8. 8
Error e incertidumbre I
Muchas veces se cometen errores al medir.
Debemos corregirlos o al menos estimarlos
Xmedido
DX Xreal
DX
9. 9
Error e incertidumbre II
Xmedido
DX Xreal
DX
Error = Xreal –Xmedido
Xreal (Xmedido -DX, Xmedido +DX)
10. 10
Nivel de Confianza
DX depende de lo seguros que queramos estar
Nivel de confianza = fracción de las veces que
quiero acertar. 99%, 95%...
Xmedido
DX Xreal
DX
11. 11
Tipos de medidas
Medidas directas
Medidas indirectas
Las anoto de un instrumento
L1, L2
Provienen de aplicar
operaciones a medidas
directas
A = L1 x L2
L1
L2
12. 12
Tipos de errores
Medidas directas
Medidas indirectas
• Sistemáticos
• Aleatorios
• Derivados de los anteriores
13. 13
Errores sistemáticos
Errores sistemáticos
Limitaciones de los aparatos o métodos
• Precisión
• Calibración
73
1
0
72 Pesada inicial
Pesada en “vacio”
Recalibración
Pesada corregida
14. 14
Errores aleatorios I
Factores que perturban nuestra medida.
• Suma de muchas causas
• Tienden a ser simétricos.
• Se compensan parcialmente.
• Repetir las medidas.
• Estadística
medidas
Xreal
15. 15
Errores aleatorios II
Distribuciones
Representamos la frecuencia de sucesos aleatorios.
Tienden a curvas típicas
Xreal
x x
x
x
x x
x
x
x
x
x x
17. 17
Partes de una medida II
Al medir una mesa podemos obtener
125 ± 17 cm
valor
±incertidumbre
Presentación
unidades
18. 18
Tipos de errores
Medidas directas
Medidas indirectas
• Sistemáticos
• Aleatorios
• Derivados de los anteriores
19. 19
Cómo estimar el resultado
Frente a errores sistemáticos.
Frente a errores aleatorios.
• Medir correctamente
• Calibrar los aparatos
• Se compensan repetir varias veces la medida
• La media es el valor más probable
n
i
i
n
X
X
1
20. 20
Ejemplo
Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
Día L M X J V
Masa
(kg)
73 72 74 72 73
kg
M 8
,
72
5
)
73
72
74
72
73
(
+
+
+
+
21. 21
Incertidumbre
Incertidumbre: Estimación del error no corregible
1. Incertidumbre factores sistemáticos: ES1,ES2...
Destaca la de precisión
2. Incertidumbre factores aleatorios: EA
1. Absoluta: DX
2. Relativa:
X r
X
E
X
D
% 100
X r
X
E en
X
D
Se suele descomponer para medidas directas en:
Se suele expresar como:
22. 22
1. Incertidumbre de precisión Es
En casos sencillos la estimaremos como:
La mitad de la (una) división menor de la escala
Ej: Balanza
No hay reglas sencillas para estimarla
Ej: Cronómetros
Incertidumbre en medidas directas
A veces depende del experimentador
No es fácil definir su intervalo de confianza
23. 23
Para n medidas
n
n
n
t
EA
1
1
-
-
s = Desviación
típica de las
medidas
Desviación típica
de la media
Factor de cobertura
t de Student
Incertidumbre en medidas directas
2. Incertidumbre Aleatoria EA
24. 24
(
( ( ( 1
2
2
1
3
4
5
4
4
4
3
1
2
2
2
1
2
2
1
2
-
-
+
-
+
-
-
-
-
n
x
x
s
n
i
i
n
3
2
3
5
4
3
-
+
-
+
-
x
x
x
s 0
3
)
5
(
)
4
(
)
3
(
-
+
-
+
-
x
x
x
s
( ( (
3
2
3
5
4
3
2
2
2
2
-
+
-
+
-
x
x
x
s
4
Xreal
3 5
4
X
¿Medir la separación con respecto al valor real ?
No conocemos el valor real
¿Medir la separación con respecto al valor medio ?
¿Cómo?
Incertidumbre en medidas directas
S: dispersión de los datos
2. Incertidumbre Aleatoria EA
25. 25
Es la distancia del valor real a la que estará más
probablemente un nuevo dato
cte
s n
Tiene las mismas unidades que el resultado
Incertidumbre en medidas directas
S: Propiedades
2. Incertidumbre Aleatoria EA
26. 26
SI hicieramos muchos grupos de n medidas...
La media es más precisa que cualquier dato, los errores
aleatorios se compensan
Pero despacio ....
Los errores de precisión no se compensan
n
s
sX
Incertidumbre en medidas directas
Dispersión de la media
2. Incertidumbre Aleatoria EA
27. 27
Si a es el nivel de confianza a 0,95
p=0.05.
