1) Como definir e representar matrizes reais de ordem m x n, com seus elementos dispostos em m linhas e n colunas; 2) Identificar casos especiais de matrizes como linha, coluna e quadrada; 3) Estabelecer critérios para determinar a igualdade entre duas matrizes.

1. Álgebra Linear l
Volume 1 - 2ª edição
Luiz Manoel Figueiredo
Marisa Ortegoza da Cunha

2. Fundação Cecierj / Consórcio Cederj
Rua Visconde de Niterói, 1364 - Mangueira - Rio de Janeiro, RJ - CEP 20943-001
Tel.: (21) 2299-4565 Fax: (21) 2568-0725
Presidente
Carlos Eduardo Bielschowsky
Vice-Presidente de Educação Superior a Distância
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Diretor de Material Didático
Carlos Eduardo Bielschowsky
Coordenação do Curso de Matemática
Celso José da Costa
Luiz Manoel Figueiredo
Material Didático
ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO
COORDENAÇÃO GRÁFICA
Luiz Manoel Figueiredo
Marisa Ortegoza da Cunha
Jorge Moura
EDITORA
Equipe Cederj
PROGRAMAÇÃO VISUAL
Tereza Queiroz
COORDENAÇÃO DE ILUSTRAÇÃO
Eduardo Bordoni
COORDENAÇÃO EDITORIAL
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ILUSTRAÇÃO
Equipe Cederj
COORDENAÇÃO DE REVISÃO
Ana Tereza de Andrade
CAPA
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REVISÃO
Carmen Irene Correia de Oliveira
Gláucia Guarany
Leonardo Villela
PRODUÇÃO GRÁFICA
Ana Paula Trece Pires
Andréa Dias Fiães
Márcia Almeida
REVISÃO TIPOGRÁFICA
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Copyright © 2005, Fundação Cecierj / Consórcio Cederj
Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio
eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Fundação.
972m
Figueiredo, Luiz Manoel.
Álgebra linear l. v.1 / Luiz Manoel Figueiredo.
– 2.ed. – Rio de Janeiro : Fundação CECIERJ, 2005.
81p.; 21 x 29,7 cm.
ISBN: 85-89200-44-2
1. Álgebra linear. 2. Vetores. 3. Matrizes. 4. Sistemas
lineares. 5. Determinantes. I. Cunha, Marisa Ortegoza da.
II. Título.
2005/1
CDD:512.5
Referências Bibliográficas e catalogação na fonte, de acordo com as normas da ABNT.

3. IVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
UN
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
SECRETARIA ESPECIAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
FACULDADE DE QUÍMICA
REITOR
Prof. Dr. Carlos Edilson de Almeida Maneschy
VICE-REITORA
Prof. Dr. Horacio Schneider
PRÓ-REITOR DE ENSINO DE GRADUAÇÃO
Profa. Dra. Marlene Rodrigues Medeiros Freitas
SECRETÁRIA ESPECIAL DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
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DIRETOR DO INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS
Prof. Dr. Geraldo Narciso
DIRETOR DAFACULDADE DE QUÍMICA
Prof. Dr. Heriberto R. Bittencourt
Este material foi gentilmente cedido pelo Consórcio CEDERJ,
para o uso restrito da Licenciatura em Matemática
na modalidade a distância sem ônus para a UFPA.

5. Álgebra II
Volume 1
SUMÁRIO
§1
Vetores, matrizes e sistemas lineares _________________________________
7
Aula 1
Matrizes ____________________________________________________________
9
Aula 2
Operações com matrizes: transposição, adição e multiplicação por
número real ________________________________________________________
17
Aula 3
Operações com matrizes: multiplicação _____________________________
29
Aula 4
Operações com matrizes: inversão __________________________________
39
Aula 5
Determinantes ______________________________________________________
49
Aula 6
Sistemas lineares ____________________________________________________
59
Aula 7
Discussão de sistemas lineares _______________________________________
73
Aula 8
Espaço vetoriais ____________________________________________________
83
Aula 9
Subespaços vetoriais ________________________________________________
95
Aula 10
Combinações lineares ______________________________________________
105
Aula 11
Base e dimensão ___________________________________________________
115
Aula 12
Dimensão de um espaço vetorial ___________________________________
123
Aula 13
Soma de subespaços _______________________________________________
135
Aula 14
Espaços vetoriais com produto interno _______________________________
149
Aula 15
Conjuntos ortogonais e ortonormais _________________________________
161
Aula 16
Complemento ortogonal ___________________________________________
173
Aula 17
Exercícios resolvidos ________________________________________________
181

7. §1. Vetores, matrizes e sistemas lineares
O que ´ Algebra Linear? Por que estud´-la?
e ´
a
´
A Algebra Linear ´ a area da Matem´tica que estuda todos os aspectos
e ´
a
relacionados com uma estrutura chamada Espa¸o Vetorial.
c
Devido as suas caracter´
`
ısticas, essa estrutura permite um tratamento
alg´brico bastante simples, admitindo, inclusive, uma abordagem computae
´
cional. A Algebra Linear tem aplica¸˜es em in´ meras areas, tanto da mateco
u
´
m´tica quanto de outros campos de conhecimento, como Computa¸˜o Gr´fica,
a
ca
a
Gen´tica, Criptografia, Redes El´tricas etc.
e
e
Nas primeiras aulas deste m´dulo estudaremos algumas ferramentas
o
para o estudo dos Espa¸os Vetoriais: as matrizes, suas opera¸˜es e propriec
co
dades; aprenderemos a calcular determinantes e, finalmente, aplicaremos esse
conhecimento para discutir e resolver sistemas de equa¸˜es lineares. Muitos
co
dos principais problemas da f´
ısica, engenharia, qu´
ımica e, ´ claro, da mae
tem´tica, recaem (ou procuramos fazer com que recaiam) num sistema de
a
´
equa¸˜es lineares. A partir da aula 8, estaremos envolvidos com Algebra Lico
near propriamente dita e esperamos que vocˆ se aperceba, ao longo do curso,
e
de que se trata de uma das areas mais l´ dicas da Matem´tica!!.
´
u
a
Estrutura matem´tica ´ um
a
e
conjunto no qual s˜o definia
das opera¸˜es. As proprieco
dades dessas opera¸˜es “esco
truturam”o conjunto. Talvez vocˆ j´ tenha ouvido falar
e a
em alguma das principais estruturas matem´ticas, como
a
grupo, anel e corpo. Vocˆ
e
estudar´ essas estruturas nas
a
´
disciplinas de Algebra.
7
CEDERJ

9. Matrizes
´
MODULO 1 - AULA 1
Aula 1 – Matrizes
Objetivos
Reconhecer matrizes reais;
Identificar matrizes especiais e seus principais elementos;
Estabelecer a igualdade entre matrizes.
Consideremos o conjunto de alunos do CEDERJ, ligados ao p´lo Lugar
o
´
Lindo, cursando a disciplina Algebra Linear 1. Digamos que sejam 5 alunos
(claro que esperamos que sejam muitos mais!). Ao longo do semestre, eles
far˜o 2 avalia¸˜es a distˆncia e 2 presenciais, num total de 4 notas parciais.
a
co
a
Para representar esses dados de maneira organizada, podemos fazer uso de
uma tabela:
aluno
AD1 AD2 AP1
1. Ana
4,5
6,2
7,0
2. Beatriz
7,2
6,8
8,0
3. Carlos
8,0
7,5
5,9
4. Daniela 9,2
8,5
7,0
5. Edson
6,8
7,2
6,8
AP2
5,5
10,0
7,2
8,0
7,5
Se quisermos ver as notas obtidas por um determinado aluno, digamos,
o Carlos, para calcular sua nota final, basta atentarmos para a linha correspondente (8,0; 7,5; 5,9; 7,2); por outro lado, se estivermos interessados nas
notas obtidas pelos alunos na segunda verifica¸˜o a distˆncia, para calcular
ca
a
a m´dia da turma, devemos olhar para a coluna correspondente (6,2; 6,8;
e
7,5; 8,5; 7,2). Tamb´m podemos ir diretamente ao local da tabela em que
e
se encontra, por exemplo, a nota de Carlos na segunda avalia¸˜o a distˆncia
ca
a
(7,5).
´
E esse tipo de tratamento que as matrizes possibilitam (por linhas, por
colunas, por elemento) que fazem desses objetos matem´ticos instrumentos
a
valiosos na organiza¸˜o e manipula¸˜o de dados.
ca
ca
Vamos, ent˜o, a defini¸˜o de matrizes.
a `
ca
9
CEDERJ

10. Matrizes
Álgebra Linear 1
Defini¸˜o
ca
Uma matriz real A de ordem m × n ´ uma tabela de mn n´ meros reais,
e
u
dispostos em m linhas e n colunas, onde m e n s˜o n´ meros inteiros positivos.
a u
Os elementos de uma matriz podem ser outras entidades, que n˜o n´meros rea
u
ais. Podem ser, por exemplo, n´meros complexos, pou
linˆmios, outras matrizes etc.
o
As barras simples s˜o usadas
a
para representar determinantes, como veremos na aula 5.
Uma matriz real de m linhas e n colunas pode ser representada por
o
Am×n (R). Neste curso, como s´ trabalharemos com matrizes reais, usaremos
a nota¸˜o simplificada Am×n , que se lˆ “A m por n”. Tamb´m podemos
ca
e
e
e ındice de linha e j ∈ {1, ..., n} ´
e
escrever A = (aij ), onde i ∈ {1, ..., m} ´ o ´
o´
ındice de coluna do termo gen´rico da matriz. Representamos o conjunto
e
de todas as matrizes reais “m por n”por Mm×n (R). Escrevemos os elementos
de uma matriz limitados por parˆnteses, colchetes ou barras duplas.
e

Exemplo 1

1. Uma matriz 3 × 2 : 

2 −3

1
0 
√
2 17
5
3
−1 1/2
2. Uma matriz 2 × 2 :
−4
3. Uma matriz 3 × 1 :
0
11
De acordo com o n´ mero de linhas e colunas de uma matriz, podemos
u
destacar os seguintes casos particulares:
• m = 1: matriz linha
• n = 1: matriz coluna
• m = n: matriz quadrada. Neste caso, escrevemos apenas An e dizemos
que “A ´ uma matriz quadrada de ordem n”. Representamos o conjunto
e
das matrizes reais quadradas de ordem n por Mn (R) (ou, simplesmente,
por Mn ).
Exemplo 2
1. matriz linha 1 × 4:
2 −3 4 1/5


4


2. matriz coluna 3 × 1:  17 
0
CEDERJ
10

11. Matrizes
´
MODULO 1 - AULA 1
1 −2
5
7
3. matriz quadrada de ordem 2:
Os elementos de uma matriz podem ser dados tamb´m por f´rmulas,
e
o
como ilustra o pr´ximo exemplo.
o
Exemplo 3
Vamos construir a matriz A ∈ M2×4 (R), A = (aij ), tal que
aij =
i2 + j, se i = j
i − 2j, se i = j
A matriz procurada ´ do tipo A =
e
a11
a22
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
.
Seguindo a regra de forma¸˜o dessa matriz, temos:
ca
2
=1 +1=2
a12 = 1 − 2(2) = −3
2
=2 +2=6
a13 = 1 − 2(3) = −5
a14 = 1 − 2(4) = −7
.
a21 = 2 − 2(1) = 0
a23 = 2 − 2(3) = −4
a24 = 2 − 2(4) = −6
Logo, A =
2 −3 −5 −7
0 6
−4 −6
.
Igualdade de matrizes
O pr´ximo passo ´ estabelecer um crit´rio que nos permita decidir se
o
e
e
duas matrizes s˜o ou n˜o iguais. Temos a seguinte defini¸˜o:
a
a
ca
Duas matrizes A, B ∈ Mm×n (R), A = (aij ), B = (bij ), s˜o iguais
a
quando aij = bij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ..., n}.
Exemplo 4
Vamos determinar a, b, c e d para que as matrizes
4 −9
2a 3b
e
1 2c
c+d 6
sejam iguais. Pela defini¸˜o de igualdade de matrizes, podemos escrever:
ca

 2a = 4


 3b = −9
2a 3b
4 −9
=
⇒
 c+d=1
c+d 6
1 2c



6 = 2c
11
CEDERJ

12. Matrizes
Álgebra Linear 1
Da´ obtemos a = 2, b = −3, c = 3 e d = −2.
ı,
Numa matriz quadrada A = (aij ), i, j ∈ {1, ...n}, destacamos os seguintes elementos:
• diagonal principal: formada pelos termos aii (isto ´, pelos termos com
e
´
ındices de linha e de coluna iguais).
• diagonal secund´ria: formada pelos termos aij tais que i + j = n.
a
Exemplo 5
Seja



A=

3 −2
0 1
5
3 −2 7
1/2 −3
π 14
−5
0 −1 6



 .

A diagonal principal de A ´ formada por: 3, 3, π, 6
e
A diagonal secund´ria de A ´ formada por: 1, −2, −3, −5
a
e
Matrizes quadradas especiais
No conjunto das matrizes quadradas de ordem n podemos destacar
e
alguns tipos especiais. Seja A = (aij ) ∈ Mn (R). Dizemos que A ´ uma
matriz
• triangular superior, quando aij = 0 se i > j (isto ´, possui todos os
e
elementos abaixo da diagonal principal nulos).
• triangular inferior, quando aij = 0 se i < j (isto ´, possui todos os
e
elementos acima da diagonal principal nulos).
No nosso curso nos referimos
aos n´meros reais como
u
escalares. Essa denomina¸˜o
ca
´
´ espec´
e
ıfica da Algebra
Linear.
CEDERJ
12
e
• diagonal, quando aij = 0 se i = j (isto ´, possui todos os elementos
fora da diagonal principal nulos). Uma matriz diagonal ´, ao mesmo
e
tempo, triangular superior e triangular inferior.
0, se i = j
, para algum k ∈ R. Isto ´, uma
e
k, se i = j
matriz escalar ´ diagonal e possui todos os elementos da diagonal prine
cipal iguais a um certo escalar k.
• escalar, quando aij =

13. Matrizes
´
MODULO 1 - AULA 1
0, se i = j
. Isto ´, a identidade ´ uma
e
e
1, se i = j
matriz escalar e possui todos os elementos da diagonal principal iguais
a 1. Representamos a matriz identidade de ordem n por In .
• identidade, quando aij =
Exemplo 6
matriz
classifica¸˜o
ca


4 1 2


 0 6 3 
0 0 9
triangular superior


2 0 0


 0 0 3 
0 0 0
triangular superior


1 0 0


 0 4 0 
0 0 0
triangular superior, triangular inferior, diagonal
0 0
−3 0
triangular inferior
0 0
0 0
triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar
5 0
0 5
triangular superior, triangular inferior, diagonal, escalar
Exemplo 7
S˜o matrizes identidade:
a



1 0 0
1 0 0
 0 1 0
1 0



I1 = [1]; I2 =
; I3 =  0 1 0  ; I4 = 
 0 0 1
0 1
0 0 1
0 0 0
De modo geral, sendo n um n´ mero natural maior que
u
0
0
0
1
1,





a matriz
13
CEDERJ

14. Matrizes
Álgebra Linear 1
identidade de ordem n ´
e

1
0
0
.
.
.
0
1
0
.
.
.
0
0
1
.
.
.
...
...
...
.
.
.
0
0
0
.
.
.
0
0
0
.
.
.











In = 





 0 0 0 ... 1 0 


0 0 0 ... 0 1
Defini¸˜o
ca
A matriz nula em Mm×n (R) ´ a matriz de ordem m × n que possui todos os
e
elementos iguais a zero.
Exemplo 8
Matriz nula 2 × 3:




Matriz nula 5 × 2: 



0 0 0
0 0 0

0 0

0 0 

0 0 


0 0 
0 0
Defini¸˜o
ca
e
Dada A = (aij ) ∈ Mm×n (R), a oposta de A ´ a matriz B = (bij ) ∈ Mm×n (R)
tal que bij = −aij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ..., n}. Ou seja, os elementos da matriz oposta de A s˜o os elementos opostos aos elementos de A.
a
Representamos a oposta de A por −A.

