Descomposición en Landscapes Elementales del Problema de Diseño de Redes de Radio

1 / 25MAEB 2015, Mérida, España, 4-6 de Febrero
Introducción Fundamentos Problema RND Aplicaciones Conclusiones
Descomposición en Landscapes Elementales
del Problema de Diseño de Redes de Radio
con Aplicaciones
Francisco Chicano, Franco Arito y Enrique Alba

• La teoría de landscapes es una herramienta para analizar problemas de
optimización
• Tiene aplicaciones en Química, Física, Biología y Optimización combinatoria
• Idea: estudiar el espacio de búsqueda para obtener información para
• Comprender mejor el problema
• Predecir el rendimiento de los algoritmos
• Mejorar los algoritmos de búsqueda
Teoría de Landscapes

• Un landscape es un tupla (X,N, f) donde
Ø X es el espacio de solución
Ø N es el vecindario
Ø f es la función objetivo
Definición de landscape
Definición de landscape Landscape elemental Descomposición de landscapes
El par (X,N) se denomina
espacio de configuración
s0
s4
s7
s6
s2
s1
s8
s9
s5
s32
0
3
5
1
2
4
0
7
6
• El vecindario es una función
N: X →P(X)
• La solución y es vecina de x si y Î N(x)
• Vecindario regular y simétrico
• d=|N(x)| " x Î X
• y Î N(x) Û x Î N(y)
• Función objetivo
f: X →R (o N, Z, Q)

• Una función elemental es un autovector de la Laplaciana (más constante)
• Matriz Laplaciana:
• Función elemental: autovector de Δ (más constante)
Landscape elemental: definición formal
s0
s4
s7
s6
s2
s1
s8
s9
s5
s3
Matriz de adyacencia Matriz de grado
Depende del espacio de
configuración
Autovalor

• Un landscape elemental es un landscape en el que
donde
• Ecuación de onda de Grover
Relación lineal
Constante característica: k= - λ
Dependen del
problema/instancia
def
Landscape elemental: caracterizaciones
def

Problema Vecindario d k
TSP simétrico
2-opt n(n-3)/2 n-1
intercambio n(n-1)/2 2(n-1)
TSP antisimétrico
inversiones n(n-1)/2 n(n+1)/2
intercambio n(n-1)/2 2n
Coloreado de grafos recoloreado 1 v. (α-1)n 2α
Graph Matching intercambio n(n-1)/2 2(n-1)
Graph Bipartitioning grafo de Johnson n2/4 2(n-1)
NAES bit-flip n 4
Max Cut bit-flip n 4
Weight Partition bit-flip n 4
Landscape elemental: ejemplos

• ¿Qué pasa si el landscape no es elemental?
• Cualquier landscape se puede escribir como suma de landscapes elementales
• Existe un conjunto de autofunciones de Δ que forman una base del espacio de
funciones (base de Fourier)
Descomposición de landscapes
X X X
e1
e2
Funciones elementales
(de la base de Fourier)
Función NO elemental
f Componentes
elementales de f
f < e1,f > e1 < e2,f > e2
< e2,f > e2
< e1,f > e1

Problema Vecindario d Componentes
TSP general (asimétrico)
inversiones n(n-1)/2 2
intercambio n(n-1)/2 2
QAP intercambio n(n-1)/2 3
MAX k-SAT bit-flip n k
NK-landscapes bit-flip n k+1
Radio Network Design bit-flip n
num. máx. de
antenas
alcanzables
Frequency Assignment cambio 1 frecuencia (α-1)n 2
Subset Sum Problem bit-flip n 2
Descomposición de landscapes: ejemplos

