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Problemas de Estática. J. Martín
Problemas Resueltos
de
Estática
1 Fuerzas y Momentos
2 Equilibrio del punto
3 Equilibrio del sólido sin rozamiento
4 Equilibrio del sólido con rozamiento
5 Equilibrio del sistema de sólidos
6 Entramados y armaduras
7 Mecanismos : poleas, cuñas, tornillos
8 Método de los trabajos virtuales
9 Fuerzas distribuidas : cables y vigas
10 Centros de gravedad
3
Fuerzas y momentos
SOLUCIÓN
La resultante es la suma de las dos fuerzas.
De la ley del coseno se tiene 60
cos
400
300
2
400
300 2
2
×
×
×
+
+
=
F ⇒ N
2
,
608
=
F
De la ley del seno se tiene
º
3
,
25
4273
,
0
sen
608
º
30
cos
300
sen
=
⇒
=
⇒
=
Solución en componentes.
La resultante es la suma de las componentes de cada una de las fuerzas .
3
150
550
)
sen60º
º
60
cos
(
300
400 j
i
F
j
i
i
F +
=
⇒
+
+
=
º
3
,
25

4723
,
0
550
3
150

tan =
⇒
=
=
Problema 1 Determinar la resultante de las dos fuerzas indicadas en la figura, dando el módulo y el
ángulo que forma la horizontal.
F
60º
300 N
400 N
α
α
400 N
300 N
60º
y
O
F
x
400 N
300 N
60º
Problemas de Estática. J. Martín
SOLUCIÓN
SOLUCIÓN
Gráfica. Se dibuja a escala la suma de las fuerzas. Midiendo el módulo de la resultante se obtiene F =
49 N ; midiendo el ángulo que forma con la horizontal es obtiene 26º
Problema 2 Determinar el valor del módulo y la dirección de la fuerza F2 que hay que aplicar al
bloque de la figura adjunta para que la resultante de ambas fuerzas sea una fuerza vertical de 900 N si
el módulo de la fuerza F1 es de 500 N.
Problema 3 Determinar la resultante del sistema de fuerzas concurrentes que se indica en la figura
adjunta sabiendo que F1 = 150 N , F 2 = 200 N , F3 = 80 N y F4 = 180 N.
x
y
F2
F1
F3
F4
60º
30º
45º
30º
F2 = 544,8 N ; α = 29,1º
F
α
F1
F2
F3
F4
F1
F2
α 32º
5
Analítica. Se determinan las componentes según x y según y de cada una de las fuerzas. A partir de
estos valores se obtiene la resultante y el ángulo que forma con el eje x. Las componentes de las fuerzas
son:
F1 = 129.9 i + 75.0 j ; F2 = − 173.2 i + 100.0 j
F3 = − 40.0 i − 69.2 j ; F4 = 127.3 i − 127.3 j
La resultante es: F = Σ Fi = 44.0 i − 21.5 j ⇒ F = 49.0 N ; α = − 26º
SOLUCIÓN
5,7º
;
N
5
,
515
5
.
51
513 =
=
⇒
+
= F
j
i
F
SOLUCIÓN
Representación gráfica de las fuerzas
De la ley del seno aplicada al triángulo definido por las tres fuerzas se tiene
Problema 4 Determinar la resultante de las fuerzas representadas en la figura adjunta. Dar su módulo
y el ángulo que forma con el eje x.
Problema 5 Descomponer una fuerza F de módulo 2800 N en dos componentes F1 y F2 tales que
F1 forme con F un ángulo de 20º y que su diferencia de módulos F1 – F2 sea igual a 1000 N.
Determinar sus módulos y el ángulo que forman.
80 N
x
y
260 N
150 N
120 N
70º
20º
40º
50º
100 N
F
F1
F2
20º
α
Problemas de Estática. J. Martín
F
F
sen
20º
sen
2
=
Proyectando las fuerzas sobre la horizontal queda
cos
º
20
cos 2
1 F
F
F +
=
La diferencia de módulos de las dos fuerzas
1000
2
1 =
− F
F
Operando con las tres ecuaciones se obtiene
º
60,8
;
N
7
,
1069
;
N
7
,
2069 2
1 =
=
= F
F
SOLUCIÓN
Representación gráfica de las fuerzas
Problema 6 Descomponer una fuerza F en dos componentes F1 y F2 tales que F1 forme con F un
ángulo que sea la mitad del ángulo que forma F2 con F y los módulos de F1 y de F2 cumplan la
relación 4 F2 = 3 F1 . Calcular el módulo de las componentes y los ángulos que forman con F.
F
F2
F1
α
β = 2 α
3 α
α = 48,2º ; β = 96,4º ; F1 = 1,7 F ; F 2 = 1,3 F
7
SOLUCIÓN
Representación gráfica de las fuerzas
SOLUCIÓN
Representación gráfica de las fuerzas
)
(
2
2
2
0
k
j
i
F c
b
a
c
b
a
F
+
+
+
+
=
Problema 7 Descomponer una fuerza F de 20 kN en dos componentes F1 y F2 tales que formen
entre sí un ángulo de 50 º y sus módulos estén en la relación 2 : 5. Calcular la magnitud de las
componentes y los ángulos α1 y α2 que forman con F .
Problema 8 En las diagonales de un paralelepípedo rectangular de aristas a,b,c, actúan tres fuerzas
del mismo módulo F0. Calcular la resultante F.
F2 = 15,45 kN ; β = 13,8º
F1 = 6,18 kN ; α = 36,2º ;
F
F1
50º
α
β
a
b
c
O
A
B
C
D
E
F1
F2
F3
x
y
z
Problemas de Estática. J. Martín
SOLUCIÓN
Expresando las fuerzas en componentes y sumando se obtiene la resultante
k
j
i
F +
+
= 5
3
SOLUCIÓN
El vector unitario en la dirección y sentido de la fuerza es ( )
k
j
i
u +
+
−
=
3
3
La fuerza en componentes es F = 10 ( − i + j + k )
Problema 9 El cubo representado en la figura adjunta tiene de arista 2 m El origen O y los extremos
de las fuerzas F1 y F2 están en el punto medio de los lados. Los módulos de las fuerzas son F 1 = 1,41
kN ; F2 = 2,45 kN ; F3 =3,0 kN. Determinar la resultante F .
Problema 10 Una fuerza de 17,32 k está dirigida a lo largo de la recta que va del punto de
coordenadas (4,2,0) hasta el punto de coordenadas (1,5,3) tal como se muestra en la figura adjunta .
Los valores de las coordenadas están dados en metros. Determinar el momento de F respecto del
origen O y los momentos de F respecto de los ejes x, y, z.
x
y
z
(4, 2, 0)
(1, 5, 3)
F
P
°
°
y
x
z
O
F1
F2
F3
9
El momento de la fuerza respecto del origen está dado por F
M 0 ∧
= OP , donde el punto P es un
punto cualquiera de la recta soporte de F. Tomando el punto P ( 4 ,2 ,0 ), el momento de la fuerza
respecto del origen es
M0 = 10 ( 2 i − 4 j + 6 k )
El producto escalar del vector M0 por los vectores de la base i , j , k proporciona los momentos de
la fuerza respecto de los ejes x , y , z . Sus valores son :
mx = 20 my = − 40 mz = 60
SOLUCIÓN
El momento M1 es el de un par de fuerzas de 40 Kg situadas en el plano horizontal o en un plano paralelo
al horizontal y separadas una distancia de un metro ; el momento M2 es el de un para de fuerzas de 40 Kg
situadas en el plano inclinado o en un plano paralelo al plano inclinado y separadas una distancia de 3m,
tal como se muestra en la figura a). Para facilitar la suma de los momentos de los dos pares, los vectores
que los forman se han tomado con sus direcciones paralelas a la recta de intersección de los planos.
(a)
Problema 11 En la figura adjunta se representa un par de momento Μ = 40 k-m que actúa sobre un
plano horizontal y otro par de momento Μ2 = 120 k-m que actúa sobre un plano que forma 60º con
el horizontal. Determinar gráficamente el momento resultante M de ambos pares
60º
M1
M2
1 m
F
3 m
h
−
− F
Problemas de Estática. J. Martín
El par resultante está formado por las fuerzas F y − F separadas una distancia h . Su momento es un
vector M perpendicular al plano definido por F y − F, plano que forma con la horizontal un ángulo
θ, figura b).
