Casos factorizacion

run hhh
run hhhdocente en maisterio

n bbxbxbxbxb

José de Jesús Ángel Ángel, c

2010.
Factorización
Contenido
1. Introducción 2
1.1. Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Factor común 4
2.1. Ejercicios: factor común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3. Un binomio como factor común 9
3.1. Ejercicios: binomio como factor común . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4. Factorización completa 12
4.1. Ejercicios: factorización completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5. Diferencia de cuadrados 14
5.1. Ejercicios: diferencia de cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6. Trinomio cuadrado perfecto 16
6.1. Ejercicios: trinomio cuadrado perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7. Factorización de trinomios 21
7.1. Ejercicios: factorización de trinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1
Introducción
Este documento tiene por objetivo dar algunas técnicas usadas para factorizar expre-
siones algebraicas. Por lo tanto es necesario primero dar a conocer los elementos y la
notación más comúnmente usadas en el manejo de las expresiones algebraicas.
1.1. Notación
Conjuntos de números:
1. Números naturales: es el siguiente conjunto
N = {1, 2, 3, ...}
2. Números enteros: es el siguiente conjunto
Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}
3. Números racionales: es el siguiente conjunto
Q = {
a
b
| a, b ∈ Z, b 6= 0}
a) Todos los números racionales tienen una expansión decimal finita o periódica.
a.1)
1
4
= 0,25
a.2)
1
7
= 0,142857
a.3)
1
11
= 0,090909, ..
b) Si un número tiene una expansión decimal infinita y no periódica, entonces no
es racional.
4. Números irracionales (I): son aquellos que no son racionales, como
√
2,
√
3,
√
5, π, e, ..
2
1.1. NOTACIÓN 3
5. Números reales: es el siguiente conjunto
R = Q
[
I
Operaciones entre números, los números reales cumplen siempre las siguientes
propiedades:
1. La suma es conmutativa, a + b = b + a.
2. La suma es asociativa, a + (b + c) = (a + b) + c.
3. Existe un número llamado cero o neutro aditivo, tal que a + 0 = a.
4. Para todo número a existe su inverso aditivo −a, tal que a + (−a) = 0.
5. El producto es conmutativo, a · b = b · a.
6. El producto es asociativo, a · (b · c) = (a · b) · c.
7. Existe un número llamado uno o neutro multiplicativo, tal que a · 1 = a.
8. Para todo número a 6= 0 existe su inverso multiplicativo
1
a
, tal que a ·
1
a
= 1.
9. La ley distributiva del producto respecto a la suma:
a(b + c) = ab + ac
Note que el producto entre constantes o variables se denota con un punto a · b ó sim-
plemente se omite el punto ab.
Términos algebraicos usados:
1. Una constante es un número que no cambia de valor y se denota generalmente con
alguna de las primeras letras del abecedario, como a, b, c, ..
2. Una variable representa un número que cambia de valor y se denota generalmente
con las últimas letras del abecedario, como ..., x, y, z
3. Una combinación de constantes y variables con la operación producto y división
se llama término, por ejemplo 2a, 3b, 2abx, 4xyz,
2
a
,
3ax
bz
..
4. Una combinación de términos con la operación suma y resta se llama expresión,
por ejemplo,a + b, 3ax − 2z, ...
3
2
Factor común
En los siguientes ejercicios se usará la ley de la distributividad del producto respecto a
la suma
a(b + c) = ab + ac
Pasar del lado izquierdo al derecho de la igualdad se dice:
“se distribuye a”
Pasar del lado derecho al izquierdo de la igualdad se dice:
“se factoriza a”
2.1. Ejercicios: factor común
Ahora procedemos a efectuar ejemplos con un factor común.
1. Encontrar un factor común en 2a + 4
Paso 1 Buscamos el factor común de 2a y 4.
Como el factor común de 2a y 4 es 2, procedemos a factorizarlo:
2a + 4 = 2 · a + 2 · 2
= 2(a + 2),
2. Encontrar un factor común en 3b + 6
4
2.1. EJERCICIOS: FACTOR COMÚN 5
Paso 1 Buscamos el factor común de 3b y 6.
Como el factor común de 3b y 6 es 3, procedemos a factorizarlo:
3b + 6 = 3 · b + 3 · 2
= 3(b + 2)
3. Encontrar un factor común en a + a2
Paso 1 Buscamos el factor común de a y a2
.
Como el factor común de a y a2
es a, procedemos a factorizarlo.
a + a2
= a · 1 + a · a
= a(1 + a)
4. Encontrar un factor común en b2
+ b3
Paso 1 Buscamos el factor común de b2
y b3
.
Como el factor común de b2
y b3
es b2
, procedemos a factorizarlo.
b2
+ b3
= b2
· 1 + b2
· b
= b2
(1 + b)
5. Encontrar un factor común en 3a + 4a2
+ 5a3
Paso 1 Buscamos el factor común de 3a, 4a2
y 5a3
.
Como el factor común de 3a, 4a2
y 5a3
es a, procedemos a factorizarlo.
3a + 4a2
+ 5a3
= (a · 3) + (a · 4a) + (a · 5a2
)
= a(3 + 4a + 5a2
)
6. Encontrar un factor común en 5x3
+ 2x − 3x2
Paso 1 Buscamos el factor común de 5x3
, 2x y 3x2
.
Como el factor común de 5x3
, 2x y 3x2
es x, procedemos a factorizarlo.
5x3
+ 2x − 3x2
= (x · 5x2
) + (x · 2) − (x · 3x)
= x(5x2
+ 2 − 3x)
7. Encontrar un factor común en 2a3
− 4a + 6a2
5
2.1. EJERCICIOS: FACTOR COMÚN 6
Paso 1 Buscamos el factor común de 2a3
, 4a y 6a2
.
Como el factor común de 2a3
, 4a y 6a2
es 2a, procedemos a factorizarlo.
2a3
− 4a + 6a2
= (2a · a2
) − (2a · 2) + (2a · 3a)
= 2a(a2
− 2 + 3a)
8. Encontrar un factor común en 4b − 12b2
+ 8b3
Paso 1 Buscamos el factor común de 4b, 12b2
y 8b3
.
Como el factor común de 4b, 12b2
y 8b3
es 4b, procedemos a factorizarlo.
4b − 12b2
+ 8b3
= (4b · 1) − (4b · 3b) + (4b · 2b2
)
= 4b(1 − 3b + 2b2
)
9. Encontrar un factor común en 5m2
+ 10m3
− 15m5
Paso 1 Buscamos el factor común de 5m2
, 10m3
y 15m5
.
Como el factor común de 5m2
, 10m3
y 15m5
es 5m2
, procedemos a factorizarlo.
5m2
+ 10m3
− 15m5
= (5m2
· 1) + (5m2
· 2m) − (5m2
· 3m3
)
= 5m2
(1 + 2m − 3m3
)
10. Encontrar un factor común en 2a3
b + 4a5
c − 6a2
d
Paso 1 Buscamos el factor común de 2a3
b, 4a5
c y 6a2
d.
Como el factor común de 2a3
b, 4a5c
y 6a2
d es 2a2
, procedemos a factorizarlo.
2a3
b + 4a5
c − 6a2
d = (2a2
· ab) + (2a2
· 2a3
c) − (2a2
· 3d)
= 2a2
(ab + 2a3
c − 3d)
11. Encontrar un factor común en 8x2
y − 12xy2
Paso 1 Buscamos el factor común de 8x2
y y 12xy2
.
Como el factor común de 8x2
y y 12xy2
es 4xy, procedemos a factorizarlo.
8x2
y − 12xy2
= (4xy · 2x) − (4xy · 3y)
= 4xy(2x − 3y)
12. Encontrar un factor común en 20x3
y2
+ 25x2
y3
6
2.1. EJERCICIOS: FACTOR COMÚN 7
Paso 1 Buscamos el factor común de 20x3
y2
y 25x2
y3
.
Como el factor común de 20x3
y2
y 25x2
y3
es 5x2
y2
, procedemos a factorizarlo.
20x3
y2
+ 25x2
y3
= (5x2
y2
· 4x) + (5x2
y2
· 5y)
= 5x2
y2
(4x + 5y)
13. Encontrar un factor común en 3x2
yz3
+ 6xy2
z2
Paso 1 Buscamos el factor común de 3x2
yz3
y 6xy2
z2
.
Como el factor común de 3x2
yz3
y 6xy2
z2
es 3xyz2
, procedemos a factorizarlo.