Diseño de una Red de Radio
• El problema consiste en decidir dónde colocar las antenas de una red
• Se persigue:
• Minimizar el número de antenas
• Maximizar la cobertura
s proposiciones establecen una
suma de funciones de Walsh y los
matrices de Krawtchouk, y serán de
go poder realizar la descomposición
Diseño de Redes de Radio.
(ver [7]) Sea t 2 Bn
una cadena bi-
n. Se cumple la identidad:
t
w(x) = K
(|t|)
r,|x^t| . (20)
ea t 2 Bn
una cadena binaria y 0 
e la siguiente identidad:
|w|
w(x) = ( 1)r
K
(|t|)
r,|x^t| . (21)
ón: El resultado se sigue de (20) al
w| = r es constante en el sumatorio.
de Diseño de Redes de Radio
e Diseño de Redes de Radio (RND,
Design) se puede definir como un
V ecinos(M , E) = {u 2 L| 9v 2 M , (u, v) 2 E
Esta definición pone de manifiesto que el proble
RND es un problema bi-objetivo. Los objeti
son minimizar el número de antenas y maximiza
cobertura. En lo que sigue utilizaremos la siguie
nomenclatura para referirnos a las funciones ob
tivo:
• antenas(x): es el número de antenas utilizadas
la solución x,
• cobertura(x): es el valor del área (o localizacion
cubierta por la disposicion de antenas en x.
Calcular el valor de antenas(x) es simpleme
contar el número de unos presentes en la soluc
es decir:
antenas(x) =
nX
i=1
xi . (
En la formulación discreta el valor de cobertura
es simplemente:
cobertura(x) = |V ecinos(M0
, E)| . (
cobertura(x) = area
0
B
@
n[
i=1
xi=1
Ri
1
C
A
xi es 1 si hay una antena
en la i-ésima posición y
0 en caso contrario
Definición del problema Descomposición en landscapes elementales