(b)
Para calcular la distancia h, brazo del par resultante, aplicando la ley del coseno al triángulo ABC se tiene
h = 7 = 2,645 m luego el momento del par resultante es
M = 105,8 k - m
Para calcular el ángulo θ, aplicando la ley del seno al triángulo ABC se tiene que θ = 79,2 º
SOLUCIÓN
Problema 12 Una barra horizontal de 4 m de largo está sometida a una fuerza vertical hacia abajo de
12 kg aplicada en su extremo B. Demostrar que es equivalente a una fuerza de 12 kg hacia abajo
aplicada en su extremo A y a un par de sentido horario de 48 kg-m.
M
60º
h
θ
A
C
3 m
1 m B
F
B
A
2 m
2 F
2 F
F
B
A
4 m
11
Equilibrio del punto
SOLUCIÓN
Condición de equilibrio
)
º
47
(
sen
780
º
47
sen
F
sen
460 2
α
+
=
=
α
º
8
,
35
=
α ; N
575
F2 =
Problema 13 Determinar el valor del módulo y la dirección de la fuerza F2 de la figura adjunta para
que el bloque de 780 N de peso se encuentre en equilibrio si el módulo de la fuerza F1 es de 460 N .
F1
F2
α
P
47º
P
F1
F2
α
47º
Problemas de Estática. J. Martín
SOLUCIÓN
Equilibrio en el punto B Equilibrio en el punto C
BA
BC
T
º
80
sen
T
10
sen
500
=
= ; TBC = TCB ; CD
CB
T
º
20
sen
T
70
sen
P
=
=
Operando queda
TBA = 2879 N ; TBC = TCB = 2835 N ; P = 7789 N ; TCD = 8289 N
Problema 14 En el esquema de la figura, el bloque de peso P se mantiene en equilibrio cuando se
aplica una fuerza F = 500 N en el punto B del sistema de cables. Determinar las tensiones en los
cables y el peso P.
F
P
A
D
B
C
10º
20º
TBC
TBA
10º
F
TCB
P
TCD
20º
13
SOLUCIÓN
Equilibrio en el punto B Equilibrio en el punto C
BC
BA
T
º
30
sen
T
60
sen
2450
=
= ; TBC = TCB ;
80
sen
T
º
70
sen
T
30
sen
T CE
CB
CD
=
=
Operando queda
TBA = 1414 N ; TBC = TCB = 2829 N ; TCD = 1505 N ; TCE = 2965 N
Problema 15 Un cuerpo de masa m = 250 kg está unido al sistema de cables indicado en la figura y
se mantiene en equilibrio en la posición indicada. Determinar las tensiones en los cables.
P
A
D
B
C
60º
40º
E
30º
TBC
TBA
60º
P
TCE
TCD
30º
40º
60º
TCB
Problemas de Estática. J. Martín
SOLUCIÓN
Tensión en el cable 1 ⇒ F1 = 132 N
Tensión en el cable 2 ⇒ F2 = 128,8 N
Tensión en el cable 3 ⇒ F3 = 84,8 N
SOLUCIÓN
h = 1,5 tg α ; 120 sen α = 80 ⇒ h = 1,34 m
Problema 16 En el esquema de la figura adjunta, un bloque de 60 N de peso está unido a tres cables
dos de ellos contenidos en un plano horizontal. Determinar las tensiones en los cables.
Problema 17 En el esquema de la figura adjunta los tres cuerpos unidos por cables están en
equilibrio. Los bloques A y B pesan 60 N cada uno y el bloque C pesa 80 N . Determinar el valor de
h
4 m
4 m
3 m 8 m
5 m
A
D
C
B
1
2
3
3 m
A
h
B
C
α
15
SOLUCIÓN
a) Cuando la tensión en el cable horizontal sea nula, en el punto C concurren tres fuerzas y para que esté
en equilibrio su suma ha de ser cero.
P + FA + F1 = 0
siendo FA la fuerza que ejerce el cable unido al punto A en el punto C y F1 el valor de F.
Condición gráfica de equilibrio
Cuando la tensión en el cable AC sea nula en el punto C concurren tres fuerzas y para que esté en
equilibrio su suma ha de ser cero.
P + FB + F2 = 0
siendo FB la fuerza que ejerce el cable unido al punto B en el punto C y F2 el valor de F.
Problema 18 En el esquema de la figura adjunta, un bloque de 600 N de peso pende de dos cables.
Determinar: a) el intervalo de valores de la fuerza F para que ambos cables estén tensos ; b) el valor
de las tensiones en los cables para F = 500 N. Dato : tg α = 4 / 3
F
60º α
A
C
B
)
60
(
30
1
α
+
=
sen
P
sen
F
F1 = 326,2 N
F1
P
FA
60º +α
30º
30º
Problemas de Estática. J. Martín
Condición gráfica de equilibrio
Para que los dos cables estén tensos, la magnitud de la fuerza aplicada F ha de satisfacer la condición
326,2 N ≤ F ≤ 750 N
b) Para el valor F = 500 N, las tensiones en los dos cables son distintas de cero. En el punto C
concurren cuatro fuerzas, luego para que este en equilibrio su resultante a de ser cero.
Condición gráfica de equilibrio
FB = 184.5 N ; FA = 230.9 N
F2 = 750 N
P
F2
FB
α
sen
90º
sen
P
F
=
P
FA
α
FB
F
60º
17
SOLUCIÓN
Equilibrio en el punto A Equilibrio en el punto B
Aplicando la ley del seno se tiene
1
A
P
sen
N
cos
T
=
α
=
α
; 2
B
P
cos
N
sen
T
=
α
=
α
Operando queda
α = 33,69º ; T = 1630.8 N ; NA = 1087,2 N ; NB = 2446,2 N
Problema 19 Dos cuerpos puntuales de pesos P1 = 1960 N y P2 = 2940 N están unidos mediante
un cable y se apoyan sobre una superficie cilíndrica lisa tal como se ve en la figura adjunta.
Determinar la tensión del cable, las normales en los apoyos y el ángulo de equilibrio.
P2
T
NB
α
P1
T
NA
α
P1
P2
α
90 − α
A
B
90 − α α
Problemas de Estática. J. Martín
SOLUCIÓN
82
40
68
500
sen
T
sen
F
sen
=
=
SOLUCIÓN
l0 = 2,66 m
Problema 20 En la figura adjunta el bloque de 500 N de peso se mantiene en equilibrio en la posición
indicada bajo la acción de la fuerza F aplicada en el extremo libre de la cuerda que pasa por la polea
B. Determinar el valor de la fuerza.
Problema 21 En el esquema de la figura adjunta, el cable AC está unido por su extremo C a un
muelle cuya constante de rigidez es k = 50 N/m . Si se aplica en el extremo C del cable una fuerza
vertical descendente F0 = 80 N el sistema está en equilibrio cuando el ángulo θ = 60º . Determinar la
longitud natural lo del muelle
A
3 m
B
F
1 m
18º
C
2 m
A 60º B
F0
2 m
C
F = 346,6 N
F
P
T
50º
18º
19
Equilibrio del sólido sin rozamiento
SOLUCIÓN
Sobre la barra actúan cuatro fuerzas : El peso P, las normales en los apoyos NA, NB y la fuerza
aplicada en el extremo A.
Diagrama del sólido libre
Condición de equilibrio
Tomando momentos respecto de A NB l − P l cos 30º = 0
Operando queda NB = 86,6 N ; NA = 156,7 N ; F = 75 N
Problema 22 Una barra homogénea de 200 N de peso y longitud l se apoya sobre dos superficies
lisas tal como se muestra en la figura adjunta. Determinar : a) el valor de la fuerza F para mantener la
barra en equilibrio en la posición indicada ; b) las reacciones en los apoyos.
A
B
60º
30º
F
30º
F
NA
NB
P
NA + NB sen 30º = P
NB cos 30º = F
Sistema de dos ecuaciones
con tres incógnitas
P
G
A
B
60º
30º
F
NB
NA
Problemas de Estática. J. Martín
SOLUCIÓN
Sobre la barra actúan cuatro fuerzas : El peso P, las normales en los apoyos NA, NB y la fuerza
aplicada en el extremo A.
Diagrama del sólido libre
Condición de equilibrio
Tomando momentos respecto de B − NA l cos 30º + P l cos 30º = 0
Operando queda NA = P ; ; F = P sen 60º ; ∆ l = cm
6
2
=
k
F
Problema 23 Una barra homogénea de 300 N de peso y longitud l se apoya sobre dos superficies
lisas tal como se muestra en la figura adjunta. Se mantiene en equilibrio bajo la acción que le ejerce
un muelle unido a su extremo B de constante k = 500 N/m. Determinar el alargamiento del muelle.