3x2
yz3
+ 6xy2
z2
= (3xyz2
· xz) + (3xyz2
· 2y)
= 3xyz2
(xz + 2y)
14. Encontrar un factor común en 14a2
b2
c − 21ab3
c2
Paso 1 Buscamos el factor común de 14a2
b2
c y 21ab3
c2
.
Como el factor común de 14a2
b2
c y 21ab3
c2
es 7ab2
c, procedemos a factorizarlo.
14a2
b2
c − 21ab3
c2
= (7ab2
c · 2a) − (7ab2
c · 3bc)
= 7ab2
c(2a − 3bc)
15. Encontrar un factor común en 10a4
b5
x3
+ 35a2
b7
x2
Paso 1 Buscamos el factor común de 10a4
b5
x3
y 35a2
b7
x2
.
Como el factor común de 10a4
b5
x3
y 35a2
b7
x2
es 5a2
b5
x2
,
procedemos a factorizarlo.
10a4
b5
x3
+ 35a2
b7
x2
= (5a2
b5
x2
· 2a2
x) + (5a2
b5
x2
· 7b2
)
= 5a2
b5
x2
(2a2
x + 7b2
)
16. Encontrar un factor común en 45ax3
by + 9a2
xb3
y
Paso 1 Buscamos el factor común de 45ax3
by y 9a2
xb3
y.
Como el factor común de 45ax3
by y 9a2
xb3
y es 9axby,
procedemos a factorizarlo.
45ax3
by + 9a2
xb3
y = (9axby · 5x2
) + (9axby · ab2
)
= 9axby(5x2
+ ab2
)
17. Encontrar un factor común en 12ab + 3abc + 6bcd
7
2.1. EJERCICIOS: FACTOR COMÚN 8
Paso 1 Buscamos el factor común de 12ab, 3abc y 6bcd.
Como el factor común de 12ab, 3abc y 6bcd es 3b,
procedemos a factorizarlo.
12ab + 3abc + 6bcd = (3b · 4a) + (3b · ac) + (3b · 2cd)
= 3b(4a + ac + 2cd)
18. Encontrar un factor común en 15ab2
− 25a3
b + 30a3
b2
c
Paso 1 Buscamos el factor común de 15ab2
, 25a3
b y 30a3
b2
c.
Como el factor común de 15ab2
, 25a3
b y 30a3
b2
c es 5ab,
procedemos a factorizarlo.
15ab2
− 25a3
b + 30a3
b2
c = (5ab · 3b) − (5ab · 5a2
) + (5ab · 6a2
bc)
= 5ab(3b − 5a2
+ 6a2
bc)
19. Encontrar un factor común en 45a5
b3
x6
y2
+ 15a2
b3
x3
yd
Paso 1 Buscamos el factor común de 45a5
b3
x6
y2
y 15a2
b3
x3
yd.
Como el factor común de 45a5
b3
x6
y2
y 15a2
b3
x3
yd es 15a2
b3
x3
y,
procedemos a factorizarlo.
45a5
b3
x6
y2
+ 15a2
b3
x3
yd = (15a2
b3
x3
y · 3a3
x3
y) + (15a2
b3
x3
y · d)
= 15a2
b3
x3
y(3a3
x3
y + d)
20. Encontrar un factor común en 35a2
bc5
y2
− 21a2
bc3
y + 49ab2
c3
y3
m
Paso 1 Buscamos el factor común de 35a2
bc5
y2
, 21a2
bc3
y y 49ab2
c3
y3
m.
Como el factor común de 35a2
bc5
y2
, 21a2
bc3
y y 49ab2
c3
y3
m es abc3
y,
procedemos a factorizarlo.
35a2
bc5
y2
− 21a2
bc3
y + 49ab2
c3
y3
m = (7abc3
y · 5ac2
y) − (7abc3
y · 3a)
+(7abc3
y · 7by2
m)
= 7abc3
y(5ac2
y − 3a + 7by2
m)
8
3
Un binomio como factor común
En esta serie de problemas, debemos factorizar un binomio, que sin embargo sigue la
misma idea que los anteriores problemas, es decir, se aplica la ley a(b + c) = ab + ac.
3.1. Ejercicios: binomio como factor común
1. Factorizar x(m + n) + y(m + n)
Paso 1 Buscamos el factor común de x(m + n) y y(m + n),
como el factor común de x(m + n) y y(m + n) es (m + n), podemos factorizarlo.
x(m + n) + y(m + n) = (m + n)(x + y).
2. Factorizar a(x − y) + b(x − y)
Paso 1 Buscamos el factor común de a(x − y) y b(x − y),
como el factor común de a(x − y) y b(x − y) es (x − y),podemos factorizarlo.
a(x − y) + b(x − y) = (x − y)(a + b).
3. Factorizar r(m + n) − s(m + n)
Paso 1 Buscamos el factor común de r(m + n) y s(m + n),
como el factor común de r(m + n) y s(m + n) es (m + n), podemos factorizarlo.
r(m + n) − s(m + n) = (m + n)(r − s).
9
3.1. EJERCICIOS: BINOMIO COMO FACTOR COMÚN 10
4. Factorizar x(a + b) + a + b
Paso 1 Asociamos los términos:
x(a + b) + a + b = x(a + b) + (a + b)
Paso 2 Buscamos el factor común de x(a + b) y (a + b),
como el factor común es (a + b), entonces:
x(a + b) + a + b = x · (a + b) + 1 · (a + b)
= (a + b)(x + 1).
5. Factorizar x(a + b) − a − b
Paso 1 Factorizamos a −1 de −a − b:
x(a + b) − a − b = x(a + b) − (a + b)
Paso 2 Buscamos el factor común de x(a + b) y (a + b),
como el factor común es (a + b), entonces:
x(a + b) − a − b = x · (a + b) − 1 · (a + b)
= (a + b)(x − 1).
6. Factorizar a(c − d) + xc − xd
Paso 1 Factorizamos a x de xc − xd:
a(c − d) + xc − xd = a(c − d) + x(c − d)
Paso 2 Buscamos el factor común de a(c − d) y x(c − d),
como el factor común es (c − d), entonces:
a(c − d) + xc − xd = a · (c − d) + x · (c − d)
= (c − d)(a + x).
10
3.1. EJERCICIOS: BINOMIO COMO FACTOR COMÚN 11
7. Factorizar a(m + 2n) + bm + 2bn
Paso 1 Factorizamos a b de bm + 2bn:
a(m + 2n) + bm + 2bn = a(m + 2n) + b(m + 2n)
Paso 2 Localizamos el factor común (m + 2n), entonces:
a(m + 2n) + bm + 2bn = a · (m + 2n) + b · (m + 2n)
= (m + 2n)(a + b).
8. Factorizar x(3a + 1) + 6a + 2
Paso 1 Factorizamos a 2 de 6a + 2:
x(3a + 1) + 6a + 2 = x(3a + 1) + 2(3a + 1)
Paso 2 Localizamos el factor común (3a + 1), entonces:
x(3a + 1) + 6a + 2 = x · (3a + 1) + 2 · (3a + 1)
= (3a + 1)(x + 2).
9. Factorizar m(4x − 1) + 12x − 3
Paso 1 Factorizamos a 3 de 12x − 3:
m(4x − 1) + 12x − 3 = m(4x − 1) + 3(4x − 1)
Paso 2 Localizamos el factor común (4x − 1), entonces:
m(4x − 1) + 3(4x − 1) = m · (4x − 1) + 3 · (4x − 1)
= (4x − 1)(m + 3).
10. Factorizar y(5x − 2) − 15x + 6
Paso 1 Factorizamos a 3 de 15x + 6:
y(5x − 2) − 15x + 6 = y(5x − 2) − 3(5x + 2)
Paso 2 Localizamos factor común (5x + 2), entonces:
y(5x − 2) − 15x + 6 = y · (5x − 2) − 3 · (5x + 2)
= (5x + 2)(y − 3).
11
4
Factorización completa
En esta serie de problemas, debemos de aplicar los dos tipos de factorización anteriores.
