Hidraulica en tuberias

Universidad Nacional Del Santa Hidráulica de Tuberías
Facultad de Ingeniería Ing. Edgar Sparrow Alamo
E.A.P. Ingeniería Civil Ing. Mecánico de Fluidos

2008

0


ESTUDIO DE FLUJO EN TUBERÍAS

Es un fenómeno que se presenta en la circulación de los
fluidos reales cuando se produce una brusca disminución del
área de la sección transversal del conducto pro donde circula
el fluido.
La reducción origina un aumento considerable de la velocidad
y reducción de la presión del vapor del fluido a esa
temperatura se produce la “Ebullición intensa” del líquido
con su consiguiente vaporización. Este fenómeno es altamente
corrosivo de las partes interiores de los mecánicos y
conductos hidráulicos a lo que llega a erosionar suavemente.
El efecto erosivo se produce en el momento en el que el
fluido vuelve a condensarse cuando la partícula del líquido
ya condensado se precipita a muy altas velocidades al centro
de los vacíos dejados por las burbujas del vapor
produciéndose choques hidráulicos con gran ruido y que
implica un poder de desgaste.

Base teórica del cálculo de tuberías:
Tanto el flujo en tuberías como en canales tienen una des sus
ecuaciones fundamentales a la continuidad que establece, que
2 secciones contiguas de una misma adicción en donde no se
halla producido incorporaciones o pérdidas o fuga del fluido
, el caudal que circula es constante.

A2.V2
A1.V1 Q = A. V

Q = A1 V1

1


Ecuación de Bernoulli en Tuberías

Los casos que mayormente se presenta en la hidráulica
práctica corresponden al régimen turbulento por cuyo motivo

se suele prescindir del uso del coeficiente de Coriolis ().
Pero también se suele prescindir del mismo coeficiente en el
caso de la circulación laminar, bajo el entendimiento que en
términos cinéticos que contiene a la velocidad en la ecuación
de Bernoulli, va afectado de dicho coeficiente, entonces la
ecuación queda:

V2 P
2g
B   Z = Cte.
w

Donde:
V = Velocidad media en la tubería
P = Presión
Z = Carga potencial o elevación
g = Aceleración de la gravedad
w = Peso específico
K = Constante que expresa la permanencia de la energía
Específica.

Significado de las componentes de la Energía Específica de la
ecuación de Bernoulli.

V2
2g
= Carga de velocidad o Cinética

P
= carga de presión
w

Z = Carga potencial o de elevación.

2


Componente de la Energía Específica en una Tubería

V12 Linea de eneregía hf
2g
Linea piezométrica V32
2g
p1º
w
P2/w P3
w

Z1
Z2 Z3

hf = Pérdidas de carga hidráulica La Viscosidad en las
tuberías:

dv
  u u = Viscosidad absoluta o dinámica
dy

u
 =  = Viscosidad cinética


ñ = densidad (ñ = m)

Tipos de Flujos en Tuberías:

 Flujo Laminar:
Cuando la velocidad del flujo es más o menos limitada el
desplazamiento del agua se efectúa ordenadamente, es decir
sin que las distintas capas de líquidos se mezclen.

 Flujo Turbulento:
Cuando la velocidad del fluido es mayor, se produce un
aumentos de las fuerzas de rozamiento que dan lugar a un
movimiento cinético de las diferentes partículas del

3


líquido con formación de torbellinos y mezcla intensa del
líquido.

Representaciones de las velocidades en el flujo laminar y

r r
Eje tubería Eje tubería

r r

Flujo laminar
r = radio de tubería

Flujo laminar
turbulento

Número de Reynolds (Re)

Es un indicador propuesto para establecer un límite entre el
F. Laminar y el F. Turbulento. Es un número adimensional.

VD VD
Re  
 u
Donde:
D = Diámetro de tubería
V = Velocidad media
u = Viscosidad Dinámica
 = Viscosidad Cinética
 = Densidad

4


Pérdida de Carga:

La circulación de fluidos reales en tubería o en cualquier
otra aducción ocasiona pérdidas en su energía específica,
vale decir en el Bernoulli correspondiente, para designar
estas pérdidas se utiliza (hf)

Ecuación de Carga:

La experiencia realizada demuestra que la magnitud de las
pérdidas en las tuberías puede ser calculada mediante esta
ecuación.

V2
2 gD
hf  fL

Donde:

hf = Pérdida de carga

f = Factor de pérdida de carga

L = Longitud de tramo en la cual se produce la
pérdida de carga.
D = Diámetro de la tubería cte.