• La función objetivo antenas(x) es elemental por ser lineal
• La cobertura puede escribirse:
• donde
• Solo los primeros k+1 componentes elementales podrían ser no nulos, donde
k es el número máximo de antenas que cubren un punto geográfico
• Por tanto, el número de componentes elementales es k como mucho
ELD del problema
}
↵(I)
Y
i2I
xi
i(x)
2
i(x)) . (31)
mos escribir:
|
Y
j2W
j(x)
w(x) , (32)
=
k=1
1
2 I✓{1,...,n}
|I|=k
↵(I)K
(|I|)
p,|xÎ|
=
X
I✓{1,...,n}
I6=;
✓
1
2
◆|I|
↵(I)K
(|I|)
p,|xÎ| , (35)
donde 0  p  n. La función cobertura(x) se puede
escribir:
cobertura(x) =
nX
p=0
cobertura(p)
(x) . (36)
C. Análisis de la descomposición
La descomposición de la función cobertura brinda
información importante, si se analiza en detalle la
ecuación (35). A partir de la descomposición se
(27)
nas(x) está
:
(28)
n
. (29)
s una cons-
da, deduci-
vecindario
mental.
obertura(x)
h. Defini-
suma de funciones de Walsh ponderadas que tienen
el mismo orden, es decir:
cobertura(p)
(x) =
nX
k=1
( 1)k+1
X
I✓{1,...,n}
|I|=k
↵(I)
2k
X
w2BnÎ
|w|=p
( 1)|w|
w(x) . (34)
La ecuación (34) se puede simplificar teniendo en
cuenta las Proposiciones 1 y 2, junto con el hecho de
que |I| |x ^ I| = |x ^ I|:
cobertura(p)
(x)
=
nX
k=1
( 1)k+1
X
I✓{1,...,n}
|I|=k
↵(I)
2k
X
w2BnÎ
|w|=p
( 1)|w|
w(x)
=
nX
k=1
( 1)k+1
X
I✓{1,...,n}
|I|=k
↵(I)
2k
( 1)p
K
(|I|)
p,|xÎ|
=
nX
k=1
( 1)k+1
X
I✓{1,...,n}
|I|=k
↵(I)
2k
K
(|I|)
p,|I| |xÎ|
nes de Walsh. Defini-
con I ✓ {1, . . . , n}. La
esultante es:
1
X
✓{1,...,n}
|I|=k
↵(I)
Y
i2I
xi . (30)
ndo la ecuación (13):
+1
X
I✓{1,...,n}
|I|=k
↵(I)
Y
i2I
xi
I)
Y
i2I
1 i(x)
2
I)
k
Y
i2I
(1 i(x)) . (31)
o podemos escribir:
)
( 1)|W |
Y
j2W
j(x)
k=1 I✓{1,...,n}
|I|=k
=
nX
k=1
( 1)k+1
X
I✓{1,...,n}
|I|=k
↵(I)
2k
K
(|I|)
p,|xÎ|
=
nX
k=1
( 1)k+1
2k
X
I✓{1,...,n}
|I|=k
↵(I)K
(|I|)
p,|xÎ|
=
nX
k=1
✓
1
2
◆k X
I✓{1,...,n}
|I|=k
↵(I)K
(|I|)
p,|xÎ|
=
X
I✓{1,...,n}
I6=;
✓
1
2
◆|I|
↵(I)K
(|I|)
p,|xÎ| , (35)
donde 0  p  n. La función cobertura(x) se puede
escribir:
cobertura(x) =
nX
p=0
cobertura(p)
(x) . (36)
C. Análisis de la descomposición
antenas(0)
(x) =
2
, (28)
antenas(1)
(x) =
1
2
nX
i=1
i(x)
= antenas(x)
n
2
. (29)
Como la primera función elemental es una cons-
tante, que puede ser añadida a la segunda, deduci-
mos que la fución antenas(x) junto con el vecindario
de inversión de bits es un landscape elemental.
B. Descomposición de cobertura(x)
Para encontrar la descomposición de cobertura(x)
también se utilizan funciones de Walsh. Defini-
mos ↵(I) = area(
T
i2I Ri) con I ✓ {1, . . . , n}. La
definición de cobertura(x) resultante es:
cobertura(x) =
nX
k=1
( 1)k+1
X
I✓{1,...,n}
|I|=k
↵(I)
Y
i2I
xi . (30)
La ecuación (
cuenta las Prop
que |I| |x ^ I|
cobertura(p)
(
=
nX
k=1
( 1
=
nX
k=1
( 1
=
nX
k=1
( 1
=
nX
k=1
( 1
=
nX
k=1
( 1
f =
p=0
f .
De esta manera cualquier función pued
compuesta en una suma de a lo más n la
elementales, ya que el valor constante f(0)
sumar a cualquiera de las otras componente
tales.
B. Matrices de Krawtchouk
Cuando se trabaja con funciones de Wa
bitual encontrar valores enteros que son
de matrices de Krawtchouk [10]. La n-ésim
de Krawtchouk, denotada K(n)
, es una m
tera de tamaño (n + 1) ⇥ (n + 1) cuyos ele
definen de acuerdo a la fórmula:
K
(n)
r,j =
nX
l=0
( 1)l
✓
n j
r l
◆✓
j
l
◆
,
donde 0  r, j  n y se asume que a
b = 0
b < 0. Los elementos de las matrices de Kr
también se pueden definir de acuerdo a la
función generatriz:
Matriz de Krawtchouk
Definición del problema Descomposición en landscapes elementales

• Sea {x0, x1, ...} un camino aleatorio sobre el espacio de configuración, donde xi+1ÎN(xi)
• Dicho camino induce una serie temporal {f(x0), f(x1), ...} sobre el landscape.
• La función de autocorrelation se define como:
• Longitud y coeficiente de autocorrelación:
• Conjetura de la longitud de autocorrelación:
Autocorrelación
s0
s4
s7
s6
s2
s1
s8
s9
s5
s3
2
0
3
5
1
2
4
0
7
6
El número de óptimos locales en el espacio de búsqueda es Soluciones
alcanzadas desde
x0
tras l movimientos
Autocorrelación FDC Fitness esperado Runtime R-ball PX

• Cuanto mayor es el valor de l y ξ menor es el número de óptimos locales
• l y ξ es una medida de rugosidad
Autocorrelation Length “Conjecture”
Ruggedness
SA (configuration 1) SA (configuration 2)
% rel. error nb. of steps % rel. error nb. of steps
10 £ ζ < 20 0.2 50,500 0.1 101,395
20 £ ζ < 30 0.3 53,300 0.2 106,890
30 £ ζ < 40 0.3 58,700 0.2 118,760
40 £ ζ < 50 0.5 62,700 0.3 126,395
50 £ ζ < 60 0.7 66,100 0.4 133,055
60 £ ζ < 70 1.0 75,300 0.6 151,870
70 £ ζ < 80 1.3 76,800 1.0 155,230
80 £ ζ < 90 1.9 79,700 1.4 159,840
90 £ ζ < 100 2.0 82,400 1.8 165,610
Longitud
Coeficiente
Angel, Zissimopoulos. Theoretical
Computer Science 263:159-172 (2001)