Ya tenemos y pero el intervalo... es pequeño
y conlleva un nivel de confianza variable 4 multiplicamos por un
factor corrector.
X X
s X
s
X
D
n
t
1 1 1
(1 ) ( )
n n n
t t t p
a
- - -
-
Incertidumbre en medidas directas
Factor de cobertura: t de Student
2. Incertidumbre Aleatoria EA
Para pocas medidas s= n-1 se estima mal y el factor es mayor
para compensar.
¿Quien fue Student ?
29. 30
Día L M X J V
Masa (kg) 73 72 74 72 73
kg
M 8
,
72
( ( ( ( (
1
5
8
,
72
73
8
,
72
72
8
,
72
74
8
,
72
72
8
,
72
73
2
2
2
2
2
1
-
-
+
-
+
-
+
-
+
-
-
n
kg
n 837
,
0
1
-
78
,
2
4
1
- t
tn
1 1
4
0,837
2,78 1,04
5 5
n n
A n
E t t kg
n
- -
Incertidumbre en medidas directas
Ejemplo: Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
2. Incertidumbre Aleatoria EA
30. 31
Combinaremos las incertidumbres en cuadratura:
2
2
S
A E
E
X +
D
A
S
A
S
A
S
A
S
A
S
A
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
E
+
+
+
2
2
2
2
,
,
Incertidumbre en medidas directas
3. Incertidumbre Total
Propiedades
32. 33
Día L M X J V
Masa (kg) 73 72 74 72 73
kg
M 8
,
72
1,04
A
E kg
kg
ES 5
0,
2 2
1,04 0,5 1,154
M kg
D +
(
72,8 1,154
M kg
Presentación
incorrecta !
Resumen medidas directas
Ejemplo: Me peso varios días seguidos en iguales condiciones
34. 35
Partes de una medida II
Al medir una mesa podemos obtener
125 ± 17 cm
valor
±incertidumbre
Presentación
unidades
35. 36
Tipos de medidas
Medidas directas
Medidas indirectas
Las anoto de un instrumento
L1, L2
Provienen de aplicar
operaciones a medidas
directas
A = L1 x L2
L1
L2
36. 37
Tipos de errores
Medidas directas
Medidas indirectas
• Sistemáticos
• Aleatorios
• Derivados de los anteriores
37. 38
Dependen de otras mediantes expresiones
matemáticas
Area de un cuadrado = (Lado)2
A = L2
L = 5 1 cm A 25 cm2 , DA ¿?
L
dL
dA
A
L
A
L
dL
dA
D
D
D
D
D
0
lim
Incertidumbre en medidas indirectas
1. Medidas indirectas
Recordando derivadas...
38. 39
Significado DA, DL
Válido si DL pequeño
L
L
A
L
dL
dA
D
D
2
2
DL
DL
L
L
Incertidumbre en medidas indirectas
2. Incertidumbres para 1 variable
Interpretación geométrica
39. 40
Area de un rectángulo
A = L1 x L2
L1 conocido perfectamente
2
1
1
2
L
L
A
L
dL
dA
D
D
DL2
DL2
L1
L2
L1
Incertidumbre en medidas indirectas
3. Incertidumbres para 2 variables
Y si L1, ,L2 inciertos ?
40. 41
Errores independientes se
compensan parcialmente
?
1
2
2
1 L
L
L
L
A D
+
D
D
DL1 x DL2
L1 x DL2
L2 x DL1
L2
L1
( ( 2
2
2
2
1 L
L
L
L
A D
+
D
D
Incertidumbre en medidas indirectas
3. Incertidumbres para 2 variables
41. 42
(
,
, 2
1 X
X
f
Y
+
D
+
D
D
2
2
2
2
1
1
X
X
Y
X
X
Y
Y
Derivada parcial de Y respecto a X1
Incertidumbre en medidas indirectas
4. Incertidumbres para varias variables
42. 43
1
X
Y
Como varía Y si varía sólo X1
(
,
, 2
1 X
X
f
Y
EJEMPLOS
z
x
y 4
3 +
3
2
z
x
y
V
M
h
r
V 2
Incertidumbre en medidas indirectas
5. Derivadas parciales
43. 44
2
1 X
X
Y
( ( 2
2
2
1 X
X
Y D
+
D
D
X
c
Y
X
c
Y D
D
2
1 X
X
Y
2
2
2
2
1
1
D
+
D
D
X
X
X
X
Y
Y
2
1
X
X
Y
n
X
Y X
X
n
Y
Y
D
D
Incertidumbre en medidas indirectas
5. Derivadas parciales: casos simples
44. 49
Ejemplo (casi) completo I
n0 1 2 3 4 5
M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una
esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su
densidad.
V
M
1
2
3
45. 50
g
E
E
M A
S 282
0
2
2
.
