4 c) = = = 6 12 d) = = = 3 Halla el número que falta para que las fracciones sean equivalentes. 4 3 8 = 1 x = 5 10 a) b) c) x 30 2 15 = x 4 244 MATEMÁTICAS 3.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
5.
1 OBJETIVO 3
AMPLIFICAR Y SIMPLIFICAR FRACCIONES NOMBRE: CURSO: FECHA: AMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES • Para obtener una fracción equivalente a otra fracción dada multiplicamos el numerador y el denominador de dicha fracción por un número distinto de cero. Este método se llama amplificación. • Observa que podemos obtener tantas fracciones amplificadas como queramos. Obtén una fracción equivalente y amplificada de . 1 2 3 6 1 3 2 3 3 6 → Las fracciones son equivalentes, es decir, representan el mismo número. 1 2 3 6 y = ⋅ 22 ⋅ ⋅ 22 ⋅ ⋅ 22 ⋅ ⋅ 22 ⋅ 22 → ⋅ 22 → ⋅ 22 → ⋅ 22 → ⋅ MATEMÁTICAS 3.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 245 ⋅ ⋅ = 1 2 1 2 EJEMPLO F F Calcula fracciones equivalentes por amplificación. a) b) 2 3 22 = 2 3 5 5 → 22 22 ⋅ 22 = ⋅ 1 2 22 = 1 2 4 4 → 22 22 22 2 ⋅ ⋅ = 1 Halla dos fracciones equivalentes. a) b) c) d) 22 22 = 22 55 22 55 = 22 22 = 9 2 22 22 22 22 ⋅ = 22 22 = 22 55 22 55 = 22 22 = 4 5 22 22 22 22 ⋅ = 22 22 = 22 55 22 55 = 22 22 = 1 4 22 22 22 22 ⋅ = 2 3 22 = 2 5 3 5 = 2 3 22 = 2 3 2 4 3 4 ⋅ = 2 F F F F ADAPTACIÓN CURRICULAR 826523 _ 0241-0262.qxd 27/4/07 13:32 Página 245
6.
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27/4/07 13:32 Página 246 1 SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES • Simplificar una fracción es encontrar otra fracción equivalente a ella dividiendo numerador y denominador por un factor común. • Observa que el proceso, al contrario que en la amplificación, no se puede realizar indefinidamente. Se termina al encontrar una fracción que no se puede simplificar. Esta fracción se llama fracción irreducible. EJEMPLO Simplifica las siguientes fracciones. 5 10 5 5 10 5 1 2 : : = = y son equivalentes 20 30 1 2 2 3 20 10 30 10 2 3 : : = = y son equivalentes 5 10 20 30 F F Amplifica y simplifica la siguiente fracción. Amplificar: 2 4 2 4 = ⋅ ⋅ = 2 2 22 F F F 2 = = 4 Simplificar: 2 4 2 2 4 2 22 : : = = 2 4 22 22 22 22 3 F Haz lo mismo con estas fracciones. Amplificar: a) 6 21 = ⋅ ⋅ = 22 22 22 22 22 F 6 22 22 21 Simplificar: Amplificar: b) 6 21 12 20 22 22 22 22 : 22 : = = = ⋅ ⋅ = 22 22 22 22 22 6 21 = = F F 12 22 22 20 Simplificar: 12 20 22 22 22 22 : 22 : = = 12 20 = = 4 F 246 MATEMÁTICAS 3.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
7.