Exemplo 9


A oposta da matriz A = 

3 −1
0
√
2
3
4
1
0 −8
−6 10 −2



−A = 

CEDERJ
14



e
 ´ a matriz


−3
1
0
√
−2 − 3 −4 

 .
−1
0
8 
6 −10
2

15. Matrizes
´
MODULO 1 - AULA 1
Resumo
Nesta aula vimos o conceito de matriz e conhecemos seus tipos especiais. Aprendemos a comparar duas matrizes, a identificar a matriz nula e a
obter a oposta de uma matriz. Tamb´m vimos algumas matrizes quadradas
e
que se destacam por suas caracter´
ısticas e que ser˜o especialmente uteis no
a
´
desenvolvimento da teoria.
Exerc´
ıcios
1. Escreva a matriz A = (aij ) em cada caso:
3i + j, se i = j
i − 2j, se i = j

 2i, se i < j

(b) A ´ quadrada de ordem 4 e aij =
e
i − j, se i = j


2j, se i > j
(a) A ´ do tipo 2 × 3, e aij =
e
(c) A ´ do tipo 4 × 2, e aij =
e
0, se i = j
3, se i = j
(d) A ´ quadrada terceira ordem e aij = 3i − j + 2.
e
2. Determine x e y tais que
(a)
2x + y
2x − y
=
11
9
(b)
x2 y
x y2
=
1 −1
−1
1
15
CEDERJ

16. Matrizes
Álgebra Linear 1
Respostas dos exerc´
ıcios
1. (a)



(b) 


4 −3 −5
0
8 −4
0
2
2
2
2
0
4
4
2
4
0
6

2
4
6
0





3 0
 0 3 


(c) 

 0 0 
0 0


4 1 2


(d)  7 6 5 
10 9 8
2. (a) x = 5; y = 1
(b) x = y = −1
Auto-avalia¸˜o
ca
Vocˆ n˜o deve ter sentido qualquer dificuldade para acompanhar esta
e a
primeira aula. S˜o apenas defini˜es e exemplos. Se achar conveniente, antes
a
o
de prosseguir, fa¸a uma segunda leitura, com calma, da teoria e dos exemplos.
c
De qualquer maneira, vocˆ sabe que, sentindo necessidade, pode (e deve!)
e
entrar em contato com o tutor da disciplina.
At´ a pr´xima aula!!
e
o
CEDERJ
16

17. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co
ca
ca
ca
u
´
MODULO 1 - AULA 2
Aula 2 – Opera¸˜es com matrizes:
co
transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por
ca
ca
ca
n´ mero real
u
Objetivos
Obter a matriz transposta de uma matriz dada;
Identificar matrizes sim´tricas e anti-sim´tricas;
e
e
Obter a matriz soma de duas matrizes;
Obter o produto de uma matriz por um n´mero real;
u
Aplicar as propriedades das opera¸˜es nos c´lculos envolvendo matrizes.
co
a
Na aula passada, definimos matrizes e vimos como verificar se duas
matrizes s˜o ou n˜o iguais. Nesta aula iniciamos o estudo das opera¸˜es
a
a
co
´
com matrizes. E atrav´s de opera¸˜es que podemos obter outras matrizes,
e
co
a partir de matrizes dadas. A primeira opera¸˜o com matrizes que estudaca
remos - a transposi¸˜o - ´ un´ria, isto ´, aplicada a uma unica matriz. A
ca
e a
e
´
seguir, veremos a adi¸˜o, que ´ uma opera¸˜o bin´ria, ou seja, ´ aplicada a
ca
e
ca
a
e
duas matrizes. Finalmente, veremos como multiplicar uma matriz por um
n´ mero real. Por envolver um elemento externo ao conjunto das matrizes,
u
essa opera¸˜o ´ dita ser externa.
ca e
Transposi¸˜o
ca
Dada uma matriz A ∈ Mm×n (R), A = (aij ), a transposta de A ´ a
e
matriz B ∈ Mn×m (R), B = (bji ) tal que bji = aij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈
{1, ..., n}. Representamos a matriz transposta de A por AT .
Note que para obter a transposta de uma matriz A, basta escrever as
linhas de A como sendo as colunas da nova matriz (ou, equivalentemente,
escrever as colunas de A como as linhas da nova matriz.)


Exemplo 10
3 1
3 −2 5


. A transposta de A ´ a matriz AT =  −2 7 .
e
1. Seja A =
1
7 0
5 0
17
CEDERJ

18. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co
ca
ca
ca
u
Álgebra Linear 1
2. Se M =
−3 4
4 9
, ent˜o M T =
a
−3 4
4 9
= M.
Comparando uma matriz com sua transposta, podemos definir matrizes
sim´tricas e anti-sim´tricas, como segue:
e
e
Defini¸˜o
ca
Uma matriz A ´:
e
• sim´trica, se AT = A
e
• anti-sim´trica, se AT = −A
e
Segue da defini¸˜o acima, que matrizes sim´tricas ou anti-sim´tricas
ca
e
e
s˜o, necessariamente, quadradas.
a
Exemplo 11
1. As matrizes
√ 
3
3 −2


5
1 ,
 −2
√
3
1
8


19 3/2
3/2 −7
,
e





1 −2 1/5
0
−2
7
9 −1 


1/5
9
0
8 
0 −1
8
4
s˜o sim´tricas.
a
e
2. A matriz M, do exemplo 10, ´ sim´trica.
e
e
Note que, numa matriz sim´trica, os elementos em posi¸˜es sim´tricas
e
co
e
em rela¸˜o a diagonal principal s˜o iguais.
ca `
a
Exemplo 12
As matrizes

0 −1
1
0


0
2 −1/2




,  −2
0
5 , e 

1/2 −5
0

0 −2 1/5
0
2
0
9 −1 


−1/5 −9
0
8 
0
1 −8
0
s˜o anti-sim´tricas.
a
e
Note que uma matriz anti-sim´trica tem, necessariamente, todos os
e
elementos da diagonal principal iguais a zero.
CEDERJ
18

19. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co
ca
ca
ca
u
´
MODULO 1 - AULA 2
Adi¸˜o
ca
Vocˆ se lembra do exemplo que demos, na aula 1, com a rela¸˜o de
e
ca
nomes e notas da turma de Lugar Lindo? Cada aluno tem seu nome associado
a um n´ mero (o n´ mero da linha). Assim, sem perder qualquer informa¸˜o
u
u
ca
sobre os alunos, podemos representar apenas as notas das avalia¸˜es numa
co
matriz 5 por 4:


4, 5 6, 2 7, 0 5, 5


 7, 2 6, 8 8, 0 10, 0 


A =  8, 0 7, 5 5, 9 7, 2 




 9, 2 8, 5 7, 0 8, 0 
6, 8 7, 2 6, 8 7, 5
Vamos supor que as provas tenham sido submetidas a uma revis˜o e
a
que as seguintes altera¸˜es sejam propostas para as notas:
co


0, 5 0, 0 0, 0
0, 2


 −0, 2 0, 5 0, 5
0, 0 


R =  0, 0 0, 2 0, 6 −0, 1 




0, 2 
 0, 0 0, 5 0, 0
0, 2 0, 0 0, 0
0, 3
A matriz N, com as notas definitivas, ´ a matriz soma das matrizes A e
e
R, formada pelas somas de cada nota com seu fator de corre¸˜o, isto ´, cada
ca
e
termo de A com seu elemento correspondente em R:


4, 5 + 0, 5 6, 2 + 0, 0 7, 0 + 0, 0
5, 5 + 0, 2


 7, 2 + (−0, 2) 6, 8 + 0, 5 8, 0 + 0, 5
10, 0 + 0, 0 


N =A+R =
8, 0 + 0, 0 7, 5 + 0, 2 5, 9 + 0, 6 7, 2 + (−0, 1) 




9, 2 + 0, 0 8, 5 + 0, 5 7, 0 + 0, 0
8, 0 + 0, 2 

6, 8 + 0, 2 7, 2 + 0, 0 6, 8 + 0, 0
7, 5 + 0, 3


5, 0 6, 2 7, 0 5, 7


 7, 0 7, 3 8, 5 10, 0 


Logo, N =  8, 0 7, 7 6, 5 7, 1 




9, 2 9, 0 7, 0 8, 2 

7, 0 7, 2 6, 8 7, 8
Defini¸˜o
ca
Dadas as matrizes A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mm×n (R), a matriz soma de
A e B ´ a matriz C = (cij ) ∈ Mm×n (R) tal que
e
cij = aij + bij , ∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ..., n}
19
CEDERJ

20. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co
ca
ca
ca
u
Álgebra Linear 1
Representamos a matriz soma de A e B por A + B. Em palavras, cada
elemento de A + B ´ a soma dos elementos correspondentes das matrizes A e
e
B. A diferen¸a de A e B, indicada por A − B, ´ a soma de A com a oposta
c
e
de B, isto ´: A − B = A + (−B).
e
Exemplo 13
−5 4
2 1
1.
+
1 −2
0
3
−4 2
2 4
=

 
 
 
 

3 8
2 −1
3 8
−2
1
1
9

 
 
 
 

2.  −1 4 − 7
2  =  −1 4 + −7 −2  =  −8
2 
7 2
−3
6
7 2
3 −6
10 −4
Multiplica¸˜o por um n´mero real
ca
u
Seja A =
3
1
2 −4
2A = A + A =
. Queremos obter 2A:
3
1
2 −4
+
3
1
2 −4
=
2×3
2×1
2 × 2 2 × (−4)
.
Em palavras, o produto da matriz A pelo n´ mero real 2 ´ a matriz
u
e
obtida multiplicando-se cada elemento de A por 2.
Voltemos a nossa tabela de notas dos alunos do CEDERJ. Suponhamos
`
que, para facilitar o c´lculo das m´dias, queiramos trabalhar numa escala de
a
e
0 a 100 (em vez de 0 a 10, como agora). Para isso, cada nota dever´ ser
a
multiplicada por 10. Teremos, ent˜o, a seguinte matriz:
a


50 62 70 57


 70 73 85 100 


10N =  80 77 65 71 




92 90 70 82 

70 72 68 78
´
Vocˆ ver´ que, em Algebra
e
a
Linear, lidamos com dois
tipos de objeto matem´tico:
a
os escalares (que, neste
curso, ser˜o os n´meros
a
u
reais) e os vetores.
CEDERJ
20
Podemos, ent˜o, definir a multiplica¸˜o de uma matriz por um n´mero
a
ca
u
´
real (ou, como ´ usual dizer no ambito da Algebra Linear, por um escalar).
e
ˆ

21. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co
ca
ca
ca
u
´
MODULO 1 - AULA 2
Defini¸˜o
ca
e
Dada A = (aij ) ∈ Mm×n (R) e α ∈ R, a matriz produto de A por α ´ a
matriz C = (cij ) ∈ Mm×n (R) tal que
cij = α aij ,
∀i ∈ {1, ..., m}, ∀j ∈ {1, ...n}
Representamos a matriz produto de A por α por α A.
Exemplo 14
Dadas A =
1. 2A =
2.
1
B
3
=
−5 2
,B=
1 4
0 6
−3 8
eC=
6 −1
3
5
, temos:
−10 4
2 8
0
2
−1 8/3
3. A+2B−3C =
−5 2
1 4
+
0 12
−6 16
+
−18
3
−9 −15
=
−23 17
−14 5
Propriedades das opera¸˜es com matrizes
co
Vocˆ talvez j´ tenha se questionado quanto ` necessidade ou utilidade
e
a
a
de se listar e provar as propriedades de uma dada opera¸˜o. Comutatividade,
ca
associatividade... aparentemente sempre as mesmas palavras, propriedades
sempre v´lidas... No entanto, s˜o as propriedades que nos permitem estena
a
der uma opera¸˜o que foi definida para duas matrizes, para o caso de somar
ca
trˆs ou mais. Ela tamb´m flexibilizam e facilitam os c´lculos, de modo que
e
e
a
quanto mais as dominamos, menos trabalho “mecˆnico”temos que desenvola
ver. Veremos agora as propriedades v´lidas para as opera¸˜es j´ estudadas.
a
co a
Propriedade da transposi¸˜o de matrizes
ca
T
(t1) Para toda matriz A ∈ Mm×n (R), vale que AT = A.
A validade dessa propriedade ´ clara, uma vez que escrevemos as linhas
e
de A como colunas e, a seguir, tornamos a escrever essas colunas como linhas,
retornando a configura¸˜o original. Segue abaixo a demonstra¸˜o formal
`
ca
ca
dessa propriedade:
Seja A = (aij ) ∈ Mm×n (R). Ent˜o AT = B = (bji ) ∈ Mn×m (R) tal que
a
bji = aij , ( ou, equivalentemente, bij = aji ), ∀i ∈ {1, ...m}, ∀j ∈ {1, ..., n}.
21
CEDERJ

22. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co
ca
ca
ca
u
Álgebra Linear 1
T
Da´ AT = B T = C = (cij ) ∈ Mm×n (R) tal que cij = bji = aij , ∀i ∈
ı,
T
{1, ...m}, ∀j ∈ {1, ..., n}. Logo, C = B T = AT = A.
Propriedades da adi¸˜o de matrizes
ca
Para demonstrar as propriedades da adi¸˜o de matrizes, usaremos as
ca
propriedades correspondentes, v´lidas para a adi¸˜o de n´ meros reais.
a
ca
u
Sejam A = (aij ), B = (bij ) e C = (cij ) matrizes quaisquer em Mm×n (R).
Valem as seguintes propriedades.
(a1) Comutativa: A + B = B + A
e
e
De fato, sabemos que A + B = (sij ) ´ tamb´m uma matriz m × n cujo
elemento gen´rico ´ dado por: sij = aij + bij , para todo i = 1, ..., m e todo
e
e
j = 1, ..., n. Como a adi¸˜o de n´ meros reais ´ comutativa, podemos escrever
ca
u
e
sij = bij +aij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Isto ´, A+B = B +A.
e
Em palavras: a ordem como consideramos as parcelas n˜o altera a soma de
a
duas matrizes.
(a2) Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
De fato, o termo geral sij de (A+B)+C ´ dado por sij = (a+b)ij +cij =
e
(aij + bij ) + cij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Como a adi¸˜o
ca
de n´ meros reais ´ associativa, podemos escrever sij = aij + (bij + cij ) =
u
e
aij +(b+c)ij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Ou seja, sij ´ tamb´m o
e
e
termo geral da matriz obtida de A+(B+C). Isto ´, (A+B)+C = A+(B+C).
e
Em palavras: podemos estender a adi¸˜o de matrizes para o caso de trˆs
ca
e
parcelas, associando duas delas. A partir dessa propriedade, podemos agora
somar trˆs ou mais matrizes.
e
(a3) Existˆncia do elemento neutro: Existe O ∈ Mm×n (R) tal que A+O = A.
e
De fato, seja O a matriz nula de Mm×n (R), isto ´, O = (oij ), onde
e
oij = 0, para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Sendo sij o termo geral de
A + O, temos sij = aij + oij = aij + 0 = aij , para todo i = 1, ..., m e todo
j = 1, ..., n. Ou seja, A + O = A.
Em palavras: na adi¸˜o de matrizes a matriz nula desempenha o mesmo
ca
papel que o zero desempenha na adi¸˜o de n´ meros reais.
ca
u
O elemento oposto ´ tamb´m
e
e
chamado elemento sim´trico
e
ou inverso aditivo.
(a4) Da existˆncia do elemento oposto : Existe (−A) ∈ Mm×n (R) tal que
e
A + (−A) = O.
De fato, sabemos que cada elemento de −A ´ o oposto do elemento
e
correspondente de A. Ent˜o, sendo sij o termo geral de A + (−A), temos
a
CEDERJ
22

23. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co
ca
ca
ca
u
´
MODULO 1 - AULA 2
sij = aij + (−aij ) = 0 = oij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Isto ´,
e
A + (−A) = O.
Em palavras: Cada matriz possui, em correspondˆncia, uma matriz de mesma
e
ordem tal que a soma das duas ´ a matriz nula dessa ordem.
e
(a5) Da soma de transpostas: AT + B T = (A + B)T
De fato, seja sij o termo geral de AT +B T . Ent˜o, para todo i = 1, ..., m
a
e
e todo j = 1, ..., n, sij = aji +bji = (a+b)ji, que ´ o termo geral de (A+B)T .
T
T
T
Ou seja, A + B = (A + B) .
Em palavras: A soma das transpostas ´ a transposta da soma. Ou, vendo sob
e
outro angulo: a transposi¸˜o de matrizes ´ distributiva em rela¸˜o a adi¸˜o.
ˆ
ca
e
ca `
ca
Propriedades da multiplica¸˜o de uma matriz por um escalar
ca
Vocˆ ver´ que, tamb´m neste caso, provaremos a validade dessas proprie
a
e
edades usando as propriedades correspondentes da multiplica¸˜o de n´ meros
ca
u
reais.
Sejam A = (aij ), B = (bij ) ∈ Mm×n (R), α, β, γ ∈ R. Valem as seguintes propriedades:
(mn1) (αβ)A = α(βA)
e
De fato, seja pij o termo geral de (αβ)A, isto ´, pij = ((αβ)a)ij =
(αβ)aij = α(βaij ) = (α(βa))ij , para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Ou
seja, pij ´ tamb´m o termo geral de α(βA). Logo, (αβ)A = α(βA).
e
e
Exemplo 15
Dada A ∈ Mm×n (R), 12A = 3(4A) = 2(6A).
(mn2) (α + β)A = αA + βA
e
De fato, seja pij o termo geral de (α + β)A, isto ´, pij = ((α + β)a)ij =
(α + β)aij = αaij + βaij = (αa)ij + (βa)ij , para todo i = 1, ..., m e todo
j = 1, ..., n. Ou seja, pij ´ tamb´m o termo geral de αA + βA. Logo,
e
e
(α + β)A = αA + βA.
Exemplo 16
Dada A ∈ Mm×n (R), 12A = 7A + 5A = 8A + 4A.
(mn3) α(A + B) = αA + αB
a
De fato, seja pij o termo geral de α(A+B). Ent˜o, para todo i = 1, ..., m
e todo j = 1, ..., n, temos pij = (α(a + b))ij = α(a + b)ij = α(aij + bij ) =
23
CEDERJ

24. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co
ca
ca
ca
u
Álgebra Linear 1
αaij +αbij = (αa)ij +(αb)ij . Ou seja, pij ´ tamb´m o termo geral de αA+αB.
e
e
Logo, α(A + B) = αA + αB.
Exemplo 17
Dadas A, B ∈ Mm×n (R), 5(A + B) = 5A + 5B.
(mn4) 1A = A
De fato, sendo pij o termo geral de 1A, temos pij = (1a)ij = 1aij = aij ,
para todo i = 1, ..., m e todo j = 1, ..., n. Isto ´, 1A = A.
e
(mn5) αAT = (αA)T
De fato, seja pij o termo geral de αAT . Ent˜o pij = αaji = (αa)ji, ou
a
seja, pij ´ tamb´m o termo geral de (αA)T .
e
e
Exemplo 18
Dadas A =
2
1
4 0
T
eB =
, vamos determinar 3 2AT − 1 B .
2
0 −1
−2 6
Para isso, vamos usar as propriedades vistas nesta aula e detalhar cada passo,
indicando qual a propriedade utilizada.
1
3 2A − B
2
T
T
a5
=
mn5
=
t1
=
mn3
=
mn1
=
=
=
3
T T
2A
3 2 AT
T
12
6
0 −6
=
24
−
T
1
− BT
2
1
3 2A − B T
2
1 T
B
3(2A) − 3
2
1
(3.2)A − 3.
BT
2
3
6A − B T
2
2
1
3 4 −2
6
−
2 0
0 −1
6
=
CEDERJ
1
B
2
6
9
0 −15
−
6 −3
0
9

25. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co
ca
ca
ca
u
´
MODULO 1 - AULA 2
Observa¸˜o. E claro que vocˆ, ao efetuar opera¸˜es com matrizes, n˜o
ca ´
e
co
a
precisar´ explicitar cada propriedade utilizada (a n˜o ser que o enunciado da
a
a
quest˜o assim o exija!) e nem resolver a quest˜o passo-a-passo. O impora
a
tante ´ constatar que s˜o as propriedades das opera¸˜es que nos possibilitam
e
a
co
reescrever a matriz pedida numa forma que nos pare¸a mais “simp´tica”.
c
a
Resumo
Nesta aula come¸amos a operar com as matrizes. Vimos como obc
ter a transposta de uma matriz e a reconhecer matrizes sim´tricas e antie
sim´tricas. A seguir, aprendemos a somar duas matrizes e a multiplicar
e
uma matriz por um escalar. Finalizamos com o estudo das propriedades das
opera¸˜es vistas. A aula ficou um pouco longa, mas ´ importante conhecer
co
e
as propriedades v´lidas para cada opera¸˜o estudada.
a
ca
Exerc´
ıcios
1. Obtenha a transposta da matriz A ∈ M2×4 (R), A = (aij ), tal que
2i + j, se i = j
aij =
i2 − j, se i = j


2 4 2a − b


2. Determine a e b para que a matriz  a + b 3
e
0  seja sim´trica.
−1 0
5
3. Mostre que a soma de duas matrizes sim´tricas ´ uma matriz sim´trica.
e
e
e


2x a + b a − 2b


4. Determine a, b, c, x, y, z para que a matriz  −6 y 2
2c  seja
5
8
z−1
anti-sim´trica.
e




2
1
0 1




5. Sendo A =  0 −1  e B =  7 3 , determine A + B.
3
2
−4 5
6. Determine a, b, e c para que
a 3 2a
+
c 0 −2
b −3 −1
1
4
3
=
2 0 5
3 4 1
.
25
CEDERJ

26. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co
ca
ca
ca
u
Álgebra Linear 1
3 −5
, determine a matriz B tal que A+ B ´ a matriz
e
−4
2
nula de M2 (R).
7. Dada A =


5


8. Considere as matrizes A =  −1  ,
2


1
 
B =  2 ,
3
e
C =
0 −2 1 . Determine a matriz X em cada caso:
(a) X = 2A − 3B
(b) X + A = B − C T − 2X
(c) X + B T = 3AT + 1 C
2
9 4 2
6 12 11
e B =
matrizes X e Y tais que
2X + Y
X − 2Y
9. Sendo A =
−8
7 −9
−12 −19 −2
, determine as
= A
= B
10. Sendo A, B ∈ Mm×n (R), use as propriedades vistas nesta aula para
T
T
simplificar a express˜o 3 2AT − B + 5 1 B T − AT + 3 B .
a
5
5
Auto-avalia¸˜o
ca
Vocˆ deve se sentir ` vontade para operar com matrizes nas formas vise
a
tas nesta aula: transpor, somar e multiplicar por um escalar. S˜o opera¸˜es
a
co
de realiza¸˜o simples, que seguem a nossa intui¸˜o. Al´m disso, ´ importante
ca
ca
e
e
que vocˆ reconhe¸a a utilidade das propriedades no sentido de nos dar mobie
c
lidade na hora de operarmos com matrizes. Propriedades de opera¸˜es n˜o
co
a
s˜o para serem decoradas, mas apreendidas, assimiladas, utilizadas ao pˆr a
a
o
teoria em pr´tica!
a
Se vocˆ sentiu qualquer dificuldade ao acompanhar a aula ou ao resolver
e
os exerc´
ıcios propostos, pe¸a aux´ ao tutor da teoria. O importante ´ que
c
ılio
e
caminhemos juntos nesta jornada!
At´ a pr´xima aula!!
e
o
CEDERJ
26

27. Opera¸˜es com matrizes: transposi¸˜o, adi¸˜o e multiplica¸˜o por n´mero real
co
ca
ca
ca
u
´
MODULO 1 - AULA 2
Respostas dos exerc´
ıcios



1. 

3
−1
−2
−3
3
5
1
0





2. a = 1; b = 3
4. a = 7 ; b =
3
11
;
3
c = −4; x = 0; y = 0; z = 1


2 2


5.  7 2 
−1 7
6. a = 3; b = −1; c = 2
7.
−3
5
4 −2




7
−4




8. (a)  −8  (b)  1  (c)
−5
0
9. X =
2 3 −1
0 1
4
; Y =
14 −6
7
2
5 −2 4
6 10 3
10. A + B
27
CEDERJ

29. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
co
ca
´
MODULO 1 - AULA 3
Aula 3 – Opera¸˜es com matrizes:
co
multiplica¸˜o
ca
Objetivos
Reconhecer quando ´ poss´ multiplicar duas matrizes;
e
ıvel
Obter a matriz produto de duas matrizes;
Aplicar as propriedades da multipli¸˜o de matrizes;
ca
Identificar matrizes invers´
ıveis.
Se vocˆ j´ foi “apresentado” a multiplica¸˜o de matrizes, pode ter se
e a
`
ca
perguntado por que a defini¸˜o foge tanto daquilo que nos pareceria mais
ca
f´cil e “natural”: simplesmente multiplicar os termos correspondentes das
a
duas matrizes (que, para isso, deveriam ser de mesma ordem).
Poderia ser assim? Poderia!
Ent˜o, por que n˜o ´?
a
a e
Em Matem´tica, cada defini¸˜o ´ feita de modo a possibilitar o desena
ca e
´
volvimento da teoria de forma cont´
ınua e coerente. E por essa raz˜o que
a
0
definimos, por exemplo, 0! = 1 e a = 1, (a = 0).
N˜o ir´
a ıamos muito longe, no estudo das matrizes, caso a multiplica¸˜o
ca
fosse definida “nos moldes” da adi¸˜o. Vocˆ ver´, nesta aula, o significado
ca
e
a
dessa opera¸˜o, no modo como ´ definida. Mais tarde, quando estudarca
e
mos transforma¸˜es lineares (no m´dulo 2), ficar´ ainda mais evidente a
co
o
a
importˆncia de multiplicarmos matrizes da maneira como veremos a seguir.
a
O caso 00 ´ mais delicado do
e
que parece. Se vocˆ tem
e
interesse nesse problema, vai
gostar de ler o artigo de
Elon Lages Lima, na Revista
do Professor de Matem´tica
a
(RPM), n. 7.
Venha conosco!
Vamos voltar aos nossos alunos de Lugar Lindo. J´ ´ tempo de calcular
ae
suas notas finais!
A ultima matriz obtida (na aula 2) fornecia as notas numa escala de 0
´
a 100:


50 62 70 57


 70 73 85 100 


N =  80 77 65 71 




 92 90 70 82 
70 72 68 78
Lembrando: as duas primeiras colunas indicam as notas das avalia¸˜es
co
29
CEDERJ

30. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
co
ca
Álgebra Linear 1
a
` distˆncia e as duas ultimas, as notas das avalia¸˜es presenciais dos alunos
a
´
co
Ana, Beatriz, Carlos, Daniela e Edson, nessa ordem.
Vamos supor que as avalia¸˜es a distˆncia tenham, cada uma, peso 1,
co `
a
1
num total de 10. Isto ´, cada uma colabora com 10 (ou 10%) da nota final.
e
Para completar, cada avalia¸˜o presencial ter´ peso 4, ou seja, repreca
a
4
sentar´ 10 (ou 40%) da nota final.
a
Ent˜o, a nota final de cada aluno ser´ dada por:
a
a
NF =
10
40
40
10
AD1 +
AD2 +
AP 1 +
AP 2
100
100
100
100
Em vez de escrever uma express˜o como essa para cada um dos 5 alunos,
a
podemos construir uma matriz-coluna P contendo os pesos das notas, na
ordem como aparecem no c´lculo de NF :
a


10/100
 10/100 


P =

 40/100 
40/100
e efetuar a seguinte opera¸˜o:
ca



50 62 70 57
10/100


 70 73 85 100  

  10/100
N .P =  80 77 65 71  . 

  40/100


92 90 70 82 

40/100
70 72 68 78




=






=

10
10
40
40
.50 + 100 .62 + 100 .70 + 100 .57
100
10
10
40
40
.70 + 100 .73 + 100 .85 + 100 .100
100
10
10
40
40
.80 + 100 .77 + 100 .65 + 100 .71
100
10
10
40
40
.92 + 100 .90 + 100 .70 + 100 .82
100
10
10
40
40
.70 + 100 .72 + 100 .68 + 100 .78
100


 
 
 
=
 
 
 
62
88
70
79
73








O que fizemos: tomamos duas matrizes tais que o n´mero de termos
u
em cada linha da primeira ´ igual ao n´mero de termos de cada coluna da
e
u
segunda. Ou seja, o n´mero de colunas da primeira coincide com o n´mero
u
u
de linhas da segunda (4, no nosso exemplo).
Dessa forma, podemos multiplicar os pares de elementos, “varrendo”,
simultaneamente, uma linha da 1a. matriz e uma coluna da 2a. . Depois,
somamos os produtos obtidos.
CEDERJ
30

31. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
co
ca
´
MODULO 1 - AULA 3
Note que, ao considerarmos a i-´sima linha (da 1a. matriz) e a j-´´sima
e
e
a.
coluna (da 2 ), geramos o elemento na posi¸˜o ij da matriz produto.
ca
Formalmente, temos a seguinte defini¸˜o:
ca
Multiplica¸˜o de matrizes
ca
Sejam A = (aik ) ∈ Mm×p (R) e B = (bkj ) ∈ Mp×n (R). A matriz produto
de A por B ´ a matriz AB = (cij ) ∈ Mm×n (R) tal que
e
p
cij =
aik .bkj , i = 1, ..., m; j = 1, ..., n
k=1


1 3 10
2
3 2 −1


e B =  −1 5 0
e
5 . Como A ´ do tipo
4 0
7
2 6 4 −2
e
2 × 3 e B ´ do tipo 3 × 4, existe a matriz AB e ´ do tipo 2 × 4:
e


1 3 10
2
3 2 −1 

AB =
5 =
 −1 5 0
4 0
7
2 6 4 −2
Exemplo 19
Sejam A =
=
3 − 2 − 2 9 + 10 − 6 30 + 0 − 4 6 + 10 + 2
4 + 0 + 14 12 + 0 + 42 40 + 0 + 28 8 + 0 − 14
=
−1 13 26 18
18 54 68 −6
Observe que, neste caso, n˜o ´ poss´ efetuar BA.
a e
ıvel
A seguir, veremos alguns exemplos e, a partir deles, tiraremos algumas
conclus˜es interessantes a respeito da multiplica¸˜o de matrizes.
o
ca
Exemplo 20
Sejam A =
AB =
e
BA =
2
4
3 −1
2
4
3 −1
3 2
5 6
eB=
3 2
. Ent˜o
a
5 6
3 2
5 6
=
6 + 20 4 + 24
9−5 6−6
2
4
3 −1
=
6 + 6 12 − 2
10 + 18 20 − 6
=
=
26 28
4 0
12 10
.
28 14
Note que o produto de duas matrizes quadradas de mesma ordem n
existe e ´ tamb´m uma matriz quadrada de ordem n. Assim, a multiplica¸˜o
e
e
ca
pˆde ser efetuada nos dois casos, isto ´, nas duas ordens poss´
o
e
ıveis, mas as
matrizes AB e BA s˜o diferentes.
a
31
CEDERJ

32. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
co
ca
Álgebra Linear 1
Exemplo 21
Sejam A =
AB =
1 2
3 4
e B=
1 4
6 7
. Temos que:
1 2
3 4
1 4
6 7
=
1 + 12 4 + 14
3 + 24 12 + 28
=
13 18
27 40
1 4
6 7
1 2
3 4
=
1 + 12 2 + 16
6 + 21 12 + 28
=
13 18
27 40
e
BA =
Neste caso, AB = BA. Quando isso ocorre, dizemos que as matrizes A
e B comutam.


