SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 18
Descargar para leer sin conexión
A
Maturín, Febrero del 2017
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
EXTENSIÓN MATURÍN
ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA.
SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN.
Autor: Jeickson A. Sulbaran M.
Tutora: Ing. Mariangela Pollonais
1. Obtenga el tiempo de levantamiento, el tiempo pico, el sobrepaso máximo y
el tiempo de asentamiento. Se sabe que un sistema oscilatorio tiene la
siguiente función de transferencia:
𝑮( 𝒔) =
𝝎 𝒏
𝟐
𝒔 𝟐 + 𝟐𝜻𝝎 𝒏 𝒔 + 𝝎 𝒏
𝟐
Suponga que existe un registro de una oscilación amortiguada, tal como
aparece en la siguiente figura. Determine el factor de amortiguamiento
relativo del sistema a partir de la gráfica.
Figura 1: Oscilación amortiguada.
Solución:
Nota: Como se trata de una oscilación amortiguada, es decir,
especificaciones de respuesta transitoria, éstas solo tienen sentido para los
sistemas subamortiguados (𝟎 < 𝜻 < 𝟏).
Figura 2: Sistema de segundo orden.
Entonces, tomando en cuenta la función de transferencia en lazo cerrado:
𝑪( 𝒔)
𝑹(𝒔)
=
𝝎 𝒏
𝟐
𝒔 𝟐 + 𝟐𝜻𝝎 𝒏 𝒔 + 𝝎 𝒏
𝟐
Cabe destacar que, se tomará en cuenta las siguientes ecuaciones, para
determinar los siguientes parámetros de los ítems a) hasta la d).
𝒄( 𝒕) = 𝟏 − 𝒆−𝜻𝝎 𝒏 𝒕
(𝐜𝐨𝐬 𝝎 𝒅 𝒕 +
𝜻
√𝟏 − 𝜻 𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝝎 𝒅 𝒕) ; 𝒕 ≥ 𝟎 … (𝟏)
𝒄( 𝒕) = 𝟏 −
𝒆−𝜻𝝎 𝒏 𝒕
√𝟏 − 𝜻 𝟐
𝐬𝐢𝐧 (𝝎 𝒅 𝒕 + 𝐭𝐚𝐧−𝟏
√𝟏 − 𝜻 𝟐
𝜻
) ; 𝒕 ≥ 𝟎 … (𝟐)
a) Determinar el tiempo de levantamiento 𝒕 𝒓.
Considerando la ecuación (1) y suponiendo que 𝑐( 𝑡 𝑟) = 1, entonces:
𝑐( 𝑡 𝑟) = 1 = 1 − 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡 𝑟 (cos 𝜔 𝑑 𝑡 𝑟 +
𝜁
√1 − 𝜁2
sin 𝜔 𝑑 𝑡 𝑟)
Como 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡 𝑟 ≠ 0, se obtiene la siguiente ecuación:
cos 𝜔 𝑑 𝑡 𝑟 +
𝜁
√1 − 𝜁2
sin 𝜔 𝑑 𝑡 𝑟 = 0
Como 𝜔 𝑛 = √1 − 𝜁2 = 𝜔 𝑑 y 𝜁𝜔 𝑛 = 𝜎, se tiene:
tan 𝜔 𝑑 𝑡 𝑟 = −
√1 − 𝜁2
𝜁
⇒ tan 𝜔 𝑑 𝑡 𝑟 = −
𝜔 𝑑
𝜎
⇒ 𝜔 𝑑 𝑡 𝑟 = tan−1
(
𝜔 𝑑
−𝜎
)
⇒ 𝑡 𝑟 =
1
𝜔 𝑑
tan−1
(
𝜔 𝑑
−𝜎
)
⇒ 𝒕 𝒓 =
𝝅 − 𝜷
𝝎 𝒅
Donde, 𝛽 se define en la siguiente figura. Es evidente que para un valor
pequeño 𝑡 𝑟, 𝜔 𝑑 debe ser grande.
Figura 3: Definición del ángulo 𝛽.
b) Determinar el tiempo pico 𝒕 𝒑.
Considerando la ecuación (1), se obtiene el tiempo pico derivando 𝑐(𝑡) con
respecto al tiempo, se tiene que:
𝑑𝑐
𝑑𝑡
= 𝜁𝜔 𝑛 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡
(cos 𝜔 𝑑 𝑡 +
𝜁
√1 − 𝜁2
sin 𝜔 𝑑 𝑡)
+ 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡
(𝜔 𝑑 sin 𝜔 𝑑 𝑡 −
𝜁𝜔 𝑑
√1 − 𝜁2
cos 𝜔 𝑑 𝑡)
𝑑𝑐
𝑑𝑡
= 𝜁𝜔 𝑛 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡
cos 𝜔 𝑑 𝑡 +
𝜁2
𝜔 𝑛
√1 − 𝜁2
𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡
sin 𝜔 𝑑 𝑡 + 𝜔 𝑑 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡
sin 𝜔 𝑑 𝑡
−
𝜁𝜔 𝑑
√1 − 𝜁2
𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡
cos 𝜔 𝑑 𝑡
Sabemos que:
𝜔 𝑑 = 𝜔 𝑛√1 − 𝜁2 ⇒ 𝜔 𝑛 =
𝜔 𝑑
√1 − 𝜁2
𝑑𝑐
𝑑𝑡
=
𝜁𝜔 𝑑
√1 − 𝜁2
𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡
cos 𝜔 𝑑 𝑡 +
𝜁2
𝜔 𝑛
√1 − 𝜁2
𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡
sin 𝜔 𝑑 𝑡
+ 𝜔 𝑛√1 − 𝜁2 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡
sin 𝜔 𝑑 𝑡 −
𝜁𝜔 𝑑
√1 − 𝜁2
𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡
cos 𝜔 𝑑 𝑡
𝑑𝑐
𝑑𝑡
= 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡
sin 𝜔 𝑑 𝑡 (
𝜁2
𝜔 𝑛
√1 − 𝜁2
+ 𝜔 𝑛√1 − 𝜁2)
𝑑𝑐
𝑑𝑡
= 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡
sin 𝜔 𝑑 𝑡 (
𝜁2
𝜔 𝑛 + 𝜔 𝑛 − 𝜁2
𝜔 𝑛
√1 − 𝜁2
)
𝑑𝑐
𝑑𝑡
= 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡
sin 𝜔 𝑑 𝑡 (
𝜔 𝑛
√1 − 𝜁2
)
Igualamos a cero y evaluamos la derivada en 𝑡 = 𝑡 𝑝, tenemos que:
𝑑𝑐
𝑑𝑡
|
𝑡=𝑡 𝑝
= 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡 𝑝 sin 𝜔 𝑑 𝑡 𝑝 (
𝜔 𝑛
√1 − 𝜁2
) = 0
Luego, se obtiene que: sin 𝜔 𝑑 𝑡 𝑝 = 0
O bien: 𝜔 𝑑 𝑡 𝑝 = 0, 𝜋, 2𝜋, 3𝜋, …
Como el tiempo pico corresponde al primer pico sobrepaso máximo,
𝜔 𝑑 𝑡 𝑝 = 𝜋 ⇒ 𝒕 𝒑 =
𝝅
𝝎 𝒅
El tiempo pico 𝑡 𝑝 corresponde a medio ciclo de la frecuencia de oscilación
amortiguada.
c) Determinar el sobrepaso máximo 𝑴 𝒑.
Ésta se presenta en el tiempo pico o en 𝑡 = 𝑡 𝑝 = 𝜋 𝜔 𝑑⁄ . Por tanto,
considerando la ecuación (1), 𝑀 𝑝 se obtiene como:
𝑀 𝑝 = 𝑐(𝑡 𝑝) − 1
𝑀 𝑝 = 1 − 𝑒−𝜁𝜔 𝑛(𝜋 𝜔 𝑑⁄ )
(cos 𝜔 𝑑( 𝜋 𝜔 𝑑⁄ ) +
𝜁
√1 − 𝜁2
sin 𝜔 𝑑( 𝜋 𝜔 𝑑⁄ )) − 1
𝑀 𝑝 = −𝑒−(𝜎 𝜔 𝑑⁄ )𝜋
(cos 𝜋 +
𝜁
√1 − 𝜁2
sin 𝜋) = −𝑒−(𝜎 𝜔 𝑑⁄ )𝜋
(−1 +
𝜁
√1 − 𝜁2
. (0))
∴ 𝑴 𝒑 = 𝒆−(𝝈 𝝎 𝒅⁄ )𝝅
= 𝒆
−(𝜻 √𝟏−𝜻 𝟐⁄ )𝝅
El porcentaje del sobrepaso máximo es: 𝒆−(𝝈 𝝎 𝒅⁄ )𝝅
𝒙 𝟏𝟎𝟎 %.
Si el valor final 𝑐(∞) de la salida no es la unidad, entonces se necesita utilizar
la ecuación siguiente:
∴ 𝑴 𝒑 =
𝒄(𝒕 𝒑) − 𝒄(∞)
𝒄(∞)
d) Determinar el tiempo de asentamiento 𝒕 𝒔.
Para un sistema subamortiguado de segundo orden, la respuesta transitoria
se obtiene a partir de la ecuación (2):
𝑐( 𝑡) = 1 −
𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡
√1 − 𝜁2
𝑠𝑖𝑛 (𝜔 𝑑 𝑡 + 𝑡𝑎𝑛−1
√1 − 𝜁2
𝜁
) ; 𝑡 ≥ 0
Las curvas: 1 ±
𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡
√1 − 𝜁2
Son las curvas envolventes de la respuesta transitoria para una entrada
escalón unitario. La curva de respuesta 𝑐(𝑡) siempre permanece dentro de un par
de curvas envolventes, como se aprecia en la figura.
Figura 4: Par de curvas envolventes para la curva de respuesta a escalón unitario
del sistema de segundo orden mostrado en la Figura 2.
La constante de tiempo de estas curvas envolventes es: 1
𝜁𝜔 𝑛
⁄
El tiempo de asentamiento que corresponde a una banda de tolerancia de
±2% o ±5% se mide en función de la constante de tiempo:
𝑻 =
𝟏
𝜻𝝎 𝒏
Por lo general, se define el tiempo de asentamiento 𝑡 𝑠 como:
∴ 𝒕 𝒔 = 𝟒𝑻 =
𝟒
𝝈
=
𝟒
𝜻𝝎 𝒏
(𝐜𝐫𝐢𝐭𝐞𝐫𝐢𝐨 𝐝𝐞𝐥 𝟐%)
∴ 𝒕 𝒔 = 𝟑𝑻 =
𝟑
𝝈
=
𝟑
𝜻𝝎 𝒏
(𝐜𝐫𝐢𝐭𝐞𝐫𝐢𝐨 𝐝𝐞𝐥 𝟓%)
e) Determinar el factor de amortiguamiento relativo 𝜻.
La razón de amplitud por un periodo de oscilación amortiguada es:
𝑥1
𝑥2
=
𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡1
𝑒−𝜁𝜔 𝑛(𝑡1+𝑇)
=
𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡1
𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡1. 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑇
=
1
𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑇
= 𝑒 𝜁𝜔 𝑛 𝑇
