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Utp pdi_2015-2_ea8 transformaciones geometricas

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Utp pdi_2015-2_ea8 transformaciones geometricas

  1. 1. Procesamiento de Imágenes y Visión Artificial (WEE2) Sesión: 8 MSc. Ing. José C. Benítez P. Transformaciones geométricas
  2. 2. Logros de aprendizaje 1. Conocer las transformaciones geométricas aplicadas a los diferentes tipos de imágenes digitales. 2. Transformar geométricamente las imágenes digitales. 3. Implementar funciones para las transformaciones geométricas de las imágenes digitales. 4. Aplicar transformaciones rígidas sobre una imagen digital. 5. Transformar por afinidad una imagen digital. 6. Conocer las coordenadas homogéneas. 7. Combinar transformaciones geométricas. 2
  3. 3. 3 Contenido Transformaciones geométricas: • Introducción • Transformaciones Rígidas Traslación Rotación Reflexión • Transformaciones Afines Escalado Cizalladura Similitud • Transformaciones Proyectivas Coordenadas Homogéneas • Combinación de Transformaciones • Transformaciones geométricas con MATLAB
  4. 4. Introducción a las TG Esquema general del análisis de imágenes
  5. 5. Introducción a las TG • Utilizando el histograma, se obtiene una transformación que asigna para cada nivel de gris de la imagen de entrada un nuevo nivel de gris. Este tipo de transformaciones se llaman puntuales pues sólo hace falta conocer el nivel de gris en cada punto de la imagen de entrada para obtener el valor en el mismo punto de la imagen de salida. • Ahora nos ocuparemos de las TG. Determinaremos qué posición tomará en la imagen destino cada píxel de la imagen original cuando sobre ella aplicamos una transformación geométrica tales como traslación, rotación, escalado... Es decir, el valor de un píxel en la imagen de salida se asignará en base a las coordenadas (x,y) de ese píxel.
  6. 6. Introducción a las TG • Las TG que veremos no son distintas de las transformaciones básicas de la geometría. Sin embargo, debido a la naturaleza discreta de las imágenes, aparecen ciertos problemas que es preciso analizar y resolver. • Este tipo de transformaciones resultan útiles para facilitar el reconocimiento de formas cuando no existen unas condiciones preestablecidas de escala o posición en las piezas a analizar.
  7. 7. Introducción a las TG • Las transformaciones geométricas también son utilizadas para eliminar distorsiones debidas a óptica y a la perspectiva o bien para reajustar imágenes de una misma escena tomadas bajo distintas condiciones y poder de esta forma establecer correspondencias entre unas y otras.
  8. 8. Introducción a las TG Podemos clasificar las TG en: • Transformaciones rígidas o euclídeas, que preservan las distancias, ángulos y áreas. • Transformaciones afines, que preservan la colinealidad de los puntos, paralelismos y las razones entre los puntos pertenecientes a una línea. • Transformaciones proyectivas, que preservan solo la colinealidad de los puntos.
  9. 9. Introducción a las TG En transformaciones rígidas y afines las coordenadas de la imagen de salida se obtienen a partir de la ecuación lineal en las coordenadas de la imagen M debe cumplir la condición de ser invertible. ),( yx ′′
  10. 10. Transformaciones rígidas Las transformaciones rígidas se caracterizan por preservar las distancias. M es una matriz ortogonal. Son transformaciones rígidas : Traslación Rotación Reflexión
  11. 11. Transformaciones rígidas. Traslación y x tyy txx +=′ +=′       +            =      ′ ′ y x t t y x y x . 10 01 La traslación es una transformación que desplaza una cierta magnitud vectorial cada uno de los píxeles de la imagen de entrada.
  12. 12. Transformaciones rígidas. Rotación La rotación consiste en girar la imagen original un cierto ángulo. La rotación en principio se establece respecto al origen de coordenadas )cos()sin( )sin()cos( θθ θθ ⋅+⋅=′ ⋅−⋅=′ yxy yxx       ⋅      − =      ′ ′ y x sen sen y x θθ θθ cos cos
  13. 13. Transformaciones rígidas. Reflexión       ⋅     − =      ′ ′ y x y x 10 01 Ejemplo: reflexión respecto al eje vertical:
  14. 14. Transformaciones rígidas. Combinación
  15. 15. Transformaciones afines. Las transformaciones afines preservan la colinealidad de los puntos (las rectas siguen siendo rectas tras la transformación), el paralelismo y las razones entre los puntos de pertenecientes a una recta. M es una matriz invertible.
  16. 16. Transformaciones afines. Las transformaciones afines incluyen: Escalado Cizalladura Similitud