Fitness-Distance Correlation: definición
Distance to the optimum
FitnessvalueDefinition 2. Given a function f : Bn
7! R the
f is defined as
r =
Covfd
f d
,
where Covfd is the covariance of the fitness v
solutions to their nearest global optimum, f i
fitness values in the search space and d is the sta
to the nearest global optimum in the search spac
Covfd =
1
2n
X
(f(x)
Difícil cuando r < 0.15
(Jones & Forrest)

• Para landscapes elementales obtenemos…
• En general, para funciones arbitrarias
Fitness-Distance Correlation: fórmulas
j =
2
p] = 0 for j > 0
f[0] = f
r =
f[p](x⇤
)
f
p
n
r = 0 Si j>1
f(x) =
p=0
f[p](x)
j =
1
2
f[p] = 0 for j > 0
f[0] = f
r =
f[p](x⇤
)
f
p
n
r = 0
f(x) = f[0](x) + f[1](x) + f[2](x) + . . . + f[n](x)
… el único componente que contribuye a r es f[1](x)
d =
r
n(n + 1)
4
n2
4
=
r
n
4
=
p
n
2
.
e ready to prove the main result of this work.
Let f be an objective function whose elementary landsca
=
Pn
p=0 f[p], where f[0] is the constant function f[0](x)
p > 0 is an order-p elementary function with zero o↵se
e global optimum in the search space x⇤
, the FDC can
r =
f[1](x⇤
)
f
p
n
.
Los componentes
rugosos (de alto orden)
no se consideran en FDC
EvoCOP 2012, LNCS
7245: 111-123
Si j=1
j =
1
2
f[j] = 0 for j > 0
f[0] = f
r =
f[j](x⇤
)
f
p
n
r = 0
x) + f[1](x) + f[2](x) + . . . + f[n](x)
a1 = 7061.43
a2 = a3 = . . . = a45 = 1
8 9

Fitness esperado tras cruce y mutación
Probabilidad
de mutación
to present the main result of this work combining the results of
mmas 1 and 2.
e a pseudo-Boolean function defined over Bn
and aw with w 2 Bn
The following identity holds for E{f(Mµ(U⇢(x, y)))}:
(Mµ(U⇢(x, y)))} =
nX
r,l=0
A(r,l)
x,y (1 2⇢)r
(1 2µ)l
, (29)
A
(r,l)
x,y are defined by:
A(r,l)
x,y =
X
w2Bn,|w|=l
|(x y)^w|=r
aw w(y), (30)
l.
10
we are ready to present the main result of this work combining the r
on 3 and Lemmas 1 and 2.
m 1. Let f be a pseudo-Boolean function defined over Bn
and aw with
h coe cients. The following identity holds for E{f(Mµ(U⇢(x, y)))}:
E{f(Mµ(U⇢(x, y)))} =
nX
r,l=0
A(r,l)
x,y (1 2⇢)r
(1 2µ)l
,
e coe cients A
(r,l)
x,y are defined by:
A(r,l)
x,y =
X
w2Bn,|w|=l
|(x y)^w|=r
aw w(y),
)
= 0 for r > l.
10
Bias del cruce
Superficie de
esperanza
Theor. Comp. Sci.
545: 76-93 (2014)