+
D
g
ES 05
.
0
g
g
EA 278
0
5
224
0
78
2 .
.
.
Ejemplo (casi) completo II
n0 1 2 3 4 5
M (g) 14.3 14.5 14.7 14.4 14.1
Usando una balanza (con precisión de 50 mg) se mide 5
veces la masa de una esfera de radio r = 1.0 0.1 cm.
Se pide calcular su densidad.
g
M 400
.
14
g
M 282
0
400
14 .
.
46. 51
Ejemplo (casi) completo III
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una
esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su
densidad.
3
3
4
r
V
r
r
r
r
V
V D
D
D 2
2
4
3
3
,
1
2
,
4 cm
V
0.3 3
V
V r
V r
D D
47. 52
Ejemplo (casi) completo IV
Usando una balanza se mide 5 veces la masa de una
esfera de radio r = 1.0 0.1 cm. Se pide calcular su
densidad.
?
0335
,
1
4377
,
3 3
cm
g
V
M
2
2
D
+
D
D
V
V
M
M
48. 53
Indice
Medidas.
Unidades.
Cálculo de incertidumbres.
Presentación de resultados.
Redondeos.
Comparación de resultados.
Otras herramientas.
Ejercicios
49. 54
1. NO tengo tanta precisión en D como
pretendo
2. ¿ Si tengo una incertidumbre de
unidades...Por qué doy diezmilésimas en ?
Presentación de resultados
Los resultados se presentan redondeados
?
0335
,
1
4377
,
3 3
cm
g
3
)
0
,
1
4
,
3
(
cm
g
?
0
,
1
4377
,
3 3
cm
g
50. 55
Cifras significativas
Cifras significativas
Todas salvo los ceros a la izquierda
Sobreviven a un cambio de notación
Ejemplos:
c.s.
3
0,670
c.s
2
0,67
c.s.
3
670
c.s.
2
67
s.
c.
3
10
123
c.s.
3
0,123
c.s.
3
10
123
c.s.
3
123
3
-
3
51. 56
Reglas (arbitrarias) de Redondeo
La incertidumbre se expresa con 2 cifras significativas.
El valor se expresa con tantos decimales como la
incertidumbre.
Valor e incertidumbre se expresan con las mismas
unidades y potencia de 10.
Redondeamos al número más cercano
Intentamos que el valor sea un número sencillo,
normalmente entre 1 y 10
52. 57
Ejemplos de Redondeo I
( 1,2564 ± 0,1 ) m ( 1,3 ± 0,1 ) m
( 1,2438 ± 0,168 ) m ( 1,24 ± 0,17) m
( 1,52 108 ± 21,68 106 ) km (1,52 ± 0,22) 108 km
(1,52 ± 0,22) 1011 m
( 60506079 ± 89451 ) m ( 605,06 ± 0,89) 105 m
( 6,0506 ± 0,0089) 107 m
53. 58
Indice
Medidas.
Unidades.
Cálculo de incertidumbres.
Presentación de resultados.
Redondeos.
Comparación de resultados.
Otros tipos de medidas.
Ejercicios
55. 60
Comparación de resultados
Compatibilidad de medidas
Ejemplo: Dos medidas de una mesa dan
( 100 ± 5 ) cm
( 90 ± 10 ) cm
Son compatibles ?
56. 61
Error relativo
Muy útil en comentarios
Muy útil para estimar si los resultados son coherentes
Definición:
Adimensional
2 cifras significativas
Ejemplo:
100 ± 25 → δ = 0.25 → incertidumbre del 25%
X
X
D
57. 62
Comparación de resultados
Resultados compatibles
Resultado más preciso.
Review of particle properties (PDG). Phys. Rev. D 45 Part II (1992) I.11
58. 63
Indice
Medidas.
Unidades.
Cálculo de incertidumbres.
Presentación de resultados / comparación.
Otras herramientas.
Media ponderada.
Interpolación.
Herramientas de cálculo
Regresión lineal.
Ejercicios
59. 64
Media ponderada I
Varias medidas
Diferentes instrumentos y/o diferentes métodos
Errores aleatorios
2
2
1
1
X
X
X
X
D
D
( (
( ( 2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
X
X
X
X
X
X
Y
D
+
D
D
+
D
60. 65
Media ponderada II
( (
( ( 2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
1
1
X
X
X
X
X
X
Y
D
+
D
D
+
D
( ( 2
2
2
1
1
1
1
X
X
Y
D
+
D
D
Ejemplo: Dos medidas de una mesa dan
( 100 ± 5 ) cm
( 90 ± 10 ) cm
¿ Cuanto mide ?