⇒
𝑥1
𝑥2
= 𝑒 𝜁𝜔 𝑛 𝑇
Observe que es necesario escoger 𝑛 lo suficientemente grande para que la
razón o bien 𝑥1/𝑥 𝑛 no sea cercano a la unidad. Entonces:
𝑥1
𝑥 𝑛
=
1
𝑒−𝜁𝜔 𝑛(𝑛−1)𝑇
= 𝑒 𝜁𝜔 𝑛(𝑛−1)𝑇
⇒
𝑥1
𝑥 𝑛
= 𝑒 𝜁𝜔 𝑛(𝑛−1)𝑇
Por tanto, el logaritmo decremental 𝛿 es:
𝛿 = ln |
𝑥1
𝑥2
| =
1
𝑛 − 1
ln |
𝑥1
𝑥 𝑛
| ⇒ 𝛿 = 𝜁𝜔 𝑛 𝑇 = 𝜁𝜔 𝑛. (
2𝜋
𝜔 𝑑
)
⇒ 𝛿 = 𝜁𝜔 𝑛.
2𝜋
𝜔 𝑛√1 − 𝜁2
⇒ 𝛿 =
2𝜋𝜁
√1 − 𝜁2
Se define:
1
𝑛 − 1
ln |
𝑥1
𝑥 𝑛
| =
2𝜋𝜁
√1 − 𝜁2
= ∆
Luego, elevando al cuadrado ambos miembros y despejando para obtener el
factor de amortiguamiento relativo (𝜻) se tiene que:
∆2
=
4𝜋2
𝜁2
1 − 𝜁2
⇒ ∆2(1 − 𝜁2) = 4𝜋2
𝜁2
⇒ ∆2
= 4𝜋2
𝜁2
+ ∆2
𝜁2
⇒ ∆2
= (4𝜋2
+ ∆2
)𝜁2
⇒ 𝜁2
=
∆2
4𝜋2 + ∆2
⇒ 𝜁 =
∆
√4𝜋2 + ∆2
⇒ 𝜁 =
(
1
𝑛−1
) ln |
𝑥1
𝑥 𝑛
|
√4𝜋2 + [(
1
𝑛−1
) ln |
𝑥1
𝑥 𝑛
|]
2
⇒ 𝜻 =
(
𝟏
𝒏−𝟏
) 𝐥𝐧 |
𝒙 𝟏
𝒙 𝒏
|
√ 𝟒𝝅 𝟐 + (
𝟏
𝒏−𝟏
)
𝟐
(𝐥𝐧 |
𝒙 𝟏
𝒙 𝒏
|)
𝟐
2. Considere el sistema de la Figura 5. Determine el valor de 𝑘 de modo que el
factor de amortiguamiento relativo 𝜁 sea 0,5. Después obtenga el tiempo de
levantamiento 𝑡 𝑟, el tiempo pico 𝑡 𝑝, el sobrepaso máximo 𝑀 𝑝, y el tiempo de
asentamiento 𝑡 𝑠, en la respuesta escalón unitario.
Figura 5: Diagrama de bloques de un sistema.
Solución:
Aplicamos “Retroalimentación Negativa”, tenemos que:
16
𝑠 + 0,8
1
𝑠
𝑅(𝑠) 𝐶(𝑠)
+
−
+
−
𝑘
16
𝑠+0,8
1 +
16𝑘
𝑠+0,8
1
𝑠
𝑅(𝑠) 𝐶(𝑠)
+
−
16
𝑠 + 0,8 + 16𝑘
1
𝑠
𝑅(𝑠) 𝐶(𝑠)
+
−
Ahora, utilizamos “Combinación de Bloques en Cascada”, se tiene que:
Luego, aplicamos “Retroalimentación Negativa”, tenemos que:
Por tanto,
𝑪(𝒔)
𝑹(𝒔)
=
𝟏𝟔
𝒔 𝟐 + ( 𝟎, 𝟖 + 𝟏𝟔𝒌) 𝒔 + 𝟏𝟔
=
𝟒 𝟐
𝒔 𝟐 + ( 𝟎, 𝟖 + 𝟏𝟔𝒌) 𝒔 + 𝟒 𝟐
Igualando coeficientes entre esta ecuación y la ecuación general, es decir,
con las características del polinomio, encontramos que:
16
𝑠2 + (0,8 + 16𝑘) 𝑠
𝑅(𝑠) 𝐶(𝑠)
+
−
16
𝑠2 + (0,8 + 16𝑘) 𝑠 + 16
𝑅(𝑠) 𝐶(𝑠)
16
𝑠2+(0,8+16𝑘)𝑠
1 +
16
𝑠2+(0,8+16𝑘)𝑠
𝑅(𝑠) 𝐶(𝑠)
𝑮( 𝒔) =
𝟒 𝟐
𝒔 𝟐 + ( 𝟎, 𝟖 + 𝟏𝟔𝒌) 𝒔 + 𝟒 𝟐
=
𝝎 𝒏
𝟐
𝒔 𝟐 + 𝟐𝜻𝝎 𝒏 𝒔 + 𝝎 𝒏
𝟐
𝝎 𝒏 = 𝟒
Por el enunciado del ejercicio, sabemos que: 𝜻 = 𝟎, 𝟓 por lo que es un
sistema subamortiguado (𝟎 < 𝜻 < 𝟏).
a) Determinar el valor de 𝒌.
2𝜁𝜔 𝑛 = 0,8 + 16𝑘 ⇒ 2(0,5)(4) = 0,8 + 16𝑘 ⇒ 4 = 0,8 + 16𝑘
⇒ 4 − 0,8 = 16𝑘 ⇒
3,2
16
= 𝑘 ⇒ 𝒌 = 𝟎, 𝟐
b) Determinar el tiempo de levantamiento 𝒕 𝒓.
El tiempo de levantamiento 𝑡 𝑟, se obtiene con la siguiente fórmula:
𝒕 𝒓 =
𝝅 − 𝜷
𝝎 𝒅
Ya que,
𝜔 𝑑 = 𝜔 𝑛√1 − 𝜁2 ⇒ 𝜔 𝑑 = 4√1 − (0,5)2 = 4√1 − 0,25
⇒ 𝜔 𝑑 = 4√0,75 ⇒ 𝝎 𝒅 = 𝟑, 𝟒𝟔𝟒𝟏 𝒓𝒂𝒅/𝒔𝒆𝒈
sin 𝛽 =
𝜔 𝑛√1 − 𝜁2
𝜔 𝑛
⇒ 𝛽 = sin−1
(
𝜔 𝑑
𝜔 𝑛
) ⇒ 𝛽 = sin−1
(
3,4641
4
)
⇒ 𝛽 = sin−1(0,866) ⇒ 𝜷 = 𝟔𝟎° =
𝝅
𝟑
También, se puede calcular 𝛽 de la siguiente manera:
tan 𝛽 =
𝜔 𝑑
𝜎
⇒ 𝛽 = tan−1
(
𝜔 𝑑
𝜁𝜔 𝑛
) ⇒ 𝛽 = tan−1
(
3,4641
(0,5)(4)
)
⇒ 𝛽 = tan−1(1,73205) ⇒ 𝜷 = 𝟓𝟗, 𝟗𝟗𝟗 ≈ 𝟔𝟎° =
𝝅
𝟑
∴ 𝑡 𝑟 =
𝜋 − 𝛽
𝜔 𝑑
=
𝜋 −
𝜋
3
3,4641 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
⇒ 𝒕 𝒓 = 𝟎, 𝟔𝟎𝟔 𝒔𝒆𝒈
c) Determinar el tiempo pico 𝒕 𝒑.
El tiempo pico 𝑡 𝑝, se obtiene con la siguiente fórmula:
𝑡 𝑝 =
𝜋
𝜔 𝑑
=
𝜋
3,4641 𝑟𝑎𝑑/𝑠
⇒ 𝒕 𝒑 = 𝟎, 𝟗𝟎𝟕 𝒔𝒆𝒈
d) Determinar el sobrepaso máximo 𝑴 𝒑.
El sobrepaso máximo 𝑀 𝑝, se obtiene con la siguiente fórmula:
𝑀 𝑝 = 𝑒
−(
𝜎
𝜔 𝑑
)𝜋
= 𝑒
−(
𝜁𝜋
√1−𝜁2
)
⇒ 𝑀 𝑝 = 𝑒
−[
(0,5)𝜋
√1−(0,5)2
]
⇒ 𝑀 𝑝 = 𝑒
−[
(0,5)𝜋
√1−0,25
]
= 𝑒−1,814
⇒ 𝑴 𝒑 = 𝟎, 𝟏𝟔𝟑
El porcentaje del sobrepaso máximo es:
𝒆
−(
𝝈
𝝎 𝒅
)𝝅
𝒙 𝟏𝟎𝟎 % = 𝟏𝟔, 𝟑 %
e) Determinar el tiempo de asentamiento 𝒕 𝒔.
El tiempo asentamiento 𝑡 𝑠, se obtiene dependiendo del criterio:
𝑡 𝑠 =
4
𝜎
⇒ 𝑡 𝑠 =
4
𝜁𝜔 𝑛
=
4
(0,5)(4)
⇒ 𝒕 𝒔 = 𝟐 𝒔𝒆𝒈 (criterio del 2%)
𝑡 𝑠 =
3
𝜎
⇒ 𝑡 𝑠 =
3
𝜁𝜔 𝑛
=
3
(0,5)(4)
⇒ 𝒕 𝒔 = 𝟏, 𝟓 𝒔𝒆𝒈 (criterio del 5%)
3. Obtenga analíticamente la frecuencia natural 𝜔 𝑛, factor de amortiguamiento
𝜁, sobrepaso máximo 𝑀 𝑝, tiempo de asentamiento 𝑡 𝑠 y tiempo de crecimiento
𝑡 𝑟 del siguiente sistema, suponga que 𝐻 = 1. Posteriormente verifique los
resultados obtenidos con MATLAB.
Utilizamos “Combinación de Bloques en Cascada”, y sustituyendo
𝐻 = 1, se tiene que:
2
2𝑠 + 1
1
𝑠 + 1
𝑋(𝑠) 𝑌(𝑠)
+
−
𝐻
2
2𝑠2 + 2𝑠 + 𝑠 + 1
𝑋(𝑠) 𝑌(𝑠)
+
−
1
Luego, aplicamos “Retroalimentación Negativa”, tenemos que:
∴
𝒀(𝒔)
𝑿(𝒔)
=
𝟏
𝒔 𝟐 + 𝟏, 𝟓 𝒔 + 𝟏, 𝟓
=
𝟏
𝒔 𝟐 + 𝟏, 𝟓 𝒔 + (√𝟏, 𝟓)
𝟐
Igualando coeficientes entre esta ecuación y la ecuación general, es decir,
con las características del polinomio, encontramos que:
𝑮( 𝒔) =
𝟏
𝒔 𝟐 + 𝟏, 𝟓 𝒔 + (√𝟏, 𝟓)
𝟐 =
𝑲𝝎 𝒏
𝟐
𝒔 𝟐 + 𝟐𝜻𝝎 𝒏 𝒔 + 𝝎 𝒏
𝟐
Donde, 𝐾 es la ganancia estática del sistema.
2
2𝑠2 + 3𝑠 + 3
𝑋(𝑠) 𝑌(𝑠)
2
2𝑠2+3𝑠+1
1 +
2
2𝑠2+3𝑠+1
𝑋(𝑠) 𝑌(𝑠)
2
2(𝑠2 + 3/2 𝑠 + 3/2)
𝑋(𝑠) 𝑌(𝑠)
1
𝑠2 + 1,5 𝑠 + 1,5
𝑋(𝑠) 𝑌(𝑠)
a) Determinar la frecuencia natural 𝝎 𝒏.
∴ 𝝎 𝒏 = √𝟏, 𝟓 𝒓𝒂𝒅/𝒔𝒆𝒈 ≈ 𝟏, 𝟐𝟐𝟓 𝒓𝒂𝒅/𝒔𝒆𝒈
𝐾𝜔 𝑛
2
= 1 ⇒ 𝐾 =
1
𝜔 𝑛
2
⇒ 𝐾 =
1
1,5
⇒ 𝑲 =
𝟐
𝟑
≈ 𝟎, 𝟔𝟕
b) Determinar el factor de amortiguamiento 𝜻.
El factor de amortiguamiento 𝜁, se obtiene con la siguiente fórmula:
2𝜁𝜔 𝑛 = 1,5 ⇒ 𝜁 =
1,5
2𝜔 𝑛
⇒ 𝜁 =
1,5
2(1,225)
⇒ 𝜻 ≈ 𝟎, 𝟔𝟏𝟐
∴ Es un sistema subamortiguado.
c) Determinar el sobrepaso máximo 𝑴 𝒑.
El sobrepaso máximo 𝑀 𝑝, se obtiene con la siguiente fórmula:
𝑀 𝑝 = 𝑒
−(
𝜎
𝜔 𝑑
)𝜋
= 𝑒
−(
𝜁𝜋
√1−𝜁2
)
⇒ 𝑀 𝑝 = 𝑒
−[
(0,612)𝜋
√1−(0,612)2
]
⇒ 𝑀 𝑝 = 𝑒−2,4311
⇒ 𝑴 𝒑 = 𝟎, 𝟎𝟖𝟕𝟗
El porcentaje del sobrepaso máximo es:
𝒆
−(
𝝈
𝝎 𝒅
)𝝅
𝒙 𝟏𝟎𝟎 % = 𝟖, 𝟕𝟗 %
Este es el valor de la
ganancia estática.
d) Determinar el tiempo de asentamiento 𝒕 𝒔.
El tiempo asentamiento 𝑡 𝑠, se obtiene dependiendo del criterio:
𝑡 𝑠 =
4
𝜎
⇒ 𝑡 𝑠 =
4
𝜁𝜔 𝑛
=
4
(0,612)(1,225)
⇒ 𝒕 𝒔 = 𝟓, 𝟑𝟑𝟓 𝒔𝒆𝒈 (criterio del 2%)
𝑡 𝑠 =
3
𝜎
⇒ 𝑡 𝑠 =
3
𝜁𝜔 𝑛
=
3
(0,612)(1,225)
⇒ 𝒕 𝒔 = 𝟒, 𝟎𝟎𝟐 𝒔𝒆𝒈 (criterio del 5%)
e) Determinar el tiempo de crecimiento 𝒕 𝒓.
El tiempo de levantamiento 𝑡 𝑟, se obtiene con la siguiente fórmula:
𝒕 𝒓 =
𝝅 − 𝜷
𝝎 𝒅
Ya que,
𝜔 𝑑 = 𝜔 𝑛√1 − 𝜁2 ⇒ 𝜔 𝑑 = 1,225√1 − (0,612)2
⇒ 𝝎 𝒅 = 𝟎, 𝟗𝟔𝟗 𝒓𝒂𝒅/𝒔𝒆𝒈
sin 𝛽 =
𝜔 𝑛√1 − 𝜁2
𝜔 𝑛
⇒ 𝛽 = sin−1
(
𝜔 𝑑
𝜔 𝑛
) ⇒ 𝛽 = sin−1
(
0,969
1,225
)
⇒ 𝛽 = sin−1(0,791) ⇒ 𝜷 = 𝟓𝟐, 𝟐𝟖° = 𝟎, 𝟗𝟏𝟐 𝒓𝒂𝒅
También, se puede calcular 𝛽 de la siguiente manera:
tan 𝛽 =
𝜔 𝑑
𝜎
⇒ 𝛽 = tan−1
(
𝜔 𝑑
𝜁𝜔 𝑛
) ⇒ 𝛽 = tan−1
(
0,969
(0,612)(1,225)
)
⇒ 𝛽 = tan−1(1,2925) ⇒ 𝜷 = 𝟓𝟐, 𝟐𝟕𝟏° = 𝟎, 𝟗𝟏𝟐 𝒓𝒂𝒅
∴ 𝑡 𝑟 =
𝜋 − 𝛽
𝜔 𝑑
=
𝜋 − 0,912 𝑟𝑎𝑑
0,969 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
⇒ 𝒕 𝒓 = 𝟐, 𝟑 𝒔𝒆𝒈
f) Determinar el tiempo pico 𝒕 𝒑.
El tiempo pico 𝑡 𝑝, se obtiene con la siguiente fórmula:
𝑡 𝑝 =
𝜋
𝜔 𝑑
=
𝜋
0,969 𝑟𝑎𝑑/𝑠
⇒ 𝒕 𝒑 = 𝟑, 𝟐𝟒𝟐 𝒔𝒆𝒈