  17. 17. Transformaciones afines. Escalado El escalado es una transformación que se origina al multiplicar por un factor ambas coordenadas de cada píxel de la imagen de entrada. ysy xsx y x · · =′ =′       ⋅      =      ′ ′ y x s s y x y x 0 0 El factor de escala no tiene necesariamente que ser el mismo para ambas coordenadas (escalado anisotrópico)
  18. 18. Transformaciones afines. Cizalladura La cizalladura de x respecto a y desplaza cada píxel de la imagen original en la dirección x un espacio proporcional a su coordenada y. yy ycxx x =′ ⋅+=′       ⋅      =      ′ ′ y xc y x x 10 1
  19. 19. Transformaciones afines. Similitud Similitud: Traslación + Rotación + Escalado Isotrópico. En las transformaciones afines de similitud se conservan también los ángulos
  20. 20. Transformaciones afines. Caso general Afín: Similitud + Escalado anisotrópico + Cizalladura
  21. 21. Transformaciones proyectivas En las transformaciones proyectivas ya no se conserva el paralelismo, ni las razones entre puntos de una recta. Sólo se conservan las líneas rectas.
  22. 22. Transformaciones proyectivas
  23. 23. Transformaciones proyectivas
  24. 24. Coordenadas homogéneas La expresión matricial de la traslación y la rotación:       +            =      ′ ′ y x t t y x y x . 10 01 La traslación tiene una forma distinta del resto de las transformaciones pues no se reduce a un único producto de matrices sino que además contiene un sumando.       ⋅      − =      ′ ′ y x sen sen y x θθ θθ cos cos
  25. 25. Coordenadas homogéneas • Interesa que todas las transformaciones tengan una representación uniforme mediante un producto de matrices. Esto permitirá operar más eficientemente, especialmente cuando hay que realizar una secuencia de transformaciones. • Para lograr esta representación matricial uniforme recurriremos a la utilización de coordenadas homogéneas. • En coordenadas homogéneas los puntos del plano se representan con tres coordenadas.
  26. 26. Coordenadas homogéneas Un punto (x, y) tiene la forma (hx, hy, h), donde h toma un valor arbitrario distinto de 0 que representa un factor de escala. Un mismo punto tiene infinitas representaciones en coordenadas homogéneas. El punto (2, 3) puede expresarse como: (2, 3, 1), (4,6,2), (6, 9, 3), … No obstante, lo habitual es tomar h=1, con lo que el punto (x, y) pasa a ser (x, y, 1)
  27. 27. Coordenadas homogéneas La traslación se expresará entonces en coordenadas homogéneas de la forma:                     =           ′ ′ 1 · 1001 2221 1211 y x tmm tmm y x y x                     =           ′ ′ 1 · 100 10 01 1 y x t t y x y x Y en general cualquier transformación afín como:
  28. 28. Coordenadas homogéneas                     =           ′ ′ 1 · 100 10 01 1 y x t t y x y x                     − =           ′ ′ 1 · 100 0cos 0cos 1 y x sen sen y x θθ θθ                     =           ′ ′ 1 · 100 00 00 1 y x s s y x y x                     − =           ′ ′ 1 · 100 cos cos 1 y x tsen tsen y x y x θθ θθ Traslación Rotación Escalado Euclídea                     ⋅⋅ ⋅−⋅ =           ′ ′ 1 · 100 cos cos 1 y x tssens tsenss y x y x θθ θθ Similitud
  29. 29. Combinación de transformaciones
  30. 30. Combinación de transformaciones En el caso anterior, el orden en que se efectúen las traslaciones no tiene importancia pero en general sí que hay que tener en cuenta el orden en que se hacen las operaciones. En general, el producto de las matrices de transformación no será conmutativo. Las matrices de trasformaciones posteriores irán multiplicando por la izquierda a las transformaciones previas.
  31. 31. Transformaciones geométricas con MatLab >> R = imrotate(I, angGrados,'bilinear'); Rota la imagen I el ángulo especificado en grados con interpolación bilineal. >> T = maketform('affine',t); Crea una estructura de datos para aplicar la transformación geométrica. >> J = imtransform(I,T); Aplica la transformación geométrica a la imagen I especificada en la estructura T. >> C = imcrop(I,[x0 y0 ancho alto]); Recorta de la imagen I la ventana especificada y la guarda en C. >> E = imresize(I,2,'bilinear'); Reescala la imagen I con un factor 2 usando una interpolación bilineal.
  32. 32. 32 Preguntas Al término de la experiencia de aprendizaje el alumno debe ser capaz de responder las siguientes preguntas: 1. Concepto y clasificación de las TG. 2. Concepto y clasificación de las TG-rígidas. 3. Concepto y clasificación de las TG-afines. 4. Concepto de las coordenadas homogéneas 5. Las TG mediante las coordenadas homogéneas. 6. Las TG mediante MatLab.
  33. 33. 33 Sesion8. Transformaciones geométricas Procesamiento de Imágenes y Visión Artificial Blog del curso: http://utppdiyva.blogspot.com

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