Exemplo 22
4
3 2 1


e B =  −19 .
Consideremos as matrizes A =
−4 6 5
26
0
0
Efetuando AB, obtemos a matriz
.
Note que, diferentemente do que ocorre com os n´ meros reais, quando
u
multiplicamos matrizes, o produto pode ser a matriz nula, sem que qualquer
dos fatores seja a matriz nula.
Exemplo 23
Vamos calcular AB, sendo A =
Temos que AB =
Matrizes invers´
ıveis tamb´m
e
s˜o chamadas de invert´
a
ıveis
ou de n˜o-singulares.
a
1 2
3 4
−2 + 3 1 − 1
−6 + 6 3 − 2
=
eB=
1 0
0 1
−2
1
3/2 −1/2
.
= I2 .
Quando isso ocorre, isto ´, quando o produto de duas matrizes A e
e
B quadradas, ´ a identidade (obviamente, de mesma ordem das matrizes),
e
dizemos que A ´ invers´vel e que B ´ a sua inversa. Uma matriz invers´
e
ı
e
ıvel
sempre comuta com sua inversa. Vocˆ pode verificar isso, calculando BA. Na
e
pr´xima aula, estudaremos um m´todo bastante eficiente para determinar,
o
e
caso exista, a matriz inversa de uma matriz dada.
Propriedades da multiplica¸˜o de matrizes
ca
i (AB)C = A(BC), ∀A ∈ Mm×n (R), B ∈ Mn×p (R), C ∈ Mp×q (R).
Isto ´, a multiplica¸˜o de matrizes ´ associativa.
e
ca
e
ındices
De fato, sejam A = (aij ), B = (bjk ) e C = (ckl ). O termo de ´
n
a
ik da matriz AB ´ dado pela express˜o j=1 aij bjk . Ent˜o o termo
e
a
CEDERJ
32

33. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
co
ca
´
MODULO 1 - AULA 3
n
de ´
ındices il da matriz (AB)C ´ dado por p
e
k=1
j=1 aij bjk ckl =
n
p
e
ındices il da matriz A(BC),
j=1 aij (
k=1 bjk ckl ), que ´ o termo de ´
p
e
ındices jl da matriz BC. Logo, (AB)C =
pois k=1 bjk ckl ´ o termo de ´
A(BC).
ii A(B + C) = AB + AC, ∀A ∈ Mm×n (R), B, C ∈ Mn×p (R).
Isto ´, a multiplica¸˜o de matrizes ´ distributiva em rela¸˜o a adi¸˜o
e
ca
e
ca `
ca
de matrizes.
De fato, sejam A = (aij ), B = (bjk ) e C = (cjk ). O termo de ´
ındices jk
de B + C ´ dado por (bjk + cjk ). Ent˜o o de ´
e
a
ındices ik da matriz A(B +
n
n
C) ´ j=1 aij (bjk + cjk ) = j=1 [(aij bjk ) + (aij cjk )] = n (aij bjk ) +
e
j=1
n
(aij cjk ), que ´ o termo de ´
e
ındices ik da matriz dada por AB +AC.
j=1
Isto ´, A(B + C) = AB + AC.
e
De forma an´loga, prova-se que (A + B)C = AC + BC.
a
iii λ(AB) = (λA)B = A(λB), ∀λ ∈ R, ∀A ∈ Mm×n (R), ∀B ∈ Mn×p (R).
De fato, sejam A = (aij ) e B = (bjk ). O termo de ´
ındices ik de λ(AB)
n
n
´ dado por λ
e
e
= j=1 λ(aij bjk ) = n (λaij )bjk , que ´
j=1 aij bjk
j=1
o termo de ´
ındices ik de (λA)B. Isto ´, λ(AB) = (λA)B. De forma
e
an´loga, prova-se que λ(AB) = A(λB). Logo, λ(AB) = (λA)B =
a
A(λB).
iv Dada A ∈ Mm×n (R), Im A = AIn = A.
1, se i = j
. Ent˜o
a
0, se i = j
o termo de ´
ındices ij de Im A ´ dado por n δik akj = δi1 a1j + δi2 a2j +
e
k=1
... + δii aij + ... + δin anj = 0.a1j + 0.a2j + ... + 1.aij + ... + 0anj = aij , que
´ o termo de ´
e
ındices ij de A. Logo, Im A = A. Analogamente, prova-se
e
que AIn = A. Isto ´, Im A = AIn = A.
De fato, sejam A = (aij ) e Im = δij , onde δij =
A fun¸˜o δij assim definida ´
ca
e
chamada delta de Kronecker
nos ´
ındices i e j.
v Dadas A ∈ Mm×n (R), B ∈ Mn×p (R), (AB)T = B T AT .
De fato, sejam A = (aij ) e B = (bjk ). O termo de ´
ındices ik de
n
e
e
ındices ki da
AB ´ dado por j=1 aij bjk , que ´, tamb´m, o termo de ´
e
33
CEDERJ

34. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
co
ca
Álgebra Linear 1
matriz (AB)T . Sendo B T = (bkj ) e AT = (aji), onde bkj = bjk e
aji = aij , ∀i = 1, ..., m; j = 1, ..., n, podemos escrever n aij bjk =
j=1
n
T T
e
ındices ki da matriz B A . Logo,
j=1 bkj aji , que ´ o termo de ´
T
T T
(AB) = B A .
Potˆncias de matrizes
e
Quando multiplicamos um n´mero real por ele mesmo, efetuamos uma
u
potencia¸˜o. Se a ´ um n´ mero real, indicamos por an o produto a×a×...×a,
ca
e
u
onde consideramos n fatores iguais a a.
Analogamente, quando lidamos com matrizes, definimos a potˆncia de
e
expoente n (ou a n-´sima potˆncia) de uma matriz quadrada A como sendo
e
e
o produto A × A × ... × A, onde h´ n fatores iguais a A.
a
Exemplo 24
5 −4
Dada A =
3
1
A2 = A × A =
A3 = A2 × A =
, temos
5 −4
3
1
13 −24
18 −11
5 −4
3
1
=
5 −4
3
1
13 −24
18 −11
=
e
−7 −76
57 −83
Quando calculamos sucessivas potˆncias de uma matriz, podem ocorrer
e
os seguintes casos especiais:
• An = A, para algum n natural.
Nesse caso, dizemos que a matriz A ´ peri´dica. Se p ´ o menor natural
e
o
e
para o qual Ap = A, dizemos que A ´ peri´dica de per´odo p. Particue
o
ı
larmente, se p = 2, a matriz A ´ chamada idempotente.
e
Lˆ-se nilpotente. A palavra
e
nihil significa nada, em latim.
• An = O, para algum n natural.
Nesse caso, dizemos que a matriz A ´ nihilpotente. Se p ´ o menor
e
e
p
natural para o qual A = O, a matriz A ´ dita ser nihilpotente de
e
´
ındice p.
Exemplo 25
Efetuando a multiplica¸˜o de A por ela mesma, vocˆ poder´ constatar que a
ca
e
a
matriz A, em cada caso, ´ idempotente:
e
CEDERJ
34

35. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
co
ca
A=
1/2 1/2
1/2 1/2
A=
0 5
0 1
´
MODULO 1 - AULA 3
.
Exemplo 26
Seja A =
5 −1
25 −5
. Calculando A2 , temos A×A =
5 −1
25 −5
5 −1
25 −5
=
0 0
. Ou seja, A ´ nihilpotente de ´
e
ındice 2.
0 0
Resumo
Nesta aula vimos como multiplicar duas matrizes. Trata-se de uma
opera¸˜o que se distingue das que vimos anteriormente, tanto pela maneira
ca
pouco intuitiva pela qual ´ definida, quanto pelo fato de n˜o ser comutae
a
tiva. Ela representa um papel muito importante no desenvolvimento de toda
´
a Algebra Linear, permitindo, por exemplo, uma representa¸˜o simples da
ca
composi¸˜o de fun¸˜es especiais, que estudaremos no m´dulo 2. Al´m disso,
ca
co
o
e
fomos apresentados as matrizes invers´
`
ıveis e vimos que estas sempre comutam
com suas matrizes inversas.
Exerc´
ıcios
1. Calcule AB, em cada caso abaixo:

(a) A =
1 −2 4
5
0 1

2


, B= 6 
10
2 0
4 −6
, B=
−1 4
−2
3


3


(c) A =  −1  , B = 6 5 −3
2
(b) A =
35
CEDERJ

36. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
co
ca
Álgebra Linear 1

2. Determine


C=
7
6
−8



1
2
4 2




AB T − 2C, dadas A =  2
5 , B =  2 1 ,
0 −3
−1 7

9 1

4 2 .
−10 3
3. Verifique, em caso, se B ´ a matriz inversa de A:
e
2 3
2/3 −1/3
a) A =
e B=
1 6
−1/9
2/9
b) A =
1 5
−3 2
6 −5
−1
1
e B=
4. Resolva a equa¸˜o matricial
ca
3
1
2 −5
5. Determine a e b para que as matrizes A =
a b
c d
=
2 3
−9 5
5 15
−8 −7
eB =
.
a −1
3
b
comutem.
6. Determine todas as matrizes que comutam com A, em cada caso:
1 2
a) A =
4 5
b) A =
0 1
3 1
7. Dadas as matrizes A =
1 −3
2
5
e B=
1 4
0 2
, calcule:
a) A2
b) B 3
c) A2 B 3

0

8. As matrizes A =  0
0
Determine o ´
ındice de
CEDERJ
36

1 0

0 1  e B =
0 0
cada uma.
3 −9
1 −3
s˜o nihilpotentes.
a

37. Opera¸˜es com matrizes: multiplica¸˜o
co
ca
´
MODULO 1 - AULA 3
Auto-avalia¸˜o
ca
´
E muito importante que vocˆ se sinta bem ` vontade diante de duas mae
a
trizes a multiplicar. Assimilada a defini¸˜o, repita os exemplos e os exerc´
ca
ıcios
que tenham deixado alguma d´ vida. Caso haja alguma pendˆncia, n˜o hesite
u
e
a
´ essencial que caminhemos juntos!! At´
em contactar o tutor da disciplina. E
e
a pr´xima aula.
o
Respostas dos exerc´
ıcios

1. a) AB =
30
70
14 −24
−7
12
b)AB =

18 15 −9


c)AB =  −6 −5
3 .
12 10 −6


−6 −14
11


2.  6
1
29 
10
17 −27
a
3. a) sim (pois AB = I2 ); b) n˜o
4.
1 4
2 3
5. a = 1; b = 0
6. a)
x z/2
z x−z
7. a)
−5 −18
12
19
, x, z ∈ R
b)
b)
1 12
0 4
x
y
3y x + y
c)
, x, y ∈ R.
1 28
0 8
8. a) 3; b) 2
37
CEDERJ

39. Opera¸˜es com matrizes: invers˜o
co
a
´
MODULO 1 - AULA 4
Aula 4 – Opera¸˜es com matrizes: invers˜o
co
a
Objetivos
Obter a matriz inversa (caso exista), pela defini¸˜o;
ca
Aplicar opera¸˜es elementares `s linhas de uma matriz;
co
a
Obter a matriz inversa (caso exista), por opera¸˜es elementares;
co
Reconhecer matrizes ortogonais.
Na aula 3 vimos que, dada uma matriz A ∈ Mn (R), se existe uma
matriz B ∈ Mn (R), tal que AB = In , a matriz A ´ dita invers´vel e a matriz
e
ı
−1
ıvel
B ´ a sua inversa, e podemos escrever B = A . Uma matriz invers´
e
sempre comuta com sua inversa; logo, se AB = In ent˜o BA = In e A ´ a
a
e
inversa de B.
Dada uma matriz quadrada A, n˜o sabemos se ela ´ ou n˜o invers´
a
e
a
ıvel
at´ procurar determinar sua inversa e isso n˜o ser poss´
e
a
ıvel. Para descobrir se
uma matriz ´ ou n˜o invers´ e, em caso afirmativo, determinar sua inversa,
e
a
ıvel
s´ contamos, at´ o momento, com a defini¸˜o. Assim, dada uma matriz A de
o
e
ca
ordem n, escrevemos uma matriz tamb´m de ordem n, cujos elementos s˜o
e
a
inc´gnitas a determinar, de modo que o produto de ambas seja a identidade
o
de ordem n. Vamos a um exemplo:
Exemplo 27
Em cada caso, vamos determinar, caso exista, a matriz inversa de A:
1. A =
2 5
1 3
. Seja B =
x y
z t
a matriz inversa de inversa de A,
ent˜o
a
AB = I2 ⇒
⇒
2 5
1 3
x y
z t
2x + 5z 2y + 5t
x + 3z y + 3t
1 0
0 1
=
=
1 0
0 1
Essa igualdade gera um sistema de 4 equa¸˜es e 4 inc´gnitas:
co
o

 2x + 5z = 1


 2y + 5t = 0
 x + 3z = 0



y + 3t = 1
39
CEDERJ

40. Opera¸˜es com matrizes: invers˜o
co
a
Álgebra Linear 1
Note que esse sistema admite dois subsistemas de 2 equa¸˜es e 2 inc´gnitas:
co
o
2x + 5z = 1
x + 3z = 0
2y + 5t = 0
y + 3t = 1
e
Resolvendo cada um deles, obtemos x = 3, y = −5, z = −1, t = 2.
3 −5
Logo, a matriz A ´ invers´ e sua inversa ´ A−1 =
e
ıvel
e
−1
2
2. A =
A=
6 3
. Procedendo com no item anterior, escrevemos:
8 4
6 3
8 4
x y
z t
=
1 0
0 1
⇒
6x + 3z 6y + 3t
8x + 4z 8y + 4t
=
1 0
.
0 1
Obtemos ent˜o os sistemas
a
6x + 3z = 1
8x + 4z = 0
e
6y + 3t = 1
8y + 4t = 1
Ao resolver esses sistemas, por´m, vemos que n˜o admitem solu¸˜o
e
a
ca
(tente resolvˆ-los, por qualquer m´todo!). Conclu´
e
e
ımos, ent˜o, que a
a
matriz A n˜o ´ invers´
a e
ıvel.
Vocˆ viu que, ao tentar inverter uma matriz de ordem 2, recaimos em
e
dois sistemas, cada um de duas equa¸˜es e duas inc´gnitas. Se a matriz
co
o
a ser invertida for de ordem 3, ent˜o o problema recair´ em trˆs sistemas,
a
a
e
cada um com trˆs equa¸˜es e trˆs inc´gnitas. J´ d´ pra perceber o trabalho
e
co
e
o
a a
que ter´
ıamos para inverter uma matriz de ordem superior (nem precisamos
pensar numa ordem muito grande: para inverter uma matriz 5 × 5, ter´
ıamos
que resolver 5 sistemas, cada um de 5 equa¸˜es e 5 inc´gnitas!).
co
o
Temos, ent˜o, que determinar uma outra maneira de abordar o proa
blema. Isso ser´ feito com o uso de opera¸˜es que ser˜o realizadas com as
a
co
a
linhas da matriz a ser invertida. Essas opera¸˜s tamb´m poderiam ser deco
e
finidas, de forma an´loga, sobre as colunas da matriz. Neste curso, como
a
s´ usaremos opera¸˜es elementares aplicadas as linhas, n´s nos referiremos a
o
co
`
o
elas, simplesmente, como opera¸˜es elementares (e n˜o opera¸˜es elementares
co
a
co
sobre as linhas da matriz). Vamos a caracteriza¸˜o dessas opera¸˜es.
`
ca
co
Opera¸˜es elementares
co
Dada A ∈ Mm×n (R), chamam-se opera¸oes elementares as seguintes
c˜
a¸˜es:
co
CEDERJ
40

41. Opera¸˜es com matrizes: invers˜o
co
a
´
MODULO 1 - AULA 4
1. Permutar duas linhas de A.
Indicamos a troca das linhas Li e Lj por Li ↔ Lj .
2. Multiplicar uma linha de A por um n´ mero real n˜o nulo.
u
a
u
Indicamos que multiplicamos a linha Li de A pelo n´ mero real λ escrevendo Li ← λLi .
3. Somamos a uma linha de A uma outra linha, multiplicada por um
n´ mero real.
u
Indicamos que somamos ` linha Li a linha Lj multiplicada pelo n´ mero
a
u
real λ por: Li ← Li + λLj .