1 OBJETIVO 4
REDUCIR FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR NOMBRE: CURSO: FECHA: 1 2 1 2 1 3 3 6 ⋅ ⋅ 1 3 2 3 ⋅ ⋅ 1 2 3 2 2 6 1 3 1 2 3 6 2 6 = = 1 2 = = ; por tanto, Ordena estas fracciones. 2 6 3 6 COMÚN DENOMINADOR 1 2 1 3 1 3 1 3 FF = 20 15 20 15 30 = 20 15 20 15 30 2 6 3 6 MATEMÁTICAS 3.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 247 = ⋅ ⋅ = 4 5 22 22 22 22 ⋅ ⋅ = 8 6 30 30 30 30 ⋅ ⋅ = 22 22 15 15 30 3 2 = ⋅ ⋅ = 22 22 10 10 30 4 3 1 COMPARAR FRACCIONES • ¿Qué fracción es mayor, o ? Representamos las fracciones con un dibujo y lo vemos fácilmente: • El dibujo, sin embargo, no siempre es tan claro. Por tanto, vamos a aprender a hacerlo creando una fracción equivalente de cada fracción, con común denominador, es decir, tenemos que conseguir que el denominador de las dos fracciones sea el mismo. 6 es el común denominador. • Ahora, en lugar de comparar con , comparamos con . • Como el denominador es común, comparamos los numeradores de y para saber cuál de las fracciones es mayor: • Recuerda que, dadas dos fracciones con igual denominador, es mayor la que tiene mayor numerador. ADAPTACIÓN CURRICULAR 826523 _ 0241-0262.qxd 27/4/07 13:32 Página 247
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27/4/07 13:32 Página 248 1 BUSCAR EL DENOMINADOR COMÚN 7 10 2 3 , y 3 5 Queremos comparar las siguientes fracciones: . 10 3 5 • ¿Cuáles son los denominadores? ……, ……y …… • El común denominador será un número mayor que 10, 3 y 5, pero que tenga a 10, 3 y 5 como divisores, por ejemplo: a) El número 12 es mayor que 10, 3 y 5, pero ¿tiene a todos ellos como divisores? 12 = 3 ⋅ 4 12 = 10 ⋅ ? 12 = 5 ⋅ ? No tiene a 10 ni a 5 como divisores, solo a 3. Por tanto, 12 no sirve. b) El número 15 es también mayor que 10, 3 y 5. Pero veamos qué pasa cuando lo utilizamos: 15 = 10 ⋅ ? 15 = 3 ⋅ 5 15 = 5 ⋅ 3 Tampoco sirve 15, ya que no tiene a 10 como divisor. c) Probamos con el número 30. 30 = 10 ⋅ 3 30 = 5 ⋅ 6 30 = 3 ⋅ 10 El número 30 sirve como común denominador, aunque no es el único. Si continuásemos buscando encontraríamos más: 60, 90, … • Vamos a hallar fracciones equivalentes a las dadas, con denominador común 30: ¿Qué número hay que multiplicar para que el denominador sea 30 si partimos de 10? 10 ⋅ ? = 30 ¿Qué número hay que multiplicar para que el denominador sea 30 si partimos de 3? 3 ⋅ ? = 30 ¿Qué número hay que multiplicar para que el denominador sea 30 si partimos 5? 5 ⋅ ? = 30 7 10 2 3 3 5 = = = Por tanto: ⋅ ⋅ 7 3 10 3 2 3 3 5 21 30 20 30 = 18 30 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = = 10 10 6 6 7 21 20 F , , 10 30 30 18 30 2 3 3 5 , , Ahora ordenamos las fracciones de mayor a menor: 21 30 20 30 18 30 7 10 2 3 3 5 F 248 MATEMÁTICAS 3.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
9.