A
B
60º
30º
P
G
NA + F sen 60º + NB sen 30º + = P
F cos 60º = NB cos 30º
Sistema de dos ecuaciones
con tres incógnitas
P
G
A
B
60º
30º
F
NB
F
NA
NB
P
60º
NA
21
SOLUCIÓN
Sobre la barra actúan tres fuerzas : El peso P, la normal en el apoyo NB y la reacción en A.
Diagrama del sólido libre. La condición necesaria para que un sólido sometido a tres fuerzas este
en equilibrio es que las tres fuerzas se corten en un mismo punto ( o sean paralelas )
Condición de equilibrio
Tomando momentos respecto de A NB sen 52º l − P l cos 22º = 0
Operando queda NB = 217 N ; α = 54,2º ; RA = 321,2 N
Problema 24 Una barra homogénea de 369 N de peso y longitud l esta articulada en su extremo A y
se apoya en su extremo B sobre una superficie lisa tal como se muestra en la figura adjunta.
Determinar la reacción en la articulación.
30º
RA
NB
P
α
=
α
+
= 
 B
A N
sen
P
sen
R
)
(30º
60
Sistema de dos ecuaciones
con tres incógnitas
P
G
A
B
60º
RA
NB
A
B
60º
22º
22º
α
Problemas de Estática. J. Martín
SOLUCIÓN
Sobre la barra actúan tres fuerzas : El peso P, la normal en el apoyo NA y la normal en C NC.
Diagrama del sólido libre. La condición necesaria para que un sólido sometido a tres fuerzas este
en equilibrio es que las tres fuerzas se corten en un mismo punto ( o sean paralelas )
Condición de equilibrio
Tomando momentos respecto de A NC 2 R cos α − P α

2
3 R
= 0
Operando queda NC = P
4
3
; cos 2 α =
4
3
cos α ; 0
4
3
8 2
=
−
α
−
α 	

 ; α = 23,2º
Problema 25 Una barra homogénea peso P y longitud l esta en equilibrio en una cavidad
semiesférica lisa de radio R tal como se muestra en la figura adjunta. Determinar el valor del ángulo
de equilibrio α si l = 3R.
α
A
B
C
2 α
NA
NC
P
α
=
α
=
α 2
C
A N
P
N
sen
Sistema de dos ecuaciones
con tres incógnitas
α
P
G
A
B
NA
NC
C
α
α
α
R
R
A
α
α
C
23
SOLUCIÓN
Sobre la barra actúan tres fuerzas : El peso P, la normal en el apoyo NC y la reacción en B dirigida
perpendicularmente a la guía.
Diagrama del sólido libre. La condición necesaria para que un sólido sometido a tres fuerzas este
en equilibrio es que las tres fuerzas se corten en un mismo punto ( o sean paralelas )
Condición de equilibrio
Problema 26 Una barra homogénea de longitud l y peso P está unida por uno de sus extremos a un
pasador que puede deslizar sin rozamiento por una guía vertical. La barra se apoya sobre una
superficie cilíndrica lisa de radio R. Si la longitud de la barra es 3R , determinar el ángulo α de
equilibrio.
α
A
B
C
1
C
B N
P
N
sen
=
α
=
α 
Sistema de dos ecuaciones
con tres incógnitas
NB
NC
P
α
R
O
P
G
A
B
NB
NC
C
α
α
Problemas de Estática. J. Martín
Tomando momentos respecto de B NC CB − P α

2
3 R
= 0
De la figura se tiene
R
CB
=
α
	
Operando queda ( ) 2
3
1
2
=
+
α
α

	

	
⇒ α = 40,74º
25
Equilibrio del sólido con rozamiento
Problema 27 Una barra homogénea de 200 N de peso y longitud l se apoya sobre dos superficies tal
como se muestra en la figura adjunta. La superficie inclinada es lisa y la horizontal rugosa. Determinar :
a) el valor de la fuerza de rozamiento en A para mantener la barra en equilibrio en la posición indicada ;
b) el coeficiente de rozamiento mínimo para el equilibrio.
SOLUCIÓN
a)
Sobre la barra actúan cuatro fuerzas : El peso P, las normales en los apoyos NA, NB y la fuerza de
rozamiento en A.
Diagrama del sólido libre
Condición de equilibrio
Tomando momentos respecto de A NB l − P l cos 30º = 0
Operando queda NB = 86,6 N ⇒ f = 75 N
A
B
60º
30º
30º
f
NA
NB
P
NA + NB sen 30º = P
NB cos 30º = f
Sistema de dos ecuaciones
con tres incógnitas
P
G
A
B
60º
30º
f
NB
NA
Problemas de Estática. J. Martín
b)
Para el coeficiente de rozamiento mínimo, la barra está en estado de movimiento inminente y la
correspondiente fuerza de rozamiento es la máxima, luego se cumple que fr = µ NA
El valor de NA es 156,7 N , de donde queda el valor µ = 0,48
SOLUCIÓN
Diagrama del sólido libre. Sobre la barra actúan 4 fuerzas : los pesos de la barra y el bloque, la
tensión del cable y la resultante R en el punto de apoyo C , que es la suma de la normal y de la fuerza de
rozamiento.
Problema 28 La barra homogénea AB de la figura adjunta, de masa m = 4 kg y longitud l = 2 m, se
mantiene en equilibrio apoyada en el borde de un soporte a 0.5 m de su extremo A y mediante un
cable unido a su extremo B. Del extremo A pende un cuerpo de masa m1 = 6 kg . Determinar : a)
dibujar el diagrama del sólido libre de la barra ; b) calcular la tensión del cable ; c) la fuerza de
rozamiento en el apoyo ; d) si el apoyo se considera liso, deducir si existen valores de m y m1 para
que la barra se mantenga en equilibrio en la posición indicada.
A
B
C
30º
P1
P
RC
T
NC
f
G
30º
A
B
C
30º
30º
m1
27
Condición de equilibrio
Tomando momentos respecto de C
30º
sen
2
3
30
2
1
30
2
1
1 T
P
P +
=


Operando queda
N
3
11
3
3
2 
=
=
g
T
Sustituyendo en la segunda ecuación de la condición de equilibrio se tiene
N
8
.
58
6 =
= g
f
Sean cuales sean las masa m y m1 , si no hay rozamiento, las componentes de los pesos y de la
tensión en la dirección de la barra no se cancelan, luego no puede haber equilibrio.
NC = T sen 30 + ( P+P1) cos 30º
f = T cos 30º +( P+P1) sen 30º
Sistema de dos ecuaciones
con tres incógnitas
NC
f
P1
P
T
30º
30º
30º
Problemas de Estática. J. Martín
SOLUCIÓN
Diagrama del sólido libre. Sobre la barra actúan 4 fuerzas : los pesos de la barra y el bloque, la
tensión del cable y la resultante RC en el punto de apoyo C , que es la suma de la normal y de la fuerza de
rozamiento. La fuerza de rozamiento tiene su valor máximo fr = µ NC
Condición de equilibrio
Problema 29 La barra homogénea AB de la figura adjunta, de masa m y longitud l, se mantiene en
equilibrio apoyada en el borde C de un soporte, tal que AC = l/5 y mediante un cable unido a su
extremo B. Del extremo A pende un cuerpo de masa m1 = 4 m. Determinar : el valor mínimo del
coeficiente de rozamiento µ para que la barra se mantenga en equilibrio en la posición indicada.
A
B
C
38º
112ºº
m1
NC = T sen 58 + ( P+P1) cos 38º
µ NC + T cos 58º = ( P+P1) sen 38º
Sistema de dos ecuaciones
con tres incógnitas
A
B
C
58º
P1
P
T
NC
fr
G
38º
NC
P1
P
T
38º
fr
58º
38º
29
Tomando momentos respecto de C
58º
sen
5
4
38
10
3
38
5
1 T
l
P
l
P
l
+
=


Operando queda
mg
T 58
0
=
Sustituyendo en la primera ecuación de la condición de equilibrio se tiene
mg
NC 43
4
=
Y finalmente de la segunda ecuación de equilibrio µ = 0,62
SOLUCIÓN
Sobre el cilindro actúan 3 fuerzas : el peso P del cilindro, la fuerza horizontal F del cable y la
resultante RA en el punto de apoyo A , que es la suma de la normal y de la fuerza de rozamiento. La fuerza
de rozamiento tiene su valor máximo fr = µ NA
Diagrama del sólido libre y condición de equilibrio.