• El tiempo esperado de resolución es una fracción polinomial en p (prob. mut.)
• Probabilidad de mutación óptima para n=2
articular instances. The disadvantage is that the expression is quite complex to
yze and we need to use numerical methods, so it is not easy to generalize the answ
btained.
Let us first start by studying the (1 + 1) EA. Taking into account the $ ma
efined in (51) for Onemax, the expected number of iterations can be exactly compu
s a function of p, the probability of flipping a bit. Just for illustration purposes
resent the expressions of such expectation for n  3:
E{⌧} =
1
2p
for n = 1,
E{⌧} =
7 5p
4(p 2)(p 1)p
for n = 2,
E{⌧} =
26p4
115p3
+ 202p2
163p + 56
8(p 1)2p (p2 3p + 3) (2p2 3p + 2)
for n = 3.
volutionary Computation Volume x, Number x
n=1
n=2
n=3
n=4
n=
p
E{t}
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
5
10
gure 1: Expected runtime of the (1+1) EA for Onemax as a function of the probabi
flipping a bit. Each line correspond to a different value of n from 1 to 7.
Having the exact expressions we can compute the optimal mutation probabi
r each n by using classical optimization methods in one variable. In particular,
= 1 the optimal value is p = 1 as we previously saw and for n = 2 we have to solv
ubic polynomial in order to obtain the exact expression. The result is:
p⇤
2 =
1
5
0
@6 3
s
2
23 5
p
21
3
s
23 5
p
21
2
1
A ⇡ 0.561215, (
hich is slightly higher than the recommended value p = 1/n. As we increase
nalytical responses for the optimal probability are not possible and we have to ap
Runtime de (1+1) EA

Runtime de (1+1) EA: curvas
alternate between two solutions if p = 1. However, when n = 1 the probability p = 1
is valid, furthermore, is optimal, because if the global solution is not present at the
beginning we can reach it by alternating the only bit we have. In Figure 1 we show
the expected runtime as a function of the probability of ﬂipping a bit for n = 1 to 7.
We can observe how the optimal probability (the one obtaining the minimum expected
runtime) decreases as n increases.
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
p
E{t}
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0
5
10
15
20
25
30
Figure 1: Expected runtime of the (1+1) EA for Onemax as a function of the probability
Evol. Comp. Journal
10.1162/EVCO_a_00130
(in press)

Runtime de (1+1) EA: probabilidades óptimas
Fitness Probability Distribution of Bit-Flip Mutation
n p⇤
n E{⌧} n p⇤
n E{⌧} n p⇤
n E{⌧}
1 1.00000 0.500 35 0.03453 273.018 68 0.01741 648.972
2 0.56122 2.959 36 0.03354 283.448 69 0.01715 661.189
3 0.38585 6.488 37 0.03261 293.953 70 0.01690 673.445
4 0.29700 10.808 38 0.03172 304.531 71 0.01665 685.740
5 0.24147 15.758 39 0.03088 315.181 72 0.01642 698.073
6 0.20323 21.222 40 0.03009 325.900 73 0.01618 710.444
7 0.17526 27.120 41 0.02933 336.688 74 0.01596 722.852
8 0.15391 33.391 42 0.02861 347.541 75 0.01574 735.298
9 0.13710 39.990 43 0.02793 358.459 76 0.01553 747.779
10 0.12352 46.882 44 0.02727 369.441 77 0.01532 760.297
11 0.11233 54.039 45 0.02665 380.484 78 0.01512 772.849
12 0.10295 61.437 46 0.02605 391.587 79 0.01492 785.437
13 0.09499 69.057 47 0.02548 402.750 80 0.01473 798.059
14 0.08815 76.882 48 0.02493 413.970 81 0.01454 810.715
15 0.08220 84.898 49 0.02441 425.247 82 0.01436 823.405
16 0.07699 93.092 50 0.02391 436.580 83 0.01418 836.128
17 0.07239 101.454 51 0.02342 447.967 84 0.01400 848.884
18 0.06830 109.974 52 0.02296 459.407 85 0.01384 861.673
19 0.06463 118.642 53 0.02251 470.900 86 0.01367 874.493
20 0.06133 127.453 54 0.02208 482.444 87 0.01351 887.345
21 0.05835 136.398 55 0.02167 494.038 88 0.01335 900.229
22 0.05563 145.471 56 0.02127 505.682 89 0.01320 913.143
23 0.05316 154.667 57 0.02088 517.374 90 0.01304 926.088
24 0.05089 163.981 58 0.02051 529.114 91 0.01290 939.063
25 0.04880 173.406 59 0.02016 540.901 92 0.01275 952.069
26 0.04687 182.940 60 0.01981 552.734 93 0.01261 965.104

