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8. ed capítulo viii cinemática de la partícula

1 de 36
DINÁMICA

CAPÍTULO VIII

CINEMÁTICA DE LA
PARTÍCULA
MSc. Andrés Velástegui Montoya
Facultad de Ingeniería en Ciencias de la Tierra (FICT)
andvelastegui@gmail.com

1
Movimiento curvilíneo:
Componentes rectangulares
 Posición. Si en un instante dado la partícula P está en un punto

(x,y,z) sobre la trayectoria curva s, su ubicación es definida entonces
por el vector de posición:
La magnitud de r es siempre positiva y está definida por la ecuación.

La dirección de r es especificada mediante las componentes del
vector unitario ur = r/r.

2
Movimiento curvilíneo:
Componentes rectangulares
 Velocidad. La primera derivada con respecto al tiempo de r

proporciona la velocidad v de la partícula. Por tanto,
donde:
La notación “punto” representa las primeras derivadas de las
ecuaciones paramétricas x = x(t), y = y(t), z = z(t) respectivamente.

3
Movimiento curvilíneo:
Componentes rectangulares
 Velocidad

La velocidad tiene una magnitud definida como el valor positivo de
y una dirección que es especificada por las componentes del vector
unitario UB = v/v. Esta dirección es siempre tangente a la
trayectoria, como se muestra en la figura

4
Movimiento curvilíneo:
Componentes rectangulares
 Aceleración. La aceleración de la partícula se obtiene tomando

la primera derivada con respecto al tiempo de la ecuación.

donde

5
Movimiento curvilíneo:
Componentes rectangulares
 Aceleración

La aceleración tiene una magnitud definida por el valor
positivo de

y una dirección especificada por las componentes del vector
unitario ua = a/a; a no será tangente a la trayectoria.

6

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8. ed capítulo viii cinemática de la partícula