El coeficiente “ f ” o Factor de Fricción:

Llamado también coeficiente de pérdida de carga por
rozamiento en la tubería, es un valor adimensional. Depende
del tipo de circulación sea laminar o turbulento e incluso
dentro de c/u de estos es esencialmente variable depende de:

- Velocidad promedio en la tubería

- El diámetro de la tubería

- Las propiedades del fluido (densidad y viscosidad)

- La rugosidad promedio de la tubería (e)

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Régimen de Flujo Laminar:

Consideremos un volumen de control de radio “r” y una
longitud “L” coaxial a la tubería de radio “R” que la
contiene y establecemos la condición de equilibrio estable
del sistema

V = f (x2)

R

L

V2 Fô = Fô
FP2
R

FP1
V1 L

Fp1 = Fuerza obtenida a la presión en el punto 1
Fp2 = Fuerza obtenida a la presión en el punto 2
Fô = Fuerza de rozamiento del fluido en la capa subyacente
Fp1 - Fp2 = Fô A = ð r2
F = PA
P1 ð r2 – P2 ð r2 = (2 P ð rL) ô
(P1 – P2) ð r2 = ð r (2L) ô

dv
(P1 – P2) r = 2L ô (de la ley de Newton) ô = u
dy

 (P1 – P2) r = 2Ludv/dr

( P  P2 ) r r
1

2 Lu
∆V = ................. (I)

6


Además: ∆V = V1 - V2
∆r = r1 – r2

Cuando r aumenta de r1 a r2 la velocidad disminuye de V1 a
V2

( p1  p2 ) r (r1  r2 )
2 Lu
∆V = V1 - V2 =

r1  r2
2
Pero r = (anillo circular)

( P  P2 )
1 r1  r2
 ( ) (r1 – r2)
2 Lu 2
V1 - V2 =

 ( P  P2 )
1 (r1  r2 )
(r1  r2 ) (r1 – r2)
2 Lu 2
V1 - V2 =

 ( P  P2 )(r12  r22 )
1

4 Lu
V1 – V2 =

 Establecemos las condiciones de la frontera
Si r = R  V2 = 0

( P  P2 )( R 2  r12 )
1

4 Lu
V1 =

1) Si r = r1  V = V1

(R2  r 2 )
p1  p2
4uL
V =

El flujo laminar sigue una distribución parabólica
Velocidad máxima:
hf = Perdidas de carga

hf P  P2
1 P  P2
1
S =     g
L L gL

7


P1
P2
g
g

Línea piezométrica o de altura motriz

P1
LAm1 = Z1 +
g

P2
LAm2 = Z2 +
g

(R2  r 2 )  ( R 2  r 2 ) ............. (II)
gLS gS
4uL 4u
Luego: V =

V max. Ocurre cuando r = 0

gSR 2 gSD 2
4u 16u
Vmax = 

Velocidad Media:

Vmax gSR 2 gsD 2
2 8u 32u
V =  

Pérdida de cargo:

Hf = SL

gD 2 V 32uL

hf
32u gD 2
V = hf = ............ III
L

Ecuac. Hazen – Porseville
Donde: u = Viscosidad dinámica
V = Velocidad media
D = Diámetro de tubería
L = Longitud de tubería.

8


L V2
2g
hf = f (Darcy – Weisbach)
V

Valido para cualquier tipo de flujo.

2V
2v
Para llegar a Darcy multiplicamos la Ec. por

64uL 64u V2
( ) 
V L
 2V 2g 2g
hf =
DV D

64 L V 2
2 g
hf =
VD D

64 L V2
2g
hf =
VD D


64 V2 64 Para flujo laminar
hf = Re < 2300
L
Re 2g Re
hf =
D

Determinación del Gasto:

D 2 ( P  P2 )
1
Ecua. De Pourseville
128uL
Q =

9


FUERZA CONSTANTE EN CONDUCTOS

Es una fuerza por unidad de carga que se necesita para vencer
el rozamiento interno de las partículas fluidas cuando estos
se desplazan de un punto hacia otro. Las fuerzas de este
siempre existirán en los fluidos reales pudiendo variar su
distribución cuando se trate de un régimen de flujo laminar o
turbulento.

Solido Fluido

F ä F ä

a) (b) a) (b)
No recupera su
Recupera su forma
forma original
original

ä = Reaccionante a F

a) Fuerza cortante en una canalización:

Q dx
P0 = 0
h
y wsenè
w
wsen è = A
w

X

10


g ( h  y ) dx Lsen = ô (dx L)

g (h  y ) sen = ô

ô = g (h  y ) sen

Esfuerzo de corte Para canales con pendiente pequeña.

è = sen è = tg è = S (pendiente en el fondo del canal)

ô = g (h  y ) S

Cuando:

y = h  ô = 0 (En la superficie)
y = 0  ô = ñghS (en el fondo del
canal)

y = h/2  ô = ½ ñghS

Más desgaste en el fondo del canal
h
ã El esfuerzo de fricción es mayor

b) Fuerza cortante en tuberías:

D
g ( ) S
D y
P2 4 2
y  

P1 Esfuerzo de corte.
Q w
è

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D
4 y= 0 ôy = g
g S D
4
S

y = D/2 ôy = 0
D

y= D ô y = - g
D
4
S
D
4
g S

FLUJO TURBULENTO EN TUBERÍAS.
Durante el régimen en turbulento en tuberías, las velocidades
locales en cualquier punto del flujo varía con el tiempo
tanto en valor como en dirección.
La variación de la velocidad con el tiempo, se llama
pulsaciones de la velocidad. En un flujo turbulento sigue
también las pulsaciones de la presión aumentando la
resistencia al movimiento.
A la capa fina del líquido donde el movimiento se efectúa en
el régimen laminar se denomina capa limite.

