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UNIDAD 7
Fuerzas a distancia
Nivelación. Física
En casi todo lo que hemos visto se han estudiado distintos tipos de fuerza aunque la
mayoría podrían englobarse como de contacto. No todas las fuerzas son de este tipo pues
existen las denominadas a distancia. Estas se caracterizan porque pueden interaccionar
dos cuerpos que no estén en contacto a través de un campo originado en el espacio-
tiempo. Es interesante pensar que las fuerzas más conocidas y más fundamentales, como
la gravitación y el electromagnetismo, son a distancia.
1. Gravitación
La gravedad es una de las cuatro fuerzas básicas, aunque debido a su pequeño poder
de interacción no se considera en los estudios microscópicos. Sin embargo, su campo de
acción es enorme y es la que rige el comportamiento del universo a gran escala.
Newton trabajó en esquematizar hipótesis y datos de los años previos, llegado a la
conclusión. La fuerza de gravitación universal depende de las masas que interaccionen,
así como la dirección de la recta que los une, con una dependencia, de manera inversa, al
cuadrado:
F1,2 = −G
m1m2
r2
1,2
u1,2,
es decir, el vector unitario tiene su extremo en la masa de interés y el origen en la masa
que está ejerciendo su atracción gravitatoria. El signo menos indica que la fuerza de
la gravedad siempre es atractiva: dos masas siempre se atraerán y nunca se repelerán.
Además, este tipo de fuerza se conoce como central, o sea, se da en la línea recta que une
las masas y dependiendo únicamente de la distancia que las separa, poseyendo un centro
jo.
G es la constante de gravitación universal o de Cavendish. Su valor es muy pequeño,
de ahí la explicación por qué no es una fuerza relevante cuando masas de pequeño valor
están involucradas en la interacción:
G = 6,67 · 10−11
Nm2
/kg2
.
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Debido a la Tercera Ley de Newton, si una masa 1 es atraída por una masa 2 mediante
una fuerza F1,2 ha de existir otra fuerza F2,1 donde la masa 1 atraiga a la masa 2 con el
mismo módulo, en dirección igual pero en sentido opuesto.
Esta ley es la responsable del valor de la aceleración de la gravedad, g, en el planeta
Tierra. Como se ve al analizar la ecuación establecida anteriormente, este valor de g no
puede ser constante, puesto que disminuye con el cuadrado de la distancia que separa
el centro de la Tierra con la partícula de estudio. Sin embargo, si la separación entre
la supercie de la Tierra y la partícula no es muy grande, se espera una pequeñísima
variación, de tal manera que podemos considerar valores constantes para g.
La fuerza con la que la Tierra atrae una masa m será entonces:
F = G
MT m
r2
,
si es la única fuerza que afecta a la partícula se tiene que por la Segunda Ley de Newton
la partícula tendrá un valor de aceleración de:
a =
F
m
= G
MT
r2
,
si la separación entre partícula y supercie terrestre no es muy grande se puede aproximar
esta distancia r como el radio de la Tierra: r ≈ RT . Por tanto, la fuerza de esta interacción
no es otra que el peso P y la aceleración será
g = G
MT
R2
T
≈ 9,81 m/s2
.
Este cálculo puede aplicarse para conocer los valores de g de otros cuerpos celestes.
Una curiosidad es que al combinar fuerza de gravitación y Segunda Ley de Newton
consideramos que el valor m es lo mismo para ambas, pero se identican físicamente de
manera diferente: para la gravedad, la masa es la capacidad de un objeto de interaccio-
nar gravitatoriamente con otro objeto, mientras que para la Segunda Ley la masa es la
resistencia de un objeto a cambiar de velocidad. No existe teoría que unique ambos cri-
terios, excepto postulados de la Relatividad General. Sin embargo, existe un gran acuerdo
experimental en la igualdad de ambos conceptos.
Por último, hemos de considerar que la energía potencial gravitatoria, Ug = mgh es
solo una aproximación de la ley de gravitación universal, siendo su cálculo más exacto el
siguiente:
U = −G
MT m
r
,
donde el valor de referencia se localiza cuando la partícula está en un punto alejado
innitamente de la Tierra.
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2. Electrostática
Esta fuerza tiene su origen en la interacción de cargas eléctricas que componen la
materia y es una de las más importantes, puesto que muchos fenómenos tecnológicos
provienen de ella. De igual manera, la fuerza electrostática es una fuerza a distancia y
central. Tiene un comportamiento similar a la fuerza gravitatoria puesto que depende
del producto de las cargas y del inverso del cuadrado de la distancia que las separa. Sin
embargo, no siempre es un tipo de fuerza atractiva, puesto que pueden darse fenómenos
de repulsión. En estos casos se distinguen dos tipos de cargas eléctricas: la positiva y la
negativa.