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Sistemas lineales invariantes en el tiempo
Sistemas lineales invariantes en el tiempoSistemas lineales invariantes en el tiempo
Sistemas lineales invariantes en el tiempoMari Colmenares
 
05 respuesta en el tiempo de un sistema de control
05   respuesta en el tiempo de un sistema de control05   respuesta en el tiempo de un sistema de control
05 respuesta en el tiempo de un sistema de controlreneej748999
 
Análisis de circuitos eléctricos teoría y practica 4ta Edición Allan Robbins...
Análisis de circuitos eléctricos teoría y practica  4ta Edición Allan Robbins...Análisis de circuitos eléctricos teoría y practica  4ta Edición Allan Robbins...
Análisis de circuitos eléctricos teoría y practica 4ta Edición Allan Robbins...SANTIAGO PABLO ALBERTO
 
Teoria de control analisis de la respuesta en frecuencia
Teoria de control analisis de la respuesta en frecuenciaTeoria de control analisis de la respuesta en frecuencia
Teoria de control analisis de la respuesta en frecuenciaBendryx Bello Bracho
 
Sistemas de primer orden, segundo orden y orden superior
Sistemas de primer orden,  segundo orden y orden superiorSistemas de primer orden,  segundo orden y orden superior
Sistemas de primer orden, segundo orden y orden superiorMichelleAlejandroLeo
 
Tabla laplace
Tabla laplaceTabla laplace
Tabla laplaceJORGE
 
G19 funcion de transferencia y diagrama de bode
G19 funcion de transferencia y diagrama de bodeG19 funcion de transferencia y diagrama de bode
G19 funcion de transferencia y diagrama de bodeRoslyn Cruz Castro
 
Teorema de Thevenin y Norton
Teorema de Thevenin y NortonTeorema de Thevenin y Norton
Teorema de Thevenin y NortonJesu Nuñez
 
Sistemas de primer orden
Sistemas de primer ordenSistemas de primer orden
Sistemas de primer ordenHenry Alvarado
 
Sistema control onoff
Sistema control onoffSistema control onoff
Sistema control onoffSalvador-UNSA
 
Definiciones de control
Definiciones de controlDefiniciones de control
Definiciones de controlPaolo Castillo
 
3 2 circuitos-disparo
3 2 circuitos-disparo3 2 circuitos-disparo
3 2 circuitos-disparoAxtridf Gs
 
Sistemas de control - aplicación metodo ipler
Sistemas de control - aplicación metodo iplerSistemas de control - aplicación metodo ipler
Sistemas de control - aplicación metodo iplerPabzar_33
 
Sistemas de control - teoría de control
Sistemas de control - teoría de controlSistemas de control - teoría de control
Sistemas de control - teoría de controlPierinaPandolfi
 

La actualidad más candente (20)

Sistemas lineales invariantes en el tiempo
Sistemas lineales invariantes en el tiempoSistemas lineales invariantes en el tiempo
Sistemas lineales invariantes en el tiempo
 
05 respuesta en el tiempo de un sistema de control
05   respuesta en el tiempo de un sistema de control05   respuesta en el tiempo de un sistema de control
05 respuesta en el tiempo de un sistema de control
 
Problemas de Regulación Automática
Problemas de Regulación AutomáticaProblemas de Regulación Automática
Problemas de Regulación Automática
 
Análisis de circuitos eléctricos teoría y practica 4ta Edición Allan Robbins...
Análisis de circuitos eléctricos teoría y practica  4ta Edición Allan Robbins...Análisis de circuitos eléctricos teoría y practica  4ta Edición Allan Robbins...
Análisis de circuitos eléctricos teoría y practica 4ta Edición Allan Robbins...
 