NOTA:
No todo el flujo en la tubería es flujo turbulento.
El flujo que está en contacto con la pared tendrá mayor
resistencia y por lo tanto será fluido laminar.
El espesor ä es la separación de una capa de flujo laminar y
flujo turbulento.

Vma
ä

r y Vy ä = Espesor
ä

12


Ecuación Universal para la distribución de la velocidad para
un flujo turbulento sobre un límite plano.

Vmax  V 1
ln
r

V* L y

F V 2
0
4 2

V* = Velocidad de corte, velocidad de fricción.

0 h
V* =  gRH S S , S = gradiente hidráulico
 L

K = Coeficiente de proporcionalidad: 0.40 (según Nicuradse)

Nota: En un flujo turbulento, no necesariamente la Vmax ocurre
en el centro del eje.

La información experimental indica los siguientes límites
para definir las condiciones de la rugosidad de la pared de
la tubería.

1.- Hidráulicamente Liso: Cuando el espesor de la capa límite
cubre las irregularidades o rugosidad de las paredes.
Ve
 S

2.- Hidráulicamente Rugoso: Cuando el espesor de la capa
límite no cubre las irregularidades o rugosidad de las
paredes.

Ve 80
70



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3.- Hidráulicamente en transición:

Ve 80
70
S  


Donde:
e
Nota: = rugosidad

RH = Radio hidráulico
A = Espesor medio de la
relativa

rugosidad = e/2
= Espesor de la capa límite
Thysee:

6 RH V = Velocidad media de flujo
Ln ( )
V
a  /7
V 
K

Magning:

RH / 3
2
S1 / 2
V 
n

Cálculo de “f” para flujo turbulento
Tubería lisa

1
 2 Log ( )  0.8
VD
f Re > 105
f u

Ecuación Prandth

1 Re f
 2 log ( )
2.51
Ecuación Pranfth
f

0.3164 0.316
Re < 105
Re1 / 4
f   Ecuación de Blassius
( )
VD
u

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Tuberías Rugosas:

1 r0
 1.74  2 log ( ) Re > 105
f e

1
 2 log ( 3.71 )
D
f e

Variación de e  e (t )

e

La rugosidad en una tubería está en función del tiempo y del
material de

e(min) la tubería.
e(t)

0.0085

0.0070

0.0065

0.0050

0.0035
t (años)
0 1 2 3 4 5 6

 = Es mayor cuando el envejecimiento es mayor (e). Tuberías
de concreto, arcilla, madera, etc.
á = Es menor cuando el envejecimiento es menor. Tuberías de
fº fº , acero, asbesto, concreto, fibra de vidrio, PVC.

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Flujo en Transición:

1 2.51
  2 log ( )
e
3.71D Re

f f

Ecuación de Caleboork – White

En ella se aprecia que si el tubo trabaja como liso, la
rugosidad pierde significación, se ignora el 1º termino del
paréntesis y si el tubo trabaja como rugoso con flujo
altamente turbulento el Re pierde significación (se ignora el
2º termino del paréntesis)

Expresión de Hazen y Willians

Q  .849 CH AR 0.63 S 0.54 Sistema métrico

Q  .85 CH R 0.63 S 0.54

Q  1.318 CH AR 0.63 S 0.54 Sistema Inglés

CH = Coeficiente de rugosidad (Ejem. Tuberías PVC C= 140)
R = Radio hidráulico A/ ñ  para tuberías D/4 ó r/2
S = Pendiente de la línea de energía = hf/L
L = Dimensión Lineal horizontal

Perdida de Carga:
Q = m3
1.852
10.7 L Q
CH.852 D 4.87
1
hf  L = m
D= m

8.52 x10 5 L Q1.852
CH.852
1
D 4.87
hf  Sistema inglés

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Variación de la Rugosidad Absoluta
Esta varía de acuerdo al tipo de agua que va a escurrir y el
número de años de servicios, siendo el criterio más efectivo
el de Ganijew.
e(t) = eo + at
eo Rugosidad del tubo (nuevo) (mm)

a ò  = Coeficiente Que depende del grupo en que se clasifique
el agua que va a escurrir
t = número de años de servicio de tubería.
e(t) = Rugosidad del conducto después de t años de servicio
en (mm)

Coeficiente (a o ) de Genijew
Grupo I: Agua con poco contenido de mineral que no origina
corrosión, agua con un pequeño contenido de materia
orgánica y de solución de hierro.