Problema 30 Un cilindro homogéneo de peso P y radio R se apoya sobre un plano inclinado rugoso
que forma 44º con la horizontal. Se encuentra en condiciones de movimiento inminente bajo la acción
de la fuerza que le ejerce el cable horizontal unida al cilindro en su parte superior. Determinar el valor
del coeficiente de rozamiento µ.
56º
A
B F
R
F
P
RA
56º F
P
RA
fr
NA
56º
28º
µ = tan 28 = 0,53
Problemas de Estática. J. Martín
SOLUCIÓN
En condiciones de movimiento inminente, la reacción en la pared forma con la normal un ángulo θ tal que
tan θ = µ = 0,25, es decir θ = 14º.
Sobre el bloque actúan 3 fuerzas : el peso P , la fuerza F y la resultante R en el apoyo, que es la
suma de la normal y de la fuerza de rozamiento. En condiciones de movimiento inminente, la fuerza de
rozamiento tiene su valor máximo fr = µ N.
Diagrama del sólido libre y condición de movimiento inminente hacia abajo
Condición de movimiento inminente hacia arriba
Aplicando la ley del seno a ambos triángulos queda
Problema 31 El bloque homogéneo de la figura adjunta tiene un peso de 1200 N y está apoyado en
una pared vertical . El coeficiente de rozamiento entre ambas superficies es µ = 0,25 . El bloque se
encuentra en equilibrio bajo la acción de la fuerza F tal como se muestra en la figura adjunta.
Determinar el intervalo de valores de F para que el bloque se mantenga en equilibrio.
F
60º
P
R F
N1
P
14º
F1
30º
fr
76º
N2
F2 P
30º
fr
14º
16º
104º
F1 = 1676 N ≤ F ≤ F2 = 4224 N
31
SOLUCIÓN
Sobre la barra actúan cuatro fuerzas : El peso P, la normal NA, la fuerza de rozamiento fr = µ NA y la
fuerza F aplicada en B.
Diagrama del sólido libre
Condición de equilibrio
Tomando momentos respecto de A P l cos β = F l sen (α − β)
Operando queda
β
−
α
=
µ
tan
2
tan
1
Problema 32 Una barra homogénea de peso P y longitud l se apoya por su extremo A sobre un
suelo horizontal rugoso, coeficiente de rozamiento µ, y su extremo B está unido a un cable, que pasa
por una polea, el cual le ejerce una fuerza F que mantiene la barra en la posición indicada en situación
de movimiento inminente. Determinar el valor de µ en función de α y β.
F
α
β
A
B
NA
P
NA + F sen α = P
F cos α = µ NA
P
G
A
B
β
fr
F
NA
α
fr
α
F
α − β
Problemas de Estática. J. Martín
SOLUCIÓN
Cálculo del ángulo α.
La barra forma con la pared un ángulo de 36º y la tensión del cable forma con la dirección de barra un
ángulo de 58º.
Diagrama del sólido libre y condición de equilibrio. Sobre la barra actúan 3 fuerzas, el peso P, la
tensión del cable T y la reacción R en el apoyo A que es la suma de la fuerza de rozamiento f, dirigida
hacia arriba, mas la normal.
Problema 33 Una barra homogénea de peso P = 90 N y longitud l se mantiene en equilibrio apoyada
por su extremo A sobre una pared vertical rugosa; su extremo B está unido a un cable fijo a la pared
en el punto C , cuya longitud es 1,57 l que forma con la pared un ángulo de 22º. Determinar: el
ángulo α, la tensión del cable y la fuerza de rozamiento.
A
B
C
22º
α
A
B
C
90º − α
22º
α
=
cos
57
1
22º
sen
l
l
Operando α = 54º
33
Tomando momentos respecto de A se obtiene la tensión del cable
⇒ T = 31 N
Sustituyendo y operando se tiene el valor del ángulo ϕ = 11º . Conocido el ángulo se obtiene el
valor de la reacción, R = 62 N. La fuerza de rozamiento es su proyección vertical
f = 61 N
22º
P
T
R
T
22º
P
R
ϕ
)
68º
(
cos
22º
sen
sen ϕ
−
=
=
ϕ
P
R
T
Sistema de 2 ecuaciones
con 3 incógnitas
A
B
G
58º
R
P
T
54º
Problemas de Estática. J. Martín
Equilibrio del sistema de sólidos
SOLUCIÓN
Problema 34 Una barra uniforme de peso P y longitud l está articula en su extremo A y se apoya sobre
un disco liso de radio R y peso Q, tal como se muestra en la figura adjunta. El disco se apoya sobre una
superficie horizontal lisa y su centro unido a la articulación mediante un cable. Determinar la tensión
del cable y la reacción en la articulación.
B
A
R
C
35
SOLUCIÓN
Problema 35 Un cilindro de peso P y radio R se encuentra en equilibrio en la posición indicada en la
figura adjunta. Se considera que todas las superficies son lisas. Determinar: la reacción en la
articulación y la tensión del cable.
A
C
D
B
30º
45º
R
E
Problemas de Estática. J. Martín
SOLUCIÓN
Problema 36 Un cilindro de peso Q y radio R se apoya boca abajo sobre una superficie horizontal tal
como se muestra en la figura adjunta. En su interior hay dos esferas de radio r y peso P cada una.
Determinar el peso del cilindro para que este no vuelque. Todas las superficies se consideran lisas.
r
r
37
SOLUCIÓN
Problema 37 Sobre un plano inclinado que forma un ángulo de 30º con la horizontal se sitúan dos
bloques de pesos P1 = 4000 N y P2 = 6000 N respectivamente. Ambos están unidos mediante un
cable. Los coeficientes de rozamiento entre los bloques y el plano inclinado son µ1 = 0,4 y µ2 = 0,8,
respectivamente. Determinar la tensión del cable y las fuerzas de rozamiento que actúan sobre los
bloques.
P1
30º
P2
Problemas de Estática. J. Martín
SOLUCIÓN
Problema 38 Una barra uniforme de peso 1176 N y longitud l está articula en su extremo A y forma
un ángulo de 30º con la horizontal. Su extremoB se apoya sobre la superficie lisa de un bloque de peso
328 N, situado sobre una superficie inclinada rugosa que forma un ángulo de 58º con la horizontal.
Determinar la reacción en la articulación y el coeficiente de rozamiento mínimo para que haya
equilibrio.
A
B
58º
30º
39
SOLUCIÓN
Problema 39 Una escalera de peso P se apoya en una pared vertical lisa y sobre un suelo horizontal
rugoso. El coeficiente de rozamiento es µ = 0,265. La distancia entre peldaños es de 30 cm. Una
persona de peso Q asciende por la escalera. Determinar hasta que peldaño puede subir sin que la
escalera se caiga.
Problemas de Estática. J. Martín
SOLUCIÓN
a) Para la posición indicada la tabla no está en condiciones de movimiento inminente. En el apoyo en A,
además de la normal actúa la fuerza de rozamiento f dirigida hacia la derecha.
Diagrama del sólido libre de la tabla Polígono de fuerzas
.
Del polígono de fuerzas se deduce inmediatamente el valor de la fuerza de rozamiento en el suelo
α
= sen
C
N
f (1)
La normal en C forma con la vertical un ángulo α que es el mismo que forma la tabla con el suelo; de los
datos se deduce su valor, α = 36,87º. De la suma de momentos respecto de A igual a cero se obtiene la
ecuación
α
+
= cos
)
( AG
P
AD
Q
AC
N C
Problema 40 Una persona de peso 720 N sube sobre un tablón homogéneo de 284 N de peso tal como
se muestra en la figura adjunta. Determinar : a) la fuerza de rozamiento en el suelo cuando la persona
se encuentra parada a 0,6 m del extremo A, si el apoyo en C se considera liso; b) si el coeficiente de
rozamiento en A y C es µ = 0,25 determinar la distancia máxima s a la que puede subir la persona sin
que el tablón deslice.
α
f
P
NA
NC
Q
f
C
0,6 m
NA
P
Q
NC
A
G
D
B
2,4 m
A
B
C
1,8 m
0,6 m
41
De la figura se tiene los valores m
60
,
3
;
m
0
,
3
AC =
= AB Operando queda para la normal en el
apoyo NC = 251,5 N. De la ecuación (1) se tiene fuerza de rozamiento N
151
=
f .
Del polígono de fuerzas se obtiene inmediatamente la normal en A N
803
8
,
0
1004 =
−
= C
A N
N . Si
el coeficiente de rozamiento en el suelo es µ = 0,25, el valor máximo de la fuerza de rozamiento es 200,7
N y la persona puede seguir subiendo por la tabla sin que esta deslice.
b) En la posición límite, la tabla está en situación de movimiento inminente, y las fuerzas de rozamiento
tienen su valor máximo, µ por la normal. La fuerza de rozamiento en C tiene la dirección de la tabla
dirigida hacia arriba.