Exemplo 28
−3 2
5


Vamos aplicar algumas opera¸˜es elementares `s linhas da matriz A =  0 1
co
a
6 :
8 4 −2



8 4 −2
−3 2
5
L1 ↔ L3




⇒ 0 1
1.  0 1
6 
6 
−3 2
5
8 4 −2




−3
2
5
−3 2
5




2.  0 1
6  L2 ← −3L2 ⇒  0 −3 −18 
8
4 −2
8 4 −2




−3 2
5
−3 2
5




3.  0 1
2 
6  L2 ← L2 + 2L3 ⇒  16 9
8 4 −2
8 4 −2

ue
Consideremos o conjunto Mm×n (R). Se, ao aplicar uma seq¨ˆncia de
opera¸˜es elementares a uma matriz A, obtemos a matriz B, dizemos que B
co
´ equivalente a A e indicamos por B ∼ A. Fica definida, assim, uma rela¸˜o
e
ca
no conjunto Mm×n (R), que ´:
e
1. reflexiva: A ∼ A
2. sim´trica: se A ∼ B ent˜o B ∼ A
e
a
3. transitiva: se A ∼ B e B ∼ C ent˜o A ∼ C
a
Isto ´, a rela¸˜o ∼ ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia no conjunto Mm×n (R).
e
ca
e
ca
e
Assim, se A ∼ B ou se B ∼ A podemos dizer, simplesmente, que A e B s˜o
a
equivalentes.
41
CEDERJ

42. Opera¸˜es com matrizes: invers˜o
co
a
Álgebra Linear 1
Lembremos que nosso objetivo ´ determinar um m´todo para encontrar
e
e
a inversa de uma matriz, caso ela exista, que seja mais r´pido e simples do
a
que o uso da defini¸˜o. Para isso, precisamos do seguinte resultado:
ca
Teorema 1
Seja A ∈ Mn (R). Ent˜o A ´ invers´
a
e
ıvel se, e somente se, A ∼ In . Se A ´
e
invers´
ıvel, a mesma sucess˜o de opera¸˜es elementares que transformam A
a
co
em In , transformam In na inversa de A.
Vocˆ poder´ encontrar a
e
a
demonstra¸˜o desse teorema
ca
´
no livro Algebra Linear e
Aplica¸oes, de Carlos
c˜
Callioli, Hygino Domingues e
Roberto Costa, da Atual
Editora, (Apˆndice do
e
Cap´
ıtulo 1).
Este m´todo permite determinar, durante sua aplica¸˜o, se a matriz ´
e
ca
e
ou n˜o invers´
a
ıvel. A id´ia ´ a seguinte:
e e
1. Escrevemos, lado-a-lado, a matriz que queremos inverter e a matriz
identidade de mesma ordem, segundo o esquema:
A
I
2. Por meio de alguma opera¸˜o elementar, obtemos o n´mero 1 na posi¸˜o
ca
u
ca
11.
3. Usando a linha 1 como linha-pivˆ, obtemos zeros nas outras posi¸˜es
o
co
da coluna 1 (para isso, fazemos uso da terceira opera¸˜o elementar).
ca
4. Por meio de uma opera¸˜o elementar, obtemos o n´mero 1 na posi¸˜o
ca
u
ca
22.
5. Usando a linha 2 como linha-pivˆ, obtemos zeros nas outras posi¸˜es
o
co
da coluna 2 (para isso, fazemos uso da terceira opera¸˜o elementar).
ca
6. Passamos para a terceira coluna e assim por diante.
7. Se, em alguma etapa do procedimento, uma linha toda se anula, podemos concluir que a matriz em quest˜o n˜o ´ invers´ - nesse caso,
a a e
ıvel
nenhuma opera¸˜o elementar igualaria essa linha a uma linha da matriz
ca
identidade!
8. Se chegarmos ` matriz identidade, ent˜o a matriz a direita, no esquema,
a
a
`
ser´ a matriz inversa procurada.
a
Veja os dois exemplos a seguir:
CEDERJ
42

43. Opera¸˜es com matrizes: invers˜o
co
a
´
MODULO 1 - AULA 4


Exemplo 29 3 1
2


1. A =  −1 0
a
3 . Escrevemos na forma esquem´tica:
4 2 −5
3 1
2 | 1 0 0
−1 0
3 | 0 1 0 L2 ← −L2
4 2 −5 | 0 0 1
3 1
2 | 1
0 0 L1 ↔ L2
1 0 −3 | 0 −1 0
4 2 −5 | 0
0 1
1 0 −3 | 0 −1 0
3 1
2 | 1
0 0 L2 ← L2 − 3L1
4 2 −5 | 0
0 1 L3 ← L3 − 4L1
1 0 −3 | 0 −1 0
0 1 11 | 1
3 0
0 2
7 | 0
4 1 L3 ← L3 − 2L2
1 0 −3 |
0 −1 0
0 1
11 |
1
3 0
1
0 0 −15 | −2 −2 1 L3 ← − 15 L3
1 0 −3 |
0
−1
0 L1 ← L1 + 3L3
0 1 11 |
1
3
0 L2 ← L2 − 11L3
0 0
1 | 2/15 2/15 −1/15
1 0 0 |
6/15 −9/15 −3/15
0 1 0 | −7/15 23/15 11/15
0 0 1 |
2/15
2/15 −1/15


6 −9 −3

1 
Logo, a matriz A ´ invers´
e
ıvel e A−1 = 15  −7 23 11 . Vocˆ
e
2
2 −1
poder´ verificar que essa ´, realmente, a inversa de A, efetuando a
a
e
multiplica¸˜o dela por A e constatando que o produto ´ I3 .
ca
e


2
4 −1


2. A =  0 −3
a
2 . Escrevendo na forma esquem´tica:
4 11 −4
2
4 −1 | 1 0 0 L1 ← 1 L1
2
0 −3
2 | 0 1 0
4 11 −4 | 0 0 1
43
CEDERJ

44. Opera¸˜es com matrizes: invers˜o
co
a
Álgebra Linear 1
1
2 −1/2 | 1/2 0 0
0 −3
2 |
0 1 0
4 11
−4 |
0 0 1 L3 ← L3 − 4L1
1
2 −1/2 | 1/2 0 0
0 −3
2 |
0 1 0 L2 ← − 1 L2
3
0
3
−2 | −2 0 1
1 2 −1/2 | 1/2
0 0 L1 ← L1 − 2L2
0 1 −2/3 |
0 −1/3 0
0 3
−2 | −2
0 1 L3 ← L3 − 3L2
1 2 −1/2 | 1/2
0 0
0 1 −2/3 |
0 −1/3 0
0 0
0 | −2
1 1
Como a terceira linha se anulou, podemos parar o processo e concluir
que a matriz A n˜o ´ invers´
a e
ıvel.
Propriedades da invers˜o de matrizes
a
1. Se A ∈ Mn (R) ´ invers´
e
ıvel, ent˜o (A−1 )−1 = A
a
De fato, como A−1 A = In , temos que A ´ a inversa de A−1 .
e
2. Se A, B ∈ Mn (R) s˜o invers´
a
ıveis, ent˜o AB ´ invers´
a
e
ıvel e (AB)−1 =
B −1 A−1 .
De fato, temos (AB)(B −1 A−1 ) = A(BB −1 )A−1 = AIn A−1 = AA−1 =
In . Logo, B −1 A−1 ´ a inversa de AB.
e
3. Se A ∈ Mn (R) ´ invers´
e
ıvel, ent˜o (AT )−1 = (A−1 )T .
a
De fato, como AT (A−1 )T = (A−1 A)T = (In )T = In , temos que (A−1 )T
´ a inversa de AT .
e
Exemplo 30
Supondo as matrizes A e B invers´
ıveis, vamos obter a matriz X nas equa¸˜es
co
abaixo:
1. AX = B
Multiplicando os dois membros da igualdade, a esquerda, por A−1 ,
`
temos:
A−1 (AX) = A−1 B
CEDERJ
44

45. Opera¸˜es com matrizes: invers˜o
co
a
´
MODULO 1 - AULA 4
ou:
(A−1 A)X = A−1 B,
IX = A−1 B
Logo, X = A−1 B.
2. (AX)T = B
Temos:
(AX)T = B ⇒ [(AX)T ]T = B T ⇒ AX = B T ⇒ A−1 (AX) =
A−1 B T ⇒ (A−1 A)X = A−1 B T ⇒ IX = A−1 B T ⇒ X = A−1 B T .
Para finalizar esta aula, vamos definir um tipo especial de matriz quadrada invers´
ıvel, que ´ aquela cuja inversa coincide com sua transposta.
e
Matrizes ortogonais
−1
A
Dizemos que uma matriz A ∈ Mn (R), invers´
ıvel, ´ ortogonal, quando
e
T
=A .
Para verificar se uma matriz A ´ ortogonal, multiplicamos A por AT e
e
vemos se o produto ´ a identidade.
e
Exemplo 31
√
3/2
1/2
√
´ ortogonal. De fato, multiplicando essa matriz
e
A matriz
1/2
− 3/2
pela sua transposta, temos:
√
√
1/2 − 3/2
1 0
3/2
1/2
√
√
=
1/2
3/2
1/2
0 1
− 3/2
Veremos mais tarde que as matrizes ortogonais representam um papel importante na representa¸˜o de fun¸˜es especiais, chamadas operadores
ca
co
ortogonais. Chegaremos l´!!!!
a
Resumo
O ponto central desta aula ´ inverter matrizes, quando isso ´ poss´
e
e
ıvel.
Como a defini¸˜o, embora simples, n˜o fornece um m´todo pr´tico para
ca
a
e
a
a invers˜o de matrizes, definimos as opera¸˜es elementares, que permitem
a
co
“passar”, gradativamente, da matriz inicial, a ser invertida, para outras,
numa sucess˜o que nos leva a matriz identidade. Trata-se de um m´todo
a
`
e
45
CEDERJ

46. Opera¸˜es com matrizes: invers˜o
co
a
Álgebra Linear 1
r´pido e eficiente, que resolve tanto o problema de decidir se a inversa existe
a
ou n˜o, como de obtˆ-la, no caso de existir. Esse ´ o m´todo implementado
a
e
e
e
pelos “pacotes”computacionais - aqueles programas de computador que nos
d˜o, em quest˜o de segundos, a inversa de uma matriz.
a
a
Exerc´
ıcios
1. Em cada caso, verifique se a matriz B ´ a inversa de A.
e
(a) A =

3 4
2 3
e
3 −4
−2
3

B=

7 −3 −28


(b) A =  −2
1
8 
0
0
1
1 −3
1
4
(c) A =
2. Dadas A =
3 1
5 2
e
eB =
e
B=

1 3 4


B= 2 7 0 
0 0 1
4 3
−1 1
4 7
, determine: A−1 , B −1 e (AB)−1 .
1 2
3. Supondo as matrizes A, B e C invers´
ıveis, determine X em cada equa¸˜o.
ca
(a) AXB = C
(b) AB = CX
(c) (AX)−1 B = BC
(d) [(AX)−1 B]T = C
4. Determine, caso exista, a inversa da matriz A, em cada caso:
(a) A =

3 −2
1
4

1 −2 3


(b) A =  10
6 10 
4
5 2


2
0
0


(c) A =  4 −1
0 
2
3 −1
CEDERJ
46

47. Opera¸˜es com matrizes: invers˜o
co
a



(d) A = 

1
2
3
4
0
1
2
3
0
0
1
2
0
0
0
1
´
MODULO 1 - AULA 4







1 1 1


5. Que condi¸˜es λ ∈ R deve satisfazer para que a matriz  2 1 2 
co
1 2 λ
seja invers´
ıvel?
Auto-avalia¸˜o
ca
Vocˆ dever´ treinar bastante a aplica¸˜o do m´todo estudado. Fa¸a
e
a
ca
e
c
todos os exerc´
ıcios e, se poss´
ıvel, resolva outros mais - vocˆ mesmo(a) poder´
e
a
´ f´cil, ao final
criar matrizes a inverter e descobrir se s˜o ou n˜o invers´
a
a
ıveis. E a
do processo, verificar se a matriz obtida ´, de fato, a inversa procurada (isto
e
´, se n˜o houve erros nas contas efetuadas): o produto dela pela matriz dada
e
a
tem que ser a identidade. Caso haja alguma d´ vida, em rela¸˜o a teoria ou
u
ca `
aos exerc´
ıcios, entre em contato com o tutor da disciplina.
47
CEDERJ

48. Opera¸˜es com matrizes: invers˜o
co
a
Álgebra Linear 1
Respostas dos exerc´
ıcios
1. (a) sim
(b) sim
(c) n˜o
a
2. A−1 =
2 −1
−5
3
; B −1 =
2 −7
−1
4
3. (a) X = A−1 CB −1
(b) X = C −1 AB
(c) X = A−1 BC −1 B −1
(d) X = A−1 B(C T )−1
4. (a) A−1 =
2/7 1/7
−1/14 3/14
(b) N˜o existe a inversa de A
a


1/2
0
0


(c) A−1 =  2 −1
0 
7 −3 −1

1
0
0 0
 −2
1
0 0

(d) A−1 = 
 1 −2
1 0
0
1 −2 1
5. λ = 1
CEDERJ
48





; (AB)−1 =
39 −23
−22
13
.

49. Determinantes
´
MODULO 1 - AULA 5
Aula 5 – Determinantes
Objetivo
Pr´-requisitos: aulas 1 a 4.
e
Calcular determinantes pelo m´todo da triangulariza¸˜o.
e
ca
Determinante ´ um n´ mero associado a uma matriz quadrada. Como
e
u
estamos lidando, neste curso, apenas com matrizes reais, os determinantes
que calcularemos ser˜o todos n´ meros reais. Os determinantes tˆm in´ meras
a
u
e
u
aplica¸˜es, na Matem´tica e em outras ´reas. Veremos, por exemplo, que o
co
a
a
determinante fornece uma informa¸˜o segura a respeito da inversibilidade ou
ca
n˜o de uma matriz. A ˆnfase desta aula est´ na aplica¸˜o de um m´todo
a
e
a
ca
e
r´pido para calcular determinantes, fazendo uso de algumas das suas proa
priedades e de opera¸˜es elementares, j´ estudadas na aula 4. Antes, por´m,
co
a
e
de nos convencermos de quanto o m´todo que estudaremos ´ mais eficiente
e
e
do que o uso direto da defini¸˜o, vamos recordar a defini¸˜o de determinante,
ca
ca
devida a Laplace.
Determinante
Dada uma matriz A = (aij ) ∈ Mn (R), representamos o determinante
de A por det A ou escrevendo os elementos de A limitados por barras simples:

a11
a21
.
.
.
a12
a22
.
.
.
...
...
...
...
...
a1n
a2n
.
.
.



Se A = 


 an−1,1 an−1,2 ... an−1,n
an1
an2 ... ann
representamos o determinante de A por:


a12 ... a1n
a11


a22 ... a2n 
 a21


.
...
.
.
 ou
.
...
.
.
det 
.
...
.
.




 an−1,1 an−1,2 ... an−1,n 
an1
an2 ... ann
a11
a21
.
.
.