4.1. Ejercicios: factorización completa
Factorizar ax + bx − ay − by
ax + bx − ay − by = x(a + b) − ay − by Factorizamos a x
= x(a + b) − y(a + b) Factorizamos a y
= (a + b)(x − y) Factorizamos a (a + b)
Factorizar 2xy + y − 6x − 3
2xy + y − 6x − 3 = y(2x + 1) − 6x − 3 Factorizamos a y
= y(2x + 1) − 3(2x + 1) Factorizamos a 3
= (2x + 1)(y − 3) Factorizamos a (2x + 1)
Factorizar 3mn + 15n − 4m − 20
3mn + 15n − 4m − 20 = 3n(m + 5) − 4m − 20 Factorizamos a 3n
= 3n(m + 5) − 4(m + 5) Factorizamos a 4
= (m + 5)(3n − 4) Factorizamos a (m + 5)
Factorizar 2a2
+ 6a − 3ab − 9b
2a2
+ 6a − 3ab − 9b = 2a(a + 3) − 3ab − 9b Factorizamos a 2a
= 2a(a + 3) − 3b(a + 3) Factorizamos a 3b
= (a + 3)(2a − 3b) Factorizamos a (a + 3)
Factorizar x + y2
− 3mx − 3my2
12
4.1. EJERCICIOS: FACTORIZACIÓN COMPLETA 13
x + y2
− 3mx − 3my2
= x − 3mx + y2
− 3my2
Conmutamos
= x(1 − 3m) + y2
− 3my2
Factorizamos a x
= x(1 − 3m) + y2
(1 − 3m) Factorizamos a y2
= (1 − 3m)(x + y2
) Factorizamos a (1 − 3m)
Factorizar 6ab + 15a + 4b + 10
6ab + 15a + 4b + 10 = 3a(2b + 5) + 4b + 10 Factorizamos a 3a
= 3a(2b + 5) + 2(2b + 5) Factorizamos a 2
= (2b + 5)(3a + 2) Factorizamos a (2b + 5)
8. Factorizar 12mn + 8m + 3n + 2
12mn + 8m + 3n + 2 = 4m(3n + 2) + 3n + 2 Factorizamos a 4m
= (3n + 2)(4m + 1) Factorizamos a (3n + 2)
9. Factorizar 4 + 15xy + 5x + 12y
4 + 15xy + 5x + 12y = 15xy + 5x + 12y + 4 Conmutamos
= 5x(3y + 1) + 12y + 4 Factorizamos a 5x
= 5x(3y + 1) + 4(3y + 1) Factorizamos a 4
= (3y + 1)(5x + 4) Factorizamos a (3y + 1)
10. Factorizar −6y − 9 + 15x + 10xy
−6y − 9 + 15x + 10xy = −3(2y + 3) + 15x + 10xy Factorizamos a −3
= −3(2y + 3) + 5x(3 + 2y) Factorizamos a 5x
= (2y + 3)(5x − 3) Factorizamos a (2y + 3)
11. Factorizar 3ab − 9a − b + 3
3ab − 9a − b + 3 = 3a(b − 3) − b + 3 Factorizamos a 3a
= 3a(b − 3)−1(b − 3) Factorizamos a −1
= (b − 3)(3a − 1) Factorizamos a (b − 3)
13
5
Diferencia de cuadrados
En esta serie de problemas, aplicaremos la fórmula de diferencia de cuadrados a2
−b2
=
(a + b)(a − b). Esta fórmula puede ser fácilmente comprobada al realizar la operación
(a + b)(a − b) = a2
− ab + ba − b2
= a2
− b2
.
5.1. Ejercicios: diferencia de cuadrados
1. Factorizar a2
− b2
a2
− b2
= (a + b)(a − b) Aplicando la diferencia de cuadrados
2. Factorizar x2
− y2
x2
− y2
= (x + y)(x − y) Aplicando la diferencia de cuadrados
3. Factorizar 4a2
− 9
4a2
− 9 = (2a)2
− (3)2
Re-escribiendo
= (2a + 3)(2a − 3) Aplicando la diferencia de cuadrados
4. Factorizar 9b2
− 16
9b2
− 16 = (3b)2
− (4)2
Re-escribiendo
= (3b + 4)(3b − 4) Aplicando la diferencia de cuadrados
5. Factorizar 16a4
− 9b6
16a4
− 9b6
= (4a2
)2
− (3b3
)2
Re-escribiendo
= (4a2
+ 3b3
)(4a2
− 3b3
) Aplicando la diferencia de cuadrados
14
5.1. EJERCICIOS: DIFERENCIA DE CUADRADOS 15
6. Factorizar 25x2
y4
− 4z6
25x2
y4
− 4z6
= (5xy2
)2
− (2z3
)2
Re-escribiendo
= (5xy2
+ 2z3
)(5xy2
− 2z3
) Aplicando la diferencia de cuadrados
7. Factorizar 49x2
b4
− 225
49x2
b4
− 225 = (7xb2
)2
− (15)2
Re-escribiendo
= (7xb2
+ 15)(7xb2
− 15) Aplicando la diferencia de cuadrados
8. Factorizar
1
4
a4
− b6
1
4
a4
− b6
= (
1
2
a2
)2
− (b3
)2
Re-escribiendo
= (
1
2
a2
+ b3
)(
1
2
a2
− b3
) Aplicando la diferencia de cuadrados
9. Factorizar
4
49
a4
b6
−
1
16
4
49
a4
b6
−
1
16
= (
2
7
a2
b3
)2
− (
1
4
)2
Re-escribiendo
= (
2
7
a2
b3
+
1
4
)(
2
7
a2
b3
−
1
4
) Aplicando la diferencia de cuadrados
10. Factorizar
9
16
x2
y4
−
25
36
a6
9
16
x2
y4
−
25
36
a6
= (
3
4
xy2
)2
− (
5
6
a3
)2
Re-escribiendo
= (
3
4
xy2
+
5
6
a3
)(
3
4
xy2
−
5
6
a3
) Aplicando la diferencia de cuadrados
15
6
Trinomio cuadrado perfecto
En esta serie de problemas, aplicaremos la regla de un trinomio cuadrado perfecto. Se
sabe que (a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
, entonces el lado izquierdo de la igualdad se llama
trinomio cuadrado perfecto, ya que se puede escribir como un cuadrado de una suma.
Cada ves que detectemos un trinomio cuadrado perfecto podemos aplicar esta igualdad.
Para detectar si un trinomio es cuadrado perfecto, hay que tomar un término, ver que
es un cuadrado (a2
), obtener la raı́z (a), verificar si esta raı́z (a) esta en otro término
(2ab), en tal caso verificar solo si la mitad de al cuadrado de la parte restante (2b), es
precisamente el tercer término(b2
).
6.1. Ejercicios: trinomio cuadrado perfecto
1. Factorizar x2
− 2xy + y2
a) x2
es el cuadrado de x.
b) 2xy es el término donde aparece x.
c) 2y es la parte restante a x del término anterior.
d) y es la mitad de esa parte restante.
e) y2
es el cuadrado de esa mitad.
f) y2
es en efecto, el tercer término del trinomio.
Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto.
x2
− 2xy + y2
= (x − y)2
El “-” es debido al signo en −2xy
16
6.1. EJERCICIOS: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 17
2. Factorizar x2
+ 4x + 4
a) x2
es el cuadrado de x.
b) 4x es el término donde aparece x.
c) 4 es la parte restante a x del término anterior.
d) 2 es la mitad de esa parte restante.
e) 22
= 4 es el cuadrado de esa mitad.
f) 4 es en efecto, el tercer término del trinomio.
Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto.
x2
+ 4x + 4 = (x + 2)2
El “+” es debido al signo en +4x
3. Factorizar y4
− 8y2
+ 16
a) y4
es el cuadrado de y2
.
b) 8y2
es el término donde aparece y2
.
c) 8 es la parte restante a y2
del término anterior.
d) 4 es la mitad de esa parte restante.
e) 42
= 16 es el cuadrado de esa mitad.
f) 16 es en efecto, el tercer término del trinomio.
Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto.
y2
− 8y2
+ 16 = (y2
+ 4)2
El “-” es debido al signo en −8y2
4. Factorizar 4x2
+ 12x + 9
a) 4x2
es el cuadrado de 2x.
b) 12x = 6 · 2x es el término donde aparece 2x.
c) 6 es la parte restante a 2x del paso anterior.
d) 3 es la mitad de esa parte restante.
e) 32
= 9 es el cuadrado de esa mitad.
f) 9 es en efecto, el tercer término del trinomio.
Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto.
4x2
+ 12x + 9 = (2x + 9)2
El “+” es debido al signo en 12x
17
6.1. EJERCICIOS: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 18
5. Factorizar 9y2
− 24y + 16
a) 9y2
es el cuadrado de 3y.
b) 24y = 4 · 3y es el término donde aparece 3y.
c) 4 es la parte restante a 3y del paso anterior.
d) 2 es la mitad de esa parte restante.
e) 42
= 16 es el cuadrado de esa mitad.
f) 16 es en efecto, el tercer término del trinomio.
Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto.