Diagrama del sólido libre de la tabla Polígono de fuerzas
Igualando a cero la suma de momentos respecto de A , se tiene
AG
Q
P
AC
Q
N
s
AG
P
s
Q
AC
N C
C −
α
=
⇒
α
+
=
cos
cos
)
(
De la ley del seno aplicada al triángulo de fuerzas formado por los vectores P + Q, RA , RC y teniendo en
cuenta que ο
14,03
0,25
tan =
⇒
= queda
N
55
,
393

1
N
66
,
405
143,13
sen
14,03
sen 2
=
⇒
+
=
⇒
=
⇒
+
= C
C
C
C
C
N
R
N
R
Q
P
R
Sustituyendo valores se tiene s = 1,34 m
fA
C
D
s
NA
P
Q
NC
A
G
fC
α
fA = µ NA
P
NA
NC
Q
θ
RA
RC
θ
α
fC = µ NC
α

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  • 1. Problemas de Estática. J. Martín Problemas Resueltos de Estática 1 Fuerzas y Momentos 2 Equilibrio del punto 3 Equilibrio del sólido sin rozamiento 4 Equilibrio del sólido con rozamiento 5 Equilibrio del sistema de sólidos 6 Entramados y armaduras 7 Mecanismos : poleas, cuñas, tornillos 8 Método de los trabajos virtuales 9 Fuerzas distribuidas : cables y vigas 10 Centros de gravedad
  • 2. 3 Fuerzas y momentos SOLUCIÓN La resultante es la suma de las dos fuerzas. De la ley del coseno se tiene 60 cos 400 300 2 400 300 2 2 × × × + + = F ⇒ N 2 , 608 = F De la ley del seno se tiene º 3 , 25 4273 , 0 sen 608 º 30 cos 300 sen = ⇒ = ⇒ = Solución en componentes. La resultante es la suma de las componentes de cada una de las fuerzas . 3 150 550 ) sen60º º 60 cos ( 300 400 j i F j i i F + = ⇒ + + = º 3 , 25 4723 , 0 550 3 150 tan = ⇒ = = Problema 1 Determinar la resultante de las dos fuerzas indicadas en la figura, dando el módulo y el ángulo que forma la horizontal. F 60º 300 N 400 N α α 400 N 300 N 60º y O F x 400 N 300 N 60º
  • 3. Problemas de Estática. J. Martín SOLUCIÓN SOLUCIÓN Gráfica. Se dibuja a escala la suma de las fuerzas. Midiendo el módulo de la resultante se obtiene F = 49 N ; midiendo el ángulo que forma con la horizontal es obtiene 26º Problema 2 Determinar el valor del módulo y la dirección de la fuerza F2 que hay que aplicar al bloque de la figura adjunta para que la resultante de ambas fuerzas sea una fuerza vertical de 900 N si el módulo de la fuerza F1 es de 500 N. Problema 3 Determinar la resultante del sistema de fuerzas concurrentes que se indica en la figura adjunta sabiendo que F1 = 150 N , F 2 = 200 N , F3 = 80 N y F4 = 180 N. x y F2 F1 F3 F4 60º 30º 45º 30º F2 = 544,8 N ; α = 29,1º F α F1 F2 F3 F4 F1 F2 α 32º
  • 4. 5 Analítica. Se determinan las componentes según x y según y de cada una de las fuerzas. A partir de estos valores se obtiene la resultante y el ángulo que forma con el eje x. Las componentes de las fuerzas son: F1 = 129.9 i + 75.0 j ; F2 = − 173.2 i + 100.0 j F3 = − 40.0 i − 69.2 j ; F4 = 127.3 i − 127.3 j La resultante es: F = Σ Fi = 44.0 i − 21.5 j ⇒ F = 49.0 N ; α = − 26º SOLUCIÓN 5,7º ; N 5 , 515 5 . 51 513 = = ⇒ + = F j i F SOLUCIÓN Representación gráfica de las fuerzas De la ley del seno aplicada al triángulo definido por las tres fuerzas se tiene Problema 4 Determinar la resultante de las fuerzas representadas en la figura adjunta. Dar su módulo y el ángulo que forma con el eje x. Problema 5 Descomponer una fuerza F de módulo 2800 N en dos componentes F1 y F2 tales que F1 forme con F un ángulo de 20º y que su diferencia de módulos F1 – F2 sea igual a 1000 N. Determinar sus módulos y el ángulo que forman. 80 N x y 260 N 150 N 120 N 70º 20º 40º 50º 100 N F F1 F2 20º α
  • 5. Problemas de Estática. J. Martín F F sen 20º sen 2 = Proyectando las fuerzas sobre la horizontal queda cos º 20 cos 2 1 F F F + = La diferencia de módulos de las dos fuerzas 1000 2 1 = − F F Operando con las tres ecuaciones se obtiene º 60,8 ; N 7 , 1069 ; N 7 , 2069 2 1 = = = F F SOLUCIÓN Representación gráfica de las fuerzas Problema 6 Descomponer una fuerza F en dos componentes F1 y F2 tales que F1 forme con F un ángulo que sea la mitad del ángulo que forma F2 con F y los módulos de F1 y de F2 cumplan la relación 4 F2 = 3 F1 . Calcular el módulo de las componentes y los ángulos que forman con F. F F2 F1 α β = 2 α 3 α α = 48,2º ; β = 96,4º ; F1 = 1,7 F ; F 2 = 1,3 F
  • 6. 7 SOLUCIÓN Representación gráfica de las fuerzas SOLUCIÓN Representación gráfica de las fuerzas ) ( 2 2 2 0 k j i F c b a c b a F + + + + = Problema 7 Descomponer una fuerza F de 20 kN en dos componentes F1 y F2 tales que formen entre sí un ángulo de 50 º y sus módulos estén en la relación 2 : 5. Calcular la magnitud de las componentes y los ángulos α1 y α2 que forman con F . Problema 8 En las diagonales de un paralelepípedo rectangular de aristas a,b,c, actúan tres fuerzas del mismo módulo F0. Calcular la resultante F. F2 = 15,45 kN ; β = 13,8º F1 = 6,18 kN ; α = 36,2º ; F F1 50º α β a b c O A B C D E F1 F2 F3 x y z
  • 7. Problemas de Estática. J. Martín SOLUCIÓN Expresando las fuerzas en componentes y sumando se obtiene la resultante k j i F + + = 5 3 SOLUCIÓN El vector unitario en la dirección y sentido de la fuerza es ( ) k j i u + + − = 3 3 La fuerza en componentes es F = 10 ( − i + j + k ) Problema 9 El cubo representado en la figura adjunta tiene de arista 2 m El origen O y los extremos de las fuerzas F1 y F2 están en el punto medio de los lados. Los módulos de las fuerzas son F 1 = 1,41 kN ; F2 = 2,45 kN ; F3 =3,0 kN. Determinar la resultante F . Problema 10 Una fuerza de 17,32 k está dirigida a lo largo de la recta que va del punto de coordenadas (4,2,0) hasta el punto de coordenadas (1,5,3) tal como se muestra en la figura adjunta . Los valores de las coordenadas están dados en metros. Determinar el momento de F respecto del origen O y los momentos de F respecto de los ejes x, y, z. x y z (4, 2, 0) (1, 5, 3) F P ° ° y x z O F1 F2 F3
  • 8. 9 El momento de la fuerza respecto del origen está dado por F M 0 ∧ = OP , donde el punto P es un punto cualquiera de la recta soporte de F. Tomando el punto P ( 4 ,2 ,0 ), el momento de la fuerza respecto del origen es M0 = 10 ( 2 i − 4 j + 6 k ) El producto escalar del vector M0 por los vectores de la base i , j , k proporciona los momentos de la fuerza respecto de los ejes x , y , z . Sus valores son : mx = 20 my = − 40 mz = 60 SOLUCIÓN El momento M1 es el de un par de fuerzas de 40 Kg situadas en el plano horizontal o en un plano paralelo al horizontal y separadas una distancia de un metro ; el momento M2 es el de un para de fuerzas de 40 Kg situadas en el plano inclinado o en un plano paralelo al plano inclinado y separadas una distancia de 3m, tal como se muestra en la figura a). Para facilitar la suma de los momentos de los dos pares, los vectores que los forman se han tomado con sus direcciones paralelas a la recta de intersección de los planos. (a) Problema 11 En la figura adjunta se representa un par de momento Μ = 40 k-m que actúa sobre un plano horizontal y otro par de momento Μ2 = 120 k-m que actúa sobre un plano que forma 60º con el horizontal. Determinar gráficamente el momento resultante M de ambos pares 60º M1 M2 1 m F 3 m h − − F