,



a12
a22
.
.
.
...
...
...
...
...
a1n
a2n
.
.
.
an−1,1 an−1,2 ... an−1,n
an1
an2 ... ann
.
49
CEDERJ

50. Determinantes
Álgebra Linear 1
A defini¸˜o de determinante ´ dada de maneira recorrente, em rela¸˜o
ca
e
ca
a
` ordem da matriz. Assim, definimos o determinante de ordem 1, a seguir,
o de ordem 2 e, a partir da ordem 3, reca´
ımos em c´lculos de determinantes
a
de ordens menores. Vamos ver como isso ´ feito:
e
Seja A = (aij ) ∈ Mn (R).
n=1
Neste caso, A = [a11 ] e det A = a11 .
Note que o determinante de
uma matriz de ordem 2 ´ a
e
diferen¸a entre o produto dos
c
termos da diagonal principal
e o produto dos termos da
diagonal secund´ria. Esses
a
produtos se chamam, respectivamente, termo principal e
termo secund´rio da matriz.
a
n=2
Neste caso, A =
a11 a12
a21 a22
e seu determinante ´ dado por:
e
det A = a11 a22 − a12 a21
Exemplo 32
Vamos calcular os determinantes das matrizes abaixo:
1. A =
3 4
6 8
2. A =
2 5
−3 4
3. A =
sen α −cos α
cos α sen α
4. A =
6 4
3 1
n=3
⇒ det A = 3.8 − 4.6 = 24 − 24 = 0
⇒ det A = 8 − (−15) = 23
⇒ det A = sen2 α + cos2 α = 1
⇒ det A = 6 − 12 = −6

a11 a12 a13


Seja A =  a21 a22 a23 . Neste caso, escolhemos uma linha (ou
a31 a32 a33
uma coluna) para desenvolver o determinante.

Desenvolvendo o determinante pela 1a. linha, obtemos:
det A = a11 .(−1)1+1 .
CEDERJ
50
a22 a23
a21 a23
a21 a22
+a12 .(−1)1+2 .
+a13 .(−1)1+3 .
.
a32 a33
a31 a33
a31 a32

51. Determinantes
´
MODULO 1 - AULA 5
Exemplo 33


2 5 −3


det  0 4 5 
3 1 −2
= 2(−1)1+1
4
5
0
5
0 4
+ 5(−1)1+2
+ (−3)(−1)1+3
1 −2
3 −2
3 1
= 2(−8 − 5) − 5(0 − 15) − 3(0 − 12) = 85 .
Observa¸˜o: Existe uma regra pr´tica para o c´lculo do determinante de
ca
a
a
ordem 3, conhecida como Regra de Sarrus. Ela afirma que:
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Lˆ-se “Sarr´
e
ı”.
=
= (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 ) − (a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33 ).
Desenvolvendo os produtos indicados na defini¸˜o de determinante de
ca
ordem 3, vocˆ poder´ ver que as express˜es coincidem.
e
a
o
Exemplo 34
Vamos calcular, novamente, o determinante do exemplo anterior, agora usando
a Regra de Sarrus:
2 5 −3
0 4
5 = [2.4.(−2)+(5.5.3)+(−3.0.1)]−[(−3.4.3)+(2.5.1)+(5.0.(−2))] =
3 1 −2
= (−16 + 75) − (−36 + 10) = 85.
n=4



Seja A = 

a11
a21
a31
a41
a12
a22
a32
a42
a13
a23
a33
a43
a14
a24
a34
a44



.

Desenvolvendo o determinante pela 1a. linha, obtemos:
51
CEDERJ

52. Determinantes
Álgebra Linear 1
det A = a11 .(−1)1+1 . det A−1,−1 +
a12 .(−1)1+2 . det A−1,−2 +
a13 .(−1)1+3 . det A−1,−3 +
a14 .(−1)1+4 . det A−1,−4 ,
onde A−i,−j representa a matriz obtida a partir de A, com a retirada da
i-´sima linha e da j-´sima coluna. Observe que reca´
e
e
ımos no c´lculo de 4
a
determinantes, cada um de ordem 3.
Um determinante de ordem
10 exige a realiza¸˜o de
ca
9.234.099 opera¸˜es!
co
Para n = 5, a defini¸˜o ´ an´loga: iremos recair no c´lculo de 5 deca e a
a
terminantes, cada um de ordem 4. Logo, teremos que calcular 5 × 4 = 20
determinantes de ordem 3. Como vocˆ pode ver, os c´lculos envolvidos na
e
a
obten¸˜o de determinantes crescem rapidamente, a medida que a ordem do
ca
`
determinante aumenta.
Temos, ent˜o, que encontar um m´todo alternativo para calcular detera
e
minantes: a defini¸˜o n˜o fornece uma sa´ r´pida para isso. Antes, por´m,
ca a
ıda a
e
de estudarmos um m´todo mais eficiente para aplicar, usando as propriee
dades dos determinantes e, mais uma vez, opera¸˜es elementares, damos a
co
defini¸˜o do determinante de ordem n, desenvolvido pela i-´sima linha:
ca
e

a11
a21
.
.
.
a12
a22
.
.
.
...
...
...
...
...
a1n
a2n
.
.
.



det 


 an−1,1 an−1,2 ... an−1,n
an1
an2 ... ann




=



n
aij (−1)i+j . det A−i,−j
j=1
Propriedades dos determinantes
Na medida do poss´
ıvel, daremos uma id´ia da demonstra¸˜o dessas proe
ca
priedades. Para verificar a validade de cada uma delas, precisar´
ıamos definir
determinantes pelo uso de permuta¸˜es, o que alongaria demais a nossa aula.
co
Caso vocˆ tenha interesse em conhecer essa abordagem, ir´ encontr´-la em
e
a
a
´
Algebra Linear e Aplica¸˜es, de Carlos Callioli, Hygino Domingues e Roberto
co
Costa.
D1 O determinante de uma matriz ´ unico. Isto ´, n˜o importa por qual
e ´
e a
linha ou coluna o determinante seja desenvolvido, o resultado final ´ sempre
e
o mesmo.
CEDERJ
52

53. Determinantes
´
MODULO 1 - AULA 5
D2 Dada A ∈ Mn (R), det A = det AT
Em palavras: o determinante da transposta ´ igual ao determinante da
e
matriz.
De fato, a express˜o do determinante de A, desenvolvido pela i-´sima
a
e
linha, coincidir´, termo a termo, com a express˜o de det AT , desenvolvido
a
a
pela i-´sima coluna.
e
D3 Se A ∈ Mn (R) possui uma linha (ou uma coluna) nula, ent˜o det A = 0.
a
De fato, basta desenvolver det A por essa linha (ou coluna) nula.
D4 Se escrevemos cada elemento de uma linha (ou coluna) de A ∈ Mn (R)
como soma de 2 parcelas, ent˜o det A ´ a soma de dois determinantes de
a
e
ordem n, cada um considerando como elemento daquela linha (ou coluna)
uma das parcelas, e repetindo as demais linhas (ou colunas).
D5 O determinante de uma matriz triangular ´ o seu termo principal.
e
D6 Se multiplicamos uma linha (ou coluna) de A ∈ Mn (R) por um n´ mero
u
real λ, o determinante de A fica multiplicado por λ.
Lembrando: o termo principal de uma matriz quadrada
´ o produto dos elementos de
e
sua diagonal principal.
D7 Se permutamos duas linhas (ou colunas) de A ∈ Mn (R), ent˜o o detera
minante de A fica multiplicado por −1.
D8 Se A ∈ Mn (R) tem duas linhas (ou colunas) iguais ent˜o det A = 0.
a
D9 Se A ∈ Mn (R) possui uma linha (ou coluna) que ´ soma de m´ ltiplos de
e
u
outras linhas (ou colunas), ent˜o det A = 0.
a
D10 Se somamos a uma linha (ou coluna) de A ∈ Mn (R) um m´ ltiplo de
u
outra linha (ou coluna), o determinante de A n˜o se altera.
a
D11 Se A, B ∈ Mn (R), ent˜o det(AB) = det A. det B.
a
D12 Se A ∈ Mn (R) ´ invers´
e
ıvel, ent˜o det A−1 = (det A)−1 .
a
De fato, se A ´ invers´
e
ıvel, existe A−1 tal que A.A−1 = I.
Ent˜o det(A.A−1 ) = det I.
a
Pela propriedade D11, det A . det A−1 = det I, e pela propriedade D5,
1
temos que det I = 1. Logo, det A−1 =
= (det A)−1 .
det A
Uma conclus˜o importante pode ser tirada a partir da propriedade D12:
a
uma matriz ´ invers´ se, e somente se, seu determinante ´ diferente de zero.
e
ıvel
e
Destaquemos esse resultado:
Seja A ∈ Mn (R).
A ´ invers´
e
ıvel ⇔ det A = 0
53
CEDERJ

54. Determinantes
Álgebra Linear 1
D13 Se A ∈ Mn (R) ´ ortogonal, ent˜o det A−1 = 1 ou − 1.
e
a
De fato, se A ´ ortogonal, A−1 = AT . Pela propriedade D2, det A =
e
T
−1
a
det A = det A . Ent˜o, pela propriedade D12, det A. det A−1 = 1 ⇒
det A. det AT = 1 ⇒ det A. det A = 1 ⇒ (det A)2 = 1 ⇒ det A = ±1.
C´lculo de determinantes por triangulariza¸˜o
a
ca
Observe o que diz a propriedade D5. Calcular o determinante de uma
matriz triangular ´, praticamente, imediato. Dado um determinante, a id´ia,
e
e
ent˜o, ´ aplicar opera¸˜es elementares sobre suas linhas, de modo a triangulaa e
co
riz´-lo. Para isso, temos que observar os efeitos que cada opera¸˜o elementar
a
ca
pode ou n˜o causar no valor do determinante procurado. Vejamos:
a
1. Permutar duas linhas.
Pela propriedade D7, essa opera¸˜o troca o sinal do determinante.
ca
2. Multiplicar uma linha por um n´mero real λ n˜o nulo.
u
a
A propriedade D6 nos diz que essa opera¸˜o multiplica o determinante
ca
por λ.
3. Somar a uma linha um m´ltiplo de outra.
u
Pela propriedade D10, essa opera¸˜o n˜o altera o determinante.
ca a
Diante disso, para triangularizar um determinante, basta que fiquemos
atentos para “compensar”poss´
ıveis altera¸˜es provocadas pelas opera¸˜es eleco
co
mentares utilizadas. Vamos a um exemplo.

Exemplo 35


Calcular, por triangulariza¸˜o, det 
ca

2
5
1
0 −1
4
6 −2
5
1
3 −3
3
2
1
0
L1 ↔L4
1
3 −3 0
0 −1
4 2
=−
0 −20 23 1
0 −1
7 3
CEDERJ
54
2
5
1
0 −1
4
6 −2
5
1
3 −3
1
3 −3 0
0 −1
4 2
=−
6 −2
5 1
2
5
1 3
L3 ←L3 −20L2
L4 ←L4 −L2
3
2
1
0



.

L3 ←L3 −6L1
=
L4 ←L4 −2L1
1
3 −3
0
0 −1
4
2
=−
0
0 −57 −39
0
0
3
1
L3 ←−1/57L3
=

55. Determinantes
´
MODULO 1 - AULA 5
1
3 −3
0
0 −1
4
2
= −(−57)
= −(−57)
0
0
1 39/57
0
0
3
1 L4 ←L4 −3L3
= −(−57).1.(−1).1.(−20/19) = 60.
1
3 −3
0
0 −1
4
2
0
0
1
39/57
0
0
0 −20/19
=
Observa¸oes.
c˜
1. N˜o h´ uma unica maneira de se triangularizar um determinante: as
a a
´
opera¸˜es elementares escolhidas podem diferir, mas o resultado ´ unico.
co
e´
2. O m´todo de triangulariza¸˜o ´ algor´
e
ca e
ıtmico, ou seja, ´ constitu´ de
e
ıdo
um n´ mero finito de passos simples: a cada coluna, da primeira a
u
`
pen´ ltima, devemos obter zeros nas posi¸˜es abaixo da diagonal prinu
co
cipal.
Calcule o determinante do pr´ximo exemplo e compare com a nossa
o
resolu¸˜o: dificilmente vocˆ optar´ pela mesma seq¨ˆncia de opera¸˜es eleca
e
a
ue
co
mentares, mas (se todos tivermos acertado!) o resultado ser´ o mesmo.
a
Exemplo 36
Vamos calcular
2 −4 8
5
4 6
−3
0 2
2 −4 8
5
4 6
−3
0 2
1
L1 ← 2 L1
1 −2
4
= 2 0 14 −14
0 −6
14
1 −2
4
= 2.14 0
1 −1
0
0
8
por triangulariza¸˜o:
ca
1 −2 4
=2
5
4 6
−3
0 2
1
L2 ← 14 L2
L2 ←L2 −5L1
=
L3 ←L3 +3L1
1 −2
4
= 2.14 0
1 −1
0 −6 14
=
L3 ←L3 +6L2
= 2.14.1.1.8 = 224.
Exemplo 37
Vamos aplicar as propriedades estudadas nesta aula para dar os determinane
ıvel
tes de AT , A−1 e 3A, sabendo que A ´ uma matriz quadrada invers´ de
ordem 2 e que det A = D.
1. det AT = D, pois o determinante da matriz transposta ´ igual ao dee
terminante da matriz dada.
55
CEDERJ

56. Determinantes
Álgebra Linear 1
1
e
2. det A−1 = , pois o determinante da matriz inversa ´ o inverso do
D
determinante da matriz dada.
3. det 3A = 32 D = 9D, pois A possui 2 linhas e cada linha multiplicada
por 3 implica multiplicar o determinante por 3.
Exemplo 38
Determine x tal que
2x x + 2
−4
x
= 14
Temos 2x.x−(−4)(x+2) = 14 ⇒ 2x2 +4x−6 = 0 ⇒ x = 1 ou x = −3.
Exemplo 39
Determine x para que a matriz A =
x
1
20 − x x
seja invers´
ıvel.
Sabemos que A ´ invers´
e
ıvel se, e somente se, det A = 0. Queremos,
2
2
ent˜o, x − (20 − x) = 0 ⇒ x + x − 20 = 0 ⇒ x = 4 e x = −5.
a
Resumo
Nesta aula recordamos a defini¸˜o de determinante e vimos que n˜o
ca
a
se trata de um m´todo pr´tico para calcular determinantes de ordens ale
a
tas. Vimos as propriedades dos determinantes e, com o uso de quatro delas,
pudemos facilitar o c´lculo de determinantes, aplicando opera¸˜es elementaa
co
res e “transformando”o determinante original num triangular. Tal m´todo,
e
chamado triangulariza¸˜o, permite que determinantes de ordens altas sejam
ca
obtidos sem que tenhamos que recair numa seq¨ˆncia enorme de determinanue
tes de ordens menores a serem calculados. Veja que esta aula n˜o apresentou
a
nenhuma grande novidade em termos de teoria: foi uma aula mais pr´tica,
a
que apresentou uma t´cnica util de c´lculo.
e
´
a
Exerc´
ıcios
1. Calcule, por triangulariza¸˜o, os seguintes determinantes:
ca
3 −2 4
a) −1
0 2
5
6 2
CEDERJ
56
2 −3
1
7
−2
3
0
4
b)
−1
5
4 −3
2
4 −5
0
10 −2 −6
c) 2
1
6
5
4
2

57. Determinantes
´
MODULO 1 - AULA 5
2. Dada A ∈ Mn (R), tal que det A = D, determine:
a) det AT
b) det A−1
c) det 2A

a b c

3. Seja det A =  d e f
g h i
determinantes:
a
b
c
b)
a) −d −e −f
g
h
i
a d g
d) b e h
c f i
4. Calcule x para que


 = 10. Calcule, usando as propriedades dos
a b c
g h i
d e f
2a 2b 2c
e) g h i
d e f
x + 2 2 −x
4
0
5
6
2x x
a
b
c
c) d/2 e/2 f /2
g
h
i
a
b
c
f) g + d h + e i + f
d
e
f
= 14
5. Sejam A, B ∈ Mn (R) tais que det A = 4 e det B = 5. Determine:
a) det AB
b) det 3A
c) det(AB)−1
d) det(−A)
e) det A−1 B
6. Determine x para que a matriz A =
x x+2
1
x
seja invers´
ıvel.
57
CEDERJ