9y2
− 24y + 16 = (3y − 4)2
El “-” es debido al signo en −24y
6. Factorizar 4x4
+ 20x2
+ 25
a) 4x4
es el cuadrado de 2x2
.
b) 20x2
= 10 · 2x2
es el término donde aparece 2x2
.
c) 10 es la parte restante a 2x2
del paso anterior.
d) 5 es la mitad de esa parte restante.
e) 52
= 25 es el cuadrado de esa mitad.
f) 25 es en efecto, el tercer término del trinomio.
Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto.
4x4
+ 20x2
+ 25 = (2x2
+ 5)2
El “+” es debido al signo en 20x2
7. Factorizar 16a4
− 24a2
b + 9b2
a) 16a4
es el cuadrado de 4a2
.
b) 24a2
b = 6 · 4a2
b es el término donde aparece 4a2
.
c) 6b es la parte restante a 4a2
del paso anterior.
d) 3b es la mitad de esa parte restante.
e) (3b)2
= 9b2
es el cuadrado de esa mitad.
f) 9b2
es en efecto, el tercer término del trinomio.
18
6.1. EJERCICIOS: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 19
Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto.
16a4
− 24a2
b + 9b2
= (4a2
− 3b)2
El “-” es debido al signo en −24a2
b
8. Factorizar 4a4
− 20a2
b3
+ 25b6
a) 4a4
es el cuadrado de 2a2
.
b) 20a2
b3
= 10 · 2a2
b3
es el término donde aparece 2a2
.
c) 10b3
es la parte restante a 2a2
del paso anterior.
d) 5b3
es la mitad de esa parte restante.
e) (5b3
)2
= 25b6
es el cuadrado de esa mitad.
f) 25b6
es en efecto, el tercer término del trinomio.
Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto.
4a4
− 20a2
b3
+ 25b6
= (2a2
− 5b3
)2
El “-” es debido al signo en −24a2
b
9. Factorizar
9x2
4
+ 2xy +
4y2
9
a)
9x2
4
es el cuadrado de
3x
2
.
b) 2xy =
3x
2
4
3
y es el término donde aparece
3x
2
.
c)
4
3
y es la parte restante a
3x
2
del paso anterior.
d)
2
3
y es la mitad de esa parte restante.
e) (
2
3
y)2
=
4y2
9
es el cuadrado de esa mitad.
f)
4y2
9
es en efecto, el tercer término del trinomio.
Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto.
9x2
4
+ 2xy +
4y2
9
= (
3x
2
+
2
3
y)2
El “+” es debido al signo en +2xy
19
6.1. EJERCICIOS: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 20
10. Factorizar
4a2
9
−
4ab
5
+
9b2
25
a)
4a2
9
es el cuadrado de
2a
3
.
b)
4ab
5
=
6b
5
2a
3
es el término donde aparece
2a
3
.
c)
6b
5
es la parte restante a
2a
3
del paso anterior.
d)
3b
5
es la mitad de esa parte restante.
e) (
3b
5
)2
=
9b2
25
es el cuadrado de esa mitad.
f)
9b2
25
es en efecto, el tercer del trinomio.
Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto.
4a2
9
−
4ab
5
+
9b2
25
= (
2a
3
−
3b
5
)2
El “-” es debido al signo en −
4ab
5
20
7
Factorización de trinomios
Algunos trinomios pueden ser factorizados por simple inspección de sus elementos. Si
observamos que (x + a)(x + b) = x2
+ (a + b)x + ab. Entonces, si podemos encontrar
números a, b tales que su suma sea el coeficiente de x y su producto sea el tercer término
de un trinomio de la forma x2
+ (a + b)x + ab, podemos aplicar la anterior observación
para factorizar el trinomio.
7.1. Ejercicios: factorización de trinomios
1. Factorizar x2
+ 4x + 3
a) 3 y 1 suman 4,
b) 3 por 1 da 3,
c) Por lo tanto x2
+ 4x + 3 = (x + 3)(x + 1).
2. Factorizar x2
− 4x + 3
a) −3 y −1 suman −4,
b) −3 por −1 da 3,
c) Por lo tanto x2
+ 4x + 3 = (x − 3)(x − 1).
3. Factorizar x2
+ 3x − 10
a) 5 y −2 suman 3,
21
7.1. EJERCICIOS: FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS 22
b) 5 por −2 da −10,
c) Por lo tanto x2
+ 3x − 10 = (x + 5)(x − 2).
4. Factorizar x2
− 2x − 8
a) 4 y −2 suman −2,
b) 4 por −2 da −8,
c) Por lo tanto x2
− 2x − 8 = (x + 4)(x − 2).
5. Factorizar x2
+ x − 20
a) 5 y −4 suman 1,
b) 5 por −4 da −20,
c) Por lo tanto x2
+ x − 20 = (x + 5)(x − 4).
6. Factorizar x2
− x − 12
a) −4 y 3 suman −1,
b) −4 por 3 da −12,
c) Por lo tanto x2
− x − 12 = (x − 4)(x + 3).
7. Factorizar x2
+ 7x + 6
a) 6 y 1 suman 7,
b) 6 por 1 da 6,
c) Por lo tanto x2
+ 7x + 6 = (x + 6)(x + 1).
8. Factorizar x2
− 2x − 24
a) −6 y 4 suman −2,
b) −6 por 4 da −24,
c) Por lo tanto x2
− 2x − 24 = (x − 6)(x + 4).
22
7.1. EJERCICIOS: FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS 23
9. Factorizar x2
− 9x + 8
a) −8 y −1 suman −9,
b) −8 por −1 da −8,
c) Por lo tanto x2
− 9x + 8 = (x − 8)(x − 1).
10. Factorizar x2
− 4x − 21
a) −7 y 3 suman −4,
b) −7 por 3 da −21,
c) Por lo tanto x2
− 4x − 21 = (x − 7)(x + 3).
11. Factorizar a2
+ 5a + 6
a) 3 y 2 suman 5,
b) 3 por 2 da 6,
c) Por lo tanto a2
+ 5a + 6 = (a + 3)(a + 2).
12. Factorizar b2
− 7b + 12
a) −4 y −3 suman −7,
b) −4 por −3 da 12,
c) Por lo tanto b2
− 7b + 12 = (b − 4)(b − 3).
13. Factorizar c2
− 4c + 3
a) −3 y −1 suman −4,
b) −3 por −1 da 3,
c) Por lo tanto c2
− 4c + 3 = (c − 3)(c − 1).
14. Factorizar x4
+ 8x2
+ 7
23
7.1. EJERCICIOS: FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS 24
a) 7 y 1 suman 8,
b) 7 por 1 da 7,
c) Por lo tanto x4
+ 8x2
+ 7 = (x2
+ 7)(x2
+ 1).
15. Factorizar x4
− 8x2
+ 15
a) −5 y −3 suman −8,
b) −5 por −3 da 15,
c) Por lo tanto x4
− 8x2
+ 15 = (x2
− 5)(x2
− 3).
16. Factorizar a6
− 7a3
+ 10
a) −5 y −2 suman −7,
b) −5 por −2 da 10,
c) Por lo tanto a6
− 7a3
+ 10 = (a3
− 5)(a3
− 2).
17. Factorizar x2
− 2x − 35
a) −7 y 5 suman −2,
b) −7 por 5 da 35,
c) Por lo tanto x2
− 2x − 35 = (x − 7)(x + 5).
18. Factorizar x2
+ 3x − 54
a) 9 y −6 suman 3,
b) 9 por −6 da −54.
c) Por lo tanto x2
+ 3x − 54 = (x + 9)(x − 6).
19. Factorizar x2
− 20x + 75
a) −5 y −15 suman −20,
b) −5 por −15 da 75,
24
7.1. EJERCICIOS: FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS 25
c) Por lo tanto x2
− 20x + 75 = (x − 5)(x − 15).
20. Factorizar x2
− 12x − 64
a) −16 y 4 suman −12,
b) −16 por 4 da 64,
c) Por lo tanto x2
− 12x − 64 = (x − 16)(x + 4).
21. Factorizar x2
− 16x + 48
a) −12 y −4 suman −16,
b) −12 por −4 da 48,
c) Por lo tanto x2
− 16x + 48 = (x − 12)(x − 4).
22. Factorizar x2
− 8x − 20
a) −10 y 2 suman −8,
b) −10 por 2 da −20,
c) Por lo tanto x2
− 8x − 20 = (x − 8)(x − 20).
23. Factorizar x2
− 16x − 36
a) −18 y 2 suman −16,
b) −18 por 2 da −36,
c) Por lo tanto x2
− 16x − 36 = (x − 18)(x + 2).
24. Factorizar x2
− 25x + 100
a) −5 y −20 suman −25,
b) −5 por −20 da 100,
c) Por lo tanto x2
− 25x + 100 = (x − 5)(x − 20).