Experimentalmente se comprueba que cargas de igual signo se repelen, mientras que
cargas de signo opuesto se atraen. Por la Tercera Ley de Newton, la interacción de una
acción es respondida por una reacción de igual módulo y dirección y de sentido opuesto.
Para cargas en reposo, la fuerza viene descrita por la Ley de Coulomb:
F1,2 =
1
4πε
q1q2
r2
1,2
u1,2,
donde ε es la permitividad eléctrica del medio que separa las cargas, o sea, el medio inuye
en este tipo de interacción. Para el vacío se tiene que ε0 = 8,85 · 10−12
F/m. La unidad
del Sistema Internacional para la carga el el culombio o coulomb (C).
3. Trayectorias de cuerpos móviles sometidos a fuerzas
a distancia
En una fuerza de tipo central se crea un campo por el que los cuerpos separados pueden
interaccionar. Las líneas de fuerza saldrán del cuerpo de estudio de manera radial. En el
caso gravitatorio, si estamos en caída libre, la trayectoria será una línea recta que une la
supercie de la Tierra y la partícula en cuestión. Sin embargo, si hay componentes iniciales
de velocidad esto ya no es cierto. Por ejemplo, hemos visto la descripción de movimientos
sujetos al peso mediante el estudio de tiro parabólico. Esto es una aproximación de los
movimientos que se dan según la descripción de la fuerza de gravedad descrita por Newton.
La parábola es un caso particular de una serie de guras matemáticas conocidas como
cónicas.
Para un movimiento estable de dos partículas interaccionando gravitatoriamente se
tiene que la trayectoria tendrá forma de elipse, cuya ecuación es
x2
a2
+
y2
b2
= 1,
estando centrada en el origen y con a y b los focos. Si localizamos un punto de la trayectoria
y sumamos la distancia que hay hasta cada foco y la distancia que los separan, este
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valor siempre será constante. Si los focos coinciden en un único punto se tendrá una
circunferencia. En el Sistema Solar, casi todos los planetas tienen unos focos muy próximos
entre sí (en uno de los dos está localizado el Sol), por lo que en la antigüedad se creía que
las trayectorias eran circunferencias.
Por último, si no hay una interacción estable las trayectorias pueden tener la forma
de hipérbola, que es la típica de los cometas que solo pasan una vez cerca del Sol.
4. Leyes de Kepler
A partir de los estudios experimentales de Brahe y de las concepciones heliocéntricas
de Copérnico, el astrónomo Kepler pudo derivar el movimiento de los planetas del Sistema
Solar utilizando tres leyes:
Primera: Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas en torno al Sol, que está
en uno de los focos de dicha elipse.
Segunda: La línea recta que une cualquier planeta con el Sol barre áreas iguales
en tiempos iguales. Un planeta cerca del Sol ha de moverse más rápido que lejos de
este.
Tercera: El cuadrado del periodo que tarda un planeta en dar una vuelta completa
al Sol es proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita: T2
= Cr3
.
Newton se encargó de descubrir la ley de gravitación universal que describía como
consecuencias de ella las tres Leyes de Kepler.
Suponiendo que la trayectoria elíptica de un planeta es muy similar a una trayectoria
circular y que la masa del planeta, m, es mucho menor que la masa del Sol, MS, se puede
determinar cuál es dicha constante de proporcionalidad.
Supongamos que se genera, al actuar la fuerza gravitatoria, un movimiento circular
que posee cierta aceleración centrípeta:
F = mac ⇒ G
MSm
r2
= m
v2
r
,
de esta expresión se puede despejar la velocidad lineal del planeta:
v2
= G
MS
r
.
Ahora bien, se puede determinar la velocidad con la que orbita un planeta sabiendo la
longitud de la circunferencia que describe y el tiempo que tarda en hacerlo (el periodo,
T):
v =
2πr
T
.
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5.
Elevando esta expresión e igualando con la anterior se deriva la Tercera Ley de Kepler:
(2πr)2
T2
= G
MS
r
⇒ T2
=
4π2
GMS
r3
,
luego
C =
4π2
GMS
= 2, 98 · 10−19
kg/Nm2
.
Sin embargo, no es necesario saber el valor de C si comparamos radios y periodos de
dos planetas: los datos de uno se pueden conocer a partir de los datos de otro al aplicar
simultáneamente la Tercera Ley.
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