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Mcd y mcm(propiedades)

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MÁXIMO COMÚN DIVISOR
PROPIEDADES
MCD(A, B, C) = d
Se cumple:
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀(
𝐴𝐴
𝑛𝑛
;
𝐵𝐵
𝑛𝑛
;
𝐶𝐶
𝑛𝑛
) =
𝑑𝑑
𝑛𝑛
MCD(An; Bn; Cn) = dn
Ejemplo
MCD(20, 10, 30) = 10 x MCD(2; 1; 3)
MCD(20; 10; 30) = 10
MCD(0,5,; 0,2) = MCD(5/10 ; 2/10)
MCD(0,5; 0,2) = 1/10 x MCD(5 ; 2)
MCD(0,5; 0,2) = 1/10 = 0,1
MCD(A; B; E; F) = MCD [A; MCD(B; E; F)]
Donde:
M = MCD(A; B) ; N = MCD (E; F)
También
MCD(A; B; E; F) = MCD (M; N)
Ejemplo
1. MCD(A; B) = 36
MCD(B;C) = 54
Hallar el MCD de A, B y C
Resolución
MCD(A; B; B; C)=MCD(36;54)
MCD(A; B; C)=18
2. MCD(5A; 7B) = 30
MCD(7A; 5B) = 210
Hallar MCD(A,B)
Resolución
MCD(5A; 7A; 7B; 5B) = MCD(30; 210)
MCD[5 x MCD(A,B); 7 x MCD(A,B)] = 30
MCD[(A,B) x MCD(5,7)] = 30
MCD(A,B ) = 30
MCD(A, B, C) = d
𝐴𝐴
𝑑𝑑
= 𝑝𝑝
𝐵𝐵
𝑑𝑑
= q
𝐶𝐶
𝑑𝑑
= 𝑟𝑟
A= p x d B= q x d B= r x d
A, B y C son múltiplos de d
p, q, r  PESI
Para 2 números A y B
A B
q1 q2
PESI
MCD
𝐴𝐴
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
= 𝑞𝑞1
𝐵𝐵
𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀
= 𝑞𝑞2
q1, q2 son PESI

A = MCD x q1
B = MCD x q2
MCD (A; B; C) = PMCD(m; n; r) -1
Dados los números A, B, C
A = Pm – 1
B = Pn – 1
C = Pr - 1

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  • 2. MÁXIMO COMÚN DIVISOR PROPIEDADES MCD(A, B, C) = d Se cumple: 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀( 𝐴𝐴 𝑛𝑛 ; 𝐵𝐵 𝑛𝑛 ; 𝐶𝐶 𝑛𝑛 ) = 𝑑𝑑 𝑛𝑛 MCD(An; Bn; Cn) = dn Ejemplo MCD(20, 10, 30) = 10 x MCD(2; 1; 3) MCD(20; 10; 30) = 10 MCD(0,5,; 0,2) = MCD(5/10 ; 2/10) MCD(0,5; 0,2) = 1/10 x MCD(5 ; 2) MCD(0,5; 0,2) = 1/10 = 0,1
  • 3. MCD(A; B; E; F) = MCD [A; MCD(B; E; F)] Donde: M = MCD(A; B) ; N = MCD (E; F) También MCD(A; B; E; F) = MCD (M; N) Ejemplo 1. MCD(A; B) = 36 MCD(B;C) = 54 Hallar el MCD de A, B y C Resolución MCD(A; B; B; C)=MCD(36;54) MCD(A; B; C)=18
  • 4. 2. MCD(5A; 7B) = 30 MCD(7A; 5B) = 210 Hallar MCD(A,B) Resolución MCD(5A; 7A; 7B; 5B) = MCD(30; 210) MCD[5 x MCD(A,B); 7 x MCD(A,B)] = 30 MCD[(A,B) x MCD(5,7)] = 30 MCD(A,B ) = 30
  • 5. MCD(A, B, C) = d 𝐴𝐴 𝑑𝑑 = 𝑝𝑝 𝐵𝐵 𝑑𝑑 = q 𝐶𝐶 𝑑𝑑 = 𝑟𝑟 A= p x d B= q x d B= r x d A, B y C son múltiplos de d p, q, r  PESI Para 2 números A y B A B q1 q2 PESI MCD 𝐴𝐴 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑞𝑞1 𝐵𝐵 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 = 𝑞𝑞2 q1, q2 son PESI  A = MCD x q1 B = MCD x q2
  • 6. MCD (A; B; C) = PMCD(m; n; r) -1 Dados los números A, B, C A = Pm – 1 B = Pn – 1 C = Pr - 1
  • 7. MINIMO COMÚN MÚLTIPLO PROPIEDADES 𝑀𝑀𝑀𝑀M( 𝐴𝐴 𝑛𝑛 ; 𝐵𝐵 𝑛𝑛 ; 𝐶𝐶 𝑛𝑛 ) = 1 𝑛𝑛 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥(𝐴𝐴; 𝐵𝐵; 𝐶𝐶) MCM(An; Bn; Cn) = n x MCM (A; B; C) Donde: M = MCM(A; B) ; N = MCM (C; D) MCM(A; B; C; D) = MCM (M; N) Para 2 números A y B A B q1 q2 PESI MCDd A = MCD x q1 B = MCD x q2 MCM = MCD x q1 x q2 A x B = MCD x MCM
  • 9. APLICACIONES 1. María le dice a Rosa, el MCM de nuestras edades es el doble de mi edad y el MCD de nuestras edades es la tercera parte de mi edad. Si yo nací 24 años antes que tú, ¿cuál es mi edad? (UNFV – 2006) a) 24 b) 72 c) 36 d) 60 e) 42 Resolución
  • 10. 2. Si la suma de 2 números es 48 y MCD es 6, halle la mayor diferencia positiva de tales números. a) 12 b) 20 c) 24 d) 32 e) 36 Resolución
  • 11. 3. La suma de dos números es 48. Si el producto del máximo común divisor con el mínimo común múltiplo es 540. Calcular la razón entre el menor y el mayor.(UNMSM – 2008 - II) a) 2/5 b) 3/5 c) 1/2 d) 3/4 e) 1/3 Resolución
  • 12. 4. Hallar el mayor factor común a los números: (6550 - 1) ; (6252 - 1) y (6312 - 1) A) 5 B) 11 C) 23 D) 31 E) 35 Resolución