25
7.1. EJERCICIOS: FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS 26
25. Factorizar x2
− 24x + 80
a) −4 y −20 suman −24,
b) −4 por −20 da 80,
c) Por lo tanto x2
− 24x + 80 = (x − 4)(x − 20).
26
www.math.com.mx
José de Jesús Angel Angel
jjaa@math.com.mx
MathCon c

 2007-2010

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Casos factorizacion

  • 1. José de Jesús Ángel Ángel, c 2010. Factorización
  • 2. Contenido 1. Introducción 2 1.1. Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2. Factor común 4 2.1. Ejercicios: factor común . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3. Un binomio como factor común 9 3.1. Ejercicios: binomio como factor común . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4. Factorización completa 12 4.1. Ejercicios: factorización completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5. Diferencia de cuadrados 14 5.1. Ejercicios: diferencia de cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 6. Trinomio cuadrado perfecto 16 6.1. Ejercicios: trinomio cuadrado perfecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 7. Factorización de trinomios 21 7.1. Ejercicios: factorización de trinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
  • 3. 1 Introducción Este documento tiene por objetivo dar algunas técnicas usadas para factorizar expre- siones algebraicas. Por lo tanto es necesario primero dar a conocer los elementos y la notación más comúnmente usadas en el manejo de las expresiones algebraicas. 1.1. Notación Conjuntos de números: 1. Números naturales: es el siguiente conjunto N = {1, 2, 3, ...} 2. Números enteros: es el siguiente conjunto Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} 3. Números racionales: es el siguiente conjunto Q = { a b | a, b ∈ Z, b 6= 0} a) Todos los números racionales tienen una expansión decimal finita o periódica. a.1) 1 4 = 0,25 a.2) 1 7 = 0,142857 a.3) 1 11 = 0,090909, .. b) Si un número tiene una expansión decimal infinita y no periódica, entonces no es racional. 4. Números irracionales (I): son aquellos que no son racionales, como √ 2, √ 3, √ 5, π, e, .. 2
  • 4. 1.1. NOTACIÓN 3 5. Números reales: es el siguiente conjunto R = Q [ I Operaciones entre números, los números reales cumplen siempre las siguientes propiedades: 1. La suma es conmutativa, a + b = b + a. 2. La suma es asociativa, a + (b + c) = (a + b) + c. 3. Existe un número llamado cero o neutro aditivo, tal que a + 0 = a. 4. Para todo número a existe su inverso aditivo −a, tal que a + (−a) = 0. 5. El producto es conmutativo, a · b = b · a. 6. El producto es asociativo, a · (b · c) = (a · b) · c. 7. Existe un número llamado uno o neutro multiplicativo, tal que a · 1 = a. 8. Para todo número a 6= 0 existe su inverso multiplicativo 1 a , tal que a · 1 a = 1. 9. La ley distributiva del producto respecto a la suma: a(b + c) = ab + ac Note que el producto entre constantes o variables se denota con un punto a · b ó sim- plemente se omite el punto ab. Términos algebraicos usados: 1. Una constante es un número que no cambia de valor y se denota generalmente con alguna de las primeras letras del abecedario, como a, b, c, .. 2. Una variable representa un número que cambia de valor y se denota generalmente con las últimas letras del abecedario, como ..., x, y, z 3. Una combinación de constantes y variables con la operación producto y división se llama término, por ejemplo 2a, 3b, 2abx, 4xyz, 2 a , 3ax bz .. 4. Una combinación de términos con la operación suma y resta se llama expresión, por ejemplo,a + b, 3ax − 2z, ... 3
  • 5. 2 Factor común En los siguientes ejercicios se usará la ley de la distributividad del producto respecto a la suma a(b + c) = ab + ac Pasar del lado izquierdo al derecho de la igualdad se dice: “se distribuye a” Pasar del lado derecho al izquierdo de la igualdad se dice: “se factoriza a” 2.1. Ejercicios: factor común Ahora procedemos a efectuar ejemplos con un factor común. 1. Encontrar un factor común en 2a + 4 Paso 1 Buscamos el factor común de 2a y 4. Como el factor común de 2a y 4 es 2, procedemos a factorizarlo: 2a + 4 = 2 · a + 2 · 2 = 2(a + 2), 2. Encontrar un factor común en 3b + 6 4
  • 6. 2.1. EJERCICIOS: FACTOR COMÚN 5 Paso 1 Buscamos el factor común de 3b y 6. Como el factor común de 3b y 6 es 3, procedemos a factorizarlo: 3b + 6 = 3 · b + 3 · 2 = 3(b + 2) 3. Encontrar un factor común en a + a2 Paso 1 Buscamos el factor común de a y a2 . Como el factor común de a y a2 es a, procedemos a factorizarlo. a + a2 = a · 1 + a · a = a(1 + a) 4. Encontrar un factor común en b2 + b3 Paso 1 Buscamos el factor común de b2 y b3 . Como el factor común de b2 y b3 es b2 , procedemos a factorizarlo. b2 + b3 = b2 · 1 + b2 · b = b2 (1 + b) 5. Encontrar un factor común en 3a + 4a2 + 5a3 Paso 1 Buscamos el factor común de 3a, 4a2 y 5a3 . Como el factor común de 3a, 4a2 y 5a3 es a, procedemos a factorizarlo. 3a + 4a2 + 5a3 = (a · 3) + (a · 4a) + (a · 5a2 ) = a(3 + 4a + 5a2 ) 6. Encontrar un factor común en 5x3 + 2x − 3x2 Paso 1 Buscamos el factor común de 5x3 , 2x y 3x2 . Como el factor común de 5x3 , 2x y 3x2 es x, procedemos a factorizarlo. 5x3 + 2x − 3x2 = (x · 5x2 ) + (x · 2) − (x · 3x) = x(5x2 + 2 − 3x) 7. Encontrar un factor común en 2a3 − 4a + 6a2 5
  • 7. 2.1. EJERCICIOS: FACTOR COMÚN 6 Paso 1 Buscamos el factor común de 2a3 , 4a y 6a2 . Como el factor común de 2a3 , 4a y 6a2 es 2a, procedemos a factorizarlo. 2a3 − 4a + 6a2 = (2a · a2 ) − (2a · 2) + (2a · 3a) = 2a(a2 − 2 + 3a) 8. Encontrar un factor común en 4b − 12b2 + 8b3 Paso 1 Buscamos el factor común de 4b, 12b2 y 8b3 . Como el factor común de 4b, 12b2 y 8b3 es 4b, procedemos a factorizarlo. 4b − 12b2 + 8b3 = (4b · 1) − (4b · 3b) + (4b · 2b2 ) = 4b(1 − 3b + 2b2 ) 9. Encontrar un factor común en 5m2 + 10m3 − 15m5 Paso 1 Buscamos el factor común de 5m2 , 10m3 y 15m5 . Como el factor común de 5m2 , 10m3 y 15m5 es 5m2 , procedemos a factorizarlo. 5m2 + 10m3 − 15m5 = (5m2 · 1) + (5m2 · 2m) − (5m2 · 3m3 ) = 5m2 (1 + 2m − 3m3 ) 10. Encontrar un factor común en 2a3 b + 4a5 c − 6a2 d Paso 1 Buscamos el factor común de 2a3 b, 4a5 c y 6a2 d. Como el factor común de 2a3 b, 4a5c y 6a2 d es 2a2 , procedemos a factorizarlo. 2a3 b + 4a5 c − 6a2 d = (2a2 · ab) + (2a2 · 2a3 c) − (2a2 · 3d) = 2a2 (ab + 2a3 c − 3d) 11. Encontrar un factor común en 8x2 y − 12xy2 Paso 1 Buscamos el factor común de 8x2 y y 12xy2 . Como el factor común de 8x2 y y 12xy2 es 4xy, procedemos a factorizarlo. 8x2 y − 12xy2 = (4xy · 2x) − (4xy · 3y) = 4xy(2x − 3y) 12. Encontrar un factor común en 20x3 y2 + 25x2 y3 6