58. Determinantes
Álgebra Linear 1
Auto-avalia¸˜o
ca
Vocˆ deve estar bem treinado para calcular determinantes pelo m´todo
e
e
da triangulariza¸˜o. Veja que se trata de um c´lculo “ingrato”: n˜o h´ como
ca
a
a a
verificar se estamos certos, a n˜o ser refazendo e comparando os resultados.
a
Por isso, embora se trate de uma t´cnica simples, algor´
e
ıtmica, exige aten¸˜o.
ca
Caso vocˆ tenha sentido d´ vidas, procure o tutor da disciplina.
e
u
Respostas dos exerc´
ıcios
1. a) − 84
b)1.099
c) − 266
2. a)D b)1/D c)2n .D
3. a) − 10 b) − 10 c)5 d)10 e) − 20 f )10
4. x = 1 ou x = − 23
9
5. Sejam A, B ∈ Mn (R) tais que det A = 4 e det B = 5. Determine:
a) det AB = det A. det B = 4 × 5 = 20
b) det 3A = 34 . det A = 3n × 4 = 4.3n
c) det(AB)−1 = [det(AB)]−1 = 20−1 = 1/20
a
ımpar)
d) det(−A) = (−1)n × 4 (ser´ 4, se n for par e -4, se n for ´
e) det A−1 B = det A−1 . det B = 1/4 × 5 = 5/4
6. x = −1 e x = 2
CEDERJ
58

59. Sistemas Lineares
´
MODULO 1 - AULA 6
Aula 6 – Sistemas Lineares
Objetivo
Resolver e classificar sistemas lineares, usando o m´todo do escalonamento.
e
´
Grande parte dos problemas estudados em Algebra Linear recaem na
Pr´-requisitos: aulas 1 a 4.
e
resolu¸˜o ou discuss˜o de sistemas de equa¸˜es lineares. O mesmo aconca
a
co
tece com muitos problemas das demais areas da Matem´tica, da F´
´
a
ısica e
da Engenharia. Vocˆ, com certeza, j´ tomou conhecimento de diferentes
e
a
t´cnicas de resolu¸˜o desses sistemas - substitui¸˜o, adi¸˜o, compara¸˜o, ene
ca
ca
ca
ca
tre outras. Nesta aula e na pr´xima estudaremos um m´todo que permite
o
e
um tratamento eficiente de sistemas de equa¸˜es lineares, seja para obter
co
seu conjunto-solu¸˜o, seja para classific´-lo ou mesmo para impor condi¸˜es
ca
a
co
quanto a existˆncia ou quantidade de solu¸˜es.
`
e
co
Equa¸˜es lineares
co
Uma equa¸˜o linear ´ uma equa¸˜o do tipo
ca
e
ca
a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b
Isto ´, trata-se de uma equa¸˜o na qual cada termo tem grau, no
e
ca
m´ximo, igual a 1. Os elementos de uma equa¸˜o linear s˜o:
a
ca
a
• vari´veis (ou inc´gnitas): x1 , ..., xn
a
o
• coeficientes: a1 , ..., an ∈ R
Uma equa¸˜o ´ uma
ca e
senten¸a matem´tica aberta,
c
a
isto ´, com vari´veis, onde
e
a
duas express˜es s˜o ligadas
o
a
pelo sinal “=”.
Ex: 2x − 1 = 0; x2 − 2x = 6
etc.
O grau de um termo - ou
monˆmio - ´ a soma dos
o
e
expoentes das vari´veis.
a
Ex: xy tem grau 2; x2 y 3 tem
grau 5; 16 tem grau zero.
• termo independente: b ∈ R
Exemplo 40
S˜o equa¸˜es lineares:
a
co
• 3x1 − 2x2 + 17 = 0
• 2x − 3y + 4z = 1
• 4a − 5b + 4c − d = 10
59
CEDERJ

60. Sistemas Lineares
Álgebra Linear 1
• x=2
S˜o equa¸˜es n˜o-lineares:
a
co
a
• x2 − 5x + 6 = 0
• 3xy − x + 4 = 0
√
• 2 x − 3y = 1
•
3
−9 =0
x
Uma solu¸˜o de uma equa¸˜o com n vari´veis ´ uma n-upla ordenada de
ca
ca
a
e
n´ meros reais os quais, quando substitu´
u
ıdos no lugar das vari´veis respectivas
a
na equa¸˜o, fornecem uma senten¸a matem´tica verdadeira.
ca
c
a
Resolver uma equa¸˜o ´ encontrar o conjunto de todas as suas solu¸˜es,
ca e
co
chamado conjunto-solu¸˜o da equa¸˜o.
ca
ca
Exemplo 41
1. O par ordenado (3, 2) ´ uma solu¸˜o da equa¸˜o (n˜o linear) x2 −4y = 1,
e
ca
ca
a
2
pois 3 − 4(2) = 9 − 8 = 1.
2. O conjunto-solu¸˜o da equa¸˜o linear 3x − 1 = 5 ´ {2}.
ca
ca
e
3. A equa¸˜o linear x + y = 10 possui infinitas solu¸˜es. Os pares ordeca
co
nados (2, 8), (−3, 13), (0, 10), (1/5, 49/5) s˜o apenas algumas delas.
a
Sistemas de equa¸˜es lineares
co
Um sistema de equa¸˜es lineares (ou, simplesmente, um sistema linear)
co
´ um conjunto de equa¸˜es lineares que devem ser resolvidas simultaneae
co
mente. Isto ´, uma solu¸˜o do sistema ´ solu¸˜o de cada equa¸˜o linear que
e
ca
e
ca
ca
o comp˜e. Resolver um sistema de equa¸˜es lineares ´ determinar o conjunto
o
co
e
formado por todas as suas solu¸˜es, chamado conjunto-solu¸˜o do sistema.
co
ca
Um sistema linear, com m equa¸˜es e n inc´gnitas, tem a seguinte
co
o
forma:

 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1



 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2



 .
 .



 .




am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm
CEDERJ
60

61. Sistemas Lineares
Exemplo 42
S˜o sistemas de equa¸˜es lineares:
a
co

 x + 2y − 3z = 1


 −2x + 5y − z = 5
2x − y = 3
 3x − 6y = 10
4x + 5y = 0



4x − y + 2z = −1

 2a − 3b = 1

a+b =5


5a − 2b = 8
´
MODULO 1 - AULA 6
x1 − 2x2 + 5x3 = 0
2x1 + x2 = 2
Classifica¸˜o de um sistema linear quanto ` solu¸˜o
ca
a
ca
Um sistema linear pode ter ou n˜o solu¸˜o. Se tem solu¸˜o, pode ter
a
ca
ca
uma s´ ou mais de uma. Podemos, ent˜o, classificar um sistema linear,
o
a
quanto a existˆncia e quantidade de solu¸˜es, em trˆs tipos:
`
e
co
e
• Compat´
ıvel (ou poss´
ıvel) e determinado: quando possui uma unica
´
solu¸˜o.
ca
• Compat´ e indeterminado: quando possui mais de uma solu¸˜o.
ıvel
ca
• Incompat´ (ou imposs´
ıvel
ıvel): quando n˜o possui solu¸˜o.
a
ca
Podemos pensar num sistema de equa¸˜es lineares como sendo um conco
junto de perguntas a responder (qual o valor de cada inc´gnita?). Cada
o
equa¸˜o fornece uma informa¸˜o, uma “dica”a respeito dessas inc´gnitas. Se
ca
ca
o
tivermos informa¸˜es coerentes e em quantidade suficiente, encontraremos
co
uma solu¸˜o, que ser´ unica. Se essas informa¸˜es forem coerentes entre si,
ca
a´
co
mas em quantidade insuficiente, n˜o conseguiremos determinar, uma-a-uma,
a
cada solu¸˜o, mas poderemos caracterizar o conjunto delas. Finalmente, se
ca
as informa¸˜es n˜o forem coerentes entre si, ou seja, se forem incompat´
co
a
ıveis,
o sistema n˜o ter´ solu¸˜o.
a
a
ca
Exemplo 43
Sem ter que aplicar regras de resolu¸˜o, podemos ver que
ca
1. O sistema
Resolver um sistema ´ um
e
pouco como brincar de detetive...
x+y =3
possui uma unica solu¸˜o: o par (2, 1);
´
ca
x−y = 1
x+y =3
possui mais de uma solu¸˜o;
ca
2x + 2y = 6
os pares (1, 2), (0, 3), (3, 0), (2, 1), (3/2, 3/2) s˜o algumas delas;
a
2. O sistema
x+y =3
n˜o possui solu¸˜o (A soma de dois n´ meros
a
ca
u
x+y =4
reais ´ unica!).
e´
3. O sistema
61
CEDERJ

62. Sistemas Lineares
Álgebra Linear 1
Sistemas lineares homogˆneos
e
Dizemos que um sistema linear ´ homogˆneo quando os termos indee
e
pendentes de todas as equa¸˜es que o comp˜em s˜o iguais a zero.
co
o
a
Exemplo 44
S˜o sistemas lineares homogˆneos:
a
e
2x − 3y = 0
x + 5y = 0
3x1 − x2 + 7x3 = 0
x1 − 2x2 + 3x3 = 0

 2x − 5y = 0

x + 5y = 0


−x + 4y = 0
Observe que um sistema linear homogˆneo em n inc´gnitas sempre
e
o
admite a solu¸˜o
ca
(0, 0, ..., 0)
n
A solu¸˜o trivial tamb´m ´
ca
e e
conhecida como solu¸˜o nula
ca
ou ainda solu¸˜o impr´pria.
ca
o
elementos,
chamada solu¸˜o trivial. Logo, um sistema linear homogˆneo ´ sempre comca
e
e
pat´
ıvel. Quando ´ determinado, possui somente a solu¸˜o trivial. Quando
e
ca
´ indeterminado, possui outras solu¸˜es, al´m da trivial, chamadas (obviae
co
e
mente!) solu¸˜es n˜o-triviais.
co
a
J´ ´ hora de resolvermos sistemas lineares. Dissemos, no in´
a e
ıcio da
aula, que far´
ıamos isso usando um m´todo eficiente. Esse m´todo lida com
e
e
matrizes asociadas ao sistema a ser tratado. Vamos, ent˜o, caracterizar essas
a
matrizes.
Matrizes associadas a um sistema linear
Dado um sistema linear com m equa¸˜es e n inc´gnitas:
co
o

 a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1



 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2




.









.
.
am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm
destacamos as seguintes matrizes:
CEDERJ
62

63. Sistemas Lineares
• matriz (m × n) dos coeficientes:

a11 a12

 a21 a22
 .
.
 .
.
.
 .
am1 am2
... a1n
... a2n
.
.
.
.
.
.
... amn
´
MODULO 1 - AULA 6






• matriz (ou vetor) (m × 1) dos termos independentes:


b1


 b2 
 . 
 . 
 . 
bm
• matriz aumentada (ou ampliada)

a11 a12

 a21 a22
 .
.
 .
.
.
 .
(m × (n + 1)) do sistema:

... a1n b1

... a2n b2 
. 
.
.
. 
.
.
. 
.
.
am1 am2 ... amn bm

 2x − 3y + 4z = 18
Exemplo 45

possui
O sistema linear
x + y − 2z = −5


−x + 3z = 4
matriz de coeficientes:

2 −3
4


1 −2 
 1
−1
0
3

matriz de termos independentes:


18


 −5 
4
matriz aumentada:


2 −3
4 18


1 −2 −5 
 1
−1
0
3
4
Resolu¸˜o de sistemas lineares por escalonamento
ca
Observe o sistema linear a seguir:

 2x +y −z =
3

+3y +z = −1


2z =
4
Note que, para resolvˆ-lo, basta:
e
63
CEDERJ

64. Sistemas Lineares
Álgebra Linear 1
• determinar o valor de z na terceira equa¸˜o
ca
• substituir o valor de z na segunda equa¸˜o e obter y
ca
• substituir y e z na primeira equa¸˜o e obter x
ca
num processo chamado m´todo das substitui¸˜es regressivas.
e
co
A resolu¸˜o do sistema ficou bastante facilitada. Vejamos a matriz
ca
aumentada desse sistema:


2 1 −1
3


1 −1 
 0 3
0 0
2
4
Observe que, a partir da segunda linha, o n´mero de zeros iniciais semu
pre aumenta. Quando isso acontece, dizemos que a matriz est´ escalonada.
a
Sistemas com matrizes associadas na forma escalonada podem ser resolvidos
pelo m´todo das substitui¸˜es regressivas, como vimos acima. O problema,
e
co
ent˜o, ´:
a e
Dado um sistema linear, como transformar sua matriz associada em
uma escalonada?
E como fazer isso sem alterar seu conjunto-solu¸˜o?
ca
Dizemos que dois sistemas lineares s˜o equivalentes quando possuem o
a
mesmo conjunto-solu¸˜o. Nosso objetivo, portanto, ´ migrar de um sistema
ca
e
para outro que lhe seja equivalente, e de resolu¸˜o mais simples.
ca
N´s j´ estudamos, na aula 4, as opera¸˜es elementares que podemos
o a
co
efetuar sobre as linhas de uma matriz. Vamos recordar quais s˜o elas:
a
1. Permutar duas linhas.
Nota¸˜o: Li ↔ Lj
ca
2. Multiplicar uma linha por um n´mero real n˜o nulo.
u
a
Nota¸˜o: Li ← λLi
ca
Neste caso, dizemos que Lj ´
e
a linha pivˆ.
o
Vocˆ pode encontrar essas
e
passagens, em detalhes, no
´
livro Algebra Linear e
Aplica¸os, de Collioli,
c˜
Domingues e Costa, da
Atual Editora.
CEDERJ
64
3. Somar a uma linha um m´ltiplo de uma outra.
u
Nota¸˜o: Li ← Li + λLj
ca
Pode-se mostrar que:
Seja S um sistema linear com matriz aumentada A. Se aplicamos `s
a
linhas de A opera¸oes elementares, obtemos uma matriz A , tal que o sistema
c˜
e
linear S , de matriz aumentada A , ´ equivalente a S.

65. Sistemas Lineares
´
MODULO 1 - AULA 6
A id´ia, ent˜o ´: dado um sistema S de matriz aumentada A, aplicar
e
a e
opera¸˜es elementares `s linhas de A, obtendo uma matriz escalonada A , e
co
a
resolver o sistema associado S , conforme mostra o esquema a seguir:
Sistema linear S
equivalentes
↔
Sistema linear S
↓
matriz A
↑
opera¸˜es elementares
co
↔
matriz escalonada A
Vamos ver uma s´rie de exemplos para vocˆ se familiarizar com o
e
e
m´todo. Em vez de, simplesmente, ler o exemplo, efetue cada opera¸˜o
e
ca
elementar indicada, para depois comparar com a matriz apresentada na
seq¨ˆncia:
ue
Exemplo 46
Vamos resolver, por escalonamento, o sistema linear

 x +2y +5z = 28

S:
2x +3y −z = −1


4y +z = 13
Vamos escrever a matriz aumentada desse

1 2
5 28

A =  2 3 −1 −1
0 4
1 13
sistema:



Vamos obter “zeros”na primeira coluna, da segunda linha em diante.
Para isso, aplicaremos a terceira opera¸˜o elementar, usando a primeira linha
ca
como pivˆ. Note que, neste caso, como o elemento da terceira linha j´ ´ zero,
o
ae
precisamos apenas obter zero na segunda linha. Para isso, vamos multiplicar
a primeira linha por −2 e somar o resultado com a segunda linha:




1
2
5
28
1 2
5 28




 0 −1 −11 −57 
 2 3 −1 −1 
L2 ← L2 − 2L1 ⇒
0
4
1
13
0 4
1 13
Passemos, agora, para a segunda coluna (n˜o usaremos mais a primeira
a
linha - ela est´ “pronta”). Queremos obter zero abaixo da segunda linha.
a
Para isso, multiplicamos a segunda linha por 4 e somamos a terceira:
`




1
2
5
28
1
2
5
28




 0 −1 −11 −57 
 0 −1 −11 −57 
0
0 −43 −215
0
4
1
13
L3 ← L3 + 4L2 ⇒
65
CEDERJ

66. Sistemas Lineares
Álgebra Linear 1
Pronto: a matriz est´ escalonada. Vamos, agora, escrever o sistema S ,
a
associado  ela:
a
 x +2y +5z = 28