• Quremos encontrar movimientos de mejora en una bola de radio r alrededor de x
• ¿Cuál es el coste de esta exploración?
• Por enumeración completa: O (nr) si la función de evaluación es O(1)
• Nuestra contribución:
Movimientos de mejora en una bola de radio r
r
Una forma de encontrar movimientos de mejora en una bola
de radio r en O(1) (tiempo constante, independiente de n)

Resultados: comprobando el tiempo constante
• Sanity check: invertir cada variable el mismo número de veces (120 000) y medir el
tiempo y la memoria requerida para el cómputo
NKq-landscapes
• Adjacent model
• N=1,000 to 12,000
• K=1 to 4
• q=2K+1
• r=1 to 4
• 30 instancias por conf.
K=3
r=1
r=2
r=3
r=4
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
0
5
10
15
20
N
TimeHsL
r=1
r=2
r=3
r=4
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
0
50000
100000
150000
N
Scoresstoredinmemory
GECCO 2014:
437-444

Next improvement algorithm
• Los movimientos más cercanos se seleccionan antes (p. ej., r=1 antes que r=2)
ists (Sv > 0 for some v 2 Mr
), the algorithm selects one
of the improving moves t (line 6), updates the Scores using
Algorithm 1 (line 7) and changes the current solution by the
new one (line 8).
Algorithm 3 Hamming-ball next ascent.
1: best ?
2: while stop condition not met do
3: x randomSolution();
4: S computeScores(x);
5: while Sv > 0 for some v 2 Mr
do
6: t selectImprovingMove(S);
7: updateScores(S,x,t);
8: x x t;
9: end while
10: if best = ? or f(x) > f(best) then
11: best x;
12: end if
13: end while
Regarding the selection of the improving move, our ap-
proach in the experiments was to select always the one with
the lowest Hamming distance to the current solution, that
5.
In
with
used
tion
chan
resp
whe
K v
rand
rand
tion
indi
NKq
opti
rith
of s
c =
bou

Resultados del algoritmo
The normalized distance to the optimum, nd, is:
nd(x) =
f⇤
f(x)
f⇤
, (11)
where f⇤
is the ﬁtness value of the global optimum, com-
puted using the algorithm by Wright et al. [10].
Figure 7: Normalized distance to the global opti-
mum for the Hamming-ball next ascent.
NKq-landscapes
• Adjacent model
• N=10,000
• K=1
• q=2K+1
• r=1 to 10
• 30 instancias
• Desde r=6 a r=10 el óptimo global siempre se encuentra
• r=10 siempre encontró el óptimo global en el primer ascenso
r=7 siempre encuentra el óptimo
global en menos de 2.1 s

Partition Crossover para espacios binarios
• El análisis de la interacción entre variables ha permitido desarrollar un operador de
cruce que explora un número exponencial de posibilidades en tiempo lineal
• Partiendo de óptimos locales, este cruce obtiene otros óptimos locales con muy alta
probabilidad
• Resultados preliminares (no publicados) indican que su combinación con la
búsqueda local eficiente permite encontrar soluciones globales muy
rápidamente (p. ej., 600 ms para un problema de 12 000 variables)
Grafo de interacción
de variables
Particiones obtenidas para
dos soluciones concretas
FOGA 2015

• En este artículo se presenta la descomposición en landscapes elementales del problema
de diseño de una red de radio
• Esta teoría ha permite diseñar nuevos operadores y analizar los problemas de
optimización desde otro ángulo
• En general, la teoría de landscapes permite realizar acelerar considerablemente ciertas
operaciones (desde cálculos estadísticos hasta exploración de una región del
espacio de búsqueda)
Conclusiones
Trabajo futuro
• Adecuar las implementaciones experimentales de los algoritmos para hacerlas open
source y ofrecer tanto el código fuente como un manual de uso a la comunidad
• Continuar con el diseño de operadores basados en la teoría de landscapes
• Nuevos resultados teóricos
Conclusiones y trabajo futuro

¡¡¡ Gracias por su atención !!!
Descomposición en Landscapes Elementales del
Problema de Diseño de Redes de Radio con Aplicaciones

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