  • 8. 2.1. EJERCICIOS: FACTOR COMÚN 7 Paso 1 Buscamos el factor común de 20x3 y2 y 25x2 y3 . Como el factor común de 20x3 y2 y 25x2 y3 es 5x2 y2 , procedemos a factorizarlo. 20x3 y2 + 25x2 y3 = (5x2 y2 · 4x) + (5x2 y2 · 5y) = 5x2 y2 (4x + 5y) 13. Encontrar un factor común en 3x2 yz3 + 6xy2 z2 Paso 1 Buscamos el factor común de 3x2 yz3 y 6xy2 z2 . Como el factor común de 3x2 yz3 y 6xy2 z2 es 3xyz2 , procedemos a factorizarlo. 3x2 yz3 + 6xy2 z2 = (3xyz2 · xz) + (3xyz2 · 2y) = 3xyz2 (xz + 2y) 14. Encontrar un factor común en 14a2 b2 c − 21ab3 c2 Paso 1 Buscamos el factor común de 14a2 b2 c y 21ab3 c2 . Como el factor común de 14a2 b2 c y 21ab3 c2 es 7ab2 c, procedemos a factorizarlo. 14a2 b2 c − 21ab3 c2 = (7ab2 c · 2a) − (7ab2 c · 3bc) = 7ab2 c(2a − 3bc) 15. Encontrar un factor común en 10a4 b5 x3 + 35a2 b7 x2 Paso 1 Buscamos el factor común de 10a4 b5 x3 y 35a2 b7 x2 . Como el factor común de 10a4 b5 x3 y 35a2 b7 x2 es 5a2 b5 x2 , procedemos a factorizarlo. 10a4 b5 x3 + 35a2 b7 x2 = (5a2 b5 x2 · 2a2 x) + (5a2 b5 x2 · 7b2 ) = 5a2 b5 x2 (2a2 x + 7b2 ) 16. Encontrar un factor común en 45ax3 by + 9a2 xb3 y Paso 1 Buscamos el factor común de 45ax3 by y 9a2 xb3 y. Como el factor común de 45ax3 by y 9a2 xb3 y es 9axby, procedemos a factorizarlo. 45ax3 by + 9a2 xb3 y = (9axby · 5x2 ) + (9axby · ab2 ) = 9axby(5x2 + ab2 ) 17. Encontrar un factor común en 12ab + 3abc + 6bcd 7
  • 9. 2.1. EJERCICIOS: FACTOR COMÚN 8 Paso 1 Buscamos el factor común de 12ab, 3abc y 6bcd. Como el factor común de 12ab, 3abc y 6bcd es 3b, procedemos a factorizarlo. 12ab + 3abc + 6bcd = (3b · 4a) + (3b · ac) + (3b · 2cd) = 3b(4a + ac + 2cd) 18. Encontrar un factor común en 15ab2 − 25a3 b + 30a3 b2 c Paso 1 Buscamos el factor común de 15ab2 , 25a3 b y 30a3 b2 c. Como el factor común de 15ab2 , 25a3 b y 30a3 b2 c es 5ab, procedemos a factorizarlo. 15ab2 − 25a3 b + 30a3 b2 c = (5ab · 3b) − (5ab · 5a2 ) + (5ab · 6a2 bc) = 5ab(3b − 5a2 + 6a2 bc) 19. Encontrar un factor común en 45a5 b3 x6 y2 + 15a2 b3 x3 yd Paso 1 Buscamos el factor común de 45a5 b3 x6 y2 y 15a2 b3 x3 yd. Como el factor común de 45a5 b3 x6 y2 y 15a2 b3 x3 yd es 15a2 b3 x3 y, procedemos a factorizarlo. 45a5 b3 x6 y2 + 15a2 b3 x3 yd = (15a2 b3 x3 y · 3a3 x3 y) + (15a2 b3 x3 y · d) = 15a2 b3 x3 y(3a3 x3 y + d) 20. Encontrar un factor común en 35a2 bc5 y2 − 21a2 bc3 y + 49ab2 c3 y3 m Paso 1 Buscamos el factor común de 35a2 bc5 y2 , 21a2 bc3 y y 49ab2 c3 y3 m. Como el factor común de 35a2 bc5 y2 , 21a2 bc3 y y 49ab2 c3 y3 m es abc3 y, procedemos a factorizarlo. 35a2 bc5 y2 − 21a2 bc3 y + 49ab2 c3 y3 m = (7abc3 y · 5ac2 y) − (7abc3 y · 3a) +(7abc3 y · 7by2 m) = 7abc3 y(5ac2 y − 3a + 7by2 m) 8
  • 10. 3 Un binomio como factor común En esta serie de problemas, debemos factorizar un binomio, que sin embargo sigue la misma idea que los anteriores problemas, es decir, se aplica la ley a(b + c) = ab + ac. 3.1. Ejercicios: binomio como factor común 1. Factorizar x(m + n) + y(m + n) Paso 1 Buscamos el factor común de x(m + n) y y(m + n), como el factor común de x(m + n) y y(m + n) es (m + n), podemos factorizarlo. x(m + n) + y(m + n) = (m + n)(x + y). 2. Factorizar a(x − y) + b(x − y) Paso 1 Buscamos el factor común de a(x − y) y b(x − y), como el factor común de a(x − y) y b(x − y) es (x − y),podemos factorizarlo. a(x − y) + b(x − y) = (x − y)(a + b). 3. Factorizar r(m + n) − s(m + n) Paso 1 Buscamos el factor común de r(m + n) y s(m + n), como el factor común de r(m + n) y s(m + n) es (m + n), podemos factorizarlo. r(m + n) − s(m + n) = (m + n)(r − s). 9
  • 11. 3.1. EJERCICIOS: BINOMIO COMO FACTOR COMÚN 10 4. Factorizar x(a + b) + a + b Paso 1 Asociamos los términos: x(a + b) + a + b = x(a + b) + (a + b) Paso 2 Buscamos el factor común de x(a + b) y (a + b), como el factor común es (a + b), entonces: x(a + b) + a + b = x · (a + b) + 1 · (a + b) = (a + b)(x + 1). 5. Factorizar x(a + b) − a − b Paso 1 Factorizamos a −1 de −a − b: x(a + b) − a − b = x(a + b) − (a + b) Paso 2 Buscamos el factor común de x(a + b) y (a + b), como el factor común es (a + b), entonces: x(a + b) − a − b = x · (a + b) − 1 · (a + b) = (a + b)(x − 1). 6. Factorizar a(c − d) + xc − xd Paso 1 Factorizamos a x de xc − xd: a(c − d) + xc − xd = a(c − d) + x(c − d) Paso 2 Buscamos el factor común de a(c − d) y x(c − d), como el factor común es (c − d), entonces: a(c − d) + xc − xd = a · (c − d) + x · (c − d) = (c − d)(a + x). 10
  • 12. 3.1. EJERCICIOS: BINOMIO COMO FACTOR COMÚN 11 7. Factorizar a(m + 2n) + bm + 2bn Paso 1 Factorizamos a b de bm + 2bn: a(m + 2n) + bm + 2bn = a(m + 2n) + b(m + 2n) Paso 2 Localizamos el factor común (m + 2n), entonces: a(m + 2n) + bm + 2bn = a · (m + 2n) + b · (m + 2n) = (m + 2n)(a + b). 8. Factorizar x(3a + 1) + 6a + 2 Paso 1 Factorizamos a 2 de 6a + 2: x(3a + 1) + 6a + 2 = x(3a + 1) + 2(3a + 1) Paso 2 Localizamos el factor común (3a + 1), entonces: x(3a + 1) + 6a + 2 = x · (3a + 1) + 2 · (3a + 1) = (3a + 1)(x + 2). 9. Factorizar m(4x − 1) + 12x − 3 Paso 1 Factorizamos a 3 de 12x − 3: m(4x − 1) + 12x − 3 = m(4x − 1) + 3(4x − 1) Paso 2 Localizamos el factor común (4x − 1), entonces: m(4x − 1) + 3(4x − 1) = m · (4x − 1) + 3 · (4x − 1) = (4x − 1)(m + 3). 10. Factorizar y(5x − 2) − 15x + 6 Paso 1 Factorizamos a 3 de 15x + 6: y(5x − 2) − 15x + 6 = y(5x − 2) − 3(5x + 2) Paso 2 Localizamos factor común (5x + 2), entonces: y(5x − 2) − 15x + 6 = y · (5x − 2) − 3 · (5x + 2) = (5x + 2)(y − 3). 11
  • 13. 4 Factorización completa En esta serie de problemas, debemos de aplicar los dos tipos de factorización anteriores. 4.1. Ejercicios: factorización completa Factorizar ax + bx − ay − by ax + bx − ay − by = x(a + b) − ay − by Factorizamos a x = x(a + b) − y(a + b) Factorizamos a y = (a + b)(x − y) Factorizamos a (a + b) Factorizar 2xy + y − 6x − 3 2xy + y − 6x − 3 = y(2x + 1) − 6x − 3 Factorizamos a y = y(2x + 1) − 3(2x + 1) Factorizamos a 3 = (2x + 1)(y − 3) Factorizamos a (2x + 1) Factorizar 3mn + 15n − 4m − 20 3mn + 15n − 4m − 20 = 3n(m + 5) − 4m − 20 Factorizamos a 3n = 3n(m + 5) − 4(m + 5) Factorizamos a 4 = (m + 5)(3n − 4) Factorizamos a (m + 5) Factorizar 2a2 + 6a − 3ab − 9b 2a2 + 6a − 3ab − 9b = 2a(a + 3) − 3ab − 9b Factorizamos a 2a = 2a(a + 3) − 3b(a + 3) Factorizamos a 3b = (a + 3)(2a − 3b) Factorizamos a (a + 3) Factorizar x + y2 − 3mx − 3my2 12