Teoria de control analisis de la respuesta en frecuencia
Teoria de control analisis de la respuesta en frecuenciaTeoria de control analisis de la respuesta en frecuencia
Teoria de control analisis de la respuesta en frecuencia
 
Sistemas de primer orden, segundo orden y orden superior
Sistemas de primer orden,  segundo orden y orden superiorSistemas de primer orden,  segundo orden y orden superior
Sistemas de primer orden, segundo orden y orden superior
 
Tabla laplace
Tabla laplaceTabla laplace
Tabla laplace
 
Sc capitulo5
Sc capitulo5Sc capitulo5
Sc capitulo5
 
G19 funcion de transferencia y diagrama de bode
G19 funcion de transferencia y diagrama de bodeG19 funcion de transferencia y diagrama de bode
G19 funcion de transferencia y diagrama de bode
 
Análisis de la respuesta del sistema
Análisis de la respuesta del sistemaAnálisis de la respuesta del sistema
Análisis de la respuesta del sistema
 
Teorema de Thevenin y Norton
Teorema de Thevenin y NortonTeorema de Thevenin y Norton
Teorema de Thevenin y Norton
 
Sesión 6: Teoría Básica de Transistores BJT
Sesión 6: Teoría Básica de Transistores BJTSesión 6: Teoría Básica de Transistores BJT
Sesión 6: Teoría Básica de Transistores BJT
 
Sistemas de primer orden
Sistemas de primer ordenSistemas de primer orden
Sistemas de primer orden
 
Sistema control onoff
Sistema control onoffSistema control onoff
Sistema control onoff
 
Definiciones de control
Definiciones de controlDefiniciones de control
Definiciones de control
 
3 2 circuitos-disparo
3 2 circuitos-disparo3 2 circuitos-disparo
3 2 circuitos-disparo
 
Sistemas de control - aplicación metodo ipler
Sistemas de control - aplicación metodo iplerSistemas de control - aplicación metodo ipler
Sistemas de control - aplicación metodo ipler
 
Compensacion de adelanto de fase
Compensacion  de adelanto de faseCompensacion  de adelanto de fase
Compensacion de adelanto de fase
 
Practica0,1,2,3,4
Practica0,1,2,3,4Practica0,1,2,3,4
Practica0,1,2,3,4
 
Sistemas de control - teoría de control
Sistemas de control - teoría de controlSistemas de control - teoría de control
Sistemas de control - teoría de control
 

Destacado

Grow Grow Grow Bigger
Grow Grow Grow BiggerGrow Grow Grow Bigger
Grow Grow Grow Biggermelarodriguez
 
Competencias indicadores conoc esenciales 1° 6°(1) (1)
Competencias indicadores conoc esenciales 1° 6°(1) (1)Competencias indicadores conoc esenciales 1° 6°(1) (1)
Competencias indicadores conoc esenciales 1° 6°(1) (1)Roselena Espinoza
 
Consultes amb múltiples taules utilitzant left, right i inner join. Funcionam...
Consultes amb múltiples taules utilitzant left, right i inner join. Funcionam...Consultes amb múltiples taules utilitzant left, right i inner join. Funcionam...
Consultes amb múltiples taules utilitzant left, right i inner join. Funcionam...Miquel Boada Artigas
 
BW11OkHlthAcademyHonorRoll
BW11OkHlthAcademyHonorRollBW11OkHlthAcademyHonorRoll
BW11OkHlthAcademyHonorRollRebecca Williams
 
tìm chỗ bán đồng hồ casio khuyến mãi 2014
tìm chỗ bán đồng hồ casio khuyến mãi 2014tìm chỗ bán đồng hồ casio khuyến mãi 2014
tìm chỗ bán đồng hồ casio khuyến mãi 2014elliot351
 
EDELNet cooperation: from summer school to network (MID2017)
EDELNet cooperation: from summer school to network (MID2017)EDELNet cooperation: from summer school to network (MID2017)
EDELNet cooperation: from summer school to network (MID2017)EADTU
 
Respuesta Transitoria (Ejercicios resueltos)
Respuesta Transitoria (Ejercicios resueltos)Respuesta Transitoria (Ejercicios resueltos)
Respuesta Transitoria (Ejercicios resueltos)johnkiki
 
Information Security Fall Semester 2016 - Course Wrap Up Summary
Information Security Fall Semester 2016 - Course Wrap Up SummaryInformation Security Fall Semester 2016 - Course Wrap Up Summary
Information Security Fall Semester 2016 - Course Wrap Up SummaryNicholas Davis
 
OECD-Wirtschaftsausblick Juni 2016
OECD-Wirtschaftsausblick Juni 2016OECD-Wirtschaftsausblick Juni 2016
OECD-Wirtschaftsausblick Juni 2016OECD Berlin Centre
 
SiddharthaMitra_resume_pdf
SiddharthaMitra_resume_pdfSiddharthaMitra_resume_pdf
SiddharthaMitra_resume_pdfSiddhartha Mitra
 
¿Entendían los romanos, en vivo y en directo, a Cicerón?
¿Entendían los romanos, en vivo y en directo, a Cicerón?¿Entendían los romanos, en vivo y en directo, a Cicerón?
¿Entendían los romanos, en vivo y en directo, a Cicerón?Ysmael Santana
 
Logica y argumentacion
Logica y argumentacionLogica y argumentacion
Logica y argumentacionOscar Arcila
 
Controladores y acciones de control
Controladores y acciones de controlControladores y acciones de control
Controladores y acciones de controljeickson sulbaran
 

Destacado (19)

Grow Grow Grow Bigger
Grow Grow Grow BiggerGrow Grow Grow Bigger
Grow Grow Grow Bigger
 
Competencias indicadores conoc esenciales 1° 6°(1) (1)
Competencias indicadores conoc esenciales 1° 6°(1) (1)Competencias indicadores conoc esenciales 1° 6°(1) (1)
Competencias indicadores conoc esenciales 1° 6°(1) (1)
 
Consultes amb múltiples taules utilitzant left, right i inner join. Funcionam...
Consultes amb múltiples taules utilitzant left, right i inner join. Funcionam...Consultes amb múltiples taules utilitzant left, right i inner join. Funcionam...
Consultes amb múltiples taules utilitzant left, right i inner join. Funcionam...
 
Variables y constantes
Variables y constantesVariables y constantes
Variables y constantes
 
BW5DeansList
BW5DeansListBW5DeansList
BW5DeansList
 
PROCESOS MENTALES
PROCESOS MENTALESPROCESOS MENTALES
PROCESOS MENTALES
 
ENCUESTA DE TICS
ENCUESTA DE TICS ENCUESTA DE TICS
ENCUESTA DE TICS
 
BW11OkHlthAcademyHonorRoll
BW11OkHlthAcademyHonorRollBW11OkHlthAcademyHonorRoll
BW11OkHlthAcademyHonorRoll
 
Expo gsus
Expo gsusExpo gsus
Expo gsus
 
tìm chỗ bán đồng hồ casio khuyến mãi 2014
tìm chỗ bán đồng hồ casio khuyến mãi 2014tìm chỗ bán đồng hồ casio khuyến mãi 2014
tìm chỗ bán đồng hồ casio khuyến mãi 2014
 
EDELNet cooperation: from summer school to network (MID2017)
EDELNet cooperation: from summer school to network (MID2017)EDELNet cooperation: from summer school to network (MID2017)
EDELNet cooperation: from summer school to network (MID2017)
 
Respuesta Transitoria (Ejercicios resueltos)
Respuesta Transitoria (Ejercicios resueltos)Respuesta Transitoria (Ejercicios resueltos)
Respuesta Transitoria (Ejercicios resueltos)
 
Information Security Fall Semester 2016 - Course Wrap Up Summary
Information Security Fall Semester 2016 - Course Wrap Up SummaryInformation Security Fall Semester 2016 - Course Wrap Up Summary
Information Security Fall Semester 2016 - Course Wrap Up Summary
 
OECD-Wirtschaftsausblick Juni 2016
OECD-Wirtschaftsausblick Juni 2016OECD-Wirtschaftsausblick Juni 2016
OECD-Wirtschaftsausblick Juni 2016
 
SiddharthaMitra_resume_pdf
SiddharthaMitra_resume_pdfSiddharthaMitra_resume_pdf
SiddharthaMitra_resume_pdf
 
¿Entendían los romanos, en vivo y en directo, a Cicerón?
¿Entendían los romanos, en vivo y en directo, a Cicerón?¿Entendían los romanos, en vivo y en directo, a Cicerón?
¿Entendían los romanos, en vivo y en directo, a Cicerón?
 
Logica y argumentacion
Logica y argumentacionLogica y argumentacion
Logica y argumentacion
 
Hel·lèniques: verbs 2
Hel·lèniques: verbs 2Hel·lèniques: verbs 2
Hel·lèniques: verbs 2
 
Controladores y acciones de control
Controladores y acciones de controlControladores y acciones de control
Controladores y acciones de control
 

Similar a Análisis de la respuesta transitoria. sistemas de segundo orden

Análisis de la respuesta transitoria. daniela tenia
Análisis de la respuesta transitoria. daniela teniaAnálisis de la respuesta transitoria. daniela tenia
Análisis de la respuesta transitoria. daniela teniaDaniela Tenia
 
Matematica daniel parra
Matematica daniel parraMatematica daniel parra
Matematica daniel parraDaniel Parra
 
formulario matematicas
formulario matematicasformulario matematicas
formulario matematicasJaime Arispe
 
Formulario Cálculo Integral, Derivación, Identidades Trigonométricas, Varias.
Formulario Cálculo Integral, Derivación, Identidades Trigonométricas, Varias.Formulario Cálculo Integral, Derivación, Identidades Trigonométricas, Varias.
Formulario Cálculo Integral, Derivación, Identidades Trigonométricas, Varias.Brayan Méndez
 
(3). lagrange 2019-1
(3). lagrange 2019-1(3). lagrange 2019-1
(3). lagrange 2019-1kevin cordova
 
Deducción ecuación movimiento armónico simple (MAS) Con función SENO
 Deducción ecuación movimiento armónico simple (MAS) Con función SENO Deducción ecuación movimiento armónico simple (MAS) Con función SENO
Deducción ecuación movimiento armónico simple (MAS) Con función SENOJuanJacoboGonzlezHer
 
PROBLEMAS PROPUESTOS DE FISICOQUÍMICA 2.pdf
PROBLEMAS PROPUESTOS DE FISICOQUÍMICA 2.pdfPROBLEMAS PROPUESTOS DE FISICOQUÍMICA 2.pdf
PROBLEMAS PROPUESTOS DE FISICOQUÍMICA 2.pdfjosewilderRamirezBar
 
DIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptx
DIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptxDIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptx
DIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptxJulioRodrguezBerroca1
 
Hiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 2.pptx
Hiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 2.pptxHiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 2.pptx
Hiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 2.pptxgabrielpujol59
 
Aporte individual paso3 dewis moreno
Aporte individual paso3 dewis morenoAporte individual paso3 dewis moreno
Aporte individual paso3 dewis morenoDewis Cotta
 
TIME RESPONSE OF SECOND ORDER SYSTEM USING MATLAB
TIME RESPONSE OF SECOND ORDER SYSTEM USING MATLABTIME RESPONSE OF SECOND ORDER SYSTEM USING MATLAB
TIME RESPONSE OF SECOND ORDER SYSTEM USING MATLABsanjay kumar pediredla
 

Similar a Análisis de la respuesta transitoria. sistemas de segundo orden (20)

Análisis de la respuesta transitoria. daniela tenia
Análisis de la respuesta transitoria. daniela teniaAnálisis de la respuesta transitoria. daniela tenia
Análisis de la respuesta transitoria. daniela tenia
 
Teoria de control
Teoria de controlTeoria de control
Teoria de control
 
Matematica daniel parra
Matematica daniel parraMatematica daniel parra
Matematica daniel parra
 
Ecuaciones diferenciales aplicadas a la cinetica quimica
Ecuaciones diferenciales aplicadas a  la cinetica quimicaEcuaciones diferenciales aplicadas a  la cinetica quimica
Ecuaciones diferenciales aplicadas a la cinetica quimica
 
Demostración e=mc2
Demostración e=mc2Demostración e=mc2
Demostración e=mc2
 
PROBLEMAS RESUELTOS DE CINÉTICA QUIMICA
PROBLEMAS RESUELTOS DE CINÉTICA QUIMICAPROBLEMAS RESUELTOS DE CINÉTICA QUIMICA
PROBLEMAS RESUELTOS DE CINÉTICA QUIMICA
 
formulario matematicas
formulario matematicasformulario matematicas
formulario matematicas
 
Formulario Cálculo Integral, Derivación, Identidades Trigonométricas, Varias.
Formulario Cálculo Integral, Derivación, Identidades Trigonométricas, Varias.Formulario Cálculo Integral, Derivación, Identidades Trigonométricas, Varias.
Formulario Cálculo Integral, Derivación, Identidades Trigonométricas, Varias.
 