“a” varía de 0.005 a 0.055  valor medio = 0.05

Grupo II: Agua con poco contenido de mineral que origina
corrosión, agua con contiene menos de 3 miligramos por
litro de materia orgánica y hierro en solución.

Grupo III: Agua que origina fuerte corrosión y con escaso
contenido de cloruro y sulfatos (menos de 100 a 150
mg/l) agua con un contenido de hierro de más de 3
mg/l.

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Grupo IV: Agua que origina fuerte corrosión con una gran
contenido de sulfato y cloruros (más de 500 – 700
mg/l)
Agua impura con una gran cantidad de materia
orgánica.


Grupo V: Agua que con cantidades importantes de carbonato
pero dde dureza pequeña permanente con residuo
denso de 200 mg/l.
“a” varía de 0.60 a más que 1.

Tubería Equivalente:
Es la longitud de tubería recta que es equivalente
hidráulicamente a todos los tramos de tubería que constituye
el sistema incluido los accesorios, válvulas o equipamiento
instalados.
La tubería equivalente produce una pérdida de carga igual a
la que se produciría en el sistema conformado por tuberías de
tramos de tubos y accesorios.

V2 V2
flequi.
2g 2 gD
K 

Lequ.  ( )
K
D
f

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Problema 01:
Un aceite SAE10 fluye por una tubería de hierro a una V =
1m/s, la tubería tiene Ǿ = 15 cm y longitud = 45 m. Se pide
determinar la carga de fricción, Densidad = 869 Nm2/m4
viscosidad absoluta = 8.14x10-2 N seg./m2.
Solución:

869(1)(0.15)

VD
0.0844
Re = Re =
u
Re = 1601.35 < 2300 (flujo laminar)

64 64
 f    0.03997
Re 1601.35
 f  f

fLV 2 0.03997(45)(1) 2
 hf 
2 gD (9.81)(0.15)
= hf =

hf  0.611053

Problema 02:
Se tiene un aceite cuya densidad relativa es 0.86, que se
encuentra circulando por una tubería liza de bronce de Ǿ = 3
pulg. a una velocidad promedio de 2.10 m/s y Re = 8600.
Calcular el esfuerzo cortante en la pared; a medida que el
aceite se enfría su viscosidad aumenta. Que alta viscosidad
producirá el mimo esfuerzo cortante, admita que la descarga
no varía y desprecie variaciones en el peso específico.
Soluc.
Caso de tunería lisa.

0.3164 0.3164

Re1 / 4 86001 / 4
f  f  = 0.03286

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Como Dens. Relativa = 0.86


líquido
DR = aceite = 860 Kg/m3
H 2 O

     V2
   f 
  8
En o g

 860   0.03286  2
 ( 2.10)  1,588kg/m2
 9.81   8
o     o =


Cuando el flujo se enfría se viscosidad aumenta.

64 64
f   f 
Re VD

64
 x 8
f o
V*
8 V 2
De:  f  =
VD

o  o 8 D 8D
 2 64 64
  =   


8(1.588)(0.0254) (3)
  8.26 x10 5 m2 / s
87.66( 2.10)(64)
 

Problema 03:
350 litros de aceite fluye por minuto a través de un conducto
de 75 mm de diámetro, si la densidad relativa del aceite es
de 0.90 y la viscosidad absoluta es igual a 5.74x10-2 Pa –
Seg. Calcular la velocidad en la línea central, la carga
perdida en 300m de este conducto, el esfuerzo de corte y la
velocidad en un punto a 25 mm de la línea central.
Soluc.

350x 0.001
60
D = 0.075 m Q = 350 Lt/min = Q 

20


 = 0.90 Q  5.833 x10 3 m3/s

u = 5.74 x 10-2 Pa-seg.

 D2  (0.075) 2
4 4
Q = 350 Lit/min. A  A 

A  4.418 x10 3 m3/s

5.833 x10 3
  
Q
4.418 x10  3
V  V  V = 1.32 m/s
A

0.90(1.32)(0.075)

VD
5.7 x10  2 (0.001)
Re = Re =
u

Re = 1552.265

 1552.265 < 2300 (flujo laminar)

64 64
 
1552.265
f  f  f = 0.041
Re

fLV 2 0.041(300)(1.32) 2

2 gD 2(9.81)(0.075)
hf  hf 

hf  14.564m

Vmax = V1(2)  Vmax = 2(1.32)
Vmax = 2.64 n/s

 8.83(14.564) 
  2(300)  (0.025)
 hf 
 2L 
    r    
 

  5.358 x10 3

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PROBLEMAS:
1.- Una tubería d 150 mm de diámetro fluye agua a 40ºC con
una velocidad promedio de 4.5m/s. Se mide experimentalmente
la pérdida de carga en 30 m de esta tubería y se encuentra
que es 5 1/3 m. Calcula la velocidad de fricción.

2.- Glicerina 60ºC fluye por una tubería con una velocidad de
2 m/s, la tubería tiene un diámetro de igual 10 cm, longitud
L = 20m. Determine las cargas por fricción.