1 Ordena las
siguientes fracciones: . • Nos fijamos en los denominadores: ........, ........, ........, ........, ........ • Queremos encontrar un número que contenga a todos los denominadores como divisores. El número más adecuado es 12. ¿Cómo se calcula este número? 12 : 6 = 2 ¿Cómo se calcula este número? 12 : 3 = 7 12 12 2 3 12 5 2 12 • Ahora ordenamos de mayor a menor: ⎫⎬ ⎪⎪ ⎭ ⎪⎪ = ⋅ 2 = F F → m.c.m. (15, 9) = ⋅ = F F MATEMÁTICAS 3.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 249 3 4 = ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ = 5 6 2 2 12 = ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ = 7 12 5 6 2 3 5 2 3 4 2 , , , y 3 Completa la tabla. FRACCIONES REDUCIDAS A COMÚN DENOMINADOR ORDENADAS DE MENOR A MAYOR 7 4 3 5 , , 5 6 47 12 23 15 , , 7 24 F F F F ADAPTACIÓN CURRICULAR REDUCIR FRACCIONES A COMÚN DENOMINADOR Reduce a común denominador estas fracciones: y . Hallamos el m.c.m. de los denominadores. El m.c.m. de los denominadores es el nuevo denominador de las fracciones. 8 9 7 15 15 3 5 5 1 9 3 3 3 1 7 ⋅ 3 = 21 F 45 : 15 = 3 F 8 ⋅ 5 = 40 F 45 : 9 = 5 F F F 7 15 21 45 8 9 40 45 15 3 5 9 3 3 5 45 2 826523 _ 0241-0262.qxd 27/4/07 13:32 Página 249
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27/4/07 13:32 Página 250 1 OBJETIVO 5 SUMAR, RESTAR, MULTIPLICAR Y DIVIDIR FRACCIONES NOMBRE: CURSO: FECHA: SUMA (O RESTA) DE FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR La suma (o resta) de fracciones con igual denominador es otra fracción con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma (o resta) de los numeradores. 4 3 + = EJEMPLO Dibújalas 1 3 F F + = Un tercio más cuatro tercios son cinco tercios. 5 3 F SUMA (O RESTA) DE FRACCIONES CON DISTINTO DENOMINADOR Para sumar (o restar) fracciones con distinto denominador, reducimos primero a denominador común y, después, sumamos (o restamos) sus numeradores. 1 3 6 5 EJEMPLO Haz esta suma de fracciones: . + Para sumar las fracciones hay que obtener fracciones equivalentes con el mismo denominador. 6 5 ⋅ ⋅ 6 3 5 3 = = 1 3 ⋅ ⋅ 1 5 3 5 5 15 = = Nos interesa obtener el mínimo común denominador de 3 y 5, en este caso 15. Ahora sumamos las fracciones con igual denominador: 1 3 6 5 5 15 18 15 23 15 + = + = 18 15 Realiza las siguientes operaciones. a) b) 10 7 2 3 10 7 2 3 − = − = = ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ 250 MATEMÁTICAS 3.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. = 3 4 1 4 5 4 − + = 1 F F
11.
1 MULTIPLICACIÓN DE
FRACCIONES El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores: = ⋅ ⋅ = 3 4 2 5 12 10 3 2 4 5 ⋅ DIVISIÓN DE FRACCIONES La división de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda fracción, y cuyo denominador es el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda: F MATEMÁTICAS 3.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 251 EJEMPLO a b c d a c b d ⋅ = ⋅ ⋅ Realiza las multiplicaciones de fracciones. a) e) b) f) c) g) d) h) 12 5 4 3 ⋅ = 5 4 8 20 ⋅ = 1 2 1 3 ⋅ = 6 8 4 3 ⋅ = 7 8 11 9 ⋅ = 10 11 13 9 ⋅ = 1 5 4 15 ⋅ = 7 3 5 4 ⋅ = 2 = ⋅ ⋅ = 11 5 2 3 55 6 11 2 3 5 : EJEMPLO a b c d a d b c : = ⋅ ⋅ Realiza las siguientes divisiones de fracciones. a) e) b) f) c) g) d) h) 18 5 5 2 : = 5 2 1 10 : = 6 4 3 8 : = 4 5 1 7 : = 2 7 4 3 : = 9 5 5 7 : = 8 3 16 18 : = 8 3 4 5 : = 3 ADAPTACIÓN CURRICULAR FF F 826523 _ 0241-0262.qxd 27/4/07 13:32 Página 251