(3). lagrange 2019-1
(3). lagrange 2019-1(3). lagrange 2019-1
(3). lagrange 2019-1
 
Deducción ecuación movimiento armónico simple (MAS) Con función SENO
 Deducción ecuación movimiento armónico simple (MAS) Con función SENO Deducción ecuación movimiento armónico simple (MAS) Con función SENO
Deducción ecuación movimiento armónico simple (MAS) Con función SENO
 
PROBLEMAS PROPUESTOS DE FISICOQUÍMICA 2.pdf
PROBLEMAS PROPUESTOS DE FISICOQUÍMICA 2.pdfPROBLEMAS PROPUESTOS DE FISICOQUÍMICA 2.pdf
PROBLEMAS PROPUESTOS DE FISICOQUÍMICA 2.pdf
 
Ejercicios de fenomenos de transporte bird
Ejercicios de fenomenos de transporte birdEjercicios de fenomenos de transporte bird
Ejercicios de fenomenos de transporte bird
 
DIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptx
DIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptxDIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptx
DIDCLTFCIMPROPIAS-octubre 23 2022-II-TELLO GODOY.pptx
 
metodo de trapecio.pdf
metodo de trapecio.pdfmetodo de trapecio.pdf
metodo de trapecio.pdf
 
Utilizando el-criterio-de-routh
Utilizando el-criterio-de-routhUtilizando el-criterio-de-routh
Utilizando el-criterio-de-routh
 
Hiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 2.pptx
Hiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 2.pptxHiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 2.pptx
Hiperestáticos - Método de las Fuerzas - Resolución Ejercicio N° 2.pptx
 
Aporte individual paso3 dewis moreno
Aporte individual paso3 dewis morenoAporte individual paso3 dewis moreno
Aporte individual paso3 dewis moreno
 
TIME RESPONSE OF SECOND ORDER SYSTEM USING MATLAB
TIME RESPONSE OF SECOND ORDER SYSTEM USING MATLABTIME RESPONSE OF SECOND ORDER SYSTEM USING MATLAB
TIME RESPONSE OF SECOND ORDER SYSTEM USING MATLAB
 
4ta de fisica.pdf
4ta de fisica.pdf4ta de fisica.pdf
4ta de fisica.pdf
 
Respuesta en el Tiempo.pptx
Respuesta en el Tiempo.pptxRespuesta en el Tiempo.pptx
Respuesta en el Tiempo.pptx
 

Último

Topografía 1 Nivelación y Carretera en la Ingenierías
Topografía 1 Nivelación y Carretera en la IngenieríasTopografía 1 Nivelación y Carretera en la Ingenierías
Topografía 1 Nivelación y Carretera en la IngenieríasSegundo Silva Maguiña
 
Tema 7 Plantas Industriales (2).pptx ingenieria
Tema 7 Plantas Industriales (2).pptx ingenieriaTema 7 Plantas Industriales (2).pptx ingenieria
Tema 7 Plantas Industriales (2).pptx ingenieriaLissetteMorejonLeon
 
Informe Mensual MARZO DE SUPERVISION.docx
Informe Mensual MARZO DE SUPERVISION.docxInforme Mensual MARZO DE SUPERVISION.docx
Informe Mensual MARZO DE SUPERVISION.docxTAKESHISAC
 
CONSTRUCCIONES II - SEMANA 01 - REGLAMENTO NACIONAL DE EDIFICACIONES.pdf
CONSTRUCCIONES II - SEMANA 01 - REGLAMENTO NACIONAL DE EDIFICACIONES.pdfCONSTRUCCIONES II - SEMANA 01 - REGLAMENTO NACIONAL DE EDIFICACIONES.pdf
CONSTRUCCIONES II - SEMANA 01 - REGLAMENTO NACIONAL DE EDIFICACIONES.pdfErikNivor
 
Trabajo en altura de acuerdo a la normativa peruana
Trabajo en altura de acuerdo a la normativa peruanaTrabajo en altura de acuerdo a la normativa peruana
Trabajo en altura de acuerdo a la normativa peruana5extraviado
 
I LINEAMIENTOS Y CRITERIOS DE INFRAESTRUCTURA DE RIEGO.pptx
I LINEAMIENTOS Y CRITERIOS DE INFRAESTRUCTURA DE RIEGO.pptxI LINEAMIENTOS Y CRITERIOS DE INFRAESTRUCTURA DE RIEGO.pptx
I LINEAMIENTOS Y CRITERIOS DE INFRAESTRUCTURA DE RIEGO.pptxPATRICIAKARIMESTELAL
 
Estudio de materiales asfalticos para utilizar en obras viales
Estudio de materiales asfalticos para utilizar en obras vialesEstudio de materiales asfalticos para utilizar en obras viales
Estudio de materiales asfalticos para utilizar en obras vialesRamonCortez4
 
Centro Integral del Transporte de Metro de Madrid (CIT). Premio COAM 2023
Centro Integral del Transporte de Metro de Madrid (CIT). Premio COAM 2023Centro Integral del Transporte de Metro de Madrid (CIT). Premio COAM 2023
Centro Integral del Transporte de Metro de Madrid (CIT). Premio COAM 2023ANDECE
 
JimyPomalaza vivienda rural huancavelica .pdf
JimyPomalaza vivienda rural huancavelica .pdfJimyPomalaza vivienda rural huancavelica .pdf
JimyPomalaza vivienda rural huancavelica .pdfJimyPomalaza
 
Revista estudiantil, trabajo final Materia ingeniería de Proyectos
Revista estudiantil, trabajo final Materia ingeniería de ProyectosRevista estudiantil, trabajo final Materia ingeniería de Proyectos
Revista estudiantil, trabajo final Materia ingeniería de ProyectosJeanCarlosLorenzo1
 
Descubrimiento de la penicilina en la segunda guerra mundial
Descubrimiento de la penicilina en la segunda guerra mundialDescubrimiento de la penicilina en la segunda guerra mundial
Descubrimiento de la penicilina en la segunda guerra mundialyajhairatapia
 
4.3 Subestaciones eléctricas componentes principales .pptx
4.3 Subestaciones eléctricas componentes principales .pptx4.3 Subestaciones eléctricas componentes principales .pptx
4.3 Subestaciones eléctricas componentes principales .pptxEfrain Yungan
 
1. Cap. 4 Carga Axial (1).pdf237374335347
1. Cap. 4 Carga Axial (1).pdf2373743353471. Cap. 4 Carga Axial (1).pdf237374335347
1. Cap. 4 Carga Axial (1).pdf237374335347vd110501
 
Proyecto de Base de Datos de César Guzmán
Proyecto de Base de Datos de César GuzmánProyecto de Base de Datos de César Guzmán
Proyecto de Base de Datos de César Guzmáncesarguzmansierra751
 
Introduccion-a-los-tipos-de-cemento (1).pdf
Introduccion-a-los-tipos-de-cemento (1).pdfIntroduccion-a-los-tipos-de-cemento (1).pdf
Introduccion-a-los-tipos-de-cemento (1).pdfjhorbycoralsanchez
 
3.3 Tipos de conexiones en los transformadores trifasicos.pdf
3.3 Tipos de conexiones en los transformadores trifasicos.pdf3.3 Tipos de conexiones en los transformadores trifasicos.pdf
3.3 Tipos de conexiones en los transformadores trifasicos.pdfRicardoRomeroUrbano
 
LIQUIDACION OBRAS PUBLICAS POR CONTRATA.pdf
LIQUIDACION OBRAS PUBLICAS  POR CONTRATA.pdfLIQUIDACION OBRAS PUBLICAS  POR CONTRATA.pdf
LIQUIDACION OBRAS PUBLICAS POR CONTRATA.pdfManuelVillarreal44
 
PLAN DE TRABAJO - CONTRATISTA CORIS.docx
PLAN DE TRABAJO - CONTRATISTA CORIS.docxPLAN DE TRABAJO - CONTRATISTA CORIS.docx
PLAN DE TRABAJO - CONTRATISTA CORIS.docxTAKESHISAC
 
594305198-OPCIONES-TARIFARIAS-Y-CONDICIONES-DE-APLICACION-DE-TARIFAS-A-USUARI...
594305198-OPCIONES-TARIFARIAS-Y-CONDICIONES-DE-APLICACION-DE-TARIFAS-A-USUARI...594305198-OPCIONES-TARIFARIAS-Y-CONDICIONES-DE-APLICACION-DE-TARIFAS-A-USUARI...
594305198-OPCIONES-TARIFARIAS-Y-CONDICIONES-DE-APLICACION-DE-TARIFAS-A-USUARI...humberto espejo
 

Último (20)

Topografía 1 Nivelación y Carretera en la Ingenierías
Topografía 1 Nivelación y Carretera en la IngenieríasTopografía 1 Nivelación y Carretera en la Ingenierías
Topografía 1 Nivelación y Carretera en la Ingenierías
 
Tema 7 Plantas Industriales (2).pptx ingenieria
Tema 7 Plantas Industriales (2).pptx ingenieriaTema 7 Plantas Industriales (2).pptx ingenieria
Tema 7 Plantas Industriales (2).pptx ingenieria
 
Informe Mensual MARZO DE SUPERVISION.docx
Informe Mensual MARZO DE SUPERVISION.docxInforme Mensual MARZO DE SUPERVISION.docx
Informe Mensual MARZO DE SUPERVISION.docx
 
CONSTRUCCIONES II - SEMANA 01 - REGLAMENTO NACIONAL DE EDIFICACIONES.pdf
CONSTRUCCIONES II - SEMANA 01 - REGLAMENTO NACIONAL DE EDIFICACIONES.pdfCONSTRUCCIONES II - SEMANA 01 - REGLAMENTO NACIONAL DE EDIFICACIONES.pdf
CONSTRUCCIONES II - SEMANA 01 - REGLAMENTO NACIONAL DE EDIFICACIONES.pdf
 