  • 14. 4.1. EJERCICIOS: FACTORIZACIÓN COMPLETA 13 x + y2 − 3mx − 3my2 = x − 3mx + y2 − 3my2 Conmutamos = x(1 − 3m) + y2 − 3my2 Factorizamos a x = x(1 − 3m) + y2 (1 − 3m) Factorizamos a y2 = (1 − 3m)(x + y2 ) Factorizamos a (1 − 3m) Factorizar 6ab + 15a + 4b + 10 6ab + 15a + 4b + 10 = 3a(2b + 5) + 4b + 10 Factorizamos a 3a = 3a(2b + 5) + 2(2b + 5) Factorizamos a 2 = (2b + 5)(3a + 2) Factorizamos a (2b + 5) 8. Factorizar 12mn + 8m + 3n + 2 12mn + 8m + 3n + 2 = 4m(3n + 2) + 3n + 2 Factorizamos a 4m = (3n + 2)(4m + 1) Factorizamos a (3n + 2) 9. Factorizar 4 + 15xy + 5x + 12y 4 + 15xy + 5x + 12y = 15xy + 5x + 12y + 4 Conmutamos = 5x(3y + 1) + 12y + 4 Factorizamos a 5x = 5x(3y + 1) + 4(3y + 1) Factorizamos a 4 = (3y + 1)(5x + 4) Factorizamos a (3y + 1) 10. Factorizar −6y − 9 + 15x + 10xy −6y − 9 + 15x + 10xy = −3(2y + 3) + 15x + 10xy Factorizamos a −3 = −3(2y + 3) + 5x(3 + 2y) Factorizamos a 5x = (2y + 3)(5x − 3) Factorizamos a (2y + 3) 11. Factorizar 3ab − 9a − b + 3 3ab − 9a − b + 3 = 3a(b − 3) − b + 3 Factorizamos a 3a = 3a(b − 3)−1(b − 3) Factorizamos a −1 = (b − 3)(3a − 1) Factorizamos a (b − 3) 13
  • 15. 5 Diferencia de cuadrados En esta serie de problemas, aplicaremos la fórmula de diferencia de cuadrados a2 −b2 = (a + b)(a − b). Esta fórmula puede ser fácilmente comprobada al realizar la operación (a + b)(a − b) = a2 − ab + ba − b2 = a2 − b2 . 5.1. Ejercicios: diferencia de cuadrados 1. Factorizar a2 − b2 a2 − b2 = (a + b)(a − b) Aplicando la diferencia de cuadrados 2. Factorizar x2 − y2 x2 − y2 = (x + y)(x − y) Aplicando la diferencia de cuadrados 3. Factorizar 4a2 − 9 4a2 − 9 = (2a)2 − (3)2 Re-escribiendo = (2a + 3)(2a − 3) Aplicando la diferencia de cuadrados 4. Factorizar 9b2 − 16 9b2 − 16 = (3b)2 − (4)2 Re-escribiendo = (3b + 4)(3b − 4) Aplicando la diferencia de cuadrados 5. Factorizar 16a4 − 9b6 16a4 − 9b6 = (4a2 )2 − (3b3 )2 Re-escribiendo = (4a2 + 3b3 )(4a2 − 3b3 ) Aplicando la diferencia de cuadrados 14
  • 16. 5.1. EJERCICIOS: DIFERENCIA DE CUADRADOS 15 6. Factorizar 25x2 y4 − 4z6 25x2 y4 − 4z6 = (5xy2 )2 − (2z3 )2 Re-escribiendo = (5xy2 + 2z3 )(5xy2 − 2z3 ) Aplicando la diferencia de cuadrados 7. Factorizar 49x2 b4 − 225 49x2 b4 − 225 = (7xb2 )2 − (15)2 Re-escribiendo = (7xb2 + 15)(7xb2 − 15) Aplicando la diferencia de cuadrados 8. Factorizar 1 4 a4 − b6 1 4 a4 − b6 = ( 1 2 a2 )2 − (b3 )2 Re-escribiendo = ( 1 2 a2 + b3 )( 1 2 a2 − b3 ) Aplicando la diferencia de cuadrados 9. Factorizar 4 49 a4 b6 − 1 16 4 49 a4 b6 − 1 16 = ( 2 7 a2 b3 )2 − ( 1 4 )2 Re-escribiendo = ( 2 7 a2 b3 + 1 4 )( 2 7 a2 b3 − 1 4 ) Aplicando la diferencia de cuadrados 10. Factorizar 9 16 x2 y4 − 25 36 a6 9 16 x2 y4 − 25 36 a6 = ( 3 4 xy2 )2 − ( 5 6 a3 )2 Re-escribiendo = ( 3 4 xy2 + 5 6 a3 )( 3 4 xy2 − 5 6 a3 ) Aplicando la diferencia de cuadrados 15
  • 17. 6 Trinomio cuadrado perfecto En esta serie de problemas, aplicaremos la regla de un trinomio cuadrado perfecto. Se sabe que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , entonces el lado izquierdo de la igualdad se llama trinomio cuadrado perfecto, ya que se puede escribir como un cuadrado de una suma. Cada ves que detectemos un trinomio cuadrado perfecto podemos aplicar esta igualdad. Para detectar si un trinomio es cuadrado perfecto, hay que tomar un término, ver que es un cuadrado (a2 ), obtener la raı́z (a), verificar si esta raı́z (a) esta en otro término (2ab), en tal caso verificar solo si la mitad de al cuadrado de la parte restante (2b), es precisamente el tercer término(b2 ). 6.1. Ejercicios: trinomio cuadrado perfecto 1. Factorizar x2 − 2xy + y2 a) x2 es el cuadrado de x. b) 2xy es el término donde aparece x. c) 2y es la parte restante a x del término anterior. d) y es la mitad de esa parte restante. e) y2 es el cuadrado de esa mitad. f) y2 es en efecto, el tercer término del trinomio. Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto. x2 − 2xy + y2 = (x − y)2 El “-” es debido al signo en −2xy 16
  • 18. 6.1. EJERCICIOS: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 17 2. Factorizar x2 + 4x + 4 a) x2 es el cuadrado de x. b) 4x es el término donde aparece x. c) 4 es la parte restante a x del término anterior. d) 2 es la mitad de esa parte restante. e) 22 = 4 es el cuadrado de esa mitad. f) 4 es en efecto, el tercer término del trinomio. Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto. x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 El “+” es debido al signo en +4x 3. Factorizar y4 − 8y2 + 16 a) y4 es el cuadrado de y2 . b) 8y2 es el término donde aparece y2 . c) 8 es la parte restante a y2 del término anterior. d) 4 es la mitad de esa parte restante. e) 42 = 16 es el cuadrado de esa mitad. f) 16 es en efecto, el tercer término del trinomio. Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto. y2 − 8y2 + 16 = (y2 + 4)2 El “-” es debido al signo en −8y2 4. Factorizar 4x2 + 12x + 9 a) 4x2 es el cuadrado de 2x. b) 12x = 6 · 2x es el término donde aparece 2x. c) 6 es la parte restante a 2x del paso anterior. d) 3 es la mitad de esa parte restante. e) 32 = 9 es el cuadrado de esa mitad. f) 9 es en efecto, el tercer término del trinomio. Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto. 4x2 + 12x + 9 = (2x + 9)2 El “+” es debido al signo en 12x 17