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7/5/07 10:30 Página 252 7 3 5 2 2 3 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ − ⋅ + 1 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 1 3 3 3 ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 5 2 MATEMÁTICAS 3.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 1 252 Recuerda que, cuando se realizan operaciones combinadas, es decir, sumas, restas, multiplicaciones y divisiones a la vez: • Se hacen primero las operaciones de los paréntesis. • Luego se resuelven las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha. • Por último, se operan las sumas y restas, en el mismo orden. En este caso, la operación queda divida en tres BLOQUES. + − Realizamos las operaciones de cada bloque antes de sumar o restar: EJEMPLO A B C A: Hacemos la multiplicación. B: Hacemos la división. C: No se puede operar. + − Ahora realizamos las sumas y las restas: Solución = 25 4 5 4 15 4 15 4 5 4 3 4 1 5 : 3 2 5 2 ⋅ 3 2 5 2 3 4 1 5 5 4 ⋅ + : − 3 2 5 2 3 4 1 5 5 4 ⋅ + : − Realiza estas operaciones: . • Tenemos dos bloques con los que debemos operar por separado: • Como no hay sumas o restas fuera de los paréntesis, tiene prioridad el producto: Común denominador 7 3 5 2 2 3 1 7 3 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ − ⋅ + ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ = − = − = 4 − 5 2 2 3 ⋅ + 1 7 3 A: B: 7 3 5 2 2 3 ⋅ + 1 ⎧ ⎨ ⎩ A B No se puede operar. Tenemos que operar por partes, volviendo a dividir en bloques la operación. ⋅ 2 3 + 1 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟⎟⎟ 5 2 I: No se puede operar. II: Realizamos la suma: 2 3 + = + = = ⋅ ⋅ = ⎧ ⎨ ⎩ 2 3 3 3 1 ⎫ ⎬ ⎭ → ⋅ = I II F F F F F F F → →
13.
1 OBJETIVO 6
OBTENER LA FORMA DECIMAL DE UNA FRACCIÓN NOMBRE: CURSO: FECHA: Para obtener la forma decimal de una fracción o número racional se divide el numerador entre el denominador. FORMA FRACCIONARIA: FORMA DECIMAL: 0,75 FORMA FRACCIONARIA: FORMA DECIMAL: 1,2727… = 1,27 13 6 13 | 6 110 2,166… 0140 00140 00014 FORMA FRACCIONARIA: F FORMA DECIMAL: 2,166… = 2,16 17 6 31 25 MATEMÁTICAS 3.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 253 F EJEMPLO 13 6 F 14 11 14 | 11 030 1,2727… 0080 00030 000080 000003 F 14 11 F 3 4 30 | 4 20 0,75 020 F 3 4 Expresa en forma decimal estas fracciones y ordénalas. a) c) e) b) d) f) ...... ...... ...... ...... ...... ...... → ...... ...... ...... ...... ...... ...... 7 6 37 30 9 5 5 3 1 ADAPTACIÓN CURRICULAR 826523 _ 0241-0262.qxd 27/4/07 13:32 Página 253
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7/5/07 11:18 Página 254 1 OBJETIVO 7 RECONOCER LOS DIFERENTES TIPOS DE NÚMEROS DECIMALES NOMBRE: CURSO: FECHA: Al dividir el numerador entre el denominador de una fracción para obtener su expresión decimal pueden darse estos casos. • Si el resto es cero: – Cuando el cociente no tiene parte decimal, tenemos un número entero. – Cuando el cociente tiene parte decimal, decimos que es un decimal exacto. • Si el resto no es cero: las cifras del cociente se repiten, la expresión decimal tiene infinitas cifras. Se obtiene un decimal periódico. – Cuando la parte que se repite comienza desde la coma, se llama decimal periódico puro. – Cuando la parte que se repite no comienza desde la coma, se llama decimal periódico mixto. 14 11 Decimal exacto EJEMPLO = 0,75 → = 1,27 → Decimal 13 6 Decimal periódico puro → = 2,16 periódico mixto 3 4 Completa la tabla, clasificando la expresión decimal de las fracciones en exactas, periódicas puras o periódicas mixtas. 1 FORMA FRACCIONARIA FORMA DECIMAL DECIMAL EXACTO DECIMAL PERIÓDICO PURO 254 MATEMÁTICAS 3.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. DECIMAL PERIÓDICO MIXTO 5 3 1,6 No Sí No 7 6 9 5 31 25 37 30 17 6 Escribe en cada número las cifras necesarias para completar diez cifras decimales. a) 1,347347… e) 3,2666… b) 2,7474… f) 0,25373737… c) 4,357357… g) 1,222… d) 0,1313… h) 43,5111… 2
15.