3.- Se tiene amoniaco que se encuentra circulando por una
tubería lisa de 3.5 pulgadas a una velocidad promedio de 1.6
m/s, Reynols = 7300.
Calcule el esfuerzo cortante en la pared a medida que el
aceite se enfría, su viscosidad se incrementa. ¿Qué
viscosidad producirá el mismo esfuerzo cortante. Admitir que
la descarga no varía y desprecie variaciones en el peso
específico.

4.- Gasolina a 20ºC se encuentra fluyendo por una tubería de
15 m con una velocidad de 3m/s y que tiene un Ø = 8 cm.
Determine la presión al final si inicialmente tiene una
presión de 40m.

22


SISTEMA DE TUBERÍAS
Tubería en Serie:

A

L1 D1 hF

L3 D3 C3
L2 D2 C2
Se
debe cumplir
Hf = hf = ZA – ZB
hf = hf1 + hf2 + hf3
Q = Q1 = Q2 = Q3
Tubería en paralelo:

A
L1 D1 C1 hf
B

L2 D2 C2
Q

L3 D3 C3

Se debe cumplir :

Q = Q1 + Q2 + Q3

hf1 = hf2 = hf3 = hf4

23


Tuberías en Serie:

Z1

hf

1 Z2
2
3

Q = Q1 + Q2 + Q3

hf1+ hf2 + hf3 = hft + Z1 – Z2

 ( )1 / m
Q
Q  k1hf1m  hf1
k1

 ( )1 / m
Q
Q  k2 h2m  hf 2
k2

 ( )1 / m
Q
Q  k2 h3m  hf 3
k3

1/ m 1/ m 1/ m
Q Q Q
 Z1  Z 2   
 K1   K2   K3 
     

 1 1 1 
Z1  Z 2  Q1 / m m   
 K1

m K
2
m K
3 

m
 
 Z1  Z 2 
 1 1 1
Q   

1 2 3
M K M K M K 
 

24


Hazen Williams

0.8494CAR 0.63
L0.54
m = 0.54 Ki =

Darcy:

2 gd
m = 0.50 Ki  A
fL

Ejemplo:
Por Hazen Williams

840 m

Ø14”
510 m
960m Ø16”
910m Ø12”
520m Ø18”
430m

m = 0.54
m
K1 = 0.0646  
K2 = 0.0790
 Z1  Z 2 
 1 1 1
Q   

K3 = 0, 0502
1 2 3
M K M K M K 
 

Q  0.757 m3 / seg
K4 = 0.1614

0.757
0.54  95.36m
Q
hf 1   hf 1  h f 1
0.0646
m
K1

0.757
0.54  65.695m
Q
hf 2  hf 2  h f 2
0.0646
 m
K2

0.757
0.54  152.13m
Q
hf 3  hf 3  h f 3
0.0646
 m
K3

0.757
0.54  17.5m
Q
hf 4  hf 4  h f 4
0.0646
 m
K4

25


Ejemplo:

940 m

C=140

Ø16” C=130
C=140 610 m
690m Ø14”
C=130
910m Ø12”
520m Ø16”
430m

m = 0.54

0.8494CAR 0.63
L0.54
Ki =

K1 = 0.1071 K3 = 0.0585
K2 = 0.0603 K4 = 0.1283

m
 
Z1  Z 2
 
 1 1 1 1 
Q   
m K   
1 2 3 4 
m K m K m K 

0.54
 
 940  610 
1 1 1 1
Q   
0.54 0.54
 0.54 0.54
 0.1071 0.0603 0.0585 0.1283 
   
 

Q = 0.816 m3/s

0.816
0.54  42.97 m
Q
hf 1   hf 1  h f 1
0.1071
m
K1

0.816
0.54  124.49m
Q
hf 2  hf 2  h f 2
0.0603
 m
K2

26


0.816
0.54  131.68m
Q
hf 3  hf 3  h f 3
0.0585
 m
K3

0.816
0.54  30.75m
Q
hf 4  hf 4  h f 4
0.1283
 m
K4

Tuberías en paralelo:
Qt = Q1 + Q2 + Q3
hf1 + hf2 + hf3 + hft = Z1 – Z2
1/ m
m Q
Q1 = K1h 1 = hf1 =
 K1 
 

1/ m
m Q
Q2 = K2 h 2 = hf2 =
 K2 
 

1/ m
Q
Q3 = K3 hm1 = hf3 =
 K3 
 

QT = K1 hm1+ = K2 hf2m K3 hf3m

Qt = K1  K 2  K 3  hm
ft

840m

510m
1

2

3

Ø L C
1 12” 690 140
2 14” 910 140
3 16” 730 140

27


Solucion:

0.8494CAR 0.63
L0.54
Ki 

K1  0.0502 K 3  0.1038

K 2  0.0649

QT  K1  K 2  K 3   h mT
f

QT  5.0147 m3 / seg.