  • 9. Problemas de Estática. J. Martín El par resultante está formado por las fuerzas F y − F separadas una distancia h . Su momento es un vector M perpendicular al plano definido por F y − F, plano que forma con la horizontal un ángulo θ, figura b). (b) Para calcular la distancia h, brazo del par resultante, aplicando la ley del coseno al triángulo ABC se tiene h = 7 = 2,645 m luego el momento del par resultante es M = 105,8 k - m Para calcular el ángulo θ, aplicando la ley del seno al triángulo ABC se tiene que θ = 79,2 º SOLUCIÓN Problema 12 Una barra horizontal de 4 m de largo está sometida a una fuerza vertical hacia abajo de 12 kg aplicada en su extremo B. Demostrar que es equivalente a una fuerza de 12 kg hacia abajo aplicada en su extremo A y a un par de sentido horario de 48 kg-m. M 60º h θ A C 3 m 1 m B F B A 2 m 2 F 2 F F B A 4 m
  • 10. 11 Equilibrio del punto SOLUCIÓN Condición de equilibrio ) º 47 ( sen 780 º 47 sen F sen 460 2 α + = = α º 8 , 35 = α ; N 575 F2 = Problema 13 Determinar el valor del módulo y la dirección de la fuerza F2 de la figura adjunta para que el bloque de 780 N de peso se encuentre en equilibrio si el módulo de la fuerza F1 es de 460 N . F1 F2 α P 47º P F1 F2 α 47º
  • 11. Problemas de Estática. J. Martín SOLUCIÓN Equilibrio en el punto B Equilibrio en el punto C BA BC T º 80 sen T 10 sen 500 = = ; TBC = TCB ; CD CB T º 20 sen T 70 sen P = = Operando queda TBA = 2879 N ; TBC = TCB = 2835 N ; P = 7789 N ; TCD = 8289 N Problema 14 En el esquema de la figura, el bloque de peso P se mantiene en equilibrio cuando se aplica una fuerza F = 500 N en el punto B del sistema de cables. Determinar las tensiones en los cables y el peso P. F P A D B C 10º 20º TBC TBA 10º F TCB P TCD 20º
  • 12. 13 SOLUCIÓN Equilibrio en el punto B Equilibrio en el punto C BC BA T º 30 sen T 60 sen 2450 = = ; TBC = TCB ; 80 sen T º 70 sen T 30 sen T CE CB CD = = Operando queda TBA = 1414 N ; TBC = TCB = 2829 N ; TCD = 1505 N ; TCE = 2965 N Problema 15 Un cuerpo de masa m = 250 kg está unido al sistema de cables indicado en la figura y se mantiene en equilibrio en la posición indicada. Determinar las tensiones en los cables. P A D B C 60º 40º E 30º TBC TBA 60º P TCE TCD 30º 40º 60º TCB
  • 13. Problemas de Estática. J. Martín SOLUCIÓN Tensión en el cable 1 ⇒ F1 = 132 N Tensión en el cable 2 ⇒ F2 = 128,8 N Tensión en el cable 3 ⇒ F3 = 84,8 N SOLUCIÓN h = 1,5 tg α ; 120 sen α = 80 ⇒ h = 1,34 m Problema 16 En el esquema de la figura adjunta, un bloque de 60 N de peso está unido a tres cables dos de ellos contenidos en un plano horizontal. Determinar las tensiones en los cables. Problema 17 En el esquema de la figura adjunta los tres cuerpos unidos por cables están en equilibrio. Los bloques A y B pesan 60 N cada uno y el bloque C pesa 80 N . Determinar el valor de h 4 m 4 m 3 m 8 m 5 m A D C B 1 2 3 3 m A h B C α
  • 14. 15 SOLUCIÓN a) Cuando la tensión en el cable horizontal sea nula, en el punto C concurren tres fuerzas y para que esté en equilibrio su suma ha de ser cero. P + FA + F1 = 0 siendo FA la fuerza que ejerce el cable unido al punto A en el punto C y F1 el valor de F. Condición gráfica de equilibrio Cuando la tensión en el cable AC sea nula en el punto C concurren tres fuerzas y para que esté en equilibrio su suma ha de ser cero. P + FB + F2 = 0 siendo FB la fuerza que ejerce el cable unido al punto B en el punto C y F2 el valor de F. Problema 18 En el esquema de la figura adjunta, un bloque de 600 N de peso pende de dos cables. Determinar: a) el intervalo de valores de la fuerza F para que ambos cables estén tensos ; b) el valor de las tensiones en los cables para F = 500 N. Dato : tg α = 4 / 3 F 60º α A C B ) 60 ( 30 1 α + = sen P sen F F1 = 326,2 N F1 P FA 60º +α 30º 30º
  • 15. Problemas de Estática. J. Martín Condición gráfica de equilibrio Para que los dos cables estén tensos, la magnitud de la fuerza aplicada F ha de satisfacer la condición 326,2 N ≤ F ≤ 750 N b) Para el valor F = 500 N, las tensiones en los dos cables son distintas de cero. En el punto C concurren cuatro fuerzas, luego para que este en equilibrio su resultante a de ser cero. Condición gráfica de equilibrio FB = 184.5 N ; FA = 230.9 N F2 = 750 N P F2 FB α sen 90º sen P F = P FA α FB F 60º
  • 16. 17 SOLUCIÓN Equilibrio en el punto A Equilibrio en el punto B Aplicando la ley del seno se tiene 1 A P sen N cos T = α = α ; 2 B P cos N sen T = α = α Operando queda α = 33,69º ; T = 1630.8 N ; NA = 1087,2 N ; NB = 2446,2 N Problema 19 Dos cuerpos puntuales de pesos P1 = 1960 N y P2 = 2940 N están unidos mediante un cable y se apoyan sobre una superficie cilíndrica lisa tal como se ve en la figura adjunta. Determinar la tensión del cable, las normales en los apoyos y el ángulo de equilibrio. P2 T NB α P1 T NA α P1 P2 α 90 − α A B 90 − α α
  • 17. Problemas de Estática. J. Martín SOLUCIÓN 82 40 68 500 sen T sen F sen = = SOLUCIÓN l0 = 2,66 m Problema 20 En la figura adjunta el bloque de 500 N de peso se mantiene en equilibrio en la posición indicada bajo la acción de la fuerza F aplicada en el extremo libre de la cuerda que pasa por la polea B. Determinar el valor de la fuerza. Problema 21 En el esquema de la figura adjunta, el cable AC está unido por su extremo C a un muelle cuya constante de rigidez es k = 50 N/m . Si se aplica en el extremo C del cable una fuerza vertical descendente F0 = 80 N el sistema está en equilibrio cuando el ángulo θ = 60º . Determinar la longitud natural lo del muelle A 3 m B F 1 m 18º C 2 m A 60º B F0 2 m C F = 346,6 N F P T 50º 18º
  • 18. 19 Equilibrio del sólido sin rozamiento SOLUCIÓN Sobre la barra actúan cuatro fuerzas : El peso P, las normales en los apoyos NA, NB y la fuerza aplicada en el extremo A. Diagrama del sólido libre Condición de equilibrio Tomando momentos respecto de A NB l − P l cos 30º = 0 Operando queda NB = 86,6 N ; NA = 156,7 N ; F = 75 N Problema 22 Una barra homogénea de 200 N de peso y longitud l se apoya sobre dos superficies lisas tal como se muestra en la figura adjunta. Determinar : a) el valor de la fuerza F para mantener la barra en equilibrio en la posición indicada ; b) las reacciones en los apoyos. A B 60º 30º F 30º F NA NB P NA + NB sen 30º = P NB cos 30º = F Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas P G A B 60º 30º F NB NA
  • 19. Problemas de Estática. J. Martín SOLUCIÓN Sobre la barra actúan cuatro fuerzas : El peso P, las normales en los apoyos NA, NB y la fuerza aplicada en el extremo A. Diagrama del sólido libre Condición de equilibrio Tomando momentos respecto de B − NA l cos 30º + P l cos 30º = 0 Operando queda NA = P ; ; F = P sen 60º ; ∆ l = cm 6 2 = k F Problema 23 Una barra homogénea de 300 N de peso y longitud l se apoya sobre dos superficies lisas tal como se muestra en la figura adjunta. Se mantiene en equilibrio bajo la acción que le ejerce un muelle unido a su extremo B de constante k = 500 N/m. Determinar el alargamiento del muelle. A B 60º 30º P G NA + F sen 60º + NB sen 30º + = P F cos 60º = NB cos 30º Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas P G A B 60º 30º F NB F NA NB P 60º NA
  • 20. 21 SOLUCIÓN Sobre la barra actúan tres fuerzas : El peso P, la normal en el apoyo NB y la reacción en A. Diagrama del sólido libre. La condición necesaria para que un sólido sometido a tres fuerzas este en equilibrio es que las tres fuerzas se corten en un mismo punto ( o sean paralelas ) Condición de equilibrio Tomando momentos respecto de A NB sen 52º l − P l cos 22º = 0 Operando queda NB = 217 N ; α = 54,2º ; RA = 321,2 N Problema 24 Una barra homogénea de 369 N de peso y longitud l esta articulada en su extremo A y se apoya en su extremo B sobre una superficie lisa tal como se muestra en la figura adjunta. Determinar la reacción en la articulación. 30º RA NB P α = α + = B A N sen P sen R ) (30º 60 Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas P G A B 60º RA NB A B 60º 22º 22º α