1 OBJETIVO 8
OBTENER FRACCIONES A PARTIR DE NÚMEROS DECIMALES NOMBRE: CURSO: FECHA: Todo número decimal exacto o periódico se puede expresar en forma de fracción. Para ello hay que multiplicarlo por la potencia de 10 adecuada y realizar una serie de operaciones hasta obtener una fracción. NÚMEROS DECIMALES EXACTOS 0,32 • Llamamos x a 0,32. x = 0,32 • Multiplicamos por la unidad seguida 100x = 100 ⋅ 0,32 de tantos ceros como cifras decimales tiene el número. 100x = 32 x = • Simplificamos, si es posible. x = 32 100 8 25 F F , = 0 32 8 25 F F F F F Completa la operación. 0,14 x = 0,14 100x = 100 ⋅ 0,14 100x = x = x = 100 F MATEMÁTICAS 3.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 255 1 F F F F F Halla la forma fraccionaria de este número decimal. 0,3 x = 0,3 10x = 10 ⋅ 0,3 x = 2 F F F ¿Por qué hemos multiplicado por 10 y no por 100? ADAPTACIÓN CURRICULAR 0 14 25 , = F 0 3 25 , = 826523 _ 0241-0262.qxd 27/4/07 13:32 Página 255
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1 Expresa estos
números decimales como fracción. a) 0,101 x = 0,101 x = F ¿Por qué valor multiplicamos? b) 0,24 x = c) 0,7 x = d) 0,44 x = Expresa mediante un número decimal la parte gris de la figura. F 0 101 F F F F Escribimos de forma fraccionaria Pasamos a la parte gris de la figura. forma decimal. 3 4 F 256 MATEMÁTICAS 3.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 25 , = F 0 24 25 , = F 0 7 25 , = F 0 44 25 , = 826523 _ 0241-0262.qxd 27/4/07 13:32 Página 256
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1 826523 _
0241-0262.qxd 27/4/07 13:32 Página 257 NÚMEROS DECIMALES PERIÓDICOS PUROS Queremos obtener la forma fraccionaria del número decimal 2,333… = 2,3 . • Si 2,333… no tuviera infinitas cifras decimales, podríamos obtener la forma fraccionaria como en el caso de los números decimales exactos. • Por tanto, no podemos actuar de esta manera. 2,333… x = 2,333… 10x = 10 ⋅ 2,333… 10x = 23,333… F F F , ... • Tenemos que eliminar las infinitas cifras decimales. 2,333… Multiplicamos por la unidad x = 2,333… seguida de tantos ceros como cifras tiene el período. 10x = 10 ⋅ 2,333… 10x = 23,333… 10x = 23,333… −x = −2,333… 9x = 21 x = x = 21 9 7 3 F F F Realizando esta resta eliminamos la parte decimal. F = MATEMÁTICAS 3.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 257 Simplificamos. • Siempre hay que simplificar, si se puede, la fracción resultante. ADAPTACIÓN CURRICULAR 2 333 23 333 10 , , … … F = F F x = 23 333 10 2,3 7 3 F
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27/4/07 13:32 Página 258 1 Completa las siguientes operaciones. = 5,777… a) 5,7 x = 5,777… 10x = 10x = 10x = −x = −5,777… 9x = x = = 45,888… F F b) 45,8 x = 45,888… = 10 ⋅ 45,888… = 458,888… = 458,888… −x = −45,888… = x = F F c) 7,3 x = −x = = x = 5 F F F F = 5,7 F F = 45,8 F F = 7,3 258 MATEMÁTICAS 3.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L.