Trabajo en altura de acuerdo a la normativa peruana
Trabajo en altura de acuerdo a la normativa peruanaTrabajo en altura de acuerdo a la normativa peruana
Trabajo en altura de acuerdo a la normativa peruana
 
I LINEAMIENTOS Y CRITERIOS DE INFRAESTRUCTURA DE RIEGO.pptx
I LINEAMIENTOS Y CRITERIOS DE INFRAESTRUCTURA DE RIEGO.pptxI LINEAMIENTOS Y CRITERIOS DE INFRAESTRUCTURA DE RIEGO.pptx
I LINEAMIENTOS Y CRITERIOS DE INFRAESTRUCTURA DE RIEGO.pptx
 
Estudio de materiales asfalticos para utilizar en obras viales
Estudio de materiales asfalticos para utilizar en obras vialesEstudio de materiales asfalticos para utilizar en obras viales
Estudio de materiales asfalticos para utilizar en obras viales
 
presentación manipulación manual de cargas sunafil
presentación manipulación manual de cargas sunafilpresentación manipulación manual de cargas sunafil
presentación manipulación manual de cargas sunafil
 
Centro Integral del Transporte de Metro de Madrid (CIT). Premio COAM 2023
Centro Integral del Transporte de Metro de Madrid (CIT). Premio COAM 2023Centro Integral del Transporte de Metro de Madrid (CIT). Premio COAM 2023
Centro Integral del Transporte de Metro de Madrid (CIT). Premio COAM 2023
 
JimyPomalaza vivienda rural huancavelica .pdf
JimyPomalaza vivienda rural huancavelica .pdfJimyPomalaza vivienda rural huancavelica .pdf
JimyPomalaza vivienda rural huancavelica .pdf
 
Revista estudiantil, trabajo final Materia ingeniería de Proyectos
Revista estudiantil, trabajo final Materia ingeniería de ProyectosRevista estudiantil, trabajo final Materia ingeniería de Proyectos
Revista estudiantil, trabajo final Materia ingeniería de Proyectos
 
Descubrimiento de la penicilina en la segunda guerra mundial
Descubrimiento de la penicilina en la segunda guerra mundialDescubrimiento de la penicilina en la segunda guerra mundial
Descubrimiento de la penicilina en la segunda guerra mundial
 
4.3 Subestaciones eléctricas componentes principales .pptx
4.3 Subestaciones eléctricas componentes principales .pptx4.3 Subestaciones eléctricas componentes principales .pptx
4.3 Subestaciones eléctricas componentes principales .pptx
 
1. Cap. 4 Carga Axial (1).pdf237374335347
1. Cap. 4 Carga Axial (1).pdf2373743353471. Cap. 4 Carga Axial (1).pdf237374335347
1. Cap. 4 Carga Axial (1).pdf237374335347
 
Proyecto de Base de Datos de César Guzmán
Proyecto de Base de Datos de César GuzmánProyecto de Base de Datos de César Guzmán
Proyecto de Base de Datos de César Guzmán
 
Introduccion-a-los-tipos-de-cemento (1).pdf
Introduccion-a-los-tipos-de-cemento (1).pdfIntroduccion-a-los-tipos-de-cemento (1).pdf
Introduccion-a-los-tipos-de-cemento (1).pdf
 
3.3 Tipos de conexiones en los transformadores trifasicos.pdf
3.3 Tipos de conexiones en los transformadores trifasicos.pdf3.3 Tipos de conexiones en los transformadores trifasicos.pdf
3.3 Tipos de conexiones en los transformadores trifasicos.pdf
 
LIQUIDACION OBRAS PUBLICAS POR CONTRATA.pdf
LIQUIDACION OBRAS PUBLICAS  POR CONTRATA.pdfLIQUIDACION OBRAS PUBLICAS  POR CONTRATA.pdf
LIQUIDACION OBRAS PUBLICAS POR CONTRATA.pdf
 
PLAN DE TRABAJO - CONTRATISTA CORIS.docx
PLAN DE TRABAJO - CONTRATISTA CORIS.docxPLAN DE TRABAJO - CONTRATISTA CORIS.docx
PLAN DE TRABAJO - CONTRATISTA CORIS.docx
 
594305198-OPCIONES-TARIFARIAS-Y-CONDICIONES-DE-APLICACION-DE-TARIFAS-A-USUARI...
594305198-OPCIONES-TARIFARIAS-Y-CONDICIONES-DE-APLICACION-DE-TARIFAS-A-USUARI...594305198-OPCIONES-TARIFARIAS-Y-CONDICIONES-DE-APLICACION-DE-TARIFAS-A-USUARI...
594305198-OPCIONES-TARIFARIAS-Y-CONDICIONES-DE-APLICACION-DE-TARIFAS-A-USUARI...
 

Análisis de la respuesta transitoria. sistemas de segundo orden

  • 1. A Maturín, Febrero del 2017 REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO “SANTIAGO MARIÑO” ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA EXTENSIÓN MATURÍN ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TRANSITORIA. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN. Autor: Jeickson A. Sulbaran M. Tutora: Ing. Mariangela Pollonais
  • 2. 1. Obtenga el tiempo de levantamiento, el tiempo pico, el sobrepaso máximo y el tiempo de asentamiento. Se sabe que un sistema oscilatorio tiene la siguiente función de transferencia: 𝑮( 𝒔) = 𝝎 𝒏 𝟐 𝒔 𝟐 + 𝟐𝜻𝝎 𝒏 𝒔 + 𝝎 𝒏 𝟐 Suponga que existe un registro de una oscilación amortiguada, tal como aparece en la siguiente figura. Determine el factor de amortiguamiento relativo del sistema a partir de la gráfica. Figura 1: Oscilación amortiguada. Solución: Nota: Como se trata de una oscilación amortiguada, es decir, especificaciones de respuesta transitoria, éstas solo tienen sentido para los sistemas subamortiguados (𝟎 < 𝜻 < 𝟏). Figura 2: Sistema de segundo orden.
  • 3. Entonces, tomando en cuenta la función de transferencia en lazo cerrado: 𝑪( 𝒔) 𝑹(𝒔) = 𝝎 𝒏 𝟐 𝒔 𝟐 + 𝟐𝜻𝝎 𝒏 𝒔 + 𝝎 𝒏 𝟐 Cabe destacar que, se tomará en cuenta las siguientes ecuaciones, para determinar los siguientes parámetros de los ítems a) hasta la d). 𝒄( 𝒕) = 𝟏 − 𝒆−𝜻𝝎 𝒏 𝒕 (𝐜𝐨𝐬 𝝎 𝒅 𝒕 + 𝜻 √𝟏 − 𝜻 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝝎 𝒅 𝒕) ; 𝒕 ≥ 𝟎 … (𝟏) 𝒄( 𝒕) = 𝟏 − 𝒆−𝜻𝝎 𝒏 𝒕 √𝟏 − 𝜻 𝟐 𝐬𝐢𝐧 (𝝎 𝒅 𝒕 + 𝐭𝐚𝐧−𝟏 √𝟏 − 𝜻 𝟐 𝜻 ) ; 𝒕 ≥ 𝟎 … (𝟐) a) Determinar el tiempo de levantamiento 𝒕 𝒓. Considerando la ecuación (1) y suponiendo que 𝑐( 𝑡 𝑟) = 1, entonces: 𝑐( 𝑡 𝑟) = 1 = 1 − 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡 𝑟 (cos 𝜔 𝑑 𝑡 𝑟 + 𝜁 √1 − 𝜁2 sin 𝜔 𝑑 𝑡 𝑟) Como 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡 𝑟 ≠ 0, se obtiene la siguiente ecuación: cos 𝜔 𝑑 𝑡 𝑟 + 𝜁 √1 − 𝜁2 sin 𝜔 𝑑 𝑡 𝑟 = 0 Como 𝜔 𝑛 = √1 − 𝜁2 = 𝜔 𝑑 y 𝜁𝜔 𝑛 = 𝜎, se tiene:
  • 4. tan 𝜔 𝑑 𝑡 𝑟 = − √1 − 𝜁2 𝜁 ⇒ tan 𝜔 𝑑 𝑡 𝑟 = − 𝜔 𝑑 𝜎 ⇒ 𝜔 𝑑 𝑡 𝑟 = tan−1 ( 𝜔 𝑑 −𝜎 ) ⇒ 𝑡 𝑟 = 1 𝜔 𝑑 tan−1 ( 𝜔 𝑑 −𝜎 ) ⇒ 𝒕 𝒓 = 𝝅 − 𝜷 𝝎 𝒅 Donde, 𝛽 se define en la siguiente figura. Es evidente que para un valor pequeño 𝑡 𝑟, 𝜔 𝑑 debe ser grande. Figura 3: Definición del ángulo 𝛽. b) Determinar el tiempo pico 𝒕 𝒑. Considerando la ecuación (1), se obtiene el tiempo pico derivando 𝑐(𝑡) con respecto al tiempo, se tiene que: 𝑑𝑐 𝑑𝑡 = 𝜁𝜔 𝑛 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡 (cos 𝜔 𝑑 𝑡 + 𝜁 √1 − 𝜁2 sin 𝜔 𝑑 𝑡) + 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡 (𝜔 𝑑 sin 𝜔 𝑑 𝑡 − 𝜁𝜔 𝑑 √1 − 𝜁2 cos 𝜔 𝑑 𝑡)
  • 5. 𝑑𝑐 𝑑𝑡 = 𝜁𝜔 𝑛 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡 cos 𝜔 𝑑 𝑡 + 𝜁2 𝜔 𝑛 √1 − 𝜁2 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡 sin 𝜔 𝑑 𝑡 + 𝜔 𝑑 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡 sin 𝜔 𝑑 𝑡 − 𝜁𝜔 𝑑 √1 − 𝜁2 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡 cos 𝜔 𝑑 𝑡 Sabemos que: 𝜔 𝑑 = 𝜔 𝑛√1 − 𝜁2 ⇒ 𝜔 𝑛 = 𝜔 𝑑 √1 − 𝜁2 𝑑𝑐 𝑑𝑡 = 𝜁𝜔 𝑑 √1 − 𝜁2 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡 cos 𝜔 𝑑 𝑡 + 𝜁2 𝜔 𝑛 √1 − 𝜁2 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡 sin 𝜔 𝑑 𝑡 + 𝜔 𝑛√1 − 𝜁2 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡 sin 𝜔 𝑑 𝑡 − 𝜁𝜔 𝑑 √1 − 𝜁2 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡 cos 𝜔 𝑑 𝑡 𝑑𝑐 𝑑𝑡 = 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡 sin 𝜔 𝑑 𝑡 ( 𝜁2 𝜔 𝑛 √1 − 𝜁2 + 𝜔 𝑛√1 − 𝜁2) 𝑑𝑐 𝑑𝑡 = 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡 sin 𝜔 𝑑 𝑡 ( 𝜁2 𝜔 𝑛 + 𝜔 𝑛 − 𝜁2 𝜔 𝑛 √1 − 𝜁2 ) 𝑑𝑐 𝑑𝑡 = 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡 sin 𝜔 𝑑 𝑡 ( 𝜔 𝑛 √1 − 𝜁2 ) Igualamos a cero y evaluamos la derivada en 𝑡 = 𝑡 𝑝, tenemos que: 𝑑𝑐 𝑑𝑡 | 𝑡=𝑡 𝑝 = 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡 𝑝 sin 𝜔 𝑑 𝑡 𝑝 ( 𝜔 𝑛 √1 − 𝜁2 ) = 0 Luego, se obtiene que: sin 𝜔 𝑑 𝑡 𝑝 = 0
  • 6. O bien: 𝜔 𝑑 𝑡 𝑝 = 0, 𝜋, 2𝜋, 3𝜋, … Como el tiempo pico corresponde al primer pico sobrepaso máximo, 𝜔 𝑑 𝑡 𝑝 = 𝜋 ⇒ 𝒕 𝒑 = 𝝅 𝝎 𝒅 El tiempo pico 𝑡 𝑝 corresponde a medio ciclo de la frecuencia de oscilación amortiguada. c) Determinar el sobrepaso máximo 𝑴 𝒑. Ésta se presenta en el tiempo pico o en 𝑡 = 𝑡 𝑝 = 𝜋 𝜔 𝑑⁄ . Por tanto, considerando la ecuación (1), 𝑀 𝑝 se obtiene como: 𝑀 𝑝 = 𝑐(𝑡 𝑝) − 1 𝑀 𝑝 = 1 − 𝑒−𝜁𝜔 𝑛(𝜋 𝜔 𝑑⁄ ) (cos 𝜔 𝑑( 𝜋 𝜔 𝑑⁄ ) + 𝜁 √1 − 𝜁2 sin 𝜔 𝑑( 𝜋 𝜔 𝑑⁄ )) − 1 𝑀 𝑝 = −𝑒−(𝜎 𝜔 𝑑⁄ )𝜋 (cos 𝜋 + 𝜁 √1 − 𝜁2 sin 𝜋) = −𝑒−(𝜎 𝜔 𝑑⁄ )𝜋 (−1 + 𝜁 √1 − 𝜁2 . (0)) ∴ 𝑴 𝒑 = 𝒆−(𝝈 𝝎 𝒅⁄ )𝝅 = 𝒆 −(𝜻 √𝟏−𝜻 𝟐⁄ )𝝅 El porcentaje del sobrepaso máximo es: 𝒆−(𝝈 𝝎 𝒅⁄ )𝝅 𝒙 𝟏𝟎𝟎 %. Si el valor final 𝑐(∞) de la salida no es la unidad, entonces se necesita utilizar la ecuación siguiente:
  • 7. ∴ 𝑴 𝒑 = 𝒄(𝒕 𝒑) − 𝒄(∞) 𝒄(∞) d) Determinar el tiempo de asentamiento 𝒕 𝒔. Para un sistema subamortiguado de segundo orden, la respuesta transitoria se obtiene a partir de la ecuación (2): 𝑐( 𝑡) = 1 − 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡 √1 − 𝜁2 𝑠𝑖𝑛 (𝜔 𝑑 𝑡 + 𝑡𝑎𝑛−1 √1 − 𝜁2 𝜁 ) ; 𝑡 ≥ 0 Las curvas: 1 ± 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡 √1 − 𝜁2 Son las curvas envolventes de la respuesta transitoria para una entrada escalón unitario. La curva de respuesta 𝑐(𝑡) siempre permanece dentro de un par de curvas envolventes, como se aprecia en la figura. Figura 4: Par de curvas envolventes para la curva de respuesta a escalón unitario del sistema de segundo orden mostrado en la Figura 2.
  • 8. La constante de tiempo de estas curvas envolventes es: 1 𝜁𝜔 𝑛 ⁄ El tiempo de asentamiento que corresponde a una banda de tolerancia de ±2% o ±5% se mide en función de la constante de tiempo: 𝑻 = 𝟏 𝜻𝝎 𝒏 Por lo general, se define el tiempo de asentamiento 𝑡 𝑠 como: ∴ 𝒕 𝒔 = 𝟒𝑻 = 𝟒 𝝈 = 𝟒 𝜻𝝎 𝒏 (𝐜𝐫𝐢𝐭𝐞𝐫𝐢𝐨 𝐝𝐞𝐥 𝟐%) ∴ 𝒕 𝒔 = 𝟑𝑻 = 𝟑 𝝈 = 𝟑 𝜻𝝎 𝒏 (𝐜𝐫𝐢𝐭𝐞𝐫𝐢𝐨 𝐝𝐞𝐥 𝟓%) e) Determinar el factor de amortiguamiento relativo 𝜻. La razón de amplitud por un periodo de oscilación amortiguada es: 𝑥1 𝑥2 = 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡1 𝑒−𝜁𝜔 𝑛(𝑡1+𝑇) = 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡1 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑡1. 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑇 = 1 𝑒−𝜁𝜔 𝑛 𝑇 = 𝑒 𝜁𝜔 𝑛 𝑇 ⇒ 𝑥1 𝑥2 = 𝑒 𝜁𝜔 𝑛 𝑇 Observe que es necesario escoger 𝑛 lo suficientemente grande para que la razón o bien 𝑥1/𝑥 𝑛 no sea cercano a la unidad. Entonces: 𝑥1 𝑥 𝑛 = 1 𝑒−𝜁𝜔 𝑛(𝑛−1)𝑇 = 𝑒 𝜁𝜔 𝑛(𝑛−1)𝑇 ⇒ 𝑥1 𝑥 𝑛 = 𝑒 𝜁𝜔 𝑛(𝑛−1)𝑇 Por tanto, el logaritmo decremental 𝛿 es:
  • 9. 𝛿 = ln | 𝑥1 𝑥2 | = 1 𝑛 − 1 ln | 𝑥1 𝑥 𝑛 | ⇒ 𝛿 = 𝜁𝜔 𝑛 𝑇 = 𝜁𝜔 𝑛. ( 2𝜋 𝜔 𝑑 ) ⇒ 𝛿 = 𝜁𝜔 𝑛. 2𝜋 𝜔 𝑛√1 − 𝜁2 ⇒ 𝛿 = 2𝜋𝜁 √1 − 𝜁2 Se define: 1 𝑛 − 1 ln | 𝑥1 𝑥 𝑛 | = 2𝜋𝜁 √1 − 𝜁2 = ∆ Luego, elevando al cuadrado ambos miembros y despejando para obtener el factor de amortiguamiento relativo (𝜻) se tiene que: ∆2 = 4𝜋2 𝜁2 1 − 𝜁2 ⇒ ∆2(1 − 𝜁2) = 4𝜋2 𝜁2 ⇒ ∆2 = 4𝜋2 𝜁2 + ∆2 𝜁2 ⇒ ∆2 = (4𝜋2 + ∆2 )𝜁2 ⇒ 𝜁2 = ∆2 4𝜋2 + ∆2 ⇒ 𝜁 = ∆ √4𝜋2 + ∆2 ⇒ 𝜁 = ( 1 𝑛−1 ) ln | 𝑥1 𝑥 𝑛 | √4𝜋2 + [( 1 𝑛−1 ) ln | 𝑥1 𝑥 𝑛 |] 2 ⇒ 𝜻 = ( 𝟏 𝒏−𝟏 ) 𝐥𝐧 | 𝒙 𝟏 𝒙 𝒏 | √ 𝟒𝝅 𝟐 + ( 𝟏 𝒏−𝟏 ) 𝟐 (𝐥𝐧 | 𝒙 𝟏 𝒙 𝒏 |) 𝟐
  • 10. 2. Considere el sistema de la Figura 5. Determine el valor de 𝑘 de modo que el factor de amortiguamiento relativo 𝜁 sea 0,5. Después obtenga el tiempo de levantamiento 𝑡 𝑟, el tiempo pico 𝑡 𝑝, el sobrepaso máximo 𝑀 𝑝, y el tiempo de asentamiento 𝑡 𝑠, en la respuesta escalón unitario. Figura 5: Diagrama de bloques de un sistema. Solución: Aplicamos “Retroalimentación Negativa”, tenemos que: 16 𝑠 + 0,8 1 𝑠 𝑅(𝑠) 𝐶(𝑠) + − + − 𝑘 16 𝑠+0,8 1 + 16𝑘 𝑠+0,8 1 𝑠 𝑅(𝑠) 𝐶(𝑠) + − 16 𝑠 + 0,8 + 16𝑘 1 𝑠 𝑅(𝑠) 𝐶(𝑠) + −
  • 11. Ahora, utilizamos “Combinación de Bloques en Cascada”, se tiene que: Luego, aplicamos “Retroalimentación Negativa”, tenemos que: Por tanto, 𝑪(𝒔) 𝑹(𝒔) = 𝟏𝟔 𝒔 𝟐 + ( 𝟎, 𝟖 + 𝟏𝟔𝒌) 𝒔 + 𝟏𝟔 = 𝟒 𝟐 𝒔 𝟐 + ( 𝟎, 𝟖 + 𝟏𝟔𝒌) 𝒔 + 𝟒 𝟐 Igualando coeficientes entre esta ecuación y la ecuación general, es decir, con las características del polinomio, encontramos que: 16 𝑠2 + (0,8 + 16𝑘) 𝑠 𝑅(𝑠) 𝐶(𝑠) + − 16 𝑠2 + (0,8 + 16𝑘) 𝑠 + 16 𝑅(𝑠) 𝐶(𝑠) 16 𝑠2+(0,8+16𝑘)𝑠 1 + 16 𝑠2+(0,8+16𝑘)𝑠 𝑅(𝑠) 𝐶(𝑠)
  • 12. 𝑮( 𝒔) = 𝟒 𝟐 𝒔 𝟐 + ( 𝟎, 𝟖 + 𝟏𝟔𝒌) 𝒔 + 𝟒 𝟐 = 𝝎 𝒏 𝟐 𝒔 𝟐 + 𝟐𝜻𝝎 𝒏 𝒔 + 𝝎 𝒏 𝟐 𝝎 𝒏 = 𝟒 Por el enunciado del ejercicio, sabemos que: 𝜻 = 𝟎, 𝟓 por lo que es un sistema subamortiguado (𝟎 < 𝜻 < 𝟏). a) Determinar el valor de 𝒌. 2𝜁𝜔 𝑛 = 0,8 + 16𝑘 ⇒ 2(0,5)(4) = 0,8 + 16𝑘 ⇒ 4 = 0,8 + 16𝑘 ⇒ 4 − 0,8 = 16𝑘 ⇒ 3,2 16 = 𝑘 ⇒ 𝒌 = 𝟎, 𝟐 b) Determinar el tiempo de levantamiento 𝒕 𝒓. El tiempo de levantamiento 𝑡 𝑟, se obtiene con la siguiente fórmula: 𝒕 𝒓 = 𝝅 − 𝜷 𝝎 𝒅 Ya que, 𝜔 𝑑 = 𝜔 𝑛√1 − 𝜁2 ⇒ 𝜔 𝑑 = 4√1 − (0,5)2 = 4√1 − 0,25 ⇒ 𝜔 𝑑 = 4√0,75 ⇒ 𝝎 𝒅 = 𝟑, 𝟒𝟔𝟒𝟏 𝒓𝒂𝒅/𝒔𝒆𝒈 sin 𝛽 = 𝜔 𝑛√1 − 𝜁2 𝜔 𝑛 ⇒ 𝛽 = sin−1 ( 𝜔 𝑑 𝜔 𝑛 ) ⇒ 𝛽 = sin−1 ( 3,4641 4 ) ⇒ 𝛽 = sin−1(0,866) ⇒ 𝜷 = 𝟔𝟎° = 𝝅 𝟑
  • 13. También, se puede calcular 𝛽 de la siguiente manera: tan 𝛽 = 𝜔 𝑑 𝜎 ⇒ 𝛽 = tan−1 ( 𝜔 𝑑 𝜁𝜔 𝑛 ) ⇒ 𝛽 = tan−1 ( 3,4641 (0,5)(4) ) ⇒ 𝛽 = tan−1(1,73205) ⇒ 𝜷 = 𝟓𝟗, 𝟗𝟗𝟗 ≈ 𝟔𝟎° = 𝝅 𝟑 ∴ 𝑡 𝑟 = 𝜋 − 𝛽 𝜔 𝑑 = 𝜋 − 𝜋 3 3,4641 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 ⇒ 𝒕 𝒓 = 𝟎, 𝟔𝟎𝟔 𝒔𝒆𝒈 c) Determinar el tiempo pico 𝒕 𝒑. El tiempo pico 𝑡 𝑝, se obtiene con la siguiente fórmula: 𝑡 𝑝 = 𝜋 𝜔 𝑑 = 𝜋 3,4641 𝑟𝑎𝑑/𝑠 ⇒ 𝒕 𝒑 = 𝟎, 𝟗𝟎𝟕 𝒔𝒆𝒈 d) Determinar el sobrepaso máximo 𝑴 𝒑. El sobrepaso máximo 𝑀 𝑝, se obtiene con la siguiente fórmula: 𝑀 𝑝 = 𝑒 −( 𝜎 𝜔 𝑑 )𝜋 = 𝑒 −( 𝜁𝜋 √1−𝜁2 ) ⇒ 𝑀 𝑝 = 𝑒 −[ (0,5)𝜋 √1−(0,5)2 ] ⇒ 𝑀 𝑝 = 𝑒 −[ (0,5)𝜋 √1−0,25 ] = 𝑒−1,814 ⇒ 𝑴 𝒑 = 𝟎, 𝟏𝟔𝟑 El porcentaje del sobrepaso máximo es: 𝒆 −( 𝝈 𝝎 𝒅 )𝝅 𝒙 𝟏𝟎𝟎 % = 𝟏𝟔, 𝟑 %
  • 14. e) Determinar el tiempo de asentamiento 𝒕 𝒔. El tiempo asentamiento 𝑡 𝑠, se obtiene dependiendo del criterio: 𝑡 𝑠 = 4 𝜎 ⇒ 𝑡 𝑠 = 4 𝜁𝜔 𝑛 = 4 (0,5)(4) ⇒ 𝒕 𝒔 = 𝟐 𝒔𝒆𝒈 (criterio del 2%) 𝑡 𝑠 = 3 𝜎 ⇒ 𝑡 𝑠 = 3 𝜁𝜔 𝑛 = 3 (0,5)(4) ⇒ 𝒕 𝒔 = 𝟏, 𝟓 𝒔𝒆𝒈 (criterio del 5%) 3. Obtenga analíticamente la frecuencia natural 𝜔 𝑛, factor de amortiguamiento 𝜁, sobrepaso máximo 𝑀 𝑝, tiempo de asentamiento 𝑡 𝑠 y tiempo de crecimiento 𝑡 𝑟 del siguiente sistema, suponga que 𝐻 = 1. Posteriormente verifique los resultados obtenidos con MATLAB. Utilizamos “Combinación de Bloques en Cascada”, y sustituyendo 𝐻 = 1, se tiene que: 2 2𝑠 + 1 1 𝑠 + 1 𝑋(𝑠) 𝑌(𝑠) + − 𝐻 2 2𝑠2 + 2𝑠 + 𝑠 + 1 𝑋(𝑠) 𝑌(𝑠) + − 1
  • 15. Luego, aplicamos “Retroalimentación Negativa”, tenemos que: ∴ 𝒀(𝒔) 𝑿(𝒔) = 𝟏 𝒔 𝟐 + 𝟏, 𝟓 𝒔 + 𝟏, 𝟓 = 𝟏 𝒔 𝟐 + 𝟏, 𝟓 𝒔 + (√𝟏, 𝟓) 𝟐 Igualando coeficientes entre esta ecuación y la ecuación general, es decir, con las características del polinomio, encontramos que: 𝑮( 𝒔) = 𝟏 𝒔 𝟐 + 𝟏, 𝟓 𝒔 + (√𝟏, 𝟓) 𝟐 = 𝑲𝝎 𝒏 𝟐 𝒔 𝟐 + 𝟐𝜻𝝎 𝒏 𝒔 + 𝝎 𝒏 𝟐 Donde, 𝐾 es la ganancia estática del sistema. 2 2𝑠2 + 3𝑠 + 3 𝑋(𝑠) 𝑌(𝑠) 2 2𝑠2+3𝑠+1 1 + 2 2𝑠2+3𝑠+1 𝑋(𝑠) 𝑌(𝑠) 2 2(𝑠2 + 3/2 𝑠 + 3/2) 𝑋(𝑠) 𝑌(𝑠) 1 𝑠2 + 1,5 𝑠 + 1,5 𝑋(𝑠) 𝑌(𝑠)
  • 16. a) Determinar la frecuencia natural 𝝎 𝒏. ∴ 𝝎 𝒏 = √𝟏, 𝟓 𝒓𝒂𝒅/𝒔𝒆𝒈 ≈ 𝟏, 𝟐𝟐𝟓 𝒓𝒂𝒅/𝒔𝒆𝒈 𝐾𝜔 𝑛 2 = 1 ⇒ 𝐾 = 1 𝜔 𝑛 2 ⇒ 𝐾 = 1 1,5 ⇒ 𝑲 = 𝟐 𝟑 ≈ 𝟎, 𝟔𝟕 b) Determinar el factor de amortiguamiento 𝜻. El factor de amortiguamiento 𝜁, se obtiene con la siguiente fórmula: 2𝜁𝜔 𝑛 = 1,5 ⇒ 𝜁 = 1,5 2𝜔 𝑛 ⇒ 𝜁 = 1,5 2(1,225) ⇒ 𝜻 ≈ 𝟎, 𝟔𝟏𝟐 ∴ Es un sistema subamortiguado. c) Determinar el sobrepaso máximo 𝑴 𝒑. El sobrepaso máximo 𝑀 𝑝, se obtiene con la siguiente fórmula: 𝑀 𝑝 = 𝑒 −( 𝜎 𝜔 𝑑 )𝜋 = 𝑒 −( 𝜁𝜋 √1−𝜁2 ) ⇒ 𝑀 𝑝 = 𝑒 −[ (0,612)𝜋 √1−(0,612)2 ] ⇒ 𝑀 𝑝 = 𝑒−2,4311 ⇒ 𝑴 𝒑 = 𝟎, 𝟎𝟖𝟕𝟗 El porcentaje del sobrepaso máximo es: 𝒆 −( 𝝈 𝝎 𝒅 )𝝅 𝒙 𝟏𝟎𝟎 % = 𝟖, 𝟕𝟗 % Este es el valor de la ganancia estática.
  • 17. d) Determinar el tiempo de asentamiento 𝒕 𝒔. El tiempo asentamiento 𝑡 𝑠, se obtiene dependiendo del criterio: 𝑡 𝑠 = 4 𝜎 ⇒ 𝑡 𝑠 = 4 𝜁𝜔 𝑛 = 4 (0,612)(1,225) ⇒ 𝒕 𝒔 = 𝟓, 𝟑𝟑𝟓 𝒔𝒆𝒈 (criterio del 2%) 𝑡 𝑠 = 3 𝜎 ⇒ 𝑡 𝑠 = 3 𝜁𝜔 𝑛 = 3 (0,612)(1,225) ⇒ 𝒕 𝒔 = 𝟒, 𝟎𝟎𝟐 𝒔𝒆𝒈 (criterio del 5%) e) Determinar el tiempo de crecimiento 𝒕 𝒓. El tiempo de levantamiento 𝑡 𝑟, se obtiene con la siguiente fórmula: 𝒕 𝒓 = 𝝅 − 𝜷 𝝎 𝒅 Ya que, 𝜔 𝑑 = 𝜔 𝑛√1 − 𝜁2 ⇒ 𝜔 𝑑 = 1,225√1 − (0,612)2 ⇒ 𝝎 𝒅 = 𝟎, 𝟗𝟔𝟗 𝒓𝒂𝒅/𝒔𝒆𝒈 sin 𝛽 = 𝜔 𝑛√1 − 𝜁2 𝜔 𝑛 ⇒ 𝛽 = sin−1 ( 𝜔 𝑑 𝜔 𝑛 ) ⇒ 𝛽 = sin−1 ( 0,969 1,225 ) ⇒ 𝛽 = sin−1(0,791) ⇒ 𝜷 = 𝟓𝟐, 𝟐𝟖° = 𝟎, 𝟗𝟏𝟐 𝒓𝒂𝒅 También, se puede calcular 𝛽 de la siguiente manera: tan 𝛽 = 𝜔 𝑑 𝜎 ⇒ 𝛽 = tan−1 ( 𝜔 𝑑 𝜁𝜔 𝑛 ) ⇒ 𝛽 = tan−1 ( 0,969 (0,612)(1,225) ) ⇒ 𝛽 = tan−1(1,2925) ⇒ 𝜷 = 𝟓𝟐, 𝟐𝟕𝟏° = 𝟎, 𝟗𝟏𝟐 𝒓𝒂𝒅
  • 18. ∴ 𝑡 𝑟 = 𝜋 − 𝛽 𝜔 𝑑 = 𝜋 − 0,912 𝑟𝑎𝑑 0,969 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 ⇒ 𝒕 𝒓 = 𝟐, 𝟑 𝒔𝒆𝒈 f) Determinar el tiempo pico 𝒕 𝒑. El tiempo pico 𝑡 𝑝, se obtiene con la siguiente fórmula: 𝑡 𝑝 = 𝜋 𝜔 𝑑 = 𝜋 0,969 𝑟𝑎𝑑/𝑠 ⇒ 𝒕 𝒑 = 𝟑, 𝟐𝟒𝟐 𝒔𝒆𝒈