S :
−y −11z = −57


−43z = −215
Da terceira equa¸˜o, obtemos z = (−215)/(−43) = 5.
ca
Substituindo na segunda, obtemos y = 2.
Finalmente, substituindo os valores j´ obtidos na primeira equa¸˜o,
a
ca
temos x = −1.
a
e e
ca
Como S e S s˜o sistemas lineares equivalentes, essa tamb´m ´ a solu¸˜o
do sistema S dado. Logo, o conjunto-solu¸˜o procurado ´ {(−1, 2, 5)}. Al´m
ca
e
e
disso, podemos classificar o sistema S: ele ´ compat´ e determinado.
e
ıvel
Exemplo 47
Vamos resolver o sistema linear:

 2x +y +5z


 x +3y +4z
S:

5y −z



−x +2y +3z
Sua matriz aumentada ´:
e





2
1
0
−1
=1
= −7
= −15
= −8
1
5
1
3
4 −7
5 −1 −15
2
3 −8





Vocˆ deve ter notado que, quando o elemento na linha pivˆ, na coluna
e
o
em que estamos trabalhando, ´ 1 (ou -1), os c´lculos ficam facilitados. Ent˜o,
e
a
a
vamos aproveitar o fato de ter 1 na primeira posi¸˜o da segunda linha, e
ca
permutar as linhas 1 e 2:





2
1
0
−1
1
5
1
3
4 −7
5 −1 −15
2
3 −8





L1 ↔ L2
⇒





1
2
0
−1
3
4 −7
1
5
1
5 −1 −15
2
3 −8





Vamos obter zeros na primeira coluna, abaixo da primeira linha, usando
a primeira linha como pivˆ:
o
CEDERJ
66

67. Sistemas Lineares

´
MODULO 1 - AULA 6



3
4 −7
1
3
4 −7

1
5
1  L2 ← L2 − 2L1 ⇒  0 −5 −3
15 










 0
5 −1 −15
5 −1 −15 
L4 ← L4 + L1
2
3 −8
0
5
7 −15
Passemos para a segunda coluna. Para obter 1 na posi¸˜o pivˆ, dividica
o
mos toda a segunda linha por -5:




1 3
4 −7
1
3
4 −7
 0 −5 −3
15  L2 ← −1/5L2 ⇒  0 1 3/5 −3 








 0 5 −1 −15 
 0
5 −1 −15 
0 5
7 −15
0
5
7 −15
Agora, usando a linha 2 como liha pivˆ, vamos obter zeros na segunda
o
coluna, abaixo da segunda linha:




1 3
4 −7
1 3
4 −7
 0 1 3/5 −3 
 0 1 3/5 −3 
⇒








 0 5 −1 −15  L3 ← L3 − 5L2  0 0 −4
0 
1
2
0
−1
L4 ← L4 − 5L2
0 0
4
0
0 5
7 −15
Para finalizar o escalonamento, precisamos obter trˆs zeros inicias na
e
quarta linha, ou seja, obter um zero na posi¸˜o i = 4, j = 3. Nas passagens
ca
acima, usamos a segunda opera¸˜o elementar par obter 1 na posi¸˜o pivˆ e,
ca
ca
o
com isso, ter os c´lculos facilitados na obten¸˜o dos zeros. Devemos, por´m,
a
ca
e
estar atentos a posss´
`
ıveis vantagens que um sistema em particular pode oferecer. Neste exemplo, se simplesmente somarmos a linha 3 a linha 4, j´ obtere`
a




1 3
4 −7
1 3
4 −7
 0 1 3/5 −3 
 0 1 3/5 −3 
⇒




mos o zero procurado: 



 0 0 −4
 0 0 −4
0 
0 
0 0
0
0
0 0
4
0
L4 ← L4 + L3
A matriz est´ escalonada. Vamos escrever o sistema associado:
a

 x +3y
+4z = −7

S :
y +3z/5 = −3


−4z = 0
Resolvendo por substitui¸˜es regressivas, obtemos: z = 0, y = −3, x =
co
2. Logo, o sistema S ´ compat´ e determinado e seu conjunto-solu¸˜o ´
e
ıvel
ca e
{(2, −3, 0)}.

Exemplo 48
 3a +2b +c +2d = 3

Vamos resolver o sistema linear S :
a
−3c +2d = −1


−a +5b +4c
=4
Acompanhe a seq¨ˆncia de opera¸˜es elementares que aplicremos para
ue
co
67
CEDERJ

68. Sistemas Lineares
Álgebra Linear 1
escalonar a matriz aumentada de S:




1 0 −3 2 −1
3 2
1 2
3
L1 ↔ L3




1 2
3  L2 ← L2 − 3L1 ⇒
 3 2
 1 0 −3 2 −1  ⇒
−1 5
4 0
4
L3 ← L3 + L1
−1 5
4 0
4




1 0 −3
2 −1
1 0 −3
2 −1
 ⇒

 L2 ← 1/2L2 ⇒ 
⇒  0 2 10 −4
5 −2
3 
6 
 0 1
L3 ← L3 − 5L2
0 5
1
2
3
0 5
1
2
3



 a
1 0 −3
2 −1
−3c +2d = −1



⇒ 0 1
5 −2
3 ⇒S :
b +5c −2d = 3


0 0 −24 12 −12
−24c +12d = 12
Na terceira equa¸˜o, vamos escrever d em fun¸˜o de c : d = −1 + 2c.
ca
ca
Substituindo na segunda equa¸˜o, obtemos b = 1−c. E na primeira equa¸˜o:
ca
ca
a = 1 − c. Temos, neste caso, um sistema compat´
ıvel, por´m indeterminado:
e
ele possui infinitas solu¸˜es.
co
Fazendo c = k, seu conjunto-solu¸˜o ´ {(1−k, 1−k, k, −1+2k); k ∈ R}.
ca e

Exemplo 49
 2x +y −3z = 3

Vamos resolver o sistema S :
x −y +z = 1


3x +3y −7z = 2




1 −1
1 1
L1 ↔ L2
2
1 −3 3




1 −3 3  L2 ← L2 − 2L1 ⇒
1 1  ⇒
 2
 1 −1
L3 ← L3 − 3L1
3
3 −7 2
3
3 −7 2




1 −1
1
1
1 −1
1
1




⇒ 0
3 −5
1 
3 −5
1 
 0
0
0
0 −3
0
6 −10 −1
L3 ← L3 − 2L2
Observe que, ao escrever o sistema associado a essa matriz, a terceira
equa¸˜o ser´: 0x+0y+0z = −3, ou seja, 0 = −3, o que ´ falso, para quaisquer
ca
a
e
valores de x, y e z. Logo, o sistema S ´ imposs´ e seu conjunto-solu¸˜o ´
e
ıvel
ca e
∅.

Exemplo 50
 a −b +c = 0

Vamos resolver o sistema linear homogˆneo S :
e
a +b
=0


2b −c = 0




1 −1
1 0
1 −1
1 0




1
0 0  L2 ← L2 − L1  0
2 −1 0 
 1
0
2 −1 0
0
2 −1 0
L3 ← L3 − L2
CEDERJ
68

69. Sistemas Lineares

1 −1
1 0


2 −1 0  ⇒ S :
 0
0
0
0 0
´
MODULO 1 - AULA 6

a −b +c = 0
2b −c = 0
ˆ
´
O sistema ´ compat´ (TODO SISTEMA HOMOGENEO E COMe
ıvel
PAT´
IVEL!!) e indeterminado. Resolvendo a segunda equa¸˜o para c, substica
tuindo na primeira, e fazendo b = k, vocˆ poder´ conferir que o conjuntoe
a
solu¸˜o ´ {(−k, k, 2k)k ∈ R}.
ca e
Resumo
Nesta aula estudamos o m´todo de escalonamento para resolver e clase
sificar sistemas lineares. Trata-se de um m´todo seguro, que “revela”a estrue
tura do sistema, explicitando as redundˆncias ou incongruˆncias das equa¸˜es.
a
e
co
Ap´s o escalonamento, as equa¸˜es que n˜o acrescentam informa¸˜o ao siso
co
a
ca
tema, tˆm seus termos todos anulados e auqelas que s˜o incompat´
e
a
ıveis com as
demais se transformam numa senten¸a matem´tica falsa (algo como 0 = a,
c
a
com a diferente de zero). Continuaremos a usar esse m´todo, na pr´xima
e
o
aula, para discutir sistemas lineares, isto ´, para impor ou identificar condi¸˜es
e
co
sobre seu conjunto-solu¸˜o.
ca
69
CEDERJ

70. Sistemas Lineares
Álgebra Linear 1
Exerc´
ıcios
1. (Prov˜o - MEC - 2001)
a

 x +y −z = 1

O n´ mero de solu¸˜es do sistema de equa¸˜es
u
co
co
2x +2y −2z = 2


5x +5y −5z = 7
´ (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) infinito
e
2. Classifique e resolva os seguintes sistemas lineares:


=1
 3x −y


 2x −y = −7


2y −5z
= −11
b)
a)
−3x +4y = 13


z −t = −1



x +2y = −1

x +y +z +t = 10
c)
2a −b −c = −4
a +b −2c = 1

 x −y


 2x +3y
e)

 x +2y


5x −4y
=3
= 16
=9
= 17

 3x −y +z = 0

g)
x +y −2z = 0


5x −3y +4z = 0

 2x +y −z = −6

d)
x −y +3z = 21


3x
+2z = 15

 x −y


 2x +3y
f)

 x +2y


5x −4y
=3
= 16
=8
= 17

 a +2b = 0

h)
3a −b = 0


5a +3b = 0
Auto-avalia¸˜o
ca
N˜o se preocupe se vocˆ ainda hesita sobre qual opera¸˜o linear usar,
a
e
ca
no processo de escalonamento. A familiariza¸˜o vem com a pr´tica. Se
ca
a
necess´rio, refa¸a os exemplos e exerc´
a
c
ıcios. Se sentir d´ vidas, procure a
u
tutoria. Os sistemas lineares aparecer˜o ao longo de todo o curso e ´ bom
a
e
que vocˆ esteja ´gil no processo de escalonamento, para n˜o perder muito
e
a
a
tempo com eles!!
CEDERJ
70

71. Sistemas Lineares
´
MODULO 1 - AULA 6
Respostas dos exerc´
ıcios
1. (A) 0 (Ao escalonar, conclu´
ımos que o sistema ´ incompat´
e
ıvel)
2. a) Sistema compat´ determinado. Conjunto-solu¸˜o = {(−3, 1)}
ıvel
ca
b) Sistema compat´ determinado. Conjunto-solu¸˜o = {(1, 2, 3, 4)}
ıvel
ca
c) Sistema compat´ indeterminado.
ıvel
Conjunto-solu¸˜o = {(−1 + k, 2 + k, k); k ∈ R}
ca
d) Sistema compat´ indeterminado.
ıvel
Conjunto-solu¸˜o = {(5 − 2k/3, −16 + 7k/3, k); k ∈ R}
ca
e) Sistema compat´ determinado. Conjunto-solu¸˜o = {(5, 2)}
ıvel
ca
f) Sistema incompat´
ıvel. Conjunto-solu¸˜o = ∅
ca
g) Sistema compat´ indeterminado.
ıvel
Conjunto-solu¸˜o = {(k/4, 7k/4, k); k ∈ R}.
ca
h) Sistema compat´ determinado. Conjunto-solu¸˜o = {(0, 0)}
ıvel
ca
71
CEDERJ

73. Discuss˜o de Sistemas Lineares
a
´
MODULO 1 - AULA 7
Aula 7 – Discuss˜o de Sistemas Lineares
a
Objetivo
Discutir sistemas lineares, usando o m´todo do escalonamento.
e
Pr´-requisito: aula 6.
e
Discutir um sistema ´ analisar sob quais condi¸˜es ele admite solu¸˜es
e
co
co
e, quando estas existem, quantas s˜o. Na aula passada vimos que, ao final do
a
processo de escalonamento da matriz associada a um sistema linear, excluindo
as equa¸˜es do tipo 0 = 0, chegamos a uma entre trˆs situa¸˜es poss´
co
e
co
ıveis:
1. Existe alguma equa¸˜o do tipo 0 = a, com a = 0. Isto ´, uma equa¸˜o
ca
e
ca
imposs´ de ser satisfeita.
ıvel
Nesse caso, o sistema ´ incompat´ e, portanto, seu conjunto solu¸˜o
e
ıvel
ca
´ vazio.
e
2. N˜o h´ equa¸˜es imposs´
a a
co
ıveis mas obtemos uma quantidade de equa¸˜es
co
menor do que o n´ mero de inc´gnitas.
u
o
Nesse caso, o sistema ´ compat´
e
ıvel e indeterminado e seu conjuntosolu¸˜o admite infinitas solu¸˜es.
ca
co
3. N˜o h´ equa¸˜es imposs´
a a
co
ıveis e obtemos uma quantidade de equa¸˜es
co
igual ao de inc´gnitas.
o
Nesse caso, o sistema ´ compat´
e
ıvel e determinado e seu conjuntosolu¸˜o ´ unit´rio.
ca e
a
Nesta aula, iremos analisar sistemas lineares segundo os valores assumidos por parˆmetros presentes nas equa¸˜es, assim como impor valores a
a
co
esses parˆmetros para que uma desejada situa¸˜o ocorra.
a
ca
Pode-se provar que um
sistema linear que possui
mais de uma solu¸˜o possui,
ca
de fato, infinitas solu¸˜es.
co
Note que o mesmo pode n˜o
a
ocorrer com um sistema n˜o
a
linear. Por exemplo, o
(
x−y = 0
sistema
x2 = 4
possui exatamente duas
solu¸˜es, a saber, os pares
co
ordenados (2, 2) e (−2, −2).
A seguir, para formalizar os procedimentos explorados ao longo dos
exerc´
ıcios, definiremos a caracter´
ıstica de uma matriz e apresentaremos o
Teorema de Rouch´-Capelli.
e
Finalmente, veremos a Regra de Cramer, que se aplica a sistemas lineares com quantidade de equa¸˜es igual a de inc´gnitas.
co
`
o
Acompanhe os exemplos a seguir.

Exemplo 51
 x+y+z =
6

Vamos discutir o o sistema
x + 2y − z = −4 , segundo os valores do


x + 3z
=
a
73
CEDERJ

74. Discuss˜o de Sistemas Lineares
a
Álgebra Linear 1
parˆmetro a.
a
Escalonando sua matriz aumentada, obtemos:

 
 

1 1
1 |
6
1
1
1 |
6
1 1
1 |
6

 
 

1 −2 | −10  ∼  0 1 −2 |
−10 
 1 2 −1 | −4  ∼  0
1 0
3 |
a
0 −1
2 | a−6
0 0
0 | a − 16

 x+y+z =
6

Assim, o sistema dado ´ equivalente ao sistema
e
y − 2z
=
−10 ,


0
= a − 16
cuja terceira equa¸˜o s´ ser´ satisfeita se o segundo membro tamb´m for igual
ca o a
e
a zero. Logo, temos:
• a = 16 ⇒ sistema incompat´
ıvel.
• a = 16 ⇒ sistema compat´ e indeterminado, pois possui trˆs inc´gnitas
ıvel
e
o
e apenas duas equa¸˜es.
co
Exemplo 52
Vamos discutir o sistema
Temos:
1 a | 2
a 2a | 4
x + ay
= 2
.
ax + 2ay = 4
∼
1
a
|
2
2
0 2a − a | 4 − 2a
.
Vamos determinar os valores de a para os quais o primeiro lado da segunda equa¸˜o se anula:
ca
a a
2a − a2 = 0 ⇒ a(2 − a) = 0 ⇒ a = 0 ou a = 2. Ent˜o h´ as seguintes
possibilidades:
• a = 0 ⇒ o sistema fica
• a = 2 ⇒ o sistema fica
x = 2
⇒ incompat´
ıvel.
0 = 4
x + 2y = 2
⇒ compat´ e indeterminado.
ıvel
0
= 0
x + ay = 2
, com b = 2a − a2 =
by
= c
0 e c = 4 − 2a ⇒ compat´ e indeterminado.
ıvel
• a = 0 e a = 2 ⇒ o sistema fica
CEDERJ
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