Método de la Tubería Equivalente

QI = KI hfIm
Donde:
hfI = Perdida de carga hidráulica producida entre el
ingreso y la salida de caudales a la tubería
equivalente.
m = Exponente dependiente de la fórmula hidráulica que
se emplea (Hazen ó Dais)
KI = Constante de pendiente de la conformación de las
tuberías equivalente y de los Ki tales tuberías.

Tuberías equivalentes características:
Tuberías en serie:

28


 
 1 
hm
 1 1 1
QT    fI

m K  
1 2 3
m K m K 
 

 
 1 
 1 1 1
KI   

m K  
1 K2 K3
m m 
 

Tubería en Paralelo:

hf1
1

2

3

Q1  K1  K2  K 3  hf Im

K1  K1  K2  K3 

Ejemplo:

Z1

1 hf1
2
Z2
3
6
4 5

29


KI = de las tuberías
K3-4 = K3 + K4 (Tub. Paralelo)
m
 
 1 
1 1 
K(34) – 5 =   (Tub. En serie)


3 4 5 
m K K m K 

m
 
 1 
1 1 
K((34) – 5)-2 =   + K2 (Tub. Paralelo)


3 4 5 
m K K m K 


Por último la tubería equiv. (3  4)  5  2 Está unida a las

tuberías 1 y 6
m
 
1
 
K ( 3.4 )  5  2 1 6
1 1 1 
  

 
 3  4  5  2  4 6 
m K m K m K 

El caudal:

QT = K  3  4  5  2  1  6 x h m
ft

Ejemplo:
Determine el caudal total del sistema mostrado y el caudal
que conduce c/tubería.

Z1

0 1

2
6
3 Z2
4
7
5

30


Tramo 0 1 2 3 4 5 6 7
Ø 6 4 6 4 6 4 8 14
pulgadas

L (m) 120 290 310 470 340 620 150 210

Solución:

0.849CAR 0.63
L0.54
KT =

K0 = 0.0179 K4 = 0.0102
K1 = 3.82x10-3 K5 = 2.536 x10-3
K2 = 0.0107 K6 = 0.0338
K3 = 2.94x10-3 K7 = 0.1227

Hallamos el K5 de 1, 2, 3 (tubería en paralelo)

K (1, 2 ,3, ) K1  K 2  K 3  

K(1,2,3)  0.0175

Hallamos K de (1, 2, 3)-6 (Tubería en serie)
m
 
1
 
K 1, 2 ,3 6
1 1
  
 

(1, 2 , 3)  6
m K m K 
 

K(1,2,3,)6  0.01519
Tubería en paralelo de 1  2  3  6  4  5
K1, 2 ,3  6  4  5  K 1 2  3 6  K4  K5 
K1, 2 ,3  6  4  5  0.0279

31


Tubería en serie ( 1  2  3  6  4  5  0  7 )
m
 
1
 
 1 1 1 
Ka   

0 7 
m m K m K 
 Kx
 

Ka = 0.0145

QI  KI hm
fI QT  0.0145 (38)0.54

QT  0.1034 m3 / s

Hallando caudales en C/ tramo
Del sistema equivalente y del caudal total = QT = 0.16 m3/s

 Q0 = Q = Q7

Del sistema U:

1
Como (1-2-3)-6 en paralelo con 4 y 5
2 6
3 (las pérdidas son iguales)
4

5

 h f (1.2.3)  6  hf 4  hf 5  h fcte.

32


0.1034
0.54  11.31
Qu
0.0279
h fe   h fe  h fe
Ku

Q4  K4 h 0.54
fe  Q4  0.0102 (11.31)0.54

Q4  0.0378m3 / s

Q5  K5 h0.54
fe  Q5  3.926 x10 3 (11.25)0.54

Q5  0.0145m 3 / s

 Q1 2  3  6   K 1 2  3  6 hm
fe  Q1 2  3  6 0.0236 (11.25)0.54

Q1 2  3 6  0.0872m 3 / s

Como (1-2-3) en serie con 6. Calcula el mismo caudal

 Q1 2  3   Q6  Q1 2  3  6 0.0563

1
1/ m 1 / 0.54
2 Q   0.0563 
6   Z
 0.0123 
hz   hZ   
3
K 
 Z 

hZ  8.705m

Pero h1 = h1 = h2 = h3 = hz

 Q1  K1 h m1
f  Q1  3.82 x10 3 8.7050.54
Q1  0.0123m3 / s

 Q2  K2 h m1
f  Q2  0.0107 8.7050.54
Q2  0.0344m3 / s

 Q3  K3 h m1
f  Q3  2.945 x10 3 8.7050.54
Q3  9.475  103 m 3 / s

33


Ejemplo:

Z

0 1
2 6
3
4 7 8
Z2
Z1 – Z2 = 38m 5
9
10

Tramo 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Ø(pulg) 6 4 6 4 6 4 8 14 8
L (cm) 120 290 310 470 340 620 150 210 260
Tramo 9 10 11 12
Ø (pulg) 4 10 6 14
L (cm) 250 460 200 180

