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Los K-Maps y las operaciones Xor

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Existen patrones de simplificación en los mapas de Karnaugh que permiten la aplicación inmediata de operaciones XOR, esta técnica había sido olvidada en el tiempo, pero está volviendo a tomar fuerza.

Publicado en: Educación, Tecnología
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Los K-Maps y las operaciones Xor

  1. 1. Artículo Periódico Sede Bogotá Sur 1 Los K-Maps y las operaciones Xor Jorge Eduardo Santos Moreno Tabla 2. RESUMEN A B A*B Conjunción o multiplicación F F F lógica F V F Existen patrones de simplificación en los mapas de Karnaugh A*B V F Fque permiten la aplicación inmediata de operaciones XOR, esta V V Vtécnica había sido olvidada en el tiempo, pero está volviendo atomar fuerza. Con una disyunción: Palabras Clave—Mapas de Karnaugh, K-maps, simplificación A+B= El grupo Nule fue un contratista de obras civiles obooleana, actuó con honestidad. Tabla 3. I. INTRODUCCIÓN A B A+B Disyunción o suma F F F lógica F V VE l algebra booleana es la rama de la matemática que estudia las operaciones lógicas que se hacencotidianamente, al encadenar afirmaciones que tienen A+B V V F V V Vimplícito un valor de verdad, es decir, que son ciertas o falsas.Un ejemplo de la actual será el operar los siguientes juicios. Existe una operación que permite comparar valores de verdad y expresar si son diferentes, se llama Exclusividad, conocidaA=El grupo Nule fue un contratista de obras civiles. también como XOR.B=El grupo Nule actuó con honestidad Tabla 4. Constituyentes usados en 1 m3 de concreto. P Q P QEl lector podrá hacerse su opinión sobre los juicios Exclusividadpresentados, sin embargo la forma en que estos se combinen F F F PQ PQ =pueden cambiar las cosas, por ejemplo: F V V P Q V F VCon una negación: V V FA’= El grupo Nule no fue un contratista de obras civiles.En este caso el lector encontrará dos posibles valores de Los nuevos juicios obtenidos luego de una operación lógica,verdad, de acuerdo al juicio inicial, así la tabla de verdad de la tienen un valor de verdad propio, de forma que se puedeoperación será inferir, que el combinar juicios verdaderos y falsos es lo que permite de manera ordenada valorar si un conjunto de ideas Tabla 1. han sido correctamente relacionadas para que se entiendan A A’ como lógicamente ciertas. F V Negación o Es una estrategia, que es usada en todas las áreas del inversión V F conocimiento, no solamente en la electrónica y la computación, sino en cualquier reflexión epistemológica, sin embargo también puede darse el caso que se concatenen ideasCon una Conjunción: innecesarias, que lo que hacen es alargar el proceso deA*B= El grupo Nule fue un contratista de obras civiles y actuó razonamiento lógico, lo que conlleva a que sea necesariocon honestidad. simplificar. Artículo entregado el 13 de abril de 2011. El autor es docente deTecnología Electrónica en la Corporación Universitaria Minuto de Dios. Jorge Eduardo Santos Moreno: profesoreduardosantos@gmail.com