  • 21. Problemas de Estática. J. Martín SOLUCIÓN Sobre la barra actúan tres fuerzas : El peso P, la normal en el apoyo NA y la normal en C NC. Diagrama del sólido libre. La condición necesaria para que un sólido sometido a tres fuerzas este en equilibrio es que las tres fuerzas se corten en un mismo punto ( o sean paralelas ) Condición de equilibrio Tomando momentos respecto de A NC 2 R cos α − P α 2 3 R = 0 Operando queda NC = P 4 3 ; cos 2 α = 4 3 cos α ; 0 4 3 8 2 = − α − α ; α = 23,2º Problema 25 Una barra homogénea peso P y longitud l esta en equilibrio en una cavidad semiesférica lisa de radio R tal como se muestra en la figura adjunta. Determinar el valor del ángulo de equilibrio α si l = 3R. α A B C 2 α NA NC P α = α = α 2
  • 22. C A N P N sen Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas α P G A B NA NC C α α α R R A α α C
  • 23. 23 SOLUCIÓN Sobre la barra actúan tres fuerzas : El peso P, la normal en el apoyo NC y la reacción en B dirigida perpendicularmente a la guía. Diagrama del sólido libre. La condición necesaria para que un sólido sometido a tres fuerzas este en equilibrio es que las tres fuerzas se corten en un mismo punto ( o sean paralelas ) Condición de equilibrio Problema 26 Una barra homogénea de longitud l y peso P está unida por uno de sus extremos a un pasador que puede deslizar sin rozamiento por una guía vertical. La barra se apoya sobre una superficie cilíndrica lisa de radio R. Si la longitud de la barra es 3R , determinar el ángulo α de equilibrio. α A B C 1 C B N P N sen = α = α Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas NB NC P α R O P G A B NB NC C α α
  • 24. Problemas de Estática. J. Martín Tomando momentos respecto de B NC CB − P α 2 3 R = 0 De la figura se tiene R CB = α Operando queda ( ) 2 3 1 2 = + α α ⇒ α = 40,74º
  • 25. 25 Equilibrio del sólido con rozamiento Problema 27 Una barra homogénea de 200 N de peso y longitud l se apoya sobre dos superficies tal como se muestra en la figura adjunta. La superficie inclinada es lisa y la horizontal rugosa. Determinar : a) el valor de la fuerza de rozamiento en A para mantener la barra en equilibrio en la posición indicada ; b) el coeficiente de rozamiento mínimo para el equilibrio. SOLUCIÓN a) Sobre la barra actúan cuatro fuerzas : El peso P, las normales en los apoyos NA, NB y la fuerza de rozamiento en A. Diagrama del sólido libre Condición de equilibrio Tomando momentos respecto de A NB l − P l cos 30º = 0 Operando queda NB = 86,6 N ⇒ f = 75 N A B 60º 30º 30º f NA NB P NA + NB sen 30º = P NB cos 30º = f Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas P G A B 60º 30º f NB NA
  • 26. Problemas de Estática. J. Martín b) Para el coeficiente de rozamiento mínimo, la barra está en estado de movimiento inminente y la correspondiente fuerza de rozamiento es la máxima, luego se cumple que fr = µ NA El valor de NA es 156,7 N , de donde queda el valor µ = 0,48 SOLUCIÓN Diagrama del sólido libre. Sobre la barra actúan 4 fuerzas : los pesos de la barra y el bloque, la tensión del cable y la resultante R en el punto de apoyo C , que es la suma de la normal y de la fuerza de rozamiento. Problema 28 La barra homogénea AB de la figura adjunta, de masa m = 4 kg y longitud l = 2 m, se mantiene en equilibrio apoyada en el borde de un soporte a 0.5 m de su extremo A y mediante un cable unido a su extremo B. Del extremo A pende un cuerpo de masa m1 = 6 kg . Determinar : a) dibujar el diagrama del sólido libre de la barra ; b) calcular la tensión del cable ; c) la fuerza de rozamiento en el apoyo ; d) si el apoyo se considera liso, deducir si existen valores de m y m1 para que la barra se mantenga en equilibrio en la posición indicada. A B C 30º P1 P RC T NC f G 30º A B C 30º 30º m1
  • 27. 27 Condición de equilibrio Tomando momentos respecto de C 30º sen 2 3 30 2 1 30 2 1 1 T P P + = Operando queda N 3 11 3 3 2 = = g T Sustituyendo en la segunda ecuación de la condición de equilibrio se tiene N 8 . 58 6 = = g f Sean cuales sean las masa m y m1 , si no hay rozamiento, las componentes de los pesos y de la tensión en la dirección de la barra no se cancelan, luego no puede haber equilibrio. NC = T sen 30 + ( P+P1) cos 30º f = T cos 30º +( P+P1) sen 30º Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas NC f P1 P T 30º 30º 30º
  • 28. Problemas de Estática. J. Martín SOLUCIÓN Diagrama del sólido libre. Sobre la barra actúan 4 fuerzas : los pesos de la barra y el bloque, la tensión del cable y la resultante RC en el punto de apoyo C , que es la suma de la normal y de la fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento tiene su valor máximo fr = µ NC Condición de equilibrio Problema 29 La barra homogénea AB de la figura adjunta, de masa m y longitud l, se mantiene en equilibrio apoyada en el borde C de un soporte, tal que AC = l/5 y mediante un cable unido a su extremo B. Del extremo A pende un cuerpo de masa m1 = 4 m. Determinar : el valor mínimo del coeficiente de rozamiento µ para que la barra se mantenga en equilibrio en la posición indicada. A B C 38º 112ºº m1 NC = T sen 58 + ( P+P1) cos 38º µ NC + T cos 58º = ( P+P1) sen 38º Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas A B C 58º P1 P T NC fr G 38º NC P1 P T 38º fr 58º 38º
  • 29. 29 Tomando momentos respecto de C 58º sen 5 4 38 10 3 38 5 1 T l P l P l + = Operando queda mg T 58 0 = Sustituyendo en la primera ecuación de la condición de equilibrio se tiene mg NC 43 4 = Y finalmente de la segunda ecuación de equilibrio µ = 0,62 SOLUCIÓN Sobre el cilindro actúan 3 fuerzas : el peso P del cilindro, la fuerza horizontal F del cable y la resultante RA en el punto de apoyo A , que es la suma de la normal y de la fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento tiene su valor máximo fr = µ NA Diagrama del sólido libre y condición de equilibrio. Problema 30 Un cilindro homogéneo de peso P y radio R se apoya sobre un plano inclinado rugoso que forma 44º con la horizontal. Se encuentra en condiciones de movimiento inminente bajo la acción de la fuerza que le ejerce el cable horizontal unida al cilindro en su parte superior. Determinar el valor del coeficiente de rozamiento µ. 56º A B F R F P RA 56º F P RA fr NA 56º 28º µ = tan 28 = 0,53
  • 30. Problemas de Estática. J. Martín SOLUCIÓN En condiciones de movimiento inminente, la reacción en la pared forma con la normal un ángulo θ tal que tan θ = µ = 0,25, es decir θ = 14º. Sobre el bloque actúan 3 fuerzas : el peso P , la fuerza F y la resultante R en el apoyo, que es la suma de la normal y de la fuerza de rozamiento. En condiciones de movimiento inminente, la fuerza de rozamiento tiene su valor máximo fr = µ N. Diagrama del sólido libre y condición de movimiento inminente hacia abajo Condición de movimiento inminente hacia arriba Aplicando la ley del seno a ambos triángulos queda Problema 31 El bloque homogéneo de la figura adjunta tiene un peso de 1200 N y está apoyado en una pared vertical . El coeficiente de rozamiento entre ambas superficies es µ = 0,25 . El bloque se encuentra en equilibrio bajo la acción de la fuerza F tal como se muestra en la figura adjunta. Determinar el intervalo de valores de F para que el bloque se mantenga en equilibrio. F 60º P R F N1 P 14º F1 30º fr 76º N2 F2 P 30º fr 14º 16º 104º F1 = 1676 N ≤ F ≤ F2 = 4224 N