  • 1. DINÁMICA CAPÍTULO VIII CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA MSc. Andrés Velástegui Montoya Facultad de Ingeniería en Ciencias de la Tierra (FICT) andvelastegui@gmail.com 1
  • 2. Movimiento curvilíneo: Componentes rectangulares  Posición. Si en un instante dado la partícula P está en un punto (x,y,z) sobre la trayectoria curva s, su ubicación es definida entonces por el vector de posición: La magnitud de r es siempre positiva y está definida por la ecuación. La dirección de r es especificada mediante las componentes del vector unitario ur = r/r. 2
  • 3. Movimiento curvilíneo: Componentes rectangulares  Velocidad. La primera derivada con respecto al tiempo de r proporciona la velocidad v de la partícula. Por tanto, donde: La notación “punto” representa las primeras derivadas de las ecuaciones paramétricas x = x(t), y = y(t), z = z(t) respectivamente. 3
  • 4. Movimiento curvilíneo: Componentes rectangulares  Velocidad La velocidad tiene una magnitud definida como el valor positivo de y una dirección que es especificada por las componentes del vector unitario UB = v/v. Esta dirección es siempre tangente a la trayectoria, como se muestra en la figura 4
  • 5. Movimiento curvilíneo: Componentes rectangulares  Aceleración. La aceleración de la partícula se obtiene tomando la primera derivada con respecto al tiempo de la ecuación.  donde 5
  • 6. Movimiento curvilíneo: Componentes rectangulares  Aceleración La aceleración tiene una magnitud definida por el valor positivo de y una dirección especificada por las componentes del vector unitario ua = a/a; a no será tangente a la trayectoria. 6
  • 7. Movimiento curvilíneo: Componentes rectangulares PUNTOS IMPORTANTES  El movimiento curvilíneo puede causar cambios tanto en la magnitud como en la dirección de los vectores posición, velocidad y aceleración.  El vector velocidad siempre está dirigido tangencialmente a la trayectoria.  En general, el vector aceleración no es tangente a la trayectoria, sino más bien, es tangente a la hodógrafa.  Si el movimiento es descrito usando coordenadas rectangulares, entonces las componentes a lo largo de cada uno de los ejes no cambian en dirección, sólo cambiarán su magnitud y sentido. 7
  • 8. Ejercicio  En cualquier instante, la posición horizontal del globo meteorológico mostrado en la figura es definida por x = (8t) pies, donde t está en segundos. Si la ecuación de la trayectoria es y = x2/10, determine (a) la distancia del globo a la estación ubicada en A cuando t = 2 s, (b) la magnitud y la dirección de la velocidad cuando t = 2 s, y (c) la magnitud y la dirección de la aceleración cuando t = 2 s. 8
  • 9. Movimiento curvilíneo: Componentes normal y tangencial  Velocidad. Dado que la partícula se está moviendo, s es una función del tiempo. La velocidad v de la partícula tiene una dirección que es siempre tangente a la trayectoria y una magnitud que es determinada tomando la derivada con respecto al tiempo de la función trayectoria s = s(t), es decir, v = ds/dt. donde 9
  • 10. Movimiento curvilíneo: Componentes normal y tangencial  Aceleración. La aceleración de la partícula es la razón de cambio con respecto al tiempo de la velocidad. Así,  donde o y Esas dos componentes mutuamente perpendiculares se muestran en la figura, en cuyo caso la magnitud de la aceleración es el valor positivo de 10
  • 11. Movimiento curvilíneo: Componentes normal y tangencial PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Sistema coordenado  Si la trayectoria de la partícula es conocida, podemos establecer un conjunto de coordenadas n, t que tenga un origen fijo que coincida con la partícula en el instante considerado.  El eje tangente positivo actúa en la dirección del movimiento y el eje normal positivo está dirigido hacia el centro de curvatura de la trayectoria. Velocidad  La velocidad de la partícula es siempre tangente a la trayectoria.  La magnitud de la velocidad se encuentra a partir de la derivada con respecto al tiempo de la función trayectoria. 11
  • 12. Movimiento curvilíneo: Componentes normal y tangencial PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Aceleración tangencial  La componente tangencial de la aceleración es el resultado de la razón de cambio con respecto al tiempo en la magnitud de la velocidad. Esta componente actúa en la dirección positiva s cuando la rapidez de la partícula está creciendo, o en la dirección opuesta si la rapidez está disminuyendo.  Las relaciones entre a,, v,t y s son las mismas que para el movimiento rectilíneo, es decir,  Si a, es constante, at = (at)c, las ecuaciones anteriores, al ser integradas, dan 12
  • 13. Movimiento curvilíneo: Componentes normal y tangencial PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Aceleración normal  La componente normal de la aceleración es el resultado de la razón de cambio con respecto al tiempo en la dirección de la velocidad de la partícula. Esta componente siempre está dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria, es decir, a lo largo del eje n positivo.  La magnitud de esta componente es determinada a partir de 13
  • 14. Tarea  (53) El automóvil está originalmente en reposo en s = 0. Si su rapidez es incrementada en a = (0.05t2) pies/s2, donde t está en segundos, determine las magnitudes de su velocidad y su aceleración cuando t = 18 s. 14
  • 15. Tarea  (54) El automóvil está originalmente en reposo en s = 0. Si empieza a incrementar su rapidez en a = (0.05t2) pies/s2. donde t está en segundos, determine las magnitudes de su velocidad y su aceleración en s = 550 pies. 15
  • 16. Tarea  (55) El camión viaja en una trayectoria circular coa radio de 50 m a una rapidez de 4 m/s. Por una corta distancia desde s = 0, su rapidez es incrementada en a = (0.05s) m/s2. donde s está en metros. Determine su rapidez y la magnitud de su aceleración cuando ha recorrido s = 10 m. 16
  • 17. Tarea  (56) El camión viaja con rapidez de 4 m/s a lo largo de un camino circular que tiene radio de 50 m. Por una corta distancia desde s = 0, su rapidez se incrementa en s = (0.05s) m/s2, donde s está en metros. Determine su rapidez y la magnitud de su aceleración cuando el camión se ha desplazado s = 10 m. 17
  • 18. Análisis del movimiento absoluto dependiente de dos partículas  En algunos tipos de problemas el movimiento de una partícula dependerá del movimiento correspondiente de otra partícula. Esta dependencia ocurre comúnmente si las partículas están interconectadas por cuerdas inextensibles que se encuentren enrolladas alrededor de poleas. 18
  • 19. Análisis del movimiento absoluto dependiente de dos partículas PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS  El método anterior de relacionar el movimiento dependiente de una partícula con el movimiento de otra puede ser efectuado usando escalares algebraicos o coordenadas de posición siempre que cada partícula se mueva a lo largo de una trayectoria rectilínea.  Cuando es este el caso, sólo cambiarán las magnitudes de la velocidad y la aceleración de las partículas, no sus líneas de dirección. 19