Darcy: m = 0.50 E = 0.20mm
V = 4m/s
E = 2 x 10-4m
 = 1x10-6 0.25

2 gd
68 
 
 0.11 
E
K1 = A 
fL f 
D VD 
 
  
f0 = 0.0214 f7 = 0.0173
f1 = 0.0236 f8 = 0.0199
f2 = 0.0214 f9 = 0.0236
f3 = 0.0236 f10 = 0.0188
f4 = 0.0214 f11 = 0.0214
f5 = 0.0236 f12 = 0.0173
f6 = 0.0199

34


Hallando Ki m = 0.50

2 gD
Ki = A
fL

K0 = 0.0197 K7 = 0.01376
K1 = 4.375x10-3 K8 = 0.0285
K2 = 0.0122 K9 = 04.712x10-3
K3 = 3.437x10-3 K10 = 0.0385
K4 = 0.0117 K11 = 0.0152
K5 = 2.992x10-3 K12 = 0.1487
K6 = 0.0375
Hallamos K (1-2-3) paralelo.
K (1-2-3)-6 (Tub. serie)

m
 
1
 
K (1 2  3)  6  0.0176
1 1 
K (1-2-3)-6 =  


(1 2  3 ) 6 
m K m K 


Hallamos K 1 2  3  6  4  5 paralelo

K 1 2 3  6  4 5  K 1  2  3  6   K4  K5 
K 1 2  3  6  4  5  0.0176  0.0117  2.992 x103 
K 1 2  3  6  4  5  0.0323

Hallamos K1 2  3  6  4  5 0  7

m
 
 1 
K1 2  3  6 4  5 0  7
1 1 1 
  

 m 1  2  3  6  4  5  K0

7 
m m K 

K 1 2  3  6  4  5 0  7  0.0167

35


 Hallando K(8-9) (paralelo)
K (8  9 )  K8  K 9   K (8  9 )  0.0285  4.712 x103 
K (8  9 )  0.0332

 Hallando Ka(8-9)-11 (tub. serie)
m
 
1
 
K (89 ) 11  K (89 ) 11  0.0138
 1 1 
  

 K (89 ) 11 
m m K

 

 Hallando K((8-9)-11)-10 (paralelo)

K ((8 9 ) 11) 10  K ( 8  9 ) 11  K 10   K ((89 ) 11) 10  0.0138  0.0385

K ((89 ) 11) 10  0.0523

 Hallando Ka-b-12 (tub. serie)

Donde Ka = K1 2  3  6  4  5 0  7

Kb = K 8  9 1110
m
 
 1 
K a  b 12  K a b 12  0.0158
 1 1 1 
  
 
12 
m K m K m K 
 a b

 Hallamos el caudal total
QT  K a  b 12 h fI

QT  0.0158 (38)0.5

QT  0.0974 m3 / s

36


 Hallando el caudal en c/tramo

 Qo = Qa = Q7 = Q6 = Q12

1
2 Como 1  2  3  6 está en paralelo con 4
3
6 y 5  las pérdidas son iguales.
4

5 h f (1 2  3)  6  hf 4  hf 5  h fcte.

0.5
0.0974

Qa
 h fcte.
0.0323
hcte  m 
Ka

hcte  9.093m

Q4  K4 hm .
fcte  Q4  0.0117 9.0930.5
Q4  0.0353 m3 / s

Q5  K5 hm .
fcte  Q5  ( 2.99 x103 ) 9.0930.5
Q5  9.022 x10 3 m3 / s

Q1 2  3  6   K 1 2  3  6  h m .
fcte

Q1 2  3  6   0.0176(9.093)0.5 Q1 2  3  6   0.0531m3 / s

Como (1-2-3) está en serie con el tramo 6,  circula el
mismo caudal.

37


Q(1 2  3)  Q6  Q(1 2  3)  6  0.053
1
2 0.0531
3 6 0´5 0.5
QZ
0.020
h fZ   h fZ 
KZ

h fZ  7.049m

Pero h1 = h2 = h3 = hZ

 Q1  K1 h m1
f  Q1  4.375 x10 3 (7.049)0.5

Q1  0.0116m3 / s

 Q2  K2 h m2
f  Q2  0.0122 (7.049)0.5

Q2  0.0324m3 / s

 Q3  K3 h m3
f  Q3  3.437 x10 3 (7.049)0.5

Q3  9.125 x10 3 m3 / s

Del sistema “b”

Como (8-9) está en paralelo con 10
8
11
9  (las perdidas son iguales).
10

h f ( 8  9 ) 11  h f 10  h fcte

Qb 0.5
0.0974
h fcte.  h fcte .
0.0523
 m 
Kb
h fcte.  3.468

Q10  K10 h m10
f  Q10  0.0385 (3.468)0.5

Q10  0.0717 m3 / s

Q(89 ) 11 m
 K (89 ) 11 hcte Q(89 ) 11  0.0138  (3.468) 0.5
3
 0.0257 m
seg.
Q(89 ) 11

38


Como (8-9) esta en serie con 11. Circula el mismo caudal:

Q( 8  9 )  Q11  Q(89 ) 11  0.0257 m 3 / s

Q11  0.0257 m 3 / s

0.0257
hz  0.5 hz  0.5 hz  0.559m.
Qz
Kz 0.0332

pero hz  h8  h9  0.559m.