61. 66
Media ponderada III
Ejemplo: Dos medidas de una mesa dan
( 100 ± 5 ) cm
( 90 ± 10 ) cm
L = (98,0 ± 4,5) cm
Es un valor intermedio
Más cerca del más preciso
Incertidumbre reducida
63. 68
Interpolación lineal I
Objetivo: obtener la
dependencia lineal
entre dos puntos de
valores conocidos.
Método:
Ecuación de la recta que
pasa por dos puntos
Incertidumbre asociada
64. 69
b
x
a
y +
b
x
a
y
b
x
a
y
n
n
n
n
+
+
+
+ 1
1 n
n
n
n
n
n
x
m
y
b
x
x
y
y
a
-
-
-
+
+
1
1
(
n
n x
x
a
y
y -
+
int
int int int
y a x
D D
Si despreciamos el error en los datos de la tabla ...
Interpolación lineal II
65. 70
Interpolación lineal III
4 3 0
15 10
15 10
1.2·
10 /
a g cm C
T T
-
-
-
-
( 3
12 10 12 10 0.99946 /
a T T g cm
+ -
4 3
12 12 1.2·
10 /
a T g cm
-
D D
Calcular la densidad del agua a (12 ± 1 ) °C
Densidad del agua destilada en función de la temperatura
T(º C) (g/cm3 )
0 0,9998
5 1,0000
10 0,9997
15 0,9991
20 0,9982
3
12 0.99946 0.00012 /
g cm
66. 71
Otras herramientas
Media ponderada
Interpolación lineal
Herramientas de cálculo:
Calculadora
Hojas de calculo: Excel, OpenOffice, etc.
Regresión lineal
72. 77
Objetivo: Suponiendo que dos variables siguen
una relación lineal: obtener parámetros de la recta
m y c que mejor la representan, y sus
incertidumbres Δm y Δc
Hipótesis:
Fijamos una variable y medimos otra “x” sin
incertidumbre, las incertidumbres de las “y” todas
iguales.
¿ Cuál es la mejor recta ? Mínimos cuadrados
Regresión Lineal III
74. 79
Hipótesis:
Existe una variable independiente (podemos darle los
valores que queramos), X y otra dependiente Y cuyo
valor nos da el experimento.
X sin incertidumbre, las incertidumbres de Y son
iguales en todas las medidas.
La relación entre X e Y es lineal o se puede hacer
lineal manipulando las fórmulas.
¿ Cuál es la mejor recta ? Mínimos cuadrados
Regresión Lineal II
75. 80
Mínimos cuadrados:
Para cada punto calculamos la distancia del punto a la recta en la
dirección del eje y di
Sumamos las distancias al cuadrado
La mejor recta es la que minimiza la suma S
Regresión Lineal III
(
)
( c
x
m
y
d i
i
i +
-
(
+
-
n
i
i
i
n
i
i c
x
m
y
d
S
1
2
1
2
)
(
77. 82
¿ Cómo minimizo la suma ?:
S depende de la pendiente y c.
En el cálculo en varias variables se verá que para que
S sea mínimo es necesario que:
Operando obtenemos las fórmulas del guión
Regresión Lineal V
(
c
m
S
S ,
0
0
c
S
m
S
78. 83
Pasos:
Identificar la variable independiente y la dependiente.
Linealizar la fórmula.
Transformar los datos
Aplicar las fórmulas y calcular m y c
Calcular las incertidumbres
Comprobar el coeficiente de correlación r
Regresión Lineal VI
79. 84
Métodos:
Fórmulas de apuntes
Calculadora (incertidumbres?)
Programas de ordenador: Excel…
Regresión Lineal IV
80. 85
Ejemplo
Un coche viaja de Madrid a Barcelona, cada cierto tiempo el
piloto mira el cuentakilómetros y apunta la lectura, obteniendo la
siguiente tabla. Calcúlese la velocidad media.
Tiempo (min) Posición
00 514
20 550
40 590
60 627
80 670
81. 86
Resolución
Y
X
n
Y
X
E i
n
i
i -
1
2
1
2
X
n
X
D
i
n
i
i -
7780
2
.
590
40
5
125820
-
E
4000
40
40
5
12000
-
D
min
945
.
1
4000
7780 km
D
E
m
83. 88
Resolución
X
m
Y
c -
km
c 512
40
945
.
1
2
.
590
-
( 2
1
2
2
233
.
4
3
7
.
12
2
1
km
c
mX
Y
n
s
n
i
i
i
res
-
-
-
2
2
2
min
001058
.
0
4000
233
.
4
km
D
s
s res
m
2
2
2
2
54
.
2
4000
40
*
40
5
1
233
.
4
1
km
D
X
n
s
s res
c
+
+
85. 90
Herramientas II: Hoja de cálculo
Práctica: Dejamos caer un cuerpo desde
una cierta altura y medimos la distancia
recorrida y el tiempo empleado.
2
2
1
gt
s