  • 19. 6.1. EJERCICIOS: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 18 5. Factorizar 9y2 − 24y + 16 a) 9y2 es el cuadrado de 3y. b) 24y = 4 · 3y es el término donde aparece 3y. c) 4 es la parte restante a 3y del paso anterior. d) 2 es la mitad de esa parte restante. e) 42 = 16 es el cuadrado de esa mitad. f) 16 es en efecto, el tercer término del trinomio. Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto. 9y2 − 24y + 16 = (3y − 4)2 El “-” es debido al signo en −24y 6. Factorizar 4x4 + 20x2 + 25 a) 4x4 es el cuadrado de 2x2 . b) 20x2 = 10 · 2x2 es el término donde aparece 2x2 . c) 10 es la parte restante a 2x2 del paso anterior. d) 5 es la mitad de esa parte restante. e) 52 = 25 es el cuadrado de esa mitad. f) 25 es en efecto, el tercer término del trinomio. Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto. 4x4 + 20x2 + 25 = (2x2 + 5)2 El “+” es debido al signo en 20x2 7. Factorizar 16a4 − 24a2 b + 9b2 a) 16a4 es el cuadrado de 4a2 . b) 24a2 b = 6 · 4a2 b es el término donde aparece 4a2 . c) 6b es la parte restante a 4a2 del paso anterior. d) 3b es la mitad de esa parte restante. e) (3b)2 = 9b2 es el cuadrado de esa mitad. f) 9b2 es en efecto, el tercer término del trinomio. 18
  • 20. 6.1. EJERCICIOS: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 19 Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto. 16a4 − 24a2 b + 9b2 = (4a2 − 3b)2 El “-” es debido al signo en −24a2 b 8. Factorizar 4a4 − 20a2 b3 + 25b6 a) 4a4 es el cuadrado de 2a2 . b) 20a2 b3 = 10 · 2a2 b3 es el término donde aparece 2a2 . c) 10b3 es la parte restante a 2a2 del paso anterior. d) 5b3 es la mitad de esa parte restante. e) (5b3 )2 = 25b6 es el cuadrado de esa mitad. f) 25b6 es en efecto, el tercer término del trinomio. Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto. 4a4 − 20a2 b3 + 25b6 = (2a2 − 5b3 )2 El “-” es debido al signo en −24a2 b 9. Factorizar 9x2 4 + 2xy + 4y2 9 a) 9x2 4 es el cuadrado de 3x 2 . b) 2xy = 3x 2 4 3 y es el término donde aparece 3x 2 . c) 4 3 y es la parte restante a 3x 2 del paso anterior. d) 2 3 y es la mitad de esa parte restante. e) ( 2 3 y)2 = 4y2 9 es el cuadrado de esa mitad. f) 4y2 9 es en efecto, el tercer término del trinomio. Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto. 9x2 4 + 2xy + 4y2 9 = ( 3x 2 + 2 3 y)2 El “+” es debido al signo en +2xy 19
  • 21. 6.1. EJERCICIOS: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 20 10. Factorizar 4a2 9 − 4ab 5 + 9b2 25 a) 4a2 9 es el cuadrado de 2a 3 . b) 4ab 5 = 6b 5 2a 3 es el término donde aparece 2a 3 . c) 6b 5 es la parte restante a 2a 3 del paso anterior. d) 3b 5 es la mitad de esa parte restante. e) ( 3b 5 )2 = 9b2 25 es el cuadrado de esa mitad. f) 9b2 25 es en efecto, el tercer del trinomio. Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto. 4a2 9 − 4ab 5 + 9b2 25 = ( 2a 3 − 3b 5 )2 El “-” es debido al signo en − 4ab 5 20
  • 22. 7 Factorización de trinomios Algunos trinomios pueden ser factorizados por simple inspección de sus elementos. Si observamos que (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab. Entonces, si podemos encontrar números a, b tales que su suma sea el coeficiente de x y su producto sea el tercer término de un trinomio de la forma x2 + (a + b)x + ab, podemos aplicar la anterior observación para factorizar el trinomio. 7.1. Ejercicios: factorización de trinomios 1. Factorizar x2 + 4x + 3 a) 3 y 1 suman 4, b) 3 por 1 da 3, c) Por lo tanto x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1). 2. Factorizar x2 − 4x + 3 a) −3 y −1 suman −4, b) −3 por −1 da 3, c) Por lo tanto x2 + 4x + 3 = (x − 3)(x − 1). 3. Factorizar x2 + 3x − 10 a) 5 y −2 suman 3, 21
  • 23. 7.1. EJERCICIOS: FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS 22 b) 5 por −2 da −10, c) Por lo tanto x2 + 3x − 10 = (x + 5)(x − 2). 4. Factorizar x2 − 2x − 8 a) 4 y −2 suman −2, b) 4 por −2 da −8, c) Por lo tanto x2 − 2x − 8 = (x + 4)(x − 2). 5. Factorizar x2 + x − 20 a) 5 y −4 suman 1, b) 5 por −4 da −20, c) Por lo tanto x2 + x − 20 = (x + 5)(x − 4). 6. Factorizar x2 − x − 12 a) −4 y 3 suman −1, b) −4 por 3 da −12, c) Por lo tanto x2 − x − 12 = (x − 4)(x + 3). 7. Factorizar x2 + 7x + 6 a) 6 y 1 suman 7, b) 6 por 1 da 6, c) Por lo tanto x2 + 7x + 6 = (x + 6)(x + 1). 8. Factorizar x2 − 2x − 24 a) −6 y 4 suman −2, b) −6 por 4 da −24, c) Por lo tanto x2 − 2x − 24 = (x − 6)(x + 4). 22
  • 24. 7.1. EJERCICIOS: FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS 23 9. Factorizar x2 − 9x + 8 a) −8 y −1 suman −9, b) −8 por −1 da −8, c) Por lo tanto x2 − 9x + 8 = (x − 8)(x − 1). 10. Factorizar x2 − 4x − 21 a) −7 y 3 suman −4, b) −7 por 3 da −21, c) Por lo tanto x2 − 4x − 21 = (x − 7)(x + 3). 11. Factorizar a2 + 5a + 6 a) 3 y 2 suman 5, b) 3 por 2 da 6, c) Por lo tanto a2 + 5a + 6 = (a + 3)(a + 2). 12. Factorizar b2 − 7b + 12 a) −4 y −3 suman −7, b) −4 por −3 da 12, c) Por lo tanto b2 − 7b + 12 = (b − 4)(b − 3). 13. Factorizar c2 − 4c + 3 a) −3 y −1 suman −4, b) −3 por −1 da 3, c) Por lo tanto c2 − 4c + 3 = (c − 3)(c − 1). 14. Factorizar x4 + 8x2 + 7 23
  • 25. 7.1. EJERCICIOS: FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS 24 a) 7 y 1 suman 8, b) 7 por 1 da 7, c) Por lo tanto x4 + 8x2 + 7 = (x2 + 7)(x2 + 1). 15. Factorizar x4 − 8x2 + 15 a) −5 y −3 suman −8, b) −5 por −3 da 15, c) Por lo tanto x4 − 8x2 + 15 = (x2 − 5)(x2 − 3). 16. Factorizar a6 − 7a3 + 10 a) −5 y −2 suman −7, b) −5 por −2 da 10, c) Por lo tanto a6 − 7a3 + 10 = (a3 − 5)(a3 − 2). 17. Factorizar x2 − 2x − 35 a) −7 y 5 suman −2, b) −7 por 5 da 35, c) Por lo tanto x2 − 2x − 35 = (x − 7)(x + 5). 18. Factorizar x2 + 3x − 54 a) 9 y −6 suman 3, b) 9 por −6 da −54. c) Por lo tanto x2 + 3x − 54 = (x + 9)(x − 6). 19. Factorizar x2 − 20x + 75 a) −5 y −15 suman −20, b) −5 por −15 da 75, 24
  • 26. 7.1. EJERCICIOS: FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS 25 c) Por lo tanto x2 − 20x + 75 = (x − 5)(x − 15). 20. Factorizar x2 − 12x − 64 a) −16 y 4 suman −12, b) −16 por 4 da 64, c) Por lo tanto x2 − 12x − 64 = (x − 16)(x + 4). 21. Factorizar x2 − 16x + 48 a) −12 y −4 suman −16, b) −12 por −4 da 48, c) Por lo tanto x2 − 16x + 48 = (x − 12)(x − 4). 22. Factorizar x2 − 8x − 20 a) −10 y 2 suman −8, b) −10 por 2 da −20, c) Por lo tanto x2 − 8x − 20 = (x − 8)(x − 20). 23. Factorizar x2 − 16x − 36 a) −18 y 2 suman −16, b) −18 por 2 da −36, c) Por lo tanto x2 − 16x − 36 = (x − 18)(x + 2). 24. Factorizar x2 − 25x + 100 a) −5 y −20 suman −25, b) −5 por −20 da 100, c) Por lo tanto x2 − 25x + 100 = (x − 5)(x − 20). 25
  • 27. 7.1. EJERCICIOS: FACTORIZACIÓN DE TRINOMIOS 26 25. Factorizar x2 − 24x + 80 a) −4 y −20 suman −24, b) −4 por −20 da 80, c) Por lo tanto x2 − 24x + 80 = (x − 4)(x − 20). 26
  • 28. www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 2007-2010