  2. 2. Artículo Periódico Sede Bogotá Sur 2 II. MAPA DE KARNAUGH El grupo rojo relaciona cuatro términos simplificables entre si, mientras que el verde agrupa 2. La simplificación consisteMapa de Karnaugh, o K-Map es un método gráfico para en representar cada grupo por medio solo de las variables quesimplificar expresiones de algebra booleana, fue creado a mantienen su estado de negación o afirmación, dentro delmediados del siglo pasado por el matemático Maurice mismo, de forma que cada grupo genera un término. Así:Karnaugh, y consiste en una tabla que permite representarvalores lógicos, derivados de una tabla de verdad, o una R=BD+A’BC’expresión de algebra booleana. Puede verse una notable simplicidad comparado con laPor ejemplo si se tiene la expresión: forma inicial.R=A’BC’D’+ A’BC’D+ A’BCD + ABC’D+ ABCDLos cuatro juicios A, B, C y D, que componen la idea R están III. EL MAPA DE KARNAUGH Y LAS OPERACIONES XORrepetidos muchas veces, se hace muy enredado operarlos todos El procedimiento visto anteriormente no simplifica en todospara encontrar R. los casos. Como los de las siguientes tablas: Tabla 7. La diagonal R=Simplificar usando un Mapa de Karnaugh es necesario haceruna tabla que tenga 2n casillas, siendo n la cantidad de juicios, C’D’ C’D CD CD’en el caso del ejemplo son cuatro, las filas y las columnas seorganizan de forma que cada casilla represente una A’B’ Vcombinación posible de las variables negándose, de forma quese ubique un V si esa combinación está presente en la A’B Vexpresión a simplificar por lo que el mapa es como la tabla 5. AB Tabla 5. AB’ C’D’ C’D CD CD’ A’B’ Tabla 8. La doble diagonal en línea R= A’B V V V C’D’ C’D CD CD’ AB V V A’B’ V V AB’ A’B V VEl hecho que entre dos casillas seguidas solo cambie una ABvariable de estado de negación, es necesario para lasimplificación. AB’Luego de construirse el mapa, se hacen grupos de verdaderos Tabla 9. La doble diagonal opuesta R=(V) que tengan 1, 2, 4, 8, 16 miembros, es decir potencias de2, dado que solo hay dos estados, falso o verdadero. Y que C’D’ C’D CD CD’cumplan la condición de estén a la misma distancia de una delas líneas del mapa. De forma que los grupos se verían así: A’B’ V Tabla 6. A’B V C’D’ C’D CD CD’ AB V A’B’ AB’ V A’B V V V Tabla 10. Verdaderos no adyacentes. R= AB V V C’D’ C’D CD CD’ AB’ A’B’
  3. 3. Artículo Periódico Sede Bogotá Sur 3 REFERENCIAS A’B [1] Tinder, R.F. “Multilevel logic minimization using K-map XOR patterns” en, IEEE Transactions on Education, Vol 38 ed 4 ,Nov AB V V [2] Tinder, R.F. “Engineering Digital Design” Cap 5, 2 Ed, Elsevier Science 2000. AB’ [3] Cheng-Wen Wu, Lab for Reliable Computing (LaRC), EE, NTHU 2005 Disponible en: http://larc.ee.nthu.edu.tw/~cww/n/228/04.pdf Cada una de las anteriores tablas responden a patrones deoperaciones de exclusividad, que rara vez aparecen en labibliografía y que actualmente con el diseño electrónicodigital a gran escala han tomado nuevamente fuerza gracias aTinder (1995). Estos se pueden combinar con la forma convencional desimplificación de Karnaugh, por ejemplo como en lassiguientes tablas: Tabla 11. Grupos diagonales R= C’D’ C’D CD CD’ A’B’ V A’B V AB V AB’ V Tabla 12. Grupos diagonales R= C’D’ C’D CD CD’ A’B’ A’B V V AB AB’ V V IV. APLICACIONES ACTUALES Tinder (1995). En su Artículo propone la utilización deestos mapas en el cálculo multinivel de expresiones lógicas,que es una técnica de simplificación que se aplica cuando elproblema tiene más de cuatro variables, y consiste enencontrar operaciones comunes o repetitivas dentro delproblema para realizarlas una sola vez, cosa que minimiza yagiliza los procesos. Particularmente en electrónica permiteque en una FPGA, puedan implementarse mayor cantidad deoperaciones en el mismo espacio, utilizando menos móduloslógicos. V. CONCLUSIÓN El mapa de Karnaugh es un método de simplificaciónbooleana muy sencillo, que permite la obtención de todas lasexpresiones booleanas.

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