  • 20. Análisis del movimiento absoluto dependiente de dos partículas PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Ecuación de la coordenada de posición  Establezca coordenadas de posición que tengan su origen en un punto fijo o datum,  Las coordenadas están dirigidas a lo largo de la trayectoria del movimiento y se extienden hacía un punto que tiene el mismo movimiento que cada una de las partículas.  No es necesario que el origen sea el mismo para cada una de las coordenadas: sin embargo, es importante que cada eje coordenado seleccionado esté dirigido a lo largo de la trayectoria del movimiento de la partícula. 20
  • 21. Análisis del movimiento absoluto dependiente de dos partículas PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Ecuación de la coordenada de posición  Usando geometría o trigonometría, relacione las coordenadas con la longitud total de la cuerda, lT, o con esa porción de cuerda, l, que excluye los segmentos que no cambian de longitud cuando las partículas se mueven sobre las poleas,  Si un problema implica un sistema de dos o más cuerdas enrolladas alrededor de poleas, entonces la posición de un punto sobre una cuerda debe ser relacionada con la posición de un punto sobre otra cuerda usando el procedimiento anterior. Se escriben ecuaciones separadas para una longitud fija de cada cuerda del sistema y las posiciones de las dos partículas son entonces relacionadas mediante esas ecuaciones. 21
  • 22. Análisis del movimiento absoluto dependiente de dos partículas PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Derivadas con respecto al tiempo  La primera derivada con respecto al tiempo de las ecuaciones de la coordenada de posición dan las ecuaciones de velocidad y dos derivadas sucesivas con respecto al tiempo dan las ecuaciones de aceleración requeridas que relacionan los movimientos de las partículas.  En estas ecuaciones, los signos de los términos serán consistentes con aquellos que especifiquen los sentidos positivo y negativo de las coordenadas de posición. 22
  • 23. Ejercicio  Determine la rapidez del bloque A que se ilustra en la figura si el bloque B tiene una rapidez hacia arriba de 6 pies/s. 23
  • 24. Ejercicio  Determine la rapidez del bloque A que se ilustra en la figura si el bloque B tiene una rapidez hacia arriba de 6 pies/s. 24
  • 25. Ejercicio  Determine la rapidez con que se eleva el bloque B mostrado si el extremo de la cuerda en A jalado hacia abajo con de 2 m/s. 25
  • 26. Análisis del movimiento relativo de dos partículas usando ejes en traslación  Posición. Considere las partículas A y B que se mueven a lo largo de las trayectorias arbitrarias bb, respectivamente, como se muestra en la figura. aa y 26
  • 27. Análisis del movimiento relativo de dos partículas usando ejes en traslación  Posición La posición absoluta de cada partícula rA y rB es medida desde el origen común O del marco de referencia fijo x,y,z. El origen de un segundo marco de referencia x',y',z' está unido a a, y se mueve con, la partícula A. A los ejes de este marco sólo les es permitido trasladarse con respecto al marco fijo. La posición relativa de “B con respecto a A” es designada mediante un vector de posición relativa rB/A. Usando la suma vectorial, los tres vectores mostrados en la figura pueden ser relacionados mediante la ecuación 27
  • 28. Análisis del movimiento relativo de dos partículas usando ejes en traslación  Velocidad. Una ecuación que relaciona las velocidades de las partículas puede ser obtenida tomando la derivada con respecto al tiempo de la ecuación Obteniendo: Aquí. vB = drB/dt y vA = drA/dt se refieren a velocidades absolutas, ya que éstas son observadas desde el marco fijo, mientras que la velocidad relativa vB/A = drB/A/dt es observada desde el marco en traslación. 28
  • 29. Análisis del movimiento relativo de dos partículas usando ejes en traslación  Aceleración. La derivada con respecto al tiempo de la ecuación Resulta en una relación vectorial similar entre aceleraciones absoluta y relativa de las partículas A y B. las Aquí, aB/A es la aceleración de B vista por el observador localizado en A. 29
  • 30. Análisis del movimiento absoluto dependiente de dos partículas PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS  Al aplicar la ecuación de posición relativa, rB = rA + rB/A, primero es necesario especificar las ubicaciones de los ejes fijos x,y, z, y de los ejes en traslación x', y', z'.  Usualmente, el origen A de los ejes en traslación se ubica en un punto que tiene una posición conocida, rA.  Una representación gráfica de la suma vectorial rB = rA + rB/A puede ser mostrada, y tanto las cantidades conocidas como las desconocidas pueden señalarse en el croquis. 30
  • 31. Análisis del movimiento absoluto dependiente de dos partículas PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS  Como la suma vectorial forma un triángulo, puede haber cuando mucho dos incógnitas, representadas por las magnitudes y/o las direcciones de las cantidades vectoriales.  Estas incógnitas pueden encontrarse gráficamente usando trigonometría, o resolviendo cada uno de los tres vectores rB, rA y rB/A en componentes rectangulares o cartesianas, generando así un conjunto de ecuaciones escalares.  Las ecuaciones de movimiento relativo vB = vA + vB/A y aB = aA + aB/A son aplicadas de la misma manera que antes, excepto que en este caso el origen O de los ejes fijos x,y,z no tiene que ser especificado. 31
  • 32. Ejercicio  Un tren, viajando con rapidez constante de 60 mi/h, cruza sobre un camino como se muestra en la figura. Si el automóvil A viaja a 45 mi/h a lo largo del camino, determine la magnitud y la dirección de la velocidad relativa del tren con respecto al automóvil. 32
  • 33. Tarea  (57) Si el extremo del cable situado en A es jalado hacia abajo con rapidez de 2 m/s, determine la rapidez con que se levanta el bloque B. 33
  • 34. Tarea  (58) Determine el desplazamiento del bloque situado en B si A es jalado hacia abajo 4 pies. 34
  • 35. Tarea  (59) Dos botes dejan la orilla al mismo tiempo y viajan en las direcciones mostradas. Si vA = 20 pies/s y vB = 15 pies/s. determine la rapidez del bote A con respecto al bote B. ¿Cuánto tiempo después de dejar la orilla los botes estarán a 800 pies uno de otro? 35
  • 36. Tarea  (60) Un hombre puede remar un bote a 5 m/s en aguas tranquilas. Él quiere cruzar un río de 50 m de ancho para llegar al punto B, 50 m aguas abajo. Si el río fluye con velocidad de 2 m/s, determine la rapidez del bote y el tiempo necesario para efectuar el cruce. 36