  • 31. 31 SOLUCIÓN Sobre la barra actúan cuatro fuerzas : El peso P, la normal NA, la fuerza de rozamiento fr = µ NA y la fuerza F aplicada en B. Diagrama del sólido libre Condición de equilibrio Tomando momentos respecto de A P l cos β = F l sen (α − β) Operando queda β − α = µ tan 2 tan 1 Problema 32 Una barra homogénea de peso P y longitud l se apoya por su extremo A sobre un suelo horizontal rugoso, coeficiente de rozamiento µ, y su extremo B está unido a un cable, que pasa por una polea, el cual le ejerce una fuerza F que mantiene la barra en la posición indicada en situación de movimiento inminente. Determinar el valor de µ en función de α y β. F α β A B NA P NA + F sen α = P F cos α = µ NA P G A B β fr F NA α fr α F α − β
  • 32. Problemas de Estática. J. Martín SOLUCIÓN Cálculo del ángulo α. La barra forma con la pared un ángulo de 36º y la tensión del cable forma con la dirección de barra un ángulo de 58º. Diagrama del sólido libre y condición de equilibrio. Sobre la barra actúan 3 fuerzas, el peso P, la tensión del cable T y la reacción R en el apoyo A que es la suma de la fuerza de rozamiento f, dirigida hacia arriba, mas la normal. Problema 33 Una barra homogénea de peso P = 90 N y longitud l se mantiene en equilibrio apoyada por su extremo A sobre una pared vertical rugosa; su extremo B está unido a un cable fijo a la pared en el punto C , cuya longitud es 1,57 l que forma con la pared un ángulo de 22º. Determinar: el ángulo α, la tensión del cable y la fuerza de rozamiento. A B C 22º α A B C 90º − α 22º α = cos 57 1 22º sen l l Operando α = 54º
  • 33. 33 Tomando momentos respecto de A se obtiene la tensión del cable ⇒ T = 31 N Sustituyendo y operando se tiene el valor del ángulo ϕ = 11º . Conocido el ángulo se obtiene el valor de la reacción, R = 62 N. La fuerza de rozamiento es su proyección vertical f = 61 N 22º P T R T 22º P R ϕ ) 68º ( cos 22º sen sen ϕ − = = ϕ P R T Sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas A B G 58º R P T 54º
  • 34. Problemas de Estática. J. Martín Equilibrio del sistema de sólidos SOLUCIÓN Problema 34 Una barra uniforme de peso P y longitud l está articula en su extremo A y se apoya sobre un disco liso de radio R y peso Q, tal como se muestra en la figura adjunta. El disco se apoya sobre una superficie horizontal lisa y su centro unido a la articulación mediante un cable. Determinar la tensión del cable y la reacción en la articulación. B A R C
  • 35. 35 SOLUCIÓN Problema 35 Un cilindro de peso P y radio R se encuentra en equilibrio en la posición indicada en la figura adjunta. Se considera que todas las superficies son lisas. Determinar: la reacción en la articulación y la tensión del cable. A C D B 30º 45º R E
  • 36. Problemas de Estática. J. Martín SOLUCIÓN Problema 36 Un cilindro de peso Q y radio R se apoya boca abajo sobre una superficie horizontal tal como se muestra en la figura adjunta. En su interior hay dos esferas de radio r y peso P cada una. Determinar el peso del cilindro para que este no vuelque. Todas las superficies se consideran lisas. r r
  • 37. 37 SOLUCIÓN Problema 37 Sobre un plano inclinado que forma un ángulo de 30º con la horizontal se sitúan dos bloques de pesos P1 = 4000 N y P2 = 6000 N respectivamente. Ambos están unidos mediante un cable. Los coeficientes de rozamiento entre los bloques y el plano inclinado son µ1 = 0,4 y µ2 = 0,8, respectivamente. Determinar la tensión del cable y las fuerzas de rozamiento que actúan sobre los bloques. P1 30º P2
  • 38. Problemas de Estática. J. Martín SOLUCIÓN Problema 38 Una barra uniforme de peso 1176 N y longitud l está articula en su extremo A y forma un ángulo de 30º con la horizontal. Su extremoB se apoya sobre la superficie lisa de un bloque de peso 328 N, situado sobre una superficie inclinada rugosa que forma un ángulo de 58º con la horizontal. Determinar la reacción en la articulación y el coeficiente de rozamiento mínimo para que haya equilibrio. A B 58º 30º
  • 39. 39 SOLUCIÓN Problema 39 Una escalera de peso P se apoya en una pared vertical lisa y sobre un suelo horizontal rugoso. El coeficiente de rozamiento es µ = 0,265. La distancia entre peldaños es de 30 cm. Una persona de peso Q asciende por la escalera. Determinar hasta que peldaño puede subir sin que la escalera se caiga.
  • 40. Problemas de Estática. J. Martín SOLUCIÓN a) Para la posición indicada la tabla no está en condiciones de movimiento inminente. En el apoyo en A, además de la normal actúa la fuerza de rozamiento f dirigida hacia la derecha. Diagrama del sólido libre de la tabla Polígono de fuerzas . Del polígono de fuerzas se deduce inmediatamente el valor de la fuerza de rozamiento en el suelo α = sen C N f (1) La normal en C forma con la vertical un ángulo α que es el mismo que forma la tabla con el suelo; de los datos se deduce su valor, α = 36,87º. De la suma de momentos respecto de A igual a cero se obtiene la ecuación α + = cos ) ( AG P AD Q AC N C Problema 40 Una persona de peso 720 N sube sobre un tablón homogéneo de 284 N de peso tal como se muestra en la figura adjunta. Determinar : a) la fuerza de rozamiento en el suelo cuando la persona se encuentra parada a 0,6 m del extremo A, si el apoyo en C se considera liso; b) si el coeficiente de rozamiento en A y C es µ = 0,25 determinar la distancia máxima s a la que puede subir la persona sin que el tablón deslice. α f P NA NC Q f C 0,6 m NA P Q NC A G D B 2,4 m A B C 1,8 m 0,6 m
  • 41. 41 De la figura se tiene los valores m 60 , 3 ; m 0 , 3 AC = = AB Operando queda para la normal en el apoyo NC = 251,5 N. De la ecuación (1) se tiene fuerza de rozamiento N 151 = f . Del polígono de fuerzas se obtiene inmediatamente la normal en A N 803 8 , 0 1004 = − = C A N N . Si el coeficiente de rozamiento en el suelo es µ = 0,25, el valor máximo de la fuerza de rozamiento es 200,7 N y la persona puede seguir subiendo por la tabla sin que esta deslice. b) En la posición límite, la tabla está en situación de movimiento inminente, y las fuerzas de rozamiento tienen su valor máximo, µ por la normal. La fuerza de rozamiento en C tiene la dirección de la tabla dirigida hacia arriba. Diagrama del sólido libre de la tabla Polígono de fuerzas Igualando a cero la suma de momentos respecto de A , se tiene AG Q P AC Q N s AG P s Q AC N C C − α = ⇒ α + = cos cos ) ( De la ley del seno aplicada al triángulo de fuerzas formado por los vectores P + Q, RA , RC y teniendo en cuenta que ο 14,03 0,25 tan = ⇒ = queda N 55 , 393 1 N 66 , 405 143,13 sen 14,03 sen 2 = ⇒ + = ⇒ = ⇒ + = C C C C C N R N R Q P R Sustituyendo valores se tiene s = 1,34 m fA C D s NA P Q NC A G fC α fA = µ NA P NA NC Q θ RA RC θ α fC = µ NC α
  • 42. Problemas de Estática. J. Martín Equilibrio del sistema de sólidos Entramados y armaduras Mecanismos : poleas, cuñas, tornillos y discos Método de los trabajos virtuales Fuerzas distribuidas : cables y vigas Centros de gravedad