19.
1 ADAPTACIÓN CURRICULAR
826523 _ 0241-0262.qxd 27/4/07 13:32 Página 259 Calcula la forma fraccionaria de los números decimales. a) 15,474747… x = 15,474747… 100x = 100 ⋅ 15,474747… 100x = 100x = −x = −15,474747… 99x = x = MATEMÁTICAS 3.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 259 6 Multiplicamos por 100. F F b) 24,35 x = 24,353535… x = c) 103,251251… x = 103,251251… x = F F 15,47 = F F 24,35 = F F 103,251 = F F F F
20.
NÚMEROS DECIMALES PERIÓDICOS
MIXTOS Queremos obtener la forma fraccionaria del número decimal 2,1333… = 2,13 . • Si actuamos como en el caso de los decimales puros, tenemos que: x = 2,1333… 10x = 10 ⋅ 2,1333… 10x = 21,333… 10x = 21,333… −x = −2,133… 9x = 19,2 19 , 2 9 x = No obtenemos una fracción. • Hay que utilizar otro procedimiento. 2,1333… F F F Multiplicamos por la unidad x = 2,1333… seguida de tantos ceros como cifras tiene su parte periódica y no periódica. 100x = 100 ⋅ 2,1333… 100x = 213,333… 10x = 21,333… 100x = 213,333… −10x = −21,333… 90x = 192 x = x = 192 90 32 15 F F F F F Realizando esta resta eliminamos los decimales. Multiplicamos por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene su parte decimal no periódica. Simplificamos. 260 MATEMÁTICAS 3.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. F 1 = F 2,13 32 15 826523 _ 0241-0262.qxd 27/4/07 13:32 Página 260
21.
1 ADAPTACIÓN CURRICULAR
Expresa estos números decimales en forma de fracción. = 5,3777… x = 5,3777… a) 5,37 100x = 100 ⋅ 5,3777… 100x = 10x = 100x = −10x = −53,777… 90x = x = = 45,2888… x = 45,2888… F F b) 45,28 x = F F c) 0,73 x = x = F F = = = MATEMÁTICAS 3.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. 261 7 F F F F F 5,37 F F 45,28 F F 0,73 826523 _ 0241-0262.qxd 27/4/07 13:32 Página 261
22.
1 Completa la
siguiente operación. 3,57474… 1.000x = 3,57474… 1.000x = 1.000 ⋅ 3,57474… 1.000x = 3.574,7474… 1.010x = 35,7474… 1.000x = 3.574,7474… −10x = 00.35,7474… 990x = x = Multiplicamos por 1.000. Expresa como una fracción. 5,24545… x = x = 8 9 F F F Hay números decimales que no se pueden expresar como una fracción. = 1,4142… = 3,1415… = 2,2360… 2 5 Estos números reciben el nombre de números irracionales. Clasifica los siguientes números. a) 0,14 b) 4,37777… c) 3,4 F d) 2,44 e) 43,2727… f) 2 = 1,4142… 10 DECIMAL EXACTO DECIMAL PERIÓDICO PURO DECIMAL PERIÓDICO MIXTO IRRACIONAL 262 MATEMÁTICAS 3.° ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE © SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. F 3,574 = F F F F F 5,245 = 826523 _ 0241-0262.qxd 7/5/07 10:30 Página 262
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