Q8  K8 h m8
f  Q8  0.0285 (0.559) 0.5
3
 0.022 m
seg.
Q8

Q9  K9 h m9
f  Q9  4.712  10 3 (0.559) 0.5
3
 3.647  10 3 m
seg.
Q8

39


MÉTODO DE HARDY CROSS
Mediante este método se da solución a los problemas de
circuito de tuberías que se encuentra enlazados uno con otro
constituyendo una red de tuberías, el método es de
relajamiento o de aproximaciones sucesivas para cuyo efecto
plantea suponer unos caudales que circula por las tuberías
componentes que sea compatible con los caudales que entra y
sale del sistema y el balance que debe existir entre ellos.

Determinación de la carga en los vértices de las redes
calculadas por Hardy Cross.

Para su determinación de cargas o presiones donde se ubica
los puntos de entrega y salida de agua al sistema que se
calcula por el método de Cross se debe tener en cuenta que
uno de los datos que se debe suministrar, son las cotas y los
niveles piezométricos de los puntos indicados.

Con esta información más los resultados obtenidos en la
última serie de cálculos después de una razonable
aproximación que nos suministra las pérdidas de carga en cada
tubería más el sentido en el que se produce el desplazamiento
del agua se podrá calcular las alturas piezométricas en todos
los vértices de la red.

C= 100 Fº Fº
Todas las tuberías.

40


Primera aproximación.
1º Circuito
Tramo Ki Q0 hf0 hf0/Q0 ∆I ∆II ∆II Q
1 0.396 +.40 +1.02 2.55 0.018 +0.418
2 0.264 +.30 +1.26 4.2 0.018 +0.055 +0.373
3 0.083 -.10 -1.41 14.1 0.018 -0.006 -0.088
4 0.298 -0.40 -1.72 4.3 0.018 -0.382
-0.85 25.15

2º Circuito

Tramo Ki Q0 hf0 hf0/Q0 ∆I ∆II ∆III Q
5 0.368 + 0.10 + 0.09 0.9 -0.055 +0.045
6 0.301 - 0.30 - 1.0 3.33 -0.055 -0.355
7 0.075 + 0.20 + 6.14 30.7 -0.055 -0.006 +0.139
2 0.264 - 0.30 -1.27 4.23 0.018 -0.055 -0.373
3.96 39.16

Circuito 3

7 0.075 - 0.20 -6.40 30.7 +0.055 +0.006 -0.139
8 0.037 + 0.20 22.68 113.4 +0.006 +0.206
9 0.059 - 0.30 -20.26 67.53 +0.006 -0.294
3 0.083 + 0.10 +1.41 14.1 0.018 +0.006 +0.088
-2.31 225.73

Fórmulas a emplear:
1.85

  0
Q 
hf 0 Q1  Q0  I  II  III
 1
K 

f0 (0.85)
 0.018
h
1 1
i   I  I
0
(25.15)
hf
0 0.54
m
Q

41


3.96
  0.055
1
II   II
(39.16)
0.54
III   0.006

Segunda Aproximación:
1º Circuito

1 0.396 0.418 1.105 2.644 -0.007 0.411
2 0.264 0.373 1.895 5.080 -0.007
3 0.083 -0.088 -1.114 12.659 -0.007
4 0.298 -0.382 -1.583 4.144 -0.007 -0.389

0.303 24.527

42


DESCARGA LIBRE POR DOS O MAS RAMALES

1).- De un estanque sale una tubería de 8” de diámetro y 300
m de longitud. Esta tubería se bifurca en dos ramales de 6”
de diámetro y 150 m de largo cada uno. Los extremos descargan
libremente a la atmósfera. Uno de los ramales es un conducto
filtrante que tiene bocas de descarga distribuidas
uniformemente a lo largo de la tubería de modo que la suma de
la descarga de todas ellas es igual a la mitad del gasto
inicial en ese ramal ( la otra mitad descarga por la boca
final ). Las bocas de los dos ramales están al mismo nivel
(15 m debajo de la superficie libre del estanque). Calcular
el gasto en cada ramal. Despreciar las pérdidas de cargas
locales, considerar f = 0.024, constante e igual para todas
las tuberías.

15 m

8”

0 m
300 m
P 6” ; 150 m

6” ; 150 m 0 m

Solución:

Para el conducto filtrante la pérdida de descarga está dada
por:

KL 2
Qo  Qo Q  Q 